3 - BALANÇOS GLOBAIS

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
BALANÇOS GLOBAISBALANÇOS GLOBAIS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
Revisor : Mar io Ca l le f i
IN IC IAR
introdução
Introdução
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, vamos aprender sobre os balanços globais de energia,
determinando se um �uido está fornecendo ou recebendo trabalho, caso das máquinas e
turbinas. Além disso, vamos deduzir a famosa equação de Bernoulli, que, segundo
especialistas, é uma das mais utilizadas em fenômenos de transporte até hoje.
No capítulo 2, estudaremos o Teorema de Reynolds para relacionar volumes de controle
com superfícies de controle, assim, poderemos utilizar uma massa �xa ou um volume de
controle na resolução de problemas.
No capítulo 3, abordaremos o Teorema de Reynolds para entender os escoamentos com
múltiplas entradas e saídas, assim, podemos analisar as tubulações instaladas na maioria
das aplicações técnicas.
Finalmente, na última parte, faremos a análise dimensional, outra maneira de resolver os
problemas em fenômenos de transporte.
Na dinâmica dos �uidos, estudam-se seus movimentos. Para compreendermos esses
movimentos, precisamos considerar as leis fundamentais que modelam o movimento das
partículas dos �uidos. Começaremos estudando a força e a aceleração.
Segunda Lei de Newton
Quando um �uido escoa, ocorre uma aceleração ou uma desaceleração em suas partículas.
Pela Segunda Lei de Newton, temos que “a força líquida que atua na partícula �uida que
estamos considerando precisa ser igual ao produto de sua massa pela sua aceleração”
(MUNSON, 2004, p. 89), ou seja:
F = m . a (1)
Primeiramente, estudaremos os escoamentos com viscosidade nula, isto é, a
condutibilidade térmica do �uido também é nula.
Considerando que o movimento dos �uidos é devido à força gravitacional e à pressão
exercida sobre ele, ainda de acordo com Munson e colaboradores (2004, p. 89), podemos
reescrever a Segunda Lei de Newton como:
(Força líquida na partícula devido à pressão) + (Força na partícula devido à gravidade) =
(massa da partícula x aceleração)                                                                                            (2)
Esta é uma das mais importantes análises feitas em fenômenos de transporte: a análise
entre as forças gravitacionais, a aceleração da partícula e o campo de pressão.
Equação de BernoulliEquação de Bernoulli
Nossa primeira análise da equação (2) será bidimensional, nas direções (x e z), ou seja, o
movimento da partícula será descrito pelo vetor velocidade, que pode ser de�nido como a
taxa de variação temporal da posição da partícula.
Estamos representando a trajetória de uma partícula na Figura 3.1. A localização da
partícula ao longo do eixo x - z é função do local ocupado por ela no instante inicial e de sua
velocidade ao longo da trajetória.
Quando o �uido está escoando em regime permanente, toda partícula �uida escoa ao
longo de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente à trajetória. Também
podemos descrever o escoamento em função das coordenadas da linha de corrente
(MUNSON, 2004, p. 89), conforme a Figura 3.1, item b.
O movimento da partícula será descrito em função da distância, dada por s = s (t), que pode
ser medida ao longo da linha de corrente (adotando uma origem) com um raio de curvatura
local dado por .
Como a aceleração é a taxa de variação da velocidade sobre o tempo, dado pela fórmula a =
d V /dt (a indicação da velocidade em negrito quer dizer que estamos nos referindo ao
vetor velocidade) no eixo de coordenadas x - y, essa aceleração terá dois componentes:
um ao longo da linha de corrente, dado por 
Figura 3.1 - a) Escoamento do plano x - z. b) Descrição do escoamento utilizando as
coordenadas de linhas de corrente
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 90).
R =  R (s)
as
outro normal na linha de corrente, dado por 
A aceleração na coordenada s será dada por:
                                                                                                     (3)
Onde s é a distância medida ao longo da linha de corrente considerando um ponto inicial.
A aceleração normal será a aceleração centrífuga, dada em função da velocidade da
partícula e do raio de curvatura da trajetória. Logo:
                                                                                                                                                (4)
Onde R é o raio de curvatura local da linha de corrente.
Segunda Lei de Newton ao Longo de uma
Linha de Corrente
Considerando a Figura 3.2, em que é mostrado o diagrama de corpo livre de uma partícula
retirada do ar em torno de um avião, temos que a dimensão dessa partícula na direção
normal será dada por δy. Se o regime de escoamento for permanente, teremos:
 = m . as = m V = V = Volume V 
Onde V é a velocidade, representa a soma dos componentes das forças que atuam
na partícula na direção . A massa da partícula é m = Volume, e V é a aceleração
da partícula na direção . Podemos escrever o volume da partícula como Volume = s n
y.
an
  =   =   ( ) =  V  as dVdt
dV
ds
ds
dt
dV
ds
  =  an
V 2
R
δ∑ Fs δ δ dVds ρ
dV
ds
ρδ dV
ds
δ∑ Fs
ŝ δ ρδ dV
ds
ŝ δ δ δ
δ
A força gravitacional pode ser escrita como W = Volume, onde = g é o peso
especí�co do �uido (N/m3). Logo, a componente da força peso na direção da linha de
corrente pode ser reescrita como:
Ws = - W sen = - Volume sen                                                            (6)
A força de pressão também pode ser reescrita como:
Fps = - Volume                                                                     (7)
O gradiente de pressão p = + é o responsável pela força líquida que atua na
partícula.
