Livro Raciocínio Logico

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Alexandre Couto Cardoso
Márcia Maria Guimarães
Onaldo Chaves
Raciocínio Lógico
Alexandre Couto Cardoso
Márcia Maria Guimarães
Onaldo Chaves
RACIOCÍNIO LÓGICO
Belo Horizonte
Julho de 2016
COPYRIGHT © 2016
GRUPO ĂNIMA EDUCAÇÃO
Todos os direitos reservados ao:
Grupo Ănima Educação
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empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravações ou quaisquer outros.
Edição
Grupo Ănima Educação
Vice Presidência
Arthur Sperandeo de Macedo
Coordenação de Produção
Gislene Garcia Nora de Oliveira
Ilustração e Capa
Alexandre de Souza Paz Monsserrate
Leonardo Antonio Aguiar
Equipe EaD
Conheça 
a Autora
Marcia Maria é Doutora em Ciência em 
Engenharia / Recursos Hídricos pelo Instituto 
Alberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e 
Pesquisa de Engenharia - COPPE/UFRJ (2006), 
Mestre em Saneamento, Meio Ambiente e 
Recursos Hídricos pela Universidade Federal 
de Minas Gerais - UFMG (1997), e graduada 
em Matemática pela Faculdade de Filosofia 
Ciências e Letras de Belo Horizonte (1980), e em 
Engenharia Civil pela Faculdade de Engenharia 
da FUMEC (1984).
Pesquisadora em Ciência e Tecnologia pela 
Fundação Centro Tecnológico de Minas Gerais 
– CETEC, tem grande experiência na área de 
Engenharia Civil, com ênfase em Engenharia 
de Sedimentos, atuando principalmente nos 
temas: Recursos Hídricos, Chuvas Intensas, 
Produção de Sedimentos em Ambientes Fluviais, 
Desenvolvimento de Modelos Matemáticos 
Determinísticos Aplicados ao Movimento de 
Sedimentos e Poluentes em Escoamentos com 
Superfície Livre, Análise Regional de Frequência 
de Eventos Extremos e Modelos Hidrológico e 
Hidrodinâmico.
Trabalha como docente há mais de 10 anos, 
atuando como professora nas áreas de 
engenharia, gestão ambiental e gestão de 
recursos hídricos. Atualmente é professora 
convidada do Curso de Especialização 
“Gerenciamento de Recursos Hídricos” do ICB/
UFMG e professora contratada da UNATEC, e do 
Instituto Politécnico do Centro Universitário UNA.
Conheça 
o Autor
Onaldo Chaves é mestre em Economia 
Aplicada pela Universidade Federal de Viçosa, 
concluído em 2002, Engenheiro Mecânico 
com especialização em Engenharia Termo 
Nuclear pela UFMG em 1980, Pós-graduado 
em Análise de Sistemas, convênio SERPRO/
UNA em 1985. 
Trabalhou durante 12 anos como analista 
de suporte técnico em teleprocessamento, 
na empresa “Fertilizantes Fosfatados S.A – 
Fosfértil”, e na “Companhia de Saneamento de 
Minas Gerais – COPASA MG”.
Ampla experiência docente de 38 anos, sendo 
25 anos lecionando no Centro Universitário 
UNA em Belo Horizonte.
Conheça 
o Autor
O Prof. Alexandre Couto Cardoso é mestre 
em Administração (FEAD-Minas, 2005), 
especialista em Padrões Internacionais 
de Auditoria (UCB, 2010) e em Análise de 
Sistemas (UFRJ,1990), bacharel em Ciências 
Contábeis (UFMG, 1988) e possui Licenciatura 
em Administração, Contabilidade e Tecnologia 
da Informação (CEFET/MG, 2000).
Tem mais de 30 anos de experiência 
profissional, sendo mais de 20 relacionados 
à área de Tecnologia da Informação 
e Comunicação, com ênfase no 
desenvolvimento de sistemas, governança 
de TI, COBIT, workflow, sistemas de auditoria. 
Trabalhou também na análise da gestão de 
negócios para fins de crédito, com ênfase em 
plano de negócios, análise de demonstrações 
financeiras, análise de investimentos, de fluxo 
de caixa e gerenciamento de processos de 
negócio (BPM) em geral.
É professor universitário desde 2002, atuando 
em diversas disciplinas de Contabilidade e 
Administração, na graduação à distância 
(EAD) e presencial, bem como na pós-
graduação do Centro Universitário UNA, 
UNIBH e do SENAC em Minas Gerais. Foi 
auditor interno da Caixa Econômica Federal, 
com certificação internacional (CISA - 
Certified Information Systems Auditor, 
2007), onde atuou prioritariamente com 
Auditoria de Processos, de TI e Auditoria 
Eletrônica utilizando ferramentas de Business 
Intelligence. É coautor da metodologia de 
Auditoria de Processos da CAIXA e autor de 
material didático sobre Contabilidade na EAD 
da UNA.
Disciplinas ministradas: Auditoria de 
TI; Auditoria Fiscal; Auditoria Contábil; 
Governança; Contabilidade; Contabilidade 
Rural; Estrutura e Análise das Demonstrações 
Financeiras; Formação do Custo e do Preço de 
Venda; Gestão da Liquidez; Teoria dos Jogos 
para Finanças; Microeconomia; Análise de 
Cenários Econômicos; Matemática Financeira; 
Métodos Financeiros; Análise e Interpretação 
de Dados; Estatística; Raciocínio Lógico.
Raciocínio Lógico é uma das disciplinas essenciais não apenas para 
aqueles que trabalhavam com Matemática, Computação ou até mesmo 
Filosofia, como antigamente se pensava, mas também para todos os 
profissionais que precisam, em seu dia a dia, tomar decisões rápidas, 
organizar ideias, argumentar de forma clara e precisa, além, é claro, de 
ser uma atividade desafiadora e que desenvolve o raciocínio. 
Desde a antiguidade, o homem vem sendo forçado a analisar todos 
os fatos à sua volta, mesmo em ambientes hostis e seletivos. A sua 
sobrevivência somente ocorreu pela habilidade desenvolvida em 
reconhecer seus predadores naturais, as fontes alimentares adequadas 
e compreender os fenômenos da natureza.
Hoje, com toda a tecnologia disponível e todo o conhecimento acumulado, 
procuramos respostas mais precisas para fatos que desafiam a espécie 
humana e sua constante luta pela vida, ainda que pensar seja uma 
atividade espontânea e natural, inerente ao ser humano.
Para raciocinar, porém, temos que nos concentrar e nos esforçar 
para organizar nossas ideias de maneira lógica e coerente, e somente 
conseguiremos desenvolver essa habilidade se nos prepararmos 
adequadamente.
Esta disciplina tem como objetivo capacitar você com conhecimentos 
sobre raciocínio lógico, facilitando o desenvolvimento do seu 
raciocínio frente a argumentações, buscando formular conclusões e 
representações a partir das premissas apresentadas.
Nossa expectativa é que você desenvolva a competência de interpretar, 
entender e aplicar técnicas formais da lógica, para desenvolver o 
raciocínio lógico e dedutivo, que lhe permitirá enunciar e resolver 
Apresentação 
da disciplina
situações-problema, antecipando tendências e planejando ações 
futuras.
Esta disciplina lhe proporcionará as ferramentas necessárias para que 
você possa aplicar o raciocínio lógico na solução de problemas da vida 
pessoal e profissional, otimizando o tempo na tomada de decisões e 
na organização das atividades, a partir do estabelecimento de relações 
formais entre proposições, premissas e conclusões, dentre outras 
habilidades.
Sabe-se que pessoas mais criativas têm maior facilidade para entrar 
em contato com suas emoções e imaginação e processar, rapidamente, 
as informações, relacionando-as de forma automática às experiências 
adquiridas.
Assim, para desenvolver habilidades que o capacitarão a entender 
melhor o mundo ao seu redor, pretendemos, com essa disciplina, 
o ajudar a mesclar suas intuições, inspiradas em conhecimentos e 
experiências subjetivas, com o raciocínio lógico e objetivo, por meio de 
leituras, jogos, curiosidades e arte, como a música, a pintura, o canto, 
a dança – o que lhe permitirá ser mais criativo e inovador em sua vida 
pessoal e profissional. 
Bons estudos!
UNIDADE 3 068
Introdução ao estudo da lógica 069
Um pouco da história do pensamento lógico 070
A lógica na vida do tecnólogo 076
Revisão 087
UNIDADE 4 089
Proposição e suas operações lógicas 090
Conceitos de proposição 092
Valores lógicos das proposições 101
Conectivos lógicos 102
Revisão 110
UNIDADE 2 032
Problemas de correlacionamento 031
Aprendendo a identificar varíaveis do contexto 035
Técnicas para resoluçãode problemas de correlacionamento 038
Revisão 066
UNIDADE 1 003
Desafios lógicos 004
Introdução 006
Jogos 009
Revisão 028
UNIDADE 5 112
Operações lógicas e resultados 113
Operações lógicas sobre proposições 117
Tabelas-verdade para proposições simples 119
Tabelas-verdade para proposições compostas 128
Revisão 141
UNIDADE 6 142
Tautologias, contradições e contingências 143
Definição de tautologia 145
Definição de contradição 153
Definição de contingência 156
Revisão 162
UNIDADE 7 165
Inferência ou implicação lógica 166
Proposição condicional 169
Inferência ou implicação lógica 174
Propriedades das operações entre operandos 177
Propriedades das relações de inferência ou implicação lógica 180
Proposições associadas a uma condicional: 
recíproca, contrária e contrapositiva 183
Revisão 188
UNIDADE 8 190
Equivalência lógica 191
Equivalência lógica 193
Propriedades da relação de equivalência lógica 194
Proposições associadas a uma condicional que apresentam 
equivalência lógica 195
Álgebra das proposições de equivalência lógica 197
Revisão 212
REFERÊNCIAS 214
Desafios lógicos
• Desafios lógicos 
• Jogos 
• Revisão 
Introdução
Desde a nossa infância somos desafiados a descobrir como as 
coisas são formadas e qual a explicação lógica para cada fenômeno 
da natureza. A palavra “desafio” tem um sentido profundo de nos 
forçar a encontrar uma solução para um problema aparentemente 
complexo. Essa mesma palavra assume um contexto ainda 
mais interessante quando assume uma visão competitiva de, 
efetivamente, vencer o desafio diante de um oponente forte que 
deve ser superado.
Neste cenário, para vencer o desafio, o jogador deve preparar 
estratégias claras e previamente articuladas. A Teoria dos Jogos, um 
estudo recente, muito importante no meio econômico e no mundo 
dos negócios, consiste no estudo das tomadas de decisões entre 
indivíduos, quando o resultado de cada um depende das decisões 
dos outros, numa interdependência permanente, semelhante ao que 
acontece em um jogo. Vale a pena ressaltar que esse jogo é similar 
às situações rotineiras que ocorrem frequentemente na vida das 
pessoas.
É importante frisar que a Teoria dos Jogos não se aplica à decisões 
pessoais, como a decisão sobre a viagem a ser realizada nas 
próximas férias ou a melhor alternativa para comprar um carro novo 
para a família. Essa teoria estuda o cenário no qual existem várias 
situações que visam aumentar lucros, mas que, muitas vezes, gera 
conflitos diretos entre cada alternativa.
Assim, o resultado de ganho ou perda de uma decisão dependerá 
da movimentação do mercado, de seus concorrentes, de política 
governamental, de cenários externos e de um número expressivo 
de possibilidades de combinações entre esses fatores. Por 
isso, o jogador necessita saber quais são os ganhos e perdas de 
cada combinação, e identificar quais são as iniciativas de seus 
concorrentes.
Então, antes de tomar qualquer decisão, recomenda-se que se 
tenha em mente qual seria a ação tomada por todos os agentes que 
interferem no seu desempenho.
Pensar na forma de agir do concorrente e dos outros agentes 
externos pode parecer fruto da intuição, mas a Teoria dos Jogos 
mostra que antes de tudo é uma atitude racional, baseada na 
observação e na análise das alternativas, e de suas probabilidades.
Assim como existem várias teorias da administração que ajudam 
a estruturar o seu pensamento nas decisões competitivas, a Teoria 
dos Jogos possui modelos de estudos formais e exemplos que 
facilitam o entendimento nas decisões interdependentes.
É fácil perceber, então, a importância de um pensamento estruturado 
e lógico para visualizar todas as variáveis e as suas implicações 
imediatas, de modo a decidir acertadamente, e obter os melhores 
resultados possíveis, ou seja, vencer o desafio proposto.
Vamos agora ilustrar essas possibilidades e estudar essa 
interdependência por meio de jogos lógicos que se tornaram 
populares, e são ferramentas importantes no desenvolvimento do 
pensamento lógico racional.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
006
Um desafio bastante 
interessante consiste 
em “adivinhar” um 
número pensado 
por uma pessoa 
de maneira rápida 
a partir da leitura 
de seis cartões 
contendo vários 
números.
Desafios lógicos
Desde nossa infância somos desafiados o tempo todo a provar 
alguma coisa, desde as brincadeiras mais simples que envolvem 
atividades físicas, como correr, pular corda, subir em árvores, 
jogar bola, até aquelas atividades que envolvem conhecimentos 
anteriores, como lembrar uma música que tenha alguma palavra 
específica, recitar uma poesia ou falar sobre algum personagem.
Um desafio em forma de jogo é a famosa brincadeira da forca, 
conforme ilustrado na Figura 1. Nela os jogadores devem acertar a 
palavra “oculta” para escapar da forca, tendo como dica o número 
de letras e o tema ligado à palavra. A cada letra que o jogador erra é 
marcada uma parte do “enforcado”. O jogo termina com o acerto da 
palavra ou com o enforcamento do seu parceiro, ou parceiros.
FIGURA 1 – Jogo da forca
Fonte: Elaborada pelos autores.
Outro desafio bastante interessante consiste em “adivinhar” um 
número pensado por uma pessoa de maneira rápida a partir da 
leitura de seis cartões contendo vários números.
Vamos apresentar esse desafio. São apenas seis cartões, 
apresentados nas TABELAS 1 a 6, que deverão ser lidos pelo 
desafiado.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
007
TABELA 1 – Desafio dos números – Primeiro Cartão
Fonte: Elaborado pelo autor.
1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 61
TABELA 2 – Desafio dos números – Segundo Cartão
TABELA 3 – Desafio dos números – Terceiro Cartão
TABELA 4 – Desafio dos números – Quarto Cartão
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
2 3 6 7 10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63
4 5 6 7 12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
008
Cada cartão inicia 
com uma potência 
inteira de 2, que 
são os números 1, 
2, 4, 8, 16 e 32.
TABELA 5 – Desafio dos números – Quinto Cartão
Fonte: Elaborado pelo autor.
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
TABELA 6 – Desafio dos números – Sexto Cartão
Fonte: Elaborado pelo autor.
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
O desafio consiste em pedir que uma pessoa pense um número 
entre 1 e 63. Em seguida, você deverá descobrir qual número foi 
pensado.
A chance matemática de acertar o número pensado é muito baixa, é 
igual à fração de uma chance em 63 possibilidades (1/63), ou seja, 
alguma coisa menor do que 2% de chance de acerto. Entretanto, 
bastaria pedir que a pessoa indicasse em quais cartões estava 
escrito aquele número que ela havia pensado. De posse dessa 
informação, a “adivinhação” ocorre em pouquíssimo tempo.
Vamos exemplificar. Suponha que a pessoa tivesse pensado no 
número 41. Ao procurá-lo, ele estaria presente em três cartões. No 
primeiro, no quarto e no sexto cartão. Observe que o número 41 
não aparece em nenhum dos outros três cartões. Ao dizer que o 
número pensado estava presente somente nesses três cartões, a 
“adivinhação” ocorreria rapidamente e a resposta estaria correta.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
009
Esses números 
não se repetem em 
nenhum outro cartão 
e a montagem dos 
demais números 
em cada cartão 
obedece a um 
princípio matemático 
relativamente 
simples. 
Como? Mágica? Não, apenas a execução de uma operação 
aritmética. 
Uma simples soma dos primeiros números que aparecem no 1º, 4º 
e 6º cartões, ou seja, 1 + 8 + 32 = 41. O que são esses números 1, 8 
e 32,e de onde eles surgiram?
São os números iniciais do primeiro, do quarto e do sexto cartão. 
Isto funciona com absoluta precisão para qualquer número. Vamos 
verificar?
Suponha então que o número pensado fosse 34. Observe que esse 
número somente aparece no 2º e no 6º cartão e a soma seria, então, 
2 + 32 = 34.
E se fosse o número 1? Mais fácil ainda, pois ele está presente 
somente no primeiro cartão.
Que "mágica" é essa? Bom, na verdade não é nenhuma mágica, 
mas apenas um exercício simples de mudança de base entre os 
números da base 10 para as potências de base igual a 2.
Observe que cada cartão inicia com uma potência inteira de 2, que 
são os números 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Esses números não se repetem 
em nenhum outro cartão e a montagem dos demais números em 
cada cartão obedece a um princípio matemático relativamente 
simples. Enfim, essa "mágica" nada mais é que a aplicação imediata 
do raciocínio lógico aplicado sobre os números.
Jogos
Vamos agora mostrar alguns desafios lógicos encontrados nos 
jogos. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
010
A “adivinhação” 
ocorre somando-se 
o primeiro número 
de cada cartão que a 
pessoa indicar como 
tendo o número que 
ela pensou.
A “adivinhação” ocorre somando-se o primeiro número de cada 
cartão que a pessoa indicar como tendo o número que ela pensou.
Podemos simular muitas situações utilizando apenas papel 
e caneta, ou alguma estrutura que possa ser desenhada com 
facilidade.
Vamos mostrar três jogos interessantes que necessitam apenas 
que utilizemos o nosso raciocínio lógico.
Jogo da velha
Vamos iniciar a descrição dos jogos abordando um jogo lógico de 
muita simplicidade, que é conhecido popularmente por “jogo da 
velha”.
Esse jogo é baseado na demarcação de um tabuleiro quadrado, 
construído em uma folha de papel por uma estrutura matricial 
3 x 3, ou seja, formada por três colunas e três linhas, conforme 
exemplificado na TABELA 7 a seguir.
TABELA 7 – Jogo da velha
Fonte: Elaborado pelo autor.
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,1 3,2 3,3 
Os números colocados no interior de cada célula estão definindo a 
identificação dessa célula. O primeiro número indica a linha em que 
a célula se encontra, e o segundo a coluna. 
O jogo inicia com o primeiro jogador fazendo a sua marcação em 
uma das nove células da matriz. Normalmente, as marcações 
típicas são: o “X” para o primeiro jogador e o “0” para o segundo 
jogador.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
011
Uma jogada típica é iniciar com a marcação na célula central (2,2), 
que é uma posição estratégica na matriz (ou tabuleiro).
Por ocupar a posição central, essa célula está presente na formação 
de quatro sequências, que são as seguintes:
a) TABELA 7.1 – 
Jogo da velha
b) TABELA 7.2 – 
Jogo da velha
c) TABELA 7.3 – 
Jogo da velha
d) TABELA 7.4 – 
Jogo da velha
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
1,1 
 2,2 
 3,3 
2,1 2,2 2,3
 1,3
 2,2 
3,1 
 1,2 
 2,2 
 3,2 
O segundo jogador repete o procedimento fazendo a sua marcação 
em outra célula da matriz. Vamos também supor que esse jogador 
faça a sua jogada marcando a posição 2,3, ou seja, segunda linha e 
terceira coluna. Esta não é uma boa jogada.
Observe que, das quatro alternativas possíveis de formação de uma 
sequência, essa marcação inibe somente uma delas, que é a quarta 
possibilidade (2,1, 2,2, 3,2).
O primeiro jogador, então, fará a sua segunda jogada, fazendo a 
sua marcação na posição 1,1 (linha 1, coluna 1). Essa marcação 
forçará o segundo jogador a fazer a sua marcação na posição 
3,3 (terceira linha e terceira coluna), para impedir que o primeiro 
jogador complete a sequência na linha diagonal (posições 1,1, 2,2 e 
3,3), conforme veremos na sequência:
 
 X 
 
 
 X 0
 
X 
 X 0
 
TABELA 8 - Jogo da 
velha – Jogador 1 – 
1ª jogada
TABELA 8.1 - Jogo da 
velha – Jogador 2 – 
2ª jogada
TABELA 8.2 - Jogo da 
velha – Jogador 1 – 
3ª jogada
TABELA 8.3 - Jogo da 
velha – Jogador 2 – 
4ª jogada
 X 
 X 0
 0
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
012
Fonte: Elaborado pelo autor.Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Fonte: Elaborado pelo autor.
 
 X 
 
 
 X 0
 
X 
 X 0
 
TABELA 8 - Jogo da 
velha – Jogador 1 – 
1ª jogada
TABELA 8.4 - Jogo da velha 
– Jogador 1 – 5ª jogada 
(duplo ataque)
TABELA 8.1 - Jogo da 
velha – Jogador 2 – 
2ª jogada
TABELA 8.5 - Jogo da velha 
– Jogador 2 – 6ª jogada 
(o jogo está perdido)
TABELA 8.2 - Jogo da 
velha – Jogador 1 – 
3ª jogada
TABELA 8.6 - Jogo da velha 
– Jogador 1 – 7ª jogada 
(vence o jogo)
TABELA 8.3 - Jogo da 
velha – Jogador 2 – 
4ª jogada
 X 
 X 0
 0
 X X
 X 0
 0
X 0 X
 X 0
 0
X 0 X
 X 0
X 0
Ao marcar a posição (1,3), o primeiro jogador, além de se defender, 
terá conseguido efetuar um ataque duplo em seu adversário.
Observe que na próxima jogada ele terá a sua disposição duas 
alternativas para completar a série sequencial, que seria a primeira 
linha, posições (1,1), (1,2) e (1,3), ou na diagonal secundária, 
posições (1,3), (2,2) e (3,1).
Considerando que o segundo jogador poderia se defender de apenas 
uma dessas jogadas, o primeiro jogador venceria esse desafio com 
facilidade. O desafio apresenta, entretanto, uma defesa bastante 
simples para evitar ser surpreendido.
Vamos supor que o primeiro jogador marque a célula central 
(posição 2,2).
Existe uma defesa simples que irá definir a continuidade do jogo. 
Se o segundo jogador marcar uma célula de esquina (1,1 ou 1,3 ou 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
013
3,1 ou 3,3), ele não será surpreendido por um ataque duplo como no 
jogo anterior.
Vejamos então a sequência:
O primeiro jogador joga na célula (2,2), o segundo jogar, em resposta, 
marca a célula de esquina (1,1). Qualquer que seja a próxima jogada 
do primeiro jogador, o segundo jogador deverá se defender da 
possibilidade de formação de uma sequência de três células do 
primeiro jogador.
Se o primeiro jogador marcar a célula (1,3), o segundo jogador, 
obrigatoriamente, terá que marcar a célula (3,1) para se defender. 
Isso criará uma situação de ataque para o seu oponente, conforme 
mostrado na TABELA 9.
TABELA 9 – Jogo da velha – Jogador 2 ataca
Fonte: Elaborado pelo autor.
0 X
 X 
0 
Assim, quem está sendo atacado é o primeiro jogador, que terá que 
cobrir a possibilidade de formação de uma sequência na primeira 
coluna (1,1, 2,1 e 3,1), ocupando a célula (2,1).
O segundo jogador, então, irá se defender da possibilidade de uma 
sequência na segunda linha, cobrindo a célula (2,3). Nesse caso, 
a única possibilidade de formar uma sequência para o primeiro 
jogador será a formação sequencial na segunda coluna.
Entretanto, essa sequência seria facilmente defendida pelo segundo 
jogador, uma vez que não caracterizaria um ataque duplo, como o 
que ocorreu no desafio anterior, conforme podemos observar na 
TABELA 10.
Assim, quem está 
sendo atacado é o 
primeiro jogador, 
que terá que cobrir 
a possibilidade 
e formação de 
uma sequência na 
primeira coluna (1,1, 
2,1 e 3,1), ocupando 
a célula (2,1).
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
014
TABELA 10 – Jogo da velha – Termina sem vencedores
Fonte: Elaborado pelo autor.
0 0 X
X X 0
0 X 
Esse desafio estará então terminado sem vencedores. Trata-se de 
um jogo simples e perfeitamente previsível para jogadores com 
raciocínio lógico mais desenvolvido.
Sudoku
O jogo de Sudoku é muito popular no Brasil, não somente por ocupar 
as páginas das revistas de entretenimento, mas também por fazer 
parte das edições diárias dos principais jornais do país.
O nome Sudoku é uma abreviação para a frase japonesa “os dígitos 
devem permanecer únicos”.É um jogo de lógica muito simples, 
não envolvendo nenhum tipo de cálculo, baseando-se apenas na 
colocação dos números nas células próprias.
Existem especulações não comprovadas de que esse jogo teria sido 
inventado no século XVIII pelo famoso matemático Euler (1707- 
1783). Porém, o primeiro jogo desse tipo foi encontrado em uma 
revista americana em 1979 (SUDOKU History. In: Site "Conceptis 
puzzles") e foi criado pelo arquiteto aposentado Howard Garns. O 
passatempo foi publicado com o nome “Number Place” (lugar dos 
números), porém apareceu em uma revista japonesa com o nome 
“Sudoku”.
Um Sudoku é formado por um quadrado bidimensional, dividido 
em 16 casas na versão 4x4, 36 casas na versão 6x6 e 81 casas 
na sua versão mais comum, a 9x9. Essas casas, ou células, 
ficam agrupadas em quadrados menores (submatrizes), e a 
quantidade de quadrados varia de acordo com a versão do jogo. A 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
015
Um Sudoku é 
formado por 
um quadrado 
bidimensional, 
dividido em 16 
casas na versão 
4x4, 36 casas 
na versão 6x6 
e 81 casas na 
sua versão mais 
comum, a 9x9.
TABELA 11 – Jogo inicial do Sudoku
Fonte: Elaborado pelo autor.
 8 2 4 
 5 7 
4 1 5 
 6 9 2 
 7 
9 5 1 8 
 9 6 4 8 
 3 2 8 5 
 2 7 
versão 4x4 contém 4 agrupamentos de 4 quadrados cada. A 6x6 
contém 6 agrupamentos com 6 quadrados cada e a versão 9x9, 9 
agrupamentos de 9 quadrados cada.
Vamos considerar a versão mais comum utilizada no Brasil. 
Conforme vimos anteriormente, o jogo desenvolve-se em uma 
matriz principal de dimensões 9x9, dividida em 9 submatrizes 
menores, de dimensões 3x3.
Alguns valores são preenchidos previamente, como pode ser 
observado na TABELA 11. 
O jogador deverá preencher todas as casas ou células vagas, 
observando a colocação dos números em todas as linhas, colunas 
e submatrizes com os números de 1 a 9.
Obviamente, todos os números de 1 a 9 deverão estar presentes 
e, consequentemente, não haverá repetição de nenhum desses 
números, seja na linha, seja na coluna ou em qualquer submatriz 
interna.
Tenha em mente que a solução a ser apresentada é única e que 
qualquer número colocado de maneira equivocada em alguma 
célula irá promover uma situação de erro ao final do jogo. Ou 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
016
Um Sudoku é 
formado por 
um quadrado 
bidimensional, 
dividido em 16 
casas na versão 
4x4, 36 casas 
na versão 6x6 
e 81 casas na 
sua versão mais 
comum, a 9x9. 
seja, colunas, linhas ou submatrizes com números repetidos e, 
consequentemente, com a ausência de outros números.
Vejamos então como poderíamos solucionar o Sudoku que foi 
apresentado na TABELA 11 precedente.
Situação inicial proposta para análise.
A definição dos números a serem colocados em cada célula 
obedece apenas à observação e à análise das possibilidades de 
colocação de cada número. 
O jogador deverá preencher todas as casas ou células vagas, 
observando a colocação dos números em todas as linhas, colunas 
e submatrizes com os números de 1 a 9.
Para facilitar o trabalho de colocação de cada número em cada 
célula, observe as seguintes dicas,
a. Para terminar mais rápido, localize o número que aparece 
mais vezes na grade e procure, nas células livres, onde esse 
número poderia ser colocado.
b. Cruze linhas com colunas, buscando identificar que posição 
em uma linha ou coluna possa conter um determinado 
número por um processo de eliminação.
c. Tente começar pelas linhas, colunas ou submatrizes que 
tenham a maior quantidade de números inicialmente 
marcados.
d. Evite utilizar o processo de tentativa e erro, e marque 
somente os números quando tiver certeza absoluta.
e. Em estruturas com maior grau de dificuldade, quando não 
existir a certeza absoluta para a colocação de um número 
e existir a dúvida entre dois números, marque a lápis a sua 
escolha e tente prosseguir com as outras marcações.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
017
O jogador deverá 
preencher todas as 
casas ou células 
vagas, observando 
a colocação dos 
números em todas 
as linhas, colunas e 
submatrizes com os 
números de 1 a 9.
Nesse jogo observa-se, por exemplo, que a oitava submatriz (a 
segunda na última linha) apresenta uma maior concentração 
de números previamente preenchidos. Provavelmente, nessas 
situações será possível identificar, pela observação, a colocação 
dos primeiros números do Sudoku. Observe também, nesta mesma 
submatriz, que a primeira coluna está toda preenchida com os 
números 6, 2, 7 e sua segunda coluna tem um preenchimento 
parcial com os números 4, 8, x. O elemento x, inicialmente, poderia 
ser qualquer número ainda não colocado na submatriz, que são os 
números 1, 3, 5 e 9.
Observando a sexta coluna da matriz principal, é possível identificar 
a presença do número 9, posicionado na quarta linha . Logo, não 
podemos ter uma repetição do número 9 na sexta coluna. A única 
possibilidade, então, de posicionar o número 9 na submatriz é na 
quinta coluna, abaixo do número 8, conforme mostrado na TABELA 
12.
TABELA 12– Jogo do Sudoku
Fonte: Elaborado pelo autor.
 8 2 4
 5 7 
4 1 5
 6 9 2
 7 
9 5 1 8 
 9 6 4 8
 3 2 8 5 
 2 7 9 
Sabemos agora que na sexta coluna da submatriz teremos os 
números 1, 3 e 5, não necessariamente nessa ordem.
Veja agora que na oitava linha os números 3 e 5 já aparecem. O 
número 3 está na oitava linha e terceira coluna, e o 5 na oitava linha 
e sétima coluna. Essa observação então garantirá que o número 1 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
018
Sabemos agora 
que na sexta 
coluna da 
submatriz teremos 
os números 
1, 3 e 5, não 
necessariamente 
nessa ordem.
irá figurar nessa oitava linha e sexta coluna, conforme ilustrado na 
TABELA 13 abaixo.
Outra observação simples pode ser feita com o número 2, pois ele 
ainda não foi posicionado na submatriz formada pelas linhas 7, 8, 9 
e colunas 7, 8, 9. Observe que o número 2 já está presente na oitava 
linha, quarta coluna, e também está na nona linha, segunda coluna. 
Consequentemente, ele deverá ocupar alguma posição na sétima 
linha da última submatriz. Essa sétima linha já tem o número 8 
ocupando a oitava coluna. Ainda teríamos então duas opções para 
colocar o número 2, que seriam nas colunas 7 e 9 respectivamente.
Porém, se observarmos na terceira submatriz, já encontramos o 
número 2 na primeira linha e sétima coluna. Logo, a única maneira 
de colocarmos o número 2 nessa última submatriz será na linha 7, 
coluna 9, conforme mostrado na TABELA 13. 
TABELA 13 - Jogo do Sudoku
Fonte: Elaborado pelo autor.
 8 2 4 
 5 7 
4 1 5 
 6 9 2 
 7 
9 5 1 8 
 9 6 4 8 2
 3 2 8 1 5 
 2 7 9 
À medida que os números vão sendo colocados adequadamente na 
matriz, novas conclusões vão sendo estabelecidas, o que permitirá 
a colocação de outros números até o seu preenchimento completo, 
conforme mostrado na TABELA 14.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
019
TABELA 14 – Jogo final do Sudoku
Fonte: Elaborado pelo autor.
7 9 5 1 3 8 2 4 6
3 1 2 4 5 6 7 9 8
4 8 6 9 2 7 1 5 3
8 6 1 3 7 9 4 2 5
2 5 7 8 6 4 9 3 1
9 3 4 5 1 2 8 6 7
1 7 9 6 4 5 3 8 2
6 4 3 2 8 1 5 7 9
5 2 8 7 9 3 6 1 4
Observe agora, na solução completa do desafio, que todas as nove 
colunas, as nove linhas e as nove submatrizes contém os números 
de 1 a 9; todos utilizados e sem repetições.
Lembre-se que nenhum cálculo matemático foi utilizado para o 
preenchimento dessa tabela, apenas a capacidade de observação e 
a visualização das possibilidades.
Com a grande popularidade desse desafio, outras formas de jogar 
estão sendo apresentadas, como o mini Sudoku, com números de 
1 a 6 em uma matriz 6x6 ou ainda menores, como em uma matriz 
4x4, até estruturas de dupla entrada, com matrizes encadeadas de 
maior complexidade.
Batalha naval
A “Batalha Naval” é um jogo que também utiliza uma matriz um 
pouco maior, simulando dois camposde jogo em que a frota naval 
dos dois jogadores deverá ser distribuída.
Existem formas variadas de definir o “cenário” para jogar a Batalha 
Naval. A matriz típica é de tamanho 15x15, embora existam versões 
menores no tamanho 10x10 ou 8x8. Na montagem maior, que 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
020
A “Batalha Naval” 
é um jogo que 
também utiliza uma 
matriz um pouco 
maior, simulando 
dois campos de 
jogo em que a frota 
naval dos dois 
jogadores deverá 
ser distribuída.
vamos discutir nesta seção, as células recebem identificações de 
linhas e colunas, utilizando letras e números (de A até P e de 1 até 
15), conforme TABELA 15, que apresenta a estrutura necessária 
para o jogo Batalha Naval.
TABELA 15 – Batalha Naval
Fonte: Elaborada pelos autores.
São quatro matrizes para jogar, duas para cada jogador. Na 
primeira matriz o jogador irá distribuir a sua frota e na segunda 
matriz será o seu campo de ataque, em que ele tentará localizar 
e, consequentemente, “afundar” a frota de seu adversário. Essas 
matrizes são conhecidas como “seu jogo” e “jogo do adversário”.
Cada frota é composta pelos equipamentos mostrados no QUADRO 1. 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
021
QUADRO 1– Frotas do Jogo “Batalha Naval”
Fonte: Elaborado pelos autores.
Preparação do jogo:
1. Cada jogador distribui suas armas pelo tabuleiro. Isso 
é feito marcando-se na matriz intitulada "seu jogo" os 
quadradinhos referentes às suas armas.
2. Não é permitido que dois equipamentos se toquem.
3. O jogador não deve revelar ao oponente as localizações 
de seus equipamentos, uma vez que o objetivo do jogo é, 
exatamente, identificar o mais rápido possível a localização 
de cada peça do jogador oponente.
O jogo:
Cada jogador, na sua vez de jogar, seguirá o seguinte procedimento:
4. “Disparará” três tiros, isto é, indicará três coordenadas do 
alvo, através do número da linha e da letra da coluna que 
definem a posição atingida. Para que o jogador tenha o 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
022
controle dos tiros disparados, deverá marcar cada um deles 
no reticulado intitulado "seu jogo".
5. Após cada um dos tiros, o oponente avisará se acertou 
e, nesse caso, qual a arma que foi atingida. Se ela for 
afundada, esse fato também deverá ser informado.
6. A cada tiro acertado em um alvo, o oponente deverá marcar 
em seu tabuleiro, para que possa informar quando a arma 
for afundada.
7. Uma arma é afundada quando todas as casas que formam 
essa arma forem atingidas.
8. Após os três tiros e as respostas do oponente, será a vez do 
outro jogador efetuar as suas jogadas.
9. O jogo terminará quando um dos jogadores afundar todas 
as armas do seu oponente.
