Pesquisa Operacional II

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PESQUISA	OPERACIONAL
UNIDADE 2 - PROGRAMAÇA� O LINEAR
Luciano Wallace Gonçalves Barbosa
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Introdução
Os ambientes coorporativos vêm sendo cada vez mais pressionados devido ao aumento da competitividade.
Com o avanço de mudanças e recursos tecnológicos, a tomada de decisão tem sido um tema que exige cada
vez mais atenção e cuidado dos gestores – a�inal, a cada dia que passa, surgem mais e mais possibilidades de
condução de um negócio, com suas peculiaridades distintas, demandando então a seleção da decisão que
retorne o maior lucro possı́vel dentro daquelas que foram selecionadas como candidatas, ou paralelamente, ao
menor custo.
A Pesquisa Operacional vem ganhando espaço dentro do contexto de tomada de decisão desde a Segunda
Guerra Mundial (1939-1945), quando surgiu. Desde então, técnicas vêm sendo desenvolvidas e aprimoradas
no sentido de tornar essa ciência cada vez mais viável e promissora. A�inal, quais as técnicas matemáticas que
mais auxiliam decisões nos ambientes empresariais?
A Programação Linear é uma das mais clássicas técnicas da Pesquisa Operacional. Veremos, nesta unidade,
que sua principal função é reduzir o sistema real a um conjunto de equações e/ou inequações de primeiro
grau, resolvendo a modelagem por métodos algébricos. Mas como seria feita essa solução, uma vez que um
sistema pode ter inúmeras variáveis e restrições? A Programação Linear possui um poderoso algoritmo,
denominado simplex, que é capaz de resolver problemas com várias variáveis. Durante esta unidade, veremos
seu funcionamento.
Como você se sentiria ao saber que existe uma técnica relativamente simples, que pode auxiliar em problemas
complexos, chegando à melhor solução possı́vel dentro de todas as candidatas? Pois bem, siga atento a este
estudo, pois a Programação Linear, ou PL, tem muito a te surpreender.
1.1 Definição
Muitos problemas das realidades das organizações podem ser construı́dos com a Programação Linear, que é
uma das técnicas mais utilizadas para a otimização. O motivo está relacionado à simplicidade dos modelos
que são gerados por esse método e pelas várias técnicas, incluindo computacionais, que conseguem encontrar
a solução do problema.
Um problema é considerado um Problema de Programação Linear (PPL) se, e somente se, for modelado e
escrito como um sistema real com função objetivo e restrições, formando um conjunto de equações e/ou
inequações lineares, ou seja, as variáveis de decisão sendo polinômios de primeiro grau (WINSTON, 2004).
Mas o que são função objetivo, variáveis de decisão e restrições? Bom, o começo da modelagem em PL parte
desses três pilares. As variáveis de decisão são o inı́cio do problema e são responsáveis por descrever as
decisões a serem tomadas. Assim, caso seu problema seja a maximização de custos dentro de um	 mix de
produção, as variáveis de decisão serão responsáveis por retornar à quantidade de cada produto do portfólio a
ser produzido. Portanto, se sua carteira de produtos contar com 30 itens, por exemplo, seu modelo terá 30
variáveis de decisão, uma correspondente a cada item, que ao �inal trará a quantidade exata de cada um que
deve ser produzida.
Em seguida, deve-se traçar a função objetivo, que está relacionada à meta buscada, sendo possı́vel modelos de
minimização, geralmente relacionados a diminuição de custos,	e	maximização, que são voltados ao aumento
dos lucros. Assim, a função objetivo deve ser composta das variáveis de decisão que são acompanhadas pelos
respectivos valores correspondentes no tipo da modelagem. Por exemplo, se o problema é de maximização de
lucros, a função objetivo será composta pela soma dos 30 itens de seu portfólio, multiplicando cada variável
de decisão pelo lucro correspondente de cada item.
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Assim, ao �inal do modelo, como as variáveis de decisão correspondem às quantidades de produção de cada
item, foram multiplicadas pelo lucro unitário de venda de cada unidade, a função objetivo retorna ao valor que
a empresa obterá, caso siga o plano de produção ótimo indicado pela modelagem. Por ser um modelo de
maximização, não existe nenhum outro plano que retornará um valor maior do que o estabelecido, cumprindo
todas as restrições do sistema.