Assim, a força líquida que atua sobre a partícula representada pelo diagrama de corpo livre,
conforme está representado na Figura 3.3, é dada por:
 = Ws + Fps = Volume                                           (8)
Figura 3.2 - Remoção de uma partícula de um �uido do campo de escoamento
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 90).
δ γδ γ ρ
δ δ θ γ δ θ
δ δ
dp
ds
 
dp
ds
ŝ
dp
dn
n̂
δ∑ Fs δ δ (−γ sen θ  −   ) δdpds
Figura: 3.3 - Diagrama de corpo livre para uma partícula �uida
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 92).
Combinando as equações (8) e (5) nós teremos a equação do movimento ao longo de uma
linha de corrente que é dada por:
- sen - = V = as                                                               (9)
Essa equação pode ser interpretada por “a variação da velocidade da partícula é provocada
por uma combinação adequada do gradiente de pressão com a componente peso da
partícula na direção da linha de corrente” (MUNSON, 2004, p. 93).
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma relação entre pressão, energia cinética e energia potencial
muito utilizada em fenômenos de transporte para escoamentos com líquidos
incompressíveis, como a água.
As hipóteses simpli�cadoras, de acordo com Brunetti (2008, p. 87), que devemos considerar
para podermos aplicar a equação de Bernoulli são:
1. Propriedades uniformes na seção, ou seja, não variam ponto a ponto na área da
seção;
γ θ
dp
ds
ρ  dV
ds
ρ
2. Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito com a parede da
tubulação;
3. Fluido incompressível, ou seja, não há variação de massa especí�ca;
4. Energia térmica desprezível, ou seja, não há trocas de calor;
5. Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo;
6. Regime permanente.
Estudaremos um tubo de corrente com um �uido escoando do ponto 1 para o ponto 2,
conforme a Figura 3.4. Uma massa passará por esse tubo. A energia acrescentada ao
�uido com massa será
 = . g. + +                                                                                 (10)
Na seção 2, uma massa \(\text{d}_{m2} do �uido que pertencia ao trecho (1) - (2) escoa para
fora, levando a energia \(\text{d}_{E2} dada por:
 = . g. + +(11)
As hipóteses consideradas no início do estudo para obtermos a equação de Bernoulli 2, 4 e
5 garantem que nesse trecho da tubulação não houve trocas de calor, então =   ,
ou:
 .g. + + = = .g. + + 
                                                                                                                                                     (12)
Temos que = e que dV=                                                                                  (13)
dm1
dm1
_dE1 dm1 h1
d . m1 v21
2
p1 dV1
Figura 3.4 - Tubo de corrente para estudo da Equação de Bernoulli
Fonte: Denis Barbulat / 123RF.
dE2 dm2 h2
d . m2 v22
2
p2 dV2
dE1 dE2
dm1 h1
d . m1 v21
2
p1 dV1 dE2 dm2 h2
d . m2 v22
2
p2
dV2
ρ dm
dV
dm
ρ
Substituindo a equação (3.12) na equação (3.11), obtemos:
 . g. + + = = . g. + + 
                                                                                                                                                                (14
Como o �uido é incompressível 1 = 2 e como o regime é permanente   dm1 = dm2,
portanto, a equação (3.13) �cará igual a:
g. h1 + + = g. h2 + +                                                                                           (15)
Agora, vamos dividir a equação (15) por g e nos lembrar de que = . g, para obtermos:
h1 + + = g. h2 + +                                                                                            (16)
A equação (16) é a famosa equação de Bernoulli que nos permite relacionar cotas (altura),
velocidades e pressões em duas seções de um tubo, onde há um escoamento de um �uido.
Abaixo indicaremos separadamente o signi�cado de cada termo da equação (16), de acordo
com Brunetti (2008, p. 89):
1. z = h = = - energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de
uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação é também chamada de
carga potencial;
2. = = = - energia cinética por unidade de peso ou energia
cinética de uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação também é
chamada de carga da velocidade ou carga cinética;
3. = = = - energia de pressão por unidade de peso ou energia de
pressão da partícula de peso unitário. Essa parte da equação é chamada de carga
de pressão.
Como z é uma cota (altura, é dado em metros), logo , assim como também devem
ser medidos em m.