Vamos agora trabalhar a ideia lógica desse jogo. A lógica do jogo já 
começa com a distribuição adequada de suas peças no tabuleiro, 
visando dificultar as ações de seu adversário.
Observe que a matriz em que se realiza a “Batalha Naval” é 
uma matriz 15x15, totalizando 225 posições possíveis. As 15 
embarcações totalizam a ocupação de apenas 38 posições. Os 
primeiros “tiros” são realmente aleatórios e a probabilidade de 
acertos nas primeiras tentativas é bastante reduzida.
Observamos, entretanto, que após cada sequência de tiros, a 
componente aleatória vai sendo substituída pela componente 
lógica. No momento de identificação de um tiro que acertou um 
elemento da frota, essa informação deverá ser processada pelo 
jogador de forma a definir qual foi o tiro certo e qual a sequência 
correta de tiros para “afundar aquele elemento”.
Por exemplo, digamos que o jogador anuncie os seus três tiros 
Os primeiros “tiros” 
são realmente 
aleatórios e a 
probabilidade 
de acertos 
na primeiras 
tentativas é 
bastante reduzida.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
023
como sendo E5, F11 e G8, e ele tenha como resposta um acerto 
em um cruzador e dois tiros na água. Essa informação não o 
permitirá saber qual dos três tiros acertou o cruzador, fato esse que 
imediatamente irá gerar nada menos que 12 possibilidades a serem 
investigadas. Vejamos então quais são essas 12 possibilidades.
Observe:
Se o cruzador, que ocupa duas posições sequenciais, está na 
posição E5, existirão quatro possibilidades de sua localização, 
E4- E5, E5-E6, E5-F5 ou D5-E5. O mesmo aplica-se para as outras 
possibilidades de F11, que seriam F10-F11, F11-F12, E11-F11 ou 
F11-G11, e ainda de G8, sendo G7-G8, G8-G9, G8-H8 e F8-G8.
Não basta afundar a peça. É importante saber a sua localização 
exata para não gastar tiros em posições em que é impossível existir 
uma peça.
Vamos supor que o cruzador ocupe as posições E4-E5. Nesse caso, 
não poderá existir nenhuma outra peça encostada no cruzador. Essa 
informação garantirá que as posições em volta do cruzador (E3, D4, 
D5, E6, F5, F4) não estão ocupadas por peça alguma e, certamente, 
não precisarão ser usadas para novos disparos.
Se a peça alvejada na tentativa fosse um porta-aviões, que ocupa 
cinco posições sequenciais, o número de possibilidades de 
localização do porta-aviões aumentaria consideravelmente.
Vamos analisar somente uma possibilidade. Se o porta-aviões 
ocupar a posição E5, poderíamos pensar que o navio estaria na 
vertical, gerando cinco possibilidades:
a. E1-E2-E3-E4-E5
b. E2-E3-E4-E5-E6
c. E3-E4-E5-E6-E7
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
024
d. E4-E5-E6-E7-E8
e. E5-E6-E7-E8-E9
Ou na posição horizontal, que gerariam também cinco 
possibilidades:
a. A5-B5-C5-D5-E5
b. B5-C5-D5-E5-F5
c. C5-D5-E5-F5-G5
d. D5-E5-F5-G5-H5
e. E5-F5-G5-H5-I5
Ou seja, existem 10 possibilidades somente para E5 e outras 10 
possibilidades para F11 e G8, totalizando 30 possibilidades.
Quando se consegue acertar dois ou três navios diferentes, a análise 
torna-se ainda mais complexa, pois as previsões devem ser feitas 
alternando o tipo de equipamento atingido para se ter a certeza de 
como fazer as novas tentativas.
Como será declarado vencedor aquele jogador que afundar a frota 
inimiga mais rapidamente, a componente lógica deverá ser ativada 
para garantir que não se perca tempo atirando onde não existe 
possibilidade de existir alguma peça.
Trata-se, efetivamente, de um jogo de múltiplas possibilidades 
e que, embora se inicie dando tiros puramente aleatórios, terá o 
seu desenvolvimento pautado na melhor estratégia lógica. Na 
realidade esse jogo apresenta estratégias somente de ataque, já 
que a frota é estática e, uma vez estabelecida, não poderá sofrer 
nenhuma alteração de posicionamento, embora as peças possam 
ser distribuídas de modo a confundir o adversário, quando as suas 
peças são atingidas.
Trata-se, 
efetivamente, de um 
jogo de múltiplas 
possibilidadese 
que, embora 
se inicie dando 
tiros puramente 
aleatórios, 
terá o seu 
desenvolvimento 
pautado na melhor 
estratégia lógica.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
025
Uma forma muito conhecida de confundir o adversário é colocar 
dois hidroaviões da sua frota bastante próximos. Exemplificando, 
poderia se posicionar um hidroavião nas posições F12-G11-H12 
e o outro as posições J12-K13-L12. Eventualmente, ao atirar em 
H12 e existir a possibilidade de ser um hidroavião, o adversário 
poderia ser induzido a pensar que o disparo certo em J12 seria no 
mesmo hidroavião. Esse equívoco poderia custar ao seu adversário 
o desperdício de uma série de disparos inúteis.
Assim como em qualquer desafio na vida, o conhecimento das 
estratégias utilizadas pelo adversário e a maneira de forçá-lo a 
tomar decisões erradas poderá definir a melhor localização da sua 
frota dentro do campo de jogo, e ser um fator decisivo para a sua 
vitória.
Os jogos aprimoram as habilidades cognitivas
Hérica Ribeiro
(Graduada em Letras Educadora SUPERA Uberlândia/MG) 
Publicado em: 10/05/2014
Os jogos fazem parte da cultura dos povos desde os primórdios das 
civilizações. Para além de um passatempo, trazem em si o objetivo 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
026
de auxiliar o homem na educação do corpo e da mente para enfrentaros possíveis desafios cotidianos. Embora tenham surgido com tal 
preocupação, a popularização, o comércio dos jogos e os avanços 
tecnológicos deram enfoque à função recreativa, secundarizando o 
aprimoramento das habilidades que podem ser desenvolvidas a partir da 
prática do jogo.
O método SUPERA utiliza os jogos como ferramenta de estímulo cognitivo. 
Sendo assim, cada jogo que compõe o acervo utilizado no curso de 
ginástica cerebral foi cuidadosamente selecionado para garantir que o 
aluno seja desafiado de maneira prazerosa, a fim de potencializar suas 
capacidades, manter seu cérebro ativo e sua saúde mental.
Os jogos e o cotidiano
Jogos milenares como o Gammon e o Jarmo são provenientes de 
histórias lendárias de antigos povos. São desafios de tabuleiro que exigem 
que o jogador adote uma estratégia para defender as suas peças e vencer 
seu oponente. Para tanto, é preciso fazer uso da atenção, do foco, do 
pensamento contínuo, da memória, do raciocínio lógico e do pensamento 
estratégico. Assim, essas habilidades são aprimoradas e exercitadas, 
de modo que, quando for necessário solucionar um problema que exija 
tais habilidades, o cérebro automaticamente busca as referências de 
experiências anteriores, consolidadas nas reservas cognitivas da pessoa.
Consideremos o aperfeiçoamento do raciocínio lógico – capacidade de 
estabelecer relações, análises e comparações, a fim de refletir e elaborar 
uma solução para o problema apresentado – por meio do jogo. Um 
empresário, por exemplo, recorrerá a esta habilidade quando precisar 
resolver questões de seu cotidiano que exijam análises e reflexões, como 
elaborar estratégias para a captação de novos clientes. Portanto, os 
benefícios conquistados estão além da saúde mental e qualidade de vida, 
já que também têm influência no desempenho profissional e escolar dos 
envolvidos.
Ainda que a difusão das tecnologias tenha propagado a criação de 
jogos com finalidade exclusiva de passatempo, também trouxe ganhos. 
Alguns jogos tradicionais ganharam versões tecnológicas, com variações 
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
027
de regras que podem ser ainda mais desafiadoras e convidativas. E 
os desafios como sudoku, arukone e o pic a pix estão disponíveis em 
aplicativos para smartphones e tablets, dispensando o uso de papel e 
caneta, e flexibilizando o tempo, atualmente tão escasso.
É importante ressaltar que, para conquistar os benefícios que os jogos 
podem proporcionar, os desafios precisam ser resolvidos a partir de 
reflexões, tirando o cérebro da zona de conforto. Solucioná-los à base 
de tentativas e erros não resultará em desenvolvimento cognitivo, pois a 
ação é proveniente de automatismos e possibilidades irrefletidas que não 
geram os estímulos necessários ao cérebro. Deste modo, é imprescindível 
dominar as regras do jogo em questão, para que estas subsidiem as 
estratégias que serão elaboradas, permitindo a busca de certezas por 
meio de análises lógicas e reflexivas.
Nesse sentido, além dos jogos serem envolventes e prazerosos, também 
desenvolvem as capacidades cognitivas e emocionais, contribuindo para 
manter a saúde mental.
Referência
RIBEIRO, Hérica. Os jogos aprimoram as habilidades cognitivas. In: Site “Supera”. 
Disponível em: <http://metodosupera.com.br/saude-mental/os-jogos-aprimoram-
as-habilidades-cognitivas/>. Acesso em: 13 jul. 2015.
http://metodosupera.com.br/saude-mental/os-jogos-aprimoram-as-habilidades-cognitivas/
http://metodosupera.com.br/saude-mental/os-jogos-aprimoram-as-habilidades-cognitivas/
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
028
Revisão
Chegamos ao final desta unidade e, certamente, a etapa mais e 
divertida. Sem dúvida alguma, a vontade de vencer um desafio 
nos motiva a aprimorar nossos conhecimentos e desenvolver 
estratégias para não sermos surpreendidos em nenhuma situação. 
Esta é a essência dos jogos. Antecipar os movimentos de seu 
adversário constitui um importante passo para atingir os seus 
objetivos.
Desde criança somos treinados a competir. Segundo uma frase 
popular, nenhuma pessoa gosta de perder, nem uma disputa “par 
ou ímpar”. É inegável que somente podemos ganhar se soubermos 
jogar. Se conhecermos com detalhes as regras do jogo, se 
dominarmos e utilizarmos toda a potencialidade de nossas armas 
e, principalmente, se conhecermos o nosso adversário e a forma 
como ele pretende nos derrotar, as nossas chances de vitória serão 
infinitamente maiores.
Em todos os jogos da vida, sejam esses jogos disputados no campo 
pessoal ou profissional, o desenvolvimento de nossas estratégias 
lógicas certamente será decisivo para alcançarmos a vitória.
Nessa unidade aprendemos, então, a utilizar as técnicas do 
raciocínio lógico para buscar resultados satisfatórios e vencer 
qualquer tipo de desafio que a vida nos impor. 
Não importa que o desafio seja uma questão muito simples, como 
o antigo “jogo da velha”, em que basta aprender a não perder, ou 
uma situações de alta competição, como na Batalha Naval, em 
que somos atacados e temos que contra-atacar de maneira mais 
incisiva, ou como o Sudoku, tendo oportunidade de exercitar a nossa 
capacidade de analisar todas as alternativas possíveis e escolher a 
única que se adapta ao nosso problema específico. Independente 
do desafio apresentado, teremos sempre de ter em mente a nossa 
necessidade, e principalmente, a capacidade de saber enfrentá-lo.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
029
A Teoria dos Jogos e o Dilema das Pontes
A "Teoria dos Jogos" apresenta várias analogias bastante interessantes que 
merecem uma atenção especial para compreendermos adequadamente 
as ações das pessoas num cenário de alta competitividade, como o que 
estamos vivendo neste momento. O significado real da "Teoria dos Jogos" 
poderia ser sintetizado de várias formas.
Vejamos uma situação hipotética que representa bem esse pensamento. 
Imagine que você deseja atravessar um rio de uma margem a outra e que 
existem três pontes distantes entre si. Também é certo que não exista 
outra forma de atravessar o rio, senão utilizando uma das três pontes.
Vejamos as particularidades de cada ponte. A primeira ponte não oferece 
nenhum tipo de perigo e sua travessia é absolutamente tranquila e sem 
obstáculos.
A segunda ponte está posicionada embaixo de um penhasco e existe uma 
grande possibilidade de queda de grandes pedras sobre ela.
Já a terceira ponte é habitada por uma colônia de cobras venenosas.
Imagine agora que você queira classificar as três pontes segundo o seu 
grau de dificuldade para atravessá-la. A primeira ponte é, certamente, a 
melhor e mais simples de se definir, mas e as outras duas?
Num cenário de extrema competição elas não poderão ser simplesmente 
abandonadas. Ao contrário, faz-se necessário obter mais informações 
sobre elas para um eventual uso.
Seria necessário estudar durante algum tempo a frequência de queda de 
pedras sobre a segunda ponte, a força e velocidade do vento, o volume de 
pedras soltas e as condições do piso.
Para a terceira, seria importante conhecer a quantidade existente de 
cobras, os hábitos alimentares e o deslocamento frequente dessas cobras 
durante o dia e a noite.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
030
Imagine então que esses estudos concluam que o risco de ser atingido por 
uma pedra durante a travessia da segunda ponte, durante um período de 
tempo bom e ventos de baixa velocidade, seja da ordem 10%.
Já para a terceira ponte, considerando os aspectos estudados, a 
probabilidade de ser atacado por alguma cobra chegaria a 20%, ou seja, 
o dobro da chance de um acidente observado na travessia da segunda 
ponte.
Por mais que se conheçam essas estatísticas, a utilização da segunda e 
terceira pontes continuaria apresentando um grau de perigo significativo, 
se comparado com a travessia da primeira ponte, que continuaria sem 
apresentar nenhum tipo de risco.
Parece óbvio que as recomendações apontariam para travessia segura 
sempre pela primeiraponte.
Vamos agora colocar outras variáveis em nossa análise. Suponha, então, 
que você esteja diante da segunda ponte e que, conforme sabe, os seus 
estudos indicam uma chance de 10% de ser atingido por uma pedra, e 
que você esteja distante da primeira ponte numa distância de um dia de 
caminhada. Você poderia então escolher entre retardar a travessia por 
algumas horas e fazer a travessia pela primeira ponte, ou assumir o risco, 
10% de possibilidade de ser atingido por pedra ao atravessar pela segunda 
ponte. A sua decisão ainda seria relativamente fácil, pois com esses 
parâmetros você ainda poderia optar pela sua total segurança passando 
pela primeira ponte.
Vamos agora realmente complicar mais um pouco o cenário de escolha. 
Suponha que além de tudo isso, do outro lado do rio exista um atirador 
que deseja matá-lo. Porém esse atirador somente terá condições de atirar 
em você se ele souber em que ponte você irá passar. Caso contrário, você 
atravessaria a ponte que escolhesse e escaparia do atirador, que estaria 
posicionado na saída de uma outra ponte.
À medida em que você pensa, o atirador está do outro lado tentando 
antecipar o seu raciocínio e se encaminhando para a ponte que ele imagina 
que você irá atravessar.
RACIOCÍNIO LÓGICO
unidade 1
031
Parece um erro se você tentar passar pela ponte mais segura e o atirador 
estiver do outro lado te esperando. Então, nesse caso, valeria a pena correr 
o risco de ser atingido por uma pedra, passando pela segunda ponte, ou 
ainda, assumir a possibilidade de um risco ainda maior executando a 
travessia pela terceira ponte. Mas o atirador é, certamente, muito inteligente 
para prever essas outras possibilidades e poderia ficar esperando na saída 
da segunda ou da terceira pontes.
Situação difícil!... O que o tranquilizará é saber que o atirador também pode 
estar indeciso em antecipar a sua decisão.
São nesses tipos de situações que a "Teoria dos Jogos" se interessa. O 
resultado final depende da decisão conjunta dos jogadores, cada um tenta 
antecipar o movimento do outro jogador e aí definir a sua ação. Os teóricos 
do jogo sempre acham que existe uma saída racional para cada jogador.
Interessante destacar que atualmente existem modelos matemáticos que 
são capazes de equacionar esse tipo de situação.
E o mais importante legado da "Teoria dos Jogos" é o raciocínio lógico, da 
antecipação dos movimentos que ajuda a modelar o pensamento e facilita 
a tomada de decisões em cenários de alta complexidade.
Problemas de 
correlacionamento
• Aprendendo a 
identificar variáveis 
do contexto 
• Técnicas para 
resolução de 
problemas de 
correlacionamento 
• Revisão 
Introdução
O raciocínio lógico é a capacidade de lidar mentalmente com as 
informações disponíveis, encontrando associações, semelhanças e 
diferenças entre elas. Isso torna possível tomar decisões adequadas 
às situações em que se quer interpretar ou solucionar.
A capacidade de resolver problemas está diretamente associada ao 
raciocínio lógico, que permite também estabelecer metas e traçar 
estratégias para atingi-las, sendo mais uma ferramenta de apoio 
em sua vida pessoal e profissional.
O raciocínio lógico é, portanto, uma habilidade fundamental a 
qualquer cidadão, que poderá atuar em problemas variados, desde 
a organização da sua agenda até o planejamento e a execução de 
grandes projetos.
Nesta unidade você irá aprender técnicas de raciocínio lógico que 
o ajudarão na resolução dos mais variados tipos de estruturas 
lógicas: Verdadeiro e Falso; Verdade e Mentira, dentre outras 
associações de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas 
ou eventos fictícios. Das relações fornecidas nessas estruturas 
serão deduzidas novas informações e serão avaliadas as condições 
usadas no estabelecimento da estrutura original.
Esse tipo de problema exige muita rapidez de raciocínio e de sua 
capacidade de estabelecer correlações. Para isso, iremos aprender 
como construir tabelas, associando os diversos elementos 
envolvidos na questão.
Finalizaremos a unidade indicando a leitura de um interessante 
texto de Fernando Gasparetto, intitulado: “Seu cérebro comanda o 
seu sucesso”, na seção “Para Saber Mais”.
unidade 2
035
RACIOCÍNIO LÓGICO
Variável pode ser 
entendida como 
qualquer qualidade, 
quantidade ou 
grandeza de 
determinada 
característica, que 
poderá ou não 
assumir valores 
numéricos.
Aprendendo a 
identificar variáveis 
do contexto
Na nossa vida pessoal e profissional encontramos diversas situações 
em que precisamos identificar duas ou mais informações para 
chegarmos a uma terceira. Para isso, precisamos ser ágeis e precisos, 
pois, na maioria das vezes, temos de resolver situações complexas, 
sem que tenhamos muito tempo disponível para essa tarefa.
Para chegarmos a um nível de respostas rápidas e precisas, de 
excelência em raciocínio lógico e rápido, considerando várias 
variáveis (ou informações) complexas, precisamos treinar para que 
nosso raciocínio lógico estruturado funcione quase que como um 
“reflexo condicionado” (ROCHA e AIRES, 2010, p. 147).
Define-se variável como sendo uma característica observada ou 
medida em cada elemento de uma amostra (subconjunto), obtida 
de uma população4 (ou conjunto). Como o nome diz, seus valores 
variam de elemento para elemento.
Assim, variável pode ser entendida como qualquer qualidade, 
quantidade ou grandeza de determinada característica, que poderá 
ou não assumir valores numéricos.
As variáveis quantitativas são as características que podem ser 
medidas em uma escala quantitativa, tais como altura, peso, nota, 
extensão do salto, largura dos tubos produzidos. As variáveis 
qualitativas são as características que não possuem valores 
4 “População é uma coleção de unidades observacionais, que podem ser pessoas, 
animais, objetos ou resultados experimentais, com uma ou mais características 
em comum que se pretendem analisar.” Disponível em: http://wikiciencias.
casadasciencias.org/wiki/index.php/Popula%C3%A7%C3%A3°_(Estat%C3%ADstica) 
. Acesso em: 25/06/2015.
http://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Popula%C3%A7%C3%A3o_(Estat%C3%ADstica)
http://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Popula%C3%A7%C3%A3o_(Estat%C3%ADstica)
unidade 2
036
RACIOCÍNIO LÓGICO
A questão 
mais clássica 
de associação 
de variáveis é 
conhecida como 
“Teste de Einstein”.
quantitativos, mas são definidas por várias categorias, ou seja, 
representam uma classificação dos indivíduos, como sexo, cor dos 
olhos, nacionalidade, time, escola, religião, etc.
Já o contexto é a relação entre a variável e a situação em que ele 
ocorre dentro do texto. Envolve questões em que você precisará 
correlacionar elementos, baseando-se em informações pré-definidas.
Assim, para “identificar variáveis do contexto”, você precisará 
identificar quais elementos relacionam entre si num grupo (ou 
amostra) de uma determinada população.
A questão mais clássica de associação de variáveis é conhecida como 
“Teste de Einstein”. Foi elaborada no século passado pelo renomado 
físico e matemático alemão Albert Einstein. Segundo ele, 98% da 
população mundial, na sua época, não seria capaz de resolvê-la.
Trata-se de um problema de correlacionamento, em que você terá 
que identificar a posição e as cores das casas de cinco pessoas de 
nacionalidades diferentes, seus tipos de bebidas e cigarros, e ainda, 
quais seus animais de estimação.
Deixamos esse teste como um “desafio” a ser solucionado por você!
A princípio, pode parecer de difícil solução. Mas, ao final dessa 
unidade, após você aprender as técnicas de associação entre 
elementos que apresentaremos no próximo tópico, esperamos que 
você consiga resolver o desafio proposto.
As regras básicas para resolver o “Teste de Einstein” são:
1. Há cinco casas de diferentes cores.
2. Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente 
nacionalidade.
unidade 2
037
RACIOCÍNIO LÓGICONenhum deles têm 
o mesmo animal, 
fumam o mesmo 
cigarro ou bebem a 
mesma bebida.
3. Esses cinco proprietários bebem diferentes bebidas, 
fumam diferentes tipos de cigarros e têm um certo animal 
de estimação.
4. Nenhum deles têm o mesmo animal, fumam o mesmo 
cigarro ou bebem a mesma bebida.
As “pistas” para resolver o “Teste de Einstein” são:
1. O Norueguês vive na primeira casa.
2. O Inglês vive na casa Vermelha.
3. O Sueco tem Cachorros como animais de estimação.
4. O Dinamarquês bebe Chá.
5. A casa Verde fica do lado esquerdo da casa Branca.
6. O homem que vive na casa Verde bebe Café.
7. O homem que fuma Pall Mall cria Pássaros.
8. O homem que vive na casa Amarela fuma Dunhill.
9. O homem que vive na casa do meio bebe Leite.
10. O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem Gatos.
11. O homem que cria Cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
12. O homem que fuma BlueMaster bebe Cerveja.
13. O Alemão fuma Prince.
14. O Norueguês vive ao lado da casa Azul.
15. O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe Água.
Muito desafiante esse problema, não? Ficou com vontade de saber 
resolvê-lo? Na próxima seção veremos as técnicas para resolução 
de problemas de correlacionamento, tais como o Teste de Einstein. 
unidade 2
038
RACIOCÍNIO LÓGICO
A questão que foi 
apresentada em 
concurso público 
para o cargo de 
Analista de Finanças 
e Controle (AFC) 
da Secretaria 
Federal de Controle 
(SFC) - Escola de 
Administração 
Fazendária 
(ESAF), utiliza o 
Raciocíno Lógico 
para a resolução 
de problemas de 
correlacionamento. 
Técnicas para resolução 
de problemas de 
correlacionamento
Iniciaremos este tópico apresentando a solução de uma questão 
muito solicitada em provas de concurso, que classificamos como 
fácil. Sua resolução segue passos propostos por Rocha e Aires 
(2010, p.149-159).
A questão foi apresentada no concurso público para o cargo de 
Analista de Finanças e Controle (AFC) da Secretaria Federal de 
Controle (SFC) - Escola de Administração Fazendária (ESAF), no 
ano 2001 (Disponível em: https://www.tecconcursos.com.br/ 
conteudo/concursos/144. Prova AFC-A1.pdf. Questão 31. Acesso 
em 26/06/2015).
Exemplo 01: (AFC-SFC 2001 ESAF). Os cursos de Márcia, Berenice 
e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia 
e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a 
outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu 
curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não 
realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos 
e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, 
pela ordem:
a. Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, 
Biologia em São Paulo.
b. Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, 
Medicina em São Paulo.
c. Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, 
Psicologia em São Paulo.
d. Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, 
Psicologia em Florianópolis.
unidade 2
039
RACIOCÍNIO LÓGICO
Devemos preencher 
essa tabela à 
medida em que as 
associações entre 
as variáveis são 
identificadas. 
e. Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, 
Psicologia em Florianópolis.
1° passo: identificação das variáveis a serem correlacionadas
A primeira coisa a fazer é identificar as variáveis do problema que 
deverão ser correlacionadas. Neste caso, nossas variáveis são: 
alunas, cursos e cidades.
Assim, para resolver a questão, precisaremos correlacionar:
• três alunas: Márcia, Berenice e Priscila;
• três cursos: Medicina, Biologia e Psicologia; e
• três cidades: Belo Horizonte, Florianópolis e São Paulo.
2° passo: construção da tabela de correlacionamento
Identificadas as variáveis, para facilitar a resolução do problema, 
iremos construir uma tabela de correlacionamento em função 
dessas. Temos três grupos de informações: aluna, curso e cidade. 
Escolhemos como grupo inicial de referência os nomes das alunas e 
criamos as colunas para cada elemento dos outros grupos (cursos 
e cidades), conforme TABELA 16.
Devemos preencher essa tabela à medida em que as associações 
entre as variáveis são identificadas.
unidade 2
040
RACIOCÍNIO LÓGICO
É fácil verificar que, 
se Márcia estudou 
em Belo Horizonte, 
ela não pode ter 
estudado em 
Florianópolis (n) ou 
São Paulo (n).
TABELA 16 – Tabela de correlacionamento do exemplo 1 (2° passo)
ALUNAS
M
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IN
A
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S
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O
 P
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LO
Márcia
Berenice
Priscila
Fonte: Elaborada pelos autores.
3° passo: preenchimento da tabela de correlacionamento
Antes de iniciarmos o preenchimento da tabela de 
correlacionamento, iremos identificar no problema as informações 
mais lógicas ou "óbvias", como:
1. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte.
2. Priscila cursou Psicologia.
3. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez 
Medicina.
Identificadas as "dicas" do problema, iremos agora transferir as 
informações para a tabela de correlacionamento. Assinala-se 
com um S (de Sim) a informação de que "Márcia estudou em Belo 
Horizonte" e com um "n" (de não) as demais células, conforme 
TABELA 17.
unidade 2
041
RACIOCÍNIO LÓGICO
A mesma análise 
anterior foi feita, 
isto é, se Priscila 
estudou Psicologia, 
ela não (n) poderia 
ter estudado 
Medicina nem 
Biologia.
TABELA 17 – Tabela de correlacionamento do exemplo 1 (3° passo - a) 
ALUNAS
M
ED
IC
IN
A
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A
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S
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O
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LO
Márcia
Berenice
Priscila
S
n
n
n n
Fonte: Elaborada pelos autores.
É fácil verificar que, se Márcia estudou em Belo Horizonte, ela não 
pode ter estudado em Florianópolis (n) ou São Paulo (n). E, se 
Márcia estudou em Belo Horizonte, então Berenice e Priscila não (n) 
estudaram em Belo Horizonte (n).
A próxima informação é a de que "Priscila cursou Psicologia". Da 
mesma maneira anterior, iremos assinalar a correlação dos nomes 
"Priscila" e "Psicologia" na tabela de correlacionamento (TABELA 
18), marcando com um S o cruzamento do curso "Psicologia" com o 
nome da aluna "Priscila".
A mesma análise anterior foi feita, isto é, se Priscila estudou 
Psicologia, ela não (n) poderia ter estudado Medicina nem Biologia.
TABELA 18 – Tabela de correlacionamento do exemplo 1 
(3° passo - b)
ALUNAS
M
ED
IC
IN
A
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A
PS
IC
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O
 P
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LO
Márcia
Berenice
Priscila n n
n
n
S
S
n
n
n n
Fonte: Elaborada pelos autores.
unidade 2
042
RACIOCÍNIO LÓGICO
Se Berenice não 
fez Medicina, 
nem Psicologia, 
ela só poderá ter 
feito Biologia, pois 
o problema só 
relaciona essas três 
informações de 
"cursos". 
A próxima informação é a de que "Berenice não realizou seu 
curso em São Paulo e não fez Medicina". Essas informações são 
transferidas para a tabela de correlacionamento, assinalando-as 
com um "n" (TABELA 19).
TABELA 19 – Tabela de correlacionamento do exemplo 1 
(3° passo - c)
ALUNAS
M
ED
IC
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A
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Márcia
Berenice
Priscila
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n n
n
n
S
S
n
n
n n
n
Fonte: Elaborada pelos autores.
4° passo: análise final da tabela de correlacionamento
Analisemos agora as "marcações" que realizamos na Tabela 19. Se 
Berenice não fez Medicina, nem Psicologia, ela só poderá ter feito 
Biologia, pois o problema só relaciona essas três informações de 
"cursos". E, se Berenice não estudou em Belo Horizonte, nem em 
São Paulo, ela só poderá ter estudado em Florianópolis. Assinaladas 
essas informações e anuladas as combinações para Biologia e para 
Florianópolis, obtemos a TABELA 20.
unidade 2
043
RACIOCÍNIO LÓGICO
Concluímos que, 
se Márcia não 
fez Biologia nem 
Psicologia, ela só 
poderá ter feito 
Medicina.
TABELA 20 – Tabela de correlacionamentodo exemplo 1 
(4° passo - a)
ALUNAS
M
ED
IC
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A
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A
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Márcia
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Priscila
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n
S
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n
S
S
n
n
n
S
n
n
n
Fonte: Elaborada pelos autores.
Iremos agora finalizar o preenchimento da tabela. Concluímos 
que, se Márcia não fez Biologia nem Psicologia, ela só poderá ter 
feito Medicina. E se Priscila não estudou nem em Belo Horizonte, 
nem em Florianópolis, ela só poderá ter estudado em São Paulo. 
Registrando essas informações, obtemos a TABELA 21.
TABELA 21 – Tabela de correlacionamento do exemplo 1 
(4° passo - b)
ALUNAS
M
ED
IC
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A
BI
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Márcia
Berenice
Priscila
S
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n
n
S
n
n
n
S
S
n
n
n
S
n
n
n
S
Fonte: Elaborada pelos autores.
Ou seja, Márcia estudou Medicina em Belo Horizonte, Berenice 
estudou Biologia em Florianópolis e Priscila estudou Psicologia em 
São Paulo. Logo, a alternativa correta da questão apresentada mais 
acima é a letra C. 
unidade 2
044
RACIOCÍNIO LÓGICO
A saída para sua 
tomada de decisão 
na escolha do aluno 
que será agraciado 
com a Bolsa de 
Iniciação Científica 
será utilizar as 
anotações feitas 
pelo professor que 
o acompanhou nas 
bancas. 
Veja agora uma questão adaptada de Rocha e Aires (2010, p.159-
185), que classificamos como de média a difícil resolução. Os 
autores propuseram os passos a serem seguidos quando o 
problema envolver um número de variáveis maior que três.
Exemplo 2: Imagine que você seja Orientador do "Projeto Aplicado" 
interdisciplinar da UNA e tenha participado de bancas finais de 
apresentação no EXPOUNA. Imagine, também, que em cada uma 
delas, você tenha que identificar os melhores alunos, com o intuito 
de selecionar um deles para fazer um Projeto de Iniciação Científica 
no próximo semestre letivo.
Você foi acompanhado por outro professor e pediu que ele fizesse 
os registros das apresentações, como nomes dos alunos, cursos, 
métodos de apresentação, etc.
Mesmo prestando toda atenção ao que foi dito e mostrado por cada 
um deles, ao fim das quatro bancas, você apenas se lembrava de 
que tinha escolhido o aluno que cursava "Análise e Desenvolvimento 
de Sistemas".
A saída para sua tomada de decisão na escolha do aluno que 
será agraciado com a Bolsa de Iniciação Científica será utilizar as 
anotações feitas pelo professor que o acompanhou nas bancas.
O professor fez as seguintes anotações:
1. Luíza fez demonstração do produto de uma confecção 
localizada nas proximidades do campus Barro Preto.
2. José Maria falou Inglês durante sua apresentação.
3. O que fez a apresentação em PowerPoint cursa Mecatrônica 
– MTR.
4. O que falou em Alemão, que não é Alexander, estuda Redes 
de Computadores – REC.
unidade 2
045
RACIOCÍNIO LÓGICO
Observe que a 
primeira linha foi 
preenchida com os 
nomes dos grupos 
(alunos, idiomas, 
cursos e métodos de 
apresentação). 
5. Quem falou Português apresentou gravação de alguns 
depoimentos de clientes de um restaurante, localizado na 
cidade de Nova Lima.
6. Pedro estuda Logística – LOG e não falou em Francês.
7. Alexander fez sua apresentação baseando-se nos projetos 
pessoais que realizou.
8. Um deles vai formar em Análise e Desenvolvimento de 
Sistemas – ADS.
9. Um deles apresentou uma síntese dos projetos pessoais.
1° passo: identificação das variáveis a serem correlacionadas
Identificamos no problema as seguintes variáveis: alunos, idiomas, 
cursos e métodos de apresentação, abaixo relacionados:
Alunos: Alexander, José Maria, Luíza e Pedro,
Idiomas: Português, Inglês, Francês e Alemão.
Cursos: Mecatrônica – MTR, Redes de Computadores – REC, 
Análise e Desenvolvimento de Sistemas – ADS, e Logística – LOG.
Métodos de apresentação: PowerPoint, depoimentos, 
demonstração de produtos e projetos pessoais.
2° passo: construção da tabela-gabarito
Identificadas as variáveis, iremos construir uma tabela de 
correlacionamento, aqui denominada tabela-gabarito, conforme as 
variáveis identificadas no problema (TABELA 22).
Observe que a primeira linha foi preenchida com os nomes dos 
grupos (alunos, idiomas, cursos e métodos de apresentação). Nas 
unidade 2
046
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 22 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (2° passo)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
A tabela-gabarito não serve somente como gabarito, mas, em alguns 
casos, ela é fundamental para que você enxergue informações que 
ficam meio escondidas na tabela-principal, cuja construção será 
mostrada a seguir. 
A tabela-gabarito também poderá ajudá-lo a elaborar conclusões 
sobre determinados elementos dos grupos. Por exemplo, no caso de 
você ter quatro possibilidades e três delas já terem sido definidas na 
tabela-gabarito, restando somente a última opção a ser preenchida.
Devemos preencher essa tabela na medida em que formos 
identificando as associações entre as variáveis. Ela deverá ser 
preenchida juntamente com a tabela-principal, apresentada a 
seguir.
3° passo: construção da tabela-principal
Para facilitar a resolução do problema, será construída a tabela- 
principal. Temos quatro grupos de informações: alunos, idiomas, 
cursos e métodos de apresentação.
Escolhemos como grupo inicial de referência os nomes dos alunos 
e criamos as colunas para cada elemento dos outros grupos, 
conforme TABELA 23.
demais linhas foram colocados os elementos do grupo de referência 
inicial da tabela principal, neste caso, o grupo dos alunos.
unidade 2
047
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 23 – Tabela-principal do exemplo 2 (3° passo-a)
TABELA 24 – Tabela-principal do exemplo 2 (3° passo-b)
ALUNOS
IDIOMAS CURSOS MÉTODO APRESENTAÇÃO
ALUNOS
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LG
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FR
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
LOG
REC
Fonte: Elaborada pelos autores.
Agora, tomaremos os dois últimos grupos de colunas, dos cursos e 
dos métodos de apresentação, e os repetiremos na primeira coluna, 
criando uma linha para cada elemento, conforme TABELA 24.
