Física 2 (2)-505-507

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Algumas propriedades das ondas 503
Para n = 0, a equação 18 fica:
|F
1
X – F
2
X| = 0 ⇒ F
1
X = F
2
X
O conjunto de todos os pontos X tais que F
1
X = F
2
X está 
contido na reta s (fig. 74), que é a mediatriz do segmento de 
reta F
1
F
2
.
Assim, na figura 74, temos: 
F
1
X = F
2
X; F
1
X' = F
2
X'; F
1
X" = F
2
X"
Para n ≠ 0, a equação 18 define uma linha que você estuda-
rá nas aulas de Matemática e cujo nome é hipérbole. Para cada 
n ≠ 0 existe uma hipérbole diferente. Na figura 75 representa-
mos a reta s e as hipérboles correspondentes a n = 1 e n = 2. 
As hipérboles e a reta s são denominadas linhas ventrais 
pelo fato de conterem os ventres, isto é, os pontos que oscilam 
com amplitude máxima.
Os pontos F
1
 e F
2
, que representam as fontes, são os focos 
das hipérboles.
Interfer•ncia destrutiva 
Na figura 76 representamos trechos de algumas cristas (linhas 
cheias) e vales (linhas tracejadas) das ondas emitidas por F
1
 e F
2
. 
Se C
1
 e C
2
 são cristas emitidas ao mesmo tempo, a distância b 
entre F
1
 e C
1
 é igual à distância entre F
2
 e C
2
.
Consideremos o ponto X, que está sobre uma crista emitida 
por F
1
 e um vale emitido por F
2
. Portanto, nesse ponto há inter-
ferência destrutiva. Da figura, tiramos:
d = F
2
X – F
1
X = b + 5 
λ
2
 – b + 2 · 
λ
2
 = 3 · 
λ
2
 ↓
 ímpar
É fácil perceber que, em geral, para haver interferência des-
trutiva em um ponto X qualquer, devemos ter:
d = |F
1
X – F
2
X| = i · 
λ
2 19
em que i = 1, 3, 5, 7, ...
Para cada valor de i, a equação 19 definirá uma hipérbole 
chamada de linha nodal, pois nela ficam os nós, isto é, os 
pontos onde há interferência destrutiva. Na figura 77 dese-
nhamos algumas linhas ventrais (linhas cheias) e algumas li-
nhas nodais (linhas tracejadas). Observe que elas se alternam. 
É importante ressaltar que os pontos que formam as li-
nhas nodais não estão totalmente em repouso. Como vimos 
no capítulo 16, à medida que a onda se afasta da fonte, a am-
plitude vai diminuindo. Assim, no caso da figura 76, o ponto 
X está mais próxi mo de F
1
 do que de F
2
. Dessa forma, a elon-
gação da crista de F
1
 é maior que a do vale de F
2
 e, portanto, 
embora seja uma interferência destrutiva, não há no ponto X 
um anulamento completo.
Figura 74.
F
1
X
s
X'
X''
F
2
d
d
2
d
2
Figura 75.
F
1
s
n = 2 n = 2
n = 1 n = 0 n = 1
F
2
Figura 76.
b
F
1
C
1
b
F
2
C
2
d
X
λ
2
λ
2
λ
2 λ
2 λ
2 λ
2 λ
2
Figura 77.
d = λ d = λd = 0
F
1
F
2
d = 
3λ
2
d = 
3λ
2
d = 
λ
2
d = 
λ
2
IL
U
St
RA
ç
õ
eS
: Z
A
Pt
Capítulo 17504
Interferência de fontes em oposição de fase 
Continuemos com o caso de duas fontes produzindo ondas circulares na água, de 
modo que as duas ondas tenham a mesma amplitude e a mesma frequência. Porém, 
suponhamos que agora as fontes oscilem em oposição de fase. Nesse caso, enquanto 
uma haste está entrando na água, a outra está saindo, de modo que, enquanto uma 
está produzindo uma crista, a outra está emitindo um vale. 
É fácil concluir que, nesse caso, as condições de interferências construtiva e destruti-
va são opostas àqueIas válidas para fonte em fase (equações 18 e 19 ). Para fontes em 
oposição de fase, temos:
I. Interferência construtiva: 
|F
1
X – F
2
X| = i · 
λ
2
 (i = 1, 3, 5, ...) 20
II. Interferência destrutiva: 
|F
1
X – F
2
X| = nλ (n = 0, 1, 2, 3, ...) 21
Há inversão também em relação às linhas nodais e ventrais. Observando a figura 
77, se for o caso de oposição de fase, as linhas cheias serão linhas nodais, e as linhas 
tracejadas serão linhas ventrais.
