526250117_pH_EM_EXATAS_2SERIE_CAD1_MP_MATEMATICA_I

Prévia do material em texto

<p>ENSINO</p><p>MÉDIO</p><p>1Cadern</p><p>o</p><p>2a</p><p>série</p><p>MANUAL DO</p><p>PROFESSOR</p><p>Matemática IO Sistema de Ensino pH apresenta um material capaz de</p><p>auxiliar o aluno a enxergar os caminhos que ele poderá</p><p>seguir, possibilitando que, ao fi nal do Ensino Médio, ele</p><p>tenha desenvolvido um pensamento crítico para atuar</p><p>como cidadão, enfrentar os desafi os da sociedade e</p><p>obter excelentes resultados no Enem e nos demais</p><p>vestibulares do Brasil.</p><p>526250117</p><p>296224</p><p>CAPAS_PH_EXATAS_PROF_C1.indd 5 10/18/16 10:11 AM</p><p>Matemática I</p><p>Manual do Professor</p><p>Claudia Lucia Deda e Guedes</p><p>Paulo Henrique Silva</p><p>Diego Alves</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 1 4/30/16 2:53 PM</p><p>Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo</p><p>Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves</p><p>Coordenação editorial: Camila Amaral Souza</p><p>Coordenação pedagógica: Fabrício Cortezi</p><p>de Abreu Moura</p><p>Edição: Pietro Ferrari (Matemática e Física),</p><p>Rodolfo Marinho (Química e Biologia)</p><p>Assistência editorial: Isabela Ramalho</p><p>Colaboração: Obá Editorial</p><p>Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga</p><p>Coordenação de produção: Fabiana Manna</p><p>Revisão: Hélia Gonsaga (ger.), Danielle Modesto, Edilson</p><p>Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Marina Saraiva,</p><p>Tayra Alfonso, Vanessa Lucena</p><p>Edição de arte: Gláucia Correa Koller (coord.),</p><p>Daniel Hisashi Aoki</p><p>Diagramação: Casa de Tipos</p><p>Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Denise Durand Kremer</p><p>(coord.), Ellen Colombo Finta, Karina Tengan (pesquisa)</p><p>Tratamento de imagem: Cesar Wolf, Fernanda Crevin</p><p>Licenças e autorizações: Patrícia Eiras</p><p>Ilustrações: Casa de Tipos, Luis Moura</p><p>Cartografia: Eric Fuzii</p><p>Capa: Gláucia Correa Koller</p><p>Foto de capa: Sanjatosi/Shutterstock</p><p>Projeto gráfico de miolo: Gláucia Correa Koller</p><p>Editoração eletrônica: Casa de Tipos</p><p>Todos os direitos reservados por SOMOS</p><p>Sistemas de Ensino S.A.</p><p>Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro</p><p>CEP: 04755-070 – São Paulo – SP</p><p>(0xx11) 3273-6000</p><p>© Somos Sistemas de Ensino S.A.</p><p>Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)</p><p>(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)</p><p>Uma publicação</p><p>Sistema de ensino pH : ensino médio : caderno 1a</p><p>4 : exatas, 2a série : professor. -- 1. ed. --</p><p>São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 2017.</p><p>Vários autores.</p><p>Conteúdo: Matemática I -- Matemática II --</p><p>Física -- Química -- Biologia</p><p>1. Biologia (Ensino médio) 2. Física (Ensino</p><p>médio) 3. Livros-texto (Ensino médio) 4. Matemática</p><p>(Ensino médio) 5. Química (Ensino médio).</p><p>16-01986 CDD-373.19</p><p>Índices para catálogo sistemático:</p><p>1. Ensino integrado : Livros-texto : Ensino Médio 373.19</p><p>2017</p><p>ISBN 978 854 680 126-8 (PR)</p><p>Código da obra 526250117</p><p>1ª edição</p><p>1ª impressão</p><p>Impressão e acabamento</p><p>Créditos das imagens de abertura: Matemática: Scorpp/Shutterstock, A3K/</p><p>iStock/Getty Images, Sami Sert/iStock/Getty Images, Tupungato/Shutterstock</p><p>(Matemática 1), Chris Sattlberger/Getty Images (Matemática 2), Ciências Naturais:</p><p>Kris Grabiec/Shutterstock, Kevin/Getty Images, Alan Tunnicliffe/Shutterstock,</p><p>Richard Whitcombe/Shutterstock (Biologia), Travel Ink/Getty Images (Física), Vadim</p><p>Petrakov/Shutterstock (Química)</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 2 10/18/16 10:19 AM</p><p>A Matemática: o incontornável fundamento de todas as ciências e a</p><p>generosa fonte de benefícios para os assuntos humanos.</p><p>Isaac Barrow</p><p>A Matemática, como ciência, busca desenvolver métodos para explicar e transformar o mundo ao nos-</p><p>so redor. Em todas as áreas técnico-científi cas a Matemática está presente, recolhendo dados, analisando,</p><p>criando, construindo, especulando, deduzindo e buscando padrões. A partir dessas análises, constroem-se</p><p>axiomas, teoremas, lemas, ou seja, um corpo gigantesco teorizado e amarrado a uma estrutura lógica, rica</p><p>e exata. A Matemática possui diversos ramos do conhecimento; ela estima quantidades e medidas; estuda</p><p>formas dimensionais, estruturas, variações de grandezas, tabelas, gráfi cos, etc. É a ciência do raciocínio lógi-</p><p>co e abstrato.</p><p>Foi com base nessas ideias que elaboramos este material. Os con-</p><p>teúdos aqui selecionados possuem uma rede de informações que estão</p><p>conectadas umas às outras por fundamentos e lógica. Temos como pre-</p><p>missa auxiliar o aluno no desenvolvimento de inúmeras habilidades ma-</p><p>temáticas que, quando bem administradas, lhe darão competências para</p><p>analisar e inferir sobre os diversos acontecimentos do mundo, nas áreas</p><p>fi nanceira, econômica, computacional, empresarial ou sociocultural.</p><p>Diferentemente da maioria das disciplinas que estudam objetos e si-</p><p>tuações concretas e se referem a eles, a Matemática trata de noções e ver-</p><p>dades de natureza abstrata. A generalidade das proposições matemáticas</p><p>exige precisão, por isso requer alta concentração e cuidado por parte dos</p><p>alunos; daí que muitos deles dizem não entender a disciplina. Tivemos</p><p>um cuidado enorme em nosso material de Ensino Médio para que os as-</p><p>suntos sejam contextualizados por meio de situações-problema. Assim, o</p><p>interesse pela matéria e a assimilação dela serão mais inteligíveis.</p><p>Destacamos, a seguir, os principais eixos estudados na 2a série do</p><p>Ensino Médio:</p><p>Matemática I</p><p>Análise da contagem/Probabilidade</p><p>• Princípio fundamental da contagem;</p><p>• Agrupamentos simples (arranjos simples, combinações simples e</p><p>permutações simples);</p><p>• Permutações com repetição;</p><p>Apresentação</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 3 4/30/16 2:53 PM</p><p>• Permutações circulares; princípios gerais de contagem (aspecto quantitativo);</p><p>• Cálculo de probabilidades em diversas situações-problema.</p><p>Matrizes/Sistemas lineares</p><p>• Notação de tabelas matriciais;</p><p>• Operações com matrizes;</p><p>• Cálculo e estruturação das soluções dos sistemas lineares em geral;</p><p>• Estudo de polinômios e equações polinomiais.</p><p>Matemática II</p><p>Geometria plana/espacial</p><p>• Semelhanças de triângulos;</p><p>• Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo;</p><p>• Polígonos regulares;</p><p>• Áreas das principais figuras planas;</p><p>• Estudo dos principais sólidos geométricos.</p><p>Os módulos do Caderno do Aluno foram estruturados de modo a criar um método bastante prático que</p><p>vise ao desenvolvimento pleno das habilidades e competências.</p><p>PARA COMEÇAR</p><p>Na seção Para começar procuramos estimular o aluno</p><p>apresentando questões ou problemas do cotidiano. As-</p><p>sim, o interesse pelo assunto se torna mais fácil e palpável.</p><p>PARA APRENDER</p><p>Na seção Para aprender serão explorados conceitos</p><p>fundamentados em teorias que contribuem para o desen-</p><p>volvimento do raciocínio lógico do aluno, abrangendo a</p><p>explicação de diferentes fenômenos do cotidiano. Em al-</p><p>guns módulos aparecem boxes que visam complementar</p><p>os assuntos de cada uma das seções.</p><p>SITUAÇÃO-PROBLEMA</p><p>Após o desenvolvimento do conteúdo, trazemos para</p><p>o aluno situações-problema que o ajudarão a assimilar e</p><p>aplicar o aprendizado.</p><p>PARA CONCLUIR</p><p>Na seção Para concluir fazemos um apanhado geral</p><p>sobre os principais objetos do conhecimento e as habili-</p><p>dades desenvolvidas ao longo do módulo.</p><p>A seção pH+ foi especialmente pensada para as escolas</p><p>que disponibilizam mais de cinco aulas por semana para o</p><p>ensino de Matemática, ou mesmo para as que tenham de-</p><p>mandas específi cas por conhecimentos mais aprofundados.</p><p>Assim, para elas, temos um conteúdo extra que pode ser ex-</p><p>plorado pelo professor de acordo com suas possibilidades.</p><p>pH</p><p>Na seção Gotas de saber temos textos curiosos sobre his-</p><p>tória da Matemática, biografi a de algum ícone das ciências ou</p><p>informações diversas trazidas pelo autor para estabelecer liga-</p><p>ção com o conteúdo do módulo.</p><p>GOTAS DE SABER</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 4 4/30/16 2:53 PM</p><p>Vale ressaltar que os objetos do conhecimento e as habilidades pensadas para serem desenvolvidas</p><p>na 2a série do Ensino Médio são baseadas na Matriz de Referência do Enem; não obstante, temos diversas</p><p>habilidades extras que julgamos fundamentais para os alunos desse segmento.</p><p>O Manual do Professor é um canal para o fomento e o fortalecimento de ideias, cujo intuito é dar ao</p><p>professor ferramentas de ensino-aprendizagem para melhor abordar o conteúdo com</p><p>O CONHECIMENTO</p><p>1. d.</p><p>1o) Escolhem-se 3 dentre os 7 pontos assinalados.</p><p>2o) Escolhem-se 3 dentre os 4 pontos sobre um</p><p>dos lados.</p><p>Total:</p><p>? ?</p><p>2</p><p>? ?7 6 5</p><p>3!</p><p>4 3 2</p><p>3!</p><p>5 35 – 4 5 31</p><p>3. 4 promessas:</p><p>? ?4 3 2</p><p>3!</p><p>5 4 comícios</p><p>5 promessas:</p><p>? ?5 4 3</p><p>3!</p><p>5 10 comícios</p><p>6 promessas:</p><p>? ?6 5 4</p><p>3!</p><p>5 20 comícios</p><p>7 promessas:</p><p>? ?7 6 5</p><p>3!</p><p>5 35 comícios</p><p>Logo, o número mínimo de promessas é igual a 7.</p><p>26</p><p>pH_EM2_C1_023a026_M5_Mat_MP.indd 26 4/30/16 2:56 PM</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO HABILIDADES</p><p>• Agrupamentos: combinações simples</p><p>• Aplicação do conceito de combinação simples</p><p>em problemas de análises quantitativas</p><p>• Resolver problemas de análise combinatória através da</p><p>identificação dos modelos combinatórios pertinentes:</p><p>combinações simples.</p><p>• Aplicar o conceito de combinação simples em proble-</p><p>mas do cotidiano.</p><p>6</p><p>Módulo</p><p>Combina•›es simples II</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Neste módulo são estudados agrupamentos de ele-</p><p>mentos distintos – combinações simples, com ênfase no</p><p>estudo das comissões. É de muita importância que o alu-</p><p>no perceba a necessidade de identificar, antes de resolver</p><p>o problema, se este se trata de um caso em que a ordem</p><p>dos elementos dentro do grupo escolhido é importante</p><p>ou não.</p><p>ESTRATÉGIAS DE AULA</p><p>AULA 1</p><p>Indica-se começar este módulo explicando o que</p><p>é uma comissão. Pode-se definir da seguinte maneira:</p><p>conjunto de pessoas designadas por uma autoridade ou</p><p>escolhidas por uma assembleia para estudar determinado</p><p>projeto, para dar pareceres ou para julgar tipos de eventos</p><p>ou casos. Em regra, quando não é definida uma função</p><p>(posição hierárquica) de cada membro dentro da comissão,</p><p>é porque a configuração interna dos elementos (pessoas)</p><p>não importa. Assim, uma comissão se diferencia de outra</p><p>quando ao menos um dos elementos do grupo é diferente.</p><p>Por exemplo, uma comissão julgadora é formada</p><p>pelos membros João, Paulo e Márcia. Ao se sentarem</p><p>numa banca, a ordem da esquerda para a direita ou da</p><p>direita para a esquerda não faz diferença, pois a comissão</p><p>é a mesma. Mas, se for trocada a pessoa João por Pedro,</p><p>a comissão muda.</p><p>O conceito de combinar n elementos tomados de p em</p><p>p vem da ideia de escolher de um conjunto de n elementos</p><p>um subconjunto de p elementos em que a ordem desses</p><p>elementos dentro do subconjunto é indiferente. Dito isso,</p><p>indica-se que nesse momento seja feita a diferenciação</p><p>dos conceitos combinar e arranjar elementos, como feito</p><p>na seção Para aprender.</p><p>Em seguida, indica-se a resolução dos exercícios 3 e 4</p><p>da seção Praticando o aprendizado e os exercícios 3 e 4 da</p><p>seção Desenvolvendo habilidades. Para casa sugerimos</p><p>o exercício da seção Desenvolvendo habilidades: 1; e os</p><p>exercícios da seção Aprofundando o conhecimento: 1, 2</p><p>e 3.</p><p>AULA 2</p><p>Nesta aula você deve mostrar como se calculam todas</p><p>as combinações possíveis de p elementos retirados de um</p><p>conjunto com n elementos. É adequado começar com um</p><p>exemplo numérico. Calcule todas as combinações possí-</p><p>veis de fazer a partir de um conjunto com 3 elementos e</p><p>em seguida de um conjunto com 4  elementos, fazendo</p><p>o aluno perceber que para qualquer conjunto com n ele-</p><p>mentos há 2n subconjuntos.</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 1 e 5;</p><p>27</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>II</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>6</p><p>pH_EM2_C1_027a030_M6_Mat_MP.indd 27 4/30/16 3:08 PM</p><p>Desenvolvendo habilidades: 3 e 4.</p><p>Para casa, sugerimos os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 2, 6 e 9;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 4, 5 e 6.</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>COMBINAÇÕES</p><p>Total de subconjuntos:</p><p>Exemplo: A 5 {a, b, c}</p><p>C</p><p>3,0</p><p>5 1: ∅</p><p>C</p><p>3,1</p><p>5 3: {a}, {b} e {c}</p><p>C</p><p>3,2</p><p>5 3: {a, b}, {a, c}, {b, c}</p><p>C</p><p>3,3</p><p>5 1: {a, b, c}</p><p>AULA 3</p><p>Nesta aula, é adequado complementar os argumen-</p><p>tos das aulas anteriores, resolvendo o exercício 2 da se-</p><p>ção Praticando o aprendizado e os exercícios 1, 2, 3, 7,</p><p>8 e 9 da seção Aprofundando o conhecimento.</p><p>ATIVIDADES COMPLEMENTARES</p><p>A aprendizagem estabelece ligações entre certos es-</p><p>tímulos e respostas. Baseado nisso, a interação entre os</p><p>componentes envolvidos no processo de aprendizagem</p><p>é fundamental para que a apropriação do conhecimento</p><p>seja plena.</p><p>Por isso, sugere-se criar grupos na sala de aula e pedir</p><p>que cada grupo escolha uma comissão formada por três</p><p>pessoas. Quantas comissões cada grupo poderá fazer? Se</p><p>houvesse mais pessoas dentro do grupo, como se daria o</p><p>aumento das possíveis comissões?</p><p>Deixe os alunos criarem e responderem às diversas per-</p><p>guntas sobre os grupos formados. A sinergia trará muitas dú-</p><p>vidas e questionamentos, mas também muito aprendizado.</p><p>Depois explique as diferenças entre combinar e arranjar.</p><p>GABARITO COMENTADO</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. d.</p><p>A soma de todas as combinações possíveis coin-</p><p>cide com o total de subconjuntos que podemos</p><p>formar, que é dado por 2n.</p><p>Como A deve estar entre os escolhidos, vamos</p><p>calcular todas as combinações possíveis para os</p><p>outros 9 elementos, que são 29 5 512.</p><p>Dentre esses 512 subconjuntos está o conjunto va-</p><p>zio. Como o problema quer que sejam calculadas</p><p>todas as configurações com pelo menos 2 elemen-</p><p>tos sendo que A é um deles, então o conjunto va-</p><p>zio deve ser subtraído dessa contagem.</p><p>Desse modo temos 512 2 1 5 511 comissões.</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>1. d.</p><p>Se o estudante que tem a altura h</p><p>7</p><p>vai ocupar a</p><p>posição central entre os 5 escolhidos, então preci-</p><p>saremos:</p><p>1o) escolher dois estudantes entre os 6 menores que</p><p>ele. Para tanto temos C</p><p>6,2</p><p>5</p><p>?</p><p>6!</p><p>2! 4!</p><p>5 15 opções.</p><p>2o) escolher dois estudantes entre os 3 maiores que</p><p>ele. Para tanto temos C</p><p>3,2</p><p>5</p><p>?</p><p>3!</p><p>2! 1!</p><p>5 3 opções.</p><p>Logo, teremos 15 ∙ 3 = 45 configurações possíveis.</p><p>3. c.</p><p>É possível que se escolha:</p><p>1o) um menino e uma menina. Para tanto temos</p><p>4 ∙ 4 = 16 opções.</p><p>2o) ou dois meninos e duas meninas. Para tanto</p><p>temos C</p><p>4,2</p><p>? C</p><p>4,2</p><p>5 6 ? 6 5 36 opções.</p><p>3o) ou três meninos e três meninas. Para tanto te-</p><p>mos C</p><p>4,3</p><p>? C</p><p>4,3</p><p>5 4 ? 4 5 16 opções.</p><p>4o) ou quatro meninos e quatro meninas. Para tan-</p><p>to temos 1 ? 1 = 1 opção.</p><p>Logo, temos que o maior valor de n é 16 + 36 + 16 +</p><p>+ 1 = 69.</p><p>4. a.</p><p>Devemos tomar as seguintes decisões:</p><p>1a) escolher o presidente. Para tanto temos 14 op-</p><p>ções.</p><p>2a) escolher o vice-presidente. Para tanto temos</p><p>13 opções.</p><p>3a) escolher o secretário. Para tanto temos 12 op-</p><p>ções.</p><p>4a) escolher o tesoureiro. Para tanto temos 11 op-</p><p>ções.</p><p>28</p><p>pH_EM2_C1_027a030_M6_Mat_MP.indd 28 4/30/16 3:08 PM</p><p>5a) escolher 4 conselheiros entre as 10 pessoas</p><p>restantes. Para tanto temos C</p><p>10,4</p><p>5</p><p>?</p><p>10!</p><p>4! 6!</p><p>op-</p><p>ções.</p><p>Logo, teremos 14 ? 13 ? 12 ? 11 ?</p><p>?</p><p>5</p><p>?</p><p>10!</p><p>4! 6!</p><p>14!</p><p>4! 6!</p><p>maneiras distintas para compor essa comissão.</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>1. 456</p><p>Comissões apenas com homens ou com 4 homens</p><p>e 1 mulher:</p><p>C</p><p>12,5</p><p>2 (C</p><p>8,5</p><p>1 C</p><p>8,4</p><p>∙ C</p><p>4,1</p><p>) 5</p><p>5</p><p>12!</p><p>5! 7!</p><p>8!</p><p>5! 3!</p><p>8!</p><p>4! 4!</p><p>4!</p><p>1! 3!?</p><p>2</p><p>?</p><p>1</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>( ) 5</p><p>5 792 2 (56 1 70 ∙ 4) 5 456</p><p>2.</p><p>a) Sempre duas amigas diferentes: 53 ∙ 2 5 106</p><p>b) C</p><p>n, 2</p><p>> 53</p><p>n!</p><p>2! (n 2)!? 2</p><p>> 53</p><p>n (n 1) (n 2)!</p><p>2! (n 2)!</p><p>? 2 ? 2</p><p>? 2</p><p>> 53</p><p>n2 2 n 2 106 > 0</p><p>n > 11</p><p>3. 63</p><p>C</p><p>6,1</p><p>1 C</p><p>6,2</p><p>1 C</p><p>6,3</p><p>1 ... 1 C</p><p>6,6</p><p>5 63</p><p>5. d.</p><p>C</p><p>6,2</p><p>∙ C</p><p>4,1</p><p>∙ C</p><p>4,1</p><p>5 6!</p><p>2! 4!</p><p>4!</p><p>1! 3!</p><p>4!</p><p>1! 3!?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>5</p><p>5 15 ∙ 4 ∙ 4 5 240</p><p>6. 31</p><p>C</p><p>5,5</p><p>1 C</p><p>5,4</p><p>∙ C</p><p>6,1</p><p>5 5!</p><p>5! 0!</p><p>5!</p><p>4! 1!</p><p>6!</p><p>1! 5!?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>5</p><p>5 1 1 5 ∙ 6 5 31</p><p>7. 6</p><p>C</p><p>1,1</p><p>? C</p><p>n 2 1,2</p><p>5 C</p><p>n 2 1,3</p><p>1!</p><p>1! 0!</p><p>(n 1)!</p><p>2! (n 3)!</p><p>(n 1)!</p><p>3! (n 4)!?</p><p>?</p><p>2</p><p>? 2</p><p>5</p><p>2</p><p>? 2</p><p>⇒</p><p>⇒ 6 ∙ (n 2 4)! 5 2 ∙ (n 2 3)! ⇒</p><p>⇒ 3 ∙ (n 2 4)! 5 (n 2 3) ∙ (n 2 4)! ⇒</p><p>⇒ n 2 3 5 3 ⇒</p><p>⇒ n 5 6</p><p>ANOTA‚ÍES</p><p>29</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>II</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>6</p><p>pH_EM2_C1_027a030_M6_Mat_MP.indd 29 4/30/16 3:08 PM</p><p>ANOTAÇÕES</p><p>30</p><p>pH_EM2_C1_027a030_M6_Mat_MP.indd 30 4/30/16 3:08 PM</p><p>Matemática I</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 9 4/29/16 8:52 AM</p><p>1</p><p>M—dulo</p><p>10</p><p>Princípio</p><p>fundamental</p><p>da</p><p>contagem</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO</p><p>•	Princípio fundamental da contagem</p><p>•	Diagramas de árvore</p><p>HABILIDADES</p><p>•	Aplicar o princípio multiplicativo em situações do cotidiano.</p><p>•	Resolver situação-problema utilizando o princípio multiplicativo.</p><p>•	Analisar outros princípios de contagem.</p><p>•	Construir diagramas baseados em sistemas de contagem lógicos.</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 10 4/29/16 8:52 AM</p><p>Para coMeçar</p><p>A análise combinatória é um dos ramos da Matemática que tem como objeto de estudo a conta-</p><p>gem de determinados tipos de subconjuntos de um conjunto finito, sem que haja a necessidade</p><p>de enumerarmos seus elementos. Podemos falar de diversos tipos de conjuntos diferentes que</p><p>nos disporíamos a contar: conjuntos de senhas, conjuntos de pessoas escolhidas dentre um gru-</p><p>po maior, etc. Neste módulo vamos analisar e estudar algumas situações que envolvem escolha</p><p>de senhas bancárias, quantidade de possíveis números de telefones e até mesmo questões que</p><p>envolvem a quantidade de símbolos necessários para a leitura em braile. Todas essas situações</p><p>fazem parte do nosso cotidiano. A análise combinatória será útil para que possamos resolver</p><p>esses problemas que exigem como resposta o número de elementos de um subconjunto sem</p><p>precisar descrevê-los.</p><p>Mobilidade urbana</p><p>Para se locomover pela cidade do Rio de Janeiro, as pessoas podem utilizar as linhas exclusivas</p><p>de ônibus, os BRTs (Transporte Rápido por Ônibus, da sigla em inglês). O BRT Transcarioca liga a</p><p>Barra da Tijuca à Ilha do Governador (Aeroporto Internacional Tom Jobim) e é o primeiro corre-</p><p>dor de alta capacidade no sentido transversal da cidade. Os ônibus que circulam por essas vias</p><p>exclusivas são articulados e têm capacidade para transportar muitos passageiros. Eles recebem</p><p>as seguintes classificações: semidireto, expresso e parador, de acordo com o número de estações</p><p>em que fazem suas paradas.</p><p>Mapa de serviços do BRT Transcarioca.</p><p>r</p><p>e</p><p>p</p><p>r</p><p>o</p><p>d</p><p>u</p><p>ç</p><p>ã</p><p>o</p><p>/B</p><p>r</p><p>T</p><p>r</p><p>1</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>11</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>a</p><p>te</p><p>M</p><p>á</p><p>ti</p><p>c</p><p>a</p><p>i</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 11 4/29/16 8:52 AM</p><p>Princípio fundamental da contagem</p><p>Ao selecionar dois conjuntos, A com n elementos e B com p elementos, é possível formar uma série de</p><p>pares ordenados em que o primeiro elemento de um par pertença ao conjunto A e o segundo elemento</p><p>desse par pertença ao conjunto B. A lista de todos esses pares é:</p><p>(a</p><p>1</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>1</p><p>, b</p><p>2</p><p>); ... (a</p><p>1</p><p>, b</p><p>p</p><p>);</p><p>(a</p><p>2</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>2</p><p>, b</p><p>2</p><p>); ... (a</p><p>2</p><p>, b</p><p>p</p><p>);</p><p>(a</p><p>3</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>3</p><p>, b</p><p>2</p><p>); ... (a</p><p>3</p><p>, b</p><p>p</p><p>);</p><p>...</p><p>(a</p><p>n</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>n</p><p>, b</p><p>2</p><p>); ... (a</p><p>n</p><p>, b</p><p>p</p><p>).</p><p>Além disso, existem linhas secundárias que levam as pessoas de outros bairros até as estações</p><p>do BRT. Os moradores da Ilha do Governador, por exemplo, dispõem de sete linhas secundárias</p><p>(LS 01, LS 02, LS 03, LS 04, LS 05, LS 06 e LS 07). Para fazer uma viagem da Ilha do Governador até</p><p>a Barra da Tijuca, o morador pode optar por utilizar uma dessas sete linhas e depois uma das três</p><p>versões do BRT, tendo disponíveis as seguintes opções para fazer o trajeto:</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 01</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 02</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 03</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 04</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 05</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 06</p><p>Semidireto</p><p>Expresso</p><p>Parador</p><p>LS 07</p><p>Veja que o morador da Ilha do Governador tem a possibilidade de escolher uma das sete linhas</p><p>secundárias (LS 01, LS 02, LS 03, LS 04, LS 05, LS 06 ou LS 07) para chegar a uma estação do BRT</p><p>e, em seguida, escolher uma das três versões do BRT (semidireto, expresso ou parador) para con-</p><p>cluir sua viagem até a Barra da Tijuca.</p><p>Para determinar de quantas maneiras uma pessoa pode fazer essa viagem, sem que sejam enun-</p><p>ciadas todas as configurações possíveis, basta pensar nas decisões que se deve tomar para pre-</p><p>encher o conjunto abaixo.</p><p>{ __________; __________ }</p><p>LS BRT</p><p>Decisão 1 (D</p><p>1</p><p>): escolher uma linha secundária, com 7 opções;</p><p>Decisão 2 (D</p><p>2</p><p>): escolher uma versão do BRT, com 3 opções.</p><p>Para cada uma das sete opções de preenchimento da primeira lacuna, existem três opções para</p><p>preenchimento da segunda. Logo, existem 7 ? 3 = 21 maneiras diferentes de fazer essa viagem.</p><p>A esse processo que usamos para identificar a quantidade de opções que temos para fazer uma</p><p>escolha damos o nome de Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem.</p><p>Para aPrender</p><p>12</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 12 4/29/16 8:52 AM</p><p>Para saber a quantidade de pares ordenados sem a necessidade de listar todos, basta multiplicar a quan-</p><p>tidade de opções (n) para a escolha do primeiro elemento do par (D</p><p>1</p><p>) pela quantidade de opções (p) para a</p><p>escolha do segundo elemento do par (D</p><p>2</p><p>), como no esquema a seguir.</p><p>n fileiras de pares ordenados</p><p>(a</p><p>1</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>1</p><p>, b</p><p>2</p><p>); (a</p><p>1</p><p>, b</p><p>3</p><p>) ... (a</p><p>1</p><p>, b</p><p>p</p><p>)</p><p>(a</p><p>2</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>2</p><p>, b</p><p>2</p><p>); (a</p><p>2</p><p>, b</p><p>3</p><p>) ... (a</p><p>2</p><p>, b</p><p>p</p><p>)</p><p>(a</p><p>3</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>3</p><p>, b</p><p>2</p><p>); (a</p><p>3</p><p>, b</p><p>3</p><p>) ... (a</p><p>3</p><p>, b</p><p>p</p><p>)</p><p>. . . . .. . . . .. . . . .</p><p>(a</p><p>n</p><p>, b</p><p>1</p><p>); (a</p><p>n</p><p>, b</p><p>2</p><p>); (a</p><p>n</p><p>, b</p><p>3</p><p>) ... (a</p><p>n</p><p>, b</p><p>p</p><p>)</p><p>p colunas de pares ordenados</p><p>→ Total de pares ordenados 5 n ? p</p><p>O princípio multiplicativo consiste em multiplicar o número de opções para cada uma das decisões. Ao</p><p>diagrama a seguir damos o nome de diagrama de árvore; ele serve para identificar com maior facilidade os</p><p>pares ordenados a serem formados.</p><p>a</p><p>1</p><p>b</p><p>1</p><p>b</p><p>2</p><p>b</p><p>3</p><p>a</p><p>2</p><p>b</p><p>1</p><p>b</p><p>2</p><p>b</p><p>3</p><p>a</p><p>3</p><p>b</p><p>1</p><p>b</p><p>2</p><p>b</p><p>3</p><p>De maneira análoga, ao selecionar três conjuntos, A com n elementos, B com p elementos e C com q ele-</p><p>mentos, para formar uma série de ternas ordenadas, de modo que o primeiro elemento dessa terna pertença</p><p>ao conjunto A, o segundo elemento pertença ao conjunto B e o terceiro elemento pertença ao conjunto C,</p><p>efetua-se o produto n ? p ? q.</p><p>Para chegar à quantidade de ternas ordenadas sem descrevê-las, basta multiplicar a quantidade de op-</p><p>ções (n) para a escolha do primeiro elemento da terna (D</p><p>1</p><p>) pela quantidade de opções (p) para a escolha do</p><p>segundo elemento (D</p><p>2</p><p>) e, em seguida, multiplicar o resultado pela quantidade de opções (q) para a escolha</p><p>do terceiro elemento (D</p><p>3</p><p>), como no esquema a seguir.</p><p>De maneira geral, dados os conjuntos A</p><p>1</p><p>, A</p><p>2</p><p>, A</p><p>3</p><p>, ..., A</p><p>t</p><p>, com n</p><p>1</p><p>, n</p><p>2</p><p>, n</p><p>3</p><p>, ..., n</p><p>t</p><p>elementos, respectivamente, o nú-</p><p>mero de múltiplas ordenadas (x</p><p>1</p><p>, x</p><p>2</p><p>, x</p><p>3</p><p>, ..., x</p><p>t</p><p>), em que x</p><p>1</p><p>[ A</p><p>1</p><p>, x</p><p>2</p><p>[ A</p><p>2</p><p>, x</p><p>3</p><p>[ A</p><p>3</p><p>, ... e x</p><p>t</p><p>[ A</p><p>t</p><p>, é dado pelo produto</p><p>a</p><p>1</p><p>A</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>3</p><p>...</p><p>a</p><p>n</p><p>b</p><p>1</p><p>B</p><p>b</p><p>2</p><p>b</p><p>3</p><p>...</p><p>b</p><p>p</p><p>c</p><p>1</p><p>C</p><p>D</p><p>1</p><p>D</p><p>2</p><p>D</p><p>3</p><p>c</p><p>2</p><p>c</p><p>3</p><p>...</p><p>c</p><p>q</p><p>n</p><p>1</p><p>? n</p><p>2</p><p>? n</p><p>3</p><p>? ... ? n</p><p>t</p><p>coMPreendendo Melhor</p><p>Inevitavelmente, qualquer método que se utilize exigirá certo grau de perspicácia e compreensão plena da</p><p>situação descrita pelo problema. Depois da interpretação eficiente da situação-problema, podem-se seguir três</p><p>passos essenciais:</p><p>1o) Identificar a quantidade de decisões que se deve tomar para resolver o problema.