A energia total (representada pela letra H) por unidade de peso pode ser calculada por:
H = + + z                                                                                            (17)
O enunciado dessa equação pode ser de�nido como “se, entre duas seções do escoamento,
o �uido for incompressível, sem atritos, e o regime, permanente, se não houver máquina
nem trocas de calor, então, as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção,
não havendo nem ganhos nem perdas de carga” (BRUNETTI, 2008, p. 89).
dm1 h1
d . m1 v21
2
p1
ρ1
dm1 dE2 dm2 h2
d . m2 v22
2
p2
ρ2
dm2
ρ ρ
v21
2
p1
ρ1
v22
2
p2
ρ2
γ ρ
v2
1
2 . g
p1
γ
v2
2
2 . g
p2
γ
m. g.h
m. g
Ep
G
v2
2 . g
m  . v2
2 . g . m
m  . v2
2 . G
Ec
G
p
γ
. Vp
γ . V
. Vp
G
Epr
G
v2
2 . g
p
γ
p
γ
v2
2 . g
Se a energia total tiver sinal positivo, o escoamento estará recebendo trabalho, ou seja, o
sistema se comporta como uma bomba. Já se H for negativo, o sistema estará fornecendo
energia, ou seja, o escoamento estará exercendo a função de uma turbina hidráulica.
praticar
Vamos Praticar
Na �gura a seguir, vemos um reservatório de grandes dimensões fornecendo água para o tanque
indicado com uma vazão de 10 l/s. Queremos fazer um estudo da função da máquina
representada pela letra M na �gura a seguir e de sua energia total. Dados água = ,
Atubos = 10 e g = 9,81 .
a) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 10 m.
b) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 10 m.
c) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 20 m
d) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 20 m.
γ 104 N/m3
cm2 m/s2
Brunetti (2008, p. 94).
Sobre essa máquina e sua energia total, podemos a�rmar que:
e) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 5 m.
Podemos de�nir trabalho, segundo Livi (2017, p. 98), como o produto escalar de uma força
aplicada sobre um �uido multiplicado pelo deslocamento que essa força provoca.
W = F . dS (18)
Agora, podemos calcular a taxa de trabalho realizada no tempo:
 = = F . V (19)
Onde V é a velocidade de escoamento do �uido. Observação: podemos representar os
vetores de duas maneiras: e F .
A Segunda Lei de Newton a�rma que a força F exercida pela vizinhança sobre o volume de
controle, de forma que o �uido escoa através da superfície de controle, exerce uma força ( -
F ) sobre a vizinhança, resultando, ainda segundo Livi (2017, p. 98), que a taxa de trabalho
realizada pelo �uido pelas tensões normais n em um elemento de área dA da superfície
de controle será dada por:
= - . = - n d                                                                    (20)
Teorema de TransporteTeorema de Transporte
de Reynolds Aplicado àde Reynolds Aplicado à
Lei de Conservação deLei de Conservação de
Quantidade deQuantidade de
MovimentoMovimento
δ
δW
dt
 . F
−
ds−−
dt
F
−
σ
δWf
dt
F
−
V
−
σ A
−
V
−
Agora, podemos calcular a potência de escoamento que é de�nida como a taxa de trabalho
realizado pelas forças devidas às tensões normais considerando toda a superfície de
controle:
= - nd = - - n( . ) dA                                 (21)
A pressão é a componente da tensão normal n, sendo que
n = - p                                                            (22)
Agora, podemos reescrever a equação (21) por
=   p ( dA                                               (23)
A potência resultante será dada por:
= + p ( dA +                                                 (24)
Analisemos a equação (25):
- = dA + dvol                            (25)
Que é uma expressão da Primeira Lei da Termodinâmica em relação a um volume de
controle, pode ser reescrita por:
- - p ( dA = e ( dA + e d                  (26)
Onde é a energia total especí�ca (por unidade de massa) do sistema e é o menor
volume, em torno de um ponto. Ou
- = ( dA + e d                              (27)
Essa equação é conhecida como equação de energia porque ela fornece um balanço global
da energia para um volume considerado (LIVI, 2017).
Teorema de Transporte de Reynolds
Aplicado à Lei de Conservação de
Quantidade de Movimento
δWescoamento
dt
∫ ∫
S.C.
σ A
−
V
−
∫ ∫
S.C.
σ V
−
n
−
σ
σ
δWescoamento
dt
∫ ∫
S.C.
)V
−
n
−
δW
dt
δWeixo
dt
∫ ∫
S.C.
)V
−
n
−
δWμ
dt
δQ
dt
δW
dt
e ρ (  .   )∫ ∫
S.C.
V
−
n
−
e ρd
dt
∫ ∫ ∫
V .C.
δQ
dt
δWeixo
dt
∫ ∫
S.C.
)V
−
n
−
∫ ∫
S.C.
ρ )V
−
n
−
d
dt
∫ ∫ ∫
V .C.
