Tópicos de Física 3 - Parte 2-235-237

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537TÓPICO 2 | INTRODUÇÃO À FÍSICA QUÂNTICA
O raio de Bohr
Vimos que há órbitas estáveis, estados estacionários, para os quais o elétron 
não emite radiação. A partir dos postulados do modelo atômico de Bohr, é possí-
vel mostrar que, para o átomo de hidrogênio ou íons com apenas um elétron, o 
raio dessas órbitas é dado por:
em que n é o número quântico principal e r0 é o raio correspondente ao estado 
fundamental (n 5 1). O Apêndice deste tópico apresenta um cálculo detalhado 
para a obtenção dessa expressão. A constante r0, também chamada de raio de 
Bohr, é utilizada para indicar distâncias em escalas atômicas.
NOTA!
Ao estudar o átomo de 
hidrogênio utilizando os 
resultados da Física Quân-
tica, chegou-se à conclu-
são de que o raio de Bohr 
não corresponde ao raio 
da órbita do elétron, mas 
à posição em que a pro-
babilidade de encontrá-lo 
é maior.
Nível 1Exercícios
 1. Muitos conceitos em Física estão em constante 
evolução e aprimoramento. O surgimento de no-
vas técnicas experimentais e inovações tecnoló-
gicas permitem ao homem testar, confrontar, 
confirmar e refutar modelos.
A ilustração a seguir nos mostra, por meio de 
imagens, uma breve história dos modelos atômi-
cos e o nome de seus respectivos mentores.
1
1
2
2
2
21
1
1
Bohr (1913)
Schrödinger (1926)
Rutherford (1911)
Thompson (1904)
Dalton (1803)
De modo sucinto, faça um comentário sobre cada 
modelo atômico e sua ideia central.
 2. Em um átomo de hidrogênio, calcule a frequên-
cia do fóton emitido quando um elétron faz a 
transição desde uma órbita correspondente a 
n 5 4 até seu estado fundamental.
Dado: R 5 1,098 ? 107 m21 (Constante de Rydberg).
E.R.
 3. Qual a energia necessária para ionizarmos um 
átomo de hidrogênio? Observe que nessa situação 
o elétron do átomo de hidrogênio é removido do 
átomo, ou seja, é equivalente a passar do estado 
fundamental n 5 1 para um nível em que n tende 
ao infinito. Dê a resposta em eV.
 4. (ITA-SP) Um átomo de hidrogênio emite um fóton 
de energia 2,55 eV na transição entre dois estados 
estacionários. A razão entre as velocidades dos 
elétrons nesses dois estados é 1/2. Determine a 
energia potencial do elétron no estado final desse 
átomo, sabendo que a energia total no estado n é 
En 5 213,6/n
2 eV e o raio é r 5 n2 rB, em que rB é o 
raio de Bohr e n 5 1, 2, 3, ... .
 Resolução:
O modelo de Bohr nos permite obter uma ex-
pressão que relaciona o comprimento de onda 
l das radiações absorvidas ou emitidas por 
uma substância com os trânsitos do elétron 
entre as órbitas diferentes que lhe são per-
mitidas. Assim:
l
5 2






