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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE NÚCLEO DE FORMAÇÃO DOCENTE CURSO DE MATEMÁTICA - LICENCIATURA THOMAS FRUTUOSO ALVES MATEMÁTICA E MÚSICA: uma proposta didático-matemática para abordagem da Progressão Geométrica no Ensino Médio Caruaru 2021 THOMAS FRUTUOSO ALVES MATEMÁTICA E MÚSICA: uma proposta didático-matemática para abordagem da progressão geométrica no Ensino Médio Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado ao Curso de Graduação em Matemática- Licenciatura da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a graduação em Licenciatura em Matemática. Área de concentração: Ensino/ Matemática Orientador: Profº Dr. José Ivanildo Felisberto de Carvalho Caruaru 2021 Catalogação na fonte: Bibliotecária – Simone Xavier - CRB/4 - 1242 A474m Alves, Thomas Frutuoso. Matemática e música: uma proposta didático-matemática para abordagem da progressão geométrica no ensino médio. / Thomas Frutuoso Alves. – 2021. 74 f. ; il. : 30 cm. Orientador: José Ivanildo Felisberto de Carvalho. Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso) – Universidade Federal de Pernambuco, CAA, Licenciatura em Matemática, 2021. Inclui Referências. 1. Séries geométricas. 2. Matemática – Estudo e ensino. 3. Música no ensino de Matemática. 4. Ensino médio. I. Carvalho, José Ivanildo Felisberto de (Orientador). II. Título. CDD 371.12 (23. ed.) UFPE (CAA 2021-122) THOMAS FRUTUOSO ALVES MATEMÁTICA E MÚSICA: uma proposta didático-matemática para abordagem da progressão geométrica no Ensino Médio Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado ao Curso de Graduação em Matemática- Licenciatura da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a graduação em Licenciatura em Matemática. Área de concentração: Ensino/ Matemática Aprovada em: 02/08/2021 _____________________________________________ Profº. Dr. José Ivanildo Felisberto de Carvalho (Orientador) ______________________________________________ Profº. Dr. Valdir Bezerra dos Santos Júnior (Examinador Interno) ___________________________________________________ Profº. Me. José Jefferson da Silva (Examinador Externo) ___________________________________________________ Profº. Me. André Fellipe Queiroz Araújo (Examinador Externo) Este trabalho é dedicado à minha família, em especial, a minha esposa Michely Albuquerque que nesses longos anos de graduação esteve sempre ao meu lado me apoiando em tudo. Aos meus filhos Thomas, Tarcíla, Dayana, Christian, Eduarda, Ian e por fim... as famílias dos mais de 500mil mortos pela COVID-19. AGRADECIMENTOS Em primeiro agradeço a Deus pela oportunidade desta vida e ao mestre Jesus, exemplo de ser humano a ser seguido por todos nós! Agradeço a minha Mãe e as minhas tias, Vanda e Marta, por sempre destacar que apenas o caminho dos estudos mudará as nossas vidas, não apenas materialmente, mas também espiritualmente. Agradeço também ao Ex-Presidente Luiz Inácio Lula da Silva e ao Ex-Ministro da Educação Fernando Haddad pois, sem a interiorização das Universidades Federais já mais poderia sentir o prazer de me formar em uma Universidade Federal, EM MINHA CIDADE! Ao meu orientador que acreditou no meu projeto, foi extremamente paciente e compreensivo durante toda essa parceria, contribuindo de forma inenarrável para este momento... um exemplo de Professor e pessoa, sempre a favor das minorias sociais! Não poderia de deixar de agradecer ao SUS e Ciência Brasileira no dia 15/06/2021 recebi a primeira dose da vacina contra o COVID-19. Viva o SUS Viva a Ciência! Aos meus alunos, amigos, professores da faculdade e colegas de trabalho por compartilharem momentos de extrema importância na busca de uma Educação de qualidade. Enfim, a todos que participaram direta e indiretamente na construção desta jornada. Muito obrigado!!! RESUMO Este trabalho apresenta e discute o ensino de sequências numéricas, especificamente a progressão geométrica (PG) por meio de uma proposta didático-matemático articulado a música enquanto linguagem artística. Nessa perspectiva objetivou-se: Investigar uma proposta interdisciplinar, matemática e música, para abordagem no Ensino Médio do conceito de progressão geométrica numa perspectiva didático-matemático articulada com uma reflexão das múltiplas inteligências. Para isto tomamos como pressupostos teóricos a Teoria das Múltiplas Inteligência (TMI) concebida por Howard Gardner e a Teoria da Idoneidade Didática de Juan Godino. A abordagem da proposta didática interdisciplinar tem como foco a etapa de escolaridade do Ensino Médio, do conceito de progressão geométrica operacionalizando as seis facetas de Idoneidade Didática (Epistêmica, Cognitiva, Interacional, Mediacional, Emocional e Ecológica). Por meio deste estudo, de natureza qualitativa, foi possível, constatar que a proposta é potencialmente significativa contribuindo para a construção conceitual na abordagem articulada de um conceito matemático por meio de uma linguagem artística, em nosso caso, a música. As facetas mobilizadas clarificam critérios importantes para abordagens idôneas com o conceito de Progressão Geométrica. Palavras-chave: Progressão Geométrica. Matemática e Música. Idoneidade Didática. ABSTRACT This work presents an discusses the teaching numerical sequences, specifically geometric progression (GP) through a didactic-mathematical proposal articulated with music as an artistic language. In such perspective, the objective was: carrying out a bibliographic survey of pedagogical works and practices developed in Brazil and abroad that unites Mathematics and Music; building a didactic, interdisciplinary proposal that provides an intersection between these two areas, based on the assumptions of the Theory of Multiple Intelligence (MIT) conceived by Howard Gardner and the Theory of Didactic Proficiency by Juan Godino. Approach of the interdisciplinary didactic proposal focuses on the stage of high school education, the concept of geometric progression operationalizing the six facets of Diatic Suitability (Epistemic, Cognitive, Interactional, Mediational, Emotional and Ecological). Through this qualitative study, it was possible to verify that the proposal is potentially significant, contributing to the conceptual construction in the articulated approach of a mathematical concept through an artistic language, in our case, music. The mobilized facets clarify important criteria for suitable approaches with the concept of Geometric Progression. Keywords: Concept of Geometric Progression. Mathematics and Music. Ontosemiotic approach. LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Nível de conhecimento didático-matemático do professor...................................... 22 Figura 2 - Hexágono explicando o mapa de idoneidade de um estudante em tese final de mestrado (TFM) ........................................................................................................................ 23 Figura 3 - Pentagrama musical ................................................................................................. 39 Figura 4 - Intervalos musicais (tons) ........................................................................................ 39 Figura 5 - Intervalos musicais (Comas) .................................................................................... 40 Figura 6 - Intervalos musicais temperado.................................................................................40 Figura 7 - Materiais .................................................................................................................. 54 Figura 8- Notas musicais da escala temperada ......................................................................... 56 Figura 9 -Termos da PG formando gráfico exponencial .......................................................... 58 Figura 10 - Notas da escala temperada x logaritmos ................................................................ 59 LISTA DE QUADROS Quadro 1 - Mapeamento sobre o Ensino e Aprendizagem de sequências numéricas .............. 25 Quadro 2 - Mapeamento sobre o Ensino o tema matemática e música .................................... 31 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Relação entre a nota e sua frequência tomando como base a nota lá ...................... 42 Tabela 2 - Valores (comprimento, frequência) ......................................................................... 57 Tabela 3 - Tom das notas acimada do Dó ................................................................................ 58 Tabela 4 - Valores (oitava, frequência) .................................................................................... 61 LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1 - Quantitativo de tarefas resolvidas com/sem P.A/P.G. no enunciado ..................... 28 Gráfico 2 - Quantitativo de tarefas propostas aos alunos com/sem P.A./P.G. no enunciado ... 28 Gráfico 3 - Função exponencial crescente ................................................................................ 46 Gráfico 4 - Função exponencial decrescente ............................................................................ 47 Gráfico 5 - Função logarítmica crescente ................................................................................. 48 Gráfico 6 - Função logarítmica decrescente ............................................................................. 49 Gráfico 7 - Sistema Ortogonal Cartesiano – (n x v) ................................................................. 59 Gráfico 8 - Função Exponencial e Logarítmica........................................................................ 61 LISTA DE ABREVIATURAS CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior DCNEB Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica EOS Enfoque Ontossemiótico do Conhecimento e da Instrução Matemática PA Progressão Aritmética PG Progressão Geométrica Pibid Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência PNLD Programa Nacional do Livro e do Material Didático PROFMAT Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional TAD Teoria Antropológica do Didático TEM Teoría y Metodología de Investigación en Educación Matemátical TFM Tese Final de Mestrado TID Teoria da Idoneidade Didática TMI Teoria das Múltiplas Inteligências TMI TFM Tese Final de Mestrado UGR Universidade de Granada UNIVESP Universidade Virtual do Estadual Paulista SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 15 2 OBJETIVOS ........................................................................................................... 18 2.1 GERAIS ................................................................................................................... 18 2.2 ESPECÍFICOS ......................................................................................................... 18 3 UMA BREVE DISCURSÃO SOBRE A TEORIA DAS INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS .......................................................................................................... 19 4 TEORIA DA IDONEIDADE DIDÁTICA ........................................................... 21 5 ESTUDOS ANTECEDENTES ............................................................................. 25 5.1 MAPEAMENTO DE PESQUISAS SOBRE ENSINO E APRENDIZAGEM DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS ................................................................................ 25 5.2 PESQUISAS SOBRE O TEMA MATEMÁTICA E MÚSICA .............................. 31 6 BREVES CONCEITOS MUSICAIS .................................................................... 38 6.1 INTERVALOS MUSICAIS .................................................................................... 39 6.2 ESCALA TEMPERADA ......................................................................................... 41 7 DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS ......................................................................... 43 7.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL .................................................................................... 43 7.2 PROPRIEDADES BÁSICAS DAS OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS ............... 44 7.2.1 Potência com expoente natural. ............................................................................ 44 7.2.2 Propriedades da potência com expoente natural ................................................ 44 7.2.3 Potência com expoente inteiro negativo. .............................................................. 45 7.2.4 Raiz enésima aritmética......................................................................................... 45 7.2.5 Potência de expoente racional. .............................................................................. 