Falando de restrições, estas são as próximas a serem de�inidas, e isso deve ser feito com muita atenção: elas
são responsáveis por trazer para o modelo matemático a realidade total do sistema. Caso alguma limitação do
processo não seja traduzida para restrição, o modelo passa a não representar a realidade, comprometendo sua
solução. Assim como a função objetivo, as restrições acompanham as variáveis de decisão, porém em forma
de equações e inequações, sempre de primeiro grau, para caracterização da linearidade do problema.
Dessa forma, a primeira parte da restrição deve apresentar o quanto cada variável de decisão consome de um
determinado recurso, e a segunda parte (após os sinais de ≤, = ou ≥), representa a disponibilidade total desse
recurso. Portanto, no exemplo seguido, caso cada item do portfólio necessite ser processado por um
determinado tempo em uma máquina e a disponibilidade dessa máquina seja de 1000 horas, a restrição dessa
tecnologia é de�inida como a soma da multiplicação da quantidade de tempo que cada item necessita de
transformação nessa máquina pela variável de decisão correspondente a esse item, até que sejam somados
todos os produtos da carteira. A segunda parte da restrição é composta por “≤ 1000”, o que indica que a soma
do tempo dispendido para a fabricação de todos os produtos pela máquina deve ser menor que ou igual à
disponibilidade dela.
Todas essas restrições são as chamadas restrições	 tecnológicas. Ainda, os PPLs devem apresentar as
restrições	de	não	negatividade, em que todas as variáveis de decisão devem assumir valor igual ou maior
que zero (≥ 0), já que se pode optar em produzir ou em deixar de produzir algo, mas nunca em produzir
negativamente. Determinadas as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições, o PPL está pronto para
ser resolvido.
Para garantir a linearidade de um PPL, três propriedades básicas devem ser satisfeitas, as quais são exibidas a
seguir (TAHA, 2008). Clique nos itens a conheça-as.
Proporcionalidade
Diz respeito à exigência de que a contribuição de cada variável de decisão, tanto na função objetivo quanto nas
restrições, seja diretamente proporcional ao valor da própria variável. Na prática, como foi falado sobre a
contribuição de cada lucro dos produtos na função objetivo, essa regra exige que este não seja alterado no
decorrer da situação real. Por exemplo, caso a empresa que modelou o problema tenha uma polı́tica de
desconto para clientes que comprarem a partir de certa quantidade, essa polı́tica fere a regra da
proporcionalidade da contribuição de cada variável de decisão, deixando o problema de ser um PPL.
Aditividade
Diz respeito à necessidade de que todas as variáveis da função objetivo e das restrições contribuam
individualmente na soma da contribuição total. Isso quer dizer que, por exemplo, na função objetivo, a soma
do lucro total é igual à soma individual que cada variável de decisão (item produzido) retorna. Então, caso o
aumento da venda de algum produto afete no comércio de algum outro produto, essa regra não é satisfeita,tornando o problema não linear.
Certeza
Por ser um problema quantitativo, determinı́stico, todos os coe�icientes que acompanham as variáveis de
decisão, tanto nas restrições quanto na função objetivo, devem ser constantes conhecidas. Alguns valores
podem ser baseados em previsões estatı́sticas, porém serão válidos apenas se o desvio padrão dessas
estatı́sticas seja su�icientemente pequeno.
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Satisfeitas as três regras e de�inidos os três pilares, o problema está pronto para ser resolvido por técnicas de
programação linear. Conheceremos essas técnicas e aprenderemos a interpretar as soluções trazidas por elas.
1.2 Espaço viável de um PPL
A Pesquisa Operacional é uma ciência para auxı́lio na tomada de decisão, que, como se sabe, é uma tarefa cada
vez mais complexa dentro das empresas, uma vez que, com o avanço e a mudança de tecnologias, as possı́veis
alternativas para se resolver um problema têm sido cada vez mais numerosas. Assim, técnicas de PO, como a
Programação Linear, emergem no sentido de enumerar essas alternativas e solucionar aquela que retorne o
ganho mais positivo, seja em maximização de lucros ou minimização de custos.
Vimos que os problemas são descritos em um conjunto de equações e inequações lineares. As restrições
desse problema, então, são responsáveis por delinear o espaço de suas possı́veis soluções. Além disso, o
conjunto de restrições deve ser observado como um todo, uma vez que a desobediência de apenas uma das
métricas do problema descaracteriza toda a solução.
Dizemos ser a solução de um PPL os valores resultados de todas as variáveis de decisão que, quando
substituı́dos na função objetivo, retornam ao valor ótimo do problema e ao ganho gerado nessa solução, ou
seja, quanto de lucro se obtém em problemas de maximização ou o quão dispendioso �icou o plano de custos
em casos de minimização.