De acordo com Rocha e Aires (2010, pg.151), a regra de transferência 
das informações das colunas para as linhas é válida para qualquer 
unidade 2
048
RACIOCÍNIO LÓGICO
Em resumo, um 
grupo será a 
referência para as 
linhas iniciais, no 
nosso exemplo, 
escolhemos o grupo 
“nome dos alunos".
número de grupos de variáveis. Em resumo, um grupo será a 
referência para as linhas iniciais, no nosso exemplo, escolhemos o 
grupo “nome dos alunos”. Os outros serão distribuídos nas colunas. 
Depois disso, da direita para a esquerda, os grupos serão copiados 
na forma de linhas. No nosso exemplo, primeiro foi transferido o 
grupo do "método de apresentação, em seguida, o grupo "cursos”, 
exceto o primeiro grupo, aqui, o grupo de idiomas.
4° passo: preenchimento das tabelas gabarito e principal
Antes de iniciarmos o preenchimento da tabela-principal, iremos 
identificar no problema as informações mais "óbvias", como:
1a informação do problema: "Luíza fez demonstração do produto"
Identificada a "dica" do problema, iremos agora transferir essa 
informação para a tabela-principal, assinalando com um S (de 
Sim) a informação de que "Luíza fez demonstração do produto", 
e marcando com um "n" (de não) as demais células, conforme 
destacado (TABELA 25).
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 25 – Tabela-principaldo exemplo 2 (4° passo-a)
ALUNOS
IN
LG
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FR
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
LOG
REC
n n n
n
n
S
n
unidade 2
049
RACIOCÍNIO LÓGICO
Essa informação, por ser conclusiva para o método de apresentação 
de uma aluna, é imediatamente registrada na tabela-gabarito 
(TABELA 26).
TABELA 26 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (4° passo - b)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Demonstração de produto
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
2a informação do problema: "José Maria falou Inglês"
Conforme feito anteriormente, a coluna onde o nome do aluno José 
Maria e o idioma "Inglês" são cruzadas, serão marcadas com um S. 
As demais serão assinaladas um "n", conforme TABELA 27.
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 27 – Tabela-principal do exemplo 2 (4° passo - c )
ALUNOS
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
LOG
REC
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S
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n n n
n n
n
n
S
n
unidade 2
050
RACIOCÍNIO LÓGICO
3a informação do problema: "O que apresentou PowerPoint cursa 
Mecatrônica – MTR"
Essa informação é assinalada na tabela (TABELA 28), marcando 
com um S o cruzamento do método de apresentação "PowerPoint" 
e o curso "Mecatrônica". As demais são assinaladas com um "n".
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 28 – Tabela-principal do exemplo 2 (4° passo - d)
ALUNOS
IN
LG
ÊS
FR
AN
CÊ
S
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EM
ÃO
PO
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
LOG
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n
S
n
4a informação do problema: "O que falou Alemão, que não é 
Alexander, estuda Redes de Computadores – REC"
Essas informações são assinaladas na tabela (TABELA 29), 
marcando com um S o cruzamento do idioma "Alemão" e o curso 
"Redes". As demais são assinaladas com um "n".
unidade 2
051
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 29 – Tabela-principal do exemplo 2 (4° passo - e)
ALUNOS
IN
LG
ÊS
FR
AN
CÊ
S
AL
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José Maria
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PowerPoint
Demonstração
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Projetos
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S
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S
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n
n
S
n
5a informação do problema: "Quem falou Português apresentou 
gravação de depoimentos de clientes de um restaurante"
A informação do idioma "Português" x "Depoimentos" é assinalada 
com um S na tabela (TABELA 30). As demais são assinaladas com 
um "n".
unidade 2
052
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 30 – Tabela-principal do exemplo 2 (4° passo - f)
ALUNOS
IN
LG
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
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n
S
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S
n
6a informação do problema: "Pedro estuda Logística – LOG e não 
falou Francês"
As informações de que Pedro estudou Logística – LOG e não falou 
Francês são assinaladas na tabela de correlacionamento (TABELA 
31) com um S e um "n", respectivamente.
unidade 2
053
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 31 – Tabela-principal do exemplo 2 (4° passo - g)
ALUNOS
IN
LG
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FR
AN
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
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MTR
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S
n
7a informação do problema: "Alexander fez sua apresentação 
baseando-se nos projetos pessoais que realizou"
A informação de que Alexander fez sua apresentação baseando-se 
em projetos pessoais é marcada com um S na TABELA 32, e com 
um "n" para os demais alunos.
unidade 2
054
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 32 – Tabela-principal do exemplo 2 (4° passo - h)
ALUNOS
IN
LG
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
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S
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n
S
n
Analisando as "marcações" que realizamos na tabela-principal, 
podemos já repassar algumas delas para a tabela-gabarito 
(TABELA 33).
TABELA 33 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (4° passo - i)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Inglês
Logística
Projetos
Demonstração de produto
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
unidade 2
055
RACIOCÍNIO LÓGICO
5a passo: análise final da tabela de correlacionamento
Agora nós iremos procurar informações que nos ajudarão ao 
preenchimento final das tabelas (gabarito e principal). Muitas 
vezes, encontramos informações que já foram marcadas na tabela- 
principal. Isso não é problema. O importante é irmos marcando 
todas as "dicas" que nos ajudarão a esclarecer o problema.
Assim, vejamos na 1a linha da tabela de correlacionamento a 
informação de que quem faz projetos (Alexander) e não fala nem 
Inglês, nem Alemão.
Marcaremos na tabela-principal um "n" para as colunas "Projetos x 
Inglês" e "Projetos x Alemão" (TABELA 34).
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 34 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo - a)
ALUNOS
IN
LG
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
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S
n
unidade 2
056
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na linha de José Maria, temos o idioma do Inglês marcado com 
S e as informações de “Logística", "Demonstração de produtos" e 
"Projetos" marcados com "n".
Assim, quem falou Inglês não Estuda Logística e não fez 
demonstração. Marquemos então na tabela-principal um “n”, o 
cruzamento de "Inglês x Demonstração" e "Inglês x Logística" 
(TABELA 35).
Na linha da Luíza, ela usou “Demonstração”, não cursa “Logística” 
e não fala Inglês. Assim, quem fez “Demonstração” não cursou 
“Logística” e não fala Inglês. Marquemos com um “n” os cruzamentos 
dascolunas “Demonstração x Logística” e “Demonstração x Inglês” 
(que já estava assinalada).
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 35 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo - b)
ALUNOS
IN
LG
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n
Analisemos agora a 4a linha, do Pedro, que tem S marcado para 
“Logística” e “n” marcado para Inglês, Francês, Demonstração 
unidade 2
057
RACIOCÍNIO LÓGICO
e Projetos. Se quem cursou Logística não fala nem Inglês, nem 
Francês, não fez Demonstração, nem Projetos.
Marquemos, então com um “n” os cruzamentos “Logística x Inglês” 
(que já estava assinalada), “Logística x Francês”, “Logística x 
Demonstração” (que já estava assinalada) e “Logística x Projetos”.
Após todas essas marcações, chegamos ao seguinte preenchimento 
da tabela-principal (TABELA 36).
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 36 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo - c)
ALUNOS
IN
LG
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
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n
Analisando a TABELA 36, chegamos a duas informações 
importantes:
• a linha de Logística indica que quem faz esse curso só 
poderá ter falado em Português;
• a coluna de Logística indica que quem faz esse curso só 
poderá ter apresentado com Depoimentos.
unidade 2
058
RACIOCÍNIO LÓGICO
Marquemos, então, com um S os cruzamentos “Logística x 
Português” e “Depoimentos x Logística”, e preenchemos com “n” os 
demais cruzamentos (TABELA 37).
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 37 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo – d)
ALUNOS
IN
LG
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FR
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S
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
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S
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n
n
n
Atualizaremos, também, a tabela-gabarito (TABELA 38).
TABELA 38 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (5° passo - e)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Inglês
Português Logística
Projetos
Demonstração de produto
Depoimentos
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
unidade 2
059
RACIOCÍNIO LÓGICO
Verificamos, na tabela-gabarito, que José Maria só poderá ter feito 
sua apresentação utilizando PowerPoint, pois os outros métodos 
de apresentação já foram preenchidos. Repassemos, então, essa 
informação para a tabela-gabarito (TABELA 39) e para a tabela 
principal (TABELA 40).
TABELA 39 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (5° passo - f)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Inglês
Português Logística
Projetos
PowerPoint
Demonstração de produto
Depoimentos
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 40 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo – g)
ALUNOS
IN
LG
ÊS
FR
AN
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S
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ÃO
PO
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S
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JE
TO
S
Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
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S
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nn
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S
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S
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n
n
unidade 2
060
RACIOCÍNIO LÓGICO
A primeira linha mostra que Alexander falou Francês, levando à 
conclusão de que Luíza só poderia ter falado Alemão, já que José 
Maria falou Inglês e Pedro, Português. Atualizaremos então a 
tabela-gabarito (TABELA 41) e a tabela-principal (TABELA 42).
TABELA 41 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (5° passo - h)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Francês
Inglês
Alemão
Português Logística
Projetos
PowerPoint
Demonstração de produto
Depoimentos
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
Vejamos na coluna "Inglês", da TABELA 42, a seguir, que se José 
Maria falou Inglês, ele não fez Demonstração nem Projetos, nem fez 
os cursos de Logística ou Redes. Ao marcarmos essas conclusões 
na tabela-principal, observamos que o único cruzamento que ainda 
não havia sido marcado é "José Maria x Redes de Computadores", 
assinalado com “n” na TABELA 43.
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 42 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo – i)
ALUNOS
IN
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
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unidade 2
061
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 43 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo – j)
ALUNOS
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LG
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Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
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Demonstração
Depoimentos
Projetos
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n
n
n
Vamos interpretar agora a coluna "Alemão". Verificamos que Luíza 
falou Alemão e fez o curso de Redes de Computadores. Marquemos 
essa informação na tabela-principal (TABELA 44) e na tabela- 
gabarito (TABELA 45).
unidade 2
062
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 44 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo – l)
ALUNOS
IN
LG
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S
Alexander
José Maria
Luíza
Pedro
PowerPoint
Demonstração
Depoimentos
Projetos
ADS
MTR
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TABELA 45 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (5° passo - m)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Francês
Inglês
Alemão
Português
Rede de 
Computadores
Logística
Projetos
PowerPoint
Demonstração de produto
Depoimentos
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃOAo atualizarmos a tabela-gabarito, percebemos que Luíza falou 
Alemão, estudou Redes de Computadores e fez Demonstração de 
produto.
Assim, atualizaremos a tabela-principal com essas informações 
(TABELA 46).
unidade 2
063
RACIOCÍNIO LÓGICO
Fonte: Elaborada pelos autores.
TABELA 46 – Tabela-principal do exemplo 2 (5° passo – n)
ALUNOS
IN
LG
ÊS
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Analisando a TABELA 46, concluímos que quem fez Análise 
e Desenvolvimento de Sistemas apresentou "Projetos". Mas, 
pela TABELA 45, verificamos que quem apresentou Projetos 
foi Alexander. Restando agora o curso de Mecatrônica, que só 
poderá ter sido cursado por José Maria. Com essas conclusões, 
preenchemos finalmente a nossa tabela-gabarito (TABELA 47).
TABELA 47 – Tabela-gabarito do exemplo 2 (5° passo - o)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Alexander
José Maria 
Luíza 
Pedro
Francês
Inglês
Alemão
Português
Análise e Desenvolvimento 
de Sistemas
Mecatrônica
Rede de Computadores
Logística
Projetos
PowerPoint
Demonstração de produto
Depoimentos
ALUNOS IDIOMAS CURSOS MÉTODOS DE APRESENTAÇÃO
unidade 2
064
RACIOCÍNIO LÓGICO
Pelo enunciado proposto, de que o aluno escolhido era aquele que 
cursava Análise e Desenvolvimento de Sistemas, concluímos que 
o aluno escolhido para fazer o Projeto de Iniciação Científica foi o 
Alexander. Essa conclusão foi possível ao seguirmos os passos de 
análise propostos por Rocha e Aires (2010, p. 159-185).
Segundo os mesmos (2010, p. 185), "existe uma forma de 
não perder o foco ou a concentração durante um problema de 
correlacionamento de variáveis". Isso se deu, conforme vimos, por 
meio do uso de técnicas eficazes de análise, isto é, construindo e 
interpretando ao mesmo tempo as duas tabelas: principal e gabarito.
Você conseguiu fazer o "Teste de Einstein", desafio apresentado a você na 
introdução dessa unidade?
Antes de consultar nossa solução e após ter aprendido a técnica 
que mostramos para solucionar esse tipo de problema, tente fazê-lo, 
construindo as tabelas gabarito e principal, e fazendo os cruzamentos das 
informações ou "dicas" dadas na introdução do teste.
Após isso, veja como nós fizemos os correlacionamentos das suas 
informações para chegarmos à seguinte tabela-gabarito (TABELA 48).
TABELA 48 - Tabela-gabarito do Teste de Einstein
Fonte: Elaborado pelos autores.
Cor
Nacionalidade
Bebida
Cigarro
Animal
Amarela
Norueguês
Água
Dunhill
Gatos
Azul
Dinamarquês
Chá
Blends
Cavalos
Vermelha
Inglês
Leite
Pall Mall
Pássaros
Verde
Alemão
Café
Prince
Peixes
Branca
Sueco
Cerveja
Bluemaster
Cachorros
1a CASA 2a CASA 3a CASA 4a CASA 5a CASA
unidade 2
065
RACIOCÍNIO LÓGICO
Revisão
Vimos nessa unidade algumas particularidades interessantes em 
nosso estudo de raciocínio lógico.
Na montagem das tabelas-principal e gabarito, assim como na 
grande parte de nossos processos decisórios, devemos estar 
atentos a uma grande variedade de resultados possíveis.
Escolher o melhor caminho a ser percorrido, com vistas a atingir o 
resultado desejado, exigirá muita atenção na hora de interpretar as 
informações ou "dicas" dadas no problema.
Você poderá pensar que nunca iria deparar com um problema que 
fosse exigir raciocínio lógico de tamanha complexidade, como o 
Exemplo 1, em que tivemos que escolher um aluno para fazer um 
Projeto de Iniciação Científica.
Assim, a metodologia que apresentamos o ajudará a entender os 
caminhos de solução em cenários complexos. E também fará com 
que você esteja pronto para resolver situações menos complexas.
Porém, é necessário que você exercite seu raciocínio lógico por 
meio da resolução de diversas situações-problema para que, com 
esse treino, seu raciocínio estruturado funcione quase que "de 
imediato" na busca de soluções.
Esse treinamento é fundamental, pois na nossa vida pessoal 
e profissional, muitas vezes, não temos chance de anotar as 
hipóteses, nem tempo suficiente para construirmos tabelas 
(principal e gabarito) para resolvermos nossos problemas.
Na realidade, na maioria das vezes somos chamados a deduzir 
situações complexas quase que de imediato, o que exige que 
sejamos ágeis e precisos.
unidade 2
066
RACIOCÍNIO LÓGICO
A necessidade de rapidez e precisão nas nossas respostas são 
diferenciais profissionais muito importantes.
Afinal, se falarmos sem pensar e não dermos soluções, seremos 
identificados como "criadores de caso" e não como "solucionadores 
de problemas". Há um ditado popular que diz que "quem fala muito 
dá bom dia a cavalo".
Indicamos a leitura de um interessante texto de Fernando Gasparetto, 
intitulado: "Seu cérebro comanda o seu sucesso", Publicado em: 
24/06/2015 no endereço eletrônico: <http://metodosupera.com.br/
artigos-sobre-o-cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/> . Acesso 
em: 29 jun. 2015.
De acordo com esse artigo, o psicólogo americano Abraham Maslov criou 
uma pirâmide de hierarquia das necessidades que nos levaria à situação 
de "felicidade". Segundo a reportagem,
(...)Cada necessidade humana influencia na motivação 
e na realização do indivíduo, que por sua vez o faz 
prosseguir para outras necessidades, marcando assim 
uma pirâmide hierárquica.”(MÉTODO SUPERA, 2015).
http://metodosupera.com.br/artigos-sobre-o-cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/
http://metodosupera.com.br/artigos-sobre-o-cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/
unidade 2
067
RACIOCÍNIO LÓGICO
De acordo com Método Supera (2015), o site americano “TheMuse” listou 
sete conselhos que te ajudarão a alcançar o sucesso:
1. Agir para aumentar a autoconfiança.
2. Ser autêntico.
3. Conquistar novos amigos, sempre.
4. Aprender a abrir mão de pequenas coisas.
5. Ser determinado.
6. Abrir a mente.
7. Não deixar o amor de lado.
FIGURA 2 - Pirâmide Hierárquica da Felicidade
Fonte: [Pirâmide Hierárquica da Felicidade]. In: Site “Supera”. Disponível em: <http://metodosupera.com.br/artigos-
sobre-o-cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/>. Acesso em: 29 jun. 2015.). 
http://metodosupera.com.br/artigos-sobre-o-cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/
http://metodosupera.com.br/artigos-sobre-o-cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/
Introdução ao 
estudo da lógica
• Um pouco 
da história do 
pensamento 
lógico
• A lógica na vida 
do tecnólogo
• Revisão
Introdução
Nesta unidade vocês irão conhecer um pouco da história do 
pensamento lógico e sua aplicação, desde o primeiro livro da Bíblia 
Sagrada (Gênesis), passando pela Grécia antiga e Aristóteles, até os 
dias atuais. É mostrada, também, a importância do raciocínio lógico 
na vida profissional em diversas áreas do conhecimento. Ao final 
da unidade são apresentados dois “desafios”, além da sugestão de 
jogos, disponibilizados em sites de raciocínio lógico, que o ajudará 
a se exercitar. 
unidade 3
070
RACIOCÍNIO LÓGICO
O raciocínio lógico é, 
então, um processo 
de estruturação 
do pensamento 
de acordo com 
princípios e 
conceitos que, uma 
vez analisados, 
permitem chegar 
a conclusões 
diretas ou resolver 
problemas 
propostos. 
Um pouco da história 
do pensamento lógico
A história do pensamento lógico no mundo confunde-se com a 
própria história do homem na terra. Desde os primórdios de sua 
existência, o homem procura estruturar o seu pensamento em 
busca de uma definição clara sobre como deve agir em função da 
observação dos fatos e sobre como as lembranças e os registroshistóricos interferiam na formulação de processos.
A origem da palavra lógica vem do termo grego “logiké” cujo significado 
é: razão, palavra, discurso, ou ainda, ciência do raciocínio. O raciocínio 
lógico é, então, um processo de estruturação do pensamento de 
acordo com princípios e conceitos que, uma vez analisados, permitem 
chegar a conclusões diretas ou resolver problemas propostos.
Podemos encontrar vários exemplos do uso do raciocínio lógico 
na própria história da humanidade. Na Bíblia Sagrada, logo no seu 
primeiro livro, Gênesis, na conhecida história da Arca de Noé e do 
dilúvio, encontramos uma narrativa que demonstra claramente como a 
utilização do raciocínio lógico esteve presente nesse episódio. Vejamos 
alguns trechos extraídos da Bíblia Sagrada, versículos 6 a 8 do livro do 
Gênesis:
Durante quarenta dias o dilúvio se abateu sobre a terra 
(...). Passados mais quarenta dias, Noé abriu a janela 
que tinha feito na arca e soltou um corvo que voava 
indo e vindo até que secassem todas as águas sobre a 
terra. Depois soltou uma pomba para ver se as águas 
já haviam diminuído na face da terra, mas a pomba 
não achou onde pousar e voltou para a arca (...). Pela 
tardinha, a pomba voltou com uma folha de oliveira 
recém-arrancada no bico. Assim, Noé compreendeu 
que as águas haviam se retirado da terra. Ele esperou 
então outros sete dias e soltou a pomba e ela não 
voltou mais (...). Noé então abriu o teto da arca olhou 
e viu que a superfície da terra estava seca. (BÍBLIA 
SAGRADA. A.T. Gênesis. cap. 7-8).
unidade 3
071
RACIOCÍNIO LÓGICO
Noé precisava 
saber se as águas 
já haviam baixado 
o suficiente para 
que ele pudesse 
providenciar o 
desembarque seguro 
de sua embarcação.
Ora, em um claro exercício de uma aplicação do pensamento lógico 
dedutivo1, baseado em conhecimentos anteriormente assimilados, 
o protagonista dessa narrativa pôde fazer diversas observações 
e análises pertinentes, até chegar à conclusão definitiva que seria 
a resolução de seu problema. Noé precisava saber se as águas já 
haviam baixado o suficiente para que ele pudesse providenciar o 
desembarque seguro de sua embarcação. Observem a sequência 
de suas ações e as respectivas conclusões: Noé observou tanto pela 
reação do corvo que ele havia enviado para fora da arca, como pela 
reação da primeira pomba, que as águas ainda não haviam baixado 
suficientemente, pois as aves voavam em círculos e não dispunham 
de nenhum lugar seco para pousarem. Entretanto, como a segunda 
pomba que ele enviou regressou com um ramo de planta no bico 
(que não estava submersa pelas águas do dilúvio), ele concluiu, 
com base nessas evidências, que as águas já haviam baixado.
Isso mostra que, de um modo geral, para chegar a qualquer 
conclusão é necessário dispormos das informações prévias que 
constituem a base para os nossos estudos e de uma série de fatos 
que, uma vez observados corretamente, nos permitem chegar às 
conclusões que desejamos.
Tomando por palco a Grécia antiga, pode-se dizer que os 
gregos foram, sem dúvida alguma, os grandes responsáveis por 
incontáveis realizações no desenvolvimento intelectual do mundo. E 
os avanços dos estudos do raciocínio lógico não ficaram fora desse 
escopo. Grandes expoentes do pensamento grego, como Tales de 
Mileto e Pitágoras, garantiram o desenvolvimento do pensamento 
lógico na Matemática. Enquanto Sócrates e Platão desenvolveram 
1 Conforme iremos estudar mais a frente, o pensamento lógico dedutivo é um tipo 
de raciocínio lógico, no qual se parte de uma hipótese (premissa maior) para 
estabelecer relações com outras proposições (premissas menores), para chegar à 
verdades (conclusões). 
 Exemplo: Todos os metais pesados causam efeitos nocivos aos seres vivos por 
serem cumulativos (premissa maior). Alguns metais são mutagênicos (premissa 
menor), como o Mercúrio e o Chumbo (conclusão) e até cancerígenos (premissa 
menor), como o Cromo, Cádmio e o Arsênio (conclusão).
unidade 3
072
RACIOCÍNIO LÓGICO
Aristóteles definiu 
o funcionamento 
de um argumento 
lógico, com o 
objetivo de auxiliar 
os filósofos a 
entenderem melhor 
o mundo em que 
viviam.
o pensamento lógico em importantes questões da Filosofia. 
Entretanto, coube a Aristóteles o reconhecimento de “Fundador 
da Lógica Clássica”. Antes desses pesquisadores, o pensamento 
lógico grego era aplicado de forma intuitiva na Matemática, Ciências 
Naturais e na Filosofia.
Aristóteles viveu entre 384 e 322 a.C. Em seu trabalho denominado 
“Organom”, ele definiu o funcionamento de um argumento lógico, 
com o objetivo de auxiliar os filósofos a entenderem melhor o 
mundo em que viviam. Utilizando a geometria como o modelo de 
estudo prático, verificou que o mundo precisava de provas claras 
e absolutas para sustentar qualquer conclusão. Para Aristóteles, 
a lógica teria como objeto de estudo o pensamento, assim como 
as leis e demais regras que o controlam. Aristóteles trabalhou, 
então, com estruturas chamadas silogismos, em que sua forma 
de apresentação demonstrava ser incontestavelmente válida. A 
estrutura de um silogismo conduz a uma linha clara que estabelece 
uma conexão entre premissas, aceitas como verdadeiras, e que nos 
levam a considerar uma conclusão de forma absolutamente correta.
Observem um dos clássicos exemplos de um famoso silogismo de 
Aristóteles. Tomemos as duas premissas abaixo (itens a e b) e a 
sua consequente conclusão.
Exemplo 1:
Premissas:
a. Todos os homens são mortais.
b. Sócrates é homem.
Conclusão:
Sócrates é mortal.
Podemos criar com facilidade outras estruturas de silogismo 
igualmente lógicas e conclusivas, conforme o exemplo a seguir.
unidade 3
073
RACIOCÍNIO LÓGICO
As estruturas que 
usam o princípio da 
totalidade (todos) 
eram chamadas 
universais, ou seja, 
aplicavam- se a 
todas as situações, 
enquanto que 
algumas outras 
estruturas, que se 
aplicavam para 
casos específicos 
(alguns), eram 
chamadas de 
particulares.
Exemplo 2: 
Premissas:
a. Todo piloto de aviação comercial estudou Física.
b. Renato é piloto da aviação comercial.
Conclusão:
Renato estudou Física.
Esse estudo permite também utilizar estruturas ligeiramente 
diferentes, porém mais amplas. As estruturas que usam o princípio 
da totalidade (todos) eram chamadas universais, ou seja, aplicavam-
se a todas as situações, enquanto que algumas outras estruturas, 
que se aplicavam para casos específicos (alguns), eram chamadas 
de particulares, como apresentado no exemplo a seguir.
Exemplo 3:
Premissas:
a. Alguns cachorros são agressivos.
b. Nem todos os cachorros são agressivos.
c. Existem cachorros que não são agressivos. 
Conclusão:
A primeira premissa (item a) assume que vários cachorros são 
agressivos, mas que nem todos os cachorros são e que existem 
cachorros que efetivamente não são. Nesse caso, poderíamos 
modificar a estruturação dessa premissa utilizando uma estrutura 
de negação, como na segunda e na terceira premissas (itens b e c). 
Isso também permitiria concluir que existe pelo menos um cachorro 
que é agressivo ou, da mesma forma, que existe pelo menos um 
cachorro que não é agressivo.
unidade 3
074
RACIOCÍNIO LÓGICO
Esse tipo de 
pensamento lógico 
é muito utilizado 
nos dias atuais 
em questões de 
aplicações jurídicas.
Ao analisar todas essas estruturas, Aristóteles percebeu a 
existência de uma outra forma de pensamento, conhecida como 
o princípio da contradição, muito utilizado no desenvolvimento do 
raciocínio lógico: uma segunda proposição nega a veracidade de 
uma primeira proposição. Obviamente, nesse caso, é fácil concluir 
que, no mínimo, uma das duas proposições que se contradizem é 
falsa, ou em última análise, que ambas as proposições poderiam 
ser falsas. 
As contribuições de Aristóteles para o desenvolvimento do raciocínio 
lógico impulsionaram outros expoentes da Matemática daquela 
época que, seguidamente, complementariam o seutrabalho.
O matemático Euclides (325, 265 a.C.), baseado nos estudos de 
Aristóteles, organizou toda a estrutura da chamada Geometria 
Euclidiana em axiomas e teoremas. Os axiomas eram estruturas 
simples, óbvias o bastante para dispensarem provas e serem 
aceitas como verdadeiras. A partir dos axiomas poder-se-ia 
provar, com relativa simplicidade, questões mais complexas e que 
necessitavam ser demonstradas, conhecidas como Teoremas.
Euclides avançou com a lógica matemática por meio da chamada 
Prova Indireta, em que a linha de pensamento iniciava-se do oposto 
daquilo que se desejava provar. Esse tipo de pensamento lógico é 
muito utilizado nos dias atuais em questões de aplicações jurídicas, 
por exemplo: o empregado é o autor da fraude, então há um registro 
de acesso ao sistema no dia do fato, mas o RH informa que, neste 
dia, o empregado estava ausente do trabalho por motivo de férias.
Também foram surgindo outras estruturas lógicas, como a estrutura 
condicional desenvolvida pelo grego Crisipo (279, 206 a.C.), baseada 
na estrutura conhecida como Se, então. Exemplificamos essa 
estrutura de forma simples, conforme apresentado a seguir.
unidade 3
075
RACIOCÍNIO LÓGICO
As contribuições 
de Aristóteles para 
o desenvolvimento 
do raciocínio lógico 
impulsionaram 
outros expoentes 
da Matemática 
daquela época que, 
seguidamente, 
complementariam o 
seu trabalho.
Exemplo 4:
Premissas:
a. Se o céu está com espessas nuvens escuras, então 
poderá chover.
b. O céu está com espessas nuvens escuras.
Conclusão:
Há chances de chover.
Após essa fase inicial, bastante densa em termos de 
desenvolvimento do pensamento lógico, poucos avanços 
aconteceram nos séculos seguintes. Somente a partir do século XVI 
da nossa era outros trabalhos foram desenvolvidos. Grandes nomes 
desse tempo, como o cientista inglês Isaac Newton, os astrônomos 
Copérnico e Galileu, além de pensadores, como Renné Descartes, 
despertaram uma retomada significativa na história do pensamento 
lógico no mundo.
O famoso matemático Gottfried Leibniz (1646-1716) é considerado 
o maior lógico do movimento renascentista na Europa. Inspirado 
nos trabalhos iniciais de Aristóteles e nas contribuições que se 
seguiam, Leibniz percebeu a necessidade de utilizar os princípios 
da lógica para compreender e explicar as leis que regem o mundo. 
Leibniz percebeu que seria necessário criar símbolos para melhor 
exprimir o pensamento de Aristóteles e criou, então, uma estrutura 
de escrita conhecida como Lógica Simbólica.
Os trabalhos de Leibniz, embora altamente significativos, também 
não tiveram o desenvolvimento que se esperava nos anos seguintes. 
Somente no século XIX George Boole (1815-1864) aperfeiçoou 
as ideias de Leibniz e desenvolveu a chamada Álgebra Booleana, 
utilizando os números binários 0 e 1 para expressar as respostas às 
proposições.
unidade 3
076
RACIOCÍNIO LÓGICO
É necessário que 
você tenha em 
mente que é possível 
conseguir resolver a 
mais diversa gama 
de problemas da 
sua vida pessoal e 
profissional com o 
uso da estrutura do 
pensamento lógico. 
É importante lembrar de estudos posteriores, como os do 
matemático George Cantor que apresentou os pilares para a 
aplicação da importante Teoria dos Conjuntos, em 1870. Podemos 
também citar outras linhas de estudo, que continuam sendo 
desenvolvidas por grandes nomes do pensamento matemático 
e filosófico em nosso tempo, como a Lógica Sentencial, a Lógica 
Proposicional, a Lógica Quantitativa e a Lógica Predicativa.
A partir da segunda metade do século XX, com o crescente 
desenvolvimento dos computadores e a consequente utilização 
desses recursos pelos cientistas, as novas teorias passaram a 
surgir numa grande velocidade, demonstrando que é possível 
continuar avançando nesse fascinante campo de estudo.
A maneira como as pessoas estudavam no passado não é a mesma 
deste século. Embora os fundamentos das disciplinas não tenham 
se modificado, as mudanças ocorridas até os dias atuais foram 
significativas, haja vista a rapidez da disseminação de redes sociais, 
celulares ultramodernos e Internet, e o próprio ensino por meio da 
educação a distância.
É necessário que você tenha em mente que é possível conseguir 
resolver a mais diversa gama de problemas da sua vida pessoal e 
profissional com o uso da estrutura do pensamento lógico. Porém, 
precisará praticar continuamente os exercícios de lógica, que irão 
contribuir para a evolução de algumas de suas habilidades mentais.
A lógica na vida 
do tecnólogo
Pensar é uma atividade espontânea e natural, inerente ao ser humano. 
Para raciocinar, porém, temos que nos concentrar e nos esforçar em 
organizar nossas ideias de maneira lógica e coerente. O pensamento 
poderá ocorrer por indução, dedução, inferência e intuição.
unidade 3
077
RACIOCÍNIO LÓGICO
A indução é 
uma forma de 
raciocínio através 
de conclusões 
genéricas, baseando 
em características 
particulares. 
Deve-se tomar o 
cuidado para que 
não se generalizem 
inverdades.
A indução é uma forma de raciocínio através de conclusões 
genéricas, baseando em características particulares. Deve-se tomar 
o cuidado para que não se generalizem inverdades, como mostrado 
no exemplo a seguir.
Exemplo 5:
Premissas:
 a. Mangueiras, laranjeiras e macieiras são árvores. 
 b. Mangueiras, laranjeiras e macieiras produzem frutos. 
Conclusão:
Por indução, conclui-se que todas as árvores produzem frutos. O que 
é uma inverdade. Ou seja, tentou-se generalizar uma característica 
particular de determinadas árvores, a capacidade de produzir frutos, 
chegando-se a uma conclusão não verdadeira.
A indução científica também generaliza relações de causa e efeito 
para se chegar a uma lei, conforme exemplificado a seguir.
Exemplo 6:
Premissa:
 a. O aumento do desmatamento da floresta amazônica 
reduz a quantidade de umidade atmosférica.
 b. A umidade atmosférica da floresta amazônica interfere 
na da região sudeste.
Conclusão:
Pode-se concluir que o desmatamento na Amazônia tem 
ocasionado alterações climáticas na região sudeste, com períodos 
de intensas precipitações e anos de recessão hídrica.
unidade 3
078
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na dedução, parte-
se de uma hipótese 
universal (premissa) 
para formular uma 
conclusão lógica 
específica.
Na dedução, parte-se de uma hipótese universal (premissa) para 
formular uma conclusão lógica específica. Ou seja, só se pode 
deduzir quando o caso específico estiver contido num grupo mais 
geral. Como na teoria dos conjuntos, um subconjunto pertencerá 
a um conjunto se e somente se possuir características gerais do 
mesmo.
Exemplo 7:
Premissas:
a. Todo número par é divisível por dois (premissa geral). 
b. Dezesseis é divisível por dois. 
Conclusão:
Dezesseis é um número par (conclusão lógica específica).
De acordo com Cervo et al. (2007), uma premissa verdadeira é 
seguida da veracidade da conclusão.
Exemplo 8:
Premissas:
 a. O Sistema Solar compreende o conjunto constituído 
pelo Sol e todos os corpos celestes que estão sob seu 
domínio gravitacional (premissa geral).
 b. O subconjunto constituído pelos planetas Mercúrio, 
Vênus, Terra e Marte descreve órbitas praticamente 
elípticas ao redor do Sol.
Conclusão:
Mercúrio, Vênus, Terra e Marte estão sob o domínio gravitacional do 
Sol (conclusão verdadeira).
unidade 3
079
RACIOCÍNIO LÓGICO
A inferência é 
a habilidade de 
analisar, comparar 
e tirar conclusões 
lógicas de fatos e 
acontecimentos a 
partir de informações 
implícitas.
Ainda de acordo com Cervo et al. (2007), uma premissa falsa pode 
ser seguida da veracidade ou da falsidade da conclusão
Exemplo 9:
Premissas:
a. Todos os seres que realizam fotossíntese são plantas 
(premissa geral falsa). 
b. A jabuticabeira realiza fotossíntese. 
Conclusão:
A jabuticabeira é uma planta (conclusão verdadeira).
Exemplo 10:
Premissas:
a. Todos os seresque realizam fotossíntese são plantas 
(premissa geral falsa). 
b. A lesma do mar (molusco), Elysia chlorotica faz 
fotossíntese.
Conclusão:
A lesma do mar é uma planta (conclusão falsa).
A inferência é a habilidade de analisar, comparar e tirar conclusões 
lógicas de fatos e acontecimentos a partir de informações 
implícitas num texto com significado oculto. A inferência faz parte 
do nosso dia a dia, mais do que possamos imaginar. Podemos 
encontrar inferência em propagandas, músicas, textos literários, 
entre outros. Na propaganda, por exemplo, a inferência serve como 
uma estratégia de venda, conforme exemplificaremos a seguir.
A indústria da cerveja investe, todos os anos, milhões de dólares em 
publicidade e campanha para suas marcas, para que consiga tocar 
unidade 3
080
RACIOCÍNIO LÓGICO
o público com mensagens variadas como, por exemplo, mensagens 
ligadas ao futebol (cerveja + futebol é uma combinação perfeita?).
Com as atuais restrições impostas nas propagandas de bebidas 
alcoólicas e cigarros, é difícil pensar que algumas marcas já 
incentivaram seu consumo no trabalho. Chegou-se a ressaltar 
supostas propriedades benéficas desses produtos, nocivos a nossa 
saúde, dizendo que eram energéticos e/ou calmantes.