</p><p>2o) Identificar no que consiste cada uma das decisões.</p><p>3o) Identificar o número de opções para cada uma das decisões.</p><p>13</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 13 4/29/16 8:52 AM</p><p>Situação-problema 1</p><p>Dado um conjunto com 5 pessoas, X 5 {Antônio, Bernardo, Cláudio, Daniel, Eduardo}, vamos calcular a quantidade de</p><p>maneiras diferentes de montar um grupo que possa fazer uma escalada. Designando Antônio por a, Bernardo por b, Cláudio</p><p>por c, Daniel por d e Eduardo por e, e sabendo que cada uma dessas pessoas pode escolher entrar no grupo, ou não, tem-se:</p><p>a b c d e Subconjunto</p><p>1 Não Não Não Não Não Vazio</p><p>2 Sim Não Não Não Não { a }</p><p>3 Não Sim Não Não Não { b }</p><p>4 Não Não Sim Não Não { c }</p><p>5 Não Não Não Sim Não { d }</p><p>6 Não Não Não Não Sim { e }</p><p>7 Sim Sim Não Não Não { a, b }</p><p>8 Sim Não Sim Não Não { a, c }</p><p>9 Sim Não Não Sim Não</p><p>{ a, d }</p><p>10 Sim Não Não Não Sim { a, e }</p><p>11 Não Sim Sim Não Não { b, c }</p><p>12 Não Sim Não Sim Não { b, d }</p><p>13 Não Sim Não Não Sim { b, e }</p><p>14 Não Não Sim Sim Não { c, d }</p><p>15 Não Não Sim Não Sim { c, e }</p><p>16 Não Não Não Sim Sim { d, e }</p><p>17 Sim Sim Sim Não Não { a, b, c }</p><p>18 Sim Sim Não Sim Não { a, b, d }</p><p>19 Sim Sim Não Não Sim { a, b, e }</p><p>20 Sim Não Sim Sim Não { a, c, d }</p><p>21 Sim Não Sim Não Sim { a, c, e }</p><p>22 Sim Não Não Sim Sim { a, d, e }</p><p>23 Não Sim Sim Sim Não { b, c, d }</p><p>24 Não Sim Sim Não Sim { b, c, e }</p><p>25 Não Sim Não Sim Sim { b, d, e }</p><p>26 Não Não Sim Sim Sim { c, d, e }</p><p>27 Sim Sim Sim Sim Não { a, b, c, d }</p><p>28 Sim Sim Sim Não Sim { a, b, c, e }</p><p>29 Sim Sim Não Sim Sim { a, b, d, e }</p><p>30 Sim Não Sim Sim Sim { a, c, d, e }</p><p>31 Não Sim Sim Sim Sim { b, c, d, e }</p><p>32 Sim Sim Sim Sim Sim { a, b, c, d, e }</p><p>situaçÃo-ProbleMa</p><p>14</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 14 4/29/16 8:52 AM</p><p>A análise combinatória pode nos ajudar a resolver esse problema de maneira mais simples.</p><p>Vamos seguir os três passos mencionados na página anterior:</p><p>1o) Para resolver esse problema é preciso tomar 5 decisões.</p><p>2o) As decisões consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher se Antônio entra ou não no grupo;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher se Bernardo entra ou não no grupo;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher se Cláudio entra ou não no grupo;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher se Daniel entra ou não no grupo;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: escolher se Eduardo entra ou não no grupo.</p><p>3o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	2 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>5</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 25 5 32 maneiras diferentes de montar</p><p>um grupo e um deles não possui pessoas.</p><p>Situação-problema 2</p><p>Na era digital uma das maiores preocupações é a segurança de dados pessoais. Um modo de se proteger</p><p>é criando senhas seguras, evitando datas de aniversário e números de telefone.</p><p>A Matemática pode ajudar a criar senhas difíceis de serem descobertas, por exemplo: Escolhendo um</p><p>número qualquer, a senha deve ser obrigatoriamente formada por fatores que tenham o número estabele-</p><p>cido como produto. Assim, se o número escolhido for 3 600, quantos são os fatores que podem compor o</p><p>conjunto de senhas?</p><p>Esse problema pode ser facilmente resolvido se pensarmos em todos os divisores de 3 600. Como</p><p>3 600 5 24 ? 32 ? 52 e um divisor de 3 600 tem a forma 2x ? 3y ? 5z, vamos identificar a quantidade de divisores</p><p>de 3 600 seguindo os três passos.</p><p>1o) Para resolver esse problema é preciso tomar 3 decisões.</p><p>2o) As decisões consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um valor para x;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um valor para y;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher um valor para z.</p><p>3o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>, pois x é natural e 0 < x < 4;</p><p>•	3 opções para D</p><p>2</p><p>, pois y é natural e 0 < y < 2;</p><p>•	3 opções para D</p><p>3</p><p>, pois z é natural e 0 < z < 2.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 5 ? 3 ? 3 = 45 divisores de 3 600, ou seja, existem</p><p>45 fatores que podem compor o conjunto de senhas.</p><p>Situação-problema 3</p><p>Em uma estante há 5 livros diferentes de Matemática, 6 livros diferentes de Física e 7 livros diferentes de</p><p>Química. De quantas maneiras podem-se escolher 2 livros de matérias diferentes?</p><p>15</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 15 4/29/16 8:52 AM</p><p>Nem sempre é elementar identificar, linearmente, o número de decisões que precisamos tomar para</p><p>resolver um problema. Talvez haja a necessidade de analisá-lo em dois ou mais casos para que sua resolução</p><p>fique mais fácil. Nesse caso, a rotina dos três passos deverá ser executada mais de uma vez.</p><p>1o) Para resolver a primeira parte do problema é preciso tomar 2 decisões.</p><p>2o) As decisões consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um livro de Matemática;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um livro de Física.</p><p>3o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	6 opções para D</p><p>2</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 5 ? 6 5 30 maneiras de escolher um livro de Matemática</p><p>e outro de Física.</p><p>e</p><p>1o) Para resolver a segunda parte do problema é preciso tomar 2 decisões.</p><p>2o) As decisões consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um livro de Matemática;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um livro de Química.</p><p>3o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	7 opções para D</p><p>2</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 5 ? 7 5 35 maneiras de escolher um livro de Matemática</p><p>e outro de Química.</p><p>e</p><p>1o) Para resolver a terceira parte do problema é preciso tomar 2 decisões.</p><p>2o) As decisões consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um livro de Física;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um livro de Química.</p><p>3o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	6 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	7 opções para D</p><p>2</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 6 ? 7 5 42 maneiras de escolher um livro de Física e</p><p>outro de Química.</p><p>Somando os três resultados parciais, obtém-se 30 1 35 1 42 5 107 maneiras de escolher 2 livros de ma-</p><p>térias diferentes.</p><p>Neste módulo, você viu que não é necessário enumerar cada uma das configurações para</p><p>identificar quantas satisfazem às condições do problema. Você desenvolveu uma série de ra-</p><p>ciocínios, como a tomada de pequenas decisões, que nos amparam em diversos problemas de</p><p>contagem. Todos esses raciocínios estão apoiados em um princípio que norteou todo o trabalho:</p><p>o princípio fundamental da contagem.</p><p>Para concluir</p><p>16</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 16 4/29/16 8:52 AM</p><p>1. (Unisinos-RS) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de</p><p>carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de</p><p>sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos</p><p>escolher uma refeição composta por 1 carne, 1 massa,</p><p>1 salada e 1 sobremesa?</p><p>a) 23.</p><p>b) 24.</p><p>c) 401.</p><p>d) 572.</p><p>e) 960.</p><p>2. (UFJF-MG) Uma empresa escolherá um chefe para cada</p><p>uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser es-</p><p>colhido entre os funcionários das respectivas repartições</p><p>e não devem ser ambos do mesmo sexo.</p><p>Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das re-</p><p>partições A e B.</p><p>Funcionários</p><p>Repartições</p><p>A B</p><p>Mulheres 4 7</p><p>Homens 6 3</p><p>De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos?</p><p>a) 12.</p><p>b) 24.</p><p>c) 42.</p><p>d) 54.</p><p>e) 72.</p><p>3. (PUC-RJ) Seja A o conjunto dos números inteiros positi-</p><p>vos com três algarismos. Seja B o subconjunto de A dos</p><p>números ímpares com três algarismos distintos. Quantos</p><p>elementos tem o conjunto B?</p><p>a) 125</p><p>b) 168</p><p>c) 320</p><p>d) 360</p><p>e) 900</p><p>4. (Mack-SP) Cada um dos círculos da figura deverá ser pinta-</p><p>do com uma cor, escolhida dentre três disponíveis. Sabendo</p><p>que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a</p><p>mesma cor, o número de formas de se pintar os círculos é</p><p>a) 72.</p><p>b) 68.</p><p>c) 60.</p><p>d) 54.</p><p>e) 48.</p><p>5. (PUC-MG – Adaptada) As portas de acesso de todos os</p><p>apartamentos de certo hotel são identificadas por meio</p><p>de números ímpares formados com 3 elementos do con-</p><p>junto M = {3, 4, 6, 7, 8}. Nessas condições, é correto afirmar</p><p>que o número máximo de apartamentos desse hotel é:</p><p>a) 24</p><p>b) 36</p><p>c) 44</p><p>d) 50</p><p>e) 75</p><p>Praticando o aPrendizado</p><p>desenvolvendo habilidades</p><p>1. EnEM Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.</p><p>Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo Cetáceos, outra do</p><p>grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas</p><p>espécies para esse estudo é igual a</p><p>H25</p><p>c6</p><p>Veja, no Manual do professor, o gabarito comentado das questões sinalizadas com asterisco.</p><p>17</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 17 4/29/16 8:52 AM</p><p>Grupos taxonômicos Número de espécies</p><p>Artiodáctilos 4</p><p>Carnívoros 18</p><p>Cetáceos 2</p><p>Quirópteros 103</p><p>Lagomorfos 1</p><p>Marsupiais 16</p><p>Perissodáctilos 1</p><p>Primatas 20</p><p>Roedores 33</p><p>Sirênios 1</p><p>Edentados 10</p><p>Total 209</p><p>a) 1 320.</p><p>b) 2 090.</p><p>c)</p><p>5 845.</p><p>d) 6 600.</p><p>e) 7 245.</p><p>2. ENEM A escrita Braile para cegos é um sistema de sím-</p><p>bolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos</p><p>dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos</p><p>um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a</p><p>letra A é representada por</p><p>O número total de caracteres que podem ser represen-</p><p>tados no sistema Braile é</p><p>a) 12.</p><p>b) 31.</p><p>c) 36.</p><p>d) 63.</p><p>e) 720.</p><p>3. (FTESM-RJ) Em certa região, os aparelhos de telefonia</p><p>móvel têm 8 dígitos. O primeiro dígito é sempre maior</p><p>ou igual a 6. O segundo dígito nunca é menor do que</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>o primeiro. A quantidade máxima de números distintos</p><p>que pode haver nessa região é:</p><p>a) 8 milhões</p><p>b) 10 milhões</p><p>c) 12 milhões</p><p>d) 16 milhões</p><p>e) 20 milhões</p><p>4. (Ufscar-SP) Um encontro científico conta com a partici-</p><p>pação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 quí-</p><p>micos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do</p><p>encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois</p><p>cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo</p><p>sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por</p><p>cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas</p><p>que podem representar o grupo no congresso é igual a:</p><p>a) 46.</p><p>b) 59.</p><p>c) 77.</p><p>d) 83.</p><p>e) 91.</p><p>5. (UFPA) Se os produtos de uma empresa, para fins de</p><p>informatização, são codificados com números de três</p><p>algarismos, inclusive começando com zero, então o nú-</p><p>mero de produtos, que poderão ser codificados, será</p><p>calculado por:</p><p>a) 93</p><p>b) 9 ? 8 ? 7</p><p>c) 10 ? 9 ? 8</p><p>d) 10 ? 4 ? 3</p><p>e) 103</p><p>6. (Uece – Adaptada) Paulo possui 709 livros e identificou</p><p>cada um destes livros com um código formado por três</p><p>letras do nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética”</p><p>assim definida: AAA, AAB, ..., AAZ, ABA, ABB, ..., ABZ,</p><p>ACA, ... Então, o primeiro livro foi identificado com AAA,</p><p>o segundo com AAB, ... Nestas condições, considerando</p><p>o alfabeto com 26 letras, o código associado ao último</p><p>livro foi</p><p>a) BAG.</p><p>b) BAU.</p><p>c) BBC.</p><p>d) BBG.</p><p>e) BBH.</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>18</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 18 9/19/16 1:00 PM</p><p>7. (UEL-PR) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus</p><p>cartões nos caixas eletrônicos, digitavam uma senha nu-</p><p>mérica composta por cinco algarismos. Com o intuito</p><p>de melhorar a segurança da utilização desses cartões, o</p><p>banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas</p><p>numéricas com seis algarismos.</p><p>Se a segurança for definida pela quantidade de possí-</p><p>veis senhas, em quanto aumentou percentualmente a</p><p>segurança na utilização dos cartões?</p><p>a) 10%</p><p>b) 90%</p><p>c) 100%</p><p>d) 900%</p><p>e) 1900%</p><p>8. (Unicamp-SP – Adaptada) Para acomodar a crescente</p><p>quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atual-</p><p>mente com três letras e quatro algarismos numéricos,</p><p>para quatro letras e três algarismos numéricos, como está</p><p>ilustrado abaixo.</p><p>ABC 1234 ABCD 123</p><p>Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0</p><p>a 9. O aumento obtido com essa modificação em rela-</p><p>ção ao número máximo de placas em vigor seria</p><p>a) inferior ao dobro.</p><p>b) superior ao dobro e inferior ao triplo.</p><p>c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.</p><p>d) igual ao quádruplo.</p><p>e) mais que o quádruplo.</p><p>9. (PUC-SP) Na sala de reuniões de certa empresa há uma</p><p>mesa retangular com 10 poltronas dispostas da forma</p><p>como é mostrada na figura abaixo.</p><p>Certo dia, sete pessoas foram convocadas para participar</p><p>de uma reunião a ser realizada nessa sala: o presidente,</p><p>o vice-presidente, um secretário e quatro membros da</p><p>diretoria. Sabe-se que: o presidente e o vice-presidente</p><p>deverão ocupar exclusivamente as poltronas das cabe-</p><p>ceiras da mesa; o secretário deverá ocupar uma poltrona</p><p>ao lado do presidente.</p><p>Considerando que tais poltronas são fixas no piso da</p><p>sala, de quantos modos as sete pessoas podem nelas se</p><p>acomodar para participar de tal reunião?</p><p>a) 3 360</p><p>b) 2 480</p><p>c) 1 680</p><p>d) 1 240</p><p>e) 1 420</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>1. (UCS-RS) Em uma prova, as seis primeiras questões eram do tipo C/E, em que o candidato devia optar entre certo ou</p><p>errado para sua resposta. Nas outras quatro questões, o candidato devia escolher, entre três alternativas, a verdadeira.</p><p>Quantas sequências de respostas são possíveis na resolução da prova?</p><p>a) (6 ? 2)2</p><p>b) (6 ? 2) 1 (4 ? 3)</p><p>c) 62 ? 43</p><p>d) 102 1 3</p><p>e) 26 ? 34</p><p>19</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 19 9/19/16 1:04 PM</p><p>2. (UFU-MG) Para gerar sua senha de acesso, o usuário de</p><p>uma biblioteca deve selecionar cinco algarismos de 0 a</p><p>9, permitindo-se repetições e importando a ordem em</p><p>que eles foram escolhidos. Por questões de segurança,</p><p>senhas que não tenham nenhum algarismo repetido são</p><p>consideradas inválidas. Por exemplo, as senhas 09391 e</p><p>90391 são válidas e diferentes, enquanto que a senha</p><p>90381 é inválida. O número total de senhas válidas que</p><p>podem ser geradas é igual a</p><p>a) 69 760.</p><p>b) 30 240.</p><p>c) 50 000.</p><p>d) 19 760.</p><p>e) 83 200.</p><p>3. (PUC-MG) Em um código binário, utilizam-se dois sím-</p><p>bolos: o algarismo 0 (zero) e o algarismo 1 (um). Consi-</p><p>derando-se esses símbolos como letras, são formadas</p><p>palavras. Assim, por exemplo, as palavras 0, 10 e 111</p><p>têm, respectivamente, uma, duas e três letras. O número</p><p>máximo de palavras, com até seis letras, que podem ser</p><p>formadas com esse código, é:</p><p>a) 42</p><p>b) 62</p><p>c) 86</p><p>d) 126</p><p>e) 128</p><p>4. (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por</p><p>6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas</p><p>as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.</p><p>a) Determine quantos números é possível formar (no</p><p>total) e quantos números se iniciam com o algaris-</p><p>mo 1.</p><p>b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente,</p><p>determine qual posição ocupa o número 512346 e</p><p>que número ocupa a 242a posição.</p><p>32 292 000 possibilidades</p><p>1 723 680 possibilidades</p><p>5. (UFPE) De quantas maneiras podemos classificar os</p><p>4 empregados de uma microempresa nas categorias A</p><p>ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas</p><p>categorias?</p><p>6. (UFRN) Um fenômeno raro em termos de data ocorreu</p><p>às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02</p><p>20/02 2002 forma uma sequência de algarismos que per-</p><p>manece inalterada se reescrita de trás para a frente. A</p><p>isso denominamos capicua.</p><p>Desconsiderando as capicuas começadas por zero, a</p><p>quantidade de capicuas formadas com cinco algarismos</p><p>não necessariamente diferentes é</p><p>a) 120.</p><p>b) 720.</p><p>c) 900.</p><p>d) 1000.</p><p>e) 81000.</p><p>7. (UEL-PR) Um número capicua é um número que se pode</p><p>ler indistintamente em ambos os sentidos, da esquerda</p><p>para a direita ou da direita para a esquerda (exemplo:</p><p>5 335). Em um hotel de uma cidade, onde os jogado-</p><p>res de um time se hospedaram, o número de quartos</p><p>era igual ao número de capicuas pares de 3 algarismos.</p><p>Quantos eram os quartos do hotel?</p><p>a) 20</p><p>b) 40</p><p>c) 80</p><p>d) 90</p><p>e) 100</p><p>8. (UFC-CE) A quantidade de números inteiros, positivos</p><p>e ímpares, formados por três algarismos distintos, es-</p><p>colhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9,</p><p>é igual a:</p><p>a) 320</p><p>b) 332</p><p>c) 348</p><p>d) 360</p><p>e) 384</p><p>81</p><p>20</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 20 4/29/16 8:52 AM</p><p>9. (Ufes) Num aparelho telefônico, as dez teclas numeradas</p><p>estão dispostas em fileiras horizontais, conforme indica a fi-</p><p>gura a seguir. Seja N a quantidade de números de telefone</p><p>com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e terminam pelo</p><p>dígito zero, e, além disso, o 2o e o 3o dígitos são da primeira</p><p>fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da segunda fileira,</p><p>e o 6o e o 7o são da terceira fileira.</p><p>1 2 3</p><p>4 5 6</p><p>7 8 9</p><p>0</p><p>1a fileira</p><p>2a fileira</p><p>3a fileira</p><p>O valor de N é</p><p>a) 27.</p><p>b) 216.</p><p>c) 512.</p><p>d) 729.</p><p>e) 1331.</p><p>10. (PUC-PR) Durante um exercício da Marinha de Guerra,</p><p>empregaram-se sinais luminosos para transmitir o código</p><p>Morse. Este código só emprega duas letras (sinais): ponto</p><p>e traço. As palavras transmitidas tinham de uma a seis le-</p><p>tras. O número de palavras que podiam</p><p>ser transmitidas é:</p><p>a) 30</p><p>b) 15</p><p>c) 720</p><p>d) 126</p><p>e) 64</p><p>11. (Ufes) Em um grupo de 60 mulheres e 40 homens exis-</p><p>tem exatamente 25 mulheres e 12 homens que tocam</p><p>algum instrumento musical. De quantas maneiras pode-</p><p>mos formar uma dupla de um homem e uma mulher de</p><p>modo que pelo menos uma das pessoas da dupla toque</p><p>algum instrumento?</p><p>a) 300</p><p>b) 720</p><p>c) 1 000</p><p>d) 1 420</p><p>e) 1 720</p><p>12. (Vunesp-SP) Um turista, em viagem de férias pela Europa,</p><p>observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B,</p><p>havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até</p><p>uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias.</p><p>O número de percursos diferentes que o turista pode fazer</p><p>para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando ro-</p><p>dovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:</p><p>a) 9.</p><p>b) 10.</p><p>c) 12.</p><p>d) 15.</p><p>e) 20.</p><p>13. (UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos for-</p><p>mar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?</p><p>14. (Uece – Adaptada) Quantos números ímpares, cada um</p><p>com três algarismos, podem ser formados com os algaris-</p><p>mos 2, 3, 4, 6 e 7, se a repetição de algarismos é permitida?</p><p>a) 60</p><p>b) 50</p><p>c) 40</p><p>d) 32</p><p>e) 30</p><p>15. (Mack-SP) Utilizando-se, necessariamente, os algarismos</p><p>1 e 2, podemos formar K números distintos com 5 alga-</p><p>rismos. Então K vale:</p><p>a) 30</p><p>b) 48</p><p>c) 64</p><p>d) 72</p><p>e) 78</p><p>16. (Unirio-RJ) Uma família formada por 3 adultos e 2 crian-</p><p>ças vai viajar num automóvel de 5 lugares, sendo 2 na</p><p>frente e 3 atrás. Sabendo-se que só 2 pessoas podem</p><p>dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela, o</p><p>número total de maneiras diferentes através das quais</p><p>estas 5 pessoas podem ser posicionadas, não permitin-</p><p>do crianças irem no colo de ninguém, é igual a:</p><p>a) 120</p><p>b) 96</p><p>c) 48</p><p>d) 24</p><p>e) 8</p><p>3168</p><p>21</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 21 4/29/16 8:52 AM</p><p>17. (Ufal) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}</p><p>formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos</p><p>dos números formados NÃO são divisíveis por 5?</p><p>a) 15</p><p>b) 120</p><p>c) 343</p><p>d) 720</p><p>e) 840</p><p>18. (Insper-SP) Para identificar os canais de um sistema de</p><p>televisão a cabo, usam-se as siglas de 3 letras, escolhi-</p><p>das no conjunto {A, B, C, R, T, V}, podendo cada sigla</p><p>ter, no máximo, 2 letras iguais. Assim, por exemplo, TVB,</p><p>TVT, CBB são siglas possíveis. Qual é o número de siglas</p><p>diferentes que podemos formar?</p><p>19. (UFRJ) Um construtor dispõe de quatro cores (verde,</p><p>amarelo, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas</p><p>lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com</p><p>apenas uma cor e que duas casas consecutivas não pos-</p><p>suam a mesma cor.</p><p>Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura</p><p>seriam:</p><p>verde</p><p>Primeira:</p><p>amarelo bege verde cinza</p><p>verde</p><p>Segunda:</p><p>cinza verde bege cinza</p><p>210 siglas</p><p>Determine o número de possibilidades diferentes de</p><p>pintura.</p><p>20. (Uerj) Numa cidade, os números telefônicos não podem</p><p>começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os</p><p>quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os</p><p>quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000</p><p>e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos</p><p>dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente</p><p>nesta ordem. O número máximo de tentativas a serem</p><p>feitas para identificar o número telefônico completo</p><p>dessa farmácia equivale a:</p><p>a) 6</p><p>b) 24</p><p>c) 64</p><p>d) 168</p><p>21. (Cefet-MG) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias</p><p>coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem co-</p><p>nhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no inte-</p><p>rior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias,</p><p>em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora em interiora-</p><p>nas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada</p><p>uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade</p><p>de maneiras possíveis para atender a esse critério é</p><p>a) 2 ? 3 ? 11.</p><p>b) 22 ? 3 ? 11.</p><p>c) 2 ? 32 ? 11.</p><p>d) 28 ? 34 ? 52.</p><p>e) 29 ? 34 ? 52.</p><p>324 possibilidades</p><p>anotações</p><p>22</p><p>pH_EM2_C1_009a022_M1_Mat_CA.indd 22 4/29/16 8:52 AM</p><p>2</p><p>M—dulo</p><p>Fatorial de um</p><p>nœmero natural</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO</p><p>•	Conceito de fatorial de um número natural</p><p>•	Aplicação do princípio multiplicativo em problemas de</p><p>análises quantitativas</p><p>HABILIDADES</p><p>•	H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.</p><p>•	H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numé-</p><p>ricos.</p><p>•	Utilizar o conceito de fatorial para resolver problemas de contagem.</p><p>23</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 23 4/29/16 8:54 AM</p><p>Para coMeçar</p><p>O jogo da Mega-Sena é um dos mais procurados pelas pessoas que esperam por um grande gol-</p><p>pe de sorte na vida. E não é à toa. A Mega-Sena costuma pagar prêmios milionários, que podem</p><p>garantir o futuro de muita gente. No entanto, não é nada fácil ganhar.</p><p>O jogo consiste em escolher de seis a dezesseis números em um cartão com os 60 primeiros nú-</p><p>meros naturais. Se os seis números sorteados pela Caixa Econômica Federal forem exatamente</p><p>os que você escolheu, então você será o mais novo milionário.</p><p>Mas imagine a quantidade de configura-</p><p>ções nas quais uma pessoa poderia apos-</p><p>tar. Existem 50 063 860 maneiras diferen-</p><p>tes de escolher seis números dentre os</p><p>60 possíveis. Estamos falando da escolha</p><p>de apenas seis números. Os cálculos para</p><p>chegar a esse resultado serão trabalha-</p><p>dos nos próximos módulos. É por cau-</p><p>sa desses cálculos que será introduzido</p><p>um novo conceito, uma nova operação:</p><p>o fatorial.</p><p>Resultados grandiosos</p><p>Imaginem executar o produto dos cem primei-</p><p>ros números naturais e consecutivos. Em geral,</p><p>os resultados que decorrem dessa operação</p><p>são muito elevados. Muitos deles, grandes</p><p>demais até mesmo para serem mostrados no</p><p>display de calculadoras científicas. O maior re-</p><p>sultado que uma calculadora, com muitos es-</p><p>paços em seu display, comporta é o produto</p><p>dos 69 primeiros números naturais, dado que</p><p>70 ? 69 ? 68 ? ... ? 3 ? 2 ? 1 . 10100. O resulta-</p><p>do de 10100 é um número com 101 algarismos.</p><p>Para ter ideia da magnitude desses resultados,</p><p>observe a tabela ao lado, que mostra os resul-</p><p>tados dos produtos dos n primeiros números</p><p>naturais, fazendo n variar de 1 até 27.</p><p>n n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>3 6</p><p>4 24</p><p>5 120</p><p>6 720</p><p>7 5 040</p><p>8 40 320</p><p>9 362 880</p><p>10 3 628 800</p><p>11 39 916 800</p><p>12 479 001 600</p><p>13 6 227 020 800</p><p>14 87 178 291 200</p><p>15 1 307 674 368 000</p><p>16 20 922 789 888 000</p><p>17 355 687 428 096 000</p><p>18 6 402 373 705 728 000</p><p>19 121 645 100 408 832 000</p><p>20 2 432 902 008 176 640 000</p><p>21 51 090 942 171 709 440 000</p><p>22 1 124 000 727 777 607 680 000</p><p>23 25 852 016 738 884 976 640 000</p><p>24 620 448 401 733 239 439 360 000</p><p>25 15 511 210 043 330 985 984 000 000</p><p>26 403 291 461 126 605 635 584 000 000</p><p>27 10 888 869 450 418 352 160 768 000 000</p><p>M</p><p>a</p><p>u</p><p>r</p><p>o</p><p>a</p><p>k</p><p>iM</p><p>N</p><p>a</p><p>s</p><p>s</p><p>o</p><p>u</p><p>/F</p><p>o</p><p>t</p><p>o</p><p>a</p><p>r</p><p>e</p><p>N</p><p>a</p><p>24</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 24 4/29/16 8:54 AM</p><p>Fatorial de um número natural</p><p>O fatorial de um número n é o resultado do produto de n fatores naturais e consecutivos, sendo o menor deles</p><p>o número 1 e o maior deles o número n. A maneira adequada para representar essa operação é a seguinte:</p><p>Para aPrender</p><p>n! 5 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n, em que n > 2.</p><p>Além disso, consideramos que 0! 5 1 e 1! 5 1.</p><p>Essa operação será muito utilizada ao longo de todo o estudo de análise combinatória e probabilidade.