Os valores das variáveis de decisão na solução ótima são um conjunto tal que seria impossı́vel atender a todas
as restrições e resultar em uma função objetivo tão ótima quanto ele. Assim, é fácil entender que toda solução
ótima é uma solução viável, porém a recı́proca não é verdadeira, isto é, dentro da região de soluções viáveis,
haverá uma (ou, em alguns casos, mais de uma, porém que resultem em um valor idêntico da função objetivo
�inal) com valor da função objetivo máximo ou mı́nimo possı́vel.
VOCÊ O CONHECE?
Marcone Jamilson Freitas Souza é graduado em Engenharia Metalúrgica pela
Universidade Federal de Ouro Preto (Ufop), mestre e doutor em Engenharia de
Sistemas e Computação pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
Atualmente é professor na Ufop e se dedica, há décadas, ao estudo da Pesquisa
Operacional, tendo várias publicações e orientações na área. Um de seus focos é a
aplicação industrial de modelos de Programação Linear, como na otimização
operacional de lavra em minas de céu aberto e subterrâneas (CURRI�CULO LATTES,
2019).
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Para entendermos melhor esse conceito de espaço viável, observamos esse exemplo adaptado da obra de Silva
et	al.	(2010), que pede para representar gra�icamente o PPL a seguir.
A lógica de representação desse problema vem da clássica A� lgebra Linear: equações/inequações de primeiro
grau com duas variáveis podem ser descritas em um plano cartesiano por meio da criação das retas
correspondentes. Como se sabe, para se traçar uma reta, deve-se encontrar apenas dois pontos. Assim,
iniciando pelas restrições, encontra-se os pontos referentes a cada uma e, posteriormente, esboça-se o plano
contendo todas elas.
As primeiras restrições a serem levadas em consideração são as de não negatividade: e	 .
Considerando o eixo das abcissas como as variáveis e o das ordenadas como , e considerando que
ambas devem ser maior que ou igual a zero, isso indica que, no plano cartesiano, apenas o primeiro quadrante
contém as soluções viáveis, já que em qualquer outro quadrante existe a necessidade de ao menos uma delas
ser negativa.
A	 posteriori, trabalhamos as restrições tecnológicas. Para encontrar o primeiro ponto, arbitrariamente
escolhemos um valor para e substituı́mos na inequação, encontrando . Analogamente, para o segundo
ponto, arbitra-se um valor para e encontra-se . Dados os dois pontos, traça-se a reta. A dica é sempre
escolher valores de e igual a zero, para facilitar o encontro da outra variável. Para encontrar o outro
ponto, inequações são consideradas como equações. Os sinais de ≥ e ≤ voltam a ser analisados ao traçar o
plano. A representação dos pontos é dada por ( ). Vejamos o exemplo:
VOCÊ SABIA?
Na PL, existe o conceito de solução	viável, que é uma solução que atende a todas
as restrições do problema, e o conceito de solução	ótima, que além de cumprir
todos os requisitos do modelo, ainda retorna o valor ótimo da função objetivo,
que é o máximo possıv́el que ela pode alcançar, em problemas de maximização e,
analogamente, o mıńimo possıv́el em problemas de minimização.
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A representação das restrições é exibida na �igura a seguir, lembrando que a cor das retas corresponde à cor de
cada restrição:
Agora, voltamos a reconsiderar as equações como inequações. Sabemos que as retas precisam ter um sentido,
uma vez que as soluções são maiores que ou igual ou menores que ou igual. Para isso, usamos um ponto
qualquer, dentro do plano cartesiano, e testamos se esse ponto faz parte ou não daquela restrição. Se a
resposta for positiva, o sentido da reta é ir ao encontro do ponto. Caso contrário, a reta de restrição vai em
sentido contrário ao ponto. Para facilitar, é sugerido utilizar o ponto (0,0), que é a origem do plano cartesiano.
