Física 2 (2)-496-498

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Capítulo 17494
10. Ondas estacionárias em fios 
Consideremos um fio esticado, de comprimento L e extremidades N
1
 e N
2
, tais 
que N
2
 esteja fixa em um su porte S e N
1
 esteja ligada a um aparelho que pode 
produzir uma onda transversal no fio (fig. 65a). Vamos supor que a oscilação de N
1
 
seja muito “pequena”, de modo que possamos admitir que N
1
 esteja “quase” em 
repouso. 
A onda produzida em N
1 
viaja até N
2
, onde é refletida (com inversão de fase) e, ao 
voltar, irá interferir com a onda que está indo de N
1
 para N
2
. O efeito resultante vai de-
pender da frequência (f ) da onda produzida pelo aparelho vibratório. existem algumas 
frequên cias (que logo veremos como calcular) que produzem efeitos como os exempli-
ficados na figura 65. Os pontos N
1
, N
2
, N
3
, N
4
 e N
5
 ficam em repouso e são chamados 
de nós ou nodos. Cada trecho do fio que está entre dois nós consecutivos oscila para 
baixo e para cima com a mesma frequência f da onda e de modo que, quando um tre-
cho está descendo, o trecho seguinte está subindo, e vice-versa. Isso pode ser percebido 
pelas cores usadas na figura 65. Observe, por exemplo, a linha vermelha na figura 65d. 
ela indica a configuração do fio em um determinado instante, e o mesmo ocorre para as 
linhas de outras cores. O ponto V
1
 na figura 65b é o que oscila com a maior amplitude 
entre todos os pontos que estão entre N
1
 e N
2
: ele é chamado ventre ou antinó (ou 
antinodo). Os pontos V
2
, V
3
, V
4
, V
5
 e V
6
 também são ventres.
A distância entre dois nós consecutivos é igual à metade do comprimento de onda 
λ
2
 em cada caso.
Configurações como as exemplificadas na figura 65 são chamadas 
de ondas estacionárias. A configuração da figura 65b é chamada de 
modo fundamental ou 1º. harmônico (1º. H); a configuração da figura 
65c é chamada de 2º. harmônico (2º. H), e assim por diante. Na figura 
65 representamos configurações até o 3º. harmônico (3º. H), mas o 
número de harmônicos é, teoricamente, infinito.
Observando a figura 65, percebemos que:
o 1º. harmônico tem 1 ventre e 2 nós;
o 2º. harmônico tem 2 ventres e 3 nós;
o 3º. harmônico tem 3 ventres e 4 nós;
.
.
.
o nº. harmônico tem n ventres e n + 1 nós.
Calculemos agora as frequências que produzem os diversos harmô-
nicos, lembrando que v = λf ou λ = 
v
f
, em que v é a velocidade de 
propagação da onda.
No caso do 1º. harmônico, temos:
L = 
λ
1
2
λ
1
 = 
v
f
1
 ⇒ L = 
1
2
 · 
v
f
1
 ⇒ f
1
 = 
v
2L
Figura 65. Ondas estacionárias em um fio de 
comprimento L.
vibrador
N
2
N
1
S
N
2
N
1
(1º. H)
N
2
N
1
(2º. H)
N
2
N
1
(3º. H)
(a)
(b)
(c)
(d)
L
V
2
V
1
N
3
N
4
N
5
V
3
V
4
V
5
V
6
λ
1
2
λ
3
2
λ
3
2
λ
3
2
λ
2
2
λ
2
2
Z
A
P
t
Algumas propriedades das ondas 495
No caso do 2º. harmônico, temos:
L = λ
2
λ
2
 = 
v
f
2
 ⇒ L = 
v
f
2
 ⇒ f
2
 = 
v
L
 ⇒
⇒ f
2
 = 2 
v
2L
 
Procedendo de modo semelhante para os outros casos, você perceberá que, para o 
harmônico de or dem n, temos:
f
n
 = n 
v
2L
 13
No capítulo anterior vimos que a velocidade de propagação de uma onda transversal 
num fio esticado é dada por:
v = 
F
μ
 14
sendo F a tração no fio e μ a densidade linear do fio. Assim, introduzindo 14 em 13 , 
obtemos:
f
n
 = 
n
2L
 