</p><p>Exemplo:</p><p>Pode-se organizar uma fila com cinco pessoas de diversas maneiras. Para contar a quantidade de filas</p><p>diferentes, deve-se realizar os seguintes passos:</p><p>1o ) Para resolver esse problema é necessário tomar 5 decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher uma pessoa dentre as cinco para ocupar a 1a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher uma pessoa dentre as restantes para ocupar a 2a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher uma pessoa dentre as restantes para ocupar a 3a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher uma pessoa dentre as restantes para ocupar a 4a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: escolher uma pessoa dentre</p><p>as restantes para ocupar a 5a posição da fila.</p><p>2o ) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>5</p><p>.</p><p>Conclusão: Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120, o que pode ser repre-</p><p>sentado também por 5! 5 120.</p><p>situação-ProbleMa</p><p>Para melhor aproveitamento dos próximos módulos, é</p><p>preciso recordar algumas propriedades operatórias com ex-</p><p>pressões algébricas, como alguns casos de fatoração e pro-</p><p>duto notável:</p><p>•	a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)</p><p>•	a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2</p><p>•	a2 1 2ab 5 a(a 1 a ? b)</p><p>Situação-problema 1</p><p>Os resultados dos problemas de análise combinatória</p><p>pertencem ao conjunto dos números naturais. Salvo quan-</p><p>do dito o contrário, o que é muito raro, estaremos sempre</p><p>contando conjuntos, subconjuntos e ordenamentos. Ja-</p><p>mais contaremos uma quantidade qualquer com um nú-</p><p>mero fracionário.</p><p>25</p><p>F</p><p>a</p><p>to</p><p>ri</p><p>a</p><p>l</p><p>d</p><p>e</p><p>u</p><p>m</p><p>n</p><p>ú</p><p>m</p><p>e</p><p>ro</p><p>n</p><p>a</p><p>tu</p><p>ra</p><p>l</p><p>M</p><p>a</p><p>t</p><p>e</p><p>M</p><p>á</p><p>t</p><p>ic</p><p>a</p><p>i</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>2</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 25 4/29/16 8:54 AM</p><p>Exemplo 1:</p><p>Veja como achar uma solução para a equação abaixo.</p><p>n ? (n 2 1) ? (n 2 2) 5 210 ⇒ n ? (n 2 1) ? (n 2 2) 5</p><p>5 2 ? 3 ? 5 ? 7 ⇒ n ? (n 2 1) ? (n 2 2) 5 7 ? 6 ? 5 ⇒ n 5 7</p><p>Veja que não se executou um produto qualquer, mas sim</p><p>um produto de três números naturais e consecutivos. As ou-</p><p>tras duas raízes dessa equação não são reais.</p><p>Exemplo 2:</p><p>Para saber o resultado de 2 0162 2 2 0152 não é preciso</p><p>encontrar o quadrado de cada valor.</p><p>2 0162 2 2 0152 5 (2 016 1 2 015) ? (2 016 2 2 015) 5</p><p>5 4 031 ? 1 5 4 031</p><p>Exemplo 3:</p><p>Veja como simplificar a expressão 8 4</p><p>8 4</p><p>88 44</p><p>44 22</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>1o) Como 888 e 444 possuem expoentes pares, eles podem</p><p>ser expressos por (844)2 e (422)2. Logo 888 2 444 5 (844)2 2 (422)2 5</p><p>5 (844 1 422) ? (844 2 422).</p><p>2o)</p><p>(8 4 )(8 4 )</p><p>8 4</p><p>44 22 44 22</p><p>44 22</p><p>1 2</p><p>2</p><p>5 844 1 422 5 (23)44 1 (22)22 5</p><p>5 2132 1 244 5 244 ? (288 1 1)</p><p>Situação-problema 2</p><p>Paula, Patrícia, Paloma e Priscila são vizinhas. Suas casas</p><p>ficam uma ao lado da outra. Elas resolveram deixar as ca-</p><p>sas bem enfeitadas para o Natal, cada uma com um enfeite</p><p>diferente. As opções de enfeite são: pinheiros, renas, luzes</p><p>de Natal e bonecos de Papai Noel. De quantas maneiras as</p><p>meninas vão poder enfeitar as suas casas?</p><p>De acordo com o que foi exposto, vamos seguir dois</p><p>passos para solucionar o problema:</p><p>1o) Para resolver esse problema é preciso tomar 4 deci-</p><p>sões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: Paula deve escolher um enfeite para sua casa.</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: Patrícia deve escolher um enfeite para sua casa</p><p>que seja diferente da escolha anterior.</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: Paloma deve escolher um enfeite para sua casa</p><p>que seja diferente das escolhas anteriores.</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: Priscila deve escolher um enfeite para sua casa que</p><p>seja diferente das escolhas anteriores.</p><p>2o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	4 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>4</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se</p><p>4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 maneiras de enfeitar as casas.</p><p>É interessante perceber que, mesmo se Paula não fosse</p><p>a primeira a escolher o enfeite, a quantidade de configu-</p><p>rações possíveis não mudaria. A resposta para o problema</p><p>continuaria sendo 24.</p><p>Situação-problema 3</p><p>Uma palavra é considerada anagrama de outra palavra</p><p>se nelas existirem as mesmas letras, porém, em ordem dife-</p><p>rente. Como calcular a quantidade de anagramas da palavra</p><p>ARQUIVO?</p><p>Se retirarmos as letras da palavra, deixamos 7 lacunas,</p><p>que devem ser preenchidas, uma de cada vez, com as mes-</p><p>mas letras que foram retiradas.</p><p>1o) Para resolver esse problema é preciso tomar 7 deci-</p><p>sões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher uma letra para a primeira posição da pa-</p><p>lavra;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher uma letra diferente da que foi escolhida</p><p>anteriormente para a segunda posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher uma letra diferente das que foram escolhi-</p><p>das anteriormente para a terceira posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher uma letra diferente das que foram esco-</p><p>lhidas anteriormente para a quarta posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: escolher uma letra diferente das que foram esco-</p><p>lhidas anteriormente para a quinta posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>6</p><p>: escolher uma letra diferente das que foram esco-</p><p>lhidas anteriormente para a sexta posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>7</p><p>: escolher uma letra diferente das que foram esco-</p><p>lhidas anteriormente para a sétima posição da palavra.</p><p>2o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	7 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	6 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	5 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>5</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>6</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>7</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se</p><p>7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 5 040 anagramas diferentes.</p><p>26</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 26 4/29/16 8:54 AM</p><p>Há um argumento essencial para a estruturação da Lógica matemática: o princípio da indução. Esse</p><p>princípio é baseado na necessidade de verificar que, se alguma estrutura algébrica é válida para o primeiro</p><p>elemento (x</p><p>1</p><p>) de certa série, e também é válida para o segundo (x</p><p>2</p><p>), e também é válida para o terceiro (x</p><p>3</p><p>),</p><p>então ela é válida para qualquer outro elemento desse conjunto. O principal argumento é que, se alguma</p><p>estrutura é válida para certo valor (x</p><p>n</p><p>), então essa estrutura é válida para (x</p><p>n</p><p>1 1).</p><p>Exemplo 1:</p><p>Todo número na forma n2 2 3n 1 4 é inteiro, desde que n seja inteiro também.</p><p>É fácil verificar que isso é verdade para:</p><p>n 5 0 → 02 2 3 ? 0 1 4 5 4, que é inteiro;</p><p>n 5 1 → 12 2 3 ? 1 1 4 5 2, que é inteiro.</p><p>Se admitirmos que n2 2 3n 1 4 é inteiro para um valor qualquer de n, então pode-se verificar o resultado</p><p>para um valor (n 1 1).</p><p>(n 1 1)2 2 3 ? (n 1 1) 1 4 5 n2 1 2n 1 1 2 3n 2 3 1 4 5 n2 2 3n 1 4 1 2n 2 2 5 n2 2 3n 1 4 1 2 ? (n 2 1)</p><p>Como n é um número inteiro, tem-se que n 2 1 também é inteiro. Se n 2 1 é um número inteiro, então</p><p>2 ? (n 2 1) também é inteiro. Como a premissa é que n2 2 3n 1 4 é inteiro, então a afirmação também é válida</p><p>para n 1 1.</p><p>Exemplo 2:</p><p>(n 1 1)! 5 (n 1 1) ? n! é uma relação válida para qualquer valor inteiro de n. Escrevendo a igualdade de</p><p>outra maneira, podemos afirmar que</p><p>(n 1)!</p><p>n!</p><p>(n 1)</p><p>1</p><p>5 1 .</p><p>Assim:</p><p>2!</p><p>1!</p><p>25</p><p>3!</p><p>2!</p><p>35</p><p>4!</p><p>3!</p><p>45</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>(n 1)!</p><p>(n 2)!</p><p>n 1</p><p>2</p><p>2</p><p>5 2</p><p>n!</p><p>(n 1)!</p><p>n</p><p>2</p><p>5</p><p>Como o produto de todos os primeiros termos das equações acima é igual ao produto de todos os se-</p><p>gundos termos das equações, tem-se que:</p><p>? ? ? ?</p><p>2</p><p>2</p><p>?</p><p>2</p><p>2!</p><p>1!</p><p>3!</p><p>2!</p><p>4!</p><p>3!</p><p>...</p><p>(n 1)!</p><p>(n 2)!</p><p>n!</p><p>(n 1)!</p><p>5 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n ⇒ n! 5 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n</p><p>Como o número 1 é elemento neutro da multiplicação:</p><p>n! 5 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n</p><p>De maneira análoga:</p><p>2!</p><p>1!</p><p>25</p><p>3!</p><p>2!</p><p>35</p><p>4!</p><p>3!</p><p>45</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>gotas de saber</p><p>27</p><p>F</p><p>a</p><p>to</p><p>ri</p><p>a</p><p>l</p><p>d</p><p>e</p><p>u</p><p>m</p><p>n</p><p>ú</p><p>m</p><p>e</p><p>ro</p><p>n</p><p>a</p><p>tu</p><p>ra</p><p>l</p><p>M</p><p>A</p><p>T</p><p>E</p><p>M</p><p>Á</p><p>T</p><p>IC</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>2</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 27 4/29/16 8:54 AM</p><p>Neste módulo apresentamos o conceito de fatorial de um número natural, que tem como</p><p>objetivo abreviar cálculos. É essencial estar familiarizado com esse conceito, pois em muitos exer-</p><p>cícios de análise combinatória os resultados são grandes, como visto na tabela da seção Para</p><p>começar. É prático deixar os cálculos indicados como do fatorial de um número.</p><p>Para concluir</p><p>Praticando o aPrendizado</p><p>1. (UFF-RJ) O produto 20 ? 18 ? 16 ? 14 ? ... ? 6 ? 4 ? 2 é equi-</p><p>valente a:</p><p>a)</p><p>20!</p><p>2</p><p>b) 2 ? 10!</p><p>c)</p><p>20!</p><p>210</p><p>d) 210 ? 10!</p><p>e)</p><p>20!</p><p>10!</p><p>2. (PUC-RJ) O produto n ? (n 2 1) pode ser escrito, em ter-</p><p>mos de fatoriais, como:</p><p>a) n! 2 (n 2 2)!</p><p>b)</p><p>n!</p><p>(n 2)!2</p><p>c) n! 2 (n 2 1)!</p><p>d)</p><p>2</p><p>n!</p><p>2(n 1)!</p><p>e)</p><p>2</p><p>(2n)!</p><p>n!(n 1)!</p><p>(n 1)!</p><p>(n 2)!</p><p>n 1</p><p>2</p><p>2</p><p>5 2</p><p>n!</p><p>(n 1)!</p><p>n</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>5 1</p><p>(n 1)!</p><p>n!</p><p>(n 1)</p><p>Como o produto de todos os primeiros termos das equações acima é igual ao produto de todos os</p><p>segundos termos das equações, tem-se que:</p><p>? ? ? ?</p><p>2</p><p>2</p><p>?</p><p>2</p><p>?</p><p>12!</p><p>1!</p><p>3!</p><p>2!</p><p>4!</p><p>3!</p><p>...</p><p>(n 1)!</p><p>(n 2)!</p><p>n!</p><p>(n 1)!</p><p>(n 1)!</p><p>n!</p><p>5 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n ? (n 1 1) ⇒</p><p>⇒ (n 1 1)!</p><p>5 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n ? (n 1 1)</p><p>Como n! 5 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n 2 1) ? n, então (n 1 1)! 5 n! ? (n 1 1), como se esperava que acontecesse.</p><p>Decorre ainda desse resultado que, ao substituir nessa expressão o valor de n por zero, tem-se:</p><p>(0 1)!</p><p>0!</p><p>1</p><p>5 0 1 1 ⇒</p><p>1!</p><p>0!</p><p>5 1</p><p>Para salvaguardar a unidade como resultado dessa divisão, deve-se assumir que 0! 5 1.</p><p>Veja, no Manual do Professor, o gabarito comentado das quest›es sinalizadas com asterisco.</p><p>28</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 28 4/29/16 8:54 AM</p><p>1. (Uerj) Uma máquina contém pequenas bolas de borra-</p><p>cha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor.</p><p>Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida</p><p>ao acaso.</p><p>Observe a ilustração:</p><p>Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o</p><p>menor número de moedas a serem inseridas na máquina</p><p>corresponde a:</p><p>a) 5</p><p>b) 13</p><p>c) 31</p><p>d) 40</p><p>H4</p><p>C1</p><p>3. (UFRN) Se (x 1 1)! = 3(x!), então x é igual a:</p><p>a) 1</p><p>b) 4</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 5</p><p>4. (Unifor-CE) A soma de todos os números primos que são</p><p>divisores de 30! é:</p><p>a) 140</p><p>b) 139</p><p>c) 132</p><p>2. (Ufop-MG) Considere a afirmação: “Em um grupo de n</p><p>pessoas pode-se garantir que três delas aniversariam no</p><p>mesmo mês”. O menor valor de n que torna verdadeira</p><p>essa afirmação é:</p><p>a) 3</p><p>b) 24</p><p>c) 25</p><p>d) 36</p><p>e) 30</p><p>3. (UEA-AM) Um determinado artesanato terá uma faixa</p><p>colorida composta de três listas de cores distintas, uma</p><p>lista abaixo da outra. As cores utilizadas serão azul, ver-</p><p>melha e laranja. O número de maneiras distintas em que</p><p>essas listas coloridas podem ser dispostas de forma que</p><p>as cores azul e vermelha fiquem sempre juntas é</p><p>a) 2.</p><p>b) 4.</p><p>c) 6.</p><p>d) 8.</p><p>e) 9.</p><p>H4</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>d) 130</p><p>e) 129</p><p>5. (EsPCEx-SP) A solução da equação 2</p><p>2</p><p>5</p><p>3!(x 1)!</p><p>4!(x 3)!</p><p>5</p><p>2 2</p><p>2</p><p>182 (x 2)! x!</p><p>2 (x 2)!</p><p>é um número natural</p><p>a) maior que nove.</p><p>b) ímpar.</p><p>c) cubo perfeito.</p><p>d) divisível por cinco.</p><p>e) múltiplo de três.</p><p>R</p><p>E</p><p>P</p><p>R</p><p>O</p><p>D</p><p>U</p><p>Ç</p><p>Ã</p><p>O</p><p>/D</p><p>E</p><p>P</p><p>A</p><p>R</p><p>TA</p><p>M</p><p>E</p><p>N</p><p>TO</p><p>D</p><p>E</p><p>S</p><p>E</p><p>LE</p><p>Ç</p><p>Ã</p><p>O</p><p>A</p><p>C</p><p>A</p><p>D</p><p>Ê</p><p>M</p><p>IC</p><p>A</p><p>/</p><p>V</p><p>E</p><p>S</p><p>TI</p><p>B</p><p>U</p><p>LA</p><p>R</p><p>U</p><p>E</p><p>R</p><p>J</p><p>20</p><p>10</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>29</p><p>F</p><p>a</p><p>to</p><p>ri</p><p>a</p><p>l</p><p>d</p><p>e</p><p>u</p><p>m</p><p>n</p><p>ú</p><p>m</p><p>e</p><p>ro</p><p>n</p><p>a</p><p>tu</p><p>ra</p><p>l</p><p>M</p><p>A</p><p>T</p><p>E</p><p>M</p><p>Á</p><p>T</p><p>IC</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>2</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 29 9/19/16 1:11 PM</p><p>4. (Fatec-SP) Para mostrar aos seus clientes alguns dos</p><p>produtos que vende, um comerciante reservou um</p><p>espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 la-</p><p>tas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos</p><p>diferentes de refrigerante, de quantas maneiras dis-</p><p>tintas pode expô-los na vitrine?</p><p>a) 144</p><p>b) 132</p><p>c) 120</p><p>d) 72</p><p>e) 20</p><p>5. (Mack-SP) Um hacker está tentando invadir um site do go-</p><p>verno e, para isso, utiliza um programa que consegue tes-</p><p>tar 163 diferentes senhas por minuto. A senha é composta</p><p>por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9</p><p>e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada</p><p>senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das</p><p>senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua</p><p>execução é de</p><p>a) 2 horas e 16 minutos.</p><p>b) 1 hora e 40 minutos.</p><p>c) 3 horas e 48 minutos.</p><p>d) 3 horas e 12 minutos.</p><p>e) 2 horas e 30 minutos.</p><p>6. (Mack-SP) A quantidade de números inteiros compre-</p><p>endidos entre 300 e 500 que podemos formar, usando</p><p>apenas os algarismos 3, 4 e 5, é:</p><p>a) 30</p><p>b) 24</p><p>c) 42</p><p>d) 52</p><p>e) 18</p><p>7. (UFC-CE) O número de maneiras segundo as quais po-</p><p>demos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos</p><p>fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal,</p><p>sem levar em conta a posição do casal no banco, é:</p><p>a) 9</p><p>b) 18</p><p>c) 24</p><p>d) 32</p><p>e) 36</p><p>8. (UFRN) Quantos números de 7 dígitos, maiores que</p><p>6 000 000, podem ser formados com os algarismos 0, 1,</p><p>3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?</p><p>a) 1 800</p><p>b) 720</p><p>c) 5 400</p><p>d) 5 040</p><p>e) 2 160</p><p>9. (Uniube-MG) O código Morse é um mecanismo de codi-</p><p>ficação de mensagens muito conhecido para representar</p><p>as letras do alfabeto no qual são utilizados dois símbolos:</p><p>o ponto • e o traço –. Nele, cada letra é representada por</p><p>uma sequência ordenada de pontos e traços, sendo que</p><p>o número de símbolos utilizados na sequência correspon-</p><p>dente à representação de uma dada letra, será denomina-</p><p>do comprimento da mesma. Exemplificando, a letra d é</p><p>representada pela seguinte sequência ordenada de com-</p><p>primento 3: – • •. O menor natural k para o qual se pode</p><p>fazer uma nova codificação para representar as 23 letras</p><p>do alfabeto, com sequências de comprimento menores ou</p><p>iguais a k, é igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 3</p><p>c) 5</p><p>d) 4</p><p>e) 2</p><p>10. (Feso-RJ) Quantos são os números naturais de três dí-</p><p>gitos que têm pelo menos um dígito igual a 5 e pelo</p><p>menos um dígito igual a 6?</p><p>a) 52</p><p>b) 54</p><p>c) 56</p><p>d) 58</p><p>e) 60</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>30</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 30 9/19/16 1:24 PM</p><p>1. Simplifique e/ou resolva:</p><p>a) 5!</p><p>b) 6! 1 4!</p><p>c)</p><p>1! 5!</p><p>4!</p><p>2</p><p>d)</p><p>6!</p><p>8!</p><p>e) 6!</p><p>f)</p><p>100!</p><p>98!</p><p>g)</p><p>8!</p><p>5!2!</p><p>h)</p><p>0!</p><p>2!</p><p>6!</p><p>5!</p><p>1</p><p>i)</p><p>6! 5!</p><p>0!</p><p>2</p><p>j)</p><p>5!</p><p>(3! 2!)1</p><p>k) (3!)2 2 (32)!</p><p>l)</p><p>n!</p><p>(n 1)!2</p><p>m) n! (n 1)!</p><p>n!</p><p>2 1</p><p>n)</p><p>(n 2)! (n 1) (n 1)</p><p>(n 1) (n 1)!</p><p>1 1 1 ? 2</p><p>1 ? 2</p><p>o)</p><p>n! (n 1)!</p><p>(n 1)! n!</p><p>6</p><p>25</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>5</p><p>2. (UPE) A seguir, temos o fatorial de alguns números.</p><p>• 1! 5 1 • 2! 5 2 ? 1 • 3! 5 3 ? 2 ? 1 • 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1</p><p>Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto</p><p>vale a soma dos seus três últimos algarismos?</p><p>a) 0</p><p>b) 6</p><p>c) 13</p><p>d) 20</p><p>e) 21</p><p>3. (UFC-CE) Dentre os cinco números inteiros listados abai-</p><p>xo, aquele que representa a melhor aproximação para a</p><p>expressão 2 ? 2! 1 3 ? 3! 1 4 ? 4! 1 5 ? 5! 1 6 ? 6! é:</p><p>a) 5 030</p><p>b) 5 042</p><p>c) 5 050</p><p>d) 5 058</p><p>e) 5 070</p><p>4. (Vunesp-SP) Dados os números n, j [ N,</p><p>a) calcule o valor de n de modo a satisfazer 1</p><p>5</p><p>(n 1)!</p><p>n!</p><p>9.</p><p>b) Sabendo-se que b</p><p>j</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(j 1)!</p><p>(j 2)!</p><p>(j 4)2 , calcule b</p><p>137</p><p>.</p><p>5. Ao resolvermos a equação</p><p>1 ?</p><p>2</p><p>5</p><p>(n 1!) n!</p><p>(n 1)!</p><p>7n , encontra-</p><p>remos n igual a:</p><p>a) 4</p><p>b) 5</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>e) 8</p><p>120</p><p>744</p><p>6</p><p>1</p><p>56</p><p>720</p><p>9 900</p><p>168</p><p>13</p><p>2</p><p>600</p><p>15</p><p>2362 844</p><p>n</p><p>2n</p><p>n2 1 2n 1 1</p><p>5</p><p>8</p><p>135</p><p>aProfundando o conheciMento</p><p>31</p><p>F</p><p>a</p><p>to</p><p>ri</p><p>a</p><p>l</p><p>d</p><p>e</p><p>u</p><p>m</p><p>n</p><p>ú</p><p>m</p><p>e</p><p>ro</p><p>n</p><p>a</p><p>tu</p><p>ra</p><p>l</p><p>M</p><p>A</p><p>T</p><p>E</p><p>M</p><p>Á</p><p>T</p><p>IC</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>2</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 31 4/29/16 8:54 AM</p><p>6. Dentre as alternativas abaixo, determine qual delas sa-</p><p>tisfaz à equação</p><p>n!</p><p>(n 2)!</p><p>240</p><p>2</p><p>5 .</p><p>a) 12</p><p>b) 13</p><p>c) 14</p><p>d) 15</p><p>e) 16</p><p>7. (FGV-SP) Em uma gaveta de armário de um quarto es-</p><p>curo há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e</p><p>7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camise-</p><p>tas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas</p><p>cores, para que:</p><p>a) se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de co-</p><p>res diferentes?</p><p>b) se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de</p><p>mesma cor?</p><p>11</p><p>4</p><p>c) se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma ca-</p><p>miseta de cada cor?</p><p>8. Resolva a equação</p><p>(x 1)!</p><p>(x 1)!</p><p>56</p><p>1</p><p>2</p><p>5 .</p><p>9. Quantas pessoas devem estar, no mínimo, em um grupo</p><p>para que se possa garantir que ao menos 3 delas te-</p><p>nham nascido no mesmo dia da semana?</p><p>10. Em uma gaveta há diversos pares de meias com mesmo</p><p>formato, mas de cores variadas. 12 pares de meias brancas,</p><p>8 pares de meias pretas e 5 pares de meias azuis. Diante</p><p>de um apagão, seu quarto ficou todo escuro e você ainda</p><p>precisa se vestir para sair. Quantas meias você precisa pegar</p><p>no mínimo para ter a certeza de que vai ter em mãos duas</p><p>meias da mesma cor?</p><p>18</p><p>7</p><p>15</p><p>4</p><p>anotações</p><p>32</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 32 4/29/16 8:54 AM</p><p>ph</p><p>Princípio de Dirichlet</p><p>Também conhecido como princípio das gavetas ou princípio da casa dos pombos, dois no-</p><p>mes bastante sugestivos, esse tipo de teoria aborda outra área da análise combinatória, que são</p><p>os problemas de existência. O enunciado para esse princípio é bem simples e diz que se tivermos</p><p>uma revoada de (n + 1) pombos em direção a um pombal com n casinhas, então ao menos uma</p><p>dessas casinhas terá mais de um pombo dentro dela.</p><p>De fato, se cada um dos n primeiros pombos entrar em</p><p>uma casinha diferente, todas as n casi-</p><p>nhas ficarão ocupadas. O que restará ao último desses n 1 1 pombos? Certamente, ele vai entrar</p><p>em uma casinha que já estará ocupada, fazendo com que se tenha dois pombos em pelo menos</p><p>uma casinha. Note que, para qualquer outra situação diferente de ter cada um dos n primeiros</p><p>pombos em uma casinha diferente, o lema já teria sido cumprido, ou seja, já existiria alguma ca-</p><p>sinha com mais de um pombo.</p><p>Problemas desse tipo exigem uma boa interpretação do enunciado e capacidade de jul-</p><p>gamento. Nesses casos, para chegar a uma solução não há necessidade de formalismo ma-</p><p>temático.</p><p>Veja outra maneira de enunciar o princípio de Dirichlet: se tivermos (n 1 1) camisas para guar-</p><p>dar em n gavetas, então haverá ao menos uma gaveta com pelo menos duas camisas.</p><p>O contexto pode mudar, mas o raciocínio é o mesmo. Nos exemplos apresentados, as cami-</p><p>sas e os pombos têm o mesmo papel, assim como as gavetas e as casinhas.</p><p>33</p><p>F</p><p>a</p><p>to</p><p>ri</p><p>a</p><p>l</p><p>d</p><p>e</p><p>u</p><p>m</p><p>n</p><p>ú</p><p>m</p><p>e</p><p>ro</p><p>n</p><p>a</p><p>tu</p><p>ra</p><p>l</p><p>M</p><p>A</p><p>T</p><p>E</p><p>M</p><p>Á</p><p>T</p><p>IC</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>2</p><p>pH_EM2_C1_023a033_M2_Mat_CA.indd 33 4/29/16 8:54 AM</p><p>3</p><p>M—dulo</p><p>Permutação</p><p>simples</p><p>34</p><p>OBJETO DO CONHECIMENTO</p><p>•	Permutações simples – conceito e aplicações</p><p>HABILIDADES</p><p>•	H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na</p><p>construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.</p><p>•	Aplicar o conceito de permutação em diversos problemas do</p><p>cotidiano: anagramas simples, filas, mistura de elementos distin-</p><p>tos em um grupo.</p><p>•	Resolver situação-problema utilizando permutação simples.</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 34 4/29/16 8:56 AM</p><p>Vamos analisar alguns problemas que envolvem a reordenação de um grupo de elementos. É ne-</p><p>cessário compreender, primeiro, que, apesar de usarmos os mesmos elementos, obteremos uma</p><p>nova configuração quando ao menos um deles não ocupar mais a mesma posição que ocupava</p><p>na configuração anterior. Isso quer dizer que não vamos adicionar nem excluir nenhum elemento</p><p>do grupo, e sim considerar apenas aqueles da configuração inicial.</p><p>Para resolvermos problemas desse tipo, precisaremos calcular o fatorial de determinado número,</p><p>como será mostrado adiante.</p><p>Criptografia</p><p>Do grego kryptós (escondido) e gráphein (escrita). Durante muito tempo, a criptografia andou</p><p>lado a lado com uma ciência chamada esteganografia. Esta tinha como objetivo ocultar men-</p><p>sagens, o que era de extrema relevância em períodos de guerra, para salvaguardar o sigilo de</p><p>informações. Já a criptografia visava ocultar o significado das mensagens. Houve uma evo-</p><p>lução natural da esteganografia para a criptografia à medida que os meios de ocultação das</p><p>mensagens se tornavam muito conhecidos. A eficácia da criptografia era notável. Ela pode ser</p><p>aplicada por dois métodos diferentes, conhecidos como transposição, que será nosso objeto</p><p>de estudo, e substituição.</p><p>HG I</p><p>YX Z</p><p>...</p><p>...</p><p>BA DC FE</p><p>BA DC FE</p><p>O método da transposição consiste em reordenar as letras da mensagem gerando um anagra-</p><p>ma. Existem diversas maneiras de fazer essa permutação das letras, e cada uma delas constitui</p><p>um código diferente. Um código pode ser utilizado para escrever (cifrar) ou ler (decifrar) uma</p><p>mensagem.</p><p>Quanto maior for a quantidade de elementos de um conjunto, maior será a quantidade de</p><p>permutações possíveis de realizar. Por esse motivo, mensagens que contenham apenas uma</p><p>palavra são mais fáceis de decifrar que aquelas formadas por uma frase inteira, pois quem</p><p>não conhece o código usado para cifrá-las precisará de um número menor de tentativas para</p><p>descobri-lo.</p><p>Neste módulo, aprenderemos como investigar e solucionar problemas envolvendo permutação.</p><p>para coMeçar</p><p>35</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 35 4/29/16 8:56 AM</p><p>Permutação simples</p><p>Em um conjunto com n elementos, a quantidade P</p><p>n</p><p>de permutações distintas desses n elementos é o</p><p>resultado de n!. Isto é, esse resultado mostra a quantidade de maneiras distintas de reordenar um conjunto</p><p>com n elementos.</p><p>P</p><p>n</p><p>5 n!</p><p>Para entender melhor esse resultado, veja os dois exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Quantos são os anagramas da palavra PAULO?</p><p>Para resolver esse problema precisamos calcular o número de palavras formadas com as mesmas cinco</p><p>letras da palavra PAULO. Para isso, podemos seguir o raciocínio abaixo.</p><p>1o) Para formar uma palavra com as letras P, A, U, L e O, devemos tomar as decisões:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher uma letra entre as 5 para ocupar a 1a posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher uma letra entre as restantes para ocupar a 2a posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher uma letra entre as restantes para ocupar a 3a posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher uma letra entre as restantes para ocupar a 4a posição da palavra;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: a letra que sobrar ocupará a 5a posição da palavra.</p><p>2o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>5</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, concluímos que existem 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 anagramas dife-</p><p>rentes, o que pode ser representado também por 5! 5 120.</p><p>Exemplo 2:</p><p>De quantas maneiras diferentes podemos formar uma fila com 5 pessoas: Antônio, Bernardo, Cláudio,</p><p>Daniel e Eduardo?</p><p>Para responder a essa pergunta, vamos identificar que decisões tomar e quantas opções de escolha te-</p><p>mos para cada uma.</p><p>1o) Para formar a fila, precisamos tomar as decisões:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher uma pessoa entre as 5 para ocupar a 1a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher uma pessoa entre as restantes para ocupar a 2a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher uma pessoa entre as restantes para ocupar a 3a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher uma pessoa entre as restantes para ocupar a 4a posição da fila;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: a pessoa que sobrar ocupará a 5a posição da fila.