ρ vol
e vol
δQ
dt
δWeixo
dt
(e  +   )ρ∫ ∫
S.C.
p
ρ
)V
−
n
−
d
dt
∫ ∫ ∫
V .C.
ρ vol
Considerando um volume de controle estacionário e localizado entre a tubulação entre as
seções (1) e (2) da Figura 3.5, vamos analisar o �uido que ocupa o volume de controle no
instante t. O sistema está se deslocando para a direita um instante depois, dado por t + t.
O �uido está se deslocando com uma velocidade v.
A Figura 3.5 ilustra o escoamento nos instantes t - volume I + CV e no instante   t + t, o
volume é dado por volume II + CV - I.
Se B é um parâmetro do sistema, o volume associado a esse parâmetro para o sistema no
instante t é dado por:
Bsist (t) = Bvc (t)                                                                   (28)
Ou seja, o sistema e o �uido contido no volume de controle no instante t são os mesmos.
Agora, no instante t + t, o parâmetro B será dada por:
Bsis (t + t) = Bvc (t + t) - BI (t + t) + BII (t + t)                          (29)
E a variação da quantidade de B no sistema no intervalo de tempo t dividido por esse
intervalo de tempo será:
δ
Figura 3.5 - Volume de controle e sistema para o escoamento em uma tubulação com seção
transversal variável
Fonte: Munson, Younge Okiishi (2004, p. 166).
δ
δ
δ δ δ δ
δ
= =                         (30)
No instante inicial Bsis (t) = Bvc (t). Então, temos:
= - +                                        (31)
No limite em que t 0, o primeiro termo do lado direito da equação (31) representa a
taxa de variação temporal da quantidade B no volume de controle.
= =                                      (32)
O terceiro termo do lado direito da equação (32) representa a taxa com que o parâmetro
extensivo B escoa do volume de controle através da superfície de controle, representada
pelo número II (romano) na Figura 3.6.
Então,
BII (t + t) = = 2 b2 A2 V2 t                             (33)
Onde 2 b2 são os valores de e b na seção II (que são constantes). Então, a taxa com que
a propriedade b escoa do volume de controle Bs será:
Bs = = 2 b2 A2 V2                                               (34)
Temos o mesmo resultado no lado I, ou seja,
BI (t + t) = 1 b1 A1 V1 t                                                          (35)
Onde 1 b1 também são valores constantes de e b na seção I. De modo análogo:
Be = = 1 b1 A1 V1                                           (36)
Agora, vamos juntar as equações (300) a (36) para que possamos encontrar a taxa de
variação no tempo de B para o sistema e para o volume de controle:
= + Bs - Be                                                          (37)
= 2 b2 A2 V2 - 1 b1 A1 V1                                           (38)
Essa é a equação de transporte de Reynolds para um escoamento com uma entrada
(alimentação) e uma saída (descarga). É importante ressaltar que a taxa de alimentação ( 2
b2 A2 V2) e a taxa de descarga ( 1 b1 A1 V1) não precisam ser iguais no volume de controle.
δBsis
δt
(t + δt) −  (t ) Bsis Bsis
δt
(t + δt) −   (t + δt)  +  (t + δt) −  (t )   Bvc BI BII Bsis
δt
δBsis
δt
(t + δt) −  (t ) Bvc Bvc
δt
(t + δt) BI
δt
(t + δt) BII
δt
δ →
lim
δt → 0 
(t + δt) −  (t ) Bvc Bvc
δt
dBvc
dt
d( ρ b dvol)∫vc
dt
δ (   ) (δ vo )ρ2 b2 lII ρ δ
ρ ρ
lim
δt → 0 
(t + δt) BII
δt
ρ
δ ρ δ
ρ ρ
lim
δt → 0 
(t + δt) BI
δt
ρ
DBsis
Dt
dBsis
dt
DBsis
Dt
ρdBsis
dt
ρ
ρ
ρ
praticar
Vamos Praticar
Um motor trabalhando em regime permanente fornece 30 HP, equivalentes a 22,40 kW, a uma
bomba para bombear água à taxa de 0,04 , conforme está ilustrado na �gura a seguir. O
diâmetro da entrada é de 15 cm e o de saída é de 12,5 cm. Considera-se que a entrada e a saída da
bomba estejam na mesma elevação e, ainda, que o escoamento possa ser considerado uniforme
através da entrada e da saída e desconsiderando os termos que envolvam as trocas de calor ou
variações de energia interna.
Figura 3.6 - Sistema motor - bomba
Fonte: Braga Filho (2012, p. 87).
O aumento na pressão d’água será um número:
a) entre 0 e 200 kPa.
b) entre 201 e 400 kPa.
c) entre 201 e 400 kPa.
d) entre 401 e 600 kPA.
e) entre 601 e 800 kPa.