No passado era comum propagandas utilizando imagens que nos 
dias de hoje nos causariam grande indignação, como as mostradas 
abaixo, de um Papai Noel fumando, de mulheres feitas apenas para 
cuidar do lar e de uma criança usando lâmina de barbear (Figura 1).
FIGURA 1 – Exemplos de propagandas antigas com “falsas inferências”
Fonte: Imagem disponível em: FREITAS, Aiana. Mulher submissa e Papai Noel fumante: lembre anúncios 
antigos e polêmicos. 16 Jul. 2013. In site “uol-economia”. Disponível em:<http://economia.uol.com.br/noticias/
redacao/2013/07/16/papai-noel-fumante-e-mulher-submissa-veja- personagens-de-propagandas-antigas.htm>. 
Acesso em 13 maio 2015.
A intuição é um processo pelo qual os seres humanos passam, 
às vezes e involuntariamente, para chegar a uma conclusão lógica 
sobre determinado tema. O raciocínio que se usa é puramente 
inconsciente. Seu funcionamento e até mesmo sua existência são 
um enigma para a ciência. Apesar de já existirem muitas teorias 
http://economia.uol.com.br/noticias/redacao/2013/07/16/papai-noel-fumante-e-mulher-submissa-veja- personagens-de-propagandas-antigas.htm
http://economia.uol.com.br/noticias/redacao/2013/07/16/papai-noel-fumante-e-mulher-submissa-veja- personagens-de-propagandas-antigas.htm
unidade 3
081
RACIOCÍNIO LÓGICO
O computador é uma 
máquina cuja função 
é ler e executar 
as instruções, 
ou rotinas, 
desenvolvidas 
em linguagens de 
programação, sendo 
que tais rotinas só 
existem no “mundo” 
do raciocínio lógico.
sobre o assunto, nenhuma é dada ainda como definitiva, levando 
muitos a não reconhecer sua importância.
Acreditamos que pessoas mais criativas são mais intuitivas e 
têm maior facilidade de entrar em contato com suas emoções 
e imaginação, processando rapidamente as informações e 
relacionado, de forma automática, as experiências do presente com 
aquelas adquiridas no passado.
Esperamos que você saiba mesclar o raciocínio lógico e objetivo, 
aprendido nessa unidade, com suas intuições e que estas sejam 
inspiradas em conhecimentos subjetivos, por meio da leitura, 
de jogos e de curiosidades, e por meio da arte, como a música, a 
pintura, o canto, etc., permitindo-os ser mais criativos e inovadores 
em suas profissões.
Qual a importância do estudo de 
raciocínio lógico na vida do tecnólogo?
Para que você conheça as diversas aplicações do raciocínio lógico 
em sua vida pessoal e profissional, consultamos alguns professores. 
Veja as respostas.
O professor Thiago Hofman do Bom Conselho acredita que “não há 
como existir os cursos de Análise e Desenvolvimento de Softwares 
e Redes de Computadores sem o raciocínio lógico. O computador 
é uma máquina cuja função é ler e executar as instruções, ou 
rotinas, desenvolvidas em linguagens de programação, sendo que 
tais rotinas só existem no “mundo” do raciocínio lógico, ou seja, 
um programa só existe nas relações lógicas entre as suas rotinas. 
Infelizmente, na estrutura atual da escola de base, as disciplinas 
de matemática não são capazes de estimular ou desenvolver o 
raciocínio lógico dos nossos alunos. Caso fossem, ajudariam a 
suprir tal defasagem. ”
unidade 3
082
RACIOCÍNIO LÓGICO
 O tecnólogo precisa 
de raciocínio lógico 
para sua carreira 
profissional, pois 
irá ajudá-lo a 
definir estratégias 
de precificação, de 
investimentos, de 
cargos e de salários.
A professora Leia Fernandes de Assis disse que “o profissional que 
fará o curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas precisará 
muito do raciocínio lógico para exercer suas funções. Desenvolver 
essa habilidade é essencial para sua carreira. Esse profissional vai 
constantemente lidar e procurar soluções para problemas diversos. 
Visando a atingir esse objetivo, terá que procurar e investigar 
hipóteses, e alternativas. A sua eficiência na solução de tais 
problemas dependerá diretamente da sua habilidade com a lógica.”
Para a professora Iracema Campelo Maia, coordenadora dos 
cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Sistemas 
de Informação “o raciocínio lógico é a capacidade específica de 
lidar mentalmente com as informações disponíveis, encontrando 
associações, semelhanças e diferenças entre elas, as quais torna 
possível tomar decisões adequadas às situações. A capacidade 
de resolver problemas está diretamente associada ao raciocínio 
lógico, que permite também estabelecer metas e traçar estratégias 
para atingi-las. Portanto, o raciocínio lógico é uma habilidade 
fundamental de qualquer cidadão, apoiando-o em sua vida cotidiana 
e profissional, permitindo-o atuar em problemas variados, como a 
organização da sua agenda até o planejamento e a execução de 
grandes projetos.”
A professora Andréa de Oliveira, coordenadora de Cursos 
Tecnológicos da Área Financeira, afirma que “qualquer profissional 
que utilize o raciocínio como ferramenta de trabalho para resolver 
problemas de ordem administrativa ou financeira, problemas 
matemáticos, de planejamento ou de estratégia, entre outros, 
utiliza como matéria prima para o seu trabalho a arte de pensar. 
Utilizar o pensamento exige cada vez mais o estudo de disciplinas 
voltadas ao aprimoramento, treinamento e aplicabilidade do 
pensamento. O tecnólogo precisa de raciocínio lógico para sua 
carreira profissional, pois irá ajudá-lo a definir estratégias de 
precificação, de investimentos, de cargos e de salários. Bem como 
auxiliará na análise de cenários econômicos e mercadológicos. Será 
de suma importância para seu melhor desempenho acadêmico nas 
unidade 3
083
RACIOCÍNIO LÓGICO
“Na Gestão de 
Recursos Humanos 
temos, o tempo 
todo, que tomar 
decisões e resolver 
problemas com 
argumentações.” 
disciplinas de Matemática Financeira, Análise de Dados (Estatística), 
Análise de Cenários, Estratégia Organizacional, Administração 
Mercadológica, Custos e Administração Financeira, Contabilidade, 
Pesquisa Operacional e Gestão Financeira, dentre outras.”
Para o professor Ricardo Saraiva Diniz, coordenador dos cursos 
de Processos Gerenciais e Gestão Comercial, “deve-se estudar 
raciocínio lógico, porque essa “ferramenta” tornar-lhe-á capaz 
de organizar e clarear as situações cotidianas, preparando- os para 
circunstâncias mais complexas. A utilização do raciocínio lógico na 
formação educacional de alunos gera pessoas críticas, com senso 
argumentativo, e é com essa característica que desenvolvemos 
alunos capazes de criar, interpretar, responder e explicar situações 
cotidianas.”
O professor Fernando França Monteiro de Barros espera que 
“a disciplina de Raciocínio Lógico contribua para os alunos de 
Logística e Gestão da Produção Industrial, no desenvolvimento 
das Competências eHabilidades de dedução, indução e abdução, 
aplicadas como ferramentas para melhorar o desempenho 
profissional.”
Para Cleiton Geraldo Mendes Miranda, coordenador dos cursos 
de Automação Industrial, Manutenção Industrial, Gestão da 
Qualidade e Gestão da Produção Industrial, “a disciplina de 
Raciocínio Lógico deverá permitir o aluno a trabalhar a abstração, 
auxiliar na compreensão, interpretação e argumentação, expressar 
ideias de forma lógica e organizada e tomar decisão baseando em 
critérios lógicos.”
“Na Gestão de Recursos Humanos temos, o tempo todo, que 
tomar decisões e resolver problemas com argumentações. ” – 
afirma a coordenadora desse curso, professora Patrícia Augusta 
de Alvarenga. E complementa: “Quando precisamos solucionar 
problemas e envolvermo-nos em discussões ou argumentações, 
buscamos uma compreensão a respeito da situação, analisando 
unidade 3
084
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo é o caso 
de recrutamento 
e seleção, em que 
utilizamos critérios 
para evitar ir por 
afinidades e sim pela 
realidade.
cada uma das possibilidades de forma a tirar conclusões de maneira 
mais exata e precisa. Embora estejamos lidando com emoções e 
percepções. Temos que utilizar o raciocínio lógico para evitar ao 
máximo levarmo-nos por vivências e crenças próprias ao invés de 
utilizar argumentação prática, lógica e sustentável. Exemplo é o 
caso de recrutamento e seleção, em que utilizamos critérios para 
evitar ir por afinidades e sim pela realidade. ”
A professora Priscilla dos Santos Gomes acredita que “a disciplina 
raciocínio lógico pode colaborar para que o aluno de Gestão 
Comercial desenvolva o pensamento, que auxilie o desenvolvimento 
de cálculos de retorno de investimento de projetos de expansão e 
novos negócios, custos e administração financeira”.
Segundo a professora Ana Karine Faria Senra “para o tecnólogo 
em Gestão Pública, a disciplina de Raciocínio Lógico contribuirá na 
preparação para os principais concursos públicos, já que é uma das 
disciplinas mais cobradas nos certames. E ainda permitirá ao aluno 
avaliar as melhores condições na tomada de decisões. 
O professor Marcos Arrais e Silva, coordenador do curso de 
Jogos Digitais disse que “uma característica muito importante do 
profissional de Jogos Digitais é a capacidade de abstrair conceitos 
e cenários, e criar soluções lúdicas e interativas para problemas 
reais ou simulados. Nesse contexto, o domínio de técnicas de 
proposições lógicas, sistemas de tomada de decisão, operadores 
relacionais e raciocínio tornam-se habilidades imprescindíveis. A 
disciplina de raciocínio lógico é um grande diferencial curricular, 
pois vai estimular o pensamento crítico e analítico do aluno, 
ajudando a projetar jogos digitais mais imersivos e com uma carga 
de significado mais expressiva.”
Ainda de acordo com esse professor, “em diversas áreas do Design 
Gráfico, o profissional é confrontado a trabalhar com grandezas, 
unidades de medida, sistemas numéricos e proposições de 
lógica. Seja para a área de mídia impressa, em que a demanda é 
unidade 3
085
RACIOCÍNIO LÓGICO
emergente, ou mesmo para as mídias digitais, em que é demandado 
um conhecimento de regras de proporção e operações relacionais. 
A disciplina de Raciocínio Lógico apresenta os instrumentos 
necessários para lidar com as necessidades do mercado e da 
sociedade, e forma um profissional mais crítico.”
Para o prof. Luiz Eduardo Carneiro, “a importância do Raciocínio 
Lógico na vida do tecnólogo em Mecatrônica Industrial começa 
com o desenvolvimento da habilidade relacionada à interpretação 
de problemas. De posse do problema, elaborar soluções de forma 
estruturada, visando a solucioná-lo. Para isso, precisa saber utilizar 
a tabela verdade e as noções matemáticas. De forma geral, a 
disciplina deve estimular o desenvolvimento de soluções por meio 
de passos determinados. ”
O professor Marco Túlio Carvalho de Souza Andrade, coordenador 
da Área da Gestão, reforça que o “Raciocínio Lógico deve contribuir 
para a tomada de decisão e para a avaliação de riscos ao longo 
da vida do aluno. É algo para a vida, para contribuir nos diversos 
processos de escolhas que temos ao longo de nossas vidas pessoal 
e profissional. Eu ainda chamaria a disciplina de “Lógica para a 
Vida”, completou.
Enfim, achamos que a disciplina de Raciocínio Lógico contribuirá 
muito no desenvolvimento de habilidades de “identificar as 
aplicações práticas em suas atividades profissionais”, além de 
estimular “percepção, descrição, análise e proposições para 
resolução de questões e problemas.”
Os jogos de raciocínio lógico auxiliam diretamente na aplicação da teoria 
apresentada nessa unidade, como os “desafios”, apresentados a seguir.
unidade 3
086
RACIOCÍNIO LÓGICO
DESAFIO 1: 
Qual conclusão podemos chegar, partindo das premissas a seguir?
Premissas:
a. Se impermeabilizarmos o solo, asfaltando e cimentando, então não 
recarregaremos o lençol freático e faltará água.
b. Belo Horizonte tem hoje a maioria de seu território impermeabilizado por 
cimento e asfalto. 
DESAFIO 2: 
Quais conclusões podemos chegar, partindo das premissas a seguir? 
Sentadas uma ao lado da outra em três cadeiras do auditório da UNA do 
campus Barro Preto, três calouras aguardam as palestras de “Boas-vindas 
à UNA”. Qual caloura está sentada em qual cadeira?
Premissas:
a. A caloura do Curso de Gestão Comercial está sentada à direita da aluna 
que veste blusa vermelha.
b. A aluna de Estética veste blusa azul.
c. Uma delas veste blusa preta.
d. A aluna de Gestão Ambiental está sentada na cadeira do meio.
Sugestão para resolução: 
Procurem resolver o desafio montando uma estrutura em tabela, como 
a apresentada a seguir, preenchendo as colunas de acordo com as 
premissas do problema, até encontrar a solução final:
Cor da roupa
Curso
CALOURA 1 CALOURA 2 CALOURA 3
Belo Horizonte sofre 
constantemente no 
período chuvoso 
com as inundações 
urbanas e possui 
subsolo cada vez 
mais seco. 
unidade 3
087
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conclusão do desafio 1: 
Belo Horizonte sofre constantemente no período chuvoso com as 
inundações urbanas e possui subsolo cada vez mais seco.
Se o solo foi impermeabilizado com cimento e asfalto, na época da chuva 
a água não poderá infiltrar e escoará pelas ruas com grande velocidade, 
provocando problemas de inundações urbanas.
Se a água não infiltrar, ela não poderá “recarregar” o subsolo, ou o lençol 
freático, que é o grande responsável por ter água nas nascentes e rios no 
período da estiagem, quando não chove.
Esses impactos ambientais (inundação no período da chuva e falta de 
água no período da estiagem) são devidos ao grande percentual de áreas 
impermeáveis.
Daí a necessidade de um bom Planejamento Urbano e do Uso do Solo e 
dos Recursos Hídricos, para que não tenhamos problemas de excesso 
nem de falta de água.
Solução do desafio 2:
Cor da roupa
Curso Estética
Azul Vermelha Preto
Gestão Ambiental Gestão Comercial
CALOURA 1 CALOURA 2 CALOURA 3
Revisão
Nessa unidade vimos um pouco da história do pensamento lógico, 
sua aplicação, e também a importância do raciocínio lógico na vida 
do profissional de diferentes áreas do conhecimento. Ao final da 
unidade apresentamos dois “desafios”, para que vocês iniciem o 
exercício de resolução dos problemas de lógica.
unidade 3
088
RACIOCÍNIO LÓGICO
Indicamos o seguinte site que contém uma variedade de jogos, para que 
os alunos treinem a teoria aqui aprendida e se exercitem com as técnicas 
de resolução de problemas lógicos: https://rachacuca.com.br/logica/
problemas/
Proposição e suas 
operações lógicas
• Conceitos de 
proposição
• Valores lógicos 
das proposições
• Conectivos 
lógicos
• Revisão
Introdução
Desde os tempos mais remotos que os seres humanos procuravam 
se comunicar de forma eficiente e clara. Muitas vezes as formas 
mais simples e concisas de comunicação tornavam-se ineficientespor transmitirem mensagens com conteúdos vagos e imprecisos, 
permitindo uma gama de interpretações e, é claro, bastante 
diferentes entre si.
Outras vezes o problema situava-se em uma estrutura de 
comunicação mais complexa que dificultava a compreensão correta 
do que se queria transmitir.
Não é nenhum exagero afirmar que o desenvolvimento da 
comunicação entre as pessoas constituiu um dos mais 
importantes avanços da história humana. Permitiu a formação 
dos primeiros grupos, das primeiras comunidades estruturadas, o 
desenvolvimento dos meios de defesa contra agressores naturais, 
a compreensão da extração dos meios que garantiam o necessário 
à subsistência, etc. Tudo isso encaminhando a humanidade 
gradativamente para o progresso, pela possibilidade de transmissão 
dos conhecimentos adquiridos ao longo do tempo.
O desenvolvimento de uma linguagem clara e adequada norteou 
a evolução da formulação das regras que descrevem o raciocínio 
lógico.
Conforme estudamos, o grego Aristóteles concentrou grande 
atenção no entendimento adequado das proposições e na forma 
como cada grupo dessas deveria ser apresentado. Sem essa 
preocupação, certamente, a formulação dos princípios dessa teoria 
seria bem mais difícil de ser entendida.
Agora vamos discutir as Regras Básicas utilizadas atualmente na 
formulação das questões de Raciocínio Lógico. Apresentaremos os 
modelos de escrita padronizados, os significados de cada estrutura 
empregada e os resultados possíveis de cada uma delas.
Compreendendo esse novo “idioma” e as suas implicações, 
certamente o estudo de Raciocínio Lógico ficará mais simples. 
Assim, ao final desta unidade vocês estarão aptos a:
a. Estabelecer propriedades de relações formais entre 
proposições, premissas e conclusões;
b. Conceituar os princípios básicos do raciocínio lógico, como 
as proposições simples e compostas e os conectivos 
lógico;
c. Identificar a ocorrência de equivalência lógica em 
proposições compostas.
unidade 4
092
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conceitos 
de proposição
Um curso de raciocínio lógico deve começar exatamente com a 
estruturação dos meios pelos quais a realidade será expressa, 
possibilitando uma compreensão única para todos os leitores.
Assim, o domínio completo da linguagem a ser utilizada é o primeiro 
pré-requisito para avançarmos nesta unidade.
Nos manuais de linguagem escrita aprendemos que um texto 
precisa ter em si uma mensagem para ser considerado um texto 
e que uma mensagem precisa necessariamente de um texto para 
ser considerada uma mensagem. Consequentemente, para se 
compreender exatamente o sentido de uma mensagem é preciso 
conhecer os elementos utilizados para construir o texto e transmiti-
la adequadamente.
Torna-se então necessário estabelecermos algumas definições e 
conceitos para avançarmos neste trabalho.
O termo argumento significa um embasamento na defesa de 
qualquer ideia que se pretenda apresentar ou, ainda, como um 
conjunto de palavras ou de símbolos definidos especificamente 
com essa finalidade, que conseguem expressar um sentido de 
compreensão completo. Portanto: 
O termo argumento 
é um conjunto de 
palavras, símbolos 
ou sentenças 
declarativas, 
acompanhado 
de uma outra 
frase declarativa 
conhecida como 
conclusão.
Argumento é o conjunto de palavras, símbolos ou sentenças 
declarativas, acompanhado de uma outra frase declarativa conhecida 
como conclusão.
unidade 4
093
RACIOCÍNIO LÓGICO
Proposição é toda 
oração declarativa, 
ou conjunto de 
palavras ou símbolos 
que exprimem um 
pensamento de 
sentido completo. 
Exemplo 11: Argumento
Proposições:
a. Todos os mineiros são brasileiros.
b. Todos os brasileiros são latino americanos.
Conclusão:
Todos os mineiros são latino americanos.
Dentro dos princípios utilizados no estudo do raciocínio lógico, 
argumento pode ser entendido como uma expressão definida que, 
ao ser avaliada, poderá receber somente respostas do tipo das que 
estão contidas nos dois conjuntos a seguir: 
a. Bom, Consistente, Válido ou Verdadeiro.
b. Ruim, Inconsistente, Inválido ou Falso.
Dessa forma, em uma estrutura argumental, chamaremos de 
premissas, ou proposições, as duas sentenças declarativas, como 
“todos os mineiros são brasileiros” e “todos os brasileiros são latino 
americanos” e à análise final daremos o nome de conclusão, como 
“todos os mineiros são latino americanos”.
Proposição é toda oração declarativa, ou conjunto de palavras ou 
símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.
Por ser uma oração, na maioria das vezes, uma proposição deve 
possuir sujeito e predicado. Por ser declarativa, não poderá nunca 
ser interrogativa, exclamativa ou imperativa. Nem permitir duplo 
sentido, ter sentido vago ou ser paradoxal, ou contrário à opinião 
comum, ou algo que entra em contradição.
As proposições transmitem pensamentos formados a respeito de 
determinado assunto. A verdade de uma proposição é expressa pela 
unidade 4
094
RACIOCÍNIO LÓGICO
Pelo Princípio da 
Não Contradição 
cada premissa ou 
proposição tem 
somente uma única 
resposta.
comprovação dos fatos. Pode ser que uma proposição seja tomada 
como verdadeira até que novas informações/comprovações 
mostrem o contrário, como as proposições verdadeiras 
exemplificadas a seguir.
Exemplo 12:
a. O Estado de Minas Gerais não é banhado pelo mar.
b. Montes Claros é a maior cidade do norte de Minas.
c. No campus do Barro Preto da UNA podemos fazer os Cursos 
de Graduação Tecnológica em Pilotagem e Manutenção de 
Aeronaves.
d. 81 = 9
e. π = 3,1416...
Já nos exemplos a seguir as proposições são todas falsas.
Exemplo 13:
a. Campo Grande é a capital da Bahia.
b. A praia de Copacabana é banhada pelo Oceano Pacífico.
c. Todos os mineiros torcem por times de futebol de São 
Paulo.
d. 24=8 
e. 2+2=5
Nos exemplos a seguir não temos proposições e sim várias 
sentenças abertas (itens a ao c). Ao substituirmos os valores de x 
ou y, essas passarão a serem proposições. No item d temos uma 
sentença vaga. O item e mostra um exemplo de duplo sentido. O 
item f mostra o mais conhecido dos paradoxos, escrito por Camões, 
que constituem afirmações aparentemente sem lógica.
unidade 4
095
RACIOCÍNIO LÓGICO
Pelo Princípio do 
Terceiro Excluído 
descartamos 
completamente 
a possibilidade 
de uma resposta 
diferente de “falso” 
ou “verdadeiro”.
Exemplo 14:
a. x + y = 5
b. x + 1 = y
c. x + 2 = 4
d. Ele é magro.
e. A égua da minha sogra é nova.
f. “Amor é fogo que arde sem se ver
É ferida que dói e não se sente;
É um contentamento descontente; 
É dor que desatina sem doer.”
Dois princípios ou axiomas básicos devem ser estabelecidos como 
regras fundamentais.
1º Axioma ou Princípio da Não Contradição
Esta regra exige que cada premissa ou proposição tenha somente 
uma única resposta, ou seja, uma proposição não poderá ser 
“verdadeira” e “falsa” ao mesmo tempo.
2º Axioma ou Princípio do Terceiro Excluído
Este axioma, como o próprio nome diz, descarta completamente 
a possibilidade de uma resposta diferente das apresentadas 
anteriormente. Simplificando, um argumento é formado por uma ou 
mais proposições que devem nos conduzir a uma única conclusão, 
com respostas claras e esperadas, as quais podem ser Verdadeiras 
(V) ou Falsas (F).
É importante deixar claro a diferença entre uma proposição e 
outras formas de expressão utilizadas em nosso idioma, como 
as perguntas e estruturas indefinidas. Observem a formulação 
apresentada no exemplo a seguir.
unidade 4
096
RACIOCÍNIO LÓGICO
A estrutura em 
forma de pergunta 
ou questão, não 
caracterizando 
uma proposição 
(Quantos anos 
Maria tem?), assim 
como a questão 
indefinida (Não sei 
se vou viajar).
Exemplo 15:
a. Quantos anos Maria tem?
Essa estrutura comporta uma gama variada de valores possíveis 
para ser respondida. O indivíduo ao respondê-la deverá ter 
conhecimento sobre a pessoa em questão e poderá responder 
dizendo 2, 18,20, 21, 30 anos, ou qualquer outro valor que 
corresponda à idade atual de Maria. Esse tipo de estrutura tem 
o nome de pergunta ou questão, e não é classificada como uma 
proposição.
Outro tipo de estrutura bastante utilizada no nosso cotidiano, às 
vezes, denota uma questão indefinida e também não é caracterizada 
como uma proposição. Nessa mesma situação podemos analisar 
as seguintes expressões:
Exemplo 16:
a. Será que vai chover?
b. Não sei se vou viajar.
São formas de expressões excessivamente vagas que não 
conduzem a respostas únicas e conclusivas.
A caracterização de uma proposição deverá indicar como 
resposta somente duas possibilidades: Falso ou Verdadeiro, como 
exemplificado a seguir.
Exemplo 17:
a. A capital de Minas Gerais é Belo Horizonte (Proposição 
Verdadeira).
b. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º 
(Proposição Verdadeira).
unidade 4
097
RACIOCÍNIO LÓGICO
Para dar respostas 
às proposições o 
raciocínio lógico 
pode requerer 
conhecimentos 
prévios, 
desenvolvimento 
matemático, 
atualidades e até 
mesmo aspectos da 
formação moral do 
indivíduo.
c. O Brasil foi descoberto por Cristóvão Colombo (Proposição 
Falsa).
d. A raiz quadrada de 64 é igual a oito (Proposição Verdadeira).
e. Pelé foi o maior jogador de basquete do Brasil (Proposição 
Falsa).
Às vezes, observamos proposições parcialmente verdadeiras, 
porém a resposta a esse tipo de estrutura não deverá apontar para 
uma estrutura verdadeira.
Exemplo 18:
a. O Brasil foi descoberto por Pedro Álvares Cabral em 1492.
Essa proposição é falsa. Embora o Brasil tenha sido descoberto 
por Pedro Álvares Cabral, existe um complemento não verdadeiro 
que se refere ao ano do descobrimento que foi em 1500 e não em 
1492, como escrito na proposição. É necessário, obviamente, o 
acúmulo de uma série de conhecimentos prévios para responder 
corretamente questões como essas apresentadas acima.
Para dar respostas às proposições o raciocínio lógico pode requerer 
conhecimentos prévios, desenvolvimento matemático, atualidades 
e até mesmo aspectos da formação moral do indivíduo. Vamos 
analisar as duas proposições a seguir.
Exemplo 19:
a. Floresta é um bairro próximo ao centro de Belo Horizonte.
b. Dirigir alcoolizado é sempre errado.
Aparentemente, é muito fácil para qualquer cidadão que more em 
Belo Horizonte verificar que a primeira proposição é verdadeira. 
Entretanto, é necessário ter em mente que o fato de saber que a 
Floresta é nome de um bairro tradicional na região Leste de Belo 
unidade 4
098
RACIOCÍNIO LÓGICO
Existem proposições, 
no entanto, que, 
por serem bastante 
óbvias, irão 
produzir a mesma 
resposta lógica, não 
importando a quem 
tenha sido formulada 
a proposição
Horizonte, a poucos quilômetros do centro da cidade, é simples 
para pessoas que residem em Belo Horizonte. Mais simples ainda 
para aqueles que moram ou já moraram nessa região da cidade. Se 
pensarmos em uma pessoa que nunca esteve em Belo Horizonte, 
ou ainda para um indivíduo estrangeiro que nunca esteve no Brasil, 
verificar corretamente se essa proposição é falsa ou verdadeira 
pode ser algo absolutamente complexo, e que demandaria um 
longo tempo em pesquisas em livros de geografia, mapas da cidade 
ou outras fontes de pesquisa.
A resposta correta à segunda proposição, que em uma primeira 
análise seria verdadeira para qualquer indivíduo, poderá não ser 
tão clara como parece, se considerarmos valores pessoais ou 
o contexto da situação. As pessoas que se preocupam com a 
segurança física, própria e de todas as pessoas a sua volta, com a 
preservação de seus bens materiais e de terceiros, além, é claro, do 
efetivo cumprimento das leis vigentes no nosso país, considerarão 
que essa é uma proposição verdadeira. Outras pessoas, entretanto, 
não têm necessariamente essa mesma visão e podem ter uma 
resposta diferente, haja vista a imensa quantidade de pessoas que 
morrem no Brasil por dirigirem alcoolizadas. Em outras palavras, 
a resposta a essa questão dependeria do comportamento e da 
formação moral de cada indivíduo. Além disso, qual seria a resposta 
caso soubéssemos que o motorista estava dirigindo alcoolizado 
para salvar a vida de outra pessoa, porque era o único habilitado?
Existem proposições, no entanto, que, por serem bastante óbvias, 
irão produzir a mesma resposta lógica, não importando a quem 
tenha sido formulada a proposição, conforme veremos nos 
próximos exemplos.
Exemplo 20:
a. Aquele carro é verde ou não é verde.
b. André chegou a sua casa ou não chegou.
unidade 4
099
RACIOCÍNIO LÓGICO
Há situações em 
que um conjunto 
de premissas 
verdadeiras pode 
levar a conclusões 
absurdas.
c. Maria fez o exercício de Contabilidade ou não fez.
Todos esses exemplos conduzirão a uma resposta verdadeira 
única, não importando quem vai responder a essas proposições, ou 
ainda, quais conhecimentos anteriores essa pessoa deverá possuir.
A coerência de um conjunto de proposições também pode levar a 
respostas não necessariamente corretas. Observem a sequência 
destas três proposições e a conclusão a elas atribuída:
Exemplo 21:
Proposições:
a. João Pedro não tem problemas físicos.
b. João Pedro é jogador de futebol.
c. Somente os atletas em boas condições físicas serão 
escalados para o jogo de futebol no próximo domingo.
Conclusão:
João Pedro será escalado para o jogo de futebol do próximo 
domingo.
Essa conclusão não apresenta consistência suficiente para ser 
considerada verdadeira. Mesmo diante dos três argumentos 
verdadeiros, a conclusão apresentada não tem elementos 
suficientes para ser caracterizada como verdadeira, uma vez que as 
proposições a a c não conduzem a uma conclusão verdadeira. Em 
outras palavras, não se definiu a obrigatoriedade de escalar para o 
jogo todos os atletas que estivessem em perfeitas condições físicas.
Também encontramos situações em que um conjunto de premissas 
verdadeiras pode levar a conclusões absurdas. Vejamos o exemplo 
apresentado a seguir.
unidade 4
100
RACIOCÍNIO LÓGICO
 A negação de uma 
proposição é então 
algo que merece ser 
analisado.
Exemplo 22:
Proposições:
a. Os tomates maduros são vermelhos.
b. A casa de Paulo é vermelha.
Conclusão:
A casa de Paulo é um tomate.
Embora as duas proposições sejam verdadeiras, a maneira como 
foi induzida a formulação da conclusão não foi adequada.
Outro aspecto importante na linguagem das proposições é a 
maneira conveniente de como negar uma proposição. A negação de 
uma proposição é então algo que merece ser analisado.
O que é negar uma proposição? Negar poderia ser definido como a 
ação de considerar falsa uma premissa anterior. Vamos utilizar um 
exemplo prático para explicar essa questão.
Exemplo 23:
Premissa:
Geraldo é nascido em Alagoas.
Trata-se de uma proposição simples que afirma que Geraldo 
nasceu em Alagoas. Essa premissa naturalmente pode assumir 
dois valores ou dois resultados conhecidos por nós, que são: falso 
ou verdadeiro.
O que poderemos fazer é negar a premissa diretamente usando a 
estrutura “É falso que” ou a utilização da negativa “não” antes do 
unidade 4
101
RACIOCÍNIO LÓGICO
A negação de 
uma proposição 
é então algo 
que merece ser 
analisado.
verbo principal da proposição. Assim sendo, as negativas dessa 
proposição poderiam ser:
Premissas:
É falso que Geraldo nasceu em Alagoas. 
Ou,
Geraldo não nasceu em Alagoas.
Obviamente a negativa de uma proposição, invariavelmente, terá a 
resposta invertida se comparada com a proposição inicial.
Observe que, mesmo que tivéssemos certeza de que Geraldo 
não nasceu em Alagoas, não fazemos a negativa da premissa 
informando o local conhecido do nascimento de Geraldo, ou seja, 
não podemos dizer: “Geraldo nasceu em Pernambuco” ou “Geraldo 
nasceu na Bahia”.
Exemplo 24:
Se para a proposição “Vitor trabalha em Brasília” a resposta é 
“Falso”, obrigatoriamente para a sua negativa “É falso que Vitor 
trabalhaem Brasília”, a resposta a essa última será “Verdadeiro”.
Valores lógicos 
das proposições
Nós trabalhamos, até agora, somente com proposições simples. 
É importante analisarmos agora a estrutura de proposições 
compostas, ou seja, estruturas formadas pela junção de duas 
ou mais proposições. Vamos trabalhar inicialmente com duas 
proposições simples referentes a assuntos independentes entre si, 
como no exemplo a seguir.
unidade 4
102
RACIOCÍNIO LÓGICO
Essa nova estrutura 
composta de 
proposição deverá 
também ter uma 
única resposta.
Exemplo 25:
a. A capital do Estado do Espírito Santo é Vitória.
b. A nascente do rio São Francisco situa-se no Estado de São 
Paulo.
Observando independentemente as duas proposições e utilizando 
os nossos conhecimentos básicos de geografia brasileira, sabemos 
que a primeira proposição é verdadeira e a segunda proposição é 
falsa.
Para fazermos a junção dessas duas proposições, vamos 
inicialmente utilizar os conectivos, que têm como função dar 
sentido à nova estrutura, conforme apresentado a seguir. 
Conectivos 
Lógicos
Chamamos de conectivos algumas palavras utilizadas para 
formar novas proposições a partir de outras, proposições como, as 
disjunções inclusivas “ou”, a conjunção “e”, a disjunção exclusiva 
“ou ... ou, mas não ambos”, a condicional “se ... então”, a negação 
“não”, e a bi condicional “se e somente se”, conforme veremos.
A conjunção e como conectivo lógico: 
“A e B”
O primeiro conectivo que vamos utilizar é a conjunção “e”. No 
exemplo apresentado anteriormente, nossa estrutura composta 
ficaria assim:
unidade 4
103
RACIOCÍNIO LÓGICO
O conectivo 
“e” significa a 
obrigatoriedade das 
duas proposições 
isoladamente serem 
verdadeiras para 
que a estrutura 
composta também 
seja verdadeira.
Exemplo 26:
Proposição 1: A capital do Estado do Espírito Santo é Vitória.
Proposição 2: A nascente do rio São Francisco situa-se no Estado 
de São Paulo.
Proposição 3: A capital do estado do Espírito Santo é Vitória e a 
nascente do rio São Francisco situa-se no estado de 
São Paulo.
Nesse caso, o conectivo “e” significa a obrigatoriedade das duas 
proposições isoladamente serem verdadeiras para que a estrutura 
composta também seja verdadeira. No entanto, a resposta a essa 
estrutura composta é “Falso”, pois a segunda proposição é falsa, a 
nascente do rio São Francisco não se situa no Estado de São Paulo.
A disjunção inclusiva ou como 
conectivo lógico: “A ou B”
Vamos verificar, agora, como opera a disjunção “ou”. No exemplo 
apresentado anteriormente, nossa estrutura composta ficaria 
assim:
Exemplo 27:
a. A capital do Estado do Espírito Santo é Vitória ou a nascente 
do rio São Francisco situa-se no estado de São Paulo.
Temos acima uma estrutura única, que agregou duas proposições 
independentes por meio da palavra, disjunção ou conectivo “ou”. 
Essa nova estrutura composta de proposição deverá também ter 
uma única resposta.
Como o conectivo empregado é o “ou”, a estrutura composta será 
considerada verdadeira a partir de uma única resposta verdadeira 
para uma das proposições isoladamente. Em outras palavras, 
unidade 4
104
RACIOCÍNIO LÓGICO
Basta que uma das 
duas proposições 
seja verdadeira para 
que a estrutura 
composta pelo 
conectivo “ou” seja 
verdadeira.
basta que uma das duas proposições seja verdadeira para que a 
estrutura composta também seja verdadeira.
Se, por exemplo, tivéssemos uma estrutura composta formada por 
cinco proposições, todas unidas pelo conectivo “ou”, sendo quatro 
delas falsas e apenas uma verdadeira, a resposta final para essa 
estrutura seria também verdadeira. Para estruturas compostas 
separadas pelo conectivo “ou”, somente teríamos como resposta 
final “Falso” se todas as proposições isoladamente fossem falsas.