46 7.2.6 Definição da função exponencial .......................................................................... 46 7.3 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................... 47 7.3.1 Propriedades operatórias ...................................................................................... 47 7.3.2 Definição ................................................................................................................. 48 7.4 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ............................................................................ 49 8 METODOLOGIA .................................................................................................. 51 9 DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DIDÁTICO-MATEMÁTICA ....... 53 9.1 CARACTERIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................ 53 9.2 PÚBLICO ALVO .................................................................................................... 53 9.3 PROCEDIMENTOS ................................................................................................ 55 10 ANÁLISE DA PROPOSTA DIDÁTICO-MATEMÁTICA POR MEIO DOS CRITÉRIOS DE IDONEIDADE DIDÁTICA. ................................................... 62 11 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 70 15 1 INTRODUÇÃO O comportamento dos sons na forma de melodia, harmonia e ritmo, são estudados e compreendidos através da matemática, antes da era cristã. Abdounur (2015) afirma que os primeiros sinais de casamento entre a matemática e a música surgiram no século VI a.C., quando Pitágoras, através de experiências com um monocórdio1, estabeleceu relações entre a matemática e a música associando intervalos musicais a frações. Acrescenta ainda, que tais descobertas deram luz ao que mais tarde se tornou parte de um dos currículos mais importantes da antiguidade o quadrivium o qual compreendia a música como sendo o quarto ramo da matemática enxergando-a como estudo dos números em movimento. Para muitos essa convenção rítmica ao longo da história é totalmente desconhecida, entretanto, há uma relevante intersecção no percurso histórico dessas áreas e por trás das emoções que nos contagiam, as melodias instigantes e os sentimentos de prazer que sentimos ao ouvir música há aplicações matemáticas da teoria dos conjuntos, álgebra abstrata, teoria dos números, sequências numéricasentre vários outros conceitos e eixos da matemática isto, por si só se torna algo significativo e instigante para uma pesquisa em Educação Matemática. Esse desconhecimento faz com que o estudante não enxergue a importância do processo histórico e para aqueles que entendem a matemática apenas de forma abstrata e difícil - isso pode levar o aluno a pensar que não é capaz de aprender - ela se torna clara e significativa através de processos interdisciplinares transcorrendo por várias disciplinas, entre elas a Música. Inúmeros são os trabalhos acadêmicos que põe em evidência a importância de se trabalhar aplicando a interdisciplinaridade, permitindo uma construção significativa do conhecimento matemático ou até mesmo de outra área do conhecimento, como a música por exemplo. Podemos destacar os estudos de Lück (1995), Jolibert (1994), Petraglia (1993) e Fazenda (1992). Japiassu (1976, p. 52) afirma que “trata -se de um gigantesco, mas indispensável esforço que muitos pesquisadores realizam para superar o estatuto de fixidez das disciplinas e para fazê-las convergir pelo estabelecimento de elos e de pontes entre os problemas que elas colocam.” A argumentação sobre a importância da interdisciplinaridade no ensino e a aprendizagem surge como um dos alicerces da Teoria das Múltiplas Inteligências (TMI), 1 O monocórdio é um instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos sobre uma prancha, possuindo ainda, um cavalete móvel colocado sob a corda para dividi-la em duas sessões (ABDOUNUR 2002) 16 concebida por Howard Gardner em 1994. Esse pensamento encaixa-se dentro das concepções de inteligências Coletivas, podendo ser encontrados pontos em comum que são discutidos por Lévy (1995) conectando a estas a visão de diferentes inteligências. A partir dessas reflexões, de que forma um professor de Matemática pode intervir criando situações que incentivem a relação dos alunos com suas inteligências de maneira decisiva? É possível algum material ou objeto facilitar o estimulo das múltiplas inteligências? Interrogações como essas e outros questionamentos fazem parte das inquietações dos pesquisadores - MEC (1999), Lopes (2015) -, e também das nossas. A proposta geral desse trabalho é introduzir a sequência numérica conhecida com progressão geométrica (PG) de tal forma que o aluno possa compreender de forma eficaz e prazerosa os conceitos e aplicações. Para isso abordaremos fundamentos básicos da teoria musical que se relacionam com PG. A Base Comum Curricular (BNCC) apresenta que (BRASIL ,2018, p. 270) “os conceitos deverão identificar e associar sequências numéricas PG a funções exponenciais de domínios discretos para análise de propriedades, incluindo dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas”, isto é, fazer com que o aluno identifique que a sequência geométrica é também função exponencial e assim vivenciar suas aplicações práticas manipulando adequadamente suas propriedades Ainda segundo documento (BRASIL, 2018, p. 16) “o ensino dos conteúdos e componentes curriculares deverá ser realizado de forma contextualizada para apresentá-los, representá-los e torná-los significativos” isso é considerado um desafio por muitos professores, por apresentar a dificuldade de criar e organizar situações potencialmente significativas . Para isso pretendemos usar a escala musical temperada ou cromática e seus intervalos auxiliando essa contextualização, no ensino da PG com alunos do primeiro ano do Ensino Médio. O intuito desta pesquisa foi definido pela experiência do pesquisador como músico e professor de teoria musical de instrumentos percussivos vivenciada antes da graduação. Durante a graduação com a participação no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid) interdisciplinar física e matemática enxergou a possibilidade de uma proposta interdisciplinar usando a história da matemática/música como ferramenta para o ensino de matemática. 17 Partindo das considerações acima, chegamos a seguinte situação problema: quais práticas pedagógicas interdisciplinares entre a matemática e a música podem proporcionar uma alternativa didática e auxiliar no ensino e na aprendizagem da sequência numérica (PG) progressão geométrica? A partir do conhecimento teórico, foram elaborados a identificação do tema, e formulação do problema de pesquisa. Com embasamento do referencial teórico foi proposto uma sequência didática, a fim de contribuir no ensino da matemática e dá suporte à comunidade escolar sobre o referido tema e para isso, traçamos os seguintes objetivos: Para o desenvolvimento do trabalho apresentamos no segundo capítulo o objetivo geral e específico da pesquisa, no terceiro capítulo uma breve discussão sobre a teoria das inteligência múltiplas, no capítulo seguinte, trazemos também o Enfoque Ontossemiótico (EOS) e os critérios de a teoria da Idoneidade Didática, abordado por Godino (2008); no quinto capítulo expomos um mapeamento sobre pesquisas de Ensino e Aprendizagem da sequência numérica PG bem como pesquisas sobre o tema matemática e música. No sexto capítulo apresentamos breves conceitos musicais importantes para compreensão do trabalho; seguidamente do capítulo de conceitos matemáticos no capítulo oito se encontra a metodologia e os passos da pesquisa; o capítulo nove há a construção e explicação do recurso didático; o capítulo dez encontra-se a análise do recurso didático por meio dos critérios de Idoneidade; e por fim no capítulo onze apresentamos nossas considerações finais. 18 2 OBJETIVOS 2.1 GERAIS 1) Desenvolver uma proposta didático-matemática de maneira interdisciplinar, envolvendo a matemática e música, para abordagem conceito de progressão geométrica no Ensino Médio do numa perspectiva didático-matemática articulada com uma reflexão das múltiplas inteligências. 2.2 ESPECÍFICOS 1) Construir uma proposta para ensino e aprendizagem do conceito de progressão geométrica no Ensino Médio articulada a música enquanto linguagem artística; 2) Analisar a referida proposta sob a perspectiva da Teoria da Idoneidade Didática 19 3 UMA BREVE DISCURSÃO SOBRE A TEORIA DAS INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS Howard Gardner é um pesquisador norte-americano que dedicou parte de sua vida acadêmica aos estudos relacionados à psicologia cognitiva e educacional. Gardner teve grande parte da sua vida acadêmica ligada a universidade de Harvard. Lançou, em 1983, sua teoria voltada para a aprendizagem escolar que tinha como fator principal a importância das múltiplas inteligências. (MI) Parcela significativa das concepções aplicadas por Gardner (VEENEMA & GARDNER, 1996) para construir a TMI é fundamentada em princípios do cognitivismo que possui, com grande relevância e implicação, a ideia de que para a educação a mente não é entendida como uma única expressão ou até mesmo de uma única linguagem de expressões mas, exatamente, todas as pessoas possuem inúmeras expressões internas em suas mentes/cérebros. Essas expressões são definidas por Gardner (2002) como TMI. Ao se estudar as TMI, torna-se indispensável também definir "inteligência" de acordo com a teoria. Gardner (1999) apresenta que as inteligências não é algo que pode ser visto ou contado, muito pelo contrário, são áreas no célebro humano que correspondem a determinados espaços de cognição. Embora seja difícil apontar quais são essas áreas existe uma convenção de que cada uma delas possam expressar uma forma diferente de inteligência, isto é, de se responsabilizar pela solução ou elaboração de problemas válidos para uma cultura levando em consideração que essas áreas poderão ser ou não ativadas, dependendo dos valores de uma cultura em particular, das oportunidades disponíveis nessa cultura, e das decisões pessoais feitas por indivíduos e/ou por seus familiares, professorese outros. Gardner diz no início de seu livro (2002, p. 7): A exata natureza e extensão de cada 'estrutura' individual não é até o momento satisfatoriamente determinada, nem o número preciso de inteligências foi estabelecido. Parece-me, porém, estar cada vez mais difícil negar a convicção de que há pelo menos algumas inteligências, que estas são relativamente independentes umas das outras e que podem ser modeladas e combinadas numa multiplicidade de maneiras adaptativas por indivíduos e culturas. 20 Gardner, (2002) define que todos os seres humanos possuem sete potencialidades ou inteligências, que são elas Lógico-Matemática, Linguística, Espacial, Corporal Cinestésica, Interpessoal, Intrapessoal e Musical. Inteligência Linguística: São capacidades de pensar em palavras e usar a linguagem para expressar e apreciar significados complexos. Escritores, jornalistas, repentistas e também professores estão entre as atividades que demonstram um alto nível de desenvolvimento dessa inteligência. Inteligência Lógico - Matemática: É a capacidade calcular, medir, considerar proporções e hipóteses, e realizar operações matemáticas complexas. Cientistas, contadores, engenheiros e pedreiros, demonstram grande desenvoltura dentro dessa Inteligência. Inteligência Espacial: São as capacidades de pensar tridimensionalmente, perceber imagens internas ou externas, de recriar, transformar, ou modificar imagens, de localizar a si mesmo e objetos no espaço e de produzir ou deduzir informação gráfica. Arquitetos, escultores, artistas gráficos, pilotos e motoristas profissionais são profissões que utilizam habilidades dentro do espectro dessa inteligência. Inteligência Corporal - Cinestésica: Compreende as capacidades de usar o corpo todo para expressar ideias e sentimentos e facilidade no uso das mãos para produzir ou transformar coisas. Inclui habilidades físicas específicas tais como coordenação, equilíbrio, capacidades táteis. Atletas, dançarinos, cirurgiões e também artesãos se apoiam sobremaneira nessa inteligência para suas atividades. Inteligência Musical: Compreende as capacidades de identificar, distinguir, transformar e expressar padrões musicais. Destaca a percepção ao ritmo, tom, melodia e timbre. Entre as profissões que demonstram esta inteligência em suas atividades estão músicos profissionais, maestros, DJs, Inteligência Interpessoal: Capacidade de se relacionar com outras pessoas, entender e reagir adequadamente a seu meio social e desenvolver relações saudáveis e produtivas. Perceber e interagir, fazer distinções no humor, intenções e motivações Inteligência Intrapessoal: Referente ao conhecimento de si mesmo, autoconhecimento, conhecer seus próprios pensamentos, sentimentos, ações, limites e a capacidade de agir adaptativamente. 