/sm3
A Primeira Lei da Termodinâmica nos diz que:
Quando escrevemos essa lei na forma matemática, temos:
Balanços Globais:Balanços Globais:
Balanço Global deBalanço Global de
Quantidade deQuantidade de
MovimentoMovimento
Fonte: Munson (2004, p. 223)
dVol = =
(Equação 3.38)
Ou seja, segundo Munson (2004), a energia total por unidade de massa (energia total
especí�ca) está relacionada com a energia interna especí�ca u, com a energia cinética por
unidade de massa e com a energia potencial por unidade de massa, dada por g . z
pela equação:
 = u + + g z                                                                          (40)
Vamos analisar mais profundamente, de acordo com Munson (2004), a equação da energia
para escoamentos em regime permanente em média, dada por:
m = Qliq.e +
Wliq.e                 (41)
Quando essa equação é aplicada a um escoamento em regime permanente, a equação
resultante é:
m = Qliq.e              (42)
A diferença entre as equações (41) e (42) é o termo Wliq.e, que representa a potência no
eixo que, nesse caso, é nulo em todas as equações. Se o escoamento for incompressível, a
equação (42) pode ser simpli�cada por:
+ + g zs = + + g ze - (us - ue - qliq.e)                                         (43)
Sendo que:
qliq.e =                                                                   (44)
É a taxa de transferência de calor por unidade de massa que escoa no volume de controle.
Se os efeitos do atrito puderem ser desprezados, teremos:
ps + + zs = pe + + ze                                            (45)
Sendo que = g é o peso especí�co do �uido. Agora, vamos dividir a equação (45) pela
massa especí�ca do �uido:
+ + g zs = + + g ze                                                  (46)
Comparando as equações (43) e (46), temos que:
e ρD
Dt
∫
sis
  +  (     −   )∑ Qe ∑ Qsis sis (     −   )∑ We ∑ Wsis sis
(   +  )Qliq.e Qliq.e sis
e
/2V 2
e V
2
2
[   −     +   −     +     +  g (   −   ]us ue ( )pρ s ( )
p
ρ e
 − V 2s V
2
e
2
zs ze
[   −     +   −     +     +  g (   −   ]us ue ( )pρ s ( )
p
ρ e
 − V 2s V
2
e
2
zs ze
ps
ρ
 V 2s
2
pe
ρ
 V 2e
2
Qliq.e
m
ρ   V 2s
2
γ
ρ   V 2e
2
γ
γ ρ
ps
ρ
 V 2s
2
pe
ρ
 V 2e
2
us - ue - qliq.e = 0                                                                    (47)
Para escoamentos permanentes, incompressível e sem atrito. Logo,
us - ue - qliq.e> 0                                                                      (48)
Nos escoamentos incompressíveis, permanentes e com atrito. Logo, podemos de�nir,
segundo Munson (2004), a equação (48) como a perda do nosso sistema, ou seja:
+ + g zs = + + g ze - perda                                       (49)
Teorema de Transporte de Reynolds
Aplicado à Lei de Conservação de
Quantidade de Movimento
Agora, vamos estudar um campo de escoamento com várias entradas e saídas
representados pela Figura 3.7. No instante t, temos o �uido contido no volume de controle
delimitado pela superfície não hachurada na �gura. No instante t + t, uma porção de �uido
(região II) saiu do volume de controle e uma quantidade adicional de �uido (região I) entrou
no volume de controle, lembrando que essa quantidade não estava presente no instante
inicial.
ps
ρ
 V 2s
2
pe
ρ
 V 2e
2
δ
Um exemplo de um sistema complexo é mostrado na �gura 3.8, que pode ser a
representação da tubulação de água de uma rua com várias derivações interligando casas e
prédios. Nesta representação temos v e v entrando no volume de controle e v , v , v e v
 saindo (basta seguir o sentido das setas).
Figura 3.7 - Volume de controle e sistema em um escoamento através de um volume de
controle �xo
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 168).
1 2 3 4 5
6
Figura 3.8 - Volume de controle com várias seções de alimentação e descarga
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 168).
O termo B representa a vazão líquida da propriedade B do volume de controle. Seu valor é
o resultado da integração das contribuições de cada elemento. Considerando a área desses
elementos como in�nitesimal, ela pode ser representada por A.
O volume de �uido que passa por cada elemento de área está representado na Figura 3.9 e
é dado por:
vol = ln A                                                                        (50)
Onde ln = l cos é a altura (normal a base A) do pequeno elemento de �uido e é o
ângulo entre o vetor velocidade e a normal que aponta para fora da superfície, . Como l =
V t, a quantidade da propriedade B transportada através do escoamento de área A no
intervalo de tempo t será:
B = b Vol = b (V cos t ) tA                                          (51)
δ
δ δ δ
δ δ θ δ θ
n̂ δ
δ δ
δ
δ ρδ ρ θδ δ
B é transportado através do elemento de área A para fora do volume de controle a uma
taxa de transporte dada por:
Bs = = = b V cos A                        (52)
Agora, vamos integrar a equação (52) em toda a sua porção da superfície de controle que
possui descarga de �uido, SC:
Bs = dBs = b V cos dA                                             (53)
Sendo que V cos é a componente da velocidade nadireção normal à área A, que é dada
pelo produto escalar V . . Agora, temos uma forma alternativa para a equação (53) que é:
Bs = b V . V . dA                                                       (54)
Com o mesmo raciocínio, obtemos para a superfície de controle representada na Figura
3.10:
Be = b V . cos dA = - b V . dA                             (55)
Figura 3.9 - Volume de controle com várias seções de alimentação e descarga
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 169).