Como vimos anteriormente, nas estruturas compostas com a 
utilização do conectivo “e”, bastaria existir uma proposição falsa 
para que toda a estrutura composta também fosse falsa. Porém, 
com a utilização do conectivo “ou” a situação é inversa, pois basta 
uma única proposição verdadeira para que a proposição composta 
também seja verdadeira.
A disjunção exclusiva ou como 
conectivo lógico: “ou A ou B, 
mas não ambos”
Uma estrutura particular de utilização do conectivo “ou” é o 
chamado “ou exclusivo”. Isso acontece numa situação simples 
em que é totalmente impossível que as duas proposições sejam 
verdadeiras ao mesmo tempo.
Exemplo 28:
Proposição 1: Mateus é solteiro.
Proposição 2: Mateus é casado.
Proposição 3: Ou Mateus é casado ou Mateus é solteiro.
Vamos então analisar a estrutura composta. Podemos ter 
isoladamente cada uma das proposições simples como verdadeira 
e, obviamente, a proposição composta como falsa.
unidade 4
105
RACIOCÍNIO LÓGICO
A “Estrutura 
Condicional” é 
montada com a 
expressão “se ... 
então”.
Nesse caso, como as proposições são excludentes, ou seja, Mateus 
não poderia ser solteiro e casado ao mesmo tempo, a estrutura 
então seria verdadeira.
Também se pode concluir que se Mateus tiver outro estado civil 
diferente dos dois apresentados nas duas proposições (viúvo por 
exemplo), a resposta final para essa estrutura composta também 
seria falsa.
O condicional se como conectivo 
lógico: “se A então B”
Estruturas que estabelecem condições para uma segunda 
proposição são também muito importantes. Dentre elas, a 
“Estrutura Condicional” é montada com a expressão “se ... então”, 
conforme exemplificado a seguir.
Exemplo 29:
Proposição 1: A caminhonete de Marcos está na garagem de casa 
(Verdadeira).
Proposição 2: Marcos já chegou da fazenda (Verdadeira).
Proposição 3: Se a caminhonete de Marcos está na garagem da casa 
então Marcos já chegou da fazenda (Verdadeira).
Essa estrutura condicional demonstra que existe dependência entre 
as duas proposições (1 e 2). Facilmente podemos concluir que 
a primeira proposição é uma evidência da segunda proposição, o 
que torna a sentença composta (3) como verdadeira, na medida 
em que tanto a primeira como a segunda proposições também são 
verdadeiras.
Vamos agora observar outras possibilidades, utilizando as mesmas 
informações do exemplo anterior, alterando, porém, a veracidade 
dos fatos.
unidade 4
106
RACIOCÍNIO LÓGICO
É uma proposição 
composta cujo 
valor lógico é 
sempre o oposto da 
proposição original, 
independente de 
seus valores lógicos. 
Inicialmente vamos admitir que a primeira proposição seja 
verdadeira, ou seja, a caminhonete de Marcos está na garagem da 
casa. Na hipótese da segunda proposição ser falsa, ou seja, Marcos 
ainda está na fazenda, haveria uma dificuldade para explicar a 
permanência da caminhonete na garagem da casa enquanto 
Marcos ainda esteja na fazenda. Nessa hipótese, a estrutura 
composta seria falsa, uma vez que a presença do carro na garagem 
não permitiria que Marcos ainda estivesse na fazenda, conforme 
mostrado a seguir.
Exemplo 30:
Proposição 1: A caminhonete de Marcos está na garagem de casa 
(Verdadeira).
Proposição 2: Marcos já chegou da fazenda (Falsa).
Proposição 3: Se a caminhonete de Marcos está na garagem da 
casa, então Marcos já chegou da fazenda (Falsa).
Caso a primeira proposição fosse falsa, ou seja, a caminhonete de 
Marcos não estivesse na garagem da casa, poderíamos admitir 
inicialmente duas hipóteses: (a) que ele ainda estivesse na fazenda 
como uma possibilidade verdadeira, ou seja negando a segunda 
proposição de que Marcos já tivesse retornado da fazenda; ou, (b) 
que a proposição 1 fosse verdadeira, ou seja, que Marcos já poderia 
ter chegado da fazenda. Assim, concluímos que a proposição 
“condicional” assume o valor “falso” quando a primeira proposição 
é “verdadeira”, mas a segunda proposição é “falsa”, nas demais 
situações a proposição condicional é sempre “verdadeira”.
A negação “não” como conectivo 
lógico: “não A”
É uma proposição composta cujo valor lógico é sempre o oposto 
da proposição original,independente de seus valores lógicos. Se 
unidade 4
107
RACIOCÍNIO LÓGICO
Caso a primeira 
proposição seja 
verdadeira e a 
segunda proposição 
seja falsa, ou ainda 
que a primeira 
proposição seja 
falsa e a segunda 
proposição seja 
verdadeira, a 
resposta final 
obviamente será 
falsa. 
negarmos uma proposição verdadeira, estaremos produzindo uma 
proposição falsa, e vice-versa.
Exemplo 31:
Proposição 1: Eu amo minha família. (Verdadeiro).
Negação 1: É falso que eu amo minha família (Falso).
Proposição 2: Eu não gosto de estudar raciocínio lógico (Falso).
Negação 2: Não é verdade que eu não gosto de estudar raciocínio 
lógico (Verdadeiro).
O bicondicional “se” como conectivo 
lógico: “A se e somente se B”
Uma última montagem, também muito importante, é a chamada 
estrutura bicondicional. Nessa estrutura iremos utilizar uma 
sequência que unirá duas proposições, assim: (proposição 1) se e 
somente se (proposição 2), conforme exemplo:
Exemplo 32:
Proposição 1: Um número inteiro é ímpar.
Proposição 2: Se a divisão por dois não for exata.
Estrutura composta 1: Um número inteiro é ímpar se e somente 
se a divisão por dois não for exata.
Estrutura composta 2: Um número não é ímpar se e somente se a 
divisão por dois for exata.
A Estrutura composta 1 é um tipo de estrutura que permite uma 
análise mais simples. Observem que, se as duas proposições 
forem verdadeiras, essas conduzirão à formação de uma estrutura 
composta, obrigatoriamente verdadeira.
unidade 4
108
RACIOCÍNIO LÓGICO
Da mesma forma, se negarmos as duas proposições, tornando-
as falsas, como na Estrutura composta 2, a estrutura então será 
verdadeira. Ou seja, a estrutura que nega as duas proposições, ou 
que tornariam as duas proposições iniciais como falsas, produzirá 
um resultado final verdadeiro para a estrutura composta.
Dentro da mesma situação proposta acima, caso a primeira 
proposição seja verdadeira e a segunda proposição seja falsa, ou 
ainda que a primeira proposição seja falsa e a segunda proposição 
seja verdadeira, a resposta final obviamente será falsa.
As proposições são muito utilizadas em questões de concursos, como 
o exemplo de uma questão de prova de concurso do INSS, apresentado 
a seguir.
TEXTO-BASE
(CESPE/INSS/2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas 
como verdadeiras ou falsas, mas não admitem ambos os julgamentos. A 
esse respeito, considere que A represente a proposição simples "É dever 
do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao 
exercício da função", e que B represente a proposição simples "É permitido 
ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram 
ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão".
ENUNCIADO
Considerando as proposições A e B, julgue os itens I e II, com respeito ao 
Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo 
Federal1 e às regras inerentes ao Raciocínio Lógico. 
1. BRASIL. Lei nº 6029, de 01 de fevereiro de 2007.Institui Sistema de Gestão da Ética 
do Poder Executivo Federal, e Dá Outras Providências.. Brasília, Disponível em: 
<http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/_ato2007-2010/2007/decreto/d6029.htm>. 
Acesso em: 14 maio 2015
unidade 4
109
RACIOCÍNIO LÓGICO
ALTERNATIVAS
I. A proposição "Se A então B" é necessariamente verdadeira.
II. Sabe-se que uma proposição na forma "A ou B" tem valor lógico falso 
quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é 
verdadeira. Portanto, a proposição composta "A ou B", em que A e B são as 
proposições acima referidas, é verdadeira.
INTERPRETAÇÃO
Análise do item I:
Como vimos anteriormente, a proposição condicional "Se A então B", 
simbolicamente representada por A → B, é falsa somente quando A é 
verdadeira e B é falsa. Em qualquer outro caso, A → B é verdadeira.
De acordo com o texto, no que se refere ao Código de Ética Profissional 
do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal, a proposição A é 
verdadeira e a proposição B é falsa.
Logo, A → B é uma proposição falsa.
Análise do item II
De acordo com o que estudamos sobre a disjunção "A ou B", 
simbolicamente representada por A v B, será verdadeira se ao menos uma 
das proposições A ou B for verdadeira. Se A e B forem ambas falsas, então 
A v B será falsa.
Vimos pela análise do texto que A é verdadeira e B é falsa.
Logo, A v B é uma proposição verdadeira.
unidade 4
110
RACIOCÍNIO LÓGICO
Revisão
Nessa unidade foi apresentada uma padronização da estrutura de 
linguagem, que será utilizada nos capítulos seguintes, e as análises 
iniciais dos tipos de resposta que cada uma dessas formas de 
descrever os fatos nos permite concluir.
Descrevemos então a formulação de toda a argumentação de uma 
ideia e a maneira adequada de narrar os fatos, que serão analisados 
por meio do uso de premissas. Estas são estruturas de linguagem 
bastante simples e concisas.
Analisamos as premissas isoladamente e os respectivos conectivos 
que iremos empregar para conectar duas ou mais proposições.
Foram estudadas cinco estruturas, a saber:
1. conjunção – conectivo “e”
2. disjunção e disjunção exclusiva – conectivo “ou”
3. condicional – estrutura “se ... então”
4. bi condicional – estrutura “se e somente se”
5. Negação
Para cada uma das cinco situações foram consideradas as análises 
das respostas às proposições simples e seus resultados de análise 
final. Isso vai facilitar o nosso estudo nas unidades seguintes.
unidade 4
111
RACIOCÍNIO LÓGICO
Livros e filmes de suspense, e também policiais, são sempre bons para 
ativar nossa curiosidade e, consequentemente, nosso raciocínio lógico.
Assim, aproveitamos para sugerir a vocês que assistam ao seguinte filme: 
"Shutter Island ou Ilha do Medo". É um filme americano dirigido por Martin 
Scorsese, lançado em fevereiro de 2010 e protagonizado por Leonardo 
DiCaprio e Mark Ruffalo. O filme é baseado no livro "Paciente 67" do 
consagrado autor Dennis Lehane.
Sinopse: Edward Daniels (Leonardo DiCaprio) investiga o desaparecimento 
de um paciente no Shutter Island Ashecliffe Hospital, em Boston. No local, 
ele descobre que os médicos realizam experiências radicais com os 
pacientes, envolvendo métodos ilegais e antiéticos. Teddy tenta buscar 
mais informações, mas enfrenta a resistência dos médicos em lhe fornecer 
os arquivos que possam permitir que o caso seja aberto. Quando um 
furacão deixa a ilha sem comunicação, diversos prisioneiros conseguem 
escapar e tornam a situação ainda mais perigosa. Dirigido por Martin 
Scorsese, o longa traz mais uma grande atuação de Leonardo DiCaprio, 
numa trama que prende a atenção do começo ao fim. Um suspense 
eletrizante, onde nada é o que parece. (Fonte: ALMEIDA, Diego. 5 melhores 
filmes de suspense da Netflix. 15 mar. 2015. In: site “cine pop”. Disponível 
em: <http://cinepop.virgula.uol.com.br/5-melhores-filmes-de-suspense- 
da-netflix-90623>. Acesso em 14 maio 2015).
Operações lógicas 
e resultados 
• Operações 
lógicas sobre 
proposições
• Tabelas-
verdade para 
proposições 
simples
• Tabelas-
verdade para 
proposições 
compostas
• Revisão
Introdução
Nesta unidade vamos estudar as operações lógicas e os resultados 
delas decorrentes. Numa operação matemática o resultado é 
numérico. Nas operações lógicas os resultados, assim como as 
proposições simples, só podem assumir os valores V (verdadeiro) 
ou F (falso), conforme vimos pelo Princípio do Terceiro Excluído.
Vejamos o que acontece numa operação envolvendo o operador “e” 
com duas proposições simples.
Suponhamos que Maria Augusta irá a uma festa no próximo sábado 
à noite e que ela tenha algumas opções de roupa para usar nessa 
ocasião, dependendo das condições do tempo.
Inicialmente, a única questão que influenciará na escolha dela é a 
análise de uma única proposição, identificada pela letra p.
p: tempo chuvoso
Nesse caso, podemos ter duas possibilidades:
1. tempo chuvoso
2. temponão chuvoso
Essas duas possibilidades de ocorrência da proposição p podem 
ser apresentadas em forma do que é denominado como tabela-
verdade, conforme TABELA 1.
TABELA 1 – Tabela-verdade do exemplo 34 com uma proposição
Fonte: elaborada pelos autores.
1a
2a
V
F
Possibilidades PROPOSIÇÃO
p
Como aprendemos anteriormente, por meio do “Princípio do 
Terceiro Excluído”, as duas possibilidades possíveis para p são 
verdadeiro (V) ou falso (F), como mostrado na tabela.
Assim, a decisão de Maria Augusta se dará pela resposta a essa 
proposição p, caso p = V (tempo chuvoso), Maria Augusta escolherá, 
por exemplo, entre algumas opções de vestuário, casaco, capa de 
chuva galochas etc.; caso p = F (tempo não chuvoso) Maria Augusta 
escolherá outras opções de roupas.
Imaginemos agora que a escolha seja composta por dois fatores, 
representados pelas proposições p e q.
p: tempo chuvoso
q: tempo frio
Nesse caso, existem quatro possibilidades a serem analisadas:
1ª. existência de tempo chuvoso e existência de tempo frio;
2ª. existência de tempo chuvoso e inexistência de tempo frio;
3ª. inexistência de tempo chuvoso e existência de tempo frio;
4ª. inexistência de tempo chuvoso e inexistência de tempo 
frio.
Também de acordo com o "Princípio do Terceiro Excluído", essas 
quatro possibilidades de ocorrência das proposições p e q poderiam 
ser apresentadas, conforme mostrado na TABELA 2.
Fonte: elaborada pelos autores.
1a
2a
3a
4a
V
V
F
F
V
F
V
F
Possibilidades
PROPOSIÇÕES
p q
TABELA 2 – Tabela-verdade do exemplo 34 com duas proposições
Observemos que, no caso de uma proposição (p) a tabela-verdade 
possuía duas linhas e no caso de duas proposições (p e q) a 
tabela-verdade ficou composta com quatro linhas, que se referem 
às quatro possibilidades existentes. Se evoluirmos nesta análise, 
verificaremos que o número de linhas da tabela-verdade de uma 
proposição composta depende do número de proposições simples 
que a integram, em que n é igual ao número de proposições simples, 
conforme definição de Alencar Filho (2002, p.29) apresentada a 
seguir:
"A tabela-verdade de uma proposição composta
com n proposições simples contém 2n linhas".
Portanto, quanto mais proposições simples existirem para serem 
analisadas, mais alternativas existirão em uma escala exponencial. 
Assim, se 10 proposições forem analisadas existirão 210 = 1024 
possibilidades; para 11 proposições, esse total será de 211 = 2048.
Isso é importante porque a construção prática da tabela-verdade, 
de uma proposição composta, inicia-se contando o número de 
proposições simples que a integram.
Ao final do estudo desta unidade, você deverá estar capacitado 
a construir tabelas-verdade para proposições que representem 
operações lógicas. E, desta forma, habilite-se a resolver problemas 
do cotidiano, pessoal e profissional, que possam ser expressos por 
este tipo de linguagem. 
unidade 5
117
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conjunção: p ∧ q
Disjunção: p q
Disjunção exclusiva: p ∧ q
Condicional: p → q
Bicondicional: p ↔ q
 
Negação: não p ou ~ q 
QUADRO 1 - Simbologia dos conectivos lógicos
Fonte: Elaborado pelos autores.
Conectivos Símbolos Tipo de estrutura lógica Exemplos
e
ou
ou ... ou
se ... então
se e 
somente se
não
< <
< <
< <
Márcia é professora e engenheira.
Amanhã eu irei à Una ou ao teatro.
Ou Onaldo é professor ou estudante da 
Una, mas não ambos.
Se é meia noite, então o sol já se pôs.
Aprenderei raciocínio lógico se e somente 
se me dedicar a este estudo em EAD.
Não é verdade que estudar é fácil. ou 
Estudar não é fácil. ou ainda É falso que 
estudar é fácil.
~
→
↔
Operações lógicas 
sobre proposições
No QUADRO 1 apresentamos alguns símbolos adotados para 
indicar as estruturas lógicas compostas formadas por conectivos, 
bem como alguns exemplos de suas aplicações.
Nós vimos que as proposições simples possuem um único valor 
lógico, Verdadeiro (V) ou Falso (F). Agora, iremos aprender alguns 
critérios para sabermos se uma proposição composta, formada por 
duas outras proposições simples, terá valor lógico Verdadeiro (V) ou 
Falso (F).
Chamemos duas proposições simples de p e q, respectivamente. 
Construiremos novas proposições compostas a partir delas, 
utilizando os conectivos lógicos, assim: p conectivo q, conforme 
ilustrado no Quadro 2, a seguir.
unidade 5
118
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUADRO 2 - Critérios de análise dos valores lógicos de proposições compostas
1o critério: a conjunção p ʌ q será verdadeira se p for verdadeira e q for verdadeira. Se ao menos uma 
delas for falsa, ela será falsa.
2o critério: a disjunção p v q será verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q for 
verdadeira. Se p e q forem ambas falsas, então p v q será falsa.
3O critério: a disjunção exclusiva p v q será verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a 
outra for falsa. Nos demais casos, ou seja, quando ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas, a 
disjunção exclusiva será falsa.
4O critério: a condicional p → q é falsa somente quando p é verdadeira e q é falsa. Em qualquer outro 
caso, p → q é verdadeira.
5O critério: a bi condicional p ↔ q é verdadeira somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas 
falsas. Em qualquer outro caso, a bicondicional é falsa.
6O critério: dada uma proposição p, podemos obter outra proposição ~p (não p) chamada de negação da 
proposição p, cujo valor lógico será sempre oposto ao de p.
Fonte: LOYOLA, 2011, p.16-21.
Vejamos algumas aplicações do uso de conectivos lógicos na 
formação das proposições compostas.
Exemplo 33:
Proposição p: O Galo foi campeão da Libertadores em 2013.
Proposição q: Onaldo venceu a corrida "Volta na Pampulha", 
em 2014.
Estrutura composta p (conectivo) q: O Galo foi campeão da 
Libertadores em 2013 (conectivo) Onaldo venceu a corrida 
"Volta na Pampulha", em 2014.
Análise: 
p: essa proposição simples é verdadeira (V).
q: essa proposição simples é falsa (F), pois quem venceu, pela 
terceira vez consecutiva, foi o brasileiro Giovani dos Santos.
unidade 5
119
RACIOCÍNIO LÓGICO
Valores lógicos das proposições compostas:
1a) p ʌ q: esta conjunção é falsa (F) porque a proposição q 
é falsa.(1o critério do Quadro 2).
2a) p v q: esta disjunção é verdadeira pois uma delas é 
verdadeira. (2o critério do Quadro 2).
3a) p v q: esta disjunção exclusiva é verdadeira, pois uma 
delas é verdadeira. (3o critério do Quadro 2).
4a) p → q: esta condicional é falsa (F), por ser p 
verdadeira e q falsa. (4o critério do Quadro 2).
5a) p ↔ q: esta bi condicional é falsa (F), pois só será 
verdadeira se ambas forem verdadeiras ou falsas. 
(5o critério do Quadro 2).
6a) ~p: Não é verdade que o Galo foi campeão da 
Libertadores em 2013: falsa porque está negando a 
proposição verdadeira p.
~q: Onaldo não venceu a corrida "Volta na Pampulha" em 
2014: verdadeira pois está negando a proposição 
falsa q.
Esses símbolos serão muito úteis na Unidade 3, em que iremos 
analisar as combinações de todas as estruturas e as respostas por 
meio da construção do que chamamos de Tabelas-Verdade.
Tabelas-verdade para 
proposições simples
Nesta unidade, utilizaremos uma das mais importantes ferramentas 
na definição de estruturas lógicas, que é a tabela-verdade.
unidade 5
120
RACIOCÍNIO LÓGICO
Tabela-verdade é uma forma simplificada de organizar as 
informações que passaram da linguagem formal para a linguagem 
simbólica, permitindo concluir se um argumento apresentado ou 
um conjunto de proposições é válido ou inválido. 
Uma tabela-verdade é, portanto, uma maneira de representação dos 
valores possíveis que uma proposição poderá assumir: verdadeiro 
(V) ou falso (F).
Como vimos, são os seis conectivos lógicos utilizados em tabelas- 
verdade.
a) Conjunção
b) Disjunção
c) Disjunção exclusiva
d) Condicional
e) Bicondicional 
f) Negação de uma proposição
A seguir, na TABELA 4, apresentamos um resumo desses conectivos 
e suas representaçõessimbólicas.
TABELA 4 – Simbologia dos conectivos lógicos
Fonte: Elaborada pelos autores.
Conjunção: p Λ q
Disjunção: p v q
Disjunção exclusiva: p v q
Condicional: p → q
Bicondicional: p ↔ q
Negação: não p ou ~p ou ¬p
e
ou
ou ... ou
se ... então
se, e somente se
não
V
V
→
↔
~ ou ¬
V
TIPO DE ESTRUTURA LÓGICA Conectivos Símbolos
Vamos ver agora alguns exemplos para ilustrar a construção de 
tabelas-verdade com o uso desses conectivos lógicos.
unidade 5
121
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 34: Conjunção de duas proposições
A palavra ‘conjunção’ nos dá a ideia de duas coisas juntas, isto 
é, devemos escolher uma E outra coisa, como o exemplo aqui 
apresentado.
Sejam as proposições p e q a seguir:
p: Denise é nascida em Belo Horizonte.
q: João Miguel é analista de sistemas.
A conjunção indicada pelo conectivo lógico “e” é estruturada na 
linguagem formal da seguinte forma: Denise é nascida em Belo 
Horizonte e João Miguel é analista de sistemas. Na linguagem 
simbólica, teremos: p ʌ q.
A tabela-verdade para a conjunção é apresentada a seguir 
(TABELA 5). Em sua construção, foi considerado o primeiro critério 
apresentado no QUADRO 2, a saber:
1º critério: uma conjunção só será verdadeira se todas as 
proposições simples que a originaram forem também verdadeiras.
Assim, basta que uma das proposições simples seja falsa para que 
a conjunção seja – toda ela – falsa. Desse modo, obviamente, o 
resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições 
componentes forem falsas.
TABELA 5 – Tabela-verdade do exemplo 34
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q p q
Fonte: elaborada pelos autores.
V
A palavra disjunção 
nos dá a ideia de 
coisas separadas, 
no contexto do 
raciocínio lógico 
significa, que 
devemos escolher 
uma OU outra 
coisa, como 
veremos a seguir
unidade 5
122
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 35: Disjunção de duas proposições
A palavra disjunção nos dá a ideia de coisas separadas, significando, 
no contexto do raciocínio lógico, que devemos escolher uma OU 
outra coisa, como veremos a seguir.
Sejam as seguintes proposições:
p: Rosângela mora em Vitória.
q: Wagner é economista.
A conjunção indicada pelo conectivo “ou” é estruturada na 
linguagem formal da seguinte forma: Rosangela mora em Vitória ou 
Wagner é economista. Na linguagem simbólica teremos: p v q.
Conforme já estudamos, a tabela-verdade para essa estrutura será 
montada conforme consta na TABELA 6. Na sua construção, foi 
considerado o segundo critério, apresentado no QUADRO 2.
2º Critério: uma disjunção será verdadeira se ao menos uma das 
proposições simples que a originaram forem também verdadeiras. 
Se ambas forem falsas, a disjunção também será falsa.
TABELA 6 – Tabela-verdade do exemplo 36 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
p q p v q
Fonte: Elaborada pelos autores.
Exemplo 36: Disjunção exclusiva de duas proposições
É possível que você um dia concorra a uma única vaga de gerente 
da empresa na qual trabalha. Nesse caso, você poderia dizer a um 
colega seu, que também tem as competências para ser nomeado: 
"ou eu serei o novo gerente, ou você será o novo gerente".
É uma disjunção 
porque utiliza o "ou" 
e é exclusiva porque 
não aceita que as 
duas proposições 
sejam verdadeiras 
ao mesmo tempo.
unidade 5
123
RACIOCÍNIO LÓGICO
Essas sentenças têm os seguintes significados:
a. um de nós dois irá ocupar a vaga de gerente (não ambos);
b. só um de nós poderá ocupar a vaga de gerente (nunca 
seremos, juntos, gerentes da mesma vaga, pois este cargo 
só admite um gerente.
Dessa forma, quando usamos a estrutura da disjunção exclusiva, 
"ou p ou q", estamos representando uma situação em que as duas 
proposições precisam ter valor lógico diferentes, para que o "p v q" 
seja verdadeiro. Isto é, se uma das proposições for verdadeira, a 
outra, obrigatoriamente, terá que ser falsa.
É uma disjunção porque utiliza o "ou" e é exclusiva porque não aceita 
que as duas proposições sejam verdadeiras ao mesmo tempo.
Assim, as expressões a seguir têm valores lógicos completamente 
diferentes.
a. Eu serei o gerente ou você será o gerente.
b. Ou eu serei o gerente ou você será o gerente.
Na primeira frase, temos um exemplo da disjunção: tanto faz se eu 
for o nomeado, se você for o nomeado ou se nós dois formos os 
nomeados – a proposição composta será verdadeira (veja a tabela 
6, apresentada anteriormente).
No caso da segunda frase, em que temos uma disjunção exclusiva, 
as duas sentenças terão que ter valor lógico diferentes, para que a 
proposição seja verdadeira.
Vejamos, então, outro exemplo de fácil entendimento:
p: Hugo é mineiro.
q: Hugo é paulista.
No caso da segunda 
frase, em que temos 
uma disjunção 
exclusiva, as duas 
sentenças terão 
que ter valor lógico 
diferentes, para que 
a proposição seja 
verdadeira.
unidade 5
124
RACIOCÍNIO LÓGICO
Nesse sentido, 
utilizamos uma 
das ferramentas de 
argumentação mais 
poderosa que existe, 
que é a implicação 
lógica.
A disjunção exclusiva, também indicada pelo conectivo “ou...ou” 
será estruturada na linguagem formal da seguinte forma: ou Hugo é 
mineiro ou Hugo é paulista. Na linguagem simbólica teremos p v q.
Como você sabe, não existe a possibilidade de Hugo, uma única 
pessoa, ser mineiro e paulista ao mesmo tempo.
A tabela-verdade para a disjunção exclusiva é montada da seguinte 
forma (TABELA 7). Na sua construção, foi considerado o terceiro 
critério, apresentado no QUADRO 2.
3º Critério: uma disjunção exclusiva será verdadeira se uma das 
proposições simples for verdadeira e a outra, falsa. Nos demais 
casos, quando ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas, a 
disjunção exclusiva será falsa.
TABELA 7 – Tabela-verdade do exemplo 37 
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
p q p qV
Fonte: elaborada pelos autores.
Exemplo 37: Estrutura condicional
Em diversas situações da vida profissional e pessoal em que é 
preciso resolver problemas, devemos estar atentos em nossas 
decisões, para não errarmos em nossos diagnósticos como, por 
exemplo, identificar as relações de causa-efeito entre dois ou mais 
elementos.
Nesse sentido, utilizamos uma das ferramentas de argumentação 
mais poderosa que existe, que é a implicação lógica. Assim, dizer 
que uma coisa implica outra é dizer que a segunda é consequência 
obrigatória da primeira. Por isso, se for usada intuitivamente pode 
conduzir a numerosos erros.
unidade 5
125
RACIOCÍNIO LÓGICO
A estrutura 
bicondicional "se, 
e somente se" cria 
uma dependência 
de duas vias, isto 
é, se uma das 
coisas acontecer, 
é certo que a outra 
acontecerá.
Para a montagem dessa estrutura condicional, trabalharemos o 
seguinte exemplo:
p: Lúcia terminará o seu trabalho até 19 horas.
q: Lúcia irá ao cinema.
A estrutura condicional utiliza a sequência “se ... p então q”. 
Aplicando o exemplo acima, teremos: Se Lúcia terminar o seu 
trabalho até 19 horas, então ela irá ao cinema. Simbolicamente 
teremos p → q. 
Na construção da tabela-verdade (TABELA 8), foi considerado o 
quarto critério, apresentado no QUADRO 2:
4º Critério: a estrutura condicional será falsa somente quando a 1ª 
proposição simples for verdadeira e a 2ª for falsa. Em qualquer outro 
caso, essa estrutura será verdadeira.
TABELA 8 – Tabela-verdade do exemplo 38
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
p q p → q
Fonte: elaborada pelos autores.
Exemplo 38: Estrutura bicondicional
A estrutura bicondicional "se, e somente se" cria uma dependência 
de duas vias, isto é, se uma das coisas acontecer, é certo que a 
outra acontecerá. E o inverso disso também é verdadeiro, ou seja, 
se uma das coisas não acontecer, a outra não acontecerá.
Para a montagem dessa estrutura, analisaremos as seguintes 
proposições:
p: Edna viajará de férias.
unidade 5
126
RACIOCÍNIO LÓGICO
A estrutura 
bicondicional "se, 
e somente se" cria 
uma dependência 
de duas vias, isto 
é, se uma das 
coisas acontecer, 
é certo que a outra 
acontecerá. 
q: Carlos comprará um carro novo.
A estruturabicondicional utiliza a sequência “p se, e somente se, 
q”. Aplicando o exemplo acima, teremos: Edna viajará de férias 
se e somente se Carlos comprar um carro novo. Na linguagem 
simbólica, teremos p ↔ q.
Na construção da tabela-verdade (TABELA 9), foi considerado o 
quinto critério, apresentado no QUADRO 2.
5º Critério: a bicondicional será verdadeira somente quando as 
proposições simples forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Em 
qualquer outro caso, a bicondicional será falsa.
TABELA 9 – Tabela-verdade do exemplo 39
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
p q p ↔ q
Fonte: elaborada pelos autores.
Exemplo 39: Negação de uma proposição simples
p: Maria Lúcia é dentista (linguagem formal).
Uma proposição simples acarretará numa tabela-verdade de 
apenas duas linhas (TABELA 10). Essa tabela-verdade indica que, 
se Maria Lúcia realmente é dentista, a primeira possibilidade é a de 
a resposta ser verdadeira (V); caso ela não seja dentista, a segunda 
opção é de a resposta ser falsa (F).
TABELA 10 – Tabela-verdade do exemplo 40 com uma proposição
p
V
F
Fonte: elaborada pelos autores.
unidade 5
127
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na negação de p, utiliza-se o símbolo (~) ou o símbolo (¬), 
escrevendo: ~p ou ¬p. Assim, a tabela-verdade para a negação da 
proposição p inverte todos os valores lógicos obtidos na anterior 
(TABELA 10), que ficam definidos conforme a TABELA 11. Nela foi 
considerado o sexto critério apresentado no QUADRO 2.
6º Critério: dada uma proposição p, podemos obter outra proposição 
~p, ¬p (não p), chamada de negação da proposição p, cujo valor 
lógico será sempre oposto ao de p.
TABELA 11 – Tabela-verdade do exemplo 40 
com negação da proposição 
p
V
F
~p ou ¬p
F
V
Fonte: elaborada pelos autores.
O que é negar uma proposição? Observe que, na tabela-verdade, a 
negação de p (~p ou ¬p) é “Maria Lúcia não é dentista”. 
Ora, se Maria Lúcia realmente for dentista, negar essa proposição 
será, consequentemente, uma proposição falsa.
Por outro lado, se Maria Lúcia não for dentista, a negação dessa 
proposição estará efetivamente afirmando que “Maria Lúcia não é 
dentista”. Logo, essa negação da proposição inicial será verdadeira.
Sintetizando, a tabela-verdade de uma negação consiste em inverter 
todos os valores lógicos da proposição inicial.
A seguir, o QUADRO 3 apresenta um resumo das relações entre as 
proposições simples estudadas.
unidade 5
128
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUADRO 3 - Resumo das relações entre proposições simples
Fonte: elaborada pelos autores.
Conjunção (E): p Λ q
Disjunção (OU): p v q
Disjunção exclusiva (OU...OU): 
p v q
Condicional (SE...ENTÃO): p → q
Bicondicional (SE E SOMENTE 
SE): p ↔ q
Negação (NÃO): ~p ou ¬p
ambas são verdadeiras
uma das duas é verdadeira
se uma for verdadeira 
e a outra falsa
demais casos
as duas tiverem valores 
 lógicos iguais
p é falsa
uma delas é falsa
as duas são falsas
ambas verdadeiras 
ou ambas falsas
p é verdadeira e q é falsa
as duas tiverem 
valores lógicos diferentes
p é verdadeira
TIPO DE ESTRUTURA LÓGICA É verdadeira quando É falsa quando
Tabelas-verdade para 
proposições compostas
Já conhecemos as regras principais a serem utilizadas na 
formulação das questões simples. Quando utilizamos estruturas 
compostas, é necessário combinar na ordem em que se apresentam 
e obter a resposta adequada para todas as possibilidades. 
Dessa forma, aprendemos a construir, pelo menos, seis tabelas- 
verdade de proposições compostas: conjunção, disjunção, 
disjunção exclusiva, condicional, bicondicional e negação.
Com esse conhecimento prévio, estamos aptos a construir 
tabelas-verdade de qualquer outra proposição formada por duas 
proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição 
composta da seguinte forma: P (p, q).
Para efeito prático, consideremos três proposições para o 
desenvolvimento do exemplo 41.
unidade 5
129
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 40: Proposição composta por três 
proposições simples
Considere estas três proposições simples:
p: Bárbara é médica.
q: Cibele fala inglês.
r : Eugênio mora na Bahia.
1. Considere a seguinte proposição composta: Bárbara é 
médica ou Cibele fala inglês e Eugênio mora na Bahia.
2. Inicialmente, devemos converter os termos da linguagem 
formal para a linguagem simbólica: p v q Λ r. 
3. Conforme vimos anteriormente, a montagem de uma 
tabela-verdade de três proposições deverá ter 23 = 8 
linhas e contemplar todas as possibilidades de montagem 
existentes, conforme TABELA 13.
4. A coluna 1 refere-se à proposição p: consideramos as 
quatro primeiras possibilidades como V e as quatro 
seguintes como F.
5. A coluna 2 refere-se à proposição q e a montagem é 
realizada com duas alternativas V, seguidas por duas 
alternativas F.
6. A coluna 3 refere-se à proposição r, e colocamos 
alternadamente V e F em todas as posições da coluna.
7. A coluna 4 é a resolução (p v q). Nesse caso, a coluna 3, que 
contém as alternativas da proposição r, não é utilizada.
8. E, finalmente, temos a resposta final na coluna 5.
9. Essa resposta é construída com a resposta da coluna 4, o 
conectivo “e” e a coluna 3, resultando em (p v q) ʌ r.
unidade 5
130
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 12 – Tabela-verdade do exemplo 41
Fonte: elaborada pelos autores.
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha 6
Linha 7
Linha 8
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q r (p v q) (p v q) Λ r
Coluna 2Coluna 1 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5
Exemplo 41: Outra possibilidade para o exemplo 41
Seja a seguinte proposição composta: Bárbara não é médica ou 
Eugênio mora na Bahia se, e somente se, Giovane estuda Filosofia e 
Eugênio mora na Bahia.
p : Bárbara é médica.
r : Eugênio mora na Bahia.
s : Giovane estuda Filosofia.