13. Batimentos 
Nos itens anteriores analisamos a interferência de duas ondas de mesma frequência. 
Quando as frequências são diferentes, a análise é, em geral, complexa, e não a faremos 
aqui. Há, porém, um caso particular sim ples: quando temos duas ondas de frequências 
diferentes, mas muito próximas. Sendo f
1
 e f
2
 as frequências das duas ondas, a onda 
resultante da superposição das duas tem frequência f dada por: 
f = 
f
1
 + f
2
2
 22
Porém, a amplitude da onda resultante não permanece constante. ela aumenta e 
diminui periodicamente, como exemplificado na figura 78. esse fenômeno recebe o 
nome de batimento.
O período do batimento (T
b
) é o intervalo de tempo entre duas ocorrências suces-
sivas de amplitude máxima. A frequência do batimento (f
b
), que é o inverso de T
b
, é o 
número de amplitudes máximas que ocorrem por unidade de tempo. Pode-se demons-
trar que, sendo f
1
 > f
2
, temos:
f
b
 = f
1
 – f
2
 23
Quando ocorrem batimentos de ondas sonoras, ouvimos um som que aumenta e 
diminui de intensidade, com frequência f
b
. A orelha humana consegue perceber bati-
mentos de frequência até, aproximadamente, 10 Hz. 
ZA
Pt
Figura 78.
T
b
x
t
Algumas propriedades das ondas 505
74. Duas fontes sonoras puntiformes, F
1
 e F
2
, emitem 
sons de mesma ampli tude e mesma frequência 
f = 85 Hz, num momento em que a velocidade de 
propagação no ar é v = 340 m/s.
32 m
56 m
x
F
1
F
2
Verifique que tipo de interferência ocorrerá no 
ponto X em cada caso a seguir:
a) as fontes emitem em fase;
b) as fontes emitem em oposição de fase.
Resolução:
a) v = λf ⇒ 340 = λ(85) ⇒ λ = 4 m
d = F
2
X – F
1
X = 56 m – 32 m = 
= 24 m = 6(4 m) ⇒ d = 6λ (I)
 ↓
 natural
Para fontes em fase, a condição (I) implica 
interferência construtiva. Uma pessoa nesse 
ponto ouvirá um som mais forte do que ela 
ouve separadamente de cada fonte.
b) Para fontes em oposição de fase, a condição (I) 
implica interferência destrutiva. Como expli-
camos na teoria, pelo fato de as distâncias F
1
X 
e F
2
X serem diferentes, em X não haverá um 
anulamento total. Porém, nesse ponto uma 
pessoa ouviria um som mais fraco do que ela 
ouviria, separadamente, de cada fonte.
75. Na figura a seguir, F
1
 e F
2
 representam duas fon-
tes sonoras que emitem ondas de mesma ampli-
tude e mesma frequência 57 Hz.
45 m
60 m
P
F
1
F
2
Sabendo que a velocidade do som no ar é 342 m/s, 
deter mine o tipo de interferência que ocorre no 
ponto P nos seguintes casos:
a) as fontes oscilam em fase;
b) as fontes oscilam em oposição de fase.
Exercícios de Aplicação
76. Na figura representamos dois alto-falantes, A e B, 
que emitem sons de mesma amplitude e mesma 
frequência f = 170 Hz, numa região em que a 
velocidade do som no ar é v = 340 m/s. 
6,0 m
4,5 m
A B
P
Determine o tipo de interferência ocorrida no 
ponto P, nos seguintes casos: 
a) os alto-falantes emitem em fase;
b) os alto-falantes emitem em oposição de fase.
77. Duas fontes sonoras, X e Y, emitem em fase sons 
de mesma amplitude A e mesmo comprimento de 
onda λ = 8 m.
X
3,6 m 7,6 m
P Y
A amplitude da onda no ponto P será aproxima-
damente igual a: 
a) 2A b) A c) 0 d) 
A
2
 e) A 2
78. Na figura representamos uma pessoa que rece-
be ondas sonoras de duas fontes, F
1
 e F
2
, cujas 
frequências são f
1
 = 432 Hz e f
2
 = 428 Hz. 
Determine: 
a) a frequência da onda ouvida pela pessoa;
b) a frequência dos batimentos percebidos pela 
pessoa.
Resolução:
a) f = 
f
1
 + f
2
2
 = 
432 Hz + 428 Hz
2
 ⇒ f = 430 Hz 
b) f
b
 = f
1
 – f
2
 = 432 Hz – 428 Hz ⇒ f
b
 = 4 Hz 
F
1
F
2
d
Z
a
p
t
Z
a
p
t
Z
a
p
t
L
u
iZ
 a
u
g
u
s
t
o
 R
ib
e
iR
o