δ
δ lim
δt → 0 
ρ b δ Vol 
δt
lim
δt → 0 
(ρ b cos θ δt) δA
δt
ρ θδ
∫
SCs
ρ∫
SCs
θ
θ δ
n̂
ρ∫
SCs
n̂
ρ∫
SCs
θ ρ∫
SCe
n̂
Figura 3.10 - Escoamento em uma região da superfície de controle (alimentação)
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 170).
A convenção normal do versor normal à superfície aponta para a superfície, ou nas regiões
com descarga de �uido temos V . > 0, para - 90º < < 90º e nas regiões com alimentação
de �uido temos V . < 0, para 90º < < 270º, conforme está mostrado na Figura 3.11.
n̂ θ
n̂ θ
Podemos notar que o valor de cos é positivo nas porções da superfície de controle que
possuem descarga e negativo nas regiões com alimentação. E, nas regiões sem alimentação
ou descarga, a V   = V cos = 0, ou seja, o �uido se encontra preso na superfície ou está
escoando ao longo da superfície do volume de controle.
Figura 3.11 - Con�gurações da velocidade em uma região da superfície de controle. a)
alimentação, b) sem escoamento através da superfície e c) descarga do �uido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 171).
θ
n̂ θ
Agora, o �uxo líquido do parâmetro B através da superfície de controle será dado por:
Bs - Be = b V . dA - = b V . dA (56)
Também podemos escrever essa equação como:
= + b V . dA                                           (57)
reflita
Re�ita
Os fenômenos de transporte, apesar de
serem estudados há mais de 200 anos, estão
sendo utilizados em áreas totalmente novas
ultimamente. O entendimento de como os
�uidos se comportam dentro de tubulações
levou os engenheiros a �rmarem uma parceria
para estudarem e entenderem como os
�uidos (sangue e nutrientes) são
transportados dentro do nosso corpo. A área
de atuação para engenheiros junto à medicina
tem crescido vertiginosamente com estudos
para medicamentos que só começarão a agir
no local exato que precisamos até mesmo
órgãos arti�ciais que funcionarão como
bombas ou �ltros (rins e coração), passando
por máquinas que podem �ltrar nosso
sangue, controlar o funcionamento dos órgãos
vitais ou substituírem nosso coração. Os
cientistas acreditam que no futuro seremos
capazes de imprimir em impressoras 3D
órgãos humanos perfeitamente compatíveis
com partes que apresentarem doenças.
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 5).
ρ∫
SCs
n̂ (−  ρb V  .     dA )∫
SCe
n̂ ρ∫
SC
n̂
DBsis
Dt
dBvc
dt
ρ∫
SC
n̂
Como Bvc = b dV, então, a equação (57) �ca sendo:
= b dvol + b V . dA                                    (58)
Essa equação é a forma geral do teorema de transporte de Reynolds para volumes de
controle �xos e não deformáveis.
O lado esquerdo da equação representa a variação temporal de um parâmetro, que pode
ser a variação de massa ou o movimento do sistema. O segundo termo representa a taxa
de variação de B no volume de controle e o último termo representa a vazão líquida do
parâmetro B através de toda a superfície de controle.
praticar
Vamos Praticar
Dois orifícios localizados em uma parede com espessura igual a 120 mm são mostrados na �gura a
seguir. Os orifícios são cilíndricos e o de baixo apresenta uma entrada arredondada. O ambiente
apresenta pressão constante e igual a 1,0 kPa acima do valor atmosférico. A descarga dos dois
orifícios ocorre na atmosfera. Pode ser demonstrado que a perda de energia disponível no orifício
com entrada brusca é igual a onde V2 é a velocidade uniforme da seção de descarga do
orifício superior. Já a perda de energia disponível no escoamento do orifício com entrada
arredondada é igual a , onde V2 também é a velocidade uniforme da seção de descarga do
orifício inferior. Nessas condições, a vazão no orifício de menor perda será um número entre
(BRUNETTI, 2008, p. 109):
ρ∫
SC
DBsis
Dt
ρd
dt
∫
vc
ρ∫
SC
n̂
0,5 V 22
2
0,05 V 22
2
a) Entre 0 e 0,010 m³/s
b) Entre 0,011 e 0,020 m³/s
c) Entre 0,021 e 0,030 m³/s
d) Entre 0,031 e 0,040 m³/s
e) Entre 0,041 e 0,050 m³/s
Figura 3.12 - Sistema com 2 orifícios para entrada de água
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 231).