1. Seguindo o mesmo roteiro utilizado no exemplo 41, 
passaremos da linguagem formal para a linguagem 
simbólica. Assim: ~p v r ↔ s Λ r.
2. São também três proposições (p, r, s) utilizadas nessa 
estrutura, embora a proposição “r” apareça duas vezes.
3. Logo, teremos novamente uma tabela-verdade com oito 
linhas, pois a tabela-verdade de três proposições deverá ter 
23 = 8 linhas, conforme mostra a TABELA 13.
4. Teremos sete colunas, que são as seguintes:
5. Coluna 1: proposição p.
unidade 5
131
RACIOCÍNIO LÓGICO
 São também três 
proposições (p, r, 
s) utilizadas nessa 
estrutura, embora 
a proposição “r” 
apareça duas vezes.
6. Coluna 2: negação da proposição p ( negação da coluna 1).
7. Coluna 3: proposição r.
8. Coluna 4: proposição s.
9. Coluna 5: ~p v r ( coluna 2 ou coluna 3).
10. Coluna 6: s Λ r ( coluna 4 e coluna 3).
11. Coluna 7: ~p v r ↔ s Λ r ( coluna 5 se, e somente se, coluna 6).
12. O desenvolvimento das alternativas em cada coluna é 
executado numa ordem natural das operações.
13. A coluna 1 são as possibilidades existentes para a 
proposição p.
14. A coluna 3 são as possibilidades existentes para a 
proposição r.
15. A coluna 4 são as possibilidades existentes para a 
proposição s.
16. Para facilitar a construção dessa tabela, optamos 
por apresentar a negação de “p”, alterando todos os 
operadores lógicos da coluna 2.
17. Os dois resultados intermediários estão apresentados 
nas colunas 5 e 6, e o resultado final, destacado na 
coluna 7.
unidade 5
132
RACIOCÍNIO LÓGICO
Utilização de parêntesis para 
proposições compostas
Para evitar ambiguidade, é necessário colocar parêntesis na 
simbolização das proposições.
Observe que a expressão p v q Λ r poderia conduzir a duas expressões 
que apresentariam resultados diferentes em suas respectivas 
tabelas-verdade: 
1ª opção: (p v q ) Λ r
2ª opção: p v (q Λ r)
Essas expressões não têm o mesmo significado, pois na 1ª opção, 
o conectivo principal é o “Λ”, e, na 2ª opção, o conectivo principal é o 
“v”. Ou seja, a 1ª é uma conjunção e a 2ª, uma disjunção.
Outro exemplo é dado pela seguinte expressão: p Λ q → r v s. Aocolocar parêntesis, obtêm-se diferentes expressões que, por sua 
vez, produzem diferentes resultados:
1ª opção: ((p Λ q) → r) v s 
TABELA 13 – Tabela-verdade do exemplo 42
Fonte: elaborada pelos autores.
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha 6
Linha 7
Linha 8
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
p ~p r s ~p v r s Λ∧r ~p v r ↔ s∧Λ r
Coluna 2Coluna 1 Coluna 3 Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Coluna 7
unidade 5
133
RACIOCÍNIO LÓGICO
Por outro lado, em 
muitos casos, os 
parêntesis podem 
ser suprimidos, a fim 
de simplificarmos 
as proposições 
simbolizadas, desde 
que não apareçam 
ambiguidades.
2ª opção: p Λ (( q → r) v s)
3ª opção: (p Λ ( q → r)) v s
4ª opção: p Λ (q → (r v s )
5ª opção: (p Λ q ) → (r v s)
Por outro lado, em muitos casos, os parêntesis podem ser 
suprimidos, a fim de simplificarmos as proposições simbolizadas, 
desde que não apareçam ambiguidades.
Para que possamos suprir parêntesis, estabeleceremos algumas 
convenções.
I. A ordem de precedência para os conectivos é:
1ª) Bicondicional: ↔
2ª) Condicional: →
3ª) Conjunção v e Disjunção: Λ
4ª) Negação: ~
Assim, podemos dizer que o conectivo “mais fraco” é a negação, 
e o “mais forte” é a bicondicional. Por exemplo: a proposição 
p → q ↔ s Λ r é uma bicondicional, e nunca uma condicional ou 
uma conjunção. Para convertê-la numa proposição condicional, 
temos que usar parêntesis:
p → (q ↔ s Λ r)
Para convertê-la numa conjunção, colocamos o parêntesis da 
seguinte maneira: (p → q ↔ s) Λ r
II. Quando um mesmo conectivo aparecer várias vezes 
repetidamente, supriremos os parêntesis, fazendo associações 
a partir da esquerda.
unidade 5
134
RACIOCÍNIO LÓGICO
Identificamos, nessa 
estrutura, quatro 
proposições e cinco 
conectivos, incluindo 
uma negação. 
Assim, de acordo com essas duas convenções, a proposição 
((~(~(p ʌ q))) v ( ~p )) poderá ser simplificada em: ~~(p ʌ q) v ~p.
Dessa forma, para evitar possíveis ambiguidades, utilizaremos o 
parêntesis em nosso curso, conforme demonstrado no exemplo 42..
Exemplo 42
Vamos agora estudar uma estrutura um pouco mais extensa, 
que utilizará todos os conectivos aprendidos até o momento: 
p → q Λ r ↔ ~p v s
Identificamos, nessa estrutura, quatro proposições e cinco 
conectivos, incluindo uma negação. Sem a utilização de parêntesis, 
essa estrutura necessitaria do estabelecimento da hierarquia 
de execução citada acima. A operação principal é, então, uma 
bicondicional que divide toda a estrutura.
Obedecendo a essa hierarquia e utilizando adequadamente os 
parêntesis, temos a seguinte estrutura: (p → (q Λ r)) ↔ (~p v s).
A ordem então das operações é a seguinte:
a) negação de p
b) conjunção e disjunção: (q Λ r) e (~p v∧s)
c) condicional: (p → (q Λ r))
d) bicondicional: (p → (q Λ r)) ↔ (~p v s)
Criemos a tabela-verdade (tabela 14), que conterá 16 linhas e 9 
colunas, sendo estas assim distribuídas:
Coluna 1 – Proposição p (8 linhas iniciais V e 8 linhas F).
Coluna 2 – Proposição q (2 conjuntos de 4 linhas iniciais V e 4 linhas F).
Coluna 3 – Proposição r (4 conjuntos de 2 linhas iniciais V e 2 linhas F).
unidade 5
135
RACIOCÍNIO LÓGICO
Coluna 4 – Proposição s (V e F alternadamente).
Coluna 5 – Negação de p (coluna 1).
Coluna 6 – Conjunção das colunas 2 e 3.
Coluna 7 – Condicional da coluna 1 com a coluna 6.
Coluna 8 – Disjunção da coluna 5 com a coluna 4.
Coluna 9 – Bicondicional da coluna 7 com a coluna 8.
TABELA 14 – Tabela-verdade do exemplo 43
Fonte: elaborada pelos autores.
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha 6
Linha 7
Linha 8
Linha 9
Linha 10
Linha 11
Linha 12
Linha 13
Linha 14
Linha 15
Linha 16
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
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F
V
V
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F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
p q r s ~p (q ʌ r) (p → (q ʌ r)) (~p ∧ s) (p→(q Λ r)) ↔(~p v s)
Coluna 1 Coluna 3 Coluna 5 Coluna 7Coluna 2 Coluna 4 Coluna 6 Coluna 8 Coluna 9
V
Essas regrinhas que acabamos de aprender deverão ser bem 
compreendidas. Mas, não se preocupe, pois não é preciso decorar 
as tabelas-verdade. Elas servirão apenas para tirar uma conclusão 
sobre algum resultado.
No nosso dia a dia, estamos, a todo tempo, tomando decisões, e 
fazemos isso com base em análises de determinadas situações. 
unidade 5
136
RACIOCÍNIO LÓGICO
Entre as aplicações práticas que podemos citar como exemplo 
encontra-se o caso de descobrir se um empregado perpetrou uma 
fraude no sistema. Para que esta suspeita seja verdade pode ser 
necessário definir e verificar determinadas proposições tais como:
p: O empregado tinha permissão para acessar o sistema na data da 
fraude.
q: O empregado tinha permissões que lhe permitiam alterar a 
informação fraudada.
r: O próprio empregado acessou e adulterou os dados na data em 
questão. 
Embora talvez não seja necessário elaborar a tabela verdade 
para combinar as proposições anteriores, fica claro que estamos 
usando o mesmo tipo de raciocínio para chegar a uma conclusão. 
Em casos mais complexos, com mais proposições ou operações 
variadas, a construção da tabela verdade poderá ser indispensável e 
o conhecimento aqui adquirido será muito útil.
Na próxima unidade, utilizaremos esses conhecimentos para 
estudarmos as diferenças entre proposições classificadas como 
tautologias, contradições ou contingências.
unidade 5
137
RACIOCÍNIO LÓGICO
Às vezes, é bastante útil saber usar a tabela-verdade para uma dada 
proposição, pois a resposta de uma questão de prova pode ser obtida de 
forma segura e confiável. E, por esse motivo, vamos aprender a construí-
las passo a passo, por meio do exemplo 44, apresentado abaixo.
Exemplo 43
Suponhamos que, numa questão de prova, seja solicitada a construção de 
uma tabela-verdade para a seguinte proposição:
P (p, q, r) = (p Λ ~q) → (q v ~r) 
A leitura dessa proposição é a seguinte: SE p E NÃO q, ENTÃO q OU NÃO r. 
Vamos fazer esse exercício?
Primeiramente, montamos a tabela-verdade e suas possíveis linhas e 
colunas (TABELA 15). Em seguida, começamos a preenchê-la, seguindo 
os seguintes passos:
1o passo: preenchimento da estrutura inicial da tabela-verdade para as 
três proposições p, q e r
TABELA 15 – Construção da tabela-verdade do exemplo 44 – 1o passo
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
q r ~q (p Λ ~q) (q v ~r) (p Λ ~q) → (q v ~r)~rp
Fonte: elaborada pelos autores.
unidade 5
138
RACIOCÍNIO LÓGICO
Para iniciar as soluções, começaremos pelos parênteses, pois temos que 
seguir uma ordem de precedência. Começaremos pela quinta coluna.
2o passo: negação da preposição q (não q ou ~ q ou ¬q)
TABELA 15 – Construção da tabela-verdade do exemplo 44 – 2o passo
TABELA 15 – Construção da tabela-verdade do exemplo 44 – 3o passo
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
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V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
q
q
r
r
~q 
~q 
(p Λ ~q)
(p Λ ~q)
(q v ~r)
(q v ~r)
(p Λ ~q) → (q v ~r)
(p Λ ~q) → (q v ~r)
~r
~r
p
p
Fonte: elaborada pelos autores.
Fonte: elaborada pelos autores.
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
3o passo: conjunção do primeiro parêntese
Lembremos das regras resumidas no quadro 3: a conjunção será 
verdadeira somente se as duas proposições forem verdadeiras. Assim, 
temos:
unidade 5
139
RACIOCÍNIO LÓGICO
4o passo: negação da proposição r
TABELA 15 – Construção da tabela-verdade do exemplo 44 – 4o passo
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
VF
V
F
V
F
V
F
q r ~q (p Λ ~q) (q v ~r) (p Λ ~q) → (q v ~r)~rp
Fonte: elaborada pelos autores.
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
5o passo: disjunção do segundo parêntese
Lembremos que a disjunção só será falsa se as duas proposições forem 
falsas. 
TABELA 15 – Construção da tabela-verdade do exemplo 44 – 5o passo
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
q r ~q (p Λ ~q) (q v ~r) (p Λ ~q) → (q v ~r)~rp
Fonte: elaborada pelos autores.
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
6o passo: disjunção do segundo parêntese
Finalmente preencheremos a coluna da condicional. Lembre-se de que a 
condicional será falsa somente se o primeiro parágrafo for verdadeiro e o 
segundo, falso. 
Assim, finalizamos o preenchimento da tabela-verdade:
unidade 5
140
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 15 – Construção da tabela-verdade do exemplo 44 – 6o passo
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
q r ~q (p Λ ~q) (q v ~r) (p Λ ~q) → (q v ~r)~rp
Fonte: elaborada pelos autores.
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
Você pode estar se perguntando como poderia aplicar essa metodologia 
que acabou de aprender em situações de trabalho, entrevista de emprego 
etc. A resposta é: basta que você analise cada proposição, construa a 
tabela-verdade com seus conectivos lógicos e interprete os valores lógicos 
das proposições (verdadeiro ou falso).
Lembre-se de que, em todas as situações do dia a dia ou da nossa vida 
profissional ou estudantil, uma das coisas mais importantes é a precisão 
na sua comunicação.
Agora você já está apto a construir tabelas-verdade para proposições 
compostas de várias proposições. Porém, sugerimos que você faça o 
maior número possível de exercícios, a fim de ter uma boa capacidade de 
compreensão e de transmissão – entender bem o que você transmite, o 
que é transmitido e transmitir aos outros com precisão.
unidade 5
141
RACIOCÍNIO LÓGICO
Revisão
Nesta unidade, vimos os diferentes tipos de proposições simples 
e compostas e como se constrói uma tabela-verdade, a partir de 
estruturas lógicas usadas nessas tabelas, a saber:
1) conjunção – conectivo “e”
2) disjunção – conectivo “ou”
3) disjunção exclusiva – conectivo “ou ... ou” 
4) condicional – estrutura “se ... então”
5) bicondicional – estrutura “se, e somente se”
6) negação
Com o emprego das operações lógicas fundamentais, foi 
possível construir as tabelas-verdade correspondentes a 
qualquer proposição composta, mostrando os casos em que são 
verdadeiras (V) ou falsas (F) – lembrando sempre que seus valores 
lógicos dependem dos valores lógicos das proposições simples 
componentes.
Para cada uma das seis situações de estrutura lógica e suas 
combinações, foram consideradas as análises das respostas 
às proposições simples e seus resultados de análise final, o que 
facilitará o nosso estudo nas unidades seguintes.
Indicamos o site Rachacuca, que disponibiliza uma variedade de jogos, 
que podem ser usados para treinar a teoria aqui aprendida, aplicando as 
técnicas de resolução de problemas lógicos.
Rachacuca. Disponível em: <http://rachacuca.com.br/logica/problemas/>. 
Acesso em 26 maio 2015.
http://rachacuca.com.br/logica/problemas/
Tautologias, 
contradições 
e contingências
• Definição de 
tautologia 
• Definição de 
contradição
• Definição de 
contingência
• Revisão
Introdução
Já estudamos nas unidades anteriores as regras para formulação 
das proposições, a sintaxe da linguagem simbólica e a montagem 
de tabelas-verdade para cada proposição, e também para estruturas 
completas, formadas por várias proposições e conectivos lógicos 
diferentes.
Nesta unidade, vamos trabalhar com alguns conceitos muito 
importantes em nosso estudo, que são as tautologias, as 
contradições e as contingências.
Quando estamos buscando encontrar a solução para um problema, 
devemos analisar todas as alternativas possíveis e tomar a nossa 
decisão baseada nas consequências de cada elemento envolvido 
na formulação do problema.
A nossa decisão da forma como iremos resolver esse problema 
será uma consequência de uma análise criteriosa de todas as 
possibilidades existentes para a construção de um roteiro a ser 
seguido. São escolhas e caminhos que teremos de percorrer para 
solucionar o problema.
Entretanto, existem situações em que o resultado final será sempre 
o mesmo, não importando as etapas intermediárias a serem 
seguidas. Existe um antigo e conhecido ditado popular que pode 
perfeitamente explicar esse fato: “Todos os caminhos levam a 
Roma”. Isso significa que não importam as etapas intermediárias 
que iremos percorrer, o resultado final será sempre o mesmo.
O estudo das estruturas tautológicas, como também das 
contradições, nos levará, invariavelmente, ao mesmo tipo de 
resposta final. As tautologias sempre conduzirão a um tipo de 
resposta, enquanto as contradições levarão a outra resposta, porém 
respostas idênticas em cada caso.
Do outro lado teremos as contingências, estruturas que 
apresentarão respostas diferentes para as várias possibilidades.
Então, vamos iniciar aqui o estudo particular dessas três importantes 
estruturas que compõem o nosso curso de Raciocínio Lógico.
unidade 6
145
RACIOCÍNIO LÓGICO
Definição 
de tautologia
Define-se tautologia como sendo toda a proposição composta 
cuja última coluna da sua tabela-verdade apresenta somente 
valores lógicos verdadeiros, independente dos valores lógicos das 
proposições simples que a originaram.
Nas unidades anteriores, aprendemos as principais regras que 
utilizamos na formulação de estruturas simples, na sua combinação, 
formando estruturas compostas por meio dos conectivos lógicos. 
Também aprendemos a construir, pelo menos, seis tabelas-verdade 
de proposições compostas. As tabelas-verdade da conjunção, da 
disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional, da bicondicional e 
da negação.
Aprendemos também a verificar se as proposições compostas 
teriam valores lógicos Verdadeiros (V) ou Falsos (F), em função dos 
conectivos lógicos que as formavam, conforme QUADRO 4, a seguir.
TIPO DE ESTRUTURA 
LÓGICA É VERDADEIRA QUANDO É FALSA QUANDO
Conjunção: p ˄ q
Disjunção: p ˅ q
Disjunção exclusiva: p ˅ q
Condicional: p → q
Bicondicional: p ↔ q
Negação: não p ou ~ p ou ¬ p
ambas são verdadeiras
uma das duas é verdadeira
se uma for verdadeira e a outra, falsa
ambas são verdadeiras ambas são 
falsas p é falsa e q é verdadeira
as duas tiverem 
valores lógicos iguais
p é falsa
uma delas é falsa
as duas são falsas
ambas verdadeiras ou ambas 
falsas
p é verdadeira e q é falsa
as duas tiverem valores 
lógicos diferentes
p é verdadeira
QUADRO 4 – Resumo das relações entre proposições simples 
Fonte: Elaborado pelos autores.
unidade 6
146
RACIOCÍNIO LÓGICO
Define-se tautologia 
como sendo toda 
a proposição 
composta cuja 
última coluna 
da sua tabela-
verdade apresenta 
somente valores 
lógicos verdadeiros, 
independente dos 
valores lógicos das 
proposições simples 
que a originaram.
Para a construção da tabela-verdade e sua análise, devemos seguir 
os seguintes passos:
1. Começar sempre pelas proposições simples e suas 
negações, se houver;
2. Resolver os conteúdos dos parênteses, colchetes e chaves, 
nessa ordem, se houver;
3. Resolver conjunções, disjunções, condicionais e 
bicondicionais, nessa ordem;
4. A última coluna da tabela-verdade deverá conter toda a 
proposição;
5. Analisar a última coluna da tabela verdade, para verificar 
em qual tipo ela se enquadra: tautologia, contradição ou 
contingência.
As tautologias são também chamadas de proposições tautológicas 
ou proposições logicamente verdadeiras.
Exemplo 45
Verificar se a seguinte proposição é tautológica: “Amanhã vou viajarou amanhã não vou viajar”.
Temos duas possibilidades:
p: amanhã vou viajar
~p: amanhã não vou viajar.
Em linguagem lógica, temos p v ~p, cuja tabela-verdade (TABELA 
16) é apresentada a seguir. Lembrando que uma disjunção será 
verdadeira quando uma das proposições simples for verdadeira, 
conforme QUADRO 4, precedente.
unidade 6
147
RACIOCÍNIO LÓGICO
Como na última 
coluna só temos 
valores verdadeiros, 
essa proposição é 
uma tautologia.
p ~p p ˅~p
V
F
F
V
V
V
tautologia
TABELA 16 – Tabela-verdade do exemplo 45
Fonte: Elaborado pelos autores.
Evidentemente que uma das situações irá acontecer: Amanhã vou 
viajar ou amanhã não vou viajar. Como na última coluna só temos 
valores verdadeiros, essa proposição é uma tautologia.
Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira, ou é falsa, é 
sempre verdadeiro. Isso se constitui no “Princípio do terceiro 
excluído”, (ALENCAR FILHO, 2002, p.44)
Exemplo 46
Verificar se a proposição “É falso que Geraldo vai casar e que 
Geraldo não vai casar” é uma tautologia.
Temos duas possibilidades:
p: Geraldo vai casar.
~p: Geraldo não vai casar.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: ~(p ˄ ~p). 
Na construção da tabela-verdade (TABELA 17) foi considerada que 
a conjunção é verdadeira quando ambas as proposições simples 
são verdadeiras (QUADRO 4).
unidade 6
148
RACIOCÍNIO LÓGICO
Verificar se a 
proposição “Heloisa 
é chata ou não é 
verdade que Heloisa 
é chata e Helena 
é gente boa” é 
tautológica.
p ~p p ˄ ~p ~ (p ˄ ~p)
V
F
F
V
F
F
V
V
tautologia
TABELA 17 – Tabela-verdade do exemplo 46
Fonte: Elaborado pelos autores.
Verifica-se que uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, 
V e F. É sempre verdadeiro. Isso se constitui no “Princípio da não 
contradição”, (ALENCAR FILHO, 2002, p.43)
Exemplo 47
Verificar se a proposição “Heloisa é chata ou não é verdade que 
Heloisa é chata e Helena é gente boa” é tautológica.
Temos duas possibilidades:
p: Heloisa é chata.
q: Helena é gente boa.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p∧˅ ~ (p ˄ q)). 
Para a construção da tabela-verdade (TABELA 18) foi consultado 
o QUADRO 4, em que consta que a conjunção será verdadeira 
quando ambas as proposições simples forem verdadeiras. Já a 
disjunção será verdadeira quando uma das proposições simples for 
verdadeira.
unidade 6
149
RACIOCÍNIO LÓGICO
Verificar se a 
proposição “Se 
Fernanda é a filha 
e Márcia é a mãe, 
então Fernanda é a 
filha se e somente 
se Márcia é a mãe” é 
tautológica.
p q p ˄ q ~ (p ˄ q) p ˅(~ (p ˄ q))
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
tautologia
TABELA 18 – Tabela-verdade do exemplo 47
Fonte: Elaborado pelos autores.
Exemplo 48
Verificar se a proposição “Se Fernanda é a filha e Márcia é a 
mãe, então Fernanda é a filha se e somente se Márcia é a mãe” é 
tautológica.
Temos duas possibilidades:
p: Fernanda é a filha.
q: Márcia é a mãe.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˄ q) → (p ↔ q))
Nesse caso, além da conjunção, temos uma implicação lógica 
(condicional) e uma bicondicional. Para a construção da tabela- 
verdade (TABELA 19), foi consultado o QUADRO 4, em que consta 
que uma condicional só será falsa se a 1ª proposição for verdadeira 
e a 2ª falsa. Nos demais casos, ela será sempre verdadeira. E uma 
bicondicional será sempre verdadeira se as duas proposições 
tiverem valores lógicos iguais.
unidade 6
150
RACIOCÍNIO LÓGICO
Tabela 19 – Tabela-verdade do exemplo 48
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ˄ q (p ↔ q) (p ˄ q) → (p ↔ q))
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
tautologia
Exemplo 49
Verificar se a proposição “Se Bernardo é lindo e Ana Luíza é linda, 
Bernardo é lindo ou Ana Luíza é linda “ é tautológica.
Temos duas possibilidades:
p: Bernardo é lindo.
q: Ana Luíza é linda.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˄ q) → (p ˅ q)).
Para a construção da tabela-verdade (TABELA 20) foi consultado o 
QUADRO 4, em que consta que a conjunção será verdadeira quando 
ambas as proposições simples forem verdadeiras. A disjunção será 
verdadeira quando uma das proposições simples for verdadeira. Já a 
condicional só será falsa se a 1ª proposição for verdadeira e a 2ª falsa.
TABELA 20 – Tabela-verdade do exemplo 49
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ˄ q (p ˅ q) (p ˄ q) → (p ˅ q))
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
tautologia
unidade 6
151
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 50
Verificar se a proposição “Se Bernardo é namorado de Camila 
ou Camila é bonita e Camila é feia, se e somente se Bernardo é 
namorado de Camila” é tautológica.
Temos três possibilidades:
p: Bernardo é namorado de Camila.
q: Camila é bonita.
~q: Camila é feia (é o mesmo que dizer que Camila não é bonita).
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˅ (q ˄∧~ q) ↔ p)).
Na construção da tabela-verdade (TABELA 21) foi considerado o 
QUADRO 4, em que consta que a conjunção será verdadeira quando 
ambas as proposições simples forem verdadeiras. A disjunção será 
verdadeira quando uma das proposições simples for verdadeira. 
Já a bicondicional será sempre verdadeira se as duas proposições 
tiverem valores lógicos iguais.
TABELA 21 – Tabela-verdade do exemplo 50
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q ~q (q ˄∧~ q) p∧˅ (q ˄∧~ q) (p ˅ (q ˄∧~ q) ↔ p)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
tautologia
unidade 6
152
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 51
Verificar se a proposição “Se Naime é pedagoga e Wanderson 
é gerente, então Naime não é atriz ou Wanderson é gerente “ é 
tautológica.
Temos três possibilidades:
p: Naime é pedagoga.
~q: Naime não é atriz.
r : Wanderson é gerente.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˄ r) → (~q ˅ r)
Na construção da tabela-verdade (TABELA 22) foi considerado o 
QUADRO 4, em que consta que a conjunção será verdadeira quando 
ambas as proposições simples são verdadeiras. A disjunção será 
verdadeira quando uma das proposições simples for verdadeira. Já a 
condicional só será falsa se a 1ª proposição for verdadeira e a 2ª falsa.
V
V
V
V
V
V
V
V
tautologia
TABELA 22 – Tabela-verdade do exemplo 51
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q r q (p ˄ r) (~q ˅ r) (p ˄ r) → (~q ˅ r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
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F
F
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V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
unidade 6
153
RACIOCÍNIO LÓGICO
Define-se 
contradição como 
toda a proposição 
composta cuja 
última coluna da 
sua tabela-verdade 
apresente somente 
valores lógicos 
falsos, independente 
dos valores lógicos 
das proposições 
simples que a 
originaram.
Definição de 
contradição
Define-se contradição como toda a proposição composta cuja 
última coluna da sua tabela-verdade apresente somente valores 
lógicos falsos, independente dos valores lógicos das proposições 
simples que a originaram.
Exemplo 52
Verificar se a proposição “Cristina é feliz e Cristina é infeliz” é uma 
contradição.
Temos duas possibilidades:
p: Cristina é feliz.
~p: Cristina é infeliz (é o mesmo que dizer que Cristina não é feliz).
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˄ ~p)
Na construção da tabela-verdade (TABELA 23) foi considerada que 
a conjunção é verdadeira quando ambas as proposições simples 
são verdadeiras (QUADRO 4).
p ~p p ˄ ~p
V
F
F
V
F
F
contradição
TABELA 23 – Tabela-verdade do exemplo 52
Fonte: Elaborado pelos autores.
Verifica-se que é uma inverdade dizer que “Cristina é feliz e infeliz”. 
Isto é, dizer que uma proposição pode ser ao mesmo tempo V e F é 
sempre falso.
unidade 6
154
RACIOCÍNIO LÓGICO
Verifica-se que é 
uma contradição 
dizer que Carol ser 
rica é a condição 
necessária para 
Carol ser pobre.
Exemplo 53
Verificar se a proposição “Carol é rica se e somente se Carol é 
pobre” é uma contradição.
Temos duas possibilidades:
p: Carol é rica.
~p: Carol é pobre (é o mesmo quedizer Carol não é rica).
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ↔ ~p).
Na construção da tabela-verdade (TABELA 24) foi considerada que 
a bicondicional será sempre verdadeira se as duas proposições 
tiverem valores lógicos iguais. (QUADRO 4).
p ~p p ↔ ~p
V
F
F
V
F
F
contradição
Tabela 24 – Tabela-verdade do exemplo 53
Fonte: Elaborado pelos autores.
Verifica-se que é uma contradição dizer que Carol ser rica é a 
condição necessária para Carol ser pobre.
Exemplo 54
Verificar se a proposição “Gabriel fala alemão e Raimundo fala 
inglês e é falso que Gabriel fala alemão ou Raimundo fala inglês” é 
uma contradição.
Temos duas possibilidades:
p: Gabriel fala alemão.
q: Raimundo fala inglês.
unidade 6
155
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q).
Na construção da tabela-verdade (TABELA 25) foi consultado 
QUADRO 4.
TABELA 25 – Tabela-verdade do exemplo 54
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ˄ q p ˅ q ~(p ˅ q) (p ˄ q) ˄ ~(p ˅ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
contradição
Exemplo 55
Verificar se a proposição “Valéria não é mãe do Cristiano e Valéria 
é mãe do Cristiano, e Luciano não é pai do Cristiano“ é uma 
contradição.
Temos três possibilidades de:
p: Valéria é mãe do Cristiano.
~p: Valéria não é mãe do Cristiano.
~q: Luciano não é pai do Cristiano.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: ~p ˄ (p ˄ ~q).
Na construção da tabela-verdade (TABELA 26) foi consultado 
QUADRO 4.
unidade 6
156
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 26 – Tabela-verdade do exemplo 55
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q ~p ~q (p ˄ ~q) ~p ˄ (p ˄ ~q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
contradição
O que comprova a contradição, pois Valéria e Luciano são os pais 
de Cristiano.
Definição de 
contingência
Uma proposição composta se constituirá numa contingência 
sempre que não for nem tautologia, nem contradição. Ou seja, ela 
terá tanto valores verdadeiros quanto falsos na última coluna da 
sua tabela-verdade.
As contingências são também denominadas de proposições 
contingentes ou proposições indeterminadas.
Exemplo 56
Verificar se a proposição “Se está chovendo ou está frio, então está 
chovendo” é uma contingência.
Temos duas possibilidades:
p: Está chovendo.
q: Está frio.
unidade 6
157
RACIOCÍNIO LÓGICO
Verificar se a 
proposição “Se a 
música sertaneja 
é universitária ou 
o blues tem pós-
doutorado, então a 
música sertaneja 
é universitária e 
o blues tem pós-
doutorado” é uma 
contingência.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: p ˅ q → p.
Na construção da tabela-verdade (TABELA 27) foi consultado o 
QUADRO 4.
p q (p ˅ q) p ˅ q → p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
contingência
TABELA 27 – Tabela-verdade do exemplo 55
Fonte: Elaborado pelos autores.
Exemplo 57
Verificar se a proposição “Se a música sertaneja é universitária ou o 
blues tem pós-doutorado, então a música sertaneja é universitária e 
o blues tem pós-doutorado” é uma contingência.
Temos duas possibilidades:
p: A música sertaneja é universitária.
q: O blues tem pós-doutorado.
Na linguagem lógica, temos a seguinte proposição: (p ˅ q) → (p ˄ q).
Na construção da tabela-verdade (TABELA 28) foi consultado 
QUADRO 4.
unidade 6
158
RACIOCÍNIO LÓGICO
O conhecimento das 
regras de montagem 
de tabelas-verdade 
é imprescindível 
para, nestas, 
analisar e identificar 
tautologias, 
contradições e 
contingências.
TABELA 28 – Tabela-verdade do exemplo 57
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q (p ˅ q) (p ˄ q) (p ˅ q) → (p ˄ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
contingência
Conforme vimos, o conhecimento das regras de montagem de 
tabelas-verdade é imprescindível para, nestas, analisar e identificar 
tautologias, contradições e contingências.
Essas regras que acabamos de estudar, de como montar e analisar 
tabelas-verdades, deverão ser muito bem entendidas, pois serão 
muito úteis quando você precisar tirar alguma conclusão sobre 
algum resultado.
Ou seja, o nosso dia a dia é repleto de situações em que unimos 
duas ou mais informações para chegarmos a uma outra. Devemos, 
então, comparar duas ou mais proposições com o intuito de 
eliminar uma delas, pois nenhuma proposição pode ser verdadeira 
e falsa ao mesmo tempo.
unidade 6
159
RACIOCÍNIO LÓGICO
Você pode ter que interpretar questões de raciocínio lógico, em provas de 
concurso, ou outras situações de sua vida profissional e pessoal.
Para os ajudar nessa tarefa, já aprendemos as regras de formação de 
proposições, a sintaxe dos conectivos lógicos e a montar, e analisar, 
tabelas-verdade de estruturas completas, formadas por várias proposições 
e conectivos lógicos diferentes.
Nesta unidade, aprendemos a classificar essas tabelas em tautologias, 
contradições e contingências. Esses conceitos serão bastante úteis 
na solução de questões de concurso, como a questão apresentada no 
Exemplo 58, a seguir.
Exemplo 58
Num concurso para “Analista de Sistemas” foi apresentada a questão a 
seguir (ABDALA, 2014, p. 28).
(CESGRANRIO/CAPES, 2008) Chama-se tautologia a proposição composta 
que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições que a compõem. Sejam “p” e “q” as proposições e “~p” e 
“~q”, as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo 
há uma proposição composta formada por “p” e “q”. Qual corresponde a 
uma tautologia?
a. p v q
b. p ʌ ~q
c. (p v q) → (~p ʌ q) 
d. (p v q) → (p ʌ q) 
e. (p ʌ q) → (p v q) 
Apresentamos a seguir a análise da questão, e a resposta correta. Porém, 
sugerimos, que você tente resolver a questão, aplicando os conceitos 
aprendidos nesta e nas unidades anteriores. Assim, poderá verificar sua 
unidade 6
160
RACIOCÍNIO LÓGICO
habilidade na construção e na interpretação de uma questão de concurso , 
como essa acima descrita.
Solução da questão apresentada no Exemplo 58
• Análise das alternativas (a) e (b)
Nas questões de concursos públicos, é importante ficar atento às 
“respostas impossíveis”, para não perder tempo com elas. 
Assim, as duas primeiras alternativas (a) e (b), já conhecemos e 
não definem uma tautologia. São definições simples e caracterizam 
contingências elementares.
Portanto, analisaremos as demais alternativas construindo tabelas- 
verdade de quatro linhas a partir da alternativa (c).
• Análise do item (c) 
Na TABELA 29, a seguir, apresentamos a tabela-verdade do exemplo 
58, para a opção (c) da questão. Ela foi montada aplicando os conceitos 
que aprendemos anteriormente.
Verificamos na última coluna que a alternativa (c) também não caracteriza 
uma tautologia.
TABELA 29 – Tabela-verdade do exemplo 58 - opção (c)
Fonte: Elaborado pelos autores.
p ~p q p∧˅ q ~p∧˄ q (p ˅ q) → (~p ˄ q)
V
V
F
F
F
F
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V
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V
V
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F
V
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V
V
• Análise do item (d) 
Vamos analisar agora a alternativa (d) de montagem bastante semelhante 
à anterior. 
unidade 6
161
RACIOCÍNIO LÓGICO
Assim, na TABELA 30, a seguir, mostramos a tabela-verdade do exemplo 
58 para a opção (d) da questão.
Podemos comprovar, nessa tabela, que a alternativa (d) também não é 
um caso de tautologia, pois, na última coluna, observamos valores lógicos 
verdadeiros e falsos, o que constitui uma contingência.
TABELA 30 – Tabela-verdade do exemplo 58 – opção (d)
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ˅ q p ˄ q (p ˅ q) → (p ˄ q)
V
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F
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F
F
V
• Análise do item (e) 
Vamos certificar, por efeito prático, a alternativa (e).
A montagem da TABELA 31, relativa à tabela-verdade do exemplo 58, para 
a opção (e) é bastante parecida com a anterior.
Verificamos, entretanto, que na última coluna dessa tabela, todos os 
valores são verdadeiros e, portanto, a alternativa “e” caracteriza uma 
tautologia.
TABELA 31 – Tabela-verdadedo exemplo 58 – opção (e)
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ˄ q p ˅ q (p ˄ q) → (p ˅ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
unidade 6
162
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na montagem das 
tabelas-verdade, 
assim como na 
grande parte de 
nossos processos 
decisórios, devemos 
estar atentos a uma 
grande variedade de 
resultados possíveis.