</p><p>para aprender</p><p>36</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 36 4/29/16 8:56 AM</p><p>situação-probleMa</p><p>Situação-problema 1</p><p>Para movimentar uma conta bancária, seja pela internet</p><p>ou pelos caixas eletrônicos, precisamos cadastrar uma se-</p><p>nha. Em geral, pensamos em um número fácil de ser memo-</p><p>rizado, como nossa data de nascimento ou a de um parente.</p><p>Se tentarmos cadastrar como senha a própria data de nasci-</p><p>mento, provavelmente o sistema informatizado do banco emi-</p><p>tirá uma mensagem instantânea alertando que essa senha não</p><p>poderá ser cadastrada, pois poderá ser facilmente descoberta.</p><p>Cláudia, que nasceu em 23 de agosto de 1974</p><p>(23/08/1974 ), vai cadastrar uma senha de oito dígitos ins-</p><p>pirada na data de seu nascimento, reordenando os alga-</p><p>rismos. Seu banco, para salvaguardar o sigilo dos clientes,</p><p>não permite que os algarismos que compõem o ano de seu</p><p>nascimento fiquem entre os quatro últimos dígitos da senha.</p><p>Desse modo, quantas são as senhas que Cláudia poderia</p><p>usar para acessar sua conta?</p><p>1o) Para resolver esse problema é preciso tomar 8 decisões.</p><p>D</p><p>1</p><p>D</p><p>4</p><p>D</p><p>2</p><p>D</p><p>5</p><p>D</p><p>7</p><p>D</p><p>3</p><p>D</p><p>6</p><p>D</p><p>8</p><p>2o) As decisões consistem em:</p><p>•	 D</p><p>1</p><p>: escolher um algarismo do número 1974 para ser</p><p>o primeiro dígito da senha;</p><p>•	 D</p><p>2</p><p>: escolher um algarismo do número 1974 que ain-</p><p>da não tenha sido usado para ser o segundo dígito</p><p>da senha;</p><p>•	 D</p><p>3</p><p>: escolher um algarismo dentre 1974 que ainda</p><p>não tenha sido usado para ser o terceiro dígito da</p><p>senha;</p><p>•	 D</p><p>4</p><p>: escolher um algarismo do número 1974 que ain-</p><p>da não tenha sido usado para ser o quarto dígito da</p><p>senha;</p><p>•	 D</p><p>5</p><p>: escolher um algarismo do número 2308 que ain-</p><p>da não tenha sido usado para ser o quinto dígito da</p><p>senha;</p><p>•	 D</p><p>6</p><p>: escolher um algarismo do número 2308 que ain-</p><p>da não tenha sido usado para ser o sexto dígito da</p><p>senha;</p><p>N</p><p>e</p><p>m</p><p>id</p><p>a</p><p>/G</p><p>e</p><p>t</p><p>t</p><p>y</p><p>i</p><p>m</p><p>a</p><p>G</p><p>e</p><p>s</p><p>2o) Para cada uma das decisões, tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>5</p><p>;</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, podemos concluir que existem 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 opções para</p><p>formar filas diferentes, o que pode ser representado também</p><p>por 5! 5 120.</p><p>Saber identificar as situações que podem ser resolvidas com as mesmas técnicas que aprendemos permi-</p><p>te solucionar de maneira correta outros problemas de análise combinatória. Repare que utilizamos a mesma</p><p>técnica de resolução nos dois exemplos acima. Ao identificar alguma similaridade com outros problemas,</p><p>talvez possamos ser mais ágeis. Para o nome CLÁUDIO, por exemplo, sabemos que existem 7! 5 5040 ana-</p><p>gramas diferentes. Para muitos outros problemas, talvez tenhamos de usar algumas estratégias específicas</p><p>antes de aplicar a técnica acima ou calcular n! de imediato.</p><p>37</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 37 4/29/16 8:56 AM</p><p>Figura 1. Looping em leque.</p><p>•	 D</p><p>7</p><p>: escolher um algarismo do número 2308 que ain-</p><p>da não tenha sido usado para ser o sétimo dígito da</p><p>senha;</p><p>•	 D</p><p>8</p><p>: escolher um algarismo do número 2308 que</p><p>ainda não tenha sido usado para ser o oitavo dígito</p><p>da senha.</p><p>3o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	4 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>5</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>6</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>7</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>8</p><p>.</p><p>Pelo Princípio Fundamental da Contagem, tem-se 4 ? 3 ?</p><p>? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 576 senhas possíveis.</p><p>Poderíamos resolver esse problema de forma mais</p><p>rápida se calculássemos o produto entre duas permuta-</p><p>ções simples de 4 elementos: P</p><p>4</p><p>? P</p><p>4</p><p>5 4! ? 4! 5 24 ? 24 5</p><p>5 576, no caso de termos percebido que os quatro pri-</p><p>meiros dígitos de sua data de nascimento trocariam de</p><p>posição entre si, dentro das quatro últimas posições da</p><p>senha, e os quatro últimos dígitos trocariam de posição</p><p>entre si, dentro das quatro primeiras posições da senha.</p><p>Observa•‹o: muita coisa mudaria se na data de nas-</p><p>cimento de Cláudia houvesse algarismos repetidos. Este</p><p>caso será estudado mais à frente.</p><p>Situação-problema 2</p><p>O Esquadrão de Demonstração Aérea (EDA), também</p><p>conhecido como Esquadrilha da Fumaça, é um dos maio-</p><p>res esquadrões de exibição aérea do mundo. Uma de</p><p>suas atribuições é demonstrar o alto grau de treinamen-</p><p>to e a capacidade dos pilotos brasileiros. A Esquadrilha</p><p>da Fumaça executa manobras de alta performance que são</p><p>escolhidas com muita cautela. Veja algumas dessas manobras.</p><p>Figura 4. Looping com desfolhado.</p><p>Figura 5. Break.</p><p>Figura 2. DNA com duas voltas.</p><p>Figura 3. Barril.</p><p>Essas imagens mostram apenas algumas das manobras</p><p>que a Esquadrilha da Fumaça executa.</p><p>De quantas maneiras diferentes o líder da esquadrilha po-</p><p>deria escolher uma ordem para as cinco manobras mostradas,</p><p>de modo a não executar os dois tipos de looping em sequência?</p><p>38</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 38 4/29/16 8:56 AM</p><p>Neste módulo, o objetivo foi particularizar alguns métodos práticos de contagem, começan-</p><p>do pelo estudo dos problemas de reordenamento ou problemas de permutações simples. Lem-</p><p>bre que nossa principal ferramenta é o princípio fundamental da contagem. A Permutação de n</p><p>elementos é uma consequência imediata da aplicação desse princípio. Ao reconhecer problemas</p><p>que se assemelhem aos que foram expostos, pode-se resolver mais rapidamente. Em alguns</p><p>casos, talvez seja necessário fazer algumas manobras para facilitar os cálculos. É mais importante</p><p>construir um raciocínio lógico ao resolver problemas do que simplesmente aplicar técnicas.</p><p>para concluir</p><p>Devemos considerar que existem diversas séries de manobras em que os dois tipos de looping estão em</p><p>sequência. Para muitas outras, isso não acontece. O total de séries é calculado pela soma desses dois tipos</p><p>de sequência. Considere que:</p><p>•	Looping em leque 5 A</p><p>•	DNA com duas voltas 5 B</p><p>•	Barril 5 C</p><p>•	Looping com desfolhado 5 D</p><p>•	Break 5 E</p><p>Tudo o que queremos é uma série em que as manobras A e D não apareçam juntas. Logo, o total de</p><p>séries é calculado por P</p><p>5</p><p>5 5! 5 120. Para o total de séries indesejadas, vamos considerar aquelas em que A</p><p>e D estão juntas com A à esquerda de D e o momento em que A e D estão juntas com D à esquerda de A.</p><p>Veja dois exemplos dessas situações:</p><p>BCADE ou BCDAE</p><p>Para não nos preocuparmos mais com o fato de as sequências A e D precisarem permanecer juntas, é co-</p><p>mum usarmos a técnica da substituição. Faremos AD 5 X e DA 5 Y.</p><p>BCXE ou BCYE</p><p>Para cada momento tem-se a permutação simples de 4 elementos (P</p><p>4</p><p>5 4!). Logo, para os casos indese-</p><p>jados devemos calcular 2 ? P</p><p>4</p><p>= 2 ? 4! 5 48. Logo, o problema tem a seguinte solução:</p><p>P</p><p>5</p><p>2 (2 ? P</p><p>4</p><p>) 5 120 2 48 5 72</p><p>Ou seja, o líder da esquadrilha pode escolher uma série que satisfaça às condições de 72 maneiras diferentes.</p><p>praticando o aprendizado</p><p>Veja, no manual do Professor, o gabarito comentado das questões sinalizadas com asterisco.</p><p>1. (PUC-PR) Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e</p><p>dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar</p><p>juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta?</p><p>a) 56</p><p>b) 5 040</p><p>c) 30 240</p><p>d) 35 280</p><p>e) 40 320</p><p>39</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 39 4/29/16 8:56 AM</p><p>2. (UTFPR) Para tentar melhorar seu índice no Ibope uma</p><p>emissora de televisão resolveu mudar a ordem de sua pro-</p><p>gramação, no sábado, das 12 às 18 horas. Os programas</p><p>exibidos neste horário são: esporte, documentário, religio-</p><p>so, variedades, filme nacional e filme estrangeiro. Cada um</p><p>destes programas tem duração de uma hora. Se o progra-</p><p>ma religioso deve ser o último a ser exibido, então o núme-</p><p>ro de maneiras diferentes de se formar a programação é de:</p><p>a) 120</p><p>b) 5</p><p>c) 60</p><p>d) 720</p><p>e) 6</p><p>3. (Ufscar-SP) Todas as permutações com as letras da pala-</p><p>vra SORTE foram ordenadas alfabeticamente, como em</p><p>um dicionário. A última letra da 86a palavra dessa lista é</p><p>a) S.</p><p>b) O.</p><p>c) R.</p><p>d) T.</p><p>e) E.</p><p>4. (Vunesp-SP) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita,</p><p>vão ao cinema, sentando-se em lugares consecutivos na</p><p>mesma fila. O número de maneiras que os quatro po-</p><p>dem ficar dispostos de forma que Pedro e Luísa fiquem</p><p>sempre juntos e João e Rita fiquem sempre juntos é:</p><p>a) 2</p><p>b) 4</p><p>c) 8</p><p>d) 16</p><p>e) 24</p><p>5. (Fatec-SP) Com uma letra A, uma letra C, uma letra E,</p><p>uma letra F e uma letra T, é possível formar 5! 5 120</p><p>”palavras” distintas (anagramas, com ou sem sentido).</p><p>Colocando-se essas ”palavras” em ordem alfabética, a</p><p>posição ocupada pela palavra FATEC será a:</p><p>a) 77a.</p><p>b) 78a.</p><p>c) 80a.</p><p>d) 88a.</p><p>e) 96a.</p><p>6. (Uespi) De quantas maneiras podemos enfileirar 5 mu-</p><p>lheres e 3 homens de tal modo que os 3 homens perma-</p><p>neçam juntos?</p><p>a) 8!</p><p>b) 6!</p><p>c) 6! 3!</p><p>d) 7!</p><p>e) 9!</p><p>7. (UFC-CE) O número de maneiras segundo as quais po-</p><p>demos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos</p><p>fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal,</p><p>sem levar em conta a posição do casal no banco, é:</p><p>a) 9</p><p>b) 18</p><p>c) 24</p><p>d) 32</p><p>e) 36</p><p>8. (UEL-PR) Considere o conjunto A 5 {1, 2, 3, 4}. Sendo m</p><p>o número de todas as permutações simples que podem</p><p>ser feitas com os elementos de A e sendo n o número de</p><p>todos os subconjuntos de A, então:</p><p>a) m , n</p><p>b) m . n</p><p>c) m 5 n 1 1</p><p>d) m 5 n 1 2</p><p>e) m 5 n 1 3</p><p>9. (UEL-PR) Considere todos os números inteiros positivos</p><p>que podem ser escritos permutando-se os algarismos</p><p>do número 2 341. Quantos dos números considerados</p><p>são menores que 2 341?</p><p>a) 9</p><p>b) 15</p><p>c) 27</p><p>d) 84</p><p>e) 120</p><p>10. (UFPI – Adaptada) Escrevendo-se em ordem decres-</p><p>cente todos os números de cinco algarismos distintos</p><p>formados pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a posição do</p><p>número 75 389 é a:</p><p>a) 54a</p><p>b) 67a</p><p>c) 66a</p><p>d) 55a</p><p>e) 56a</p><p>40</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 40 4/29/16 8:56 AM</p><p>1. ENEM O setor de recursos humanos de uma empresa vai</p><p>realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de</p><p>contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada can-</p><p>didato um número, colocar a lista de números em ordem</p><p>numérica crescente e usá-la para convocar os interessados.</p><p>Acontece que, por um defeito do computador, foram gera-</p><p>dos números com 5 algarismos distintos e, em nenhum</p><p>deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a or-</p><p>dem de chamada do candidato que tiver recebido o</p><p>número 75 913 é</p><p>a) 24.</p><p>b) 31.</p><p>c) 32.</p><p>d) 88.</p><p>e) 89.</p><p>2. ENEM João mora na cidade A e precisa visitar cinco clien-</p><p>tes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto</p><p>possível pode ser representado por uma sequência de 7</p><p>letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele</p><p>saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nes-</p><p>ta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número</p><p>indicado entre as letras informa o custo do deslocamento</p><p>entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento</p><p>entre cada uma das cidades.</p><p>B</p><p>6 4</p><p>5</p><p>5</p><p>3</p><p>6</p><p>8</p><p>7 10</p><p>12</p><p>2</p><p>98</p><p>13</p><p>6</p><p>C</p><p>F</p><p>E</p><p>D</p><p>A</p><p>Como João quer economizar, ele precisa determinar qual</p><p>o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.</p><p>Examinando a figura, percebe que precisa considerar so-</p><p>mente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e</p><p>AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min 30 s para</p><p>examinar uma sequência e descartar sua simétrica, confor-</p><p>me apresentado. O tempo mínimo necessário para João</p><p>verificar todas as sequências possíveis no problema é de</p><p>a) 60 min.</p><p>b) 90 min.</p><p>c) 120 min.</p><p>d) 180 min.</p><p>e) 360 min.</p><p>3. (Mack-SP) Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram</p><p>os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma</p><p>determinada fileira. O número de maneiras que essas 10</p><p>pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um dos</p><p>casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é:</p><p>a) 9 ? 9!</p><p>b) 8 ? 9!</p><p>c) 8 ? 8!</p><p>d)</p><p>10!</p><p>2</p><p>e)</p><p>10!</p><p>4</p><p>4. (Insper-SP) Em cada ingresso vendido para um show de</p><p>música, é impresso o número da mesa onde o compra-</p><p>dor deverá se sentar. Cada mesa possui seis lugares, dis-</p><p>postos conforme o esquema a seguir.</p><p>O lugar da mesa em que cada comprador se sentará não</p><p>vem especificado no ingresso, devendo os seis ocupantes</p><p>entrar em acordo. Os ingressos para uma dessas mesas</p><p>foram adquiridos por um casal de namorados e quatro</p><p>membros de uma mesma família. Eles acordaram que os</p><p>namorados poderiam sentar-se um ao lado do outro. Nes-</p><p>sas condições, o número de maneiras distintas em que as</p><p>seis pessoas poderão ocupar os lugares da mesa é</p><p>a) 96.</p><p>b) 120.</p><p>c) 192.</p><p>d) 384.</p><p>e) 720.</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>41</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 41 9/19/16 2:41 PM</p><p>5. (UEMG – Adaptada) Observe a tirinha de quadrinhos a seguir:</p><p>©</p><p>M</p><p>A</p><p>U</p><p>R</p><p>IC</p><p>IO</p><p>D</p><p>E</p><p>S</p><p>O</p><p>U</p><p>S</p><p>A</p><p>/M</p><p>A</p><p>U</p><p>R</p><p>IC</p><p>IO</p><p>D</p><p>E</p><p>S</p><p>O</p><p>U</p><p>S</p><p>A</p><p>P</p><p>R</p><p>O</p><p>D</p><p>U</p><p>‚</p><p>Í</p><p>E</p><p>S</p><p>L</p><p>T</p><p>D</p><p>A</p><p>.</p><p>A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”.</p><p>Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro</p><p>lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa</p><p>brincadeira será igual a</p><p>a) 60.</p><p>b) 150.</p><p>c) 600.</p><p>d) 120.</p><p>e) 300.</p><p>H2</p><p>C1</p><p>6. (UFMG – Adaptada) Para montar a programação de uma</p><p>emissora de rádio, o programador musical conta com 10</p><p>músicas distintas, de diferentes estilos, assim agrupadas: 4</p><p>de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. Sem tempo para fazer essa</p><p>programação, ele decide que, em cada um dos programas</p><p>da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as</p><p>10 músicas. Assim sendo, é correto afirmar que o número</p><p>de programas distintos em que as músicas vão ser tocadas</p><p>agrupadas por estilo é dado por</p><p>a) 4! ? 3! ? 3! ? 3!</p><p>b)</p><p>10!</p><p>7!</p><p>c) 4! ? 3! ? 3!</p><p>d)</p><p>?</p><p>10!</p><p>7! 3!</p><p>e)</p><p>10!</p><p>3!3!</p><p>7. (UFSM-RS) Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam</p><p>atendimento em cidades maiores onde há centros mé-</p><p>dicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas</p><p>vezes, o transporte até essas cidades é feito por vans</p><p>disponibilizadas pelas prefeituras.</p><p>Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o</p><p>motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros</p><p>podem ocupar suas poltronas na van?</p><p>a) 4 032.</p><p>b) 36 288.</p><p>c) 40 320.</p><p>d) 362 880.</p><p>e) 403 200.</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>8. (UPE) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Ma-</p><p>nuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro com</p><p>seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida</p><p>pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por sugestão</p><p>do fotógrafo, na organização para a foto, todos os netos</p><p>deveriam ficar entre os seus avós.</p><p>De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina</p><p>podem posar para essa foto com os seus netos?</p><p>a) 100</p><p>b) 800</p><p>c) 40 320</p><p>d) 80 640</p><p>e) 3 628 800</p><p>9. (UPE) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipi-</p><p>camente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus</p><p>calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite,</p><p>6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos,</p><p>estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fi-</p><p>leiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses</p><p>pares de calçados forem organizados nessas fileiras de tal</p><p>forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da</p><p>primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se orga-</p><p>nizar esses calçados nas duas fileiras?</p><p>a) 6!</p><p>b) 2 ? 6!</p><p>c) 4 ? 6!</p><p>d) 6 ? 6!</p><p>e) 8!</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>42</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 42 9/19/16 2:54 PM</p><p>1. (UFSC – Adaptada) Calcule o número de anagramas da</p><p>palavra CLARO no qual as letras AR apareçam juntas e</p><p>nessa ordem.</p><p>24</p><p>2. (UFMG) Permutando-se os algarismos do número</p><p>123 456, formam-se números de seis algarismos. Supon-</p><p>do-se que todos os números formados com esses seis</p><p>algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem</p><p>crescente:</p><p>a) Determine quantos números possui essa lista.</p><p>720</p><p>b) Determine a posição do primeiro número que come-</p><p>ça com o algarismo 4.</p><p>361a</p><p>c) Determine a posição do primeiro número que termina</p><p>com o algarismo 2.</p><p>34a</p><p>3. (ESPM-SP) ADRIANE e ARIADNE são permutações de</p><p>um mesmo nome. A quantidade de inversões de letras</p><p>que ocorreram de um nome para o outro é igual a:</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 4</p><p>d) 5</p><p>e) 6</p><p>4. (UFRJ) Seja n = 20!. Determine o maior fator primo de n.</p><p>19</p><p>5. (FGV-SP) Colocando em ordem os números resultantes</p><p>das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posi-</p><p>ção ocupará o número 35 241?</p><p>a) 55a</p><p>b) 70a</p><p>c) 56a</p><p>d) 69a</p><p>e) 72a</p><p>6. Um garçom anotou as encomendas de quatro fregueses.</p><p>Cada um pediu uma sopa, um prato principal, uma bebi-</p><p>da e uma sobremesa. O garçom não anotou qual cliente</p><p>pediu determinado prato. Considerando que todos os</p><p>pedidos são diferentes, de quantas maneiras eles pode-</p><p>rão ser distribuídos entre os quatro clientes?</p><p>a) (4!)4</p><p>b) 4 ? 4!</p><p>c) 4! ? 4!</p><p>d) 416</p><p>e)</p><p>16!</p><p>4!4!</p><p>10. (PUC-PR) Uma indústria alimentícia prepara um “buffet”</p><p>com seus produtos para a apreciação de especialistas</p><p>do setor. São dois tipos de suco, cinco tipos de prato</p><p>salgado e quatro tipos de sobremesa. Cada especialista</p><p>prova o “buffet” individualmente e, entre um especialis-</p><p>ta e outro, o “buffet” é reorganizado em ordem diferen-</p><p>te, seguindo as seguintes instruções:</p><p>I. Sucos, salgados e sobremesas devem ser dispostos</p><p>em linha.</p><p>II. Cada tipo de produto deve ser agrupado de modo</p><p>conjunto. Os sucos devem ficar juntos, assim como</p><p>os pratos salgados e as sobremesas, ou seja, não se</p><p>devem intercalar produtos de tipos diferentes.</p><p>H5</p><p>C1</p><p>III. A sequência dos tipos de produto pode ser alterada,</p><p>ou seja, pode ser iniciada com os sucos, ou com os</p><p>pratos salgados, ou ainda, pelas sobremesas.</p><p>De quantas maneiras diferentes o “buffet” pode ser</p><p>composto?</p><p>a) 5 760.</p><p>b) 11!</p><p>c) 120.</p><p>d) 165.</p><p>e) 34 560.</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>43</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 43 9/19/16 2:56 PM</p><p>7. (Unifesp-SP) As permutações das letras da palavra PRO-</p><p>VA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem</p><p>palavras de cinco letras em um dicionário. A 73a palavra</p><p>nessa lista é</p><p>a) PROVA.</p><p>b) VAPOR.</p><p>c) RAPOV.</p><p>d) ROVAP.</p><p>e)</p><p>seus alunos. Para isso,</p><p>dividimos o Manual em:</p><p>• Estratégias de aula, que enriquecerão ainda mais a bagagem cultural e acadêmica do professor, in-</p><p>cluindo, também, uma sugestão de quadro para facilitar o atribulado dia a dia dos professores.</p><p>• Atividades complementares que propõem ações lúdicas para facilitar o florescimento das habilidades</p><p>as quais esperamos que os alunos alcancem.</p><p>• Material de apoio, que traz textos da internet, curiosidades, livros aconselháveis, etc.</p><p>• Gabarito comentado dos exercícios considerados mais complexos do Caderno do Aluno.</p><p>Nosso material foi preparado – de profes-</p><p>sores para professores – com muito carinho,</p><p>pensando nas melhores relações que podem</p><p>ser desenvolvidas com os alunos. O objetivo</p><p>é criar um ambiente em que imperem a von-</p><p>tade e a busca pelo conhecimento. A equipe</p><p>de autores do pH deseja a você grandiosas</p><p>experiências, seja em sala de aula, seja em</p><p>trabalhos extracurriculares desenvolvidos</p><p>pela escola no ano letivo que se inicia. Que</p><p>possamos – juntos – andar, tropeçar, correr e</p><p>até mesmo voar por esse caminho que nos</p><p>conduzirá pelo vasto universo da Matemática.</p><p>S</p><p>A</p><p>M</p><p>I</p><p>S</p><p>E</p><p>R</p><p>T</p><p>/I</p><p>S</p><p>T</p><p>O</p><p>C</p><p>K</p><p>/G</p><p>E</p><p>T</p><p>T</p><p>Y</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>G</p><p>E</p><p>S</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 5 4/30/16 2:53 PM</p><p>Sumário</p><p>geral</p><p>MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS</p><p>8</p><p>1 Princípio fundamental</p><p>da contagem</p><p>M</p><p>Ó</p><p>D</p><p>U</p><p>LO</p><p>18</p><p>4 Arranjos simples</p><p>M</p><p>Ó</p><p>D</p><p>U</p><p>LO</p><p>13</p><p>2 Fatorial de um número</p><p>natural</p><p>M</p><p>Ó</p><p>D</p><p>U</p><p>LO</p><p>23</p><p>5 Combinações simples I</p><p>M</p><p>Ó</p><p>D</p><p>U</p><p>LO</p><p>15</p><p>3 Permutação simples</p><p>M</p><p>Ó</p><p>D</p><p>U</p><p>LO</p><p>27</p><p>6 Combinações simples II</p><p>M</p><p>Ó</p><p>D</p><p>U</p><p>LOM</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 6 4/30/16 2:53 PM</p><p>HABILIDADES E COMPETÊNCIAS</p><p>Competência de área 1 – Construir significados para os números naturais,</p><p>inteiros, racionais e reais.</p><p>H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros,</p><p>racionais ou reais.</p><p>H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.</p><p>H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.</p><p>H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.</p><p>H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.</p><p>Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a</p><p>representação da realidade e agir sobre ela.</p><p>H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.</p><p>H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.</p><p>H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.</p><p>H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.</p><p>Competência de área 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade</p><p>e a solução de problemas do cotidiano.</p><p>H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.</p><p>H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.</p><p>H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.</p><p>H13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.</p><p>H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.</p><p>Competência de área 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade</p><p>e a solução de problemas do cotidiano.</p><p>H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.</p><p>H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.</p><p>H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.</p><p>H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.</p><p>Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas</p><p>ou técnico-científicas, usando representações algébricas.</p><p>H19 – Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.</p><p>H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.</p><p>H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.</p><p>H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.</p><p>H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.</p><p>Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas,</p><p>realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.</p><p>H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.</p><p>H25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.</p><p>H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.</p><p>Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e</p><p>utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para</p><p>interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.</p><p>H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados</p><p>(não em classes) ou em gráficos.</p><p>H28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.</p><p>H29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.</p><p>H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.</p><p>pH_EM2_C1_001a007_IN_Mat_MP.indd 7 4/30/16 2:53 PM</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO HABILIDADES</p><p>• Princípio fundamental da contagem</p><p>• Diagramas de árvore</p><p>• Aplicar o princípio multiplicativo em situações do co-</p><p>tidiano.</p><p>• Resolver situação-problema utilizando o princípio mul-</p><p>tiplicativo.</p><p>• Analisar outros princípios de contagem.</p><p>• Construir diagramas baseados em sistemas de conta-</p><p>gem lógicos.</p><p>1</p><p>Módulo</p><p>Princípio fundamental da</p><p>contagem</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O estudo da análise combinatória tem por objetivo re-</p><p>conhecer processos de contagem, para que se possa enu-</p><p>merar conjuntos e subconjuntos. O número de métodos</p><p>que existem para quantificar conjuntos ou subconjuntos</p><p>é grande. Por isso, o nível de dificuldade dentro de cada</p><p>método aumenta gradualmente, assim como sua comple-</p><p>xidade. O estudo desses métodos permitirá resolver, entre</p><p>outras coisas, diversos problemas do cotidiano.</p><p>ESTRATÉGIAS DE AULA</p><p>AULA 1</p><p>A primeira aula sobre análise combinatória será usada</p><p>para apresentar aos alunos o princípio fundamental da con-</p><p>tagem ou princípio multiplicativo, que será a base do estudo</p><p>desse assunto. Além de apresentar o conteúdo, é interessan-</p><p>te mostrar aos alunos situações-problema. Por isso, o módu-</p><p>lo começa tratando da questão da mobilidade urbana, um</p><p>grande problema nas metrópoles.</p><p>Mostre aos alunos que todo o curso de análise com-</p><p>binatória apoia-se na ideia de tomar pequenas decisões,</p><p>como se fôssemos resolver problemas menores para de-</p><p>pois chegar à solução de um problema maior. A solução</p><p>do problema maior é o produto da quantidade de opções</p><p>existentes para cada um dos problemas menores. Esse é o</p><p>propósito do princípio multiplicativo. Na situação apresenta-</p><p>da na seção Para começar, uma pessoa pode escolher uma</p><p>dentre sete linhas de ônibus secundárias e um dentre três ti-</p><p>pos de BRT (Transporte Rápido por Ônibus). Portanto, deve-</p><p>-se multiplicar 7 por 3, sendo que 7 corresponde à quantida-</p><p>de de escolhas possíveis para a primeira decisão e 3 correspon-</p><p>de à quantidade de escolhas possíveis para a segunda decisão.