A maioria dos escoamentos estudados em Fenômenos de Transporte são tridimensionais e
precisam de vários cálculos matemáticos para encontrarmos as   variáveis que queremos
controlar. Por isso, foram desenvolvidos outros métodos envolvendo que possibilitam
produzir modelos matemáticos de acordo com a realidade e mais fáceis de serem
trabalhados matematicamente. Um desses modelos é a análise dimensional.
Ela é uma teoria matemática que, aplicada à Física, e especi�camente à Mecânica dos
Fluidos, permite tirar maiores proveitos dos resultados experimentais, assim como
racionalizar a pesquisa e, portanto, diminuir seus custos e as perdas de tempo. A teoria da
semelhança, ou teoria dos modelos, é baseada em princípios abordados pela análise
dimensional e resolve certos problemas através da análise de modelos convenientes do
fenômeno em estudo (BRUNETTI, 2008).
Grandezas Fundamentais e Derivadas
As grandezas como espaço, tempo, velocidade descrevem os fenômenos físicos. Uma
pesquisa no conjunto de grandezas mostra a existência de somente três grandezas
independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as demais. A escolha em
geral é feita com base no termo FLT (força, comprimento e tempo) ou no MLT (massa,
comprimento e tempo). Com exceção dessas três grandezas, as demais serão derivadas
delas. A equação dimensional relaciona a grandeza escolhida como base e sua derivada.
Análise Dimensional eAnálise Dimensional e
Teoria da SemelhançaTeoria da Semelhança
Sistemas Coerentes de Unidades
A escolha do sistema de unidades é importante. Denominamos Sistema Coerente de
Unidades aquele que de�ne somente as unidades das grandezas fundamentais. Para o
sistema FLT, temos no MKS as seguintes unidades:
L = metro ou unidade de L;
K = kilograma-força ou unidade de F;
S = segundo ou unidade de tempo.
Outras unidades serão produto de potência dessas três. Por exemplo, a massa especí�ca é
dada por:
un MKS = kgf. m-4 . s2 = 
Teorema dos Pi ou Teorema de
Buckingham
O Teorema dos nos diz que: “seja um fenômeno físico em que intervêm n variáveis, x1,
x2, …, xn, interligadas por uma função: f (x1, x2, …, xn) = 0. Pode-se demonstrar que existe
outra função, chamada de ( , , …, ) = 0 rigorosamente equivalente à anterior para o
estudo do fenômeno indicado, onde:
ρ
kgf . s2
m4
saibamais
Saiba mais
Martins nos explica de uma maneira clara e precisa no
vídeo Introdução à análise dimensional os conceitos
introdutórios da análise dimensional.
ASS IST IR
π
Φ π1 π2 πn
os são números adimensionais independentes, construídos por combinações
adequadas das n variáveis ou grandezas que intervêm no fenômeno;
a quantidade de números adimensionais é m = n - r, onde n = número de
grandezas envolvidas no fenômeno e r = número de grandezas fundamentais
contidas nas grandezas do fenômeno (para o nosso caso, sabemos que r 3);
os adimensionais são obtidos por expressões do tipo:
= . … . 
= . … .                                                         (59)
…………………………..
= . … . 
Podemos notar que todos os adimensionais são os mesmos com exceção dos expoentes.
Chamamos esse conjunto de r fatores de base das grandezas dos fenômenos e eles devem
ser independentes.
Grupos Adimensionais Importantes na
Mecânica dos Fluidos
Algumas grandezas aparecem repetitivamente no estudo de Mecânica dos Fluidos. Esse
conjunto é formado por quatro adimensionais, que são:
Número de Reynolds
Número de Euler
Número de Froude
Número de Mach
Número de Reynolds(Re)
O número de Reynolds, representado por Re, é obtido pela fórmula:
Re =                                                               (60)
Onde L é um comprimento característico do escoamento. Vamos denominar:
Fi = m . a como as forças de inércia do escoamento e,
πi
≤
π1 x
α1
1 x
α2
2 x
αr
r x
αr+1
r+1
π2 x
β1
1 x
β2
2 x
βr
r x
βr+1
r+1
πm x
δ1
1 x
δ2
2 x
δr
r x
δr+1
r+1
ρ v L 
μ
F = . A como as forças viscosas. Então, a divisão entre essas duas forças será dada por:
= \                                                                 (61)
Sendo que V L3 e A L3, teremos:
= =                                                         (62)
Então, temos que:
Re =                                                             (63)
Desse modo, provamos que o número de Reynolds é proporcional ao quociente das forças
de inércia e viscosas do escoamento.