21 4 TEORIA DA IDONEIDADE DIDÁTICA Nos últimos anos inúmeras são as pesquisas, na formação inicial ou continuada, dos professores da educação básica, destacando os conhecimentos necessários para propiciar aos alunos uma aprendizagem significativa. Na perspectiva de maximizar esses conhecimentos fundamentais aos professores para um ensino sólido, surgue o modelo teórico: O Enfoque Ontosemiótico do Conhecimento e a Instrução Matemática (EOS). Com suas origens a partir de pesquisas do grupo de estudo “Teoría y Metodología de Investigación en Educación Matemátical” (TEM) da Universidade de Granada (UGR), na Espanha, no princípio da década de noventa liderados por Juan Díaz Godino. O EOS é o resultado da análise de fundamentos, questões e métodos de diferentes pontos da Didática da Matemática. As questões iniciais que formam a base para tal teoria podem ser sintetizadas em duas, segundo Godino (2012) são elas: Problema epistemológico: O que é um objeto matemático? Qual significado de um objeto matemático? Podendo ser entendido como: 𝜋, integrais, operações, etc. “Este problema epistemológico, isto é, referido ao objeto matemático como entidade cultural ou institucional, é dialeticamente complementada pelo problema cognitivo associado, ou seja, o objeto como uma entidade pessoal ou psicológica” (idem, p.52): Problema semiótico-cognitivo: Como reconhecer um objeto matemático? O que significa um objeto matemático para um sujeito. Podemos observar que no problema inicial abordado pela EOS há uma questão epistemológica (para especificar e explicitar a natureza do objeto matemático e sua emergência a partir das práticas matemáticas), e um problema cognitivo (para caracterizar o conhecimento a partir do ponto de vista subjetivo). Tais problemas foram delineados a partir do problema ontológico institucional, sociocultural e conhecimento pessoal A partir disto a EOS proporcionou critérios para os possíveis estados das trajetórias epistêmicas e cognitivas. Atualmente o conjunto de noções teóricas que compões a EOS são classificados em cinco grupos, cada um deles permitem um nível de análise dos processos de ensino e aprendizagem de conteúdos específicos da Matemática. 22 Figura 1 - Nível de conhecimento didático-matemático do professor Fonte: Godino et al, 2016, p. 292 A idoneidade didática está estabelecida dentro dos níveis de conhecimento didático- matemático do professor de matemática de acordo com a Figura 1 estabelecendo um critério geral de adequação/idoneidade matemática, relevância das ações e dos agentes educativos dos saberes aplicados. O ponto de partida para uma a Teoria da Idoneidade Didática (TID) leva em consideração, de forma sistêmica, as dimensões epistêmicas - ecológicas, cognitivas - afetivo, interacional - mediacional envolvidas nos processos de estudo do áreas específicas. A adequação didática de um processo instrucional é definida como a articulação coerente e sistêmica dos seguintes seis componentes (GODINO 2011, p 215) 23 Figura 2 - Hexágono explicando o mapa de idoneidade de um estudante em tese final de mestrado (TFM) Fonte: Godino, 2012, p. 82 • EPISTÊMICA: se refere ao grau de representatividade dos significados objetos matemáticos (conceitos, proposições e procedimentos). Quando se indica que eles são apresentados de forma clara e correta e adaptados ao nível educacional para o qual é direcionado, as questões/problemas são consideradas(os) como uma amostra representativa e articulada de situações que permitem contextualizar, exercitar, expandir e aplicar o conhecimento matemático, que os alunos vêm da própria matemática e de outros contextos. • COGNITIVA: Esta faceta analisa se as situações propostas que permitem avaliar se o aluno estabelece conexões entre os diferentes objetos matemáticos e entre seus significados correspondentes. Para que os alunos estabeleçam as ligações adequadas entre os diferentes conteúdos e, desta forma, encarem a aprendizagem com garantias de sucesso deve-se analisar se o nível de dificuldade do conteúdo pretendido é maleável em seus diversos componentes, estuda-se se os conceitos, procedimentos, proposições são apresentadas em um grau crescente de complexidade • INTERACIONAL: as configurações e trajetórias didáticas permitem identificar e resolver os conflitos de sentidos favorecendo um processo independente de aprendizagem e desenvolvimento de habilidades entre professor-aluno e aluno-aluno permitindo situações em que os alunos são causadores da construção do conhecimento pretendido. 24 • MEDIACIONAL: Dois componentes são relevantes nesta faceta os recursos materiais e o tempo. Disponibilidade e adequação dos recursos materiais - uso do livro didático, materiais manipuláveis, áudio, vídeo, - e temporais necessários para viabilidade, desenvolvimento e aplicabilidade do processo de ensino aprendizagem. • AFETIVA: Interesse do aluno, conteúdos que dependem basicamente de sua prévia história escolar/social e estão relacionadosaos problemas sociais ou à vida social dos alunos como emoções, crenças, atitudes etc. Está faceta também contempla os componentes que permite promover a autoestima, evitando rejeição, fobia ou medo da matemática • ECOLÓGICA: o processo de estudo se ajusta ao projeto educativo da escola e da sociedade, ou seja, refere-se ao grau em que um plano de aula de matemática é construído, levando em consideração o ambiente em que será usado. Por ambiente compreendemos tudo o que está fora da sala de aula, preservando a atividade que nela ocorre. Assim, podemos nos referir a tudo o que é geralmente determinado pela sociedade, pela escola, pela pedagogia, pela didática da matemática. 25 5 ESTUDOS ANTECEDENTES Apresentamos, primeiramente, neste capítulo um mapeamento de pesquisas que tratam sobre o Ensino e Aprendizagem de sequências numéricas e em seguida a importância e dificuldades perante esse assunto. 5.1 MAPEAMENTO DE PESQUISAS SOBRE ENSINO E APRENDIZAGEM DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Destacamos a seguir alguns trabalhos sobre o ensino e aprendizagem de sequências numéricas. Buscamos investigar trabalhos em repositórios de Universidades Federais e Institutos Federais que apresentassem metodologias para o ensino, análise de livros e resultados sobre esse conceito. A seguir, apresentamos um quadro com os trabalhos investigados, os quais foram escolhidos a partir de temas: Quadro 1 - Mapeamento sobre o Ensino e Aprendizagem de sequências numéricas TEMA CLASSIFICAÇÃO TÍTULO AUTOR(ES) ANO Metodologia de ensino Artigo em revista Contribuições da metodologia de resolução de problemas para a compreensão do conceito de soma de progressões Geométricas Charles Bruno da Silva Melo; Eleni Bisognin 2021 Livros didáticos Dissertação de Mestrado Progressões aritméticas e geométricas: praxeologias em livros didáticos de matemática Eliane Aparecida Martins de Almeida 2012 Resultados de discentes e docentes Comunicação científica Análise das dificuldades do ensino de progressões Ana Priscila, Borges Bermejo; Mônica Suelen Ferreira de Moraes; Vagner Viana da Graça 2010 Artigo em revista Conhecimento do conteúdo de sequências numéricas: uma pesquisa com Professores em formação inicial ou continuada Bruna Moresco Rizzon; Isolda Gianni de Lima; Laurete Zanol Sauer; Helena Noronha Cury 2010 Fonte: O autor, 2021. 26 Melo e Bisognin (2021) apresenta em sua pesquisa, os resultados de um trabalho que teve como objetivo investigar as contribuições da “Metodologia da Resolução de Problemas para os processos de ensino e aprendizagem da soma dos termos de uma progressão geométrica”. (p. 3) A realização da pesquisa deu-se, através uma experiência de ensino com 23 alunos de uma turma de segundo ano do Ensino Médio de uma escola estadual do no estado do Rio Grande do Sul – RS e foram construídas atividades com fim de formar imagens de conceito ligadas à soma dos termos de uma PG . O autor aplicou a Metodologia de Ensino Através da Resolução de Problemas proposta por Onuchic e Allevato (2009) que favoreceu o trabalho em sala fortalecendo o dialogo entre os alunos abrindo campo significativas para intervenções do professor instigando o raciocínio dos alunos, entretanto, a primeiro momento os alunos estranharam tais processos de ensino que exige certa autonomia de parte deles. “...fato ocorre, pois, normalmente, os conceitos são trabalhados a partir de definições seguidas de exemplos e exercícios, quando o professor apenas transmite o conteúdo” (p.12) Os alunos sentiram algumas dificuldades em relação à interpretação dos enunciados, à descrição das estratégias de solução e ao uso da linguagem matemática formal. Apesar dessas dificuldades, a maioria conseguiu se apropriar dos conceitos trabalhados. Portanto, pode-se considerar que a construção das imagens do conceito, propiciada pelas atividades propostas, e a Metodologia de Ensino Através da Resolução de Problemas favoreceram um processo significativo de ensino- aprendizagem-avaliação desse conteúdo (MELO, C. B. DA; BISOGNIN, E. p.16) A pesquisa de Almeida (2012) originada na Universidade Federal de Mato Grosso no Programa de Pós-Graduação em Educação teve como objetivo “...investigar como os livros didáticos propõem o estudo das progressões aritméticas e geométricas no primeiro ano do Ensino Médio.” (p.7) Foram analisados trabalhos de livros aprovados pelo PNLD 2012. Para os estudos dos livros didáticos a autora tomou como referência para a sua metodologia a Teoria Antropológica do Didático (TAD), mais especificamente nas praxeologias, propostas por Chevallard (1999) e na Teoria dos Jogos de Quadros de Douady (1992). Almeida (2012) apresentou a análise do trabalho dividida em quatro partes que são: Parte 1: Compreende os aspectos históricos retratados em livros didáticos no capítulo referente às progressões. Parte 2: Refere à parte conceitual, ou seja, tarefas voltadas à introdução de conceitos. 27 Parte 3: Tarefas resolvidas nas obras, com suas respectivas técnicas e discurso tecnológico-teórico. Inicialmente identificadas como dois tipos de tarefas: 1. Que trazem explícitas P.A/P.G. no enunciado; 2. Que não explicitam P.A./P.G no enunciado. A partir desses dois grupos emergiram outros, os quais dividimos em 3 blocos de tarefas: Bloco 1 – Limitadas ao próprio conteúdo Bloco 2 – Conexões internas à própria Matemática Bloco 3 – Tarefas de Aplicação Parte 4: Tarefas propostas aos alunos. Selecionadas atendendo aos três blocos mencionados anteriormente. Na primeira parte da análise dos livros didáticos Almeida (2012) afirma que os aspectos históricos retratados no capítulo referente às progressões não estão restritos apenas na apresentação breve de curiosidades ou à apresentação de biografias de matemáticos famosos. Pois os autores buscam, quando possível estabelecer relações com suas aplicações na realidade. Seguindo para a segunda parte da análise, a parte conceitual, ou seja, as exercícios voltados à introdução de conceitos mostram que as obras seriam capazes de apresentar que as fórmulas utilizadas nas soluções dessas tarefas decorrem de propriedades trabalhadas anteriormente: O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G. é igual ao produto desses extremos. Caso contrário, isso se reduz a uma enxurrada de letras que seguramente levará a pobres técnicas de memorização, sem nenhum significado. “As obras sequer mencionam como elas foram obtidas, existe somente o argumento de que elas podem facilitar alguns cálculos que envolvem P.A. e P.G. Na verdade isso se caracteriza como os famosos ‘macete’” (ALMEIDA, 2012, p.99) No terceiro momento da pesquisa é apresentado a porcentagem média dos exercícios resolvidos que não trazem P.A./P.G. no enunciado três, dos quatros livros didáticos LD analisados, essa porcentagem é de 22% com exceção para o LD4 que sua porcentagem é de aproximadamente 52% veja no gráfico. 