Ao se determinar os sentidos de todas as restrições, pode-se encontrar o espaço de soluções viáveis de
problema, que consiste na região onde todas as restrições são atendidas. Assim, esse espaço se dá como:
Figura 1 - Representação grá�ica das restrições.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Assim, a restrição azul, que deu negativa no teste do ponto, vai contra a origem (0,0), conforme a seta. O
mesmo ocorreu com a restrição verde. Já a laranja aceitaria o ponto de teste, porém, como as demais já o
haviam retirado como inviável, ele já não pode participar do problema. A orientação das setas demonstra que,
até certo ponto, uma restrição restringe mais do que outra. O conjunto de tudo dá o espaço viável do
problema. Dentro da área destacada de cinza, qualquer ponto é solução viável do PPL, isto é, atende a todas as
restrições. Se testarmos o ponto (4,4), por exemplo, que está na área viável, veremos que ele respeita todas as
restrições. Porém, não quer dizer que seja o ponto ótimo.
Note que a área viável desse problema é in�inita, isso é, para todo e qualquer e , as
soluções são viáveis. Isso é muito comum em problemas de minimização, já que as soluções no espaço
in�inito, por mais que sejam viáveis, estão longe de ser ótimas.
Figura 2 - Representação da região viável do problema.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2019.
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Dentro de um PPL, a solução ótima sempre estará em algum extremo, isto é, no encontro de duas (ou mais)
retas. Portanto, nesse exemplo, os pontos candidatosa ótimos são (5,0), (8,0), (0,10) e o ponto de encontro
das retas azul e verde, que é encontrado na solução do sistema de equações que contém as duas restrições
referentes às retas.
Para a solução desse problema via método grá�ico, basta traçar a função objetivo como uma reta, conforme
�izemos com todas as restrições, e transladá-la até que encontre o último ponto extremo no sentido de
minimização, que nesse caso será o ponto (5,0), retornando um valor mı́nimo de 10.
VAMOS PRATICAR?
Você acaba de aprender como é feita a delineação de uma área de s
viáveis, passo a passo. Essa é uma das etapas mais importantes de um Pr
de Programação Linear e seria interessante que você soubesse exatamen
é feito esse processo. Para isso, refaça o exemplo exibido à mão, traçando 
cartesiano e as respectivas restrições. Isso te ajudará ao realizar provas, po
noção de tudo isso sem a necessidade de auxıĺio computacional. Para rep
as imagens realizadas no exemplo, utilize o Geogebra gratuit
Nesse software, basta você delinear as variáveis de decisão como ‘x’ e ‘y’
retas logo aparecem no plano cartesiano. Exper
https://www.geogebra.org/m/KGWhcAqc
(https://www.geogebra.org/m/KGWhcAqc)
https://www.geogebra.org/m/KGWhcAqc
https://www.geogebra.org/m/KGWhcAqc
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O método grá�ico é viável quando se tem apenas duas variáveis de decisão. Mas e quando tivermos mais?
Bom, aı́ existem outras técnicas, que usam o raciocı́nio algébrico desse método para encontrar a solução.
Venha conhecer!
VOCÊ QUER VER?
Quer �ixar ainda melhor o entendimento do conteúdo? Certeza que sim. Então, venha
comigo e assista ao vıd́eo Pesquisa	 operacional	 I	 –	 Aula	 6	 –	 Método	 simplex:
interpretação	 grá�ica (UNIVESP, 2016). Nele, você consegue ver como é de�inida a
região de soluções viáveis de um problema e como é feito o translado da função
objetivo para encontrar o extremo ótimo dentro da área viável. Disponıv́el em:
https://www.youtube.com/watch?v=29q6FcbTWeU
(https://www.youtube.com/watch?v=29q6FcbTWeU)
1.3 O algoritmo simplex
Importantes acontecimentos na Programação Linear, segundo Arenales et	al. (2007), sucederam-se no ano de
1947, quando foi desenvolvido o método simplex, seguido de pesquisas de novos métodos e implementações
e�icientes. Muitos softwares gerados para solução de problemas de PL trabalham na lógica do algoritmo
simplex.
Como visto, problemas com duas variáveis de decisão podem, facilmente, ser trazidos para o método grá�ico e
ser resolvidos. Porém, a maior parte dos PPLs conta com mais variáveis de decisão, o que demanda uma
técnica mais robusta. Assim, surge o algoritmo simplex, que segue a lógica da solução grá�ica, porém por meio
de quadros que realizam operações com as equações das restrições.
1.3.1 Conversão das inequações em equações
O primeiro passo a se realizar para iniciar o método simplex é converter todas as inequações do modelo para
equações e, para isso, usaremos o conceito de variável	de	folga, que são variáveis adicionadas nas restrições
para torná-las equações.