Revisão
Na montagem das tabelas-verdade, assim como na grande parte de 
nossos processos decisórios, devemos estar atentos a uma grande 
variedade de resultados possíveis. Escolher o melhor caminho a 
ser percorrido, com vista a atingir o resultado desejado, exigirá 
muita atenção e conhecimento para alcançar de forma natural esse 
objetivo.
Existem, entretanto, algumas situações que conduzirão 
invariavelmente para uma mesma resposta final e outros casos 
em que tal resposta poderá ser diferente. Encontramos então três 
situações possíveis, que são as tautologias, as contradições e as 
contingências.
Uma tautologia caracteriza-se quando uma resposta lógica 
verdadeira se apresenta para todas as possibilidades existentes.
Analogamente em uma contradição, vamos encontrar uma resposta 
negativa para todas essas possibilidades.
São situações raras, porém importantes e que vão definir um 
resultado final absolutamente previsível.
As contingências são as situações mais rotineiras, mais presentes 
em nossa vida em que se torna necessário observar as alternativas 
que irão conduzir a resultados finais variados.
Além de conhecer bem todas essas possibilidades e identificar 
previamente cada uma delas, caberá, entretanto, a um bom gestor 
escolher o melhor caminho a ser percorrido. Ainda que, com a prática 
e o conhecimento adquirido, já se possa saber antecipadamente 
qual será a resultado final a ser atingido.
unidade 6
163
RACIOCÍNIO LÓGICO
Sugerimos a leitura do livro “O homem que calculava” ddo famoso e 
importante professor brasileiro Júlio César de Melo e Souza, mundialmente 
conhecido como Malba Tahan, conforme sugerido por Sá (SÁ, 2008; pg. 
169-173).
Link no seguinte endereço:
TAHAM, Malba. O homem que calculava. Disponível em: <http://www.
coordenacaopedagogica.com.br/file.php/1/PAS_2009/Livro_-_Malba_
Tahan_-_O_homem_que_calculava_ilustrado_.pdf>. Acesso em 25 maio 2015.
O livro conta a história de Beremiz, jovem árabe que descobre uma enorme 
habilidade matemática ao pastorear ovelhas e calcular folhas de árvores. Ao 
encontrar o bagdali (natural de Bagdá) Hank Tade-Maiá, eles iniciam uma 
viagem à Bagdá. Ao longo da jornada, Beremiz vai conhecendo pessoas 
e lugares e solucionado diversas situações por meio de suas habilidades 
matemáticas: a partilha de 35 camelos por 3 herdeiros, a divisão de 21 
vasos, com conteúdo diferentes, entre 3 sócios, dentre outras questões.
O protagonista encontra muitas pessoas importantes e a todos 
impressiona com sua inteligência e a forma prática e simples de resolver 
questões relacionadas à matemática. Chegando a Bagdá, Beremiz cai nas 
boas graças do Califa e também se torna professor de matemática da 
jovem Telassim, cujo rosto ele não pôde ver. Mesmo assim se apaixonam.
Após vencer brilhantemente um desafio proposto por sete sábios, Beremiz 
diz ao califa que deseja casar-se com Telassim. Para isso, é submetido 
a um último desafio: decifrar a cor dos olhos de um grupo de escravas, 
apenas ouvindo as suas declarações, que poderiam ser verdadeiras ou não.
Vencido o desafio, Beremiz se casa com Telassim, que já era cristã, e 
converte-se também ao cristianismo. Faz questão, no entanto, de ser 
batizado por um bispo que conhecesse a teoria de Euclides. Beremiz e 
Telassim vão morar em Constantinopla e têm três filhos.
Você também ficou curioso em conhecer a Teoria de Euclides?
unidade 6
164
RACIOCÍNIO LÓGICO
Para isso, consulte o seguinte endereço: 
WIKIÉDIA. Enciclopédia livre e gratuita. Disponível em: <http://pt.wikipedia.
org/wiki/Teorema_de_Euclides>. Acesso em 25 maio 2015
Inferência ou 
implicação lógica
• Proposição 
condicional 
• Inferência ou 
implicação lógica 
• Propriedades 
das operações 
entre operandos 
• Propriedades 
das relações de 
inferência ou 
implicação lógica 
• Proposições 
associadas a uma 
condicional: 
recíproca, 
contrária e 
contrapositiva 
• Revisão 
Introdução
Aprendemos, nas unidades anteriores deste curso, que a lógica 
proposicional ou lógica sentencial estuda as sentenças, suas 
relações e conexões.
Vimos também que proposição é uma sentença declarativa 
(conjunto de palavras e símbolos) que exprime um pensamento 
de sentido completo, podendo ser classificada como verdadeira ou 
falsa.
Aos termos verdade e falsidade, demos o nome de valores lógicos 
das proposições. Nessa classificação, adotamos dois princípios:
(1) da não contradição: uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo;
(2) do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou 
é falsa, ou seja, verifica-se sempre esses dois casos e 
nunca um terceiro.
Aprendemos que proposições simples (também chamadas de 
atômicas) formam proposições compostas (ou moleculares), 
utilizando para isso os conectivos lógicos. Esses conectivos são: 
“não”, não é verdade que (negação); “e” (conjunção); “ou” (disjunção); 
“ou ... ou” (disjunção exclusiva); “se ... então” (condicional); “se e 
somente se” (bicondicional).
Vimos como combinar as proposições simples, mediante o uso 
de conectivos, com o objetivo de formar novas proposições, 
denominadas ‘proposições compostas’.
Aprendemos também que, a partir de valores lógicos das 
proposições simples, podemos determinar o valor lógico da 
proposição composta resultante, a qual foi obtida por meio de algum 
conectivo. Vimos ainda como saber o “resultado” de operações 
entre conectivos e proposições da lógica sentencial.
Nessa análise, você aprendeu a construir tabelas-verdade 
e classificá-las como sendo tautologias, contradições e 
contingências.
Agora, nesta unidade, você aprenderá a identificar a ocorrência 
de implicação lógica em proposições compostas. Ou seja, 
aprenderá que, dizer que uma proposição p implica logicamente 
ou, simplesmente, implica uma proposição q, se q for verdadeiro, 
sempre que p também o for. Essa condicional também pode ser lida 
como: “p somente se q”, “q, se p”, “p é condição suficiente para q”, “q 
é condição necessária para p”.
Em consequência dessas definições, você aprenderá que p ⇒ q, 
significa que a condicional p → q é tautológica, isto é, p ⇒ q, se e 
somente se, p → q for verdadeiro.
Você também saberá que na condicional p → q, p é chamado de 
antecedente e q é o consequente. E que uma condicional não 
afirma que o consequente se “deduz” do antecedente p, ou seja, 
pode não haver uma relação intrínseca entre p e q – é o caso da 
relação bicondicional, que aprenderemos na próxima unidade 
(equivalências lógicas).
Veremos, portanto, que o que a condicional afirma é unicamente 
que existe uma relação entre os valores lógicos de p e q, de acordo 
com a definição dada, isto é, a condicional p → q é uma operação.
Antes de considerarmos as operações e propriedades da lógica 
sentencial, lembraremos de algumas propriedades da aritmética 
(comutativa, associativa e distributiva). Em seguida, apresentaremos 
as operações e propriedades da lógica sentencial, às quais também 
se aplicam essas propriedades aritméticas.
Provaremos que as regras de inferência têm as propriedades 
reflexiva e transitiva, utilizando para isso a construção de tabelas-
verdade e verificando se são tautológicas.
Mostraremos as proposições associadas a uma condicional, quais 
sejam: recíproca, contrária e contrapositiva.
Em “Aplicação na Prática”, será demonstrado como você poderá 
analisar “premissas” ou “proposições”, ou seja, como “mapear” as 
possíveis causas, quando tiver que propor e demonstrar a resolução 
de um problema ou dizer que um determinado resultado é válido, 
com base lógica.
Ao finalda unidade, sugerimos a leitura de um interessante artigo 
sobre a lógica booleana, denominado “Lógica booleana? Saiba um 
pouco mais sobre esta lógica e como ela funciona”.
Bons estudos! 
unidade 7
169
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na condicional 
p → q, dizemos 
que p é condição 
suficiente para 
q; e q é condição 
necessária para p q 
aconteça.
Proposição 
condicional
Dadas as duas proposições simples p e q, dizemos que a condicional 
é “se p então q” quando temos p →∧q. A recíproca é q →∧p.
Na condicional p →∧q, dizemos que p é condição suficiente para q; e 
q é condição necessária para p. 
A expressão p →∧q é chamada condicional de p e q; a proposição 
p é chamada antecedente e a proposição q, consequente da 
condicional. 
A operação de condicionamento indica que o acontecimento de p é 
uma condição para que q aconteça.
Algumas expressões da linguagem que podem indicar a presença 
da condicional (p →∧q) são, dentre outras:
• se p então q
• se p, q
• q se p
• p supõe q
• em caso de p, então q
• p só se q
• p é condição suficiente para q
• q é condição necessária para p
unidade 7
170
RACIOCÍNIO LÓGICO
Lembre-se também 
que a proposição 
condicional é 
uma proposição 
composta que 
só admite valor 
lógico Falso se 
a antecedente 
for verdadeira e 
a consequente 
for falsa, sendo 
Verdadeiro nos 
demais casos.
Exemplo 59: proposição condicional
Sejam as proposições:
p: respirar
q: estar vivo
Podemos construir a proposição composta (condicional) de várias 
formas.
• Se respiro, então estou viva.
• Se respiro, vivo.
• Estou viva se respiro.
• Estar vivo supõe respirar.
• Em caso de estar viva, então respiro.
• Respiro só se estou viva.
• Respirar é condição suficiente para estar viva.
• Estar viva é condição necessária para respirar.
Lembre-se também que a proposição condicional é uma proposição 
composta que só admite valor lógico falso se a antecedente 
for verdadeira e a consequente for falsa, sendo verdadeiro nos 
demais casos.
Uma condicional não afirma que o consequente q se “deduz” do 
antecedente p, isto é, pode não haver uma relação intrínseca entre 
p e q. O que a condicional afirma é somente a relação entre os 
valores lógicos de p e q, de acordo com a definição dada, ou seja, a 
condicional é uma operação também chamada “implicação”.
Pode lhe parecer estranho que a propriedade condicional 
seja verdadeira até nos casos em que a antecedente é falsa. 
unidade 7
171
RACIOCÍNIO LÓGICO
Já aprendemos 
que p e q juntas 
podem assumir 
quatro combinações 
possíveis entre seus 
valores lógicos. 
Apresentaremos o exemplo a seguir, com o intuito de esclarecê-lo 
melhor sobre esses casos.
Exemplo 60: proposição condicional
Suponha que você chegue ao Campo do Independência e encontre o 
seguinte aviso deixado na portaria: “Se você é torcedor do América, 
pode entrar”.
Em termos lógicos, temos duas proposições simples e uma 
composta. Na composta, a segunda frase, “pode entrar”, tem o 
mesmo significado de “então pode entrar”.
Assim, temos essas proposições:
p: ser torcedor do América
q: poder entrar
composta: Se você é torcedor do América, pode entrar. “Se p então 
q” ou (p →∧q). 
Já aprendemos que p e q, juntas, podem assumir quatro 
combinações possíveis entre seus valores lógicos. Para 
recordarmos como se definem os valores lógicos de p → q, 
começaremos construindo a sua tabela-verdade (TABELA 32), 
representando as diferentes combinações.
TABELA 32 – Tabela-verdade do exemplo 60
Fonte: Elaborado pelos autores.
LINHAS p q p → q
1
2
3
4
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
unidade 7
172
RACIOCÍNIO LÓGICO
De acordo com 
a proposição 
composta, ser 
atleticano é 
logicamente falso 
e ter entrado 
é logicamente 
verdadeiro. 
Na interpretação dessa tabela, observe que, na primeira linha, temos 
que as duas proposições simples são verdadeiras, e a condicional é 
também verdadeira, ou seja, na frase composta do exemplo temos 
"você é torcedor do América, então pode entrar".
Na segunda linha, temos o único caso em que o valor da condicional 
é falso, pois o antecedente é verdadeiro (você é torcedor do 
América), mas o consequente é falso (você não pode entrar).
Na terceira linha, temos que o valor lógico do antecedente é falso, do 
consequente é verdadeiro e da condicional é verdadeiro. No exemplo, 
temos que você não é torcedor do América, mas poderá entrar
Aqui surge a primeira "cilada" de interpretação, pois nossa tendência 
é pensar que o valor lógico p → q deveria ser falso. 
Não ser torcedor do América não implica não poder entrar! Em 
nenhum momento foi dito o que deveria acontecer se você não 
fosse americano, deixando em aberto as duas possibilidades (poder 
ou não poder entrar).
Por exemplo, digamos que você seja atleticano e tenha entrado. De 
acordo com a proposição composta, ser atleticano é logicamente 
falso e ter entrado é logicamente verdadeiro. Nesse caso, a 
condicional p∧→ q é verdadeira.
Na quarta linha, temos uma situação semelhante à anterior: você 
não é americano (F) e não entrou (F) e a proposição condicional 
também é verdadeira, conforme linha 4 da tabela.
Aqui surge a segunda "cilada" de interpretação, pois nossa tendência 
é pensar que o valor lógico p → q deveria ser falso. 
Da mesma maneira, nada foi dito sobre o que deveria acontecer na 
proposição ‘se você não fosse americano e não tivesse entrado’.
unidade 7
173
RACIOCÍNIO LÓGICO
No entanto, embora 
pareça um absurdo, 
ela tem valor lógico 
verdadeiro, pois a 
antecedente é falsa 
e a consequente 
também é falsa. 
Ou seja, uma condicional p → q não afirma que o consequente se 
"deduz" do antecedente p, ou seja, pode não haver uma relação 
intrínseca entre p e q.
Exemplo 61: proposição condicional
Seja a seguinte frase: "Se a alface é mineral, então o quiabo é um 
mineral".
Essa frase é conceitualmente falsa, pois alface e quiabo não são 
minerais. 
No entanto, embora pareça um absurdo, ela tem valor lógico 
verdadeiro, pois a antecedente é falsa e a consequente também 
é falsa. E de acordo com 4a linha da tabela-verdade mostrada no 
exemplo 58, a condicional "se p então q" ou p → q é verdadeira.
Exemplo 62: proposição condicional
A condicional "se p então q" tem vários sinônimos. A seguir, 
mostraremos alguns deles. 
Se considerarmos as seguintes proposições:
p: adoecer
q: ter febre
A condicional p → q pode representar as seguintes frases:
• Se você adoecer, então você terá febre.
• Se você adoecer, terá febre.
• Você terá febre, se adoecer.
• O fato de você adoecer implica ter febre.
• Você adoecer é condição suficiente para ter febre
unidade 7
174
RACIOCÍNIO LÓGICO
O símbolo →→ 
é utilizado para 
relacionar duas 
proposições 
por meio de 
uma proposição 
condicional. 
Inferência ou 
implicação lógica
Dadas duas proposições simples p e q, dizemos que "p implica q" 
quando não temos, simultaneamente, que p é verdadeira e q é falsa, 
isto é, quando na tabela-verdade de p e q não ocorre a sequência VF 
em nenhuma de suas linhas. Ou, dito de outra forma, q é verdadeira 
toda vez que p for verdadeira.
Indicamos a implicação lógica por p ⇒ q, que pode ser lida como p, 
logo, q.
É importante destacar que os símbolos → e ⇒ são distintos.
O símbolo → é utilizado para relacionar duas proposições por 
meio de uma proposição condicional. Assim, para relacionarmos p 
e q por meio de uma proposição condicional, escrevemos p → q. 
Nesse caso, não estamos querendo aferir valor lógico à proposição 
composta, mas apenas relacionar p com q condicionalmente.
Por outro lado, o símbolo ⇒ é utilizado para representar uma 
implicação lógica, na qual se deseja aferir valor lógico. Assim, 
apenas se p é verdadeira e q é falsa, a implicação lógica p ⇒ q é 
falsa.
Ou seja, ocorrerá a implicação lógica p ⇒ q quando a condicional 
p → q for verdadeira, isto é, quando não ocorrer valores falsos na 
condicional ou quando a implicação lógica for uma tautologia.
Em casode validade comprovada de uma implicação da forma 
p ⇒ q, tal implicação lógica passará a ser utilizada como recurso 
lógico para obtenção e prova de outros resultados válidos.
Vejamos a seguir alguns exemplos sobre implicações lógica e 
tautologias.
unidade 7
175
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 33 – Tabela-verdade do exemplo 63
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ˅ qp ˄ q (p ˄ q) → (p ˅ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
Taulogia
Como em nenhuma linha ocorre de a proposição p ˄ q ser verdadeira 
e, simultaneamente, a proposição p ˅ q ser Falsa, a última coluna, 
referente à proposição (p ˄ q) → (p ˅ q), é uma tautologia. Assim, a 
implicação lógica (p ˄ q) ⇒ (p ˅ q) é verdadeira.
Exemplo 64: implicação lógica (p ˄ ~p) ⇒ q 
Para mostrarmos que a condicional (p ˄ ~p) → q é uma tautologia, 
ou seja, que a implicação lógica (p ˄ ~p) ⇒ q é verdadeira, 
construímos a sua tabela-verdade (TABELA 34).
Exemplo 63: implicação lógica (p ʌ q) → (p v q)
Verifiquemos se a implicação lógica (p ʌ q) → (p v q) é verdadeira. 
Para tanto, basta construir a tabela-verdade (TABELA 33) da 
proposição (p ʌ q) → (p v q) e observar se ela é uma tautologia.
TABELA 34 – Tabela-verdade do exemplo 64
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p ↔ p~p (p ˄ ~p) → q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
Taulogia
unidade 7
176
RACIOCÍNIO LÓGICO
Note que, na última coluna dessa tabela, na qual colocamos a 
proposição condicional (p ʌ ~p) → q, só temos valores lógicos 
verdadeiros, constituindo a implicação numa tautologia. Logo, 
podemos escrever que "a proposição (p ʌ ~p) implica q", isto é, 
(p ʌ ~p) ⇒ q.
Exemplo 65: implicação lógica (p → q) ⇒ (p ↔ q)
Para verificar se a implicação lógica (p → q) ⇒ (p ↔ q) é verdadeira, 
construiremos a tabela-verdade (TABELA 35) da proposição 
condicional (p → q) → (p ↔ q), a fim de saber se essa proposição 
é tautológica.
TABELA 35 – Tabela-verdade do exemplo 65
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q p → q p ↔ q (p → q) → (p↔q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
Observe que, nessa tabela-verdade, a terceira linha apresenta valor 
V para p → q e valor F para p ↔ q. Dessa forma, a última coluna 
representada pela condicional (p∧→ q) → (p∧↔ q) apresenta valor 
F na terceira linha. Portanto, trata-se de uma contingência, pois 
existe, pelo menos, um valor lógico na última coluna, que é F.
Conclui-se então que a implicação (p → q) ⇒ (p ↔ q) é falsa, pois 
não e uma tautologia, e sim uma contigência.
unidade 7
177
RACIOCÍNIO LÓGICO
Por ser simbólica, 
a LS possui a 
vantagem de 
permitir o cálculo 
de acordo com 
regras e fórmulas 
precisamente 
determinadas.
Propriedades das 
operações entre 
operandos
Aprendemos neste curso que os argumentos lógicos são 
construídos sob a forma de linguagem ou sintaxe1.
E para evitar que esses argumentos lógicos tenham duplo sentido, 
foi desenvolvida a lógica sentencial (LS) – uma linguagem 
especialmente criada para expressar argumentos lógicos com 
precisão e clareza.
Por ser simbólica, a LS possui a vantagem de permitir o cálculo de 
acordo com regras e fórmulas precisamente determinadas.
Tal como acontece na Matemática, para garantir a resposta certa, 
basta seguir as regras corretamente.
Antes de considerarmos as operações e propriedades da LS, 
lembremos algumas propriedades da aritmética.
Nesse sentido, representaremos duas operações aritméticas 
pelos símbolos “•” e “ο” e três operandos por a, b e c, conforme as 
propriedades de operações aritméticas nos itens a seguir.
3 “A sintaxe é a parte da gramática que estuda a disposição das palavras na frase e 
a das frases no discurso, bem como a relação lógica das frases entre si. Ao emitir 
uma mensagem verbal, o emissor procura transmitir um significado completo e 
compreensível. Para isso, as palavras são relacionadas e combinadas entre si. A 
sintaxe é um instrumento essencial para o manuseio satisfatório das múltiplas 
possibilidades que existem para combinar palavras e orações”. (Disponível em: 
http://www.soportugues.com.br/secoes/sint/. Acesso em 28/maio/2015).
unidade 7
178
RACIOCÍNIO LÓGICO
A adição e a 
multiplicação 
são comutativas, 
pois substituindo 
os símbolos das 
operações (• e ο) 
pelos símbolos 
da adição e da 
multiplicação (+ e 
x), respectivamente, 
obtemos:
Comutatividade: a • b = b • a, 
quaisquer que sejam a e b
A adição e a multiplicação são comutativas, pois substituindo os 
símbolos das operações (“•” e “ο”) pelos símbolos da adição e da 
multiplicação (+ e x), respectivamente, obtemos:
a + b = b + a, quaisquer a e b
a x b = b x a, quaisquer a e b
Exemplo 66: comutatividade da adição e da 
multiplicação
 Adição:
 2 + 3 = 3 + 2 
 5 = 5 
A subtração e a divisão não são comutativas, pois, a - b ≠ b - a (lê-
se, a menos b é diferente de b menos a). Essa diferença só será 
igual se a for igual a b.
Exemplo 67: não-comutatividade da subtração e divisão
 Subtração:
 2 - 3 ≠ 3 - 2
 -1 ≠ 1 
Multiplicação:
2 x 3 = 3 x 2
6 = 6
Divisão:
6 / 3 ≠ 3 / 6
2 ≠ 0,5
Associatividade: a • (b • c) = (a • b) • c, 
para quaisquer a, b e c
A adição e a multiplicação são associativas, pois, conforme 
fizemos anteriormente, substituindo os símbolos das operações 
(• e ο) pelos símbolos da adição e da multiplicação (+ e x), 
respectivamente, observamos que:
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c, para quaisquer a, b e c
unidade 7
179
RACIOCÍNIO LÓGICO
Na aritmética, temos 
que a multiplicação 
é distributiva em 
relação à adição, 
e a multiplicação 
é distributiva em 
relação à subtração.
a x (b x c) = (a x b) x c = a x b x c, para quaisquer a, b e c
Exemplo 68: associatividade da adição e da 
multiplicação 
Associatividade da adição 
 2 + (1 + 3) = ( 2 + 1) + 3
 2 + 4 = 3 + 3
 6 = 6 
Distributividade de • em relação 
à o: a • (b o c) = (a • b) o (a • c), para 
quaisquer que sejam a, b e c
Na aritmética, temos que a multiplicação é distributiva em relação 
à adição, e a multiplicação é distributiva em relação à subtração. 
Assim, substituindo, temos:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
Exemplo 69: distributividade da multiplicação em 
relação à adição e à subtração 
Multiplicação em relação à adição 
2 x (1 + 3) = (2 x 1) + (2 x 3)
 2 x 4 = 2 + 6
 8 = 8
Multiplicação em relação à subtração
2 x (3 - 1) = (2 x 3) - (2 x 1)
2 x 2 = 6 - 2
4 = 4
Associatividade da multiplicação 
2 x (3 x 1) = (2 x 3) x 1
2 x 3 = 6 x 1
6 = 6
unidade 7
180
RACIOCÍNIO LÓGICO
As regras de 
implicação lógica 
são formas válidas 
de raciocínio 
lógico, ou seja, são 
formas que nos 
permitem concluir 
o consequente 
(q), uma vez que 
consideramos o 
antecedente (p) 
verdadeiro.
Propriedades das 
relações de inferência 
ou implicação lógica
As regras de implicação lógica são formas válidas de raciocínio 
lógico, ou seja, são formas que nos permitem concluir o consequente 
“q”, uma vez que consideramos o antecedente “p” verdadeiro.
É possível mostrar que as regras de inferência têm as seguintes 
propriedades:
reflexiva: p ⇒ p
transitiva: Se p ⇒ q e q ⇒ r, então p ⇒ r
Para provar essas regras, basta construir as tabelas-verdade 
da condicional correspondente. Se a condicional for tautológica, 
teremos uma implicação lógica, conforme mostrado a seguir.
Exemplo 70: propriedade reflexiva
Essa propriedade diz que qualquer proposição p implica ela própria: 
p ⇒ p.
Não é difícil perceber que, se a primeira proposição p for verdadeira, 
a segunda proposição p não será falsa, pois isso seria uma 
contradição.
Por exemplo, a proposição “Isabella é dançarina” implica que 
“Isabella é dançarina”; ou “2 + 2 = 4” implica que “2 + 2 = 4”; cujos 
resultados são mostrados na TABELA 36.
unidade 7
181
RACIOCÍNIO LÓGICO
A propriedade 
transitiva diz que 
se a proposição p 
implica a proposiçãoq, e a proposição q 
implica a proposição 
r, então a proposição 
p implica a 
proposição r.
TABELA 36 – Tabela-verdade da propriedade 
REFLEXIVA da implicação lógica do exemplo 70
Fonte: Elaborado pelos autores.
p p p → p
V V V
Taulogia
Exemplo 71: propriedade transitiva
A propriedade transitiva diz que se a proposição p implica a 
proposição q, e a proposição q implica a proposição r, então a 
proposição p implica a proposição r.
Um exemplo textual é dado pelas relações "Se eu ingerir fibra meu 
intestino funciona bem e se meu intestino funciona bem, sinto-me 
saudável. Logo, se ingerir fibra, sinto-me saudável.".
As proposições são:
p: eu ingerir fibra
q: meu intestino funciona bem
r: sinto-me saudável
Para verificar a veracidade dessa implicação ((p ⇒ q) ʌ (q ⇒ r)) ⇒ 
(p ⇒ r), vamos construir a tabela-verdade (TABELA 37) da 
condicional ((p → q) ʌ (q → r)) → (p → r) e verificar se é uma 
tautologia.
unidade 7
182
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 37 – Tabela-verdade da propriedade TRANSITIVA da implicação lógica do exemplo 71
p q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
Tautologia
r p → q q → r p → r (p → q) ˄ (q → r) ((p → q) ˄ (q → r)) → (p → r)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Considerando que a 1ª linha produz o resultado óbvio, vamos 
analisar a 8ª linha da tabela em que, partir dos opostos, 
demonstramos a validade da propriedade:
Coluna 1: eu ingerir fibra é Falso;
Coluna 2: meu intestino funciona bem é Falso;
Coluna 3: sinto-me saudável é Falso;
Coluna 4: a proposição “Se eu ingerir fibra (F), então meu intestino 
funciona bem (F)” possui resultado final Verdadeiro;
Coluna 5: a proposição “Se meu intestino funciona bem (F), então 
sinto-me saudável (F)” também possui resultado final Verdadeiro;
Coluna 6: a proposição “Se eu ingerir fibra (F), então sinto-me 
saudável (F) ”, da mesma forma, terá resultado final Verdadeiro, 
pelas regras da condicional já conhecidas;
Coluna 7: combinando as colunas 4 e 5 com a conjunção “e” 
obtemos valor Verdadeiro;
unidade 7
183
RACIOCÍNIO LÓGICO
Coluna 8: e, por fim, combinando as colunas 7 e 6, por meio de uma 
condicional, obtemos novamente o valor Verdadeiro, demonstrando, 
por esta linha e por toda a tabela, que a proposição inteira só produz 
resultados verdadeiros e, portanto, é uma tautologia.
Logo, podemos concluir que a propriedade transitiva se aplica às 
implicações lógicas.
Proposições associadas 
a uma condicional: 
recíproca, contrária e 
contrapositiva
Dada a condicional p → q, chamamos de proposições associadas à 
p → q as três proposições condicionais que contêm p e q:
1 proposição recíproca da condicional: p ∧→ q : q →∧p
2 proposição contrária da condicional: p → q : ~p ∧→ ~q
3 proposição contrapositiva da condicional: p ∧→ q : ~q →∧~p
Exemplo 72: recíproca, contrária e contrapositiva da 
condicional
Consideremos a seguinte proposição condicional: 
p → q: Se um triângulo é equilátero, então ele é isósceles .
A recíproca da condicional é: q → p: Se um triângulo é isósceles, então ele é equilátero.
A contrária da condicional é: ~p → ~q: Se um triângulo não é equilátero, então ele não é isósceles.
A contrapositiva da condicional é: ~q → ~p: Se um triângulo não é isósceles, então ele não é equilátero.
unidade 7
184
RACIOCÍNIO LÓGICO
A tabela-verdade (TABELA 38) dessas proposições são 
apresentadas a seguir.
Observe, nessa 
tabela-verdade, 
algumas importantes 
propriedades.
Observe, nessa tabela-verdade, algumas importantes propriedades, 
conforme apresentado abaixo.
 1a) Condicional p → q e a sua contrapositiva ~q → ~p são 
equivalentes, pois possuem os mesmos valores lógicos. 
(colunas 5 e 8 da tabela 38).
 2a) Recíproca q → p e a contrária ~p → ~q da condicional 
p → q são equivalentes, pois possuem os mesmos 
valores lógicos (colunas 6 e 7 da tabela 38).
 3a) Condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua 
contrária ~p → ~q não são equivalentes.
 4a) Contrária ~p → ~q da condicional p → q também é 
denominada a inversa de p → q.
 5a) Contrapositiva ~q → ~p da condicional p → q nada mais 
é do que a contrária da recíproca q → r e, por causa disso, 
é denominada contra recíproca de p → q.
TABELA 38 – Tabela-verdade do exemplo 72
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q ~p ~q q → p ~p → ~q ~q → ~pp → q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
Condicional
V
V
F
V
Recíproca
V
F
V
V
Contrapositiva
V
V
F
V
Contrária
unidade 7
185
RACIOCÍNIO LÓGICO
 6a) Também se diz que p → q é a direta em relação às 
associadas.
Destacamos que existem alguns teoremas na Matemática que são 
da forma p → q, isto é, uma condicional p → q tautológica, na qual 
p é chamada de "hipótese" e q é a "tese". Se p → q é um teorema e 
se q → p é verdade, temos que a recíproca do teorema é verdadeira; 
se p → q é um teorema, ~q → ~p é um teorema (contrapositiva).
Condições necessárias e condições suficientes
Se, em sua empresa, você tiver que propor e demonstrar a resolução de um 
problema ou dizer que um determinado resultado é válido, você precisará 
mapear as possíveis causas do problema.
Nesse sentido, quando deduzimos ou demonstramos algum resultado, 
utilizamos "premissas" ou "proposições" com base lógica para validarmos 
nosso resultado.
Se você tiver que escolher alguma ação ou diretriz a ser adotada no 
futuro de sua empresa, deverá ter habilidade para antever as possíveis 
consequências dessa ação ou diretriz.
Ou seja, na escolha da ação ou diretriz, você terá que ser capaz de 
identificar relações verdadeiras de causa-efeito entre as "premissas" que 
dispõe.
Para isso, a implicação lógica é uma das ferramentas de argumentação 
mais poderosas que temos. Quando uma implicação lógica é verdadeira, 
podemos concluir que o raciocínio desenvolvido foi correto, isto é, que a 
nossa "premissa" verdadeira tem como consequência uma outra, também 
verdadeira.
unidade 7
186
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 73: Condições necessárias e condições 
suficientes (adaptado de ROCHA E AIRES, 2010, pg. 
102-103)
Imagine que você seja o coordenador de um projeto de pesquisas 
financiado pela FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa de MG) cujo 
título é "A qualidade da água na Pampulha". Você precisa elaborar um 
programa de treinamento para os técnicos que elaborarão as amostragens 
de água em campo.
Como sua equipe é reduzida, será preciso convidar técnicos de outras 
áreas. Então você decidiu convidar uma técnica da área biológica, Valéria, 
para fazer parte do seu grupo, ao que ela lhe respondeu:
Se a Helena participar, eu participo (condicional: se p então q; p → q).
O que podemos entender dessa "premissa"? Que inferências 
(deduções) podemos fazer?
O fato de Helena participar garante a participação da Valéria?
Sim, e essa é a conclusão mais fácil de ser obtida, já que deriva da 
observação direta da formulação da sentença-referência.
O fato de Helena não participar garante a participação de Valéria?
A primeira tendência é pensar que Valéria também não participará. Para 
saber se esse pensamento está correto, lembre-se do que Valéria disse. Será 
que quando ela disse que participaria se Helena participasse, ela também 
disse que não participaria se Helena não participasse? A resposta é não!
“Quando tiramos uma conclusão fundamentada na 
construção de algum raciocínio lógico, só podemos 
usar aquilo que, de fato foi enunciado como regra” 
(ROCHA e AIRES, 2010, pg. 102-103).
Ou seja, em nenhum momento Valéria disse o que ela fará se Helena não 
participar. Ela deixou isso em aberto, podendo participar ou não!
E se, com base na premissa anterior, concluíssemos que, se Helena não 
participar, Valéria também não participará?
Nesse caso, Valéria poderá participar ou não. E quem poderá dizer ao 
certo isso é apenas ela.Ninguém! Só poderíamos garantir qualquer coisa 
unidade 7
187
RACIOCÍNIO LÓGICO
a esse respeito se tivéssemos uma segunda premissa (ou regra) que 
determinasse a consequência para o caso de Helena não participar.
Valéria disse que participará. O que você pode concluir sobre a 
participação da Helena?
Podemos pensar que Helena participará, porque Valéria disse que 
participaria se Helena participasse. Como sabemos que Valéria 
participará, podemos concluir a participação da Helena? Se você pensar 
que sim, mais uma vez estará "infringindo" a regra, isto é, estará criando 
uma segunda premissa que não foi dada como referência.
É verdade que Valéria disse que participaria se Helena participasse. 
Contudo, em nenhum momento a participação de Valéria foi apresentada 
como causadora de alguma decisão de Helena. Isso equivale dizer que a 
participação de Helena foi enunciada como forte o suficiente para garantir 
a participação de Valéria. Por outro lado, nada na afirmação de Valéria 
coloca sua participação como causa para alguma escolha de Helena.
Logo, pela regra embutida na afirmação de Valéria, nada podemos concluir 
a respeito da participação da Helena.
Valéria disse que não participará. O que você pode concluir sobre a 
participação da Helena?
Pela regra enunciada, Valéria disse que se Helena participasse, ela 
também participaria. Ao sabermos que Valéria não participará, podemos 
sim garantir que Helena também não participará. Por quê? Porque se 
Helena participasse, Valéria com certeza participaria!
Assim, quando dissermos que uma proposição p implica uma proposição 
q, estamos afirmando que "se p ocorrer (V), podemos garantir que q 
também ocorrerá" (será V).
Na sua vida profissional e pessoal, na hora de tomar decisões, lembre- se 
de diferenciar dois tipos de condições: a necessária e a suficiente. Dizer que 
uma situação é condição necessária para outra acontecer, é afirmar que se 
a primeira não acontecer, a segunda não acontecerá. No nosso exemplo, 
se Valéria não participar do projeto, Helena não participará. Quando uma 
coisa é condição suficiente para outra, podemos afirmar que a ocorrência 
unidade 7
188
RACIOCÍNIO LÓGICO
da primeira garante a ocorrência da segunda. Ou seja, no nosso projeto, se 
Valéria participar, Helena participará!
Revisão
Nesta unidade, você aprendeu como identificar a ocorrência de 
implicação lógica em proposições compostas. Ou seja, você 
aprendeu que, dizer que uma proposição p implica logicamente 
ou, simplesmente, implica uma proposição q, e q será verdadeiro, 
sempre que p também o for.
Em consequência dessas definições, mostramos por meio de 
tabelas-verdade que p → q significa que a condicional p → q é 
tautológica, isto é, p → q se, e somente se, p ⇒ q for verdadeiro.
Você também aprendeu que na condicional p → q, p é chamado de 
antecedente e q é chamado de consequente.
