Raciocinio logico und 3 tp 3

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Unidade 3: Tópico 3
CONSTRUINDO TABELA-VERDADE
EXEMPLO 1:
Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta: p Λ (~ q).
Solução:
Neste caso, temos uma proposição composta que é constituída de 2 proposições simples, p e q.
Portanto, a tabela-verdade terá 22 = 4 linhas.
Inicialmente, devemos completar as duas primeiras colunas com todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p e q.
	p
	q
	~q
	p Λ (~ q)
	V
	V
	
	
	V
	F
	
	
	F
	V
	
	
	F
	F
	
	
Em seguida, devemos realizar a operação de negação da proposição q (~q). Já aprendemos que a proposição ~q será (F) quando a proposição q for (V) e será (V) quando a proposição q for (F).
	p
	q
	~q
	p Λ (~ q)
	V
	V
	F
	
	V
	F
	V
	
	F
	V
	F
	
	F
	F
	V
	
Finalmente, vamos fazer a conjunção p Λ (~ q).
Conforme aprendemos no tópico anterior, quando temos um conectivo de conjunção (^) o resultado será verdadeiro (V) apenas quando ambas as proposições simples tiverem valor lógico verdadeiro (V). Clique abaixo para lembrar a tabela verdade do conectivo conjunção.
Tabela Verdade da Conjunção:
	p
	q
	p Λ  q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Ou seja, em nosso exemplo, na tabela, devemos fazer a conjunção entre a primeira (p) e terceira (~q) colunas. Assim, o resultado será (V) apenas quando a primeira e a terceira colunas tiverem valor lógico (V).
Chegamos então ao resultado final:
	P
	q
	~q
	p Λ (~ q)
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
EXEMPLO 2:
Construa a tabela verdade da seguinte proposição composta: (p → q) ↔ (q ν r).
Solução:
Neste caso, temos uma proposição composta que é constituída de 3 proposições simples, p, q e r.
Portanto, a tabela-verdade terá 23 = 8 linhas.
Inicialmente, devemos completar as três primeiras colunas com todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p, q e r, indicados na cor amarelo.
Na segunda etapa, iremos calcular os valores lógicos da condicional (p → q) completando, assim, a quarta coluna, indicada na cor roxa, que terá valor (F) apenas quando a proposição p for (V) e a proposição q for (F). Clique abaixo para lembrar a tabela verdade do conectivo condicional.
Tabela Verdade da Implicação ou Condicional:
	p
	q
	(p → q)
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
Podemos calcular também os valores lógicos da disjunção (q ν r) completando a quinta coluna, indicada na cor rosa, que terá valor (F) apenas quando as duas proposições q e r tiverem valor lógico (F). Clique abaixo para lembrar a tabela verdade do conectivo disjunção.
Tabela Verdade da Disjunção:
	p
	q
	q ν r
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Teremos então:
	p
	q
	r
	p → q
	(q ν r)
	(p → q) ↔ (q ν r)
	V
	V
	V
	V
	V
	 
