RACIOCINIO LOGICO DESCOMPLICADO-445-447

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430 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. I - Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos ELSEVIER
1) (3| x)(x e N)(x + 5 = 7) que se lê: “existe ura único número x pertencente ao conjunto 
dos números naturais tal que x + 5 = 7”. Realmente, só existe o número 2 que satisfaz essa 
sentença, daí a proposição tem valor lógico Verdade.
2) (3| x)(x € Z)(x2 ~ 4) que se lê: “existe um único número x pertencente ao conjunto dos 
números inteiros tal que x2 = 4”. Essa equação tem duas raizes: 2 e -2. Esses dois números 
são inteiros; portanto, não existe um único, mas, sim, dois valores. Daí, a proposição é 
Falsa.
Da mesma forma que o quantificador universal, também podemos simplificar a represen­
tação simbólica das proposições com quantificador existencial, por exemplo:
• (3x)(xeZ)(x3 = 5x2) pode ser escrita como (3x e NXx3 = 5 x2);
• (3| x)(x € N )(x + 5 = 7) pode ser escrita como (3| x e N )(x +5 = 7).
9.4. Negação de Proposições Quantificadas
9.4.1. Negação do Quantificador Universal
No Capítulo 2 , aprendemos como fazer a negação de proposições que iniciara pela pala­
vra todo. Por exemplo:
• A negação de “Todo poeta é artista” é a proposição: “Algum poeta não é artista”. 
Ou seja, devemos trocar a palavra Todo por Algum e acrescentar o não antes do verbo. 
Aprendemos também que Algum é sinônimo de Existe um; assim, podemos também
afirmar que:
• A negação de “Todo poeta é artista” é a proposição: “Existe um poeta que não é 
artista”.
De forma semelhante, faremos a negação do quantificador universal V: primeiro substi­
tuiremos o V (para todo) pelo 3 (existe um), e depois negaremos a sentença aberta. Simbo­
licamente, podemos escrever:
• A negação de (V x )(P (x )) é a sentença (3x)(-rP(x)). Onde P(x) representa a sen­
tença aberta.
Passemos a alguns exemplos de negação do quantificador universal:
I ) proposição: (Vx)(x e N )(x + 1 > 4)
negação: (3x)(x e N)(x + I < 4)
2 ) proposição: (Vx)(x e R)(x(x-2) = x2 - 2x)
negação: (3x)(x e R)(x(x-2) & x2 - 2x)
3) proposição: (Vx)(x e {2, 3, 5, 7, l l } ) ( x é um número primo)
negação: (3x)(x e (2, 3, 5, 7, ll})(x n ã o é um número primo)
CAMPUS Capítulo 9 -Quantificadores
9-4-2. Negação do Quantificador Existencial
No capítulo 2, vimos como se faz a negação de proposições que iniciara pela palavra Al­
gum (Existe). Por exemplo:
A negação de “Existe chocolate que é gostoso” é a proposição:
“Nenhum chocolate é gostoso”.
Ou seja, devemos simplesmente trocar a palavra Existe por Nenhum.
Você se lembra, na parte de equivalência lógica, que Nenhum A é B é o mesmo que Todo 
A não é B? É claro, como você poderia esquecer. Pois bem, aplicando esta equivalência, 
teremos:
“Todo chocolate não é gostoso”.
Concluindo, quer dizer que podemos fazer a negação do Existe substituindo-o pela pala­
vra Todo e acrescentando um não antes do verbo da frase.
De forma semelhante, faremos a negação do quantificador existencial 3: primeiro subs- 
titui-se o 3 (existe) pelo V (para todo), e depois se nega a sentença aberta. Simbolicamente, 
podemos escrever:
• A negação de (3x )(P (x )) é a sentença (Vx)(->P(x)). Onde P(x) representa a sen­
tença aberta.
Passemos a alguns exemplos de negação do quantificador existencial:
1 ) proposição: (3x)(x e R)(x2 > x)
negação: (Vx)(x e R)(x2 < x)
2 ) proposição: (3x)(x € Q)(l/x é um número natural)
negação: (Vx)(x e Q)(l/x não é um número natural)
3) proposição: (3x)(x e N )(x não é negativo)
negação: (Vx)(x e N )(x é negativo)
Também é possível fazer a negação do quantificador existencial de outra forma: a negação 
de Existe pode ser Não existe, que simbolizamos por ~3. Por esta forma de negar o quanti­
ficador existencial, não é preciso negar a sentença aberta. Exemplos:
1) proposição: (3x)(x e R)(x2 > x)
negação: (~3x)(x <= RXx2 > x)
2) proposição: (3x)(x e Q)(l/x é um número natural)
negação: (~3x)(x <= Q)(l/x é um número natural)
9.5. Representação Simbólica das Proposições Categóricas
A tabela abaixo mostra a representação simbólica (na linguagem da lógica de Ia ordem) de 
cada uma das proposições categóricas.
Raciocínio Lógico Simplificado Vol. i - Prof. Sérgio Carvalho e Prof. Weber Campos ELSEVIER
Proposição Categórica Representação Simbólica
Todo A é B (VX)(A(X) -> B(x))
Algum A é B (3x)(A (x) e B(x))
Nenhum A é B (~3x)(A (x ) e B(x))
Algum A não é B (3x)(A (x) e ~B (x)}
Como era de se esperar a representação do Todo A é B é uma condicional. O Algum A é 
B significa intersecção entre A e B, portanto é representado pela conjunção. O Nenhum A é 
B é a negação do Algum A é B , por isso que sua representação é a do algum com um til (~) 
na frente. E por último, o Algum A não é B é a negação de Todo A é B . Poder-se-ia colocar 
apenas um til (~) na frente, mas optou-se por negar o quantificador V, que é feita pela troca 
do V pelo 3 e a negação da sentença aberta (a negação de A~» B é A e ~B).
9.6. Exercícios Resolvidos
1. Considerando que P(x) eqüivale a “x é animal e x é mamífero” , traduza as seguintes
sentenças simbólicas para linguagem corrente:
a) (3x) P(x)
Solução:
A sentença (3x) P(x) pode ser traduzida como “Existe um x tal que x é animal e x é ma­
mífero”. Esta frase na linguagem corrente pode ser expressa por:
Existe um animal que é mamífero.
b) (Vx) P(x)
Solução:
A sentença (Vx) P(x) pode ser traduzida como “Para todo x, temos que x é animal e x é 
mamífero”. Esta frase na linguagem corrente pode ser expressa por:
Todo animal é mamífero.
c) (31 x) P(x)
Solução:
A sentença (3!x) P(x) pode ser traduzida como “Existe um único x tal que x é animal e x 
é mamífero”. Esta frase na linguagem corrente pode ser expressa por:
Existe um único animal que é mamífero.
d) (Vx) ~-P(x)
Solução:
Como a sentença traz ~P(x), então temos que negar P(x), ou seja, negar “x é animal e x 
é mamífero”.