Imagine a restrição . Note que o primeiro lado da expressão (1 ) deve ser
maior que o segundo lado (10). Para que isso aconteça e possamos alterar o sinal de para o sinal de =,
devemos então diminuir algum valor desse lado, isso porque, como a restrição garante que ele é maior que
10, ao diminuirmos algo, podemos dizer que ele é igual a 10. Esse valor diminuı́do será a variável de folga,
que trataremos aqui com o ı́ndice , remetendo à ‘sobra’. Essa restrição, então, �icaria da seguinte forma:
.
https://www.youtube.com/watch?v=29q6FcbTWeU
https://www.youtube.com/watch?v=29q6FcbTWeU
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Analogamente, se a restrição fosse , deverı́amos então somar a variável de folga, pois
se já existe a garantia de que seja menor que ou igual, apenas somando algo (até mesmo somando 0), podemos
garantir a igualdade. A equação �icaria dessa forma: .
Atenção: as variáveis de folga devem sempre ser maiores que ou iguais a zero. Nunca negativas.
1.3.2 Natureza iterativa do método simplex
O método simplex é baseado na lógica do aumento de uma variável por vez, sendo selecionada aquela que tem
a melhor taxa de melhoria na função objetivo. São denominadas variáveis	 básicas aquelas que assumem
valores positivos na solução, ao passo que as que assumem zero são denominadas variáveis	não	básicas
(TAHA, 2008). As soluções são denominadas solução	básica até que alcancem a otimalidade. Esses conceitos
�icarão mais claros a seguir.
Por enquanto, é importante saber, também, que ao terminar uma solução básica, o método busca uma próxima
variável não básica a entrar e contribuir positivamente na função objetivo. Entre uma iteração e outra do
algoritmo, serão realizadas estas perguntas: qual variável não básica entrará na base? Qual das variáveis
básicas sairá da base para que a não básica entre?
1.3.3 Detalhes do algoritmo simplex
Elucidados os pontos acima, vamos a um exemplo, que é a melhor forma para se compreender um problema
determinı́stico. Acompanhe os detalhes, as iterações e as regras para responder às perguntas da subseção
anterior, com esse exercı́cio retirado da obra de Taha (2008, p. 43).
Exemplo:
Use o algoritmo simplex para resolver o seguinte PPL:
Sujeito a
Como sabemos, o primeiro passo é transformar as inequações em equações, por meio da adição das variáveis
de folga. Elas entram na função objetivo com multiplicador zerado, já que não possuirão contribuição. O
modelo canonizado �ica da seguinte forma:
Sujeito a
Note que cada restrição possui sua própria variável de folga. A seguir, a função objetivo é reescrita como:
. Assim, a tabela simplex é escrita pelos coe�icientes de cada variável. A primeira
tabela é assim representada:
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VNB: 
VB: 
Como visto, as iterações do simplex inicial em (0,0) para ( ). Assim, substituindo essa solução na
tabela, encontra-se imediatamente os valores das VBs, por leitura direta:
Como existem variáveis não básicas ( ) com valores negativos (porque invertemos o sinal no inı́cio do
algoritmo), indica que o problema ainda pode melhorar. Então, entramos com a variável , que pode agregar
cinco unidades na função objetivo. Essa é a chamada regra	de	otimalidade.
Agora, para saber a variável que sairá, é necessário o cálculo	 das	 razões	 não	 negativas entre a coluna
solução da tabela, que corresponde ao lado direito das restrições, e o coe�iciente da restrição correspondente à
variável que está entrando, no caso . Observe a tabela abaixo:
Assim, na nova tabela do algoritmo, as variáveis são:
VNB: 
VB: 
Para montar a próxima tabela, são realizadas operações de Gauss-Jordan, onde a coluna	pivô é denominada a
coluna da variável que entra na base, e a linha	 pivô é a linha da variável que sai da base. O elemento de
interseção da coluna pivô com a linha pivô é o elemento	pivô. Veja:
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Os cálculos necessários são:
1. Linha do pivô:
a) Realizar a substituição da variável que saiu da base, na coluna Base, pela variável que entrou;
b) Nova	linha	pivô	
ô
ô
2. Todas as demais linhas, incluindo a linha z:
Nova	 linha
ô ô
Seguindo o exemplo, esses cálculos �icam:
1. Substituição de na coluna base por :
Nova linha 
2. Nova linha 
(1 -5 -4 0 0 0 0 0) – (-5) 
3. Nova linha 
 
4. Nova linha 
(0 -1 1 0 0 1 0 1) – (–1) 
5. Nova linha(0 0 1 0 0 0 1 2) – (0) 
A solução básica e a nova tabela são:
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Solução básica: , , , .