Antes de considerarmos as operações e propriedades da 
lógica sentencial, revemos algumas propriedades da aritmética 
(comutativa, associativa e distributiva). Em seguida, apresentamos 
as operações e propriedades da lógica sentencial, às quais também 
se aplicam as propriedades aritméticas.
Provamos que as regras de inferência têm as propriedades reflexiva 
e transitiva, por meio de tabelas-verdade e da verificação da 
hipótese tautológica.
Mostramos as proposições associadas a uma condicional: 
recíproca, contrária e contrapositiva. E, finalmente, vimos a análise 
de possíveis causas de um problema, quando você tiver que propor 
e demonstrar a resolução dele ou dizer que um determinado 
resultado é válido, com base lógica.
unidade 7
189
RACIOCÍNIO LÓGICO
Você também aprendeu que uma condicional p → q não afirma que 
o consequente se "deduz" do antecedente p, ou seja, pode não haver 
uma relação intrínseca entre p e q.
Na próxima unidade, aprenderemos que, ao contrário da condicional, 
poderá haver uma relação intrínseca entre p e q. Para isso, 
estudaremos a relação bicondicional e as equivalências lógicas.
George Boole (Lincoln, 2 de novembro de 1815 — Ballintemple, 8 de 
dezembro de 1864) foi um matemático e filósofo britânico, criador da 
álgebra booleana – disciplina fundamental para o desenvolvimento da 
computação moderna.
Hoje em dia, a "Álgebra de Boole", é utilizada na construção das rotinas 
computacionais, sendo uma das razões fundamentais da revolução que 
os computadores provocaram no mundo moderno. É aplicada igualmente 
à pesquisa de Inteligência Artificial e na ligação dos telefones, entre muitas 
outras atividades.
Para entender o significado da lógica booleana, indicamos a você a leitura 
de um texto de Elaine Martins, disponível na internet, denominado: "Lógica 
booleana? Saiba um pouco mais sobre esta lógica e como ela funciona". 
Está disponível no seguinte endereço: 
MARTINS, Eliane. Lógica booleana? Saiba um pouco mais sobre esta 
lógica e como ela funciona. 09 fev. 2009. In: site “Tecmundo”. Disponível 
em: <http://www.tecmundo.com.br/programacao/1527-logica-booleana-
saiba-um-pouco-mais-sobre-esta-logica-e-como-ela-funciona.htm>. 
Acesso em 16 jun. 2015.
Equivalência 
lógica
• Equivalência 
lógica 
• Propriedades 
da relação de 
equivalência 
lógica 
• Proposições 
associadas a 
uma condicional 
que apresentam 
equivalência 
lógica 
• Álgebra das 
proposições de 
equivalência 
lógica 
• Revisão 
Introdução
Desde a antiguidade, o ser humano busca encontrar a explicação 
correta para os fenômenos que observa. À medida que expande 
essas observações, ele aumenta o seu conhecimento e amplia a 
sua capacidade de estabelecer novas conclusões sobre quaisquer 
outras situações que vão se apresentando.
Em nossos tempos, um fato que se repete diariamente na vida das 
pessoas é a necessidade de tomar decisões a partir de situações 
que nos desafiam a cada manhã. Entretanto, é interessante observar 
que muitas dessas situações, embora observadas de uma maneira 
diferente, podem conduzir a uma mesma conclusão final.
Em nosso estudo de raciocínio lógico, chamamos esse tipo de 
situação de “equivalência lógica”, e são exatamente esses aspectos 
do nosso pensamento que discutiremos nesta unidade.
Exemplificando, analisaremos uma proposição simples relacionada 
à jornada de trabalho de um indivíduo qualquer.
“João Pedro trabalha somente de segunda a sábado”.
Poderíamos dizer: “Se hoje é domingo, então João Pedro não vai 
trabalhar”.
Da mesma forma, poderia ser concluída outra situação baseada 
nessa mesma premissa: “Se hoje não é domingo, então João Pedro 
vai trabalhar”.
São observações distintas, obtidas pela mesma premissa básica e que, 
por análises diferentes, produziram o mesmo significado lógico. Em 
outras palavras, são observações diferentes que possuem o mesmo 
significado.
Como podemos perceber, essa forma de conduzir o nosso pensamento 
e estabelecer conclusões diferentes poderá ser muito útil em nossa 
vida estudantil, profissional e cotidiana.
Vamos então iniciar mais essa etapa de nosso estudo aprendendo um 
pouco mais sobre essas estruturas diferentes, mas equivalentes entre si.
Iniciaremos a unidade mostrando o que é uma equivalência lógica e 
como identificá-la por meio de uma tabela-verdade.
Em seguida, apresentaremos propriedades da equivalência lógica, a 
saber: reflexiva, simétrica e transitiva.
Mostraremos que as proposições associadas a uma condicional 
(recíproca, contrária e contrapositiva) são logicamente equivalentes.
No item “Álgebra das proposições de equivalência lógica”, aprenderemos 
diversas regras, como da idempotência, da dupla negação, da 
comutatividade de Clavius, da associatividade, da distributividade, de 
Augustus De Morgan, da absorção, da condicional e da bicondicional.
Como “Aplicação na Prática”, apresentaremos a resolução de questões 
de concurso relacionadas à teoria aprendida nesta unidade.
E, por fim, será sugerida a consulta a três livros. O primeiro apresentadiversos exercícios de concurso sobre o tema “equivalência lógica”. Os 
outros dois destinam-se àqueles alunos que precisam se aprofundar 
na Matemática, ou seja, na relação entre a ‘teoria dos conjuntos’ e a 
‘lógica sentencial’. 
unidade 8
193
RACIOCÍNIO LÓGICO
Equivalência 
lógica
Duas proposições p e q são logicamente equivalentes, ou 
equivalentes, se as tabelas-verdade dessas duas proposições forem 
idênticas. Em termos textuais, duas proposições são equivalentes 
quando traduzem a mesma ideia, diferindo apenas na forma de 
apresentar essa ideia.
Uma expressão proposicional da forma bicondicional p ↔ q, que é 
também uma tautologia, é chamada ‘equivalência’ (ou equivalência 
lógica). As proposições p e q são ditas equivalentes, e escrevemos 
p ⇔ q, conforme ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 74
Neste exemplo, verificaremos se a expressão p → q ↔ ~q → ~p é 
uma equivalência, conforme podemos observar na TABELA 39, a 
seguir, referente à sua tabela-verdade.
Para sua construção, já aprendemos neste curso que o conectivo 
lógico bicondicional (↔) é verdadeiro se, e somente se, seus 
componentes têm os mesmos valores lógicos.
Observa-se nas quinta e sexta colunas que as proposições têm valores 
lógicos iguais, ou seja, são simultaneamente verdadeiras e falsas.
TABELA 39 – Tabela-verdade do exemplo 74
Fonte: Elaborado pelos autores.
p ~pq ~q (~q → ~p)(p → q) (p → q) ↔ ( ~q → ~p)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
Taulogia
unidade 8
194
RACIOCÍNIO LÓGICO
Podemos concluir 
então que, se duas 
proposições são 
equivalentes, é 
porque possuem 
a mesma tabela-
verdade e, 
reciprocamente, se 
duas proposições 
possuem a mesma 
tabela-verdade, elas 
são equivalentes.
Então, (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia, o que acarreta a 
equivalência lógica.
Por tratar-se de uma equivalência lógica, a notação é: p → q ∧ 
~q → ~p .
Como essa expressão é também uma tautologia (é V em todos os 
casos), seus componentes têm o mesmo valor lógico em todos os 
casos, isto é, têm a mesma tabela-verdade.
Podemos concluir então que, se duas proposições são equivalentes, 
é porque possuem a mesma tabela-verdade e, reciprocamente, 
se duas proposições possuem a mesma tabela-verdade, elas são 
equivalentes.
Decorre dessa definição que todas as tautologias e contradições 
são equivalentes entre si.
Cabe destacar que os símbolos ↔ e ⇔ são distintos. Quando (p ↔ q) 
for uma tautologia, escrevemos sua relação de equivalência (p ⇔ q).
Propriedades da relação 
de equivalência lógica
A relação de equivalência lógica entre proposições possui as 
propriedades reflexiva, simétrica e transitiva apresentadas abaixo.
• Reflexiva: p ⇔ p 
A propriedade reflexiva significa que uma proposição é logicamente 
equivalente a ela mesma, ou ao seu idêntico. 
unidade 8
195
RACIOCÍNIO LÓGICO
Uma relação é 
simétrica se a 
relação bicondicional 
de p com q implicar a 
relação bicondicional 
de q com p.
Exemplo 75
A proposição “Alexandre é professor” é (e será sempre) equivalente 
a “Alexandre é professor”, que é a proposição idêntica à primeira.
• Simétrica: Se p ⇔ q então q ⇔ p
Uma relação é simétrica se a relação bicondicional de p com q 
implicar a relação bicondicional de q com p.
Exemplo 76
A relação “João é irmão de Pedro” é simétrica, pois “se João é irmão 
de Pedro, então Pedro é irmão de João”.
• Transitiva: Se p ⇔ q e q ⇔ r então p ⇔ r
Uma relação é transitiva se p implica q e q implica r, então p implica r.
Exemplo 77
A frase “Se Fernanda é mãe de Bernardo, e Bernardo é pai de Ana Luíza, 
então Fernanda é avó de Ana Luíza”, é uma proposição transitiva.
Proposições associadas 
a uma condicional 
que apresentam 
equivalência lógica
Dada a condicional p → q, chamamos de proposições associadas à 
p → q às três proposições condicionais que contêm p e q. 
1. Proposição recíproca da condicional: p → q: q → p
2. Proposição contrária da condicional: p → q: ~p → ~q
unidade 8
196
RACIOCÍNIO LÓGICO
3. Proposição contrapositiva da condicional: p → q: ~q → ~p
Exemplo 78
Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos lados:
Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida, ou seja, 
os três lados têm o mesmo tamanho (a=b=c).
Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida, ou seja, dois 
lados de tamanhos iguais (a=b≠c).
Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, 
três lados de tamanhos diferentes (a≠b≠c).
Seja a seguinte proposição condicional: 
p → q: Se um triângulo é equilátero, então ele é isósceles.
A recíproca da condicional é: q → p: Se um triângulo é isósceles, então ele é equilátero.
A contrária da condicional é: ~p → ~q: Se um triângulo não é equilátero, então ele não é isósceles 
A contrapositiva da condicional é: ~q → ~p: Se um triângulo não é isósceles, então ele não é equilátero.
A tabela-verdade (TABELA 40) dessas proposições é apresentada a 
seguir.
TABELA 40 – Tabela-verdade do exemplo 78
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q ~p ~q q → p ~p → ~q ~q → ~pp → q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
Condicional
V
V
F
V
Recíproca
V
F
V
V
Contrapositiva
V
V
F
V
Contrária
unidade 8
197
RACIOCÍNIO LÓGICO
Conforme será 
demonstrado, a 
validade dessas 
regras pode ser 
comprovada 
facilmente, 
construindo-
se a respectiva 
tabela-verdade 
da bicondicional 
lógica associada à 
equivalência lógica 
em questão. 
Observamos, nessa tabela-verdade, algumas importantes 
propriedades, destacadas a seguir.
 1a) A condicional p → q (direta) e a sua contrapositiva 
(contrarrecíproca) ~q → ~p são equivalentes, isto é, 
simbolicamente tem-se: p → q ⇔ ~q → ~p.
 2a) A recíproca q → p e a contrária (inversa) ~p → ~q da 
condicional p → q são equivalentes, isto é, simbolicamente 
tem-se: q → p ⇔ ~p → ~q.
 3a) A condicional p → q não é equivalente à sua recíproca 
q → p nem à sua contrária ~p → ~q.
Álgebra das proposições 
de equivalência lógica
Apresentamos, nos exemplos a seguir, algumas das regras de 
equivalência lógica mais importantes da lógica proposicional. 
Conforme será demonstrado, a validade dessas regras pode ser 
comprovada facilmente, construindo-se a respectiva tabela-verdade 
da bicondicional lógica associada à equivalência lógica em questão.
Como vimos no estudo de implicações lógicas, não é necessário 
decorar as regras de equivalência. O importante é que você entenda o 
mecanismo de verificação da veracidade das equivalências e observe 
que, apesar da complexidade de algumas, cada uma tem por base as 
proposições que estamos estudando desde o início desta disciplina.
Regras da idempotência
Refere-se à possibilidade de aplicar, várias vezes, algumas operações, 
sem que o valor do resultado se altere após a aplicação inicial.
unidade 8
198
RACIOCÍNIO LÓGICO
A regra da dupla 
negação afirma 
que, se negarmos 
a negação de 
uma proposição, 
o resultado será 
(logicamente 
equivalente a) a 
proposição original.
Exemplo 79: Regras da idempotência
As proposições p e p são equivalentes, isto é, simbolicamente: p ʌ p ⇔ p 
ou ~p v p ⇔ p conforme demonstrado na TABELA 41.
TABELA 41 – Tabela-verdade do exemplo 79
Fonte: Elaborado pelos autores.
p ~p v p p ʌ p ⇔ pp ʌ p p v q ⇔ p
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
Taulogias
Regra da dupla negação
Já estudamos que a negação de uma proposição é utilizada para 
alterar seu valor lógico, dando sentido contrário. Assim, se p é uma 
proposição verdadeira, ~p é falsa, e vice-versa.
A regra da dupla negação afirma que, se negarmos a negação de 
uma proposição, o resultado será (logicamente equivalente a) a 
proposição original.
Assim, se formos negar ~p (citada acima), trocaremos seu valor 
lógico de falso para verdadeiro, obtendo a proposição original, ou 
seja, p.
Essa lógica pode ser aplicada a exemplos cotidianos, tais como “eu 
não vi ninguém”, que é equivalente a “eu vi alguém”; “eu não quero 
nada”, que é equivalentea “eu quero alguma coisa”; “eu não pedi 
nada”, que é equivalente a “eu pedi alguma coisa”; “eu não gosto de 
ninguém”, logicamente equivalente a “eu gosto de alguém”, dentre 
outros exemplos. Lembrando que, embora seja a lógica, na prática 
esses não os significados correntes no português usado no Brasil.
unidade 8
199
RACIOCÍNIO LÓGICO
A comutatividade é 
uma propriedade de 
operações binárias, 
ou de ordem mais 
alta, em que a ordem 
dos operandos 
(termos) não altera o 
resultado final. 
Exemplo 80: Regra da dupla negação
Para mostrar que as proposições ~~p e p são equivalentes, isto 
é, ~~p ⇔ p, construímos sua tabela-verdade, apresentada na 
TABELA 42.
Por tratar-se de uma tautologia, as proposições ~~p e p são 
equivalentes.
TABELA 42 – Tabela-verdade do exemplo 80
Fonte: Elaborado pelos autores.
p ~~p p ⇔ ~~p~p
V
F
F
V
V
F
V
V
Tautologia
Leis da comutatividade
A comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou 
de ordem mais alta, em que a ordem dos operandos (termos) não 
altera o resultado final.
Exemplo 81: leis da comutatividade
Essas leis da comutatividade são bastante conhecidas na 
multiplicação matemática, popularmente expressa por meio da 
frase: “a ordem dos fatores não altera o produto”, ou seja,
p ʌ q ⇔ q ʌ p e p v q ⇔ q v p
Conforme ilustrado na TABELA 43.
unidade 8
200
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 43 – Tabela-verdade do exemplo 81
p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
Tautologias
q ˄ pp ˄ q p ˅ q q ˅ p (p ˄ q) ↔ (q ˄ p) (p ˅ q) ↔ (q ˅ p) 
Fonte: Elaborado pelos autores.
Textualmente, temos: 
• Fui à praia e ao supermercado.
É logicamente equivalente à:
• Fui ao supermercado e à praia.
• Fui à praia ou ao supermercado.
É logicamente equivalente à:
• Fui ao supermercado ou à praia.
Regra de Clavius
A implicação lógica da negativa da proposição nela mesma é 
equivalente a ela mesma.
Exemplo 82: Regra de Clavius
As proposições (~p → p) e p são equivalentes, ou seja, 
simbolicamente temos: ~p → p ⇔ p, conforme demonstrado na 
TABELA 44.
unidade 8
201
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 44 – Tabela-verdade do exemplo 82
Fonte: Elaborado pelos autores.
p ~p → p (~p → p) ↔ p~p
V
F
F
V
V
F
V
V
Tautologia
Leis da associatividade
Essas leis mostram que a ordem das operações aplicadas não 
altera o resultado, conforme expressões da associatividade 
da conjunção (p ʌ q) ʌ r ⇔ p ʌ (q ʌ r) e da associatividade da 
disjunção (p v q) v r ⇔ p v (q v r).
Exemplo 83: Leis da associatividade
Nesse exemplo, foram construídas as tabelas-verdade das leis de 
associatividade da conjunção (p ʌ q) ʌ r ⇔ p ʌ (q ʌ r) (TABELA 45 A) e 
da associatividade da disjunção (p v q) v r ⇔ p v (q v r) (TABELA 45 B).
TABELA 45 A – Tabela-verdade do exemplo 83
p q
V
V 
V
V
F
F
F
F
V
V 
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
Tautologia
r p ˄ q q ˄ r(p ˄ q) ˄ r p ˄ (q ˄ r) (p ˄ q) ˄ r ↔ p ˄ (q ˄ r) 
Fonte: Elaborado pelos autores.
unidade 8
202
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 45 B – Tabela-verdade do exemplo 83
p q
V
V 
V
V
F
F
F
F
V
V 
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
Tautologia
r p ˅ q q ˅ r(p ˅ q) ˅ r p ˅ (q ˅ r) (p ˅ q) ˅ r ↔ p ˅ (q ˅ r) 
Fonte: Elaborado pelos autores.
Textualmente, temos: 
• Cristina comprou um livro e um pen-drive e um DVD.
Equivale à:
• Cristina comprou um livro, um DVD e um pen-drive.
• Cristina comprou um livro ou um pen-drive ou um DVD.
Equivale à:
• Cristina comprou um livro ou um DVD ou um pen-drive.
 
Leis da distributividade
A distributividade é uma propriedade de duas operações binárias. 
Nela, a ordem em que as operações são efetuadas podem, de certa 
forma, serem trocadas.
unidade 8
203
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplo 84: Leis da distributividade
Neste exemplo, foram construídas as tabelas-verdade das leis da 
distributividade p ʌ (q v r) ⇔ (p ʌ q) v (p ʌ r), conforme ilustrado na 
TABELA 46 A e p v (q ʌ r) ⇔ (p v q) ʌ (p v r), conforme ilustrado na 
TABELA 46 B.
TABELA 46 A – Tabela-verdade do exemplo 84
Tabela 46 B – Tabela-verdade do exemplo 84
p q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
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F
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F
F
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F
V
V
V
V
V
F
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F
V
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V
V
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F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Tautologia
Tautologia
r p ˄ q p ˄ r q ˅ r p ˄ (q ˅ r) (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) p ˄ (q˅r) ↔ (p˄q) ˅ (p˄r)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Fonte: Elaborado pelos autores.
p q r p ˅ q p ˅ r q ˄ r p ˅ (q ˄ r) (p ˅ q) ˄ (p ˅ r) p ˅ (q˄r) ↔ (p˅q) ˄ (p˅r)
unidade 8
204
RACIOCÍNIO LÓGICO
Assim: ~(p ˄ q) ⇔ 
~p ˅ ~q e negar a 
ocorrência de, pelo 
menos, p ou q é 
afirmar nem p e nem 
q, cuja expressão é: 
~(p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q.
Textualmente, temos: 
• O carro é azul e Mariana o comprou ou o ganhou.
Equivale à: 
• O carro é azul e Mariana o comprou ou o carro é azul e 
Mariana o ganhou.
Leis de Augustus De Morgan 
(1806-1871)(4)
Da autoria do ilustre matemático inglês Augustus De Morgan, 
essas leis dizem que negar a simultaneidade de p e q é afirmar, 
pelo menos, não p ou não q. Assim: ~(p ˄ q) ⇔ ~p ˅ ~q e negar 
a ocorrência de, pelo menos, p ou q é afirmar nem p e nem q, cuja 
expressão é: ~(p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q.
De acordo com ALENCAR FILHO (2002, pg.73), pelas regras de 
Augustus De Morgan, a negação transforma:
1. a conjunção em disjunção
2. a disjunção em conjunção
Exemplo 85: Leis de Augustus De Morgan
Essas leis são demostradas por meio de suas respectivas tabelas- 
verdade, conforme ilustrado na TABELA 47 A e na TABELA 47 B, 
respectivamente.
4- ALENCAR FILHO, 2002; pg.73.
unidade 8
205
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 47 A – Tabela-verdade do exemplo 85
p q ~p ~q ~p ˅ ~q~(p ˄ q) ~(p ˄ q) ↔ (~p ˅ ~q)p ˄ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
Tautologia
F
V
V
V
Fonte: Elaborado pelos autores.
TABELA 47 B – Tabela-verdade do exemplo 85
p q ~p ~q ~p ˄ ~q~(p ˅ q) ~(p ˄ q) ↔ ~p ˄ ~qp ˅ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
Tautologia
F
F
F
V
Fonte: Elaborado pelos autores.
Textualmente, temos: 
1a expressão: ~(p ˄ q) ⇔ ~p ˅ ~q
• Não é verdade que Thiago não é engenheiro e estuda.
É equivalente a: 
• Thiago é engenheiro ou estuda.
2a expressão: ~(p ˅ q) ⇔ ~p ˄ ~q
A frase “É FALSO que Michel Temer é presidente do Brasil OU 
foi eleito democraticamente pelo voto popular” é logicamente 
equivalente a “Michel Temer NÃO é presidente do Brasil ou não foi 
eleito democraticamente pelo voto popular”.
unidade 8
206
RACIOCÍNIO LÓGICO
Lei da absorção 
A regra estabelece que se p implica q, então p implica p ˄ q. A regra 
torna possível introduzir conjunções em provas. Isso é chamado de 
lei de absorção, visto que o termo q é "absorvido" pelo termo p na 
consequência. Assim temos: (p → q) ⇔ p → (p ˄ q). 
Exemplo 86: Lei da absorção
Demonstra-se, por meio da tabela-verdade, que as proposições 
(p → q) e p → (p ˄ q) são logicamente equivalentes, ou seja, 
simbolicamente temos: (p → q) ⇔ p → (p ˄ q) , conforme mostrado 
na TABELA 48.
TABELA 48 – Tabela-verdade do exemplo 86
p q p ˄ q p → (p ˄ q) (p → q) ↔ (p → (p ˄ q))p → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
Tautologia
Fonte: Elaborado pelos autores.
Textualmente, temos:
• Se João é casado com Maria então João é marido de Maria 
(p → q).
• João é casado com Maria e João é marido de Maria (p ^ q).Então podemos dizer que:
• João é casado com Maria, então João é marido de Maria 
implica em João é casado com Maria então João é casado 
com Maria e é marido de Maria (p → q ⇔ p → (p ^ q))
unidade 8
207
RACIOCÍNIO LÓGICO
Lei da condicional
Essa equivalência lógica é de grande importância, pois 
permite transformar a condicional por uma disjunção, ou seja, 
(p → q) ⇔ (~p ˅ q).
Exemplo 87: Lei da condicional
A condicional (p → q) e a disjunção (~p ˅ q) têm tabelas-verdade 
idênticas e são simbolicamente equivalentes. Conforme mostrado 
na tabela 49, temos: (p → q) ⇔ (~p ˅ q).
TABELA 49 – Tabela-verdade do exemplo 87
p q ~p ~p ˅ q (p → q) ↔ (~p ˅ q)p → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
Tautologia
Fonte: Elaborado pelos autores.
Textualmente, temos: 
• Se a chuva continua, o rio vai inundar suas margens.
Equivale a:
• A chuva NÃO continua ou o rio vai inundar suas margens.
Lei da bicondicional e a conjunção
Essa equivalência lógica também é de grande importância, pois 
permite transformar a bicondicional numa conjunção, conforme a 
seguinte expressão: (p ↔ q) ⇔ (p → q) ˄ (q → p).
unidade 8
208
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 50 – Tabela-verdade do exemplo 88
p q
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
Tautologia
(p ↔ q) ↔ ((p → q) ˄ (q → p))
Fonte: Elaborado pelos autores.
p ↔ q p → q (p → q) ˄ (q → p)q → p
Textualmente, temos: 
• Um número é divisível por dez se, e somente se, ele terminar 
em zero.
p: um número é divisível por zero
q: um número é múltiplo de dez
Equivale a:
• Se um número terminar em zero, então ele é múltiplo de 
dez e Se um número for múltiplo de dez, então ele termina 
em zero.
Lei da bicondicional e a disjunção
Como no item anterior, essa equivalência lógica também é de grande 
importância, pois permite transformar a bicondicional numa disjunção, 
conforme a seguinte expressão: (p ↔ q) ⇔ (p ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q).
Exemplo 88: Lei da bicondicional e a conjunção
A bicondicional (p ↔ q) e a conjunção (p → q) ˄ (q → p) têm 
tabelas-verdade idênticas e são simbolicamente equivalentes. 
Conforme TABELA 50, temos: (p ↔ q) ⇔ (p → q) ˄ (q → p).
unidade 8
209
RACIOCÍNIO LÓGICO
TABELA 51 – Tabela-verdade do exemplo 89
p ~pq ~q
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
Tautologia
p ˄ q(p ↔ q) ~p˄~q (p˄q)˅(~p˄~q) (p ↔ q) ↔ (p˄q)˅(~p˄~q)
Fonte: Elaborado pelos autores.
Textualmente, temos: 
• Um número é divisível por dez se, e somente se, ele terminar 
em zero.
E logicamente equivale a:
• Um número é divisível por dez e termina em zero ou não é 
divisível por dez e não termina em zero.
Regras de equivalência lógica
Em alguma situação de sua vida pessoal ou profissional, você talvez tenha 
que interpretar questões de raciocínio lógico, por exemplo, nas provas de 
concursos e exames de admissão. Para isso, aprendemos neste curso 
as regras de formação de proposições; sintaxe dos conectivos lógicos; 
montagem e análise de tabelas-verdade de estruturas completas, formadas 
por várias proposições e conectivos lógicos diferentes; identificação das 
Exemplo 89: Lei da bicondicional e a disjunção
A bicondicional (p ↔ q) e a disjunção (p ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q) têm 
tabelas-verdade idênticas e são simbolicamente equivalentes. 
Conforme TABELA 51, temos: (p ↔ q) ⇔ (p ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q).
unidade 8
210
RACIOCÍNIO LÓGICO
QUADRO 5 - Propriedades e regras da equivalência lógica
p ↔ q
(p ↔ q) → (q ↔ p)
(p → q) ↔ (q → p)
(p → q) ↔ (~p → ~q)
(~p → p) ↔ p
~(p ˄ q) ↔ (~p ˅ ~p) ~(p ˄ q) ⇔ (~p ˅ ~p)
~(p ˅ q) ↔ (~p ˄ ~p) ~(p ˅ q) ⇔ (~p ˄ ~p)
(~p → p) ⇔ p
(p → q) ↔ (~q → ~p)
(p → q) ⇔ (~p → q)
(p → q) ⇔ (~q → ~p)
p → q ⇔ q → p
(p ↔ q) ˄ (q ↔ r) → (p ↔ r)
(p ˄ p) ↔ p
(p ˄ q) ↔ (q ˄ p)
((p ˄ q) ˄ r) ↔ (p ˄ (q ˄ r))
p → (p ˄ q)) ↔ (p → r)
(p → q) ↔ (~p ˅ q) (p → q) ⇔ (~p ˅ q) 
p → (p ˄ q) ⇔ (p → r)
p ˄ (q ˅ r) ↔ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
(p ↔ q) ↔ ((p → q) ˄ (q → p))
(p ↔ q) ↔ (p ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q) (p ↔ q) ⇔ ((p ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q))
(p ↔ q) ⇔ ((p → q) ˄ (q → p))
p ˄ (q ˅ r) ⇔ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
p ˅ (q ˄ r) ↔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r) p ˅ (q ˄ r) ⇔ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
(p ˄ q) ˄ r) ⇔ (p ˄ (q ˄ r)
((p ˅ q) ˅ r) ↔ (p ˅ (q ˅ r)) (p ˅ q) ˅ r) ⇔ (p ˅ (q ˅ r)
p ˄ q ⇔ q ˄ p
(p ˅ q) ↔ (q ˅ p) p ˅ q ⇔ q ˅ p
(p ˄ p) ⇔ p
(p ˅ p) ↔ p
~~p ↔ p ~~p ⇔ p
(p ˅ p) ⇔ p
(p ⇔ q) ˄ (q ⇔ r) → (p ⇔ r)
(p ⇔ q) → (q ⇔ p)
p ⇔ p
Fonte: Elaborado pelos autores.
Propriedades 
e regras Bicondicional Equivalência
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Recíproca
Contrária
Contrapositiva
Idempotência
Dupla negação
Comutatividade
de Clavius
Associatividade
Distributividade
de Augustus 
De Morgan
Absorção
Condicional
Bicondicional 
e a Conjunção
Bicondicional 
e a Disjunção
equivalências lógicas e também de algumas propriedades, regras e leis. 
Tudo foi exposto resumidamente no QUADRO 5 a seguir.
unidade 8
211
RACIOCÍNIO LÓGICO
Esses conceitos serão bastante úteis na solução de questões de concurso, 
como as questões apresentadas no exemplo 89 e 90 a seguir.
Exemplo 89: (ESAF-AFC, 2002 apud Rocha, 2006, 
pg. 86-87). 
Dizer que "não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto", é logicamente 
equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto;
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto;
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto;
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto;
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Primeiramente, lembremos que a sentença "Dizer que não é verdade" 
é o mesmo que negar a frase seguinte, ou seja, é o mesmo que negar a 
sentença "Pedro é pobre e Alberto é alto".
Identifiquemos, então as proposições:
p: Pedro é pobre
q: Alberto é alto
proposição composta: p ˄∧q
Negar p ˄∧q é o mesmo que escrever ~(p ˄∧q) e, conforme aprendemos 
anteriormente, pela regra de Augustus De Morgan, a negação transforma 
uma conjunção em disjunção.
Assim, teremos: ~(p ˄∧q) ↔ ~p ˅ ~q.
Textualmente temos: "Pedro não é pobre ou Alberto não é alto".
Essa resposta é dada pela letra "a" do gabarito.
unidade 8
212
RACIOCÍNIO LÓGICO
Revisão
Nesta unidade, aprendemos a reconhecer uma equivalência 
lógica e a refletir sobre a sua utilização prática. Por uma definição 
clássica, já sabíamos que ‘equivalência lógica’ é uma situação em 
que as tabelas-verdade de proposições compostas diferentemente 
estruturadas podem ser idênticas. O conhecimento da existência 
dessa possibilidade nos permite, então, estudar as diferentes 
maneiras lógicas de se obter um resultado almejado.
São ocorrências que nos permitem interpretar, de forma particular, 
situações em que podemos obter respostas lógicas idênticas, 
percorrendo trajetórias diferentes.
Nosso estudo começou com o entendimento dessas situações 
práticas e prosseguiu à medida que procuramos estudar as suas 
características principais.
Analisamos suas propriedades e características principais, como 
as proposições recíproca, contrária e contrapositiva; as regras da 
idempotência e da dupla negação; as leis da comutatividade, da 
associatividade, da distributividade, da absorção; o estudo das leis 
da estrutura condicional e da bicondicional com a conjunção e a 
disjunção.
Após este estudo, podemos considerar uma ampla possibilidade 
de analisarmos proposições de diversas formas e obter, por etapas 
diferentes, as conclusões necessárias, conforme os exemplos 
apresentados ao longo desta unidade.
unidade 8
213
RACIOCÍNIO LÓGICO
A lógica da teoria dos conjuntos
Para aprofundar no tema e saber mais sobre as teorias dos conjuntos e da 
equivalência lógica matemática, indicamos três livros. 
1 - Raciocínio Lógico para Concursos, de Samuel Liló Abdalla. Editora 
Saraiva, 1a edição, 2012. Como o próprio nome diz, apresenta diversos 
exercícios sobre o tema desta unidade.
Esse livro encontra-se disponível na biblioteca virtual da UNA, em: "Minha 
biblioteca".
ABDALLA, SamuelLiló. Raciocínio Lógico para Concursos. 1 ed. São Paulo: 
Saraiva, 2012.
2 - Como desenvolver o raciocínio lógico - soluções criativas na teoria 
dos conjuntos, de Vera Syme Jacob Benzecry e Kleber Albanêz Rangel. 
LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 3a edição, 2008. É 
um livro indicado para quem pretende aplicar o seu conhecimento 
matemáticos na área de programação computacional, desenvolvendo 
algoritmos. 
Disponível na biblioteca virtual da UNA, em: "Minha biblioteca”
BENZECRY, Vera Syme Jacob; RANGEL, Kleber Albanêz. Como desenvolver 
o raciocínio lógico - soluções criativas na teoria dos conjuntos. 3 ed. Rio de 
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 2008.
3 - "Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos", de Jaime 
Campos Ferreira (2001). Trata-se de uma publicação do Departamento 
de Matemática do Instituto Superior Técnico de Portugal. Esse livro 
está disponível no seguinte endereço eletrônico: 
FERREIRA, Jaime Campos. Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos 
conjuntos. Instituto Superior Técnico de Portugal, 2001. Disponível em: 
<http://www.math.ist.utl.pt/~jmatos/ltc/full.pdf>. Acesso em 16 jun. 2015.
RACIOCÍNIO LÓGICO
214
ABDALA, Samuel Liló. Raciocínio Lógico e Informática – Coleção 
preparatória para concurso de Delegado de Polícia. São Paulo: Saraiva, 
2014.
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: 
Nobel, 2002.
BÊRNI, Duilio de Avila; FERNANDEZ, Brena Paula Magno. Teoria dos 
Jogos. 1 ed. São Paulo: Saraiva, 2014. 312p. 
BIERMAN, H. Scott; FERNANDEZ, Luis. Teoria dos jogos. Trad. MARQUES, 
Arlete Simille; Rev. Técnica: KADOTA, Décio Katsushigue. 2 ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2011. (Livro Eletrônico)
Cervo, Amado Luiz; Bervian, Pedro Alcino; Silva, Roberto da. Metodologia 
Científica. 6 ed. Pearson Prentice Hall, 2007. p. 176.
Loyola, Ronilton. Raciocínio lógico para concursos: teoria e questões. 
São Paulo: Método, 2011.
MARIANO, Fabrício. Raciocínio lógico para concursos: teorias e questões. 
4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. 368 p. (Provas e concursos).
RIBEIRO, Hérica. Os jogos aprimoram as habilidades cognitivas. In: Site 
“Supera”. Disponível em: <http://metodosupera.com.br/saude-mental/
os-jogos-aprimoram-as-habilidades-cognitivas/>. Acesso em: 13 jul. 
2015.
ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico/teoria e questões. 2 ed. Rio de 
Janeiro: Elsevier, 2006.
Referências
http://metodosupera.com.br/saude-mental/os-jogos-aprimoram-as-habilidades-cognitivas/
http://metodosupera.com.br/saude-mental/os-jogos-aprimoram-as-habilidades-cognitivas/
RACIOCÍNIO LÓGICO
215
Rocha, Enrique; Aires, Marcos. Lógica do Cotidiano: como o Raciocínio 
Lógico contribui para o seu desenvolvimento profissional. São Paulo: 
Impetus, 2010. p.214
SÁ, Ilydio Pereira de. Raciocínio Lógico: Concursos públicos/formação 
de professores. Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda, 2008.
Site “Supera” – Ginástica para o cérebro. Desenvolvido por: Método 
Supera. Disponível em: <http://metodosupera.com.br/artigos-sobre-o-
cerebro/seu-cerebro-comanda-seu-sucesso/>. Acesso em: 03 jul. 2015.
Zegarelli, Mark. Lógica para leigos. Rio de Janeiro, RJ: Alta Books, 2013. 
384 p.:il; 24 cm.
www.animaeducacao.com.br