Como foi visto, Re < 2.000 caracteriza escoamentos laminares e Re > 2.400, escoamentos
turbulentos, ou seja, as turbulências denotam um domínio das forças de inércia sobre as
viscosas, enquanto, em escoamentos laminares, temos um predomínio das forças viscosas
sobre as inerciais. Essa predominância faz com que o �uido �ua suavemente, sem agito. Em
compensação, quando tivermos valores muito elevados do número de Reynolds, os efeitos
da viscosidade poderão ser desprezados.
Número de Euler (Eu)
O número de Euler, representado por Eu, é calculado por:
Eu =                                                                               (64)
Multiplicando o numerador e o denominador pela área, temos:
Eu =                                                                                (65)
O número de Euler ou coe�ciente de pressão indica a relação entre as forças de pressão,
chamadas de Fp, e as forças de inércia no escoamento de um �uido. Utilizamos o número
de Euler no estudo de escoamentos em torno de per�s, em tubos, em máquinas hidráulicas
etc.
Número de Froude (Fr)
O número de Froude é representado por Fr e obtido pela equação:
μ σ
Fi
Fμ
m . a
σ . A
α
ρ V   v
T
μ  Av
L 
α α
α
Fi
Fμ
ρ   L3 v
T
μ  v
L 
L2
ρ   v2 L2
μ  v
L 
L2
ρ v L
μ
α
ρ v L
μ
Fi
Fμ
Δp
ρ v2
α
Δp . A
ρ   . Av2
F
ρ   v2 L2
Fr =                                                                                     (66)
Que representa a relação entre as forças de inércia e as forças devidas à aceleração da
gravidade. Usamos o Fr no estudo da ação das ondas em embarcações, escoamento em
canais, vertedores, orifícios etc., ou seja, escoamentos que possuem uma queda que
podem formar ondas.
Número de Match (
( =                                                                           (67)
Onde c é a velocidade do som no �uido em escoamento. Temos que usar o número de
Match �uidos compressíveis, como o ar. Temos que ( < 1 produzem escoamentos
subsônicos,   ( = 1 produzem escoamentos sônicos e   ( > 1 produzem os
supersônicos.
praticar
Vamos Praticar
O teorema dos nos diz que a função equivalente pode ser construída por números
adimensionais independentes formados com as grandezas envolvidas no fenômeno. A velocidade
de um corpo em queda livre é função somente da aceleração da gravidade g e da altura da queda
h. A função de número adimensional referente ao fenômeno é igual a (BRUNETTI, 2008, p. 149):
a) v = .
b) = g . h. v2 .
c) = g . h. v.
d) v = .
e) v = .
v2
L. g
M)
M) v
c
M)
M) M)
π
g . h
v2
π
π
g . h
v
g . h
v3
indicações
Material
Complementar
FILME
Poseidon
Ano: 2006
Comentário: Na virada de ano novo, a força de um tsunami de
150 pés consegue virar o transatlântico Poseidon de cabeça para
baixo. Os passageiros que sobrevivem a esta guinada de 180º no
eixo do navio têm que escolher entre a sensação de conforto de
estar no salão de festas e terem sobrevivido a essa tragédia ou a
subir até o casco do navio para atingir a superfície e assim
poderem sair da embarcação. Vale notar a combinação das forças
gravitacionais, da velocidade da água e da pressão inundando
todos os cantos do transatlântico.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a seguir.
TRA ILER
LIVRO
Mecânica dos �uidos: Fundamentos e Aplicações
Editora: Mc Graw Hill Editora
Autores: Çengel, Y. & Cimbala, J. M.
Comentário: O capítulo 7 deste livro nos traz maiores
informações sobre a Análise Dimensional. Recomendamos a
leitura das páginas 232 a 237, onde um gol�nho é citado como
exemplo para a obtenção dos 4 números adimensionais básicos.
conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, estudamos o balanço global de energia, para podermos
obter a equação de Bernoulli e as hipóteses utilizadas para sua obtenção, uma das
equações mais utilizadas em Fenômenos de Transporte.
Depois, estudamos o Teorema de Reynolds e aprendemos a equacionar superfícies de
controle com volumes de controle para abordarmos escoamentos em que a massa ou o
volume variam no tempo.
Estudamos a aplicação do Teorema de Reynolds ao balanço global da quantidade de
movimento para escoamentos com múltiplas saídas, como é na realidade a maioria da
nossa instalação hidráulica e de gás natural.
Finalmente, aprendemos uma nova metodologia para resolvermos os problemas de
fenômenos de transporte. A análise dimensional e a teoria dos nos ensinam que é
possível resolver situações reais baseados em três grandezas fundamentais.
π
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos . 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall Revisada, 2008.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos : Fundamentos e Aplicações. Tradução de
Roque, K. A.; Fecchio, M. M. Revisão técnica de Saltara, F. Baliño, J. L.; Burr, K. P. Consultoria
Técnica de Castro, H. M. São Paulo: Mc Graw Hill Editora, 2007.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte : um texto para cursos básicos. 2.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos .
Tradução de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.