</p><p>Recomendamos que seja resolvido o exercício 1 da se-</p><p>ção Praticando o aprendizado, que se assemelha ao pro-</p><p>blema de mobilidade urbana, com a necessidade de uma</p><p>quantidade</p><p>RAOPV.</p><p>8. (Vunesp-SP) O número de maneiras que 3 pessoas po-</p><p>dem sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de</p><p>modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas),</p><p>sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, é</p><p>a) 3.</p><p>b) 6.</p><p>c) 9.</p><p>d) 12.</p><p>e) 15.</p><p>9. (PUC-RS) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de</p><p>uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Or-</p><p>ganizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre</p><p>os pais. Mantida essa configuração, o número de formas</p><p>em que poderão se posicionar para a foto é</p><p>a) 4</p><p>b) 6</p><p>c) 24</p><p>d) 36</p><p>e) 48</p><p>10. (Imed-RS) O total de anagramas da palavra LÓGICA</p><p>é exatamente igual à medida, em graus, da soma dos</p><p>ângulos internos de um polígono regular. Consideran-</p><p>do que a soma dos ângulos internos de um polígono é</p><p>dada pela expressão S 5 (n 2 2) ? 180¡, onde n corres-</p><p>ponde ao número de lados, pode-se afirmar que esse</p><p>polígono é um:</p><p>a) Triângulo.</p><p>b) Quadrado.</p><p>c) Pentágono.</p><p>d) Hexágono.</p><p>e) Heptágono.</p><p>11. (UPE) A vendedora de roupas está arrumando os cabi-</p><p>des da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 camisas,</p><p>3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo que cada</p><p>peça fique uma do lado da outra sem sobreposição.</p><p>Quantas são as disposições possíveis nessa arrumação,</p><p>de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sem-</p><p>pre juntas, lado a lado na vitrine?</p><p>a) 30</p><p>b) 120</p><p>c) 1 440</p><p>d) 4 320</p><p>e) 8 640</p><p>12. (PUC-RS) O número de anagramas da palavra BRASIL em</p><p>que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes também, é</p><p>a) 24</p><p>b) 48</p><p>c) 96</p><p>d) 240</p><p>e) 720</p><p>13. (UCS-RS) Rose não anotou o número de celular que seu</p><p>novo amigo lhe informou. Agora ela tem dúvidas em re-</p><p>lação aos últimos quatro dígitos. Sabe quais são os dígi-</p><p>tos, porém não sabe a ordem em que eles aparecem no</p><p>número do telefone.</p><p>Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem</p><p>desses quatros dígitos?</p><p>a) 8</p><p>b) 16</p><p>c) 24</p><p>d) 36</p><p>e) 120</p><p>14. (Udesc) Considere as matrizes da forma</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A a b</p><p>c d</p><p>5</p><p>com a, b, c, d [ {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Se os elementos destas</p><p>matrizes não são múltiplos, então o número máximo de</p><p>tais matrizes distintas que pode ser formado é:</p><p>a) 96</p><p>b) 120</p><p>c) 48</p><p>d) 72</p><p>e) 360</p><p>15. (Uespi) De quantas maneiras podemos formar 5 casais</p><p>(com pessoas de sexos diferentes e não ordenados) a</p><p>partir de um grupo formado por 5 homens e 5 mulheres?</p><p>Desconsidere a ordem dos 5 casais.</p><p>a) 60</p><p>b) 80</p><p>c) 100</p><p>d) 120</p><p>e) 140</p><p>16. (UFF-RJ) Três ingleses, quatro americanos e cinco france-</p><p>ses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de</p><p>modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam</p><p>sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila po-</p><p>derá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um</p><p>francês? 34 560</p><p>44</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 44 4/29/16 8:56 AM</p><p>ph</p><p>Permutações circulares</p><p>O objetivo deste estudo é verificar de quantas maneiras diferentes podemos dispor n pessoas</p><p>em torno de uma mesa redonda. Mais uma vez nos vemos diante de um exercício de ordenamen-</p><p>to. Devemos entender que uma disposição só será diferente da outra se, para qualquer pessoa,</p><p>quem estiver à sua direita (ou à esquerda) não for mais quem estava antes. Vamos analisar um</p><p>caso simples, com apenas três pessoas.</p><p>C</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>Embora não pareça, as três configurações acima representam a mesma coisa. Diante do que</p><p>definimos, quem está à direita (ou à esquerda) de A nos três casos é a mesma pessoa. Isso tam-</p><p>bém acontece se observarmos quem está no entorno de B ou C.</p><p>Na figura a seguir, em cada um dos três casos, A não tem mais B à sua direita, mas sim C.</p><p>Novamente, são três configurações que representam exatamente a mesma coisa.</p><p>B</p><p>C</p><p>A</p><p>C</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>Para os problemas de ordenamento que estudamos neste módulo qualquer sequência que</p><p>precisássemos considerar tinha um primeiro elemento.</p><p>O segredo para qualquer permutação circular é estabelecer uma pessoa (e pode ser qualquer</p><p>pessoa) para se sentar à mesa. Desse modo passamos a definir os lugares dispostos em torno</p><p>da pessoa escolhida: o primeiro lugar à direita dela, o segundo lugar à direita dela, e assim por</p><p>diante.</p><p>Vamos determinar de quantas maneiras seis amigos, Antônio, Bernardo, Cláudio, Daniel,</p><p>Eduar do e Felipe, podem se sentar em torno de uma mesa redonda.</p><p>De forma totalmente aleatória, vamos colocar Felipe sentado à mesa em qualquer lugar.</p><p>45</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 45 4/29/16 8:56 AM</p><p>anotações</p><p>Felipe</p><p>Agora podemos seguir os passos abaixo:</p><p>1o) Para resolver esse problema é preciso tomar 5 decisões:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher alguém para se sentar no primeiro lugar à direita de Felipe;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher alguém para se sentar no segundo lugar à direita de Felipe;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher alguém para se sentar no terceiro lugar à direita de Felipe;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher alguém para se sentar no quarto lugar à direita de Felipe;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: escolher alguém para se sentar no quinto lugar à direita de Felipe.</p><p>2o) Para cada uma das decisões tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	3 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	2 opções para D</p><p>4</p><p>;</p><p>•	1 opção para D</p><p>5</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 maneiras diferentes de</p><p>dispor os seis amigos em torno da mesa.</p><p>De maneira prática, pode-se abreviar esse resultado do seguinte modo:</p><p>PC</p><p>n</p><p>= (n – 1)!</p><p>O que faz sentido, pois, ao selecionarmos um dos n elementos para servir como referência,</p><p>fazemos com que os demais (n – 1) elementos troquem de posição entre si. Isso nos remete a um</p><p>problema de permutação simples.</p><p>46</p><p>pH_EM2_C1_034a046_M3_Mat_CA.indd 46 4/29/16 8:56 AM</p><p>4</p><p>M—dulo</p><p>Arranjos simples</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO</p><p>•	Agrupamentos: arranjos simples</p><p>•	Conceito de ordenação de elementos dentro de um</p><p>grupo</p><p>HABILIDADES</p><p>•	Apresentar problemas de contagem de agrupamentos que podem</p><p>ser descritos por sequências de eventos.</p><p>•	Distinguir situações em que a ordem dos eventos é relevante ou não.</p><p>•	Resolver situação-problema utilizando arranjos simples.</p><p>47</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 47 4/29/16 8:58 AM</p><p>Para coMeçar</p><p>Imagine a seguinte situação: na estante de brinquedos dos irmãos Pedro, Paulo e Michel estão cinco</p><p>brinquedos diferentes: um boneco, um escudo, um mini game, um chapéu e um quebra-cabeça. Cada</p><p>um dos irmãos vai até a estante e escolhe um brinquedo para levar para a escola. De quantas maneiras</p><p>diferentes os meninos podem fazer essa escolha?</p><p>Esse é um tipo de problema que envolve uma seleção de elementos com base em um conjunto dado.</p><p>Nessa situação podemos perceber que a distribuição “Paulo levar o boneco“, “Pedro levar o escudo“</p><p>e “Michel levar o chapéu“ é diferente de “Paulo levar o escudo“, “Pedro levar o boneco“ e “Michel</p><p>levar o chapéu“. Ainda que os irmãos tenham escolhido os mesmos brinquedos, o fato de mudar a</p><p>ordem da escolha entre eles influencia na situação final.</p><p>Agora, vamos para outra análise.</p><p>Uma Comissão Parlamentar de</p><p>Inquérito (CPI) é uma delega-</p><p>ção formada e conduzida pelo</p><p>Poder Legislativo, com o propó-</p><p>sito de promover investigações</p><p>a respeito de operações ilícitas.</p><p>Os membros das CPIs são parla-</p><p>mentares escolhidos pelos par-</p><p>tidos políticos e os cargos mais</p><p>importantes são o de presidente</p><p>(encarregado de coordenar as</p><p>sessões) e o de relator (encarre-</p><p>gado de sintetizar no documen-</p><p>to final, que deve ser aprovado</p><p>pela comissão, as conclusões</p><p>das investigações e sugerir as</p><p>providências cabíveis).</p><p>Considere que, entre seis parlamentares que vão compor uma CPI, é necessário escolher quem</p><p>será o presidente e quem será o relator.</p><p>Chamando-se os parlamentares de A, B, C, D, E e F, essa escolha pode ser feita conforme apre-</p><p>sentado a seguir.</p><p>Presidente A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D E E E E E F F F F F</p><p>Relator B C D E F A C D E F A B D E F A B C E F A B C D F A B C D E</p><p>Há uma análise muito importante a ser feita sobre esse quadro de escolhas. Em uma das configu-</p><p>rações, os parlamentares A e B seriam os escolhidos.</p><p>Em outra configuração, os parlamentares B</p><p>e A seriam os escolhidos. Será que há algum erro nessas configurações? Não está sendo repetida</p><p>alguma configuração?</p><p>No caso de serem escolhidos os parlamentares A e B, é necessário deixar claro que A é quem vai</p><p>presidir a CPI, enquanto B será o relator. No caso de serem escolhidos os parlamentares B e A,</p><p>deve-se entender que B é quem vai presidir e A será o relator.</p><p>l</p><p>u</p><p>is</p><p>s</p><p>a</p><p>l</p><p>v</p><p>a</p><p>t</p><p>o</p><p>r</p><p>e</p><p>/p</p><p>u</p><p>l</p><p>s</p><p>a</p><p>r</p><p>i</p><p>m</p><p>a</p><p>g</p><p>e</p><p>n</p><p>s</p><p>48</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 48 4/29/16 8:58 AM</p><p>Arranjo</p><p>Define-se arranjo de n elementos tomados p a p como o número de subconjuntos com p elementos que</p><p>se pode formar a partir de um conjunto com n elementos. Ao analisar dois subconjuntos A e B, deve-se en-</p><p>tender que esses subconjuntos serão diferentes um do outro se forem verificadas as seguintes características:</p><p>1o) Se ao menos um elemento do subconjunto A não está no subconjunto B;</p><p>2o) Se ao menos um elemento do subconjunto B não está na mesma posição que ocupava no subconjun-</p><p>to A, ainda que B tenha exatamente os mesmos elementos de A.</p><p>O cálculo do arranjo de n elementos tomados p a p é dado pelos seguintes passos:</p><p>1o) Toma-se p decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um dos n elementos para o primeiro lugar do subconjunto;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um dos n 2 1 elementos restantes para o segundo lugar do subconjunto;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher um dos n 2 2 elementos restantes para o terceiro lugar do subconjunto;</p><p>...</p><p>•	D</p><p>p</p><p>: escolher um dos n 2 p 1 1 elementos restantes para o p-ésimo lugar do subconjunto.</p><p>2o) Assim, as quantidades de opções para cada decisão estão discriminadas e, então, basta aplicar o</p><p>princípio fundamental da contagem.</p><p>A</p><p>n, p</p><p>5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? (n 2 p 1 1)</p><p>De forma abreviada, pode-se usar o fatorial para facilitar os cálculos. Para isso, multiplica-se essa expressão por</p><p>uma fração conveniente equivalente a 1, ou seja, que não altera o valor numérico da expressão, e desenvolve-se:</p><p>A</p><p>n, p</p><p>5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? (n 2 p 1 1) ?</p><p>(n p) (n p 1) ... 3 2 1</p><p>(n p) (n p 1) ... 3 2 1</p><p>2 ? 2 2 ? ? ? ?</p><p>2 ? 2 2 ? ? ? ?</p><p>A</p><p>n, p</p><p>5</p><p>n (n 1) (n 2) ... (n p) (n p 1) ... 3 2 1</p><p>(n p) (n p 1) ... 3 2 1</p><p>? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?</p><p>2 ? 2 2 ? ? ? ?</p><p>Assim:</p><p>A</p><p>n, p</p><p>5</p><p>n!</p><p>(n p)!2</p><p>Voltando ao problema dos irmãos Pedro, Paulo e Michel, apresentado na seção Para começar, pode-se</p><p>resolvê-lo do seguinte modo:</p><p>1o) Tomam-se três decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: Pedro escolher um brinquedo da estante;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: Paulo escolher um brinquedo dentre os restantes;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: Michel escolher um brinquedo dentre os restantes depois da escolha de Paulo.</p><p>2o) Para cada uma dessas decisões, tem-se:</p><p>•	5 opções para Pedro;</p><p>•	4 opções para Paulo;</p><p>•	3 opções para Michel.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, existem 5 ? 4 ? 3 5 60 maneiras diferentes de os irmãos fazerem</p><p>suas escolhas.</p><p>Para aPrender</p><p>49</p><p>A</p><p>rr</p><p>an</p><p>jo</p><p>s</p><p>si</p><p>m</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>te</p><p>M</p><p>á</p><p>ti</p><p>c</p><p>A</p><p>i</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>4</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 49 4/29/16 8:58 AM</p><p>Esse mesmo problema poderia ser resolvido com a ajuda da fórmula definida anteriormente:</p><p>A</p><p>5!</p><p>(5 3)!</p><p>5!</p><p>2!</p><p>5 4 3 2!</p><p>2!</p><p>5 4 3 605, 3 5</p><p>2</p><p>5 5</p><p>? ? ?</p><p>5 ? ? 5</p><p>No procedimento para chegar a essa fórmula, estende-se o produto dos p primeiros números inteiros</p><p>e consecutivos a começar pelo maior de todos, que é n. Em seguida, divide-se o resultado pelos n 2 p</p><p>últimos fatores, em que o menor deles é igual a 1. Com esse procedimento, tenta-se mostrar que, no</p><p>arranjo de n elementos tomados p a p, dispõem-se todos os n elementos em fila e selecionam-se os p</p><p>primeiros elementos dessa fila.</p><p>situação-ProbleMa</p><p>Situação-problema 1</p><p>O lugar mais alto do pódio é certamente o mais desejado por qualquer atleta em uma competição. Para que essa hon-</p><p>raria seja conquistada, é necessário muito suor. Embora todos os atletas treinem arduamente e deem tudo de si, na hora da</p><p>disputa tudo pode acontecer. Em uma corrida de 100 metros rasos, que dura em torno de 10 segundos, se uma passada for</p><p>dada errada, o final da história pode ser bem diferente de tudo o que estava previsto.</p><p>Considera-se uma final olímpica dessa modalidade a disputa entre os dez atletas mais velozes de todos os tempos. O</p><p>último ranking elaborado mostra que esses dez atletas são Usain Bolt, Tyson Gay, Asafa Powel, Justin Gatlin, Maurice Greene,</p><p>Donovan Bailey, Bruny Surin, Leroy Burrell, Olusoji Fasuba e Carl Lewis. Vamos calcular de quantas maneiras diferentes esse</p><p>pódio pode ser ocupado pelos dez atletas.</p><p>1o) É necessário tomar três decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um atleta para o primeiro lugar;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um atleta, diferente do anterior, para o segundo lugar;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher um atleta, diferente dos anteriores, para o terceiro lugar.</p><p>r</p><p>e</p><p>g</p><p>ie</p><p>n</p><p>p</p><p>a</p><p>a</p><p>s</p><p>s</p><p>e</p><p>n</p><p>/s</p><p>h</p><p>u</p><p>t</p><p>t</p><p>e</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>o</p><p>c</p><p>k</p><p>50</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 50 4/29/16 8:58 AM</p><p>2o) Para cada uma das decisões, tem-se:</p><p>•	10 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	9 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	8 opções para D</p><p>3</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 10 ? 9 ? 8 = 720 possíveis maneiras de ocupar o pódio.</p><p>Ainda que uma pessoa tenha previsto um pódio com Usain Bolt, Tyson Gay e Asafa Powel, e outra tenha previsto um</p><p>pódio com Usain Bolt, Asafa Powel e Tyson Gay, há que concordar que essas duas configurações de pódio são diferentes. Na</p><p>primeira, Asafa Powel é quem fica com a medalha de bronze enquanto, na segunda, Tyson Gay é quem fica com essa medalha.</p><p>Esse cálculo também poderia ser feito com o auxílio da fórmula:</p><p>5</p><p>2</p><p>5 5</p><p>? ? ?</p><p>5 ? ? 5A</p><p>10!</p><p>(10 3)!</p><p>10!</p><p>7!</p><p>10 9 8 7!</p><p>7!</p><p>10 9 8 72010, 3</p><p>Situação-problema 2</p><p>Um relatório da Organização Internacional do Trabalho (OIT) afirma que, nos países com piores índices, apenas 5% dos car-</p><p>gos de chefia são ocupados por mulheres. No Brasil, a mão de obra feminina em cargos de nível médio e sênior chegou a 37,3%</p><p>em 2012. Esse índice é melhor do que o índice de Alemanha, Argentina, Canadá e Portugal, mas inferior ao índice de Estados</p><p>Unidos, França e Rússia.</p><p>Disponível em: <http://nacoesunidas.org/apenas-5-dos-cargos-de-chefia-sao-ocupados-por-mulheres-afirma-novo-relatorio-da-oit/>. Acesso em: 5 nov. 2016. Adaptado.</p><p>Há muito a ser feito para que se diminua essa desigualdade de gêneros nos cargos de chefia em todo o mundo. No</p><p>Brasil, algumas medidas são tomadas, mas ainda muito incipientes.</p><p>Uma grande empresa vai abrir duas novas filiais: uma no Rio de Janeiro e outra em São Paulo. Essa empresa tem 15 funcioná-</p><p>rios de grande experiência para assumir papéis de liderança, e 10 desses profissionais são homens. Convencidos de que tanto as</p><p>mulheres quanto os homens estão plenamente habilitados para desempenhar funções de liderança, o alto comando da empresa</p><p>decide designar uma mulher para a diretoria da filial do Rio de Janeiro e outra para a vice-diretoria. Para a filial de São Paulo, será</p><p>designado um homem para a diretoria e outro homem para a vice-diretoria. Quantas são as configurações possíveis?</p><p>1o) Tomam-se quatro decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher uma mulher para a direção da filial do Rio de Janeiro;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher outra mulher para a vice-direção da filial do Rio de Janeiro;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher um homem para a direção da filial de São Paulo;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher outro homem para a vice-direção da filial de São Paulo.</p><p>2o) Para cada uma dessas decisões, tem-se:</p><p>•	5 opções para D</p><p>1</p><p>;</p><p>•	4 opções para D</p><p>2</p><p>;</p><p>•	10 opções para D</p><p>3</p><p>;</p><p>•	9 opções para D</p><p>4</p><p>.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 5 ? 4 ? 10 ? 9 = 1 800 configurações que satisfazem às condições dadas.</p><p>Parecem muitas configurações possíveis? Vamos analisar um caso mais simples, com um grupo de quatro pessoas (Ana,</p><p>Beatriz, Cláudio e Daniel) para os cargos. Somente essas quatro pessoas geram quatro configurações diferentes:</p><p>Diretoria RJ Vice-diretoria RJ Diretoria SP Vice-diretoria SP</p><p>Ana Beatriz Cláudio Daniel</p><p>Ana Beatriz Daniel Cláudio</p><p>Beatriz Ana Cláudio Daniel</p><p>Beatriz Ana Daniel Cláudio</p><p>51</p><p>A</p><p>rr</p><p>an</p><p>jo</p><p>s</p><p>si</p><p>m</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>4</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 51 4/29/16 8:58 AM</p><p>Pode-se resolver também com a fórmula de arranjo definida anteriormente, considerando a escolha da filial do Rio de</p><p>Janeiro e, em seguida, da filial de São Paulo:</p><p>A A</p><p>5!</p><p>(5 2)!</p><p>10!</p><p>(10 2)!</p><p>5!</p><p>3!</p><p>10!</p><p>8!</p><p>5 4 3!</p><p>3!</p><p>10 9 8!</p><p>8!</p><p>5 4 10 9 18005, 2 10, 2? 5</p><p>2</p><p>?</p><p>2</p><p>5 ? 5</p><p>? ?</p><p>?</p><p>? ?</p><p>5 ? ? ? 5</p><p>Situação-problema 3</p><p>“Será que é possível colorir qualquer mapa no plano com 4 cores (ou menos) de modo que as regiões que possuem</p><p>fronteiras comuns jamais tenham a mesma cor?” Essa é uma pergunta clássica na Matemática, que teve origem em uma</p><p>história curiosa: um estudante de pós-graduação do University College, em Londres, por volta de 1852, tentou pintar todos</p><p>os condados da Inglaterra, sem que condados vizinhos tivessem a mesma cor, utilizando apenas 4 cores. O fato é que ele</p><p>conseguiu e daí sucedeu a dúvida.</p><p>Muito tempo se passou até que essa pergunta fosse respondida. Na verdade, tal resposta depende de uma grande</p><p>quantidade de variáveis e de cálculos muito complexos.</p><p>Aqui serão apresentados argumentos combinatórios para que sejam resolvidos problemas práticos de forma rápida e</p><p>eficaz; inicialmente, partindo de um exemplo mais simples. Ao dispor de seis cores (verde, vermelha, amarela, azul, anil e</p><p>violeta), de quantas maneiras distintas pode-se colorir a ilha, o coqueiro e o baú abaixo de modo que cada um tenha uma</p><p>cor diferente?</p><p>Para resolver esse problema, faz-se uso dos três passos, mas</p><p>de maneira muito mais rápida.</p><p>6 ? 5 ? 4 = 120</p><p>ilha coqueiro baú</p><p>Embora em algum momento possam ser usadas as cores ver-</p><p>de, vermelha e azul, nesta ordem, deve-se perceber que o uso</p><p>dessas mesmas cores em outra ordem caracteriza outra configu-</p><p>ração. Se a cor verde for a primeira a ser escolhida, ela deverá ser</p><p>usada para pintar a ilha. Se a cor vermelha for a segunda a ser esco-</p><p>lhida, ela deverá ser usada para pintar o coqueiro. Se a cor azul for a</p><p>terceira a ser escolhida, ela deverá ser usada para pintar o baú.</p><p>Com essa redução do número de etapas, não se deixa de</p><p>identificar a quantidade de decisões que devem ser tomadas,</p><p>não se deixa de identificar no que consistia cada decisão, nem</p><p>mesmo se deixa de dizer a quantidade de opções para cada de-</p><p>cisão, ou seja, sabendo identificar cada decisão, dificilmente é</p><p>preciso recorrer ao uso da fórmula.</p><p>Neste módulo, o objetivo foi mostrar que é possível fazer diferentes escolhas de elementos</p><p>a partir de certo conjunto de elementos dados. No entanto, é necessário prestar atenção, ainda</p><p>que tenham sido selecionados os mesmos elementos para dois subconjuntos, mas em ordens</p><p>distintas, esses dois subconjuntos vão representar duas configurações diferentes.</p><p>Para resolver tais situações, há duas maneiras, ficando à escolha o uso da fórmula de arranjo</p><p>simples ou o uso dos passos que foram seguidos aqui.</p><p>Para concluir</p><p>52</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 52 4/29/16 8:58 AM</p><p>1. (PUC-SP) No vestiário de uma academia de ginástica há exatamente 30 armários, cada qual para uso individual. Se, no</p><p>instante em que dois alunos dessa academia entram no vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão</p><p>desocupados, quantas opções eles terão para escolher seus respectivos armários?</p><p>a) 14</p><p>b) 28</p><p>c) 48</p><p>d) 56</p><p>e) 112</p><p>2. (UEG-GO – Adaptada) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ utilizando sua caneta de quatro cores distintas, de tal forma</p><p>que nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é:</p><p>a) 64</p><p>b) 24</p><p>c) 12</p><p>d) 4</p><p>e) 16</p><p>3. EnEM Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir</p><p>o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e</p><p>constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na</p><p>figura disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas</p><p>com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.</p><p>O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é</p><p>calculado por:</p><p>a)</p><p>9!</p><p>2!</p><p>b)</p><p>9!</p><p>7!2!</p><p>c) 7!</p><p>d)</p><p>4!</p><p>2!</p><p>4!?</p><p>e)</p><p>5!</p><p>4!</p><p>4!</p><p>3!</p><p>?</p><p>4. (Mack-SP) Os números pares com 4 algarismos distintos, que podemos obter com os elementos do conjunto {0; 3; 4; 5;</p><p>6; 7; 8}, são em número de:</p><p>a) 63</p><p>b) 420</p><p>c) 5 ? 62</p><p>d) 5 ? 43</p><p>e) 380</p><p>5. (PUC-MG – Adaptada) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversário.</p><p>Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem x maneiras diferentes</p><p>de organizar esse serviço. O valor de x é:</p><p>a) 180</p><p>b) 360</p><p>c) 440</p><p>d) 720</p><p>e) 840</p><p>H2</p><p>c1</p><p>Praticando o aPrendizado</p><p>veja, no manual do professor, o gabarito comentado das questões sinalizadas com asterisco.</p><p>L</p><p>G</p><p>53</p><p>A</p><p>rr</p><p>an</p><p>jo</p><p>s</p><p>si</p><p>m</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>4</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 53 4/29/16 8:58 AM</p><p>1. (Fuvest-SP) Vinte times de futebol disputam a Série A do</p><p>Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada</p><p>time joga duas vezes contra cada um dos seus adversá-</p><p>rios. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponen-</p><p>tes são paulistas é:</p><p>a) menor que 7%.</p><p>b) maior que 7%, mas menor que 10%.</p><p>c) maior que 10%, mas menor que 13%.</p><p>d) maior que 13%, mas menor que 16%.</p><p>e) maior que 16%.</p><p>2. (UFSM-RS) A reforma agrária ainda é um ponto crucial para</p><p>se estabelecer uma melhor distribuição de renda no Brasil.</p><p>Uma comunidade de sem-terra, após se alojar numa fazen-</p><p>da comprovadamente improdutiva, recebe informação de</p><p>que o Incra irá receber uma comissão para negociações.</p><p>Em assembleia democrática, os sem-terra decidem que</p><p>tal comissão será composta por um presidente geral, um</p><p>porta-voz que repassará as notícias à comunidade e aos re-</p><p>presentantes e um agente que cuidará da parte burocrática</p><p>das negociações. Além desses com cargos específicos, par-</p><p>ticiparão dessa comissão mais 6 conselheiros que auxiliarão</p><p>indistintamente em todas as fases da negociação.</p><p>Se, dentre toda a comunidade, apenas 15 pessoas forem</p><p>consideradas aptas aos cargos, o número de comissões</p><p>distintas que poderão ser formadas com essas 15 pessoas</p><p>é obtido pelo produto:</p><p>a) 13 ? 11 ? 7 ? 52 ? 32 ? 24</p><p>b) 13 ? 11 ? 7 ? 5 ? 3 ? 2</p><p>c) 13 ? 11 ? 72 ? 52 ? 33 ? 26</p><p>d) 13 ? 72 ? 52 ? 33 ? 26</p><p>e) 13 ? 11 ? 72 ? 5 ? 32 ? 23</p><p>3. (Mack-SP) Num avião, uma fila tem 7 poltronas dispostas</p><p>como na figura a seguir.</p><p>C</p><p>o</p><p>rr</p><p>e</p><p>d</p><p>o</p><p>r</p><p>C</p><p>o</p><p>rr</p><p>e</p><p>d</p><p>o</p><p>r</p><p>Os modos de João e Maria ocuparem duas poltronas</p><p>dessa fila, de modo que não haja um corredor entre eles,</p><p>são em número de:</p><p>a) 6</p><p>b) 7</p><p>c) 8</p><p>d) 10</p><p>e) 12</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>4. (UFRN – Adaptada) Em virtude de uma crise financei-</p><p>ra, uma fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para</p><p>ocuparem sete postos de vigilância. Considerando que,</p><p>em cada posto, fica, no máximo, um vigilante e que o</p><p>posto da entrada principal não pode ficar desguarne-</p><p>cido, indique a opção correspondente ao número de</p><p>maneiras distintas de que o chefe de segurança pode</p><p>dispor para distribuir os vigilantes.</p><p>Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas,</p><p>os vigilantes ocupam os mesmos postos e cada posto é</p><p>ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas</p><p>distintas.