Tópicos de Física 2 - Parte 2-037-039

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307TÓPICO 2 | ONDAS
1a Lei da Refração
O raio incidente, a normal à fronteira no ponto de incidência e o raio refrata-
do estão contidos no mesmo plano (são coplanares).
2a Lei da Refração
Também denominada Lei de Snell, a 2a Lei da Refração é expressa pela relação:
(As grandezas u1, u2, v1, v2, l1 e l1 estão indicadas na figura esquemática e 
simplificada da refração.)
O matemático holandês Willebrord Snell (1581-1626) descobriu experimental-
mente a veracidade da relação existente entre os ângulos de incidência e de re-
fração. Em sua homenagem, essa relação matemática recebeu a denominação 
de Lei de Snell.
Demonstra•‹o da Lei de Snell
Na figura da página anterior, você observou que a distância PQ é percorrida 
com velocidade v1 durante o mesmo intervalo de tempo Dt em que a distância RS 
é percorrida com velocidade v2 (v2 , v1).
No triângulo retângulo PQR, temos:
u 5 5
D
sen
PQ
RQ
v t
RQ1
1 (I)
No triângulo retângulo RQS, temos:
u 5 5
D
sen
RS
RQ
v t
RQ2
2 (II)
Dividindo membro a membro a expressão (I) pela expressão (II), vem:
u
u
5
sen
sen
v
v
1
2
1
2
 (III)
Lembrando que a frequência (f) é a mesma nos dois meios, temos:
5
l
l
5
l
l
v
v
f
f
1
2
1
2
1
2
 (IV)
Reunindo os resultados (III) e (IV), chegamos à expressão da Lei de Snell, 
apresentada anteriormente:
NOTA!
A incidência de raios perpendiculares à fron-
teira que separa as duas regiões é um caso 
particular de refração em que não ocorre des-
vio na propagação da onda, já que, nesse caso, 
todos os pontos da frente de onda sofrem mu-
dança de velocidade simultaneamente.
sen
sen
v
v
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2
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2
1
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B
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corda A corda B fronteira
pulso incidente
na fronteira
v
A
d
B
 > d
A
fronteira
pulso refletido
pulso
refratadovA
v
B
fronteira
pulso incidente
na fronteira
corda A corda B 
d
B
 < d
A
v
A
pulso refletido pulso refratado
v
A
v
B
308 UNIDADE 2 | ONDULATîRIA
12. Refração e reflexão de ondas transversais 
em cordas
A refração e a reflexão de ondas transversais em cordas tensas podem ser facil-
mente visualizadas e também obedecem às regras básicas da refração e da reflexão.
Considere duas cordas de densidades lineares diferentes emendadas. Como 
primeira hipótese, suponha que a densidade linear da corda B seja maior que a 
da corda A.
Um pulso gerado na corda A propaga-se e incide na fronteira 
entre A e B. Nesse local, parte da energia do pulso incidente trans-
mite-se (sofre refração), passando a propagar-se na corda B. Note 
que o pulso refratado está sempre em fase com o pulso incidente, 
isto é, ambos os pulsos estão “voltados para cima”.
Quando um pulso propaga-se em uma corda A e encontra a fronteira de sepa-
ração dessa corda com outra corda B, sendo a densidade linear da A menor do 
que a da B, ela refrata (passa em parte para a corda B) e reflete (voltando em 
parte para a corda inicial). A parte refletida volta em oposição de fase em relação 
ao pulso incidente. Isso ocorre devido à inércia da corda B ser maior do que a da 
corda A. Quando o pulso incidente tenta elevar a corda B para cima, a reação para 
baixo da corda B resultará em um efeito maior do que a ação para cima da corda 
A. Isso ocorre porque a densidade linear da corda A é menor, fazendo com que 
sua inércia de movimento seja menor. A corda A responde mais prontamente à 
reação da corda B. Observe que as forças de ação e reação nas cordas B e A 
possuem mesma intensidade (3a Lei de Newton), no entanto, a diferença de den-
sidade das cordas fará com que o resultado seja diferente.