Seguindo o mesmo raciocı́nio empregado, vê-se que , pertencente às VNBs, possui valor negativo, então
ainda pode contribuir na função objetivo, portanto, é a variável que entra na base. Entre as variáveis que estão
na base, a que possui a menor razão é (1,5), portanto, é a variável escolhida para sair. Realizando
exatamente as analogias da iteração passada, a próxima tabela do simplex é a seguinte:
VNB: 
VB: 
Como nenhum coe�iciente das VNBs é negativo, o algoritmo para e essa é a solução ótima.
Veja, na imagem abaixo, a representação grá�ica do problema tratado neste exemplo:
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As variáveis de folga adicionadas no modelo, ao �im do algoritmo, têm o papel de demonstrar o status do
recurso da restrição a qual foi associada. Como , as restrições às quais essas variáveis
foram associadas são abundantes, ao passo que , as restrições associadas a estas são
escassas, isto é, utilizaram todos os recursos disponı́veis. O último quadro simplex traz inúmeras
informações úteis, que serão vistas a posteriori.
Figura 3 - Representação grá�ica do problema.
Fonte: TAHA, 2008, p. 43.
1.4 Análise de sensibilidade
A análise de sensibilidade é uma importante consideração a ser feita do modelo de Programação Linear
resolvido, porque os dados coletados para esse problema dependem de aspectos, como o desempenho do
processo produtivo, o mercado etc. Assim, ela é responsável por analisar até quanto esses aspectos podem
variar, mantendo estável a solução adotada (SILVA et	 al.,	2010). Assim, trazemos um exemplo da obra dos
referidos autores, para contextualizar o conceito (p. 129):
Exemplo:
Sujeito a
 jeito ualizar o conceito: o autor, para melhor entender o coara �icar mais claro o
entendiento 
O quadro simplex inicial do algoritmo é dado a seguir:
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Quadro �inal:
A solução apresentada no quadro �inal será alterada caso entre na base alguma variável não básica, ou seja,
. O objetivo é maximizar o lucro e o foco é saber qual tipo de variação a variável pode sofrer
sem alterar a solução ótima.
Entrada	de	
Pelo quadro �inal, observando a coluna dos coe�icientes de x1, se alterarmos seu valor de 0 para 1, temos:
 diminui em 0,154
 diminui em 0,385
 diminui em 0,462
O coe�iciente de que permite a entrada de é um coe�iciente que iguala o aumento de lucro com a
entrada de com a diminuição do lucro devido às outras variáveis .
Os lucros são conhecidos da tabela inicial do algoritmo e, para termos analı́ticos, traremos o lucro de para
a terminologia Assim, tem-se:
Entrada	de	
Alterarmos seu valor de 0 para 1, temos:
 diminui em -0,308
 diminui em 0,231
 diminui em 0,077
Entrada	de	
Alterarmos seu valor de 0 para 1, temos:
 diminui em -0,23
 diminui em -0,077
 diminui em 0,308
Portanto, as análises foram feitas e encontrados os valores crı́ticos para , que ordenados �icam da seguinte
forma:
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Como os valores não podem ser negativos, assume-se então que, para manter a solução estável, o lucro de 
tem que estar entre 0,75 e 2, ou seja, .
Existem outras formas de se analisar a sensibilidade de um modelo de Programação Linear, mas, para o
ambiente industrial, a mais importante é saber até quanto um lucro pode variar, mantendo a otimalidade do
problema.
VAMOS PRATICAR?
Acabamos de aprender como se faz a análise de sensibilidade de um Prob
Programação Linear, ou seja, agora já sabemos até quanto os coe�icie
função objetivo podem ser alterados, sem que a solução ótima seja mod
Isso quer dizer que, dentro dos intervalos aceitos, a quantidade de cada pr
ser fabricado é a mesma, a única coisa que altera é o valor da função objeti
imagina o motivo? Analise a Figura 3 deste e-book para raciocinar. A d
inclinação da função objetivo faz toda a diferença.
1.5 Dualidade
Segundo Taha (2008, p. 68, grifos nossos), “[...] o problema dual é um PPL de�inido direta e sistematicamente
de acordo com PPL primal (original). Os dois problemas guardam uma relação tão estreita que a solução
ótima de um [...] é a solução ótima do outro”.
Uma das grandes vantagens dos problemas duais é a análise pós-otimização, que permite a identi�icação de
importantes caracterı́sticas do modelo resolvido. Para construção do problema dual, existem regras, que são
enunciadas a seguir.