</p><p>a) 35</p><p>b) 80</p><p>c) 480</p><p>d) 840</p><p>e) 350</p><p>5. (Cesgranrio-RJ) Um brinquedo comum em parques de</p><p>diversões é o “bicho-da-seda”, que consiste em um</p><p>carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que</p><p>descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma traje-</p><p>tória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um</p><p>deles acompanhado de uma criança, e que, em cada</p><p>banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o</p><p>seu responsável.</p><p>De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os</p><p>cinco bancos?</p><p>a) 14 400</p><p>b) 3 840</p><p>c) 1 680</p><p>d) 240</p><p>e) 120</p><p>6. (FGV-SP) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa ele-</p><p>trônico de um banco, mas na hora de digitar a senha,</p><p>esquece-se do número. Ela lembra</p><p>que o número tem</p><p>5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repeti-</p><p>dos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número</p><p>máximo de tentativas para acertar a senha é:</p><p>a) 1 680</p><p>b) 1 344</p><p>c) 720</p><p>d) 224</p><p>e) 136</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>54</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 54 9/19/16 3:05 PM</p><p>1. (UFC-CE) Assinale a alternativa na qual consta a quanti-</p><p>dade de números inteiros formados por três algarismos</p><p>distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são maio-</p><p>res que 200 e menores que 800.</p><p>a) 30</p><p>b) 36</p><p>c) 42</p><p>d) 48</p><p>e) 54</p><p>2. (Ufal) Quantos números pares de quatro algarismos dis-</p><p>tintos podem ser formados com os elementos do con-</p><p>junto A = {0, 1, 2, 3, 4}?</p><p>a) 60</p><p>b) 48</p><p>c) 36</p><p>d) 24</p><p>e) 18</p><p>3. (Ufes) Quantos são os números naturais de cinco algaris-</p><p>mos, na base 10, que têm todos os algarismos distintos</p><p>e nenhum deles igual a 8, 9 ou 0? Quantos deles são</p><p>pares?</p><p>4. (Unioeste-PR) Quatro amigos vão ao cinema e escolhem,</p><p>para sentar-se, uma fila em que há seis lugares dispo-</p><p>níveis. Sendo n o número de maneiras como poderão</p><p>sentar-se, o valor de</p><p>n</p><p>5</p><p>é igual a:</p><p>2 520 e 1 080.</p><p>72</p><p>7. (UFSM-RS) Para ter acesso a uma sala reservada, cada</p><p>usuário recebe um cartão de identificação com 4 lis-</p><p>tras coloridas, de modo que qualquer cartão deve di-</p><p>ferir de todos os outros pela natureza das cores ou</p><p>pela ordem das mesmas nas listras. Operando com 5 co-</p><p>res distintas e observando que listras vizinhas não tenham</p><p>a mesma cor, quantos usuários podem ser identificados?</p><p>a) 10</p><p>b) 20</p><p>c) 120</p><p>d) 320</p><p>e) 625</p><p>8. (Vunesp-SP) Considere o conjunto A dos múltiplos in-</p><p>teiros de 5, entre 100 e 1 000, formados de algarismos</p><p>distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos nú-</p><p>meros cuja soma dos valores de seus algarismos é 9. En-</p><p>tão, a soma do menor número ímpar de B com o maior</p><p>número par de B é:</p><p>a) 835</p><p>b) 855</p><p>c) 915</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>d) 925</p><p>e) 945</p><p>9. (Mack-SP) Uma prova de atletismo é disputada por</p><p>9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resulta-</p><p>dos possíveis para a prova, de modo que pelo menos</p><p>um brasileiro fique numa das três primeiras colocações,</p><p>são em número de:</p><p>a) 426</p><p>b) 444</p><p>c) 468</p><p>d) 480</p><p>e) 504</p><p>10. (Faap-SP) Quantas motos podem ser licenciadas se cada</p><p>placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e</p><p>3 algarismos distintos?</p><p>a) 25 000</p><p>b) 120</p><p>c) 120 000</p><p>d) 18 000</p><p>e) 32 000</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>55</p><p>A</p><p>rr</p><p>an</p><p>jo</p><p>s</p><p>si</p><p>m</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>4</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 55 9/19/16 3:08 PM</p><p>5. (UFMG – Adaptada) O número de múltiplos de 10, com-</p><p>preendidos entre 100 e 9 999 e com todos os algarismos</p><p>distintos, é:</p><p>a) 250</p><p>b) 321</p><p>c) 504</p><p>d) 576</p><p>e) 674</p><p>6. (UFRGS-RS) O número de múltiplos de três, com quatro</p><p>algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é:</p><p>a) 24</p><p>b) 36</p><p>c) 48</p><p>d) 72</p><p>e) 96</p><p>7. (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar</p><p>x números ímpares, com três algarismos distintos cada</p><p>um. Determine x.</p><p>40</p><p>8. (PUCC-SP) Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem</p><p>repetição, quantos números pares de três algarismos e</p><p>maiores que 234 podem-se formar?</p><p>a) 110</p><p>b) 119</p><p>c) 125</p><p>d) 129</p><p>e) 132</p><p>9. (UFRGS-RS) Quantos números inteiros positivos, com</p><p>3 algarismos significativos distintos, são múltiplos de 5?</p><p>a) 128</p><p>b) 136</p><p>c) 144</p><p>d) 162</p><p>e) 648</p><p>10. (Vunesp-SP) Determinar quantos são os números de três</p><p>algarismos, múltiplos de 5, cujos algarismos das cente-</p><p>nas pertencem a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos a</p><p>{0, 5, 6, 7, 8, 9}.</p><p>48</p><p>11. Em uma competição muito acirrada de atletismo, o pri-</p><p>meiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados re-</p><p>ceberiam as quantias de R$ 50 000, R$ 30 000, R$ 15 000</p><p>e R$ 5 000, respectivamente. Participaram desta com-</p><p>petição 5 atletas americanos, 3 ingleses e 2 brasileiros.</p><p>Quantas são as configurações em que ao menos um bra-</p><p>sileiro recebe um dos quatro prêmios?</p><p>3 360</p><p>12. Um número natural é divisível por 4 quando os dois últi-</p><p>mos algarismos que compõem este número formam um</p><p>número divisível por 4. Quantos números de 4 algaris-</p><p>mos distintos e diferentes de zero são divisíveis por 4?</p><p>756</p><p>13. Julieta precisa escolher uma senha para abrir uma conta</p><p>bancária. Para que pudesse memorizar facilmente, ela re-</p><p>solveu escolher 4 letras de seu próprio nome para com-</p><p>por a senha, sem que houvesse repetições. Quantas são</p><p>as senhas que Julieta pôde criar de modo que não hou-</p><p>vesse vogais nem consoantes juntas?</p><p>144</p><p>56</p><p>pH_EM2_C1_047a056_M4_Mat_CA.indd 56 4/29/16 8:58 AM</p><p>5</p><p>M—dulo</p><p>Combinações</p><p>simples I</p><p>OBJETO DO CONHECIMENTO</p><p>•	Agrupamentos: combinações simples</p><p>HABILIDADES</p><p>•	Distinguir situações em que a ordem dos eventos não é rele-</p><p>vante.</p><p>•	Contar subconjuntos.</p><p>•	Resolver situação-problema utilizando combinações simples.</p><p>57</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 57 4/29/16 9:00 AM</p><p>Para coMeçar</p><p>“Qualquer um pode cozinhar.” Essa é uma</p><p>frase célebre no ramo da culinária e da gastro-</p><p>nomia. De fato, com um pouco de boa vonta-</p><p>de e muita curiosidade podemos fazer coisas</p><p>fantásticas na cozinha, que vão fazer qualquer</p><p>um ficar com seus cinco sentidos muito mais</p><p>aguçados. A paciência de escolher a mistura</p><p>certa dos temperos para realçar aroma e pa-</p><p>ladar é uma virtude na culinária. Quando se</p><p>entra na cozinha de uma pessoa que tenha</p><p>o hobby de cozinhar, encontra-se uma gran-</p><p>de variedade de temperos e outros itens que</p><p>ajudam a incrementar saborosos pratos.</p><p>Na posição central da fotografia tem-se seis</p><p>ingredientes diferentes: cravo-da-índia, oré-</p><p>gano, pimenta-do-reino, urucum, pimenta</p><p>-branca e açafrão. De quantas maneiras diferentes pode-se escolher quatro dentre esses seis</p><p>temperos centrais para temperar um assado?</p><p>Escolher {açafrão, pimenta-do-reino, orégano, urucum} é a mesma coisa que escolher {urucum,</p><p>orégano, pimenta-do-reino, açafrão}. O paladar não vai mudar.</p><p>A tabela mostra todas as maneiras de escolher quatro dentre os seis temperos.</p><p>1 Pimenta-do-reino Urucum Pimenta-branca Açafrão</p><p>2 Orégano Urucum Pimenta-branca Açafrão</p><p>3 Orégano Pimenta-do-reino Pimenta-branca Açafrão</p><p>4 Orégano Pimenta-do-reino Urucum Açafrão</p><p>5 Orégano Pimenta-do-reino Urucum Pimenta-branca</p><p>6 Cravo-da-índia Urucum Pimenta-branca Açafrão</p><p>7 Cravo-da-índia Pimenta-do-reino Pimenta-branca Açafrão</p><p>8 Cravo-da-índia Pimenta-do-reino Urucum Açafrão</p><p>9 Cravo-da-índia Pimenta-do-reino Urucum Pimenta-branca</p><p>10 Cravo-da-índia Orégano Pimenta-branca Açafrão</p><p>11 Cravo-da-índia Orégano Urucum Açafrão</p><p>12 Cravo-da-índia Orégano Urucum Pimenta-branca</p><p>13 Cravo-da-índia Orégano Pimenta-do-reino Açafrão</p><p>14 Cravo-da-índia Orégano Pimenta-do-reino Pimenta-branca</p><p>15 Cravo-da-índia Orégano Pimenta-do-reino Urucum</p><p>A seguir será apresentada uma maneira mais objetiva e prática de contar a quantidade de manei-</p><p>ras que esses temperos podem ser escolhidos.</p><p>b</p><p>e</p><p>s</p><p>t</p><p>f</p><p>o</p><p>o</p><p>d</p><p>/a</p><p>r</p><p>q</p><p>u</p><p>iv</p><p>o</p><p>d</p><p>a</p><p>e</p><p>d</p><p>it</p><p>o</p><p>r</p><p>a</p><p>58</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 58 4/29/16 9:00 AM</p><p>Combinação</p><p>Define-se a combinação de n elementos tomados p a p como o número de subconjuntos com p elemen-</p><p>tos que se pode formar a partir de um conjunto com n elementos. Nesse caso, ao se analisar dois subcon-</p><p>juntos A e B, deve-se entender que esses subconjuntos vão ser diferentes um do outro se, e somente se, ao</p><p>menos um elemento do subconjunto A não estiver no subconjunto B.</p><p>O cálculo da combinação de n elementos tomados p a p é feito seguindo as etapas:</p><p>1o) Toma-se p decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher um dos n elementos para compor o subconjunto;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher um dos n 2 1 elementos restantes para compor o subconjunto;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher um dos n 2 2 elementos restantes para compor o subconjunto;</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>•	D</p><p>p</p><p>: escolher um dos n 2 p 1 1 elementos restantes para compor o subconjunto.</p><p>2o) Pode-se perceber que a quantidade de opções para cada decisão já foi discriminada,</p><p>bastando ape-</p><p>nas ser aplicado o princípio fundamental da contagem.</p><p>No entanto, em que essa situação difere da aplicação de arranjos simples, vistos no Módulo 4? Até então,</p><p>em nada.</p><p>Considera-se um subconjunto com os elementos {x</p><p>1</p><p>, x</p><p>2</p><p>, x</p><p>3</p><p>, ... , x</p><p>p</p><p>}. Se a ordem dos elementos dentro</p><p>desse conjunto pudesse ser alterada para {x</p><p>p</p><p>, ... , x</p><p>1</p><p>, x</p><p>2</p><p>, x</p><p>3</p><p>}, por exemplo, no que isso afetaria o resultado? Se-</p><p>gundo a premissa estabelecida na definição, nos dois subconjuntos tem-se exatamente os mesmos elemen-</p><p>tos. O que significa dizer que eles são iguais, ainda que os elementos sejam exibidos em ordens diferentes.</p><p>Essa análise remete a um problema de ordenamento de p elementos em que, mesmo permutando esses p</p><p>elementos, continua-se com a mesma configuração.</p><p>Para corrigir o erro de contar todas as configurações repetidas vezes, basta dividir</p><p>o total pelas repetições contadas.</p><p>Ou seja, divide-se o total calculado pela quantidade de vezes que as configurações se repetem. Isso</p><p>coincide com a permutação dos p elementos do subconjunto.</p><p>C</p><p>n, p</p><p>5</p><p>A</p><p>P</p><p>n!</p><p>(n p)!</p><p>p!</p><p>n!</p><p>(n p)!</p><p>1</p><p>p!</p><p>n, p</p><p>p</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>? ⇒ C</p><p>n, p</p><p>5</p><p>n!</p><p>p!(n p)!2</p><p>Para aPrender</p><p>59</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>I</p><p>M</p><p>a</p><p>te</p><p>M</p><p>á</p><p>tI</p><p>C</p><p>a</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>5</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 59 4/29/16 9:00 AM</p><p>Situação-problema 1</p><p>Existem muitas relações entre a Geometria e outros tópicos da Matemática, principalmente a análise combinatória.</p><p>Unindo diversos pontos dispostos aleatoriamente no espaço, pode-se criar uma grande variedade de formas geométricas.</p><p>Considere o seguinte problema:</p><p>Dadas uma reta r com 4 pontos previamente selecionados sobre ela e uma reta s com 5 pontos previamente seleciona-</p><p>dos sobre ela, tal que r Þ s. Quantos quadriláteros com vértices em quatro desses pontos podem ser construídos?</p><p>1o) Para resolver esse problema, tomam-se duas decisões:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher dois pontos distintos da reta r;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher dois pontos distintos da reta s.</p><p>2o) Para cada uma das decisões, tem-se:</p><p>•</p><p>4!</p><p>2!2!</p><p>5 6 pares de vértices, ou seja, 6 opções para a primeira decisão;</p><p>•</p><p>5!</p><p>2!3!</p><p>5 10 pares de vértices, ou seja, 10 opções para a segunda decisão.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se 6 ? 10 5 60 quadriláteros diferentes para serem formados. Isso coincide</p><p>com C</p><p>4, 2</p><p>? C</p><p>5, 2</p><p>5 60.</p><p>r</p><p>s</p><p>A B C D E</p><p>F G H I</p><p>situaçÃo-ProbleMa</p><p>60</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 60 4/29/16 9:00 AM</p><p>Situação-problema 2</p><p>Os jogos de cartas sempre foram muito empolgantes. Um dos jogos mais conhecidos é o pôquer. No pôquer é usado</p><p>um baralho comum, com 52 cartas, sendo 13 de ouros, 13 de paus, 13 de copas e 13 de espadas.</p><p>Em uma das configurações desse jogo, o jogador fica com cinco cartas ou as organiza conforme os exemplos a seguir.</p><p>De quantas maneiras é possível ter um COR (cinco cartas do mesmo naipe) nas mãos?</p><p>Levando-se em consideração apenas as cartas de espadas, escolhe-se cinco dentre as 13 cartas existentes no baralho.</p><p>1o) Tomam-se 5 decisões, que consistem em:</p><p>•	D</p><p>1</p><p>: escolher uma carta de espadas dentre as 13 existentes;</p><p>•	D</p><p>2</p><p>: escolher uma carta de espadas dentre as 12 restantes;</p><p>•	D</p><p>3</p><p>: escolher uma carta de espadas dentre as 11 restantes;</p><p>•	D</p><p>4</p><p>: escolher uma carta de espadas dentre as 10 restantes;</p><p>•	D</p><p>5</p><p>: escolher uma carta de espadas dentre as 9 restantes.</p><p>2o) Para cada uma das decisões, tem-se:</p><p>•	13 opções para D</p><p>1</p><p>; •	12 opções para D</p><p>2</p><p>; •	11 opções para D</p><p>3</p><p>; •	10 opções para D</p><p>4</p><p>; •	9 opções para D</p><p>5</p><p>.</p><p>W</p><p>in</p><p>d</p><p>v</p><p>e</p><p>c</p><p>t</p><p>o</p><p>r</p><p>/s</p><p>h</p><p>u</p><p>t</p><p>t</p><p>e</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>o</p><p>c</p><p>k</p><p>FULL HOUSE</p><p>61</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>5</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 61 4/29/16 9:00 AM</p><p>Antes de aplicar o princípio fundamental da contagem, deve-se entender que {A, K, Q, 10, 9} é uma configuração igual</p><p>a {9, 10, Q, K, A}. E elas apareceriam muitas outras vezes repetidas na contagem ao simplesmente aplicar o princípio fun-</p><p>damental da contagem, incorrendo em um erro de contagem. Mas esse é um erro de fácil correção. Ao contar uma mesma</p><p>configuração repetidas vezes, basta dividir o resultado do cálculo do princípio fundamental da contagem pelo número de</p><p>repetições de cada configuração. Nesse caso: P</p><p>5</p><p>5 5!. Logo, tem-se:</p><p>13 12 11 10 9</p><p>5!</p><p>? ? ? ?</p><p>5 1 287 maneiras de se ter um COR.</p><p>Esse cálculo coincide com C</p><p>13, 5</p><p>5</p><p>13!</p><p>5!(13 5)!2</p><p>5 1 287</p><p>Neste módulo, o objetivo foi mostrar que é possível fazer diferentes escolhas de elementos</p><p>a partir de um conjunto de elementos dados, como feito no módulo sobre arranjos simples. No</p><p>entanto, aqui, para essas escolhas, dois conjuntos com os mesmos elementos, porém dispostos</p><p>em ordens diferentes, são considerados iguais.</p><p>Compreender quando a ordem dos elementos do subconjunto influencia sobre a configuração</p><p>ser diferente ou ser a mesma é o que faz a diferença na solução das situações. Por isso, é necessário</p><p>fazer uma boa interpretação da situação-problema para definir se se usa combinação simples ou</p><p>arranjo simples, ou seja, se divide ou não o resultado do princípio fundamental da contagem por p!.</p><p>Para concluir</p><p>1. (PUC-RS) Marcam-se 3 pontos sobre uma reta r e 4 pon-</p><p>tos sobre outra reta paralela a r. O número de triângulos</p><p>que existem, com vértices nesses pontos, é:</p><p>a) 60</p><p>b) 35</p><p>c) 30</p><p>d) 9</p><p>e) 7</p><p>2. (UFV-MG) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitami-</p><p>nas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses</p><p>nutrientes para obter um composto químico. O número</p><p>de compostos que poderão ser preparados usando-se,</p><p>no máximo, 2 tipos de sais minerais é:</p><p>a) 32</p><p>b) 28</p><p>c) 34</p><p>d) 26</p><p>e) 30</p><p>3. (UEPB) Existem n maneiras distintas de</p><p>marcar 6 círculos na figura ao lado, mar-</p><p>cando exatamente 2 em cada coluna e</p><p>1 em cada linha. O valor de n é:</p><p>a) 36</p><p>b) 120</p><p>c) 45</p><p>d) 90</p><p>e) 60</p><p>veja, no Manual do Professor, o gabarito comentado das questões sinalizadas com asterisco.</p><p>Praticando o aPrendizado</p><p>62</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 62 4/29/16 9:00 AM</p><p>1. ENEM Considere que um professor de arqueologia te-</p><p>nha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles</p><p>no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua esco-</p><p>lha aos museus nacionais e internacionais relacionados</p><p>na tabela a seguir.</p><p>Museus nacionais Museus internacionais</p><p>Masp – São Paulo Louvre – Paris</p><p>MAM – São Paulo Prado – Madri</p><p>Ipiranga – São Paulo British Museum – Londres</p><p>Imperial – Petrópolis Metropolitan – Nova York</p><p>De acordo com os recursos obtidos, de quantas manei-</p><p>ras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus</p><p>para visitar?</p><p>a) 6</p><p>b) 8</p><p>c) 20</p><p>d) 24</p><p>e) 36</p><p>2. (UEL-PR) Uma aposta na Mega Sena (modalidade de</p><p>apostas da Caixa Econômica Federal) consiste na esco-</p><p>lha de 6 dentre os 60 números de 01 a 60. O número</p><p>máximo possível de apostas diferentes, cada uma delas</p><p>incluindo os números 12, 22 e 23, é igual a:</p><p>H3</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>a)</p><p>60 59 58</p><p>1 2 3</p><p>? ?</p><p>? ?</p><p>b)</p><p>60 59 58 57 56 55</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>? ? ? ? ?</p><p>? ? ? ? ?</p><p>c)</p><p>60 59 58</p><p>1 2 3</p><p>57 56 55</p><p>1 2 3</p><p>? ?</p><p>? ?</p><p>2</p><p>? ?</p><p>? ?</p><p>d)</p><p>57 56 55</p><p>1 2 3</p><p>? ?</p><p>? ?</p><p>e)</p><p>57 56 55 54 53 52</p><p>1 2 3 4 5 6</p><p>? ? ? ? ?</p><p>? ? ? ? ?</p><p>3. (UFMG – Adaptada) O jogo de dominó possui 28 peças</p><p>distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28</p><p>peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas manei-</p><p>ras distintas se pode fazer tal distribuição?</p><p>a)</p><p>28!</p><p>(7!)(4!)</p><p>b)</p><p>28!</p><p>(4!)(24!)</p><p>c)</p><p>28!</p><p>(7!)4</p><p>d)</p><p>28!</p><p>(7!)(21!)</p><p>e)</p><p>28!</p><p>(4!)7</p><p>H2</p><p>C1</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>4. (Cefet-PR) Sejam α e β dois planos paralelos. Considere</p><p>cinco pontos distintos no plano α e seis pontos não coli-</p><p>neares três a três no plano β. O número de pirâmides de</p><p>base triangular com vértice no plano α que podem ser</p><p>construídas é igual a:</p><p>a) 15</p><p>b) 20</p><p>c) 60</p><p>d) 100</p><p>e) 600</p><p>5. (PUC-PR) Unindo-se três a três um certo número de pon-</p><p>tos de um plano, obtiveram-se 110 triângulos. Sabendo-se</p><p>que, desses pontos, 5 estavam alinhados, quantos eram os</p><p>pontos?</p><p>a) 10</p><p>b) 11</p><p>c) 12</p><p>d) 13</p><p>e) 14</p><p>63</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>5</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 63 9/19/16 3:13 PM</p><p>4. (Mack-SP) Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o</p><p>usuário digita sua senha numérica em uma tela, como</p><p>mostra a figura. Os dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,</p><p>7, 8, 9) são associados aleatoriamente a cinco botões,</p><p>de modo que a cada botão correspondam dois alga-</p><p>rismos, indicados em ordem crescente. O número de</p><p>maneiras diferentes de apresentar os dez algarismos na</p><p>tela é:</p><p>corrigir</p><p>0 ou 3 5 ou 7 1 ou 4</p><p>senha</p><p>2 ou 9 6 ou 8</p><p>sair</p><p>a)</p><p>10!</p><p>25</p><p>b)</p><p>10!</p><p>5</p><p>c) 25 ∙ 5!</p><p>d) 25 ∙ 10!</p><p>e)</p><p>10!</p><p>2</p><p>5. (Cesgranrio-RJ) Durante a Copa do Mundo, que foi dis-</p><p>putada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola tra-</p><p>ziam palpites sobre os países que se classificariam nos</p><p>três primeiros lugares (por exemplo: 1o lugar, Brasil;</p><p>2o lugar, Nigéria; 3o lugar, Holanda). Se, em cada tam-</p><p>pinha, os três países são distintos, quantas tampinhas</p><p>diferentes poderiam existir?</p><p>a) 69</p><p>b) 2 024</p><p>c) 9 562</p><p>d) 12 144</p><p>e) 13 824</p><p>6. (Unicentro-PR) Clara e Alex foram incumbidos de reali-</p><p>zar um trabalho e, para isso, escolheram na biblioteca</p><p>9 livros. Decidiram que inicialmente cada um faria a</p><p>pesquisa individualmente. Dessa forma, Clara ficaria</p><p>com 5 livros e Alex com 4 livros. Nessas condições, o</p><p>número de maneiras diferentes de Clara escolher os</p><p>5 livros é:</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H4</p><p>C1</p><p>a)</p><p>4</p><p>5</p><p>do número de maneiras diferentes de Alex esco-</p><p>lher os 4 livros.</p><p>b)</p><p>5</p><p>4</p><p>do número de maneiras diferentes de Alex esco-</p><p>lher os 4 livros.</p><p>c) igual ao número de maneiras diferentes de Alex esco-</p><p>lher os 4 livros.</p><p>d) menor do que 94.</p><p>e) maior do que 154.</p><p>7. (Uece – Adaptada) A senha de um cartão eletrônico pos-</p><p>sui sete caracteres, todos distintos, sendo quatro alga-</p><p>rismos e três letras maiúsculas, intercalando algarismos</p><p>e letras (por exemplo, 5C7X2P8). Sabendo que são dis-</p><p>ponibilizados 26 letras e 10 algarismos, o número de se-</p><p>nhas distintas que podem ser confeccionadas é:</p><p>a) 66 888 000</p><p>b) 72 624 000</p><p>c) 78 624 000</p><p>d) 84 888 000</p><p>e) 91 152 000</p><p>8. (UFV-MG – Adaptada) Os bilhetes de uma rifa beneficente</p><p>apresentam a numeração: 1, 2, 3, ... , 999, 1 000. Quando</p><p>me ofereceram a rifa, percebi que, curiosamente, faltavam</p><p>ser vendidos todos os bilhetes cujos números eram escri-</p><p>tos apenas com os algarismos 2, 5, 6 e 8. Para colaborar,</p><p>comprei todos os bilhetes cuja numeração era de três al-</p><p>garismos distintos. A porcentagem que representa a quan-</p><p>tidade dos bilhetes que comprei, em relação à quantidade</p><p>dos bilhetes que faltavam ser vendidos, situa-se entre:</p><p>a) 20% e 25%.</p><p>b) 25% e 30%.</p><p>c) 10% e 15%.</p><p>d) 15% e 20%.</p><p>e) 5% e 10%.</p><p>H5</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>64</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 64 9/19/16 3:20 PM</p><p>1. (UFMG) Observe a figura.</p><p>B</p><p>IHG J CA</p><p>FE</p><p>D</p><p>Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com</p><p>vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J é:</p><p>a) 20</p><p>b) 21</p><p>c) 25</p><p>d) 31</p><p>e) 35</p><p>2. (UEL-PR) O número de segmentos de reta que podem</p><p>ser traçados tendo como extremidades dois dos vértices</p><p>de um polígono de 7 lados é:</p><p>a) 14</p><p>b) 21</p><p>c) 35</p><p>d) 42</p><p>e) 49</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>3. (UFPE) Um candidato a deputado faz 3 promessas dis-</p><p>tintas por comício. Como estratégia eleitoral, ele nun-</p><p>ca repete em um comício as mesmas três promessas</p><p>já feitas em outro comício. Qual o número mínimo de</p><p>promessas que ele deve compor para poder realizar</p><p>30 comícios?</p><p>4. (UFSC) Numa circunferência são tomados 8 pontos distin-</p><p>tos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se</p><p>uma corda. O número total de cordas assim formadas é:</p><p>7</p><p>28</p><p>9. (UFJF-MG) Uma liga esportiva elaborou um campeonato</p><p>de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada</p><p>turno, cada clube jogará exatamente uma partida contra</p><p>cada um dos outros participantes. Sabendo que o total</p><p>de partidas será de 306, o número de clubes que partici-</p><p>parão do campeonato é igual a:</p><p>a) 34</p><p>b) 18</p><p>c) 17</p><p>d) 12</p><p>e) 9</p><p>H2</p><p>C1</p><p>10. (Fuvest-SP) Uma ONG decidiu preparar sacolas, conten-</p><p>do 4 itens distintos cada, para distribuir entre a popula-</p><p>ção carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8</p><p>tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não</p><p>perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um</p><p>item que seja alimento não perecível e pelo menos</p><p>um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos</p><p>de sacolas distintas podem ser feitos?</p><p>a) 360</p><p>b) 420</p><p>c) 540</p><p>d) 600</p><p>e) 640</p><p>H5</p><p>C1</p><p>65</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>5</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 65 9/19/16 3:24 PM</p><p>5. (Fatec-SP) Dispomos de 10 produtos para montagem</p><p>de cestas básicas. O número de cestas que podemos</p><p>formar com 6 desses produtos, de modo que um deter-</p><p>minado produto seja sempre incluído, é:</p><p>a) 252</p><p>b) 210</p><p>c) 126</p><p>d) 120</p><p>e) 24</p><p>6. (PUC-RS) Nas Olimpíadas PUC-RS 2009, foram inscritas</p><p>12 equipes de futsal feminino. O número de resultados</p><p>diferentes para os dois primeiros colocados é:</p><p>a) 6</p><p>b) 12</p><p>c) 66</p><p>d) 132</p><p>e) 264</p><p>7. (ITA-SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas po-</p><p>demos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e</p><p>que contenham 2 das letras a, b e c?</p><p>a) 1 692</p><p>b) 1 572</p><p>c) 1 520</p><p>d) 1 512</p><p>e) 1 392</p><p>8. (Unicamp-SP) De quantas maneiras podem ser escolhi-</p><p>dos 3 números naturais distintos, de 1 a 30, de modo</p><p>que sua soma seja par? Justifique sua resposta.</p><p>210</p><p>anotações</p><p>66</p><p>pH_EM2_C1_057a066_M5_Mat_CA.indd 66 4/29/16 9:00 AM</p><p>6</p><p>M—dulo</p><p>Combinações</p><p>simples II</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO</p><p>•	Agrupamentos: combinações simples</p><p>•	Aplicação do conceito de combinação simples em pro-</p><p>blemas de análises quantitativas</p><p>HABILIDADES</p><p>•	Resolver problemas de Análise combinatória através da identifica-</p><p>ção dos modelos combinatórios pertinentes: combinações simples.</p><p>•	Aplicar o conceito de combinação simples em problemas do cotidiano.</p><p>67</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 67 4/29/16 9:01 AM</p><p>Para coMeçar</p><p>Imagine o número de possibilidades de escalação para um jogo da Seleção Brasileira de Futebol</p><p>que deve passar pela cabeça do técnico. Se o time for bem estruturado, cada jogador vai ter sua</p><p>posição muito bem definida no esquema tático do treinador. Para o futebol moderno, em muitos</p><p>dos casos o técnico entende que os jogadores de meio de campo precisam jogar com liberdade</p><p>nesse setor, não fazendo distinção entre as posições dos que compõem esse grupo.</p><p>Este módulo vai, mais uma vez, apresentar diversas maneiras de selecionar elementos de um con-</p><p>junto, buscando entender a importância de se estabelecer determinada ordem em certos conjuntos.</p><p>Quadrado mágico</p><p>Na Seleção Brasileira de Futebol de 2006 houve uma tentativa de implantar um esquema tático</p><p>chamado Quadrado mágico. Esse esquema determinava que houvesse 4 jogadores de meio de</p><p>campo com um nível técnico elevado, tanto para a marcação quanto para organizar as jogadas de</p><p>ataque. Para que o Quadrado mágico funcionasse bem, os jogadores que atuavam no meio de</p><p>campo poderiam trocar de posição entre eles, confundindo o adversário. Deste modo, não fazia</p><p>diferença a ordem em que esses 4 jogadores fossem escalados. Coloque-se no lugar do técnico</p><p>da Seleção Brasileira de 2006 e tente escolher os 4 jogadores que irão compor o Quadrado má-</p><p>gico do meio de campo.