28 Gráfico 1 - quantitativo de tarefas resolvidas com/sem P.A/P.G. no enunciado Fonte: Almeida, 2012, p. 100 Outro momento relevante da terceira etapa da pesquisa é dos processos matemáticos utilizados na solução dessas questões ficando predominantemente a solução algébrica, ou seja, manipulação e aplicação de formulas fazendo uso apenas do processo numérico como feramente desconsiderando o processo geométrico das sequências como os gráficos, sólidos geométricos, segmentos de reta etc. Por consequência a conexão da PG com o conteúdo função exponencial como exercícios resolvidos não estão presentes em dois dos quatro livros analisados. Não identificamos na parte conceitual dos LD3 e LD4 a articulação do conteúdo sequências com funções. Essa articulação é dada pelos LD1 e LD2 nas TC3 e TC9 (interpretar geometricamenteP.A. e P.G., respectivamente), nas quais se estabelece relações com funções afim e exponencial. (ALMEIDA, 2012, p 116) Por fim na última etapa da análise dos livros didático os exercícios propostos aos alunos foram classificados do mesmo modo que as exercícios resolvidos pelos autores, destacado anteriormente, veja o gráfico: Gráfico 2 - Quantitativo de tarefas propostas aos alunos com/sem P.A./P.G. no enunciado Fonte: Almeida, 2012, p. 109 29 Os exercícios propostos aos alunos recaem no mesmo ponto que os exercícios resolvidos onde a conexão das sequencias, tanto aritmética quando geométrica, com o conteúdo de função do primeiro grau com a exponencial pobres. As tarefas que estabelecem conexões internas à própria Matemática (Bloco 2) são frequentes nos LD1, LD2, LD3 e LD4. Observamos que os livros propõem pouquíssimas tarefas que se articulam com o conteúdo funções. As obras propõem tarefas que estabelecem conexões com outros conteúdos da Matemática, como, fração geratriz, ângulos, equação do segundo grau, múltiplos e divisores, média, teorema de Pitágoras etc (ALMEIDA, 2012, p 121) Bermejo et al (2010) apresenta uma análise das dificuldades no ensino de sequências com o objetivo de obter uma compilação de dados referentes à assimilação do conhecimento de progressões, pelos alunos do ensino médio. Estes responderam 10 questões, e identificaram desde dificuldades relativas à forma de assimilação do conhecimento PG até um problema contextualizado. Contatou-se nas respostas dos alunos que mais de 60% deles possuem dificuldades na representação do termo geral e a soma dos termos da PG e quando foi proposto o problema para solução mais de 80% responderam de forma incorreta. As principais de dificuldades dos alunos na interpretação e identificação das propriedades das sequências geométricas está no fato de relacionar outros conteúdos de matemática com progressões, como a conexão de progressões com função exponencial, aplicações em juros compostos, etc. (BERMEJO, 2010, p. 12) O domínio insatisfatório dos alunos frente ao tema proposto é reflexo da redução conteúdo de PG, por parte dos alunos, a simples memorização de fórmulas criando assim uma dependência e a ausência do significado, ou seja, para os alunos investigados o conhecimento do conteúdo de progressões não tem significado no seu dia-a-dia. Para D’Ambrósio (2005), a aprendizagem de um conteúdo não é uma simples técnica de memorização de explicações e fórmulas. Consequentemente, pode-se considerar que para estes alunos o ensino do conteúdo de progressões ainda se dá por métodos tradicionais, em que 30 os alunos são postos a solucionarem questões de forma exaustiva, sem o suporte do conceito para aprofundar o seu conhecimento. A pesquisa de Rizzon , Lima e Sauer (2017) foi realizada com professores em formação inicial ou continuada, na qual foi desenvolvida por meio da aplicação de um teste, composto por duas questões relativas a sequências numéricas, o trabalho foi de caráter qualitativo. Teve como objetivo “analisar dificuldades apresentadas, por professores de Matemática em formação inicial ou continuada, em relação ao conteúdo sequências numéricas” (p.3). Participaram desse estudo 36 alunos dentre eles 30 do curso de licenciatura em Matemática e 6 do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática. Os autores realizaram a análise das respostas em dois momentos onde no primeiro foi feita a contagem de respostas usando seguinte critério para avaliação de acordo com Rizzon (2017): Resposta correta: quando o aluno compreende a questão, mostra conhecer o conteúdo e propõe estratégias adequadas para a solução; Resposta parcialmente correta: quando há evidências de ter sido selecionada uma estratégia adequada, o aluno resolve parte da questão, mas ignora ou não sabe resolver outra; Resposta incorreta: quando o aluno usa estratégia inadequada e apresenta solução incorreta. Em Branco: quando o aluno não indica qualquer encaminhamento de resolução. No segundo momento, RIZZON (2017) e colaborados, analisaram as respostas incorretas de forma qualitativa, com classificação dos erros com base no conhecimento acadêmico sobre sequências numéricas. O resultado da pesquisa chamou atenção com o grande número de respostas em branco: somente no primeiro item da questão 1 esse porcentual foi menor do que nos outros itens. Já na questão 2, os números parecem mostrar um abandono do teste por parte dos alunos, poucos tentaram responder. Também é preocupante o pequeno número de respostas corretas, haja vista que o porcentual não atingiu sequer 10%, em qualquer das duas questões. RIZZON at al (2017) considera que todos os respondentes são professores, em formação inicial ou continuada, acredita-se ser necessário retomar este conteúdo de sequências numéricas; a primeira condição para que o professor tenha conhecimento matemático para ensinar, é que esse tenha o conhecimento comum do conteúdo. 31 5.2 PESQUISAS SOBRE O TEMA MATEMÁTICA E MÚSICA Para a elaboração analisamos trabalhos com as atemáticas aqui abordadas para isso, definimos os trabalhos com base no Banco de Teses e Dissertações da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), além de buscas em repositórios de Universidades Federais e Estaduais, da página do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) no banco de dados da Researchgate e em congresso nacionais e internacionais. Quadro 2 - Mapeamento sobre o Ensino o tema matemática e música CLASSIFICAÇÃ O TÍTULO AUTOR(ES) ANO Dissertação de Mestrado Matemática e música: Uma proposta pedagógica Thiago Bezerra Maciel 2018 Dissertação de Mestrado Matemática e música: explorando a relação entre ritmos musicais e frações Rafael de Souza Fernandes 2014 Artigo em revista The learning of music as a means to improve mathematical skills Luiz Carlos Santos 2010 Artigo em revista Música e História da Matemática Carla Bromberg 2012 Artigo em revista Matemática e Música: as progressões geométricas e o padrão de intervalos da escala cromática Francisco Nairon Monteiro Junior Alexandre Medeiros Cleide Farias de Medeiros 2010 Artigo em congresso Música e resolução de problemas: uma experiência na educação infantil Dulce Stela Schramme;Thais Leonardo Rodrigues Silva;Neila Tonin Agranionih 2017 Artigo em congresso Uso da música como recurso pedagógico nas aulas de Matemática Maria Andréia Barbosa da Silva; David Ormundo de Araújo; Leandro Ferreira de Jesus 2016 Fonte: O autor, 2021. 32 O trabalho de Maciel (2018) é proposta uma atividade prática aos alunos da 3º série do Ensino Médio do município de Arcoverde, sertão de Pernambuco, a construção de um pífano de PVC onde os alunos utilizaram os conhecimentos de medidas de comprimento, diâmetro e circunferência. Importante destacar que antes da atividade prática foi apresentada a relação matemática e música e como ela se desenvolveu, desde de Pitágoras aos dias atuais fazendo uma reflexão sobre a importância da matemática para o desenvolvimento musical pois, apesar de milenar essa relação é desconhecida por grande parte dos alunos. Dos 30 alunos presentes no momento das atividades, podemos observar que 40% destes não tinham conhecimento sobre essa relação e outros 10% pouco conhecimento. Aqueles que conheciam a relação entre a matemática e música são alunos que já tiveram contato ou tocam algum instrumento musical (MACIEL, 2018, p. 29) Durante a construção do instrumento foi observado um entusiasmo dos alunos como pode-se observar na fala de um dos deles “com música a matemática fica como método que quebra aquela dura rotina de que a matemática é um mostro” ficando evidente que a música se tem mostrado útil para o processo de ensino/aprendizagem matemáticapodendo utilizar a música para facilitar e atrair os olhares dos nossos alunos. A atividade proposta de construção do instrumento musical deixou explicito o quanto a música pode ser uma poderosa ferramenta para o ensino de matemática. O resultado apresenta que 76,6% dos alunos pouco gostam ou não gostam de matemática, entretanto coincidentemente 76,6% dos alunos mesmo alunos entendem que a música favorece o aprendizado (MACIEL, 2018). Outro trabalho relevante para nosso estudo foi Fernandes (2014) que buscou identificar como os alunos relacionam ritmos musicais com frações tendo como objetivo “... construir e aplicar uma sequência didática que oportunize a vivência de uma prática interdisciplinar explorando ritmos musicais e possíveis relações com frações” (p.9) A aplicação do projeto se deu com 13 alunos de uma escola da rede Federal com estudantes do Ensino Médio. A sequência didática foi desenvolvida através de quatro oficinas. Na primeira oficina, conhecendo a música, o autor fez uma introdução do que seria o projeto para isso foram apresentados vídeos que abordassem as relações entre a matemática e 33 música e foi proposto um questionário aos alunos afim de identificar quais possuem familiaridade com a música e quais expectativas do estuda com o projeto. Em seguida na oficina 2, o trabalhando com o ritmo e tempo, foram desenvolvidas a noção de ritmo e tempo através de padrões rítmicos, em música conhecidas, com foco em desenvolver o pelo menos ter uma noção de ritmo. Na terceira oficina, o ritmo e a unidade de tempo, foi feito uma representação, notação, musical dos padrões rítmicos trabalhados na oficina anterior através de círculos, segmentos de reta, etc. E para finalizar as oficinas, na quarta e última, foi relembrado tudo o que foi visto nos encontros anteriores e em seguida apresentado o conceito de compasso musical. O autor destaca a participação de um voluntário que, apesar de ter grande envolvimento com a música, habilidades com instrumentos e principalmente boas noções dos conceitos de ritmos não teve grande interesse nas atividades desenvolvidas durante as oficinas. “Minha expectativa quanto a esse estudante era que ele teria uma produção muito significativa e que apresentaria empenho nas atividades, estabelecendo diversas conexões com a música sua, área hábil” (FERNANDES, 2014, p.79) A situação descrita na pesquisa é apresenta por Gardner (1995) quando ele afirma que “o desempenho maduro numa área não significa o desempenho maduro numa outra área assim como as realizações talentosas em determinada área não implicam uma realização talentosa em outra” (p.32). Ou seja, possuir inteligência musical não é sinônimo de inteligência lógico- matemática Por outro lado, ouve um comprometimento significativo do dos demais participantes, em especial aqueles, que participaram de todas as oficinas fazendo com que os debates, a solução dos problemas e os discursões acerca do tema matemática e música foram bem instigantes. Um dos resultados, que ressalta perante os outros, está no exemplo de Marcus e Magnus que sempre precedentes musicais conseguiram estabelecer relações entre ritmos e frações por meio da representação linear de tempo. Em Magnus os avanços foram significativos, pois, embora apresentasse dificuldades na matemática da Escola, conseguiu realizar as conexões propostas. (FERNANDES, 2014, p.80) Antunes (1998) a firma que ao mostrar que a inteligência é estimulável, desde que se usem processos de ensino e aprendizagem eficazes, limitações podem ser superadas ( a história 34 das pernas tornas de Garrincha é um bom exemplo) ao destacar que os meios para essa estimulação não dependem de drogas específicas e menos ainda de sistemas escolares privilegiados. Continuando com nossos estudos encontramos Santos (2007) que destaca pontos fundamentais para uma melhor compreensão das conexões matemática e música fazendo uma apresentação de conteúdos matemáticos e musicais. A concessão matemática e música é apresentada nas notas, intervalos, escalas, harmonia (consonância e dissonância), afinação e temperamentos estão relacionados a proporções e relações numéricas, números inteiros e logaritmos e exponenciais. Continua afirmando que os conceitos matemáticos estão presentes na melodia e no ritmo; notação musical, conceitos de tempo (comprimento das notas, linhas de barra e assinaturas de tempo), ritmo (batida e agrupamento de notas em tempos) (SANTOS, 2017) As experiências musicais podem melhorar o aprendizado matemático, no raciocínio e aplicação matemática contextualizada, cada indivíduo possui um portfólio de formas distintas de inteligência. Nesse contexto, a habilidade musical é vista como seu próprio domínio discreto da inteligência. A música pode ser um organizador privilegiado de processos cognitivos, especialmente entre os jovens além disso, no que se refere à relação entre música e inteligência, deve-se mencionar que ao tocar uma melodia envolve reconstruir um padrão no qual os elementos não são peças de quebra-cabeça, mas notas de tons (frequências) altos e baixos de longa e curta duração (GARDNER, 1997). Seguindo nossos estudos encontramos o trabalho de