4 - INTRODUÇÃO AO MAGNETISMO

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FÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADE EFÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADE E
MAGNETISMOMAGNETISMO
INTRODUÇÃO AO MAGNETISMOINTRODUÇÃO AO MAGNETISMO
Autor: Hugo M. Vasconcelos
Revisor : Rosa lvo Miranda
IN IC IAR
introdução
Introdução
Começaremos este módulo discutindo os efeitos do campo magnético sobre uma carga em
movimento; trataremos dos aspectos da força magnética sem nos preocupar com a origem da
fonte do campo magnético. Com relação aos efeitos da força magnética, mostraremos algumas
aplicações e efeitos, tanto para a força magnética quanto para a força elétrica. Em seguida,
discutiremos a lei de Biot-Savart, para entender a relação entre a corrente e a produção de campo
magnético devido a essa corrente. Mostraremos como encontrar um campo magnético devido a
um �o in�nito e, em seguida, com aplicação da Lei de Ampère, veremos que esse cálculo é muito
mais simples.
A força magnética ocorre sem pre que uma carga em movimento entra em um campo magnético.
Assim, a força magnética será dada por uma relação envolvendo o produto vetorial da velocidade
com o campo magnético. Desse modo, usando a Regra da Mão Direita, podemos determinar a
direção e o sentido da força magnética. Para compreender mais um pouco de produto vetorial e a
Regra da Mão Direita, faremos um estudo desses temas.
Produto Vetorial
Ao contrário do produto escalar de dois vetores que gera um escalar, o produto vetorial gera um
terceiro vetor. O produto vetorial entre os vetores e 
é denotado como e é de�nido em coordenadas cartesianas com
    (1)
A princípio, a de�nição do produto vetorial parece arbitrária, porém, o produto vetorial admite uma
formulação intrínseca, que não depende do sistema de coordenadas escolhido. Além disso,
veremos que o produto vetorial, assim como o produto escalar, surge naturalmente no estudo de
Física.
Algumas das propriedades do produto vetorial são:
Produto Vetorial e ForçaProduto Vetorial e Força
MagnéticaMagnética
= + +u ⃗  u1 î u2 ĵ u3k̂ = + +v ⃗  v1 î v2 ĵ v3k̂
×u ⃗  v ⃗ 
× = ( − ) + ( − ) + ( − )u ⃗  v ⃗  u2v3 u3v2 î u3v1 u1v3 ĵ u1v2 u2v1 k̂
× = − × ,                                                                       (anticomutatividade)                (2)u ⃗  v ⃗  v ⃗  u ⃗ 
× (α + β ) = α ( × ) + β ( × ) ,                                           (linearidade)                (3)u ⃗  v ⃗  w ⃗  u ⃗  v ⃗  u ⃗  w ⃗ 
( × ) . = ( × ) . = 0,                                                           (ortogonalidade)              (4)u ⃗  v ⃗  u ⃗  u ⃗  v ⃗  v ⃗ 
| × | = uv sen  ( , ) ,                                                                                      (norma)              (5u ⃗  v ⃗  u ⃗  v ⃗ 
A relação denota o seno do ângulo entre os vetores e . Nota-se que, quando  ou 
 é nulo, o ângulo não está bem-de�nido.
Podemos encontrar a relação entre o produto vetorial de  e  a partir da Regra da Mão Direita,
conforme Figura 4.1. Pela Regra da Mão Direita, ao dobrar os dedos que estão na direção do vetor
 na direção do vetor , o polegar apontará na direção de .
O módulo do produto vetorial pode ser representado como a área do paralelogramo cujos lados
são  e , conforme Figura 4.2, de modo que o produto vetorial é ortogonal ao plano, e o
sentido é dado pela Regra da Mão Direita.
sen  ( ,   )u ⃗  v ⃗  u ⃗  v ⃗  u ⃗  v ⃗ 
u ⃗  v ⃗ 
u ⃗  v ⃗  ×u ⃗  v ⃗ 
Figura 4.1 - Regra da Mão Direita
Fonte: Winterle (2014, p. 89).
u ⃗  v ⃗  ×u ⃗  v ⃗ 
A determinação do produto vetorial da equação (1) pode ser encontrada por meio da
determinante:
Figura 4.2 - Representação geométrica do produto vetorial
Fonte: Elaborada pelo autor.