</p><p>Na foto estão retratados, entre outros Ronaldinho Gaúcho, Emerson, Zé Roberto e Kaká. Pela</p><p>estratégia definida pelo técnico, que gostaria que esses quatro jogadores pudessem ter liber-</p><p>dade no meio de campo, tanto faz a ordem em que apresenta a lista dos escalados para esse</p><p>setor, podendo apresentar, por exemplo, {Ronaldinho Gaúcho, Emerson, Zé Roberto, Kaká} ou</p><p>{Zé Roberto, Ronaldinho Gaúcho, Kaká, Emerson}. As duas configurações são idênticas.</p><p>Suponha que às vésperas de uma partida houve um surto de gripe. O único jogador dessa esca-</p><p>lação que não ficou doente foi Zé Roberto e os demais ficaram impossibilitados de jogar. Havia</p><p>outros</p><p>cinco jogadores disponíveis para jogar no mesmo setor. De quantas maneiras diferentes o</p><p>técnico da seleção poderia recompor o meio de campo?</p><p>S</p><p>t</p><p>u</p><p>a</p><p>r</p><p>t</p><p>F</p><p>r</p><p>a</p><p>n</p><p>k</p><p>l</p><p>in</p><p>/B</p><p>o</p><p>n</p><p>g</p><p>a</p><p>r</p><p>t</p><p>S</p><p>/g</p><p>e</p><p>t</p><p>t</p><p>y</p><p>i</p><p>m</p><p>a</p><p>g</p><p>e</p><p>S</p><p>68</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 68 4/29/16 9:01 AM</p><p>Combinação</p><p>No módulo anterior definiu-se como calcular o número de subconjuntos formados por p elementos</p><p>escolhidos entre n elementos de um conjunto principal. Vale lembrar que é necessário determinar se a ordem</p><p>dos p elementos diferencia um subconjunto de outro ou não.</p><p>Pensando em tornar todo o processo de escolha mais claro e mais ágil, aqui será apresentada uma rotina</p><p>que sintetiza esse estudo. Para isso, vamos considerar um conjunto elementar de três pessoas {Ana, Bruna,</p><p>Clara}. Veja os exemplos a seguir.</p><p>Exemplo 1:</p><p>De quantas maneiras pode-se escolher duas pessoas para receberem dois prêmios diferentes, um de</p><p>R$ 1 000 000,00 e outro de R$ 500 000,00?</p><p>Para escolher as ganhadoras devemos formar duas decisões: escolher quem ganhará o maior e quem</p><p>ganhará o menor prêmio. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, tem-se 3 ∙ 2 = 6 maneiras diferentes de</p><p>realizar essa escolha, que são:</p><p>•	Ana e Bruna</p><p>•	Bruna e Ana</p><p>•	Ana e Clara</p><p>•	Clara e Ana</p><p>•	Bruna e Clara</p><p>•	Clara e Bruna</p><p>Percebe-se que para resolver essa situação foi utilizado o conceito de arranjo simples, já que a ordem dos</p><p>elementos diferencia um subconjunto do outro.</p><p>Exemplo 2:</p><p>De quantas maneiras pode-se escolher duas pessoas para receberem, cada uma, um prêmio de R$ 1 000 000,00?</p><p>A resolução é semelhante à do exemplo anterior, mas é necessário fazer um ajuste, já que, agora, cada</p><p>par de pessoas está aparecendo duas vezes nas configurações possíveis. Isso não é necessário, pois os prê-</p><p>mios são iguais. Assim, o ajuste que deve ser feito é dividir o resultado anterior por 2!.</p><p>3 2</p><p>2!</p><p>?</p><p>5 3,</p><p>Ou seja, há apenas 3 maneiras de escolher duas pessoas para esse caso.</p><p>Exemplo 3:</p><p>Agora, toma-se um conjunto com quatro pessoas {Ana, Bruna, Clara, Daiane}. Deseja-se sortear três</p><p>viagens entre elas, com um mesmo destino. De quantas maneiras poderia ser o resultado desse sorteio?</p><p>Pelo Princípio Fundamental da Contagem, tem-se 4 ? 3 ? 2 5 24 resultados possíveis para esse sorteio.</p><p>Como os destinos são todos iguais, não há diferença entre, por exemplo, sortear {Ana, Bruna, Daiane} ou</p><p>{Ana, Daiane, Bruna}. Nos dois casos tem-se as mesmas pessoas viajando exatamente da mesma forma.</p><p>Assim, agora é necessário calcular:</p><p>4 3 2</p><p>3!</p><p>? ?</p><p>5 4</p><p>Ou seja, tem-se apenas 4 maneiras diferentes de realizar esse sorteio.</p><p>É necessário que se perceba que nessas três resoluções apresentadas manteve-se a rotina de seguir os passos:</p><p>•	1: Identificar a quantidade de decisões que devem ser tomadas para resolver o problema e no que</p><p>consiste cada decisão que precisa ser tomada;</p><p>•	2: Identificar o número de opções de que se dispõem para cada decisão.</p><p>Para aPrender</p><p>69</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>II</p><p>M</p><p>a</p><p>te</p><p>M</p><p>á</p><p>tI</p><p>C</p><p>a</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>6</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 69 4/29/16 9:01 AM</p><p>A resolução de um exercício de análise combinatória requer certo grau de engenhosidade</p><p>e uma boa capacidade de interpretação. Em muitos exercícios é possível que se cometam erros</p><p>simples por falta de um julgamento adequado das decisões a serem tomadas. Para cada decisão</p><p>devemos identificar o número de alternativas de que dispomos. O aluno precisa identificar se é</p><p>suficiente fazer uma análise meramente quantitativa, ou seja, considerar quantos elementos já</p><p>foram usados, o que corresponde a saber identificar de quantos ainda dispomos para as próximas</p><p>decisões, ou se há necessidade de uma análise qualitativa, isto é, saber não só quantos elemen-</p><p>tos já foram usados, mas também quais elementos já foram usados, o que determinaria conduzir</p><p>a finalização do exercício de maneira diferente.</p><p>Da mesma forma, o aluno precisa estar atento para não cometer alguns erros básicos de con-</p><p>tagem. Em muitos momentos é possível que se contem algumas configurações além das que o</p><p>problema pede. Errando deste modo sabemos que a correção do erro se dá pela subtração dos</p><p>casos excedentes. Em alguns outros momentos, é possível errar por contarmos uma mesma con-</p><p>figuração diversas vezes. É desse tipo de erro que trata a combinação. Sua fórmula já nos oferece</p><p>o resultado final, com as repetições corrigidas pela divisão por p!.</p><p>Esperamos que o aluno, ao final do estudo deste módulo, esteja mais perceptivo no que diz</p><p>respeito à escolha da fórmula da combinação ou à necessidade de corrigir um processo de con-</p><p>tagem pela divisão.</p><p>Para concluir</p><p>As combinações também ajudam em cálculos</p><p>na Geometria plana; por exemplo, para calcular o</p><p>número de diagonais de um polígono convexo de n</p><p>lados, não necessariamente regular.</p><p>Existe um provérbio interessante na Matemáti-</p><p>ca que diz “Sempre que puder, conte”. Mas é pre-</p><p>ciso saber avaliar em que circunstâncias é mais van-</p><p>tajoso dispensar um raciocínio pelo trabalho de contar. Para os polígonos com poucos lados, talvez seja interessante desenhar</p><p>todas as suas diagonais para dizer quantas são. No entanto, para os polígonos com mais lados, essa tarefa pode ser bem árdua.</p><p>Demonstra-se então a fórmula que é usada na Geometria plana para esses tipos de problema.</p><p>1o) Número de maneiras possíveis de escolher dois vértices para ligar um ao outro: n (n 1)</p><p>2!</p><p>? 2</p><p>É necessário dividir o produto n ? (n – 1) por 2!, pois tanto faz escolher, por exemplo, o vértice A primeiro e o vértice C</p><p>em seguida, ou o contrário. Nos dois casos tem-se o mesmo segmento.</p><p>2o) Em seguida, é preciso diminuir do cálculo anterior a quantidade n de lados do polígono, pois, ao escolher um par de</p><p>vértices consecutivos, caracteriza-se um lado, e não uma diagonal.</p><p>? 2</p><p>2 5</p><p>? 2 2</p><p>5</p><p>2 2</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>? 2n (n 1)</p><p>2!</p><p>n</p><p>n (n 1) 2n</p><p>2</p><p>n n 2n</p><p>2</p><p>n 3n</p><p>2</p><p>n (n 3)</p><p>2</p><p>2 2</p><p>situaçÃo-ProbleMa</p><p>n 5 4</p><p>d 5 2</p><p>n 5 5</p><p>d 5 5</p><p>n 5 6</p><p>d 5 9</p><p>n 5 7</p><p>d 5 14</p><p>70</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 70 4/29/16 9:01 AM</p><p>1. (Mack-SP) A partir de um grupo de 10 pessoas devemos</p><p>formar k comissões de pelo menos dois membros, sen-</p><p>do que em todas deve aparecer uma determinada pes-</p><p>soa A do grupo. Então k vale:</p><p>a) 1 024</p><p>b) 512</p><p>c) 216</p><p>d) 511</p><p>e) 1 023</p><p>2. (UFRJ) Numa recepção há 50 homens e 30 mulheres.</p><p>O número de apertos de mão possíveis, sabendo-se que</p><p>70% das mulheres não se cumprimentam entre si, é:</p><p>a) 3 160</p><p>b) 1 435</p><p>c) 2 950</p><p>d) 1 261</p><p>e) 2 725</p><p>3. (UEL-PR) O número de segmentos de reta que podem</p><p>ser traçados tendo como extremidades os vértices de</p><p>um polígono de 7 lados é:</p><p>a) 14</p><p>b) 21</p><p>c) 35</p><p>d) 42</p><p>e) 49</p><p>4. (Ufscar-SP – Adaptada) A câmara municipal de um de-</p><p>terminado município tem exatamente 20 vereadores,</p><p>sendo que 12 deles apoiam o prefeito e os outros são</p><p>contra. O número de maneiras diferentes de se formar</p><p>uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situa-</p><p>cionistas e 3 oposicionistas é:</p><p>a) 27 720</p><p>b) 13 860</p><p>c) 551</p><p>d) 495</p><p>e) 397</p><p>5. (Mack-SP) Nove pessoas desejam subir à cobertura de um</p><p>edifício, dispondo, para isso, de dois elevadores, um com</p><p>4 lugares e outro com 5 lugares. O número de formas de</p><p>distribuí-las nos elevadores é:</p><p>a) 630</p><p>b) 252</p><p>c) 180</p><p>d) 378</p><p>e) 126</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>1. (Fuvest-SP) Uma classe de Educação Física de um co-</p><p>légio é formada por dez estudantes, todos com alturas</p><p>diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem cres-</p><p>cente, serão designadas por h</p><p>1</p><p>, h</p><p>2</p><p>‚ ... , h</p><p>10</p><p>(h</p><p>1</p><p>, h</p><p>2</p><p>, ...</p><p>, h</p><p>9</p><p>, h</p><p>10</p><p>). O professor vai escolher cinco desses es-</p><p>tudantes para participar de uma demonstração na qual</p><p>eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de</p><p>suas alturas. Dos</p><p>10</p><p>5</p><p>5 252 grupos que podem ser es-</p><p>colhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h</p><p>7</p><p>, ocu-</p><p>pará a posição central durante a demonstração?</p><p>H5</p><p>C1</p><p>a) 7</p><p>b) 10</p><p>c) 21</p><p>d) 45</p><p>e) 60</p><p>2. (Fuvest-SP) Em uma certa comunidade, dois homens</p><p>sempre se cumprimentam (na chegada)</p><p>com um aperto</p><p>de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de</p><p>mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com</p><p>H5</p><p>C1</p><p>Veja, no Manual do Professor, o gabarito comentado das questões sinalizadas com asterisco.</p><p>71</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>II</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>6</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 71 9/27/16 2:38 PM</p><p>um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem</p><p>quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e</p><p>se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 aper-</p><p>tos de mão?</p><p>a) 16</p><p>b) 17</p><p>c) 18</p><p>d) 19</p><p>e) 20</p><p>3. (Uerj)</p><p>Z</p><p>IR</p><p>A</p><p>L</p><p>D</p><p>O</p><p>/A</p><p>C</p><p>E</p><p>R</p><p>V</p><p>O</p><p>D</p><p>O</p><p>C</p><p>A</p><p>R</p><p>T</p><p>U</p><p>N</p><p>IS</p><p>T</p><p>A</p><p>Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse con-</p><p>junto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de meninas. O maior valor</p><p>de n é equivalente a:</p><p>a) 45</p><p>b) 56</p><p>c) 69</p><p>d) 81</p><p>4. (UFMG) A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, composta de um pre-</p><p>sidente, um vice-presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de quantas maneiras</p><p>distintas se pode compor essa comissão?</p><p>a)</p><p>14!</p><p>4! 6!?</p><p>b)</p><p>14!</p><p>(4!)2</p><p>c)</p><p>14!</p><p>6! 8!?</p><p>d)</p><p>14!</p><p>4! 10!?</p><p>5. (UFSM-RS) Numa Câmara de Vereadores trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores</p><p>do partido C. O número de comissões de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída</p><p>de 3 vereadores do partido A, 2 do partido B e 2 vereadores do partido C, é igual a:</p><p>a) 7</p><p>b) 36</p><p>c) 152</p><p>d) 1 200</p><p>e) 28 800</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>72</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 72 9/19/16 3:36 PM</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>1. (UFRRJ) Quantas comissões de 5 pessoas podemos for-</p><p>mar com 8 rapazes e 4 moças, de modo que tenhamos</p><p>pelo menos 2 moças em cada comissão?</p><p>2. (UFRJ) Em todos os 53 finais de semana do ano 2000,</p><p>Júlia irá convidar duas de suas amigas para sua casa em</p><p>Teresópolis, sendo que nunca o mesmo par de amigas</p><p>se repetirá durante o ano.</p><p>a) Determine o maior número possível de amigas que</p><p>Júlia poderá convidar.</p><p>456</p><p>106</p><p>b) Determine o menor número possível de amigas que</p><p>ela poderá convidar.</p><p>3. (UEPG-PR) De quantas maneiras diferentes um professor</p><p>pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de</p><p>seis estudantes?</p><p>4. (UFSC) Num camping existem 2 barracas disponíveis. O</p><p>número de modos como se pode alojar 6 turistas, fican-</p><p>do 3 em cada uma, é:</p><p>20</p><p>6. (UEG-GO) Um grupo constituído de 10 pessoas resolveu</p><p>comemorar em uma chácara a conclusão de um curso</p><p>que acabara de se encerrar. Para isso, o grupo viajaria</p><p>em carros com a seguinte disponibilidade de assentos:</p><p>um com cinco lugares, outro com três e mais um com</p><p>dois. O número de maneiras diferentes pelas quais se</p><p>pode fazer a distribuição do grupo de pessoas nos car-</p><p>ros é:</p><p>a) 4 380</p><p>b) 3 680</p><p>c) 2 520</p><p>d) 1 440</p><p>e) 1 250</p><p>7. (PUCC-SP) Numa escola há 15 professores, sendo que 3</p><p>deles lecionam Matemática. Deseja-se formar uma co-</p><p>missão de 5 professores para analisar os preços cobra-</p><p>dos na cantina da escola. Nessa comissão, exatamente</p><p>um membro deve lecionar Matemática. De quantas ma-</p><p>neiras diferentes pode-se formar a comissão:</p><p>a) 120</p><p>b) 1 370</p><p>c) 1 485</p><p>d) 1 874</p><p>e) 3 325</p><p>8. (UEL-PR) Na formação de uma Comissão Parlamentar de</p><p>Inquérito (CPI), cada partido indica um certo número de</p><p>membros, de acordo com o tamanho de sua represen-</p><p>tação no Congresso Nacional. Faltam apenas dois parti-</p><p>dos para indicar seus membros. O partido A tem 40 de-</p><p>putados e deve indicar 3 membros, enquanto o partido</p><p>B tem 15 deputados e deve indicar 1 membro. Assinale</p><p>a alternativa que apresenta o número de possibilidades</p><p>diferentes para a composição dos membros desses dois</p><p>partidos nessa CPI.</p><p>a) 55</p><p>b) (40 – 3) ∙ (15 – 1)</p><p>c)</p><p>40!</p><p>37! 3!</p><p>15</p><p>?</p><p>?</p><p>d) 40 ∙ 39 ∙ 38 ∙ 15</p><p>e) 40! ∙ 37! ∙ 15!</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H2</p><p>C1</p><p>H5</p><p>C1</p><p>11</p><p>63</p><p>73</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>II</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>6</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 73 9/19/16 3:42 PM</p><p>5. (Ufscar-SP) Num acampamento, estão 14 jovens, sendo</p><p>6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Para fazer a limpeza</p><p>do acampamento, será formada uma equipe com 2 pau-</p><p>listas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidos ao acaso. O nú-</p><p>mero de maneiras possíveis para se formar essa equipe</p><p>de limpeza é:</p><p>a) 96</p><p>b) 182</p><p>c) 212</p><p>d) 240</p><p>e) 256</p><p>6. (UFRRJ) Deseja-se formar comissões de 5 pessoas de um</p><p>grupo de 5 homens e 6 mulheres. Quantas comissões</p><p>serão formadas se, em cada uma, haverá, no máximo,</p><p>uma mulher?</p><p>7. (Vunesp-SP) A diretoria de uma empresa compõe-se de</p><p>n dirigentes, contando o presidente. Considere todas as</p><p>comissões de três membros que poderiam ser formadas</p><p>com esses n dirigentes. Se o número de comissões que</p><p>incluem o presidente é igual ao número daquelas que</p><p>não o incluem, calcule o valor de n.</p><p>8. (Udesc) Considere que uma empresa de informática foi</p><p>vendida e os novos donos da empresa precisam preen-</p><p>cher as vagas de direção administrativa, de direção de</p><p>projetos e de mais três coordenadorias. Eles possuem</p><p>a indicação de seis homens e de cinco mulheres para o</p><p>preenchimento destas funções. Sabendo que eles esti-</p><p>pularam que será convidada, no máximo, uma mulher</p><p>para preencher estas vagas, de quantas formas diferen-</p><p>tes os novos sócios podem efetuar a ocupação destas</p><p>vagas?</p><p>9. (Mack-SP) A partir de um grupo de 12 professores, quer</p><p>se formar uma comissão com um presidente, um rela-</p><p>tor e cinco outros membros. O número de formas de se</p><p>compor a comissão é:</p><p>a) 12 772</p><p>b) 13 024</p><p>c) 25 940</p><p>d) 33 264</p><p>e) 27 764</p><p>81</p><p>anotações</p><p>31</p><p>6</p><p>74</p><p>pH_EM2_C1_067a074_M6_Mat_CA.indd 74 4/29/16 9:01 AM</p><p>ENSINO</p><p>MÉDIO</p><p>1Cadern</p><p>o</p><p>2a</p><p>série</p><p>MANUAL DO</p><p>PROFESSOR</p><p>Matemática IO Sistema de Ensino pH apresenta um material capaz de</p><p>auxiliar o aluno a enxergar os caminhos que ele poderá</p><p>seguir, possibilitando que, ao fi nal do Ensino Médio, ele</p><p>tenha desenvolvido um pensamento crítico para atuar</p><p>como cidadão, enfrentar os desafi os da sociedade e</p><p>obter excelentes resultados no Enem e nos demais</p><p>vestibulares do Brasil.</p><p>526250117</p><p>296224</p><p>CAPAS_PH_EXATAS_PROF_C1.indd 5 10/18/16 10:11 AM</p><p>Blank Page</p><p>Blank Page</p><p>maior de tomada de decisões. Se houver tempo,</p><p>também indicamos a resolução do exercício 4.</p><p>Sugestões de exercícios para casa:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 1, 8 e 9.</p><p>AULA 2</p><p>De início na seção Para aprender, no Caderno do Alu-</p><p>no, são apresentados os conjuntos de possibilidades para</p><p>cada tomada de decisão. Inicia-se com um problema de</p><p>duas decisões. Desse modo, pode-se pensar que a quan-</p><p>tidade de escolhas para um problema de duas etapas é</p><p>igual à quantidade de pares ordenados que se pode</p><p>formar, em que o primeiro elemento do par pertence</p><p>ao conjunto das opções de escolhas para a primeira</p><p>etapa, e o segundo elemento pertence ao conjunto das</p><p>opções de escolhas para a segunda etapa. Esse argu-</p><p>mento remete o aluno a um item estudado em séries</p><p>anteriores: o produto cartesiano.</p><p>Se o problema é constituído de três etapas, serão ne-</p><p>cessárias três decisões. Dessa vez, a quantidade de solu-</p><p>ções coincide com o conjunto de ternas ordenadas que</p><p>8</p><p>pH_EM2_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 8 4/30/16 2:54 PM</p><p>se pode formar, em que o primeiro elemento da terna or-</p><p>denada pertence ao conjunto das opções de escolha para</p><p>a primeira etapa, o segundo elemento da terna ordenada</p><p>pertence ao conjunto das opções de escolha para a segunda</p><p>etapa e o terceiro elemento da terna ordenada pertence ao</p><p>conjunto das opções de escolha para a terceira etapa.</p><p>Se um método é constituído por n etapas sucessivas</p><p>e</p><p>1</p><p>, e</p><p>2</p><p>, e</p><p>3</p><p>, ..., e</p><p>n</p><p>, o número de maneiras (M) de realizar esse</p><p>método é dado pelo produto:</p><p>M 5 N(e</p><p>1</p><p>) ? N(e</p><p>2</p><p>) ? N(e</p><p>3</p><p>) ? ... ? N(e</p><p>n</p><p>)</p><p>em que N(e</p><p>i</p><p>) indica o número de maneiras de realizar a</p><p>etapa e</p><p>i</p><p>.</p><p>O aluno precisa compreender que cada tomada de</p><p>decisão deve ser um gesto consciente. Afinal, ele vai pre-</p><p>cisar dizer de quantas maneiras pode realizar aquela esco-</p><p>lha. O propósito não é criar uma regra, mas sim uma rotina</p><p>em que o aluno possa se apoiar para criar suas próprias</p><p>soluções. Por isso, enfatize os três procedimentos que o</p><p>aluno deve seguir ao resolver um problema que envolva</p><p>análise combinatória.</p><p>As duas primeiras situações-problema apresentadas</p><p>exploram duas aplicações importantes do princípio multi-</p><p>plicativo: o cálculo da quantidade de subconjuntos de um</p><p>conjunto com n elementos e o cálculo da quantidade de</p><p>divisores de um número natural.</p><p>A primeira situação-problema consiste em deter-</p><p>minar a quantidade de subconjuntos distintos que se</p><p>pode formar a partir de um conjunto de cinco pessoas.</p><p>Comece a resolver esse problema perguntando à turma</p><p>quantas decisões precisamos tomar. A quantidade de</p><p>decisões depende do que se deseja formar. Se o que se</p><p>quer são subconjuntos, é necessário olhar para cada ele-</p><p>mento e decidir se ele entrará ou não no subconjunto.</p><p>O objetivo é que os alunos desenvolvam a percepção</p><p>de que há outros problemas que podem ser resolvidos</p><p>de forma análoga. Assim, pode-se expandir o concei-</p><p>to da quantidade de subconjuntos com este exemplo:</p><p>“Dado um conjunto A 5 {a</p><p>1</p><p>, a</p><p>2</p><p>, a</p><p>3</p><p>, ..., a</p><p>n</p><p>}, com n elemen-</p><p>tos, quantos subconjuntos ele possui?”. Como cada ele-</p><p>mento pode pertencer ou não a um subconjunto de A,</p><p>tem-se:</p><p>2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 5 2n subconjuntos,</p><p>entre os quais estão o conjunto vazio e o próprio conjunto A.</p><p>Você pode resolver em sala o exercício 2 da seção</p><p>Desenvolvendo habilidades e mostrar que em alguns</p><p>exercícios há a necessidade de resolvermos em duas</p><p>etapas ou mais; o exercício 4, da mesma seção, segue</p><p>o mesmo raciocínio, por isso é adequado que seja feito</p><p>em seguida. Sugerimos também a resolução do exercí-</p><p>cio 6 dessa seção em sala.</p><p>Sugerimos os seguintes exercícios para serem feitos</p><p>em casa:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 9;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 3, 6 e 9.</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM</p><p>Número de subconjuntos</p><p>Vamos listar todos os subconjuntos do conjunto A 5 {1, 2, 3}.</p><p>1 2 3 Subconjunto</p><p>Não Não Não ∅</p><p>Sim Não Não {1}</p><p>Não Sim Não {2}</p><p>Não Não Sim {3}</p><p>Sim Sim Não {1, 2}</p><p>Sim Não Sim {1, 3}</p><p>Não Sim Sim {2, 3}</p><p>Sim Sim Sim {1, 2, 3}</p><p>Observações:</p><p>1a) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.</p><p>2a) Escolher um subconjunto de um certo conjunto dado coincide com a ação de decidir se determinado elemento perten-</p><p>cerá ou não ao subconjunto.</p><p>3a) Todo conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos.</p><p>9</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 9 4/30/16 2:54 PM</p><p>AULA 3</p><p>Resolver problemas de análise combinatória através</p><p>de pequenas tomadas de decisão exige do aluno um cer-</p><p>to grau de engenhosidade para que possa organizar os</p><p>dados do problema e perceber, com mais clareza, que</p><p>decisão deve ser tomada. É por isso que a segunda situa-</p><p>ção-problema apresentada na seção Situação-problema</p><p>deve ser abordada ao final da aula. É um problema não</p><p>muito elementar, porém muito importante.</p><p>Calcular a quantidade de divisores de um número na-</p><p>tural, sem que seja necessário enunciar todas as possibi-</p><p>lidades, não é uma tarefa simples. Primeiro, enfatize aos</p><p>alunos a necessidade de exibir o número em sua forma</p><p>mais fatorada possível; por exemplo, considere um núme-</p><p>ro natural x 5 x1</p><p>e1 ? x</p><p>2</p><p>e2 ? x</p><p>3</p><p>e3 ? ... ? x</p><p>n</p><p>en, onde x</p><p>i</p><p>é um número</p><p>primo e e</p><p>i</p><p>é um natural não nulo, para todo 1 < i < n. Des-</p><p>sa forma, um divisor natural de x é um número da forma:</p><p>D 5 x</p><p>1</p><p>d1 ? x</p><p>2</p><p>d2 ? x</p><p>3</p><p>d3 ? ... ? x</p><p>n</p><p>dn</p><p>Somente depois dessa reconfiguração os alunos serão</p><p>capazes de perceber que decisões tomar para resolver o pro-</p><p>blema. Essas decisões consistem em escolher valores para os</p><p>expoentes da forma fatorada do número em questão:</p><p>0 < d</p><p>1</p><p>< e</p><p>1</p><p>⇒ (e</p><p>1</p><p>1 1) valores possíveis</p><p>0 < d</p><p>2</p><p>< e</p><p>2</p><p>⇒ (e</p><p>2</p><p>1 1) valores possíveis</p><p>0 < d</p><p>3</p><p>< e</p><p>3</p><p>⇒ (e</p><p>3</p><p>1 1) valores possíveis</p><p>...</p><p>0 < d</p><p>n</p><p>< e</p><p>n</p><p>⇒ (e</p><p>n</p><p>1 1) valores possíveis</p><p>Escolhendo um valor para cada expoente, tem-se um</p><p>total de possibilidades N dado por:</p><p>N 5 (e</p><p>1</p><p>1 1) ? (e</p><p>2</p><p>1 1) ? (e</p><p>3</p><p>1 1) ? ... ? (e</p><p>n</p><p>1 1), que repre-</p><p>senta o total de divisores naturais de x.</p><p>Pode-se apresentar um exemplo mais simples, como o</p><p>cálculo do número de divisores naturais de 120, para que</p><p>os alunos possam ganhar confiança:</p><p>120 5 23 ? 31 ? 51</p><p>N 5 (3 1 1) ? (1 1 1) ? (1 1 1) 5 16 divisores naturais</p><p>Para se ter êxito na resolução de um problema é preciso</p><p>fazer uma boa interpretação da situação apresentada. Por-</p><p>tanto, é preciso preparar os alunos para enfrentar situações-</p><p>-problema sutilmente diferentes. Sugira, por exemplo, que</p><p>calculem a quantidade de divisores pares (ou ímpares) de</p><p>determinado número natural.</p><p>Se considerássemos a quantidade de divisores pares</p><p>do 120 (120 5 23 ? 31 ? 51), precisaríamos seguir alguns pas-</p><p>sos similares aos citados. No entanto, a quantidade de</p><p>escolhas para o expoente da potência de base 2 conta</p><p>com uma possibilidade a menos, o expoente zero. Como</p><p>qualquer número elevado a zero é igual a 1, salvo o pró-</p><p>prio zero, esta não seria uma opção válida para o nosso</p><p>problema, dado que precisamos do fator 2 expresso para</p><p>caracterizar o divisor par do 120. Logo:</p><p>N 5 (3 1 0) ? (1 1 1) ? (1 1 1) 5 12 divisores naturais pares.</p><p>Um erro comum cometido pelos alunos é afirmar que a</p><p>quantidade de divisores pares e a quantidade de divisores</p><p>ímpares são iguais. Para solucionar esse problema, o aluno</p><p>normalmente divide por dois a resposta do problema inicial.</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exercícios:</p><p>Aprofundando o conhecimento: 17, 18 e 20.</p><p>E para casa os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 5 e 7;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 2, 3, 9 e 11.</p><p>GABARITO COMENTADO</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. e.</p><p>Aplicando o princípio fundamental da contagem,</p><p>tem-se:</p><p>4 ? 5 ? 8 ? 7 5 960</p><p>2. d.</p><p>Existem 4 maneiras de escolher uma mulher da re-</p><p>partição A e 3 maneiras de escolher um homem da</p><p>repartição B. Assim, pelo princípio fundamental da</p><p>contagem, tem-se:</p><p>4 ? 3 5 12 formas diferentes de escolher 1 mulher</p><p>da repartição A e 1 homem da repartição B.</p><p>Também existem 6 maneiras</p><p>de escolher um ho-</p><p>mem da repartição A e 7 maneiras de escolher</p><p>uma mulher da repartição B.</p><p>Assim:</p><p>6 ? 7 5 42 formas diferentes de escolher 1 homem</p><p>da repartição A e 1 mulher da repartição B.</p><p>Portanto, o número de combinações possíveis é</p><p>12 1 42 5 54.</p><p>3. d.</p><p>A 5 {x [ Z</p><p>1</p><p>/ x tem três algarismos} 5 {100, 101,</p><p>102, ..., 998, 999}</p><p>B 5 {b [ A / b tem três algarismos distintos e é</p><p>ímpar}</p><p>Organizando:</p><p>Casas dos três algarismos:</p><p>1a° 2a° 3a°</p><p>Se o número deve ter três algarismos (dígitos), a</p><p>primeira casa não pode ser 0. Para ser ímpar, a úl-</p><p>tima casa deve ser 1, 3, 5, 7 ou 9.</p><p>Assim, há 9 ? 8 ? 5 5 360 números em B.</p><p>10</p><p>pH_EM2_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 10 4/30/16 2:54 PM</p><p>4. e.</p><p>Aplicando o PFC, tem-se:</p><p>3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 48</p><p>5. d.</p><p>5 ? 5 ? 2 5 50</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>1. a.