Bromberg (2012) que comtempla a relação da música com a história da Matemática e dentro desse panorama cujo a classificação dos conhecimentos demostram distintos momentos e papéis na sociedade com isso, parecendo assim impossível identificar uma relação direta entre os conhecimentos musicais e matemáticos entretanto, há pesquisas que atestam a convergência desses saberes. “Esses conhecimentos compartilhados são identificados principalmente em produções na história da matemática, e por consequência na educação matemática, na história da ciência e na história da música.” (BROMBERG, 2012, p.3) Cumpre também considerar que, para a aprendizagem de certo conceito ou procedimento, é fundamental haver um contexto significativo para os alunos, não necessariamente do cotidiano, mas também de outras áreas do conhecimento e da própria história da Matemática. (BRASIL, 2018, p. 299) 35 A história da matemática pode tornar o processo de ensino e aprendizagem mais cativante, onde os alunos podem entender a matemática como uma criação humana, e não algo que surge aleatoriamente. O problema da corda vibrante por exemplo, onde Pitágoras construiu o monocórdio, foi contribuição secundária no desenvolvimento da teoria das equações diferenciais bem como das séries de Fourier, entretanto, percebe-se que a Matemática, ou pelo menos parte dela, teve seu desenvolvimento instigados por problemas do cotidiano vivido pela humanidade e que está sempre em mudança, que sua formalização não é algo que ocorre naturalmente, é um percurso que exige empenho. Investigando trabalhos com as temáticas aqui abordadas encontramos Monteiro (2010) que destaca a possibilidade de construção de duas experiências práticas para o ensino das progressões geométricas voltadas ao ensino médio e que esteja ligada não somente a questões tradicionais, em geral apresentadas por uma sequência de números crescentes, mas que possa ser relativo, também, a questões musicais. Como primeiro experimento o autor analisa a construção da escala cromática e traz os argumentos matemáticos para entender como é construída a escala de um violão onde é apresentado os elementos físicos do violão bem como a relação do comprimento da corda com sua frequência. Na segunda construção é apresentado um exemplo prático das progressões geométricas em tubos sonoros, podendo ser feita junto com os alunos ou podendo faze-la de maneira meramente demonstrativa, isto é, exibindo verbalmente aos alunos as relações matemática e música ali presentes. O ensino médio tem a propriedade de completar a última etapa da educação básica e nela devem ser oferecidas condições para que o aluno possa complementare consolidar aprendizagens e dessa forma os cuidados do professor na escolha de temas e trabalhos a serem aplicados em sala de aula devem se caracterizar por questões da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, o professor deve enfatizar os conceitos e procedimentos que permitam as conexões entre diversas ideias matemáticas, diferentes formas do pensamento matemática e vários campos do conhecimento. (PERNAMBUCO, 2012) Schramme (2017) propôs em seu trabalho a resolução de problemas, para alunos da educação infantil, especificamente com crianças de 4 a 5 ano em uma turma do Pré II, a partir da construção e exploração de um xilofone de garrafas de vidro explorando a proporcionalidade e frequências dos sons. Esse trabalho foi desenvolvido levando em consideração como a música e os sons bem como a noção intuitiva de proporcionalidade estão presentes no cotidiano infantil despertando 36 novas experiência e promovendo o desenvolvimento da curiosidade, da investigação intuitiva e do raciocínio As Diretrizes Curriculares Nacionais da Educação Básica - DCNEB (BRASIL, 2013), orientam que as experiências que promovam o envolvimento da criança e a ajudem elaborar conhecimentos em contextos e situações significativos, a exploração e uso de conhecimentos matemáticos na apreciação das características básicas do conceito de número, medida e forma, assim como a habilidade de se orientar no tempo e no espaço. Importante destacar que a sequência foi aplica em três encontros nos quais foram propostas rodas de conversas, experimentação, situações problemas, elaboração de hipóteses. O primeiro encontro teve como foco principal a instigação do tema música e sons aplicando a leitura do livro animado “A Menina e o Tambor”, o qual traz a história de uma menina que através dos sons consegue alegrar as pessoas. Ao término, foi realizada uma roda de conversa na qual as crianças foram questionadas sobre suas experiências música e sons No segundo encontro, o objetivo foi de fazer música e sons como “A Menina e o Tambor’’ para isso foi construído um xilofone de garrafas, as crianças receberam objetos de metal para que elas tocassem em cada garrafa do xilofone e com isso percebessem o som único que cada garrafa produzia. Após a experimentação do xilofone as crianças relataram que os sons não eram iguais e então perguntamos: “- Porque o som das garrafas não é iguais?”. A maioria das crianças respondeu: “- A água”, “- Ah! porque uma tem um monte de água e a outra assim (simulando pequeno com os dedos)”, “- Porque quando bate forte não fica igual”. (Schramme,2017, p. 7) No terceiro e último encontro cada criança recebeu uma garrafa para preencher com água, mais de uma vez se achasse necessário, e faria com que a mesma produzisse sons. Em seguida poderiam explorar as características físicas do som emitido pela garrafa, como sua intensidade (som fraco ou som forte), sua altura (som agudo ou som grave) e duração, assim como a reprodução da escala música em sua sequência. Questionamos as crianças sobre o som que produziram em suas garrafas: “- Esta nota é alta ou baixa?” e responderam: “- A minha parece meio baixa” disse um dos meninos, que estava relacionando o som da sua garrafa à nota Dó, visto que sua garrafa estava cheia de água. Outra aluna que tinha pouca quantidade de água em sua 37 garrafa, indagou: “- Prof, o som da minha é mais alta que a do Eduardo”. (Schramme,2017, p. 9) Algo que se pode afirmar por meio das análises realizadas é que a atividade interdisciplinar, matemática e música, realizadas com as crianças buscou aproximá-las do conhecimento matemático levando em consideração o lúdico onde atuaram como protagonista durante o processo de aprendizagem, construindo hipóteses durante e depois da construção do instrumento. Outro trabalho relevante para nossos estudos foi Silva, Araújo e Jesus (2016). Os pesquisadores utilizaram um questionário semiaberto, aplicado para seis professores de Matemática dos Anos Finais do Ensino Fundamental de duas escolas públicas da Rede Estadual no município de Caetité/BA com o objetivo discutir o uso da música como recurso pedagógico nas aulas de Matemática, totalizando 3 professores por instituição com objetivo de observar como os professores fazem uso da música como método de ensino nas aulas de Matemática. Os resultados foram apresentados em forma de tabela e gráficos e nas questões seis e sete os professores foram questionados se utilizam a música em sala de aula e, àqueles que não utilizam, por que isso acontece. Apenas um professor afirma utilizar a música como ferramenta metodológica enquanto os demais não utilizam a música na sala de aula pelo fato de não se sentirem capacitados em trabalhar ou por não terem tempo de preparar uma aula com dinâmicas utilizando a musicalidade como recurso. As dificuldades na realização de proposta interdisciplinares pela falta de relação entre os conteúdos das diferentes áreas do, considerando que existem conceitos de algumas áreas do conhecimento que são muito peculiares e de difícil relação, conforme refere o Professor O: “[...] existem conceitos muito peculiares que nem sempre podem ser relacionados com outras disciplinas com facilidade.”. Analogamente, o Professor Q destaca que os professores precisam cumprir uma listagem de conteúdos da sua área do conhecimento que, muitas vezes, não possuem relação com as demais áreas. (Avila, Matos, Thiele ,at al. P. 14) Na questão oito questionou-se se a música poderia facilitar a aprendizagem dos conteúdos de Matemática. Todos os professores afirmaram que acreditam que a música pode proporcionar uma aprendizagem diferenciada dos conteúdos de matemática. 38 6 BREVES CONCEITOS MUSICAIS Antes de destacarmos as construções matemáticas propriamente ditas, faz-se necessário apresentar conceitos básicos relacionados à teoria musical, eliminado qualquer possível confusão no decorrer deste trabalho. Segundo Med (1996) a música é a arte de combinar sons, simultânea e sucessivamente, com ordem, equilíbrio e proporção dentro do tempo. As principais partes de que a música é constituída são: 1) Melodia - conjunto de sons dispostos em ordem sucessiva (concepção horizontal da música); 2) Harmonia - conjunto de sons dispostos em ordem simultânea (concepção vertical da música); 3) Contraponto - conjunto de melodias dispostas em ordem simultânea (concepção ao mesmo tempo horizontal e vertical da música); 4) Ritmo - ordem e proporção em que estão dispostos os sons que constituem a melodia e a harmonia. Som é a sensação produzida no ouvido pelas vibrações de corpos elásticos. Uma vibração põe em movimento o ar na forma de ondas sonoras que se propagam em todas as direções simultaneamente. O som pode ser representado por uma função seno, possuindo uma velocidade de oscilação ou frequência que é medida em uma unidade chamada Hertz (oscilações por segundo). As características principais do som são: 1) Altura - determinada pela frequência das vibrações, isto é, da sua velocidade. Quanto maior for a velocidade da vibração, mais agudo será o som; 2) Duração - extensão de um som, é determinada pelo tempo de emissão das vibrações; 3) Intensidade - amplitude das vibrações, é determinada pela força ou pelo volume do agente que as produz. É o grau de volume sonoro; 4) Timbre - combinação de vibrações determinadas pela espécie do agente que as produz. O timbre é a “cor” do som de cada instrumento ou voz, derivado da intensidade dos sons harmônicos que acompanham os sons principais. Ainda segundo Med (1996) “a música, escrita pelo compositor, para ser percebida pelo ouvinte, necessita de um intermediário, ou melhor, um intérprete. A música não é apenas uma 39 arte, mas também uma ciência.” Ou seja, os músicos sejam compositores ou instrumentistas, além de talento, necessitamde uma técnica individual específica e bem apurada, a adquirida durante longos anos de estudo solitários e práticas coletivas. Para alcançar um nível profissional competitivo, o músico precisa ter talento, força de vontade e perseverança. A representação música é feita em um pentagrama ou pauta musical que nada mais é que a disposição de cinco linhas paralelas horizontais com quatro espações entre elas, onde se escrevem as notas musicais. Figura 3 - Pentagrama musical 6.1 INTERVALOS MUSICAIS Na teoria musical, um intervalo musical é a diferença de frequência, distância, entre dois sons. Os intervalos mais comuns entre as notas de uma escala diatônica ou natural são o tom e semitom sendo o menor desses intervalos o semitom. Figura 4 - Intervalos musicais (tons) O sustenido (#), significa um semitom acima e o bemol (♭), um semitom abaixo. As notas são obtidas com o auxílio de instrumentos musicais. Elas são divididas em 12, onde 7 são ditas naturais: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si; e 5 são chamados acidentes: Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá#. De acordo com Med (1996, p. 9) “Algumas culturas orientais (japonesa, chinesa, árabe, hebraica, indiana, entre outras) utilizam em seu sistema musical frações menores que um semitom (um quarto de tom, um oitavo de tom, etc.)”. Coma: é a nona parte de um tom. 40 Figura 5 - Intervalos musicais (Comas) O matemático e filósofo Francês René Descartes, em dezembro de 1618 concluiu sua primeira obra intitulada Compendium Musicae onde destacava elementos justificando a base da harmonia e dissonância musicais (som não harmonioso) em termos matemáticos usando tabelas e relações proporcionais envolvidas em diversos intervalos (ABDOUNUR, 2015, p 92) Escala Diatônica ou Natural: é a escala que em um determinado intervalo de frequência, batizado de oitava, executa-se notas naturais Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si e Dó, construindo dessa forma um ciclo de oito notas denominado de oitava, onde a última possui o dobro da frequência da primeira; Escala Temperada ou Cromática: Consiste na divisão da oitava em doze semitons iguais, ou seja, Dó, Dó #, Ré, Ré #, Mi, Fá, Fá #, Sol, Sol #, Lá, Lá #, Si e Dó como uma oitava ascendente ou Dó, Si, Si ♭, Lá, Lá ♭, Sol, Sol ♭, Fá, Mi, Mi ♭, Ré e Ré ♭, Dó como uma oitava descendente (MED, 1996), ficando cada um com quatro comas e meio. Figura 6 - Intervalos musicais temperado Fonte: https://musicaeadoracao.com.br/ 41 De acordo com Abdounur (2015, p 83) o padre matemático Francês Marin Mersenne considerava o monocórdio, instrumento idealizado por Pitágoras, fundamental a compreensão de toda ciência musical. O matemático Francês tratou de explicar o temperamento ao dividir o braço de um instrumento em 12 semitons iguais através de médias proporcionais. 