A velocidade do pulso incidente e a velocidade do pulso refletido 
têm a mesma intensidade (os pulsos percorrem o mesmo meio). O 
pulso refratado na corda B tem velocidade de menor intensidade, já 
que a corda B tem densidade linear maior. Usando a Fórmula de 
Taylor v
F



5
d
, se dB . dA e a força tensora tem a mesma intensi-
dade nas duas cordas, podemos concluir que vB , vA.
Como segunda hipótese, suponha que a corda B tenha menor 
densidade linear que a corda A. Assim, obtemos:
Como sempre, o pulso refratado está em fase com o pulso incidente 
e sua velocidade é, agora, maior que a do pulso incidente, pois dB . dA. 
Note que, nesse caso, o pulso refletido também está em fase com o 
pulso incidente.
C
J
T
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p
t/
A
rq
u
iv
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 d
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 e
d
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o
ra
Até debaixo da água?
Essa interessante fotografia mostra um homem falando ao telefone celular... 
debaixo da água! Tal situação não é recomendável, já que a água poderia danificar 
o aparelho. No entanto, fisicamente isso poderia ocorrer. As ondas eletromagné-
ticas recebidas e emitidas pelo celular passam do ar para o interior da água e da 
água para o ar através da refração. Nesse fenômeno a frequência das ondas não 
se altera. O que muda é sua velocidade de propagação e seu comprimento.
JÁ PENSOU NISTO?
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309TÓPICO 2 | ONDAS
Nível 1Exercícios
 57. 
incidente
v
refletida
v
Um pulso, em uma corda de extremidade fixa, ao 
refletir, sofre inversão de fase. Observe a figura 
acima. O fato de ocorrer inversão na fase do pul-
so está ligado à/ao:
a) 1a Lei de Newton.
b) Princípio da Conservação da Energia.
c) 3a Lei de Newton.
d) Princípio da Conservação da Quantidade de 
Movimento.
e) Lei de Coulomb.
 58. Uma corda horizontal tem uma de suas extremida-
des fixa a uma parede. Na extremidade livre, pro-
duz-se um pulso, que se propaga ao longo da corda:
Qual o aspecto da corda logo após a reflexão do 
pulso na extremidade fixa?
 59. Uma corda horizontal tem suas duas extremida-
des livres. Numa delas, produz-se um pulso que 
se propaga ao longo da corda:
Qual o aspecto da corda logo após a reflexão do 
pulso na outra extremidade?
 60. Uma corda AB, de comprimento L 5 10 m, 
tem ambas as extremidades fixas. No instan-
te t 5 0, o pulso triangular esquematizado a 
seguir inicia-se em A, atingindo o ponto P no 
instante t 5 4 s. Sendo AP 5 8 m, determine 
a velocidade de propagação do pulso e o per-
fil da corda no instante t 5 7 s.
E.R.
0
A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BP
 Resolução:
A velocidade de propagação de um pulso que 
se propaga num meio homogêneo pode ser 
calculada pela relação:
5
D
v
d
t
em que d é a distância percorrida.
Como, no caso, d 5 8 m e Dt 5 4 s, temos:
5v
8 m
4 s
 [ v 5 2 m/s
Assim, até o instante t 5 7 s, o pulso terá 
percorrido:
d 5 vDt ⇒ d 5 2 ? 7 [ d 5 14 m
Como a corda tem apenas 10 m, conclui-se 
que o pulso refletiu em B, com inversão de 
fase (já que essa extremidade está fixa), e 
percorreu mais 4 m de volta, propagando-se 
de B para A. Portanto, o perfil da corda no 
instante t 5 7 s é:
0
A
1 2 3 4 5 6 87 9 10
B
 61. Um pulso triangular é produzido na extremidade 
A de uma corda AB, de comprimento L 5 5,0 m, 
cuja outra extremidade B é livre. Inicialmente, o 
pulso se propaga de A para B com velocidade 
constante v. A figura a representa o perfil da corda 
no instante t segundos e a figura b, o perfil da 
corda no instante (t 1 7) segundos.
A
1 2 3 4 5
B
A
figura a
figura b
1 2 3 4 5
B
Determine a velocidade (v) de propagação da 
onda, admitindo que a configuração de b esteja 
ocorrendo pela primeira vez após o instante t.
B
a
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