A primeira delas é que o tipo da função objetivo é diferente no dual. Então, problemas primais de maximização
possuem dual de minimização e vice-versa. Ainda, as restrições do problema primal tornam-se as variáveis
de decisão do dual, assim como as variáveis de decisão do primal são as restrições do dual.
Evidentemente que esse conceito é complexo. Exibiremos como deve ser feita a transformação de um
problema em dual e seguiremos com um exemplo, para facilitar o seu entendimento. Vamos ver!
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A ideia é a inversão. Os coe�icientes das variáveis de decisão na função objetivo tornam-se a parte direita das
restrições do dual. Ao obedecer às regras exibidas no quadro acima, as restrições do primal passam a ter
relação com a função objetivo do dual. Vejamos, na prática, com esse exemplo retirado da obra de Taha (2008,
p. 69).
Quadro 1 - Regras para construção do problema dual.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em TAHA, 2008.
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Em termos práticos, caso um problema primal vise à maximização dos lucros, sua versão dual será
responsável pela minimização dos recursos necessários para a fabricação, considerando aspectos do lucro. A
vantagem disso na prática industrial, por exemplo, é analisar em termos de estoque, como um PPL está se
comportando após a otimização.
1.4.1 Interpretação econômica do dual
CASO
Entendamos o conceito da dualidade. O problema, que era de maximização,
tornou-se de minimização. O primal tinha duas restrições tecnológicas, portanto o
dual terá duas variáveis de decisão, , que são acompanhadas pelos
coe�icientes das restrições do primal. Como ele contava com três variáveis de
decisão, o dual contará com três restrições e os coe�icientes destas será
acompanhado pelo valor que acompanhava cada variável de decisão
correspondente na função objetivo do primal.
Como a primeira restrição do primal era de , a variável de decisão
correspondente a esta no dual será . Paralelamente, como a segunda restrição
era uma igualdade, se torna irrestrita no dual. Assim:
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Para a Engenharia, a maior vantagem de uma análise pós-otimização é a interpretação econômica de como será
a atuação desse modelo na prática. Silva et	 al. (2010, p. 85) trazem um tópico sobre essa parte muito
interessante, o qual será adaptado e abordado aqui.
Exemplo:	Considere o exemplo abaixo, que trata de um mix de produção dos produtos A e B, que dependem
dos recursos X e Y. O quadro abaixo resume os dados:
Agora, observe os modelos primal e dual desse PPL:
Primal:
Sujeitoa
 (recurso X)
 (recurso Y)
A resolução desse modelo pelo algoritmo simplex retorna o seguinte quadro �inal:
Dual:
Sujeito a
A resolução deste modelo dual pelo algoritmo simplex retorna o seguinte quadro �inal:
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Assim, as seguintes interpretações econômicas são retiradas desse caso e podem ser adaptadas para todo e
qualquer modelo de PPL que se deseja construir o modelo dual:
o valor de C (C=30) é obtido no primal S1, representando o valor de oportunidade do recurso X, ou seja, cada
unidade do recurso X tem a capacidade de geração de um lucro de 30. Isso é validado pelo fato de a variável S1,
no primal, ter sido igual a zero, indicando esse ser um recurso escasso. A mesma coisa é feita para analisar o
recurso Y, que tem ligação com a variável D no dual. O fato de ele ser zero é coerente, uma vez que o valor de
S2, sua representação no primal, é igual a 500, portanto, não é um recurso escasso;
no problema dual, a função objetivo mede o valor de oportunidade dos recursos envolvidos na produção, ou
seja, a capacidade do estoque gerar lucro. Na solução ótima, esse valor é exatamente igual ao lucro atribuı́do
aos produtos pelo mercado;
cada restrição compara o valor de oportunidade dos produtos pelos recursos. Na primeira, por exemplo, 2C +
10D indica que o produto A, que usa duas unidades de X e 10 de Y, tem esse valor em termos desses produtos.
O lado esquerdo, 50, indica o valor de mercado, que é exatamente o lucro do produto A.
Chegamos ao �im dos conceitos principais de PPLs. Agora, você já é capaz de resolver um PPL e analisá-lo de
diferentes formas. Vale lembrar que existem pacotes computacionais que auxiliam nesse quesito. Busque
sobre complementos, como o Solver, do Excel, que é bem simples e prático.
VOCÊ QUER VER?