6.2 ESCALA TEMPERADA O temperamento igual possui como característica fundamental a divisão da oitava em 12 intervalos de frequências iguais, ou seja, o intervalo entre duas notas – o meio tom – é sempre o mesmo, não importando quais notas sejam. (ABDOUNUR 2015 p.111) Do ponto de vista matemático o problema consistia em um fator f correspondente ao intervalo de semitom que após multiplicar 12 vezes uma frequência inicial f0 correspondente a uma determinada nota, atingisse sua oitava referente a frequência final, ou seja, 2f0.” Com isso seria válida a seguinte equação, f0.f.f.f.f...f = f0.f 12 = 2f0, Onde f corresponderia o ao fator multiplicativo uma vez que após 12 intervalos a frequência dobra. Logo, após algumas manipulações algébricas simples chegamos ao valor estimado da frequência. 𝑓0. 𝑓 12 = 2𝑓0 𝑓12 = 2 𝑓 = √2 12 𝑓 = 2 1 12 𝑓 ≅ 1,059463 Esse é o valor da frequência de um meio tom e também a razão de uma PG que possui lá com 440 Hz como um dos termos e a escala temperada é assim formada. 42 Tabela 1 - Relação entre a nota e sua frequência tomando como base a nota lá Nota Frequência Lá 220 Lá# 220,00 × 1,0594631 = 233,08 Si 233,08 × 1,0594631 = 246,94 Dó 246,94 × 1,0594631 = 261,62 Dó# 261,62 × 1,0594631 = 277,18 Ré 277,18 × 1,0594631 = 293,66 Ré# 293,66 × 1,0594631 = 311,12 Mi 311,12 × 1,0594631 = 329,62 Fá 329,62 × 1,0594631 = 349,22 Fá# 349,22 × 1,0594631 = 369,99 Sol 369,99 × 1,0594631 = 391,99 Sol# 391,99 × 1,0594631 = 415,3 Lá 415,30 × 1,0594631 = 440 43 7 DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS Com base em relacionar os conceitos da Matemática e Música, apresentamos neste capitulo, uma revisão a cerda das principais definições e conceitos matemáticos dos conteúdos de funções exponencial, logarítmica e da sequência numérica chamada P.G. Tais conceitos são de extrema importância para a aplicação e construção das atividades propostas neste trabalho. Antes de apresentar os conteúdos destacados anteriormente faz-se necessários apresentar o conceito de função. Que de acordo com Gelson Iezzi (IEZZI et al, 2017) dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que associa cada elemento x ϵ A um único elemento de y ϵ B recebe o nome de função A em B. 7.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL As funções exponenciais são aquelas em que seus valores crescem ou decrescem de forma significantemente rápida. Elas desempenham um papel fundamental na Matemática, música e em diversas áreas da ciência como: física, biologia química e outras. Segundo Lima (2006) as funções exponenciais são os modelos matemáticos mais utilizados para resolver problemas elementares. As funções exponenciais se destacam nos últimos três anos do processo de escolarização tendo importância considerável em alguns cursos superiores, e em aplicações matemáticas em atividades cientificas ou profissionais. Antes de destacarmos a definição formal para a função exponencial, bem como suas propriedades, faz-se necessário, para um bom entendimento do conceito de função exponencial, rever algumas definições e propriedades básicas referentes operações com potências que servirá de referência para as potências com expoente real, caracterizando então, o uso de uma função desse tipo. 44 7.2 PROPRIEDADES BÁSICAS DAS OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS 7.2.1 Potência com expoente natural. Dados um número real a e um número natural n, com n ≥ 2 chama-se potência de base a e expoente n ao número na forma an que é o produto de n fatores iguais a a an = a.a.a...a ( com n fatores a) Dessa definição decorre que: a² = a.a , a³= a.a.a, a4= a.a.a.a, etc. Casos especiais: a1 = a pois com único fator não se define produto e a ≠ 0 definimos a0=1 7.2.2 Propriedades da potência com expoente natural Sedo a e b números reais m e n naturais, valem as seguintes propriedades: I) Produto de potências de mesma base: am.an = am+n II) Quociente de potências de mesma base: am an = am−n ( com a ≠ 0 e m ≥ n) IV) Produto de dois ou mais fatores elevados a um mesmo expoente: (a.b)n= an.bn V) Quociente elevada a um mesmo expoente: ( 𝑎 𝑏 ) 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 45 VI) Potência elevada a um expoente: (am)n = am.n 7.2.3 Potência com expoente inteiro negativo. Vamos definir as poêencias de expoente inteiro negativos de modo que as propriedades destacadas no item anterior continue valendo Dados um número real a, com a≠0, e um número natural n, chama-se potência de base a e expoente –n o número na forma a-n que é o inverso de an a-n = 1 an 7.2.4 Raiz enésima aritmética Dados um número real não negativo a e um número natural n, n ≥ 1, chama-se raiz enésima aritmética de a o número real e não negativo b tal que bn = a Sendo a e b valores reais não negativos, m inteiro e n e p naturais não nulos, valem as seguintes propriedades. I) √am n = √am.p n.p II) √a. b n = √a n . √b n III) √ a b n = √a n √b n IV) ( √𝑎 n )m = √am n V) √ √𝑎 𝑛 𝑝 = √a n.p 467.2.5 Potência de expoente racional. Para dar significado as potências de expoente racional, devemos lembrar que sua definição deve garantir a validade das propriedades operatórias destacadas nesse capítulo. Essas considerações ilustram a seguinte definição: Dados um número real positivo a um número inteiro m e um número natural n (n≥1) chama-se potência de base a e expoente 𝐦 𝐧 a raiz enésima aritmética de am. 7.2.6 Definição da função exponencial Chama-se função exponencial qualquer função f de ℝ em ℝ+* dada por uma lei de formação f(x) = ax, em que a é um número real dado, a ˃ 0 e a ≠ 1. O domínio D e a imagem 𝐼𝑚 de uma função exponencial são 𝐷 = ℝ e 𝐼𝑚 = ℝ+* Na função exponencial determinada pela lei f(x) = ax temos: f(0) = 1 Logo o par ordenado (0,1) satisfaz a lei acima ∀ a > 0 e ≠ 1. Isso quer dizer que o gráfico da função exponencial intersecta o eixo Oy no ponto de ordena 1 e seu gráfico é crescente quando temos a>1 sendo representado da seguinte forma Gráfico 3 - Função exponencial crescente 47 Se 0 < a < 1 a função definhada por f(x) = ax é decrescente e seu gráfico está representado abaixo Gráfico 4 - Função exponencial decrescente 7.3 FUNÇÃO LOGARÍTMICA Lima (2006, p. 191) “função logarítmica está ligada a um grande número de fenômenos e situações naturais, onde se tem uma grandeza cuja a taxa de variação é proporcional a quantidade da mesma existente no instante dado” O logaritmo surgiu como ferramenta que facilita bastante alguns cálculos, reduzindo os problemas de sequências geométricas em problemas de sequências aritméticas, visto que em uma de suas propriedades transforma uma multiplicação em uma soma e uma divisão numa subtração: 7.3.1 Propriedades operatórias I) Logaritmo do produto 48 Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual a soma dos logaritmos de cada um deles, isto é, se a > 0 , a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então loga(a . b) = log a a + loga b II) logaritmo do quociente Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual á diferença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador de cada um deles, isto é, se a > 0 , a ≠ 1, b > 0 e c > 0, então log𝑎 ( 𝑏 𝑐 ) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 III) Logaritmo da potência Em qualquer base o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potencia, isto é, se a > 0, a ≠ 1, b > 0 e r ϵ ℝ log ab r = r.log ab 7.3.2 Definição Dado um número real a (a < 0 e a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a função f de ℝ+* → ℝ dada pela lei: f(x) = log ax Gráfico 5 - Função logarítmica crescente 49 Quando a > 1, a função logarítmica será dita crescente e quando 0 < a < 1, a função será dita decrescente. Observa-se nas figuras. Gráfico 6 - Função logarítmica decrescente 7.4 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Classificação • Crescente, quando a1> 0 e 𝑞 > 1 ou a1< 0 e 0 < 𝑞 < 1. • Decrescente, quando a1> 0 e 0 < 𝑞 < 1 ou a1 < 0 e 𝑞 > 1. • Constante, quando 𝑞 = 1. • Alternante, quando 𝑞 < 0. A equação que permite obter qualquer termo da P.G. conhecida como fórmula geral do termo da P.G. é dada por: 𝑎n = 𝑎1 · 𝑞 n-1 Onde 𝑎n é o 𝑛-ésimo termo ou termo na posição 𝑛, 𝑎1 é o primeiro termo, 𝑞 é a razão e 𝑛 é o número de termos considerados. A equação para calcular a soma 𝑆n dos 𝑛 primeiros termos de uma e dada pela expressão; 𝑆𝑛 = 𝑎1(𝑞 𝑛 − 1) 𝑞 − 1 50 A equação para calcular a soma 𝑆 dos infinitos termos de uma P.G 𝑆 = 𝑎1 𝑞 − 1 51 8 METODOLOGIA O capítulo apresenta os procedimentos metodológicos do trabalho. As práticas são coordenadas para alcançar o objetivo geral buscando investigar uma proposta interdisciplinar numa perspectiva didático-matemática. As estratégias metodológicas foram pensadas a partir do objetivo e questão norteadora da pesquisa, destacados na introdução. A metodologia de pesquisa escolhida segue uma abordagem qualitativa que, conforme Borba (2004), tem um entendimento dinâmico e está sendo empregado por diferentes linhas de pesquisa na área da Educação Matemática. O que se convencionou chamar de pesquisa qualitativa prioriza procedimentos descritivos à medida que sua visão de conhecimento explicitamente admite a interferência subjetiva, o conhecimento como compreensão que é sempre contingente, negociada e não é verdade rígida. O que é considerado "verdadeiro", dentro desta concepção, é sempre dinâmico e passível de ser mudado. Isso não quer dizer que se 55 deva ignorar qualquer dado do tipo quantitativo ou mesmo qualquer pesquisa que seja feita baseada em outra noção de conhecimento. (BORBA, 2004, p.2) Para a concretização da pesquisa, construímos nosso aporte didático, a construção do instrumento chamado xilofone, inserido na sequência didático-matemática que desenvolve a interdisciplinaridade matemática e música baseado na teoria das Múltiplas Inteligências de Gardner (2002) desta que cada indivíduo é detentor de múltiplas inteligências dentre elas a musical. A pesquisa organizou-se nas seguintes fases: • Mapeamento de pesquisas que abordam o ensino e a aprendizagem de PG, bem como de trabalhos que apresentam o uso da interdisciplinaridade matemática e música. • Construção do instrumento musical xilofone bem como o desenvolvimento da proposta interdisciplinar didático-matemática. • Analisar a proposta didático-matemática construído, por meio dos critérios da Idoneidade Didática A primeira fase consiste no aprofundamento teórico da pesquisa que envolve desde leituras sobre interdisciplinaridade e conexões com a música e Matemática, passando pelas questões históricas, até o levantamento bibliográfico de trabalhos que envolvem a matemática e a música. Mapeamos também pesquisas de Ensino e Aprendizagem do conceito de sequencias numéricas. 52 A seguinte fase teve como finalidade despertar a relação histórica matemática e música e o surgimento da escala musical temperada aplicando a equação do termo geral e da soma dos termos da PG na construção do xilofone e os conceitos de função exponencial e logarítmica A última fase tem como propósito analisar a proposta didático-matemática, por meio dos critérios Teoria da Idoneidade Didática (TID) pertencente ao enfoque ontossemiótico do conhecimento e da instrução matemática (ESO) articulando com a Teoria das Múltiplas inteligência TMI. A ESO Esta é uma teoria que estabelece, dento de níveis de conhecimento didático- matemático, um critério geral de adequação/idoneidade matemática das ações e dos agentes educativos dos saberes aplicados, ou seja, podemos desenvolver parâmetros (destacados pela teoria como facetas) que buscam aperfeiçoar e transformar as práticas de ensino e aprendizagem usadas por professores em sala de aula 53 9 DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DIDÁTICO-MATEMÁTICA 9.1 CARACTERIZAÇÃO DO TRABALHO Neste Trabalho pretende-se através, das relações milenares matemática e música, mais especificamente o estudo da escala musical temperada desenvolver uma proposta didático- matemática para o ensino da PG e das funções exponenciais e logarítmicas onde será possível criar um instrumento musical, xilofone, relacionar as equações do termo geral e da soma da PG a tubos sonoros e suas frequências transformando-os em música. O fator primordial para idealização desta proposta didático-matemático está relacionado a dificuldade dos alunos em contextualizar a PG e também perceber que a sequência geométrica é uma função exponencial tendo como sua inversa a logarítmica com isso propusemos a integração teórico-prática do conhecimento da matemática com o da música. 