F
μ
 15
O ar em volta do fio vibrará com a mesma frequência f deste, produzindo, assim, um 
som (ou infrassom, ou uItrassom) de frequência f. 
Há vários instrumentos musicais que produzem som pela vibração de cordas, como, 
por exemplo, o violão, o violino e o piano. esses instrumentos conseguem produzir sons 
de várias frequências, variando as três grandezas que aparecem na equação 15 : L, F 
e μ. Mantendo-se fixas duas quaisquer dessas grandezas e variando-se a terceira, pela 
equação 15 concluímos: 
I. Quanto maior for o valor de L, menor será f
n
.
II. Quanto maior for o valor de F, maior será f
n
.
III. Quanto maior for o valor de μ, menor será f
n
.
Exercícios de Aplicação
51. Num fio tenso, de comprimento L = 0,60 m, a 
velocidade de propagação de pulsos transversais 
é v = 240 m/s. Calcule a frequência do 3º. har-
mônico.
Resolu•‹o:
1º. modo:
Usando a equação 13 :
f
n
 = n 
v
2L
 ⇒ f
3
 = 3 
240 m/s
2(0,60 m)
 ⇒ f
3
 = 600 Hz
2º. modo:
Sem usar a fórmula.
O terceiro harmônico deve ter três ventres e qua-
tro nós, como ilustra a figura. 
λ
2
λ
2
L
N
1
N
4
N
2
N
3
V
1
V
2
V
3
λ
2
Portanto:
L = 3 λ
2
 ⇒ λ = 2L
3
 
Mas v = λf. Assim:
v = 
2L
3
 f ⇒ f = 3v
2L
 = 
3(240 m/s)
2(0,60 m)
 ⇒ f = 600 Hz
Z
A
P
t
Capítulo 17496
Exercícios de Reforço
56. (UF-MS) A figura abaixo mostra ondas estacionárias 
em uma corda de comprimento 45 cm, densidade 
linear de massa 6,2 g/m, com as duas extremidades 
fixas, e que está vibrando a 450 hertz. Com base 
nessas informações e na análise da figura, dê a 
soma dos números das afirmativas corretas.
(01) Todos os pontos da corda vibram com a 
mesma am plitude.
(02) Todos os pontos da corda vibram com a 
mesma frequência.
(04) O comprimento de onda na corda é de 90 cm.
(08) A velocidade de propagação da onda na 
corda é de 135 m/s.
(16) A força tensora na corda é de 113 N, 
aproximada mente.
57. (UF-BA) A corda de um instrumento musical 
possui massa igual a 40 g e encontra-se presa, 
horizontalmente, em dois pontos fixos separados 
por 40 cm. Aplicando-se uma tensão de módulo 
igual a 10 N, a corda vibra, refletindo as vibra-
ções nos extremos fixos, de modo a formar ondas 
estacionárias. De acordo com essas informações, 
calcule, em unidades do Sistema Internacional, a 
frequência fundamental do som emitido.
58. (UF-PE) Uma corda de violão de 1,0 m de com-
primento tem massa 20 g. Considerando que a 
velocidade (v) de uma onda na corda, a tensão 
(T ) e a densidade linear de massa da corda (μ) 
estão relacionadas por v = 
T
μ
, calcule a tensão, 
em unidades de 102 N, que deve ser aplicada na 
corda, para afiná-la em dó médio (260 Hz), de 
modo que o comprimento da corda seja igual a 
meio comprimento de onda.
59. (Unifesp-SP) A figura representa uma configura-
ção de ondas estacionárias produzida num labo-
ratório didático com uma fonte oscilante.
d d
g
P
a) Sendo d = 12 cm a distância entre dois nós 
sucessivos, qual o comprimento de onda da 
onda que se propaga no fio?
b) O conjunto P de cargas que traciona o fio 
tem massa m = 180 g. Sabe-se que a den-
sidade linear do fio é μ = 5,0 ∙ 10–4 kg/m. 
Determine a frequência de oscilação da fonte.
Dados: velocidade de propagação de uma onda 
numa corda: v = 
F
μ
; g = 10 m/s2
60. (ITA-SP) Quando afinadas, a frequência funda-
mental da corda lá de um violino é 440 Hz e a 
frequência fundamental da corda mi é 660 Hz. A 
que distância da extremidade da corda deve-se 
colocar o dedo para, com a corda lá, tocar a nota 
mi, se o comprimento total dessa corda é L?
a) 4 
L
9
b) 
L
2
c) 3 
L
5
d) 2 
L
3
e) não é possível tal experiência.
52. Um fio de comprimento 1,50 m está tracionado, de 
modo que a velocidade de propagação de um pulso 
transversal é 270 m/s. Determine para esse fio: 
a) a frequência do modo fundamental (1º. harmô-
nico);
b) a frequência do 6º. harmônico.
53. Uma das cordas de um piano tem comprimento 
1,10 m e massa 9,00 g. Sabendo que a tração 
nessa corda é 680 N, determine a frequência do 
som fundamental produzido por essa corda.
54. Para um determinado fio vibrante, as frequên-
cias de dois harmônicos consecutivos são 320 Hz 
e 400 Hz. Qual a frequência do modo funda-
mental?
55. Em um fio tracionado, de comprimento 75 cm, 
observa-se a formação de uma onda estacionária 
com 6 nós, quando a frequência do aparelho que 
produz a onda é 1 000 Hz. Qual a velocidade de 
propagação das ondas nesse fio?
IL
U
St
R
A
ç
õ
eS
: 
ZA
Pt