1
R
1
n
1
n1
2
2
2
l
5 ?
1
1,098 107 2




1
1
1
42 2
l 5 9,7 ? 1028 m
Da equação fundamental v 5 lf, vem:
3 ? 108 5 9,7 ? 1028 ? f
f > 3,2 ? 1015 Hz
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
rn 5 n
2 r0 n 5 1, 2, 3, ...
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538 UNIDADE 4 | FÍSICA MODERNA
 5. (OPF) Um elétron de um átomo de hidrogênio, ao 
passar de um estado quântico para outro, emite 
ou absorve fóton. Na figura abaixo, representa-
mos os três primeiros níveis de energia do átomo 
de hidrogênio.
–1,5
–3,4
–13,6
E (eV)
estado fundamental
2º estado excitado
1º estado excitado
Considere três fótons, f
1
, f
2
 e f
3
, com energias 
12,1 eV, 10,2 eV e 8,5 eV, respectivamente. O 
átomo de hidrogênio está no estado fundamen-
tal. Quais fótons (f
1
, f
2
 ou f
3
) poderá o átomo de 
hidrogênio absorver?
 6. (ITA-SP) O diagrama abaixo mostra os níveis de 
energia (n) de um elétron em um certo átomo.
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
I II III IV V
Qual das transições mostradas na figura repre-
senta a emissão de um fóton com o menor com-
primento de onda?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
 7. (UFPI) Um átomo de hidrogênio está em um 
estado excitado com n 5 2, com uma energia 
E2 5 23,4 eV. Ocorre uma transição para o es-
tado n 5 1, com energia E1 5 213,6 eV, e um 
fóton é emitido. A frequência da radiação emi-
tida, em Hz, vale aproximadamente:
Dados: 1 eV 5 1,6 ? 10219 J; h 5 6,63 ? 10234 Js.
a) 2,5 ? 1015
b) 2,0 ? 1015
c) 1,5 ? 1015
d) 1,0 ? 1015
e) 5,0 ? 1014
 8. (UFJF-MG) Segundo o modelo de Bohr, as energias 
dos estados que o elétron pode ocupar no átomo 
de hidrogênio são dadas aproximadamente por 
52E
K
n
n 2
, em que K 5 13,6 eV e n é um número 
inteiro positivo (n 5 1, 2, 3...). O eV (elétron-volt) 
é uma unidade de energia utilizada em Física atô-
mica que corresponde à energia adquirida por um 
elétron quando acelerado por uma diferença de 
potencial de 1 volt.
Dados: h 5 4,13 ? 10215 eV ? s e c 5 3,0 ? 108 m/s.
E
`
E
5
E
4
E
3
E
2
E
1
5
4
3
2
1
fóton
n
ív
e
is
 d
e
 e
n
e
rg
ia
n
ú
m
e
ro
 q
u
â
n
ti
co
 n
a) Calcule a energia necessária (em eV) para o elé-
tron passar do estado fundamental para o pri-
meiro estado excitado no átomo de hidrogênio.
b) Calcule o comprimento de onda l do fóton emi-
tido, quando o elétron retorna ao estado fun-
damental.
 9. (ITA-SP) A tabela abaixo mostra os níveis de ener-
gia de um átomo do elemento X que se encontra 
no estado gasoso.
E0 0
E1 7,0 eV
E2 13,0 eV
E3 17,4 eV
Ionização 21,4 eV
Dentro das possibilidades a seguir, a energia que 
poderia restar a um elétron com energia de 15,0 eV, 
após colidir com um átomo de X, seria de:
a) 0 eV.
b) 4,4 eV.
c) 16,0 eV.
d) 2,0 eV.
e) 14,0 eV.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
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R
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iv
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 d
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 e
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it
o
ra
Exercícios Nível 2
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539TÓPICO 2 | INTRODUÇÃO À FÍSICA QUÂNTICA
3. A dualidade onda-partícula – 
A Hipótese de De Broglie
Louis de Broglie (1892-1987) se formou em História, mas a presença cons-
tante nas palestras de Poincaré, bem como as discussões sobre assuntos cien-
tíficos com seu irmão Maurice, físico, levaram-no ao caminho da Física, carrei-
ra que abraçaria com brilhantismo. Sua tese de doutorado ficaria marcada na 
história por uma surpreendente proposição que reconciliou os conceitos de onda 
e partícula.
Sabemos que existe na Física, ou, de maneira mais geral, no pensamento 
científico, a busca por simetrias. Lembremo-nos do questionamento de Faraday: 
se correntes elétricas geram campos magnéticos, poderiam correntes elétricas 
serem geradas pela ação de campos magnéticos?
Foi seguindo esta linha de pensamento que Louis de Broglie formula sua 
hipótese: assim como a luz tem um caráter dual, ou seja, a luz se comporta como 
partícula (fótons) ou como onda (radiação eletromagnética), não seria possível 
também que partículas (como os elétrons) tivessem esse comportamento duplo, 
ora como partículas, ora como ondas?
Para substanciar matematicamente essa suposição, De Broglie foi buscar a 
solução nos trabalhos de Planck e de Einstein, relacionando a energia de um 
fóton, obtida pela Equação de Planck, com a energia relativística para a massa, 
segundo Einstein, assim:
E 5 h f (Planck)
E 5 m c2 (Einstein)
Igualando as expressões, vem:
h f 5 m c2
Desenvolvendo-a, obtemos o seguinte resultado:
l
5
l
5⇒h
c
m c
h
m c2
Assim, a quantidade de movimento ou momento linear (Q 5 mc), pode ser 
escrita na forma:
5
l
Q
h
O Princípio de De Broglie propõe a generalização dessa relação para qualquer 
partícula:
Bloco 2
Toda partícula material em movimento, com quantidade de movimento (Q), tem 
associada a ela uma onda cujo comprimento de onda (l) pode ser determinado por:
l 5
h
Q
Em 1927, nos laboratórios Bell, nos Estados Unidos, os físicos Davisson e 
Germer realizaram um experimento no qual constataram que elétrons poderiam 
sofrer difração. O fenômeno da difração era considerado, até então, como exclu-
sivo das ondas. Essa experiência dava suporte e validava a Hipótese de De Broglie. 
Veremos em seguida esse experimentocom mais detalhes.
NOTA!
Nas equações ao lado, 
h é a Constante de Planck, 
f é a frequência do fóton, 
m a massa do corpo, c a 
velocidade da luz no vácuo 
e E a energia.
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