</p><p>2 ? 20 ? 33 5 1 320 conjuntos distintos</p><p>2. d.</p><p>2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 – 1 5 64 – 1 5 63</p><p>3. b.</p><p>iniciados por 6: 1 ? 4 ? 106 5 4 ? 106</p><p>iniciados por 7: 1 ? 3 ? 106 5 3 ? 106</p><p>iniciados por 8: 1 ? 2 ? 106 5 2 ? 106</p><p>iniciados por 9: 1 ? 1 ? 106 5 1 ? 106</p><p>total: 10 ? 106 5 107</p><p>4. d.</p><p>Separemos em três casos.</p><p>1o caso: dupla formada por químico e físico</p><p>Nesse caso, tem-se 7 químicos e 5 físicos, logo são</p><p>7 ? 5 5 35 possibilidades.</p><p>2o caso: dupla formada por químico e matemático</p><p>Nesse caso, tem-se 7 químicos e 4 matemáticos,</p><p>logo são 7 ? 4 5 28 possibilidades.</p><p>3o caso: dupla formada por físico e matemático</p><p>Nesse caso, tem-se 5 físicos e 4 matemáticos, logo</p><p>são 5 ? 4 5 20 possibilidades.</p><p>No total são 35 1 28 1 20 5 83 possíveis duplas.</p><p>6. d.</p><p>1o) Calculamos a quantidade de códigos que co-</p><p>meçam com A.</p><p>São 26 opções para a primeira letra depois do</p><p>A e outras 26 opções para a letra seguinte. As-</p><p>sim, 26 ? 26 5 676 códigos.</p><p>O último código é o AZZ.</p><p>2o) Calculamos a quantidade de códigos que co-</p><p>meçam com BA.</p><p>São 26 opções para a letra depois do A. Desse</p><p>modo teremos 26 códigos, sendo que o último</p><p>é BAZ.</p><p>Até agora são 676 1 26 5 702 códigos.</p><p>3o) Em seguida temos BBA (703o), BBB (704o), BBC</p><p>(705o), BBD (706o), BBE (707o), BBF (708o) e BBG</p><p>(709o).</p><p>Logo, a página de número 709, que é a última,</p><p>recebe o código BBG.</p><p>8. a.</p><p>Atualmente, a quantidade de placas com 3 letras e</p><p>4 algarismos numéricos é dada por 263 ? 104.</p><p>Com a eventual modificação, a nova quantidade</p><p>de placas seria 264 ? 103.</p><p>Portanto, como</p><p>(26 10 26 10 )</p><p>26 10</p><p>26 10</p><p>26 10</p><p>26 10</p><p>26 10</p><p>26</p><p>10</p><p>1 1,6</p><p>4 3 3 4</p><p>3 4</p><p>4 3</p><p>3 4</p><p>3 4</p><p>3 4</p><p>? 2 ?</p><p>?</p><p>5</p><p>?</p><p>?</p><p>2</p><p>2</p><p>?</p><p>?</p><p>5 2 5</p><p>Concluímos que o aumento seria inferior ao dobro.</p><p>9. a.</p><p>Para acomodar essas 7 pessoas, com as restrições</p><p>impostas no enunciado, tem-se:</p><p>2 ? 1 ? 2 ? 7 ? 9 ? 5 ? 4 5 3 360</p><p>possibilidades.</p><p>P</p><p>re</p><p>si</p><p>d</p><p>e</p><p>n</p><p>te</p><p>V</p><p>ic</p><p>e</p><p>S</p><p>e</p><p>cr</p><p>e</p><p>tá</p><p>ri</p><p>o</p><p>4</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>ss</p><p>o</p><p>a</p><p>5</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>ss</p><p>o</p><p>a</p><p>6</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>ss</p><p>o</p><p>a</p><p>7</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>ss</p><p>o</p><p>a</p><p>↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>3. d.</p><p>Palavras com:</p><p>1 dígito (letra) 5 2 possibilidades → (0 ou 1)</p><p>2 dígitos 5 4 possibilidades → (00, 01, 10 ou 11)</p><p>3 dígitos 5 8 possibilidades → (000, 001, 010, 011,</p><p>100, 101, 110, 111)</p><p>E assim sucessivamente, o que dá um total de</p><p>2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 5 126 palavras possíveis.</p><p>5. O número de maneiras de classificar os 4 empregados</p><p>é 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 81.</p><p>9. d.</p><p>O primeiro dígito é 3. Logo, há 1 opção.</p><p>O segundo e o terceiro dígitos pertencem ao con-</p><p>junto {1, 2, 3}. Logo, há 3 ? 3 5 32 5 9 opções.</p><p>O quarto e o quinto dígitos pertencem ao conjun-</p><p>to {4, 5, 6}. Logo, há 3 ? 3 5 32 5 9 opções.</p><p>O sexto e o sétimo dígitos pertencem ao conjunto</p><p>{7, 8, 9}. Logo, há 3 ? 3 5 32 5 9 opções.</p><p>E o último dígito é 0.</p><p>Logo, há 1 opção.</p><p>Assim, N 5 1 ? 9 ? 9 ? 9 ? 1 5 729 opções.</p><p>10. d.</p><p>Devemos pensar em cada caso. Cada “letra” pos-</p><p>sui duas alternativas (ponto e traço).</p><p>11</p><p>P</p><p>ri</p><p>nc</p><p>íp</p><p>io</p><p>f</p><p>un</p><p>d</p><p>am</p><p>en</p><p>ta</p><p>l d</p><p>a</p><p>co</p><p>nt</p><p>ag</p><p>em</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>1</p><p>pH_EM2_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 11 4/30/16 2:54 PM</p><p>palavras de 1 letra: 2</p><p>palavras de 2 letras: 2 ? 2 5 4</p><p>palavras de 3 letras: 2 ? 2 ? 2 5 8</p><p>palavras de 4 letras: 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 16</p><p>palavras de 5 letras: 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 32</p><p>palavras de 6 letras: 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 64</p><p>Sendo assim, o número de palavras que podiam</p><p>ser transmitidas é a soma 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1</p><p>1 64 5 126.</p><p>11. d.</p><p>Número de duplas de mulheres que tocam (25)</p><p>contra homens que não tocam (28):</p><p>25 ? 28 5 700</p><p>Número de duplas de homens que tocam com</p><p>mulheres que não tocam:</p><p>12 ? 35 5 420</p><p>Número de duplas de homens e mulheres que</p><p>tocam:</p><p>12 ? 25 5 300</p><p>Assim, o número total de duplas que podem ser for-</p><p>madas com as condições do enunciado é dado por:</p><p>420 1 300 1 700 5 1420</p><p>12. b.</p><p>Como o turista deve usar rodovia e ferrovia, se de</p><p>A para B ele usar rodovia, de B para C deverá usar</p><p>ferrovia. Por outro lado, se de A para B usar ferro-</p><p>via, de B para C deverá usar rodovia. Logo, pelo</p><p>princípio multiplicativo, tem-se:</p><p>A → B (ferrovia 5 2) e B → C (rodovia 5 2) 5 2 ? 2 5 4</p><p>ou</p><p>A → B (rodovia 5 3) e B → C (ferrovia 5 2) 5 3 ? 2 5 6</p><p>Logo, 4 1 6 5 10.</p><p>13. Temos:</p><p>0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 10 algarismos.</p><p>Com esses algarismos podemos formar um total de</p><p>T 5 9 000 números de 4 algarismos. Veja:</p><p>Como o número não pode começar por zero, então</p><p>tem-se:</p><p>• 9 opções para o primeiro algarismo (excluindo o zero)</p><p>• 10 opções para o segundo</p><p>• 10 opções para o terceiro</p><p>• 10 opções para o quarto</p><p>T 5 9 ? 10 ? 10 ? 10 5 9 000</p><p>O enunciado diz que o algarismo 2 deve aparecer pelo</p><p>menos uma vez.</p><p>Para facilitar a resolução, deve-se pensar no seguinte</p><p>caso: “Quantos números de quatro algarismos podemos</p><p>formar com nosso sistema de numeração excluindo o 2?”</p><p>Temos:</p><p>• 8 opções para a primeira casa (pois nem o zero nem</p><p>o 2 podem ocupar essa parte)</p><p>• 9 opções para a segunda</p><p>• 9 opções para a terceira</p><p>• 9 opções para a quarta</p><p>Logo, são 8 ? 9 ? 9 ? 9 5 5 832 números.</p><p>Portanto:</p><p>9 000 – 5 832 5 3 168</p><p>14. b.</p><p>Dos algarismos possíveis, apenas o 3 e o 7 são</p><p>números ímpares, então precisam terminar com</p><p>esses dois números.</p><p>Como podem ser repetidos os números na casa</p><p>das centenas e na casa das dezenas, temos 2, 3, 4,</p><p>6, 7, ou seja, 5 algarismos.</p><p>5 ? 5 ? 2 5 50 números ímpares de 3 algarismos</p><p>17. d.</p><p>A(7, 4)5</p><p>7 6 5 3 2 1</p><p>1 2 3</p><p>? ? ? ? ?</p><p>? ?</p><p>5 840</p><p>Total divisível por 5:</p><p>A (6, 3)5</p><p>6 5 4 3 2 1</p><p>1 2 3</p><p>? ? ? ? ?</p><p>? ?</p><p>5 120</p><p>Quantidade não divisível por 5; 840 – 120 5 720</p><p>19. Há 4 escolhas para a cor da primeira casa e 3 escolhas</p><p>para cada uma das casas subsequentes. Logo, existem</p><p>4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 324 possibilidades de pintura.</p><p>20. b.</p><p>Os algarismos que se tem são: 2, 4, 5 e 6.</p><p>Para o primeiro dígito há 4 possibilidades de núme-</p><p>ros (2, 4, 5, 6).</p><p>Para o segundo dígito há apenas 3, porque já usa-</p><p>mos um na primeira casa.</p><p>Para o terceiro dígito há 2 opções, pois já usa-</p><p>mos duas delas.</p><p>Para o quarto dígito há 1 opção: a que sobrou.</p><p>O número máximo de tentativas vai ser, portanto:</p><p>4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24</p><p>ANOTA‚ÍES</p><p>12</p><p>pH_EM2_C1_008a012_M1_Mat_MP.indd 12 4/30/16 2:54 PM</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO HABILIDADES</p><p>• Conceito de fatorial de um número natural</p><p>• Aplicação do princípio multiplicativo em pro-</p><p>blemas de análises quantitativas</p><p>• H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de</p><p>contagem.</p><p>• H3 - Resolver situação-problema envolvendo conheci-</p><p>mentos numéricos.</p><p>• Utilizar o conceito de fatorial para resolver problemas</p><p>de contagem.</p><p>2</p><p>Módulo</p><p>Fatorial de um nœmero natural</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Este módulo apresenta um novo conceito: o fatorial de</p><p>um número natural. Por aparecer com frequência nos pro-</p><p>blemas de análise combinatória, este módulo é dedicado</p><p>a esse estudo, com ênfase na resolução de exercícios.</p><p>ESTRATÉGIAS DE AULA</p><p>AULA 1</p><p>É recomendável o uso de calculadora nesta aula para</p><p>que se consiga os resultados da tabela exibida no Caderno</p><p>do Aluno. A calculadora científica de um celular é capaz de</p><p>chegar ao resultado de 17!. Os alunos podem concluir os</p><p>cálculos da</p><p>tabela utilizando a calculadora de seus compu-</p><p>tadores, no modo científico, chegando até 27!. Faça com</p><p>que percebam a necessidade de compreender e dominar</p><p>plenamente as operações de grande magnitude. Muitos</p><p>resultados em análise combinatória vêm expressos com as</p><p>contas indicadas. É de grande importância que o aluno</p><p>entenda os resultados e perceba que, em contas como a</p><p>divisão entre dois fatoriais, é mais prático simplificar do</p><p>que concluir cada uma das operações com fatorial.</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 1, 2 e 3;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 1f e 1g.</p><p>E para casa sugerimos os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 5 e 7.</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL</p><p>Definição:</p><p>n! é o produto de n fatores, sendo o maior deles o nú-</p><p>mero n e todos os outros são os n 2 1 números naturais,</p><p>diferentes de zero, menores que n.</p><p>Exemplos:</p><p>4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24</p><p>5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120</p><p>10! 5 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 3 628 800</p><p>n! 5 n ? (n – 1) ? (n – 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1</p><p>AULA 2</p><p>Relembre com os alunos algumas regras de fatoração</p><p>e produto notável, pois serão úteis em cálculos envol-</p><p>vendo fatorial. Embora a base de todo o nosso trabalho</p><p>sejam as contextualizações matemáticas, não podemos</p><p>deixar de sedimentar bem as operações que envolvem</p><p>esse conceito.</p><p>13</p><p>F</p><p>a</p><p>to</p><p>ri</p><p>a</p><p>l</p><p>d</p><p>e</p><p>u</p><p>m</p><p>n</p><p>ú</p><p>m</p><p>e</p><p>ro</p><p>n</p><p>a</p><p>tu</p><p>ra</p><p>l</p><p>M</p><p>A</p><p>T</p><p>E</p><p>M</p><p>Á</p><p>T</p><p>IC</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>2</p><p>pH_EM2_C1_013a014_M2_Mat_MP.indd 13 4/30/16 2:54 PM</p><p>Desenvolva, passo a passo, os exemplos da seção Si-</p><p>tuação-problema.</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 5;</p><p>Desenvolvendo habilidades: 1.</p><p>E para casa:</p><p>Aprofundando o conhecimento: 1.</p><p>AULA 3</p><p>Recomendamos que seja apresentado o princípio das</p><p>gavetas. As orientações para este trabalho estão na seção</p><p>Atividades complementares deste manual.</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 1;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 7.</p><p>E para casa:</p><p>Aprofundando o conhecimento: 9 e 10.</p><p>ATIVIDADES COMPLEMENTARES</p><p>O princípio das gavetas, da seção pH1, pode ser um óti-</p><p>mo estímulo ao raciocínio, pois não exige formalismo ma-</p><p>temático. Leve para a sala de aula uma caixa com bolinhas</p><p>(ou meias) de cores variadas. Informe aos alunos quantas</p><p>bolinhas de cada cor existem dentro da caixa. Em seguida,</p><p>peça a um aluno que retire uma bolinha de cada vez, até</p><p>que sejam retiradas duas bolinhas da mesma cor. Repita o</p><p>mesmo processo com outros alunos e avalie os resultados. É</p><p>bem possível que haja algum aluno que tenha feito duas re-</p><p>tiradas e já tenha conseguido duas cores iguais. Outro pode</p><p>ter feito várias retiradas e ainda não ter conseguido. Faça-os</p><p>pensar na quantidade que lhes daria a certeza de que teriam</p><p>duas bolinhas de mesma cor nas mãos.</p><p>GABARITO COMENTADO</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>1. d.</p><p>20 ? 18 ? 16 ? 14 ? ... ? 6 ? 4 ? 2 5 (2 ? 10) ? (2 ? 9) ? (2 ? 8) ?</p><p>? (2 ? 7) ? ... ? (2 ? 3) ? (2 ?2) ? (2 ? 1) 5 (2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2 ? 2) ?</p><p>? (10 ? 9 ? 8 ? 7 ? ... ? 3 ? 2 ? 1) 5 210 ? 10!</p><p>4. e.</p><p>Como 30! 5 30 ? 29 ? 28 ? 27 ? ... ? 3 ? 2 ? 1, é preciso</p><p>entender que os números primos que dividem 30! são</p><p>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Logo, a soma desses</p><p>divisores é 129.</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>1. c.</p><p>Se entendermos as 10 cores como as 10 casas dos</p><p>pombos e as 100 bolinhas como os 100 pombos, ha-</p><p>verá uma situação possível de 30 pombos voarem em</p><p>direção às casinhas e cada 3 pombos entrarem em</p><p>uma casinha diferente. Com a chegada do 31o pom-</p><p>bo, inevitavelmente haverá 4 pombos em pelo menos</p><p>uma casinha. Logo, é necessário retirar 31 bolinhas.</p><p>5. d.</p><p>Para cada caractere que compõe a senha existe</p><p>16 possibilidades (os 10 algarismos de 0 a 9 mais as</p><p>6 letras de A a F). Dessa forma, existem 165 senhas</p><p>possíveis. Se o programa testa 163 senhas diferen-</p><p>tes por minuto, para testar 75% das senhas possí-</p><p>veis gastou-se 192 minutos. Portanto, desde o iní-</p><p>cio da operação do programa o tempo decorrido</p><p>foi de 3 horas e 12 minutos.</p><p>7. e. Neste problema, o conhecimento do princípio</p><p>fundamental da contagem permite uma solução</p><p>imediata. O número de possibilidades para ocu-</p><p>par o primeiro banco é 3 ? 3 5 9, para o segundo</p><p>é 2 ? 2 5 4 e para o terceiro é 1 ? 1 5 1. Portanto,</p><p>o número de maneiras segundo as quais pode-</p><p>mos dispor os 3 homens e as 3 mulheres em 3</p><p>bancos sem levar em conta a posição do casal no</p><p>banco é 9 ? 4 ? 1 5 36.</p><p>9. d. Se k 5 1, tem-se 2k 5 21 5 2. Isso quer dizer que se</p><p>pode escrever duas representações de tamanho 1.</p><p>Se k 5 2, tem-se 2k 5 22 5 4. Isso quer dizer que se</p><p>pode escrever quatro representações de tamanho 1.</p><p>Se k 5 3, tem-se 2k 5 23 5 8. Isso quer dizer que se</p><p>pode escrever oito representações de tamanho 1.</p><p>Se k 5 4, tem-se 2k 5 24 5 16. Isso quer dizer que se</p><p>pode escrever dezesseis representações de tama-</p><p>nho 1.</p><p>2 + 4 + 8 + 16 5 30 > 26. Se k 5 4, já é possível</p><p>escrever todas as letras do alfabeto.</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>7. a) Na pior das hipóteses é possível retirar as 10 ca-</p><p>misetas brancas sucessivamente. A próxima será</p><p>preta ou vermelha. Desse modo será necessário</p><p>retirar 11 camisetas da gaveta.</p><p>b) Retirando-se 3 camisetas sucessivamente, é pos-</p><p>sível que as 3 tenham cores distintas. A próxima</p><p>terá de ser igual a uma das camisetas retiradas</p><p>anteriormente. Assim, é necessário retirar 4 ca-</p><p>misetas da gaveta.</p><p>c) Pode acontecer de se retirar as 10 primeiras ca-</p><p>misetas brancas, depois as 7 camisetas pretas e a</p><p>próxima terá de ser vermelha. Para isso será preci-</p><p>so retirar 18 camisetas da gaveta.</p><p>14</p><p>pH_EM2_C1_013a014_M2_Mat_MP.indd 14 4/30/16 2:54 PM</p><p>OBJETO DO CONHECIMENTO HABILIDADES</p><p>• Permutações simples – conceito e aplicações • H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico</p><p>na construção de argumentos sobre afirmações quan-</p><p>titativas.</p><p>• Aplicar o conceito de permutação em diversos proble-</p><p>mas do cotidiano: anagramas simples, filas e mistura</p><p>de elementos distintos em um grupo.</p><p>• Resolver situação-problema utilizando permutação</p><p>simples.</p><p>3</p><p>Módulo</p><p>Permuta•‹o simples</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Neste módulo apresentamos problemas de reordena-</p><p>mento. É importante fazer com que os alunos entendam</p><p>que as configurações que estudaremos serão diferentes</p><p>umas das outras apenas pelo fato de os elementos esta-</p><p>rem em ordem diferente. Na permutação simples todos os</p><p>elementos fazem parte de todas as configurações.</p><p>ESTRATÉGIAS DE AULA</p><p>AULA 1</p><p>Para que o aluno compreenda o conceito de permuta-</p><p>ção, sugerimos que você desenhe um pódio no quadro e</p><p>liste 3 nomes, Jorge, João e Joaquim, por exemplo, como</p><p>3 corredores. Se mantivermos a lista nessa ordem, podere-</p><p>mos associar Jorge à 1a posição do pódio, João à 2a posi-</p><p>ção e Joaquim à 3a posição. Desse modo, é fácil perceber</p><p>que quem ficou com a medalha de ouro foi Jorge, João</p><p>com a de prata e Joaquim com a de bronze. Quantas são</p><p>as outras configurações para essas 3 pessoas neste pódio?</p><p>Como seria a distribuição das medalhas? Observe a tabela</p><p>a seguir.</p><p>Ouro Prata Bronze</p><p>Jorge João Joaquim</p><p>Jorge Joaquim João</p><p>João Jorge Joaquim</p><p>João Joaquim Jorge</p><p>Joaquim Jorge João</p><p>Joaquim João Jorge</p><p>O aluno deve perceber que em todas as configura-</p><p>ções foram usados sempre os mesmos elementos. Apesar</p><p>disso, cada ordem diferente em que esses elementos se</p><p>apresentam é uma nova configuração. Para identificar a</p><p>quantidade de configurações, não precisamos enunciá-las</p><p>todas. Basta que tomemos as decisões certas.</p><p>D</p><p>1</p><p>: Dentre os três corredores, vamos escolher o que</p><p>vai ficar na primeira posição.</p><p>D</p><p>2</p><p>: Dentre os corredores restantes, vamos escolher o</p><p>que vai ficar na segunda posição.</p><p>D</p><p>3</p><p>: O corredor restante vai ficar na última posição.</p><p>Para a primeira decisão temos 3 alternativas.</p><p>Para a segunda decisão temos 2 alternativas.</p><p>Para a terceira decisão temos 1 alternativa.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, temos</p><p>3 ? 2 ? 1 5 6 configurações diferentes.</p><p>15</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_015a017_M3_Mat_MP.indd 15 4/30/16 2:55 PM</p><p>No entanto, como seria se houvesse uma lista de no-</p><p>mes maior para reordenar? Será que conseguiríamos dizer a</p><p>quantidade de maneiras diferentes que poderíamos ordenar</p><p>esses nomes sem ter que listar todas as possibilidades? Mos-</p><p>tre aos alunos que em todos os problemas que envolvem a</p><p>reordenação dos elementos de um conjunto dado, sem res-</p><p>trições, não importa quantos são os elementos. A maneira de</p><p>fazer tal contagem é sempre análoga. Para exemplificar, sugi-</p><p>ra contarem de quantas maneiras distintas podemos arrumar</p><p>4 livros diferentes em uma estante (4! = 24), ou contarem a</p><p>quantidade de anagramas da palavra Paulo (5! = 120).</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 2 e 5.</p><p>E para casa:</p><p>Praticando o aprendizado: 1, 9 e 10.</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>PERMUTAÇÃO</p><p>Definição:</p><p>Permutar significa trocar.</p><p>Exemplo 1: De quantas maneiras Ana, Bia e Carla podem trocar de posição em uma fila?</p><p>As possíveis permutações entre os lugares das três meninas são:</p><p>• Ana, Bia, Carla</p><p>• Ana, Carla, Bia</p><p>• Bia, Ana, Carla</p><p>• Bia, Carla, Ana</p><p>• Carla, Ana, Bia</p><p>• Carla, Bia, Ana</p><p>Logo, existem 6 maneiras.</p><p>Exemplo 2: De quantas maneiras Ana, Bia, Carla e Duda podem trocar de posição em uma fila?</p><p>Desta vez, vamos contar sem listar todas as possibilidades.</p><p>4 opções</p><p>1a posição</p><p>3 opções</p><p>2a posição</p><p>2 opções</p><p>3a posição</p><p>1 opção</p><p>4a posição</p><p>Logo, temos 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 maneiras.</p><p>AULA 2</p><p>Nesta aula, aborde os exercícios em que determina-</p><p>dos elementos devem ficar próximos uns dos outros. É</p><p>adequado apresentar um exemplo simples, como tentar</p><p>identificar a quantidade de anagramas da palavra FATO</p><p>que tenham as vogais juntas. Para facilitar a resolução, po-</p><p>demos usar um outro símbolo que substitua as duas vo-</p><p>gais nos momentos em que estão juntas.</p><p>FAOT ⇒ FXT</p><p>Em seguida, você pode mostrar todos os anagramas</p><p>para esta última palavra. É mais evidente para os alunos</p><p>quando são exibidos todos os casos possíveis.</p><p>FXT</p><p>FTX</p><p>XFT</p><p>XTF</p><p>TFX</p><p>TXF</p><p>A quantidade de permutações para esta palavra é cal-</p><p>culada por 3! = 6.</p><p>Em seguida, desfaça a substituição exibindo todas as</p><p>possibilidades:</p><p>FXT ⇒ FAOT</p><p>FTX ⇒ FTAO</p><p>XFT ⇒ AOFT</p><p>XTF ⇒ AOTF</p><p>TFX ⇒ TFAO</p><p>TXF ⇒ TAOF</p><p>Ainda é preciso mostrar que para cada uma das situações</p><p>acima há uma outra em que as vogais trocam de posição.</p><p>FXT ⇒ FAOT ⇒ FOAT</p><p>FTX ⇒ FTAO ⇒ FTOA</p><p>XFT ⇒ AOFT ⇒ OAFT</p><p>XTF ⇒ AOTF ⇒ OATF</p><p>TFX ⇒ TFAO ⇒ TFOA</p><p>TXF ⇒ TAOF ⇒ TOAF</p><p>? ? ?</p><p>16</p><p>pH_EM2_C1_015a017_M3_Mat_MP.indd 16 4/30/16 2:55 PM</p><p>Depois dessas listagens, mostre que a quantidade</p><p>desejada de anagramas pode ser obtida efetuando-se o</p><p>seguinte cálculo: 3! ? 2! 5 12.</p><p>Sugerimos para resolução em sala de aula os exer-</p><p>cícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 4 e 6;</p><p>Desenvolvendo habilidades: 3 e 4.</p><p>E para casa:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 1, 2 e 6.</p><p>AULA 3</p><p>Nesta aula, é adequado que o professor complemente</p><p>todos os seus argumentos das outras duas aulas resolven-</p><p>do os exercícios 6, 7, 8, 14, 15 e 16 da seção Aprofundando</p><p>o conhecimento.</p><p>ATIVIDADES COMPLEMENTARES</p><p>Pode-se levar para a sala de aula um cadeado de se-</p><p>gredo, do tipo usado para prender bicicletas. Faça com</p><p>que cada aluno tente abrir o cadeado testando algumas</p><p>possibilidades de senha. É possível fazer uma brincadeira</p><p>interessante se nenhum aluno que tenha conseguido abrir</p><p>contar qual é o código. Isso é mais ou menos o que os</p><p>computadores fazem para descobrir senhas elementares.</p><p>Por isso existe hoje uma guerra cibernética para encobrir</p><p>os segredos das milhares de mensagens que circulam to-</p><p>dos os dias entre os internautas.</p><p>GABARITO COMENTADO</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>3. b.</p><p>Ordenadas alfabeticamente, as permutações da</p><p>palavra SORTE apresentam:</p><p>P</p><p>4</p><p>5 4! 5 24 anagramas que começam por E,</p><p>P</p><p>4</p><p>5 4! 5 24 anagramas que começam por O,</p><p>P</p><p>4</p><p>5 4! 5 24 anagramas que começam por R,</p><p>P</p><p>4</p><p>5 3! 5 6 anagramas que começam por SE,</p><p>P</p><p>4</p><p>5 3! 5 6 anagramas que começam por SO.</p><p>Como 24 1 24 1 24 1 6 1 6 5 84, os próximos anagra-</p><p>mas são SREOT e SRETO. Portanto, a última letra do</p><p>86o anagrama é O.</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>1. e.</p><p>Os únicos algarismos usados para gerar a senha</p><p>são: 1, 3, 5, 7 e 9. Dessa forma:</p><p>Quantidade de números iniciados em 3, 5 ou 1:</p><p>3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 72</p><p>Quantidade de números iniciados em 71 ou 73:</p><p>1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 5 12</p><p>Quantidade de números iniciados em 751 ou 753:</p><p>1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 5 4</p><p>Somando 72 1 12 1 4 1 1 5 89a posição.</p><p>2. b.</p><p>O número de trajetos possíveis, levando em consi-</p><p>deração as simetrias, será de 5 5</p><p>5!</p><p>2</p><p>120</p><p>2</p><p>60 tra-</p><p>jetos. Para calcular o tempo gasto, deve-se multi-</p><p>plicar esse valor por 1,5 min.</p><p>Assim, João precisará de 60 ? 1,5 5 90 minutos</p><p>para verificar todas as sequências possíveis.</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>3. b.</p><p>Ocorreram três inversões de posição da letra D com</p><p>as letras R, I e A.</p><p>ADRIANE</p><p>ARDIANE</p><p>ARIDANE</p><p>ARIADNE</p><p>ANOTA‚ÍES</p><p>17</p><p>P</p><p>er</p><p>m</p><p>ut</p><p>aç</p><p>ão</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>3</p><p>pH_EM2_C1_015a017_M3_Mat_MP.indd 17 4/30/16 2:55 PM</p><p>OBJETOS DO CONHECIMENTO HABILIDADES</p><p>• Agrupamentos: arranjos simples</p><p>• Conceito de ordenação de elementos dentro</p><p>de um grupo</p><p>• Apresentar problemas de contagem de agrupamentos</p><p>que podem ser descritos por sequências de eventos.</p><p>• Distinguir situações em que a ordem dos eventos é re-</p><p>levante ou não.</p><p>• Resolver situação-problema utilizando arranjos simples.</p><p>4</p><p>Módulo</p><p>Arranjos simples</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Depois de apresentar alguns métodos sobre reordena-</p><p>mento, vamos passar ao estudo dos problemas das seleções.</p><p>De posse de um conjunto de elementos podemos escolher</p><p>alguns deles para formar subconjuntos. O ato de formar sub-</p><p>conjuntos está presente em nossa vida desde as situações</p><p>mais simples, como a eleição de síndico e subsíndico de um</p><p>condomínio, até as situações de maior relevância, como a</p><p>eleição de deputados. Assim, neste módulo, apresentam-se</p><p>exemplos de situações em que, dado um conjunto, esco-</p><p>lhem-se alguns elementos para formar subconjuntos. Além</p><p>disso, apresentam-se estratégias para calcular quantos sub-</p><p>conjuntos podem ser formados em cada situação dada.</p><p>ESTRATÉGIAS DE AULA</p><p>AULA 1</p><p>Inicie este módulo definindo o conceito de arran-</p><p>jo. A partir de um conjunto com n elementos, escolha p</p><p>elementos, tal que cada um destes p elementos sirva a</p><p>um propósito diferente. Um bom exemplo para ilustrar</p><p>tal conceito é identificar de quantas maneiras é possível</p><p>escolher uma chapa composta por um presidente e um</p><p>vice-presidente a partir de uma lista com os seguintes can-</p><p>didatos: Antônio, Bernardo, Cláudio, Daniel e Eduardo. O</p><p>aluno deve entender que uma chapa composta por Daniel</p><p>e Eduardo tem duas configurações possíveis: Daniel como</p><p>presidente e Eduardo como vice-presidente ou Eduardo</p><p>como presidente e Daniel como vice-presidente.</p><p>Para compor essa chapa é necessário que sejam toma-</p><p>das duas decisões:</p><p>1a) Escolher uma pessoa para ser o presidente. Para</p><p>tanto temos 5 alternativas.</p><p>2a) Escolher uma pessoa para ser o vice-presidente.</p><p>Evidentemente, não poderemos escolher a mesma pessoa</p><p>que escolhemos no momento anterior. Para tanto temos</p><p>4 alternativas.</p><p>Logo, neste caso, teríamos 5 ∙ 4 = 20 maneiras de com-</p><p>por tal chapa.</p><p>Em seguida, ainda diante do mesmo grupo de pessoas,</p><p>vamos identificar de quantas maneiras é possível escolher</p><p>um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro para</p><p>compor uma chapa.</p><p>Para solucionar este problema, é necessário que sejam</p><p>tomadas três decisões:</p><p>1a) Escolher uma pessoa para ser o presidente. Para</p><p>tanto temos 5 alternativas.</p><p>2a) Escolher uma pessoa para ser o vice-presidente.</p><p>Evidentemente, não poderemos escolher a mesma pessoa</p><p>que escolhemos no momento anterior. Para tanto temos</p><p>4 alternativas.</p><p>3a) Escolher uma pessoa para ser o tesoureiro. Eviden-</p><p>temente, não poderemo s escolher nenhuma das outras</p><p>duas pessoas</p><p>já escolhidas anteriormente. Para tanto te-</p><p>mos 3 alternativas.</p><p>Logo, neste caso, teríamos 5 ? 4 ? 3 5 60 maneiras de</p><p>compor tal chapa.</p><p>Sugerimos que sejam feitos, na sala de aula, os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 1 e 2;</p><p>Desenvolvendo habilidades: 3 e 4.</p><p>Para casa, sugerimos os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 5, 7 e 9.</p><p>18</p><p>pH_EM2_C1_018a022_M4_Mat