9.2 PÚBLICO ALVO A proposta é direcionada a alunos do Ensino Médio. Os conteúdos Matemáticos que são necessáriosconhecimento prévio para a realização das atividades, como as operações de potenciação e suas propriedades, as funções exponencial e logarítmica e a PG, estes conteúdos até então são abordados durante a primeira série do ensino médio, por este motivo as atividades foram focadas para alunos do ensino médio o com sugestão de duração de, aproximadamente, três aulas de 50min. 54 TÍTULO: Matemática e música Objetivo 1: Perceber a relação histórica matemática e música e o surgimento da escala musical temperada; Objetivo 2: Aplicar a equação do termo geral e da soma dos termos da PG na construção do xilofone e os conceitos de função exponencial e logarítmica. Material necessário: • Aproximadamente 3 metros de cano PVC de 40mm de diâmetro; • Cola para PVC; • Serra própria para PCV; • Fita métrica; • Calculadora (celular); • Lápis e papel para anotações; • Celular (usar como Frequencímetro);2 Figura 7 - Materiais 2 Tutorial de como o instrumento é confeccionado. https://www.youtube.com/watch?v=MxCPb7hCSFY 55 9.3 PROCEDIMENTOS ESCALA TEMPERADA: Conhecer o surgimento do temperamento musical debatendo os procedimentos matemáticos usados para tal feito. Usando como suporte o material em vídeo da UNIVESP disponível em https://www.youtube.com/watch?v=ETPzsN-vgE8 A escala temperada é a divisão da oitava em 12 partes iguais frequências chamadas de semi tons. Pensando em uma oitava, uma vez que após 12 intervalos a frequência da nota dobra, a relação 𝑥12 = 2, onde 𝑥 representa razão empregada nos cálculos das notas, seria verdadeira. Desta forma é possível determinar qual será o intervalo 𝑥 que nos fornece a escala temperada? Destacar que a solução da equação 𝑥12 = 2 𝑥 = √2 12 x = 2 1 12 𝑥 ≅ 1,0594631 É o valor aproximado da razão de uma progressão geométrica que possui o Lá com 440Hz como um dos termos. TUBOS SONOROS: Sabendo que a razão da progressão geométrica das frequências das notas da escala temperada é a decima segunda raiz de dois, qual deverá ser o comprimento do tudo de PVC de diâmetro 40mm para que soe com uma frequência de 523,4Hz? Da física temos esta equação 𝐿 = 𝑣 2𝑓 − ( 0,6 . 𝜑) Onde poderemos definir o comprimento do tudo sonoro em função do seu diâmetro (𝜑), dado a frequência 𝑓 = 523,4𝐻𝑧 , velocidade do som 𝑣 = 34000𝑐𝑚/𝑠 e diâmetro 𝜑 = 3,8𝑐𝑚, Nesse momento os alunos aplicarão a equação destacada anteriormente para definir o tamanho do primeiro tubo encontrando o resultado de 30,2cm o que será tônica, a nota principal, sobre a qual é formada a sucessão intervalar do modo o que será também o primeiro termo (a1), da sequência geometria. 56 Devemos considerar como modelo a escala temperada para definir as notas que irão compor a PG que são: Figura 8- Notas musicais da escala temperada Dó Dó# Ré Ré# Mi Fá Fá# Sol Sol# Lá Lá# Si Dó 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª PROGRESSÃO GEOMETRICA: Os alunos deverão discutir qual deverá ser, como calcular e qual será a soma dos comprimentos dos próximos tubos, já definido a tônica. Nesse momento deverá ser distribuídos tubos de diversos tamanhos e com o auxílio de medidores de frequências, instalados nos celulares, os alunos deverão identificar a proporcionalidade inversa comprimento x frequência. Quanto maior o tubo menor a frequência De posse do primeiro termo a1 = 30,2𝑐𝑚 a quantidade de termos n = 13 (notas da oitava) e a razão sabendo que esta última é igual a: 𝑞 = 1 2 1 12 Questionar os alunos se seria possível calcular a soma do comprimento dos tubos e quanto de tubo será necessário para construção do instrumento. Para isso aplicar a equação da soma dos termos de uma PG. Definida por: 𝑠𝑛 = 𝑎1 . ( 𝑞 𝑛 − 1 ) 𝑞 − 1 Em seguida aplicar na equação geral, para identificar o tamanho dos demais tubos, para q ≠ 1 𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞 𝑛−1 57 a1 = 1º nota = Dó = 30,2cm a2 = 2º nota = Dó# = 𝑎1. 𝑞 𝑛−1 = 30,2. ( 1 2 1 12 ) 1 ≅ 28,5cm a3 = 3º nota = Ré = 𝑎1. 𝑞 𝑛−1 = 30,2. ( 1 2 1 12 ) 2 ≅ 26,9cm a4 = 4º nota = Ré# = 𝑎1. 𝑞 𝑛−1 = 30,2. ( 1 2 1 12 ) 3 ≅ 25,4cm . . . . . . . . . . . . a13 = 13º nota = Dó = 𝑎1. 𝑞 𝑛−1 = 30,2. ( 1 2 1 12 ) 12 ≅ 15,1cm Os alunos deverão preencher a tabela abaixo de acordo com os experimentos realizados Tabela 2 - valores (comprimento, frequência) NOTA TERMO COMPRIMENTO FREQUÊNCIA DÓ a1 30,2cm 523,4Hz DÓ# a2 28,5cm 554,5Hz RÉ a3 26,9cm 587,5Hz RÉ# a4 25,4cm 622,5Hz MI a5 23,9cm 659,5Hz FÁ a6 22,6cm 698,7Hz FÁ# a7 21,3cm 740,3Hz SOL a8 20,1cm 784,3Hz SOL# a9 19,2cm 831Hz LA a10 17,9cm 880,4Hz LÁ# a11 16,9cm 932,8Hz SI a12 15,9cm 988,3Hz DÓ a13 15,1cm 1046,8Hz 58 FUNÇÃO EXPONENCIAL: O observando a Tabela 2 e comparando o primeiro e último termo em relação a sua frequência percebe-se que o último é dobro do primeiro, ou seja, uma oitava acima. De fato, pois nossos ouvidos escutam a mesma nota, Dó, entretanto com velocidade de vibração duas vezes mais rápido. Figura 9 -termos da PG formando gráfico exponencial Espera-se que os alunos façam observações descrevendo a relação numérica que associa a cada oitava n ao respectivo valor de frequência v – surge a tabela Tabela 3 Tabela 3 - tom das notas acimada do Dó NÚMERO 𝑛 DE OITAVAS ACIMA DÓ NÚMERO v DE HERTZ 0 523,4 1 1046,8 2 2093,6 3 4187,2 Esboçar junto aos alunos o gráfico correspondente aos valores da Tabela 3 – Valores de (n, v). 59 Gráfico 7 - Sistema Ortogonal Cartesiano – (n x v) Os alunos deverão analisar o padrão da Tabela 3 e escrever a lei que associa o número de oitavas “n” em função do número da frequência “v”, que é a fórmula do termo geral da PG, destacando que os expoentes negativos serão uma oitava abaixo. Analisando o gráfico Gráfico 7 - Sistema Ortogonal Cartesiano – (n x v) e considerando que a relação que estabelece R em R, ou seja, podemos tomar qual quer valor para 𝑛 ∈ 𝑅. Substituindo esses valores na expressão que representa a lei de formação escrita a partir da análise de Tabela 3, encontra-se os valores de v ∈ R. Importante destacar que os alunos não estão mais submetidos ao contexto restrito da oitava acima que só permite para n 0, 1, 2, 3, 4, 5,6... FUNÇÃO LOGARÍTMICA: As dozes notas da escala temperada correspondem os logaritmos de base dois tendo como referência a escala temperada e sua razão 𝑞 = 2 𝑥 12 Figura 10 - notas da escala temperada x logaritmos Dó Dó# Ré Ré# Mi Fá Fá# Sol Sol# Lá Lá# Si Dó 𝟐𝟎 2 1 12 2 2 12 2 4 12 2 5 12 ... 2 12 12 60 Calculando o número oitava n entre as frequências temos, 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = (2 1 12) 0 = 20 = 1 → log2 2 0 = 0 𝑓𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = (2 1 12) 12 = 21 = 2 → log2 2 1 = 1 Logo, 𝑛 = log2 𝑓𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑓𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛 = log2 2 1 𝑛 = log2 2 𝑛 = 1 Em seguida pode-se questionar os alunos se a faixa audível do ouvido Humano que é de 20 à 20000Hz quantas oitavas corresponde este intervalo? Aplicando a raciocínio acima temo, 𝑛 = log2 𝑓𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑓𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛 = log2 20000 20 𝑛 = log2 1000 𝑛 ≅ 10 61 Tabela 4 - valores (oitava, frequência) OITAVA FREQUÊNCIA 1 20-40 2 40-80 3 80-160 4 160-320 5 320-640 6 640-1280 7 1280-2560 8 2560-5120 9 5120-10240 10 10240-20480 Por fim, importante ressaltar neste momento que a função exponencial tem como sua inversa a função logarítmica onde temos Se f(x) = ax é função exponencial, tal que a > 0 e a ≠ 1 então existe uma função inversa,chamada logarítmica com mesma base a denotada por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥. Assim podemos resumir x = 2 1 12 → 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 12 𝑛 = log2 2 → 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 Gráfico 8 - função Exponencial e Logarítmica 62 10 ANÁLISE DA PROPOSTA DIDÁTICO-MATEMÁTICA POR MEIO DOS CRITÉRIOS DE IDONEIDADE DIDÁTICA. Nesta seção tratamos da proposta didático-matemática como um material significativo para o ensino e aprendizagem da matemática de acordo com as instruções das seis facetas do Enfoque Ontossemiótico de Godino. De acordo com Breda (2015) uma das principais características deste conhecimento didático-matemático é a de que ele permite avaliar confrontar e articular distintos enfoques de investigação e justificar a melhora dos processos de ensino e aprendizagem da Matemática. Com a finalidade de constatar a proposta didático-matemática como um material significativo para o ensino e aprendizagem de matemática, cada faceta será apresentada como análise da proposta. • Faceta Epistêmica A escolha da forma de apresentar um conceito matemática pode em muitos casos significar a diferença entre uma experiência bem-sucedida e outra, malsucedida; por isso, o trabalho contextualizado em classe terá, sem dúvida, uma grande importância para o desenvolvimento das inteligências múltiplas e para a aprendizagem significativa dos alunos. (GARDNER, 1999) Um processo formativo ou um processo de estudo matemática tem maior adequação epistêmica na medida em que o conteúdo implementado (ou pretendido) representa bem o conteúdo de referência, ou seja, sua problematização, contextualização e aplicações que compõe o recurso didático são eficazes. (GODINO, 2011, p. 8) A sala de aula deve ser marcada por ser um espaço cooperativo e estimulante, de modo a favorecer e promover a interação entre os diferentes significados apreendidos pelos alunos, ou criados por eles, a partir das propostas que realizarem e dos desafios que forem propostos. Uma das experiências de aprendizagem que é apresentada na proposta didático- matemática é “Perceber a relação histórica matemática e música e o surgimento da escala musical temperada” (p. 55). 63 Ao apresentar momentos históricos da construção do conhecimento matemático estudado, a proposta didático-matemática aborda o “surgimento do temperamento musical debatendo os procedimentos matemáticos usados para tal feito” (p.56) Nesse contexto, a Base Comum Curricular, afirma que a possibilidade de se recorrer à história da Matemática como um recurso para o ensino Cumpre também considerar que, para a aprendizagem de certo conceito ou procedimento, é fundamental haver um contexto significativo para os alunos, não necessariamente do cotidiano, mas também de outras áreas do conhecimento e da própria história da Matemática (Brasil, 2018, p.299) Esta característica fortalece a relação da proposta com a possibilidade de comparação com outras áreas do conhecimento como a música, artes etc. • Faceta cognitiva Envolve o conhecimento de como os alunos aprendem e estabelecem conexões entre os diferentes objetos matemáticos, para que estabeleçam as ligações adequadas entre os diferentes conteúdos Godino, (2011) define tal faceta como sendo “o nível em que o conteúdo é implementado (ou pretendido), apresentado em um grau crescente de complexidade, e se é adequado para a compreensão dos alunos”. Ainda Godino (2008, p. 23) destaca que: Os significados pretendidos/implementados estejam na “zona de desenvolvimento proximal” (VYGOTSKI, 1934) dos alunos, assim como a proximidade destes significados pessoais atingidos aos significados pretendidos/ implementados. Um processo de ensino e aprendizagem com um alto grau de adequação cognitiva seria alcançado através do estudo das operações aritméticas com números de três ou mais algarismos, de forma que o professor realizasse uma avaliação inicial para saber se a maioria dos alunos dominam as operações com números de um e dois algarismos e, caso contrário, iniciasse o processo de instrução trabalhando com estes números Segundo Gardner (2002) quando o aluno se depara com um problema de nível elevado faz-se necessário encontrar um problema mais fácil dentro do maior e buscar a solução em ordem crescente de dificuldade. A capacidade de aprender e desdobrar esses estudos ajuda a definir a “zona de desenvolvimento proximal” do aluno. 