Quer ver como é aplicada, na prática das indústrias, a PL? Leia o artigo de Barbosa et
al. (2016), no qual os autores utilizaram a técnica para a solução de um problema em
uma empresa de pequeno porte. Nesse texto, você conseguirá observar todos os
detalhes da formulação do problema e a solução, além das interpretações econômicas.
Disponıv́el em: http://www.simpep.feb.unesp.br/abrir_arquivo_pdf.php?
tipo=artigo&evento=11&art=992&cad=22265&opcao=com_id.
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VAMOS PRATICAR?
Caro, estudante, para que você possa se apropriar cada vez m
conhecimentos adquiridos nesta unidade, disponibilizamos uma lista de ex
e suas respectivas resoluções.
Lembre-se: A prática é um dos caminhos mais assertivos para ter domıń
os conceitos aprendidos. Faça as atividades e, na sequência, con�ira as re
Bons estudos! 
Clique	
(https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laur
onteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_exer
pdf) para acessar os exercıćios.
Clique	
(https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laur
onteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_gab
df) para acessar as resoluções. 
Síntese
Legal, terminamos uma unidade inteira que tratou da Programação Linear e de seus métodos de resolução,
grá�ico e simplex. Além disso, aprendemos a realizar análises que são muito úteis no contexto de engenharia e
tomada de decisão.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
aprender a definição detalhada de um Problema de Programação
Linear, todas as suas peculiaridades e exigências para que seja
assim caracterizado;
ver como deve ser feita a delimitação das regiões viáveis de um
PPL;
diferenciar as soluções viáveis das soluções ótimas;
fazer a montagem de um PPL na forma canônica para que possa
ser modelado dentro do algoritmo de solução;
conhecer o simplex e suas iterações para resolução de PPLs;
•
•
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•
•
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_exercicios.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_exercicios.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_exercicios.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_exercicios.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_gabarito.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_gabarito.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_gabarito.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_PESOPE_19/unidade_2/ebook/ENG_PESOPE_19_E_2_gabarito.pdf
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por meio dos quadros simplex, aprender a analisar os intervalos
viáveis que as variáveis podem assumir;
criar modelos duais que auxiliam na interpretação econômica da
solução otimizada.
•
•
Bibliografia
ARENALES, M. N. et	al. Pesquisa	operacional.	Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
CURRI�CULO LATTES. Marcone	 Jamilson	 Freitas	 Souza. Disponı́vel em:
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?
id=K4793954E6&tokenCaptchar=03AOLTBLQjiCyc3lIjsdhWJQ7O1VpLuqWLv8p3Z_O-
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HkjkFQPrULtqYF7nSlZ86Zpi8Y9RF-nJRJtO5A4-
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(http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?
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tipo=artigo&evento=11&art=992&cad=22265&opcao=com_id
(http://www.simpep.feb.unesp.br/abrir_arquivo_pdf.php?
tipo=artigo&evento=11&art=992&cad=22265&opcao=com_id). Acesso em: 28 jul. 2019.
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4793954E6&tokenCaptchar=03AOLTBLQjiCyc3lIjsdhWJQ7O1VpLuqWLv8p3Z_O-X2xKUsguQrpd7GZyLMSEqikPEH-hCBUQsgLSyTKpohiv5RVZERZI1A_yFZgHR93BO9WtiIR9lYS0ZEQEA9i1_73elpJjD5d2LTF-7qhwB8PuNz3pbaFipHu5ihMiZ3AQTZiqGtQ_qxIluzJqcwQEeUgGAKXflSA77FshcpnaWT6HimmlBRClOqnAzdgHkjkFQPrULtqYF7nSlZ86Zpi8Y9RF-nJRJtO5A4-0b3isqr48rheE1y7gXeDihYPnxlatqIFCeZkazXCpgNbgZYjgfPFMcXzYBjfaT51p5V64ylQH3r06euuTESx7tw
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https://www.youtube.com/watch?v=29q6FcbTWeU
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https://www.youtube.com/watch?v=29q6FcbTWeU
http://www.simpep.feb.unesp.br/abrir_arquivo_pdf.php?tipo=artigo&evento=11&art=992&cad=22265&opcao=com_id
http://www.simpep.feb.unesp.br/abrir_arquivo_pdf.php?tipo=artigo&evento=11&art=992&cad=22265&opcao=com_id
http://www.simpep.feb.unesp.br/abrir_arquivo_pdf.php?tipo=artigo&evento=11&art=992&cad=22265&opcao=com_id
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13/10/2023, 10:43 Pesquisa Operacional
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