× =                                             (6)u ⃗  v ⃗  ∣∣ î ĵ k̂ u1 u2 u3 v1 v2 v3 ∣∣
saiba mais
Saiba mais
O produto vetorial é uma operação sobre vetores no
espaço vetorial. O resultado dessa operação difere do
produto escalar por ter como resultante um vetor que é
ortogonal aos outros vetores. Para saber mais, acesse o link
a seguir.
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https://pt.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/dot-cross-products/v/linear-algebra-cross-product-introduction
Força Magnética
Anteriormente, discutimos o campo elétrico a partir das cargas elétricas. Agora vamos discutir o
comportamento da carga elétrica em movimento em um campo magnético.
O campo magnético é um campo vetorial, assim como o campo elétrico, tendo módulo, direção e
sentido. O vetor campo magnético é ilustrado na Figura 4.3.
De�nimos então que:
a direção da linha de campo magnético é tangente ao campo em qualquer ponto.
a intensidade (módulo) do campo magnético é proporcional à densidade de linhas que
passam em uma determinada região: quanto mais espaçadas as linhas, menos intenso
será o campo.
Todas as linhas do campo magnético formam uma curva fechada, entrando pelo polo sul e saindo
pelo polo norte. Apesar de vários experimentos realizados com a intenção de provar a existência de
um monopolo magnético, nunca foi possível essa comprovação. Dizemos que o campo magnético
se comporta como um dipolo magnético.
A força magnética é de�nida a partir da aplicação de um campo magnético   em uma carga
em movimento com uma velocidade . Assim,
B⃗ 
Figura 4.3 - Linhas de Campo Magnético ao redor de uma barra magnética
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 173).
F ⃗ B B⃗ 
v ⃗ 
= q ×                                (7)F ⃗ B v ⃗  B⃗ 
em que q é a carga da partícula.
A partir da ilustração na Figura 4.4, se uma partícula está se movendo com uma velocidade 
fazendo um ângulo θ com o campo magnético   , podemos escrever o módulo da força magnética:
A força será nula sempre que a partícula estiver parada ou se a velocidade estiver na mesma
direção do campo magnético, e será máxima sempre que for perpendicular a   .
A unidade de   no Sistema Internacional é o tesla:
Além da forma de apresentar vetores, conforme ilustrações anteriores, podemos mostrar os
vetores que estão para dentro (como uma cruz) ou para fora (como um ponto) da página, como na
Figura 4.5.
v ⃗ 
B⃗ 
= |q| vB senθ                              (8)FB
v ⃗  B⃗ 
Figura 4.4 - Relação entre velocidade, campo magnético e força resultante do produto vetorial
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 175-176).
B⃗ 
1T = 1 .N
C.m/s
reflita
Re�ita
Veja que toda a relação é calculada como se a
carga q fosse positiva. Contudo, sabemos que o
elétron, que é a carga de condução, sempre é
negativo. Então a força magnética sobre um
elétron sempre terá o sinal invertido.
Perceba que a imagem apresentada na Figura 4.5 pode ser usada para qualquer tipo de vetor.
praticar
Figura 4.5 - Representação vetorial: (a) para fora; (b) para dentro
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 178).
praticar
Vamos Praticar
Suponha que exista um campo magnético que aponta para o norte da Terra. Assim, podemos inferir que a
direção da força magnética sobre uma carga positiva em um deslocamento para o oeste deverá ser:
a) para dentro da Terra.
b) para o oeste.
c) para o sul.
d) para fora da Terra.
e) para o leste.
Na Figura 4.6, vemos que o campo magnético  aponta para dentro da página, e a partícula tem
uma velocidade  que muda de direção devido à força magnética que leva a partícula sempre para
o centro da trajetória.
A força da partícula tem uma intensidade que é proporcional a qvB, sendo essa força perpendicular
à velocidade e ao campo magnético. No caso ilustrado na Figura 4.6, se a carga fosse negativa, a
rotação seria no sentido horário. Podemos partir da Segunda Lei de Newton para tratar o caso:
Movimento CircularMovimento Circular
B⃗ 
v ⃗ 
Figura 4.6 - Partícula carregada em movimento circular
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 179).