64 Com a proposta didático-matemática os alunos poderão através da construção do xilofone descobrir os termos da sequência numérica bem como o conceito de PG, de uma forma progressiva didaticamente, pois começaremos em busca do comprimento do primeiro cano “o que será tônica, a nota principal, sobre a qual é formada a sucessão intervalar do modo o que será também o primeiro termo (a1), da sequência geometria” (p.57) Além disso identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais. A BNCC ressalta na competência específica Brasil (2018) de nº 5 a necessidade de “investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos, como observação de padrões” • Faceta Interacional Tendo em conta princípios socioconstrutivistas de aprendizagem amplamente assumidos, a presença de momentos em que os alunos assumem a responsabilidade pela aprendizagem é valorizada positivamente, ou seja, situações em que os alunos são protagonistas na construção do conhecimento pretendido. Godino (2008), afirma que (...) um processo de ensino e aprendizagem terá maior adequação, desde o ponto de vista interacional, se as configurações e trajetórias didáticas permitirem, por uma parte, identificar conflitos semióticos potenciais (que podem ser detectados a priori) e, por outra parte, resolver os conflitos que forem produzidos durante o processo de instrução (p. 23) Podemos destacar que na proposta didático-matemática seguimos uma sequência de situações, ações e formulações facilitando o caminho para uma aprendizagem autônoma onde os alunos poderão realizar na prática um experimento e partir deste tirar conclusões e levantar hipóteses. Gardner (2003) a firma que a aprendizagem por meio de descobertas também é aconselhável para o incentivo da inteligência lógico-matemático. Por exemplo: tentar entender o comportamento de um experimento, em seguida desfaze-lo e realizar uma análise de suas partes. 65 • Faceta mediacional A faceta mediacional é entendida como o grau de disponibilidade e adequação de recursos materiais e temporais para o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem. Godino (2011) apresenta alguns componentes e indicadores de adequação no uso de recursos tecnológicos, incluindo materiais manipulativos. As condições da sala de aula, a proporção professor / aluno e o tempo atribuído ao ensino e à aprendizagem também devem ser considerados como determinantes da adequação mediacional. Quadro 3 - Componentes e indicadores de adequação mediacional COMPONENTES: INDICADORES: Recursos materiais (Manipulativos, calculadoras, computadores) - São utilizados materiais manipulativos e tecnológicos que permitem apresentar boas situações, linguagens, procedimentos, argumentos adaptados ao conteúdo pretendido - As definições e propriedades são contextualizadas e motivadas por meio de situações, modelos e visualizações concretas Número de alunos, horas e condições da sala de aula -O número e distribuição dos alunos permite que o ensino pretendido seja realizado - O cronograma do curso é adequado (por exemplo, nem todas as sessões são ministradas no último minuto) - A sala de aula e a distribuição dos alunos são adequadas para o desenvolvimento do processo instrucional pretendido Tempo (Ensino / tutoria coletiva; tempo de aprendizagem) - O tempo (presencial e não presencial) é suficiente para o ensinopretendido - Tempo suficiente é dedicado aos conteúdos mais importantes do tópico - Tempo suficiente é dedicado aos conteúdos que apresentam maior dificuldade de compreensão Fonte: Godino 2011, p. 13 A proposta didático-matemática traz como componentes e indicadores de adequação mediacional (p.56) 66 Material necessário: (Materiais manipuláveis) • Aproximadamente 3 metros de cano PVC de 40mm de diâmetro, • Pedaços de madeira (ou suporte) para montar a base do instrumento; • Serra própria para PCV • Fita métrica • Calculadora • Lápis e papel para anotações. • Celular Logo no início da proposta na sessão 8.1 caracterização do trabalho (p.55) apresentamos componentes e indicadores medicionais com relação a número de alunos, horas e condições da sala de aula importantes de serem levados em consideração. • Faceta Emocional A resolução de qualquer problema matemático está associada a uma situação afetiva para o sujeito envolvido, que coloca em jogo não só práticas operativas e discursivas para dar uma resposta ao problema, mas também mobiliza crenças, atitudes, emoções ou valores que condicionam a em maior ou menor grau e diferente sentido a resposta cognitiva necessária. Godino (2011, p 11) destaca que: A emissão de um juízo sobre a maior ou menor adequação afetiva do processo em questão tem por base o grau de envolvimento, interesse e motivação dos alunos. Os processos afetivos são geralmente considerados como entidades psicológicas, que se referem a estados ou traços mentais mais ou menos estáveis, ou a disposições para a ação de sujeitos individuais. Mas, do ponto de vista educacional, a conquista de estados afetivos que interajam positivamente com o domínio cognitivo deve ser considerada pelas instituições de ensino e, em particular, pelo professor. Nas definições das inteligências intra/interpessoal, Gardner (2002) destaca que dimensionar as próprias qualidades de trabalho de maneira efetiva e eficaz, a partir de um conhecimento apurado de si próprio, ou seja, reconhecer os próprios limites, interesses e medos e utilizar esse conhecimento para ser eficiente nas suas atividades, incluindo a habilidade de compreender as outras pessoas e como eles trabalham. 67 Godino (2011) apresenta os indicadores de idoneidade emocional como sendo: Atitudes ✓ São promovidas a participação nas atividades, a perseverança, a responsabilidade, etc. ✓ O argumento é favorecido em situações de igualdade; o argumento é valorizado por si mesmo e não por quem o diz. Emoções ✓ A autoestima é promovida, evitando rejeição, fobia ou medo da matemática. ✓ As qualidades estéticas e de precisão da matemática são destacadas A aplicação da nossa proposta didático-matemática tem por necessidade, a construção coletiva do instrumento, favorecendo o trabalho em grupo assim os alunos podem trocar experiências, questionar, refletir, propor etc. Sempre destacando o propósito de ajudar uns aos outros fazendo com que os indivíduos não se sintam isolados como em um exame ou avaliação formal, ou seja, pode-se errar, pedir ajuda ao colega, ao professor, levantar usar o celular etc. A participação efetiva de todos na proposta didático-matemática sem o estabelecimento de uma hierarquia grupal estimula uma consciência social em que estão presentes a tolerância e convivência com as diferenças dos membros do grupo bem como a responsabilidade e compromisso no processo de confecção do instrumento com isso as, conjecturas propostas serão mais valorizadas. • Faceta ecológica O processo de estudo se ajusta ao projeto educativo da escola e da sociedade, ou seja, refere-se ao estágio em que um plano de aula de matemática é construído, levando em consideração o ambiente em que será usado Godino (2011) mostra que se entende por ambiente tudo o que está fora da sala de aula, condicionando a atividade que nela ocorre. Base Nacional Comum Curricular e currículos (BNCC) e os currículos se identificam na comunhão de princípios como a formação e o desenvolvimento humano global, em suas dimensões intelectual, física, afetiva, social, ética, moral e simbólica. Esses valores serão construídos na participação das famílias e comunidade entre outras ações, a: 68 contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas;(BRASIL, 2018, p 16) Godino (2011) apresenta os indicadores de idoneidade ecológica como sendo: Educação em valores ✓ Treinamento em valores democráticos e pensamento crítico é contemplado ✓ Conexões intra e interdisciplinares ✓ Os conteúdos estão relacionados com outros conteúdos intra e interdisciplinares Adaptação ao currículo ✓ Os conteúdos, sua aplicação e avaliação correspondem às diretrizes curriculares ✓ Abertura para a inovação didática ✓ Inovação baseada em pesquisa e prática reflexiva ✓ Integração de novas tecnologias (calculadoras, computadores, TIC, etc.) no projeto educacional É notório que nossa proposta didático-matemática buscar fazer uso dos indicadores ecológicos, dentre eles, da interdisciplinaridade quando aplicamos os conceitos históricos da construção da escala musical temperada para a partir daí introduzir os conceitos de progressão geométrica. No decorrer da proposta didático-matemática os estudos proporcionam a construção de um projeto para aplicação experimental de metodologias ativas de aprendizagem, como forma de inovação metodológica. Um dos princípios da BNCC (BRASIL, 2018) é garantir aos estudantes ser protagonistas de seu próprio processo de ensino e aprendizagem, reconhecendo- os como interlocutor legítimo currículo. A integração de novas tecnologias surge na nossa proposta didático-matemática na construção do instrumento, em especial no momento onde será construído os termos da progressão, faz necessário o uso de um frequencímetro que será instalado em forma de aplicativo nos celulares dos alunos juntamente com a calculadora para que os alunos possam medir a frequência encontrada no tubo bem como apliquem e equação destacada (p.57) 69 Gardner (2002) destaca em nas características da inteligência musical a habilidade de refletir em situações musicais, identificar tópicos melódicos, distinguir como eles são construídos, continuar esse processo no desenrolar de um trabalho musical 70 11 CONSIDERAÇÕES FINAIS A proposta desse trabalho foi investigar se práticas pedagógicas interdisciplinares de matemática e música podem proporcionar uma alternativa didática e auxiliar no ensino e na aprendizagem da sequência numérica PG. Para tanto, foi proposto a construção do instrumento musical xilofone no qual foi desenvolvido de maneira progressiva uma proposta didático- matemática relacionando a matemática, música e as noções de PG bem como as suas relações com as funções exponencial e logarítmica. Os estudos antecedentes possibilitaram uma ampla reflexão do ensino de sequência numérica e como surgem as dificuldades dos alunos e professores no processo de ensino e aprendizagem o que nos permitiu definir como o assunto seria abordado e de que maneira poderia ser uma inovação metodológica. Escolhemos Gardner (1994) para guiar o papel da proposta didático-matemática no ensino e na aprendizagem pois em sua teoria ele define que todos os seres humanos possuem sete potencialidades ou inteligências, que são elas Lógico-Matemática, Linguística, Espacial, Corporal Cinestésica, Interpessoal, Intrapessoal e Musical. Uma vez discutida a interdisciplinaridade da proposta didático-matemática buscamos responder, se a mesma tem potencial didático baseando-se nas seis facetas pertencentes aos critérios de Idoneidade Didática que está estabelecidadentro dos níveis de conhecimento didático-matemático do professor de matemática estabelecendo um critério geral de adequação/idoneidade matemática, relevância das ações e dos agentes educativos dos saberes aplicados. Dessa maneira buscamos mostrar o caráter didático e pedagógico da interdisciplinaridade matemática e música quando se tem uma intencionalidade e um objetivo, entretanto, é necessário refletir sobre as limitações tanto da pesquisa como da proposta didático- matemática. Fica notório se não inserimos interdisciplinaridade, matemática e música, fica a lacuna de como seria a utilização da música, execução de um instrumento, em sala de aula - O preenchimento dessa lacuna pode ser respondido em futuras pesquisas. Além disso a confecção de um instrumento baseado em conceitos históricos e ideias matemáticas requer uma disponibilidade de tempo e uma vez que a grande parte dos professores, da educação básica, não possui. 71 Importante destacar que somente a proposta didático-matemática não é suficiente para que o aluno desenvolva os conceitos de sequência numérica bem como sua associação as funções que lhe dão origem, devemos cogitar a possibilidade de que os alunos não estão aptos para a aceitação dessa nova proposta e nesse momento o professor incrementa um papel de extrema relevância na mediação desse primeiro contato aluno proposta. Portanto, ficamos na expectativa de que o nosso trabalho possa contribuir de maneira significativa na prática docente dos professores, gerando uma reflexão acerca dos recursos didáticos usados no ensino de matemática bem como a interdisciplinaridade com a música. Meu palpite é que estas analogias provavelmente podem ser encontradas entre quaisquer duas inteligências e que, de fato, um dos grandes prazeres em qualquer área intelectual se deve a uma exploração do seu relacionamento com outras esferas da inteligência. (GARDNER, 2002, p. 98) A música necessita da matemática tanto quanto necessitamos de ar. 72 REFERÊNCIAS ABDOUNUR, O. J. Matemática e Música - O pensamento analógico na construção de significados. 1. ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2015. ALMEIDA E. A. M. Progressões aritméticas e geométricas: praxeologias em livros didáticos de matemática. MT 2012. Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação do Instituto de Educação da Universidade Federal de Mato Grosso AVILA L. A. B. et al. A interdisciplinaridade na escola: dificuldades e desafios no ensino de ciências e matemática Revista Signos, Lajeado, ano 38, n. 1, 2017. ISSN 1983-0378 BAREFOOT, B. & GARDNER, J. 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A. 27.00
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C. 38.20
D. 9.10