	V
	V
	F
	V
	V
	 
	V
	F
	V
	F
	V
	 
	V
	F
	F
	F.
	F
	 
	F
	V
	V
	V
	V
	 
	F
	V
	F
	V
	V
	 
	F
	F
	V
	V
	V
	 
	F
	F
	F
	V
	F
	 
Finalmente, na última etapa vamos realizar a dupla implicação (p → q) ↔ (q ν r) . Ou seja, na tabela devemos fazer a bicondicional entre a quarta e a quinta colunas.
O resultado será (V) apenas quando estas duas colunas tiverem o mesmo valor lógico. Clique aqui para lembrar a tabela verdade do conectivo bicondicional.
Tabela Verdade da Dupla Implicação ou Bicondicional:
	p
	q
	p → q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
Assim, chegamos ao resultado final:
	p
	q
	r
	p → q
	q ν r
	(p → q) ↔ (q ν r)
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
Proposições Equivalentes
Construindo e comparando as tabelas verdade de duas proposições compostas P e Q podemos verificar se os valores lógicos das proposições componentes simples dessas proposições P e Q são iguais.
Uma situação muito importante ocorre quando duas proposições P e Q são iguais para quaisquer valores lógicos de suas proposições componentes. Nesse caso, diremos que essas proposições P e Q são proposições equivalentes.
Em outras palavras: duas proposições serão equivalentes quando tiverem exatamente a mesma tabela verdade.
IMPORTANTE!
Lembre-se sempre que você deverá usar a tabela verdade do conectivo presente na proposição composta para saber os valores lógicos das mesmas.
EXEMPLO 3:
Mostre que as proposições (p → q) e (~q → ~p) e  são proposições equivalentes.
Solução:
Para mostrar que duas proposições são equivalentes, basta construir suas tabelas verdade. Se as tabelas forem iguais, então as proposições serão equivalentes.
A tabela verdade da proposição (p → q) é dada por:
	p
	q
	(p → q)
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
A tabela verdade da proposição (~q → ~p) é dada por:
	p
	q
	~q
	~p
	(~q → ~p)
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
Portanto, as proposições são de fato equivalentes.
Isto significa dizer que a frase “Se Flávia é filha de Fernanda, então Érica é irmã de Flávia” é logicamente equivalente à frase “Se Érica não é irmã de Flávia, então Flávia não é filha de Fernanda”.
EXEMPLO 4:
Mostre que as proposições ~(p Λ q) e (~p ν ~q) são proposições equivalentes.
Solução:
Vamos construir as tabelas verdade destas duas proposições.
A tabela verdade da proposição ~(p Λ q) é dada por:
	p
	q
	p Λ q
	~(p Λ q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
A tabela verdade da proposição (~p ν ~q) é dada por:
	p
	q
	~p
	~q
	~p ν ~q
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
Portanto, as proposições são de fato equivalentes.
Isso significa dizer que a forma correta de fazer a negação da frase “João é advogado e Maria é bonita” é a seguinte: “João não é advogado ou Maria não é bonita”.
Essas duas equivalências lógicas estudadas nos dois últimos exemplos são muito importantes e utilizadas com bastante frequência na resolução de problemas de lógica em concursos públicos.
EXEMPLO 5:
Se Vera viajou, Carla não foi ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:
(a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.
(b) Carla não foi ao casamento e Vera viajou.
(c) Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou
(d) Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou.
(e) Vera e Vanderleia não viajaram.
Solução:
Vamos isolar as proposições lógicas simples que aparecem no enunciado desta questão:
p: Vera viajou.
q: Carla não foi ao casamento.
r: Vanderleia viajou.
s: O navio afundou.
Observe que todas as frases do enunciado são da forma condicional, ou seja, se premissa A então premissa B. Observe também que a únicacoisa que sabemos ao certo da leitura do enunciado é que o navio não afundou. Esta é a nossa verdade absoluta nesta questão. Portanto a proposição s tem valor lógico (F).
Agora vamos utilizar a equivalência lógica demonstrada no exemplo 3.
• Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Mas como temos certeza de que o navio não afundou, então concluímos que Vanderleia não viajou.
Portanto, a proposição r tem valor lógico (F).
• Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Como temos certeza de que Vanderleia não viajou, então concluímos que Carla foi ao casamento.
Portanto, a proposição q tem valor lógico (F).
• Se Vera viajou, Carla não foi ao casamento. Como temos certeza de que Carla foi ao casamento, então concluímos que Vera não viajou.
Portanto a proposição p também tem valor lógico (F).
Podemos concluir que:
• Vanderleia não viajou, Carla foi ao casamento, Vera não viajou e o navio não afundou.
A resposta correta para a questão é a E.
IMPORTANTE!
Sempre desmembre as proposições compostas, isolando as proposições simples, assim o que parecia confuso se torna simples.
Exemplo 6:
Dizer que não é verdade que “André é artista e Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
(a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
(b) André é artista ou Bernardo é engenheiro
(c) André não é artista ou Bernardo é engenheiro.
(d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
(e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Solução:
Nesta questão queremos saber, na realidade, qualé a negação da afirmativa contida no enunciado. Vamos isolar as proposições lógicas simples contidas nele:
p: André é artista.
q: Bernardo é engenheiro.
~q: Bernardo não é engenheiro.
Logo, a proposição composta expressa no enunciado é a seguinte: (p Λ ~q).
Utilizando a equivalência lógica demonstrada no exemplo 4, sabemos que a negação da proposição (p Λ ~q) é logicamente equivalente a ~p ν ~(~q), que é o mesmo que ~p ν q.
Portanto, a negação de “André é artista e Bernardo não é engenheiro” é a frase “André não é artista ou Bernardo é engenheiro”.
A resposta correta da questão é a C.
Exemplo 7:
Se você simplifica o exercício, você acha a resposta. A negação desta proposição é:
(a) Você simplifica o exercício e não acha a resposta.
(b) Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta.
(c) Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta.
(d) Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta.
Solução:
Para resolver este problema, vamos novamente isolar as proposições lógicas simples que aparecem no enunciado da questão:
p: Você simplifica o exercício.
q: Você acha a resposta.
Portanto, queremos encontrar uma equivalência lógica para a proposição ~(p → q), cuja tabela verdade é apresentada a seguir:
	P
	q
	p → q
	~(p → q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
Vamos expressar através de uma proposição cada uma das opções de resposta apresentadas.
No item (a) temos a proposição “Você simplifica o exercício e não acha a resposta”, que é o mesmo que; (p Λ ~q).
No item (b) temos a proposição “Se você simplifica o exercício, você não acha a resposta”, que é o mesmo que: (p → ~q).
No item (c) temos a proposição “Se você não simplifica o exercício, você não acha a resposta”, que é o mesmo que: (~p → ~q).
No item (d) temos a proposição “Você não simplifica o exercício e você não acha a resposta”, que é o mesmo que: (~p Λ ~q).
Agora basta montarmos a tabela verdade destas proposições:
	p
	q
	~p
	~q
	pΛ ~q
	p→ ~q
	~p→ ~q
	~pΛ ~q
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
Observando atentamente as duas tabelas, concluímos que as proposições ~(p → q)  e (p Λ ~q) são logicamente equivalentes.
Portanto, a resposta correta para esta questão é a A.