Como o movimento é circular,
Que nos leva à seguinte relação:
que é o raio da trajetória, proporcional ao momento linear da partícula. A velocidade angular da
partícula pode ser expressa como:
O período do movimento circular pode ser escrito como:
A velocidade angular ω é geralmente chamada de “frequência cíclotron”, devidoà relação
observada com as partículas que viajam nessa velocidade nos aceleradores cíclotron.
É possível observar que, se a partícula se movimenta em um campo magnético uniforme com
velocidade  e campo magnético , a sua trajetória é uma hélice, conforme Figura 4.7.
Figura 4.7 - Trajetória helicoidal de uma partícula
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 179).
F = = ma                        (9)∑ FB
= qvB =                         (10)FB
mv2
r
r =                                              (11)mv
qv
ω = =                                     (12)v
r
qB
m
T = =                              (13)2πr
v
2πm
qB
v ⃗  B⃗ 
Caso uma partícula carregada se mova em um campo magnético não uniforme, teremos um
movimento complexo, pois haverá um campo magnético forte nas extremidades e fraco no meio.
Força de Lorentz
Se uma carga se movimenta com uma velocidade   em um campo elétrico e em um campo
magnético simultaneamente, a força total que essa partícula experimenta é:
conhecida como Força de Lorentz.
Seletor de velocidade: uma das aplicações da Força de Lorentz é o seletor de velocidade,
conforme Figura 4.8. Quando as forças elétricas e magnéticas são proporcionais, a
partícula se move em linha reta pela região entre os campos, e podemos averiguar que
Partículas com velocidades diferentes desse valor tendem a ser desviadas pelos campos.
Espectrômetro de massa: separa íons a partir da relação entre a carga e a massa.
Conforme a relação:
v ⃗ 
= q ( + × )                       (14)F ⃗  E ⃗  v ⃗  B⃗ 
v =                                           (15)E
B
Figura 4.8 - Esquema de um seletor de velocidade
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 182).
=                                (16)m
q
rB0
v
Ao entrar no dispositivo, os íons se movem em uma trajetória semicircular de raio r antes de atingir
o conjunto detector. É possível notar que, se os íons são positivos, o feixe deve ser desviado para a
esquerda, conforme Figura 4.9; quando o feixe é composto de cargas negativas, a trajetória é
desviada para a direita.
Essa técnica foi utilizada por Thomson em 1987 para medir a proporção entre a carga e a massa da
partícula.
Força Magnética sobre um Fio
A força magnética sobre um �o condutor percorrido por uma corrente pode ser veri�cada na Figura
4.10. O �o suspenso entre dois polos de um imã (Figura 4.10a) não gera nenhuma força sobre o
condutor (Figura 4.10b). Contudo, ao observarmos a corrente �uindo para cima (Figura 4.10c), uma
força magnética surge para a esquerda do �o, fazendo com que ele se mova. No caso em que a
corrente �ui para baixo (Figura 4.10d), veri�camos que a força surge no sentido oposto ao caso em
que a corrente �ui para cima.
Figura 4.9 - Esquema ilustrativo de um espectrômetro de massa
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 182).
F ⃗ B
A força magnética sobre uma carga q que se movimenta com velocidade é dada por
, conforme Figura 4.11.
Figura 4.10 - Campo magnético  aplicado a um �o condutor:  (a) �o entre dois polos do ímã; (b)
sem corrente �uindo; (c) com corrente �uindo para cima; (d) com corrente �uindo para baixo
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 185).
B⃗ 
v ⃗ d
= q ×F ⃗ B v ⃗ d B⃗ 
Figura 4.11 - Fio percorrido por corrente em um campo magnético 
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 185).
Sabemos que a velocidade com que cada partícula atravessa o segmento é . Tínhamos
visto anteriormente que a corrente é de�nida por . Realizando as substituições, chegamos
a:
Onde é um vetor na direção da corrente .
praticar
Vamos Praticar
Uma partícula é constituída por dois prótons e dois nêutrons. Se essa partícula se desloca com uma
velocidade de , em uma direção perpendicular ao campo magnético que tem módulo
igual a , qual será o valor da força magnética sobre a partícula?
a) .
b) .
B⃗ 
v = L/t
I = q/t
= I ×                       (17)F ⃗ B L⃗  B⃗ 
L⃗  I
6, 15 ×  m/s105
B = 0, 17 T
3, 35 ×  N10−14
3, 35 ×  N105
c) .
d) Nula.
e) .
2, 7 ×  N10−14
4, 8 ×  N105
Nas seções anteriores, estudamos o comportamento das partículas em um campo magnético
existente. Vimos que, quando uma carga elétrica em movimento é colocada em um campo
magnético, ela sofre força magnética. Agora, veremos que, quando um �o é percorrido por uma
corrente, ele também é uma fonte de campo magnético.
Lei de Biot-Savart
Ao contrário do campo elétrico, em que uma carga pontual produz campo elétrico, não existe uma
corrente pontual. Desse modo, devemos analisar o campo magnético proveniente de uma
distribuição de corrente a partir de elementos in�nitesimais, conforme Figura 4.12. A Lei de Biot-
Savart denota essa relação através da seguinte expressão:
Onde , ds é o comprimento do elemento percorrido pela corrente I, r é a
distância entre o �o e o ponto P e é o vetor unitário na direção do ponto P.
Campo MagnéticoCampo Magnético
d =                   (18)B⃗ 
μ0
4π
Id ×s ⃗  r̂
r2
= 4π ×  T .m/Aμ0 10
−7
r̂
Figura 4.12 - Fio percorrido por corrente gerando um campo magnético 
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 205).
Na Figura 4.13, o polegar direito aponta no sentido da corrente e, os dedos, no sentido do campo
magnético. Veri�camos a relação entre a passagem de corrente por um �o e a formação de campo
magnético ao redor do �o. Podemos notar que, no caso da Figura 4.13, a corrente que está subindo
produz um campo rotacional no sentido anti-horário.
B⃗ 
Assim, a Lei de Ampère descreve a criação dos campos magnéticos a partir da existência de uma
corrente contínua.
Campo Magnético devido a um Fio In�inito
Considere um �o de comprimento in�nito que transporta uma corrente constante I e está
posicionado ao longo do eixo x, conforme a Figura 4.14. O campo magnético é calculado a partir da
equação 18.
A princípio, precisamos analisar o produto vetorial
Substituindo esse resultado na equação 18, temos:
Na Figura 4.14, é fácil observar que e 
Logo,
Fazendo as substituições na equação 19, temos:
Figura 4.13 - Regra da Mão Direita - geração de campo magnético
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 211).
d × = dx sen ( − θ) = dxcos θ  s ⃗  r̂ π
2
k̂ k̂
d =                          (19)B⃗ 
Iμ0
4π
dxcos θ 
r2
k̂
r = a
coscos θ 
x = −atan θ 
dx = −aθ dθ = − adθ
θ 
Realizando a integração para encontrar o campo total, assumindo que, quando o �o vai para
in�nito, θ→π/2,
Assim, temos que o campo magnético para um �o tem valor em módulo igual a:
Onde a é a distância entre o �o a o ponto em que queremos medir a intensidade do campo.
praticar
Vamos Praticar
dB = − ( ) ( ) cos θ  = − cosθdθIμ0
4π
adθ
θ 
θ 
a2
Iμ0
4πa
B = − cos θ dθ
Iμ0
4πa
∫
+ π
2
− π
2
Figura 4.14 - Segmento de �o transportando uma corrente contínua
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 206).
B =                       (20)
Iμ0
2πa
Assuma dois �os retilíneos e paralelos entre si, afastados por uma distância de . Cada um transporta
uma corrente de , em sentidos opostos. Assim, o módulo do campo magnético em um ponto ,
na linha central e a uma distância de de cada �o, será de:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
6 cm
190 mA P
3 cm
1, 25 μT
3 μT
Zero
2, 5 μT
1, 5 μT
Como pode ser visto na Figura 4.15, o campo magnético circula o �o longo que transporta corrente.
Devido à simetria do �o, as linhas de campo magnético são círculos concêntricos. O campo
magnético tem módulo constante em qualquer parte do círculo com mesmo raio e direção
sempre tangente ao círculo. Se invertermos o sentido da corrente, veri�caremos que o campo tem
sentido invertido também.
Figura 4.15 - Direção do campo magnético devido à corrente que �ui para fora do plano
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 212).
Lei de AmpèreLei de Ampère
B⃗ 
Avalia-se o campo ao longo do comprimento , de modo que é um elemento de
comprimento in�nitesimal ao longo do caminho circular. Por todo o círculo, o comprimento é
paralelo ao campo . Podemos assumir que esse produto ao longo de um caminho fechado é
equivalente a:
A Lei de Ampère descreve a relação entre a criação de campos magnéticos devido àscorrentes.
Vamos nos ater sempre a problemas que envolvam alto grau de simetria, assim temos um uso
muito parecido com o da Lei de Gauss.
Campo Magnético devido a um Fio In�inito
Devido à Lei de Ampère, veri�camos a relação entre a corrente I que passa em um �o longo de raio
R, criando uma amperiana em um caminho circular 1, de raio r como mostrado na Figura 4.16.
Devido à simetria, o campo deve ser constante em módulo e paralelo ao comprimento  em
cada ponto do círculo. Assim,
Isolando o campo,
. dB⃗  s ⃗  ds ⃗ 
ds ⃗ 
B⃗ 
. d = I                   (21)∮ B⃗  s ⃗  μ0
Figura 4.16 - Fio longo de raio R
Fonte: Serway e Jewett (2017, p. 213).
B⃗  ds ⃗ 
. d = B d = B (2πr) = I∮ B⃗  s ⃗  ∮ s ⃗  μ0
B =                                      (22)
Iμ0
2πr
onde a equação 22 é semelhante à equação 20, desde que r=a.
praticar
Vamos Praticar
A Figura 4.17 mostra quatro correntes iguais a e uma amperiana envolvendo as correntes:
Calculando a integral de linha ao longo da curva amperiana, é possível a�rmar que o resultado é
igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
i
Figura 4.17 - Correntes passando por uma amperiana
Fonte: Elaborada pelo autor.
⋅ d∮ B⃗  L⃗ 
2 iμ0
0
−2 iμ0
4 iμ0
3 iμ0
indicações
Material
Complementar
FILME
Tesla
Ano: 2018
Comentário: O �lme conta a história de Nikola Tesla, grande gênio
inventor da corrente alternada (AC). No documentário são discutidos os
problemas enfrentados pelo cientista durante sua vida, inclusive os
psiquiátricos. Faça uma re�exão sobre toda a vida desse grande
cientista e saiba uma parte importante da sua história.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer (é possível acionar as
legendas) a seguir.
TRA ILER
LIVRO
A pedra com alma: a fascinante história do magnetismo
Alberto P. Guimarães
Editora: Civilização Brasileira
ISBN: 978-8520009543
Comentário: O livro conta parte da história da ciência com uma
perspectiva erudita, e da tecnologia sob a perspectiva do magnetismo e
dos materiais magnéticos. Após lê-lo, �ca claro como o magnetismo
in�uenciou a ciência. Além disso, o autor passeia por áreas como
Filoso�a, Psicologia, Economia, entre outras.
conclusão
Conclusão
Você estudou a força magnética e suas aplicações. Entendeu o que é um campo magnético, que a
força magnética só existe se a partícula estiver em movimento e, além disso, que, por se tratar de
um produto vetorial, o vetor campo magnético e o vetor velocidade não podem estar na mesma
direção, para termos uma força diferente de zero.
Você compreendeu também a relação entre a corrente e o campo magnético por ela gerado. Viu
que essa relação obedece à Lei de Biot-Savart, e ainda veri�cou que a Lei de Ampère trata a relação
entre a corrente e o campo de um modo muito mais simples, obedecendo à simetria dos
problemas.
referências
Referências
Bibliográ�cas
SERWAY, R. A.; JEWETT JR., J. W. Física para cientistas e engenheiros . 9. ed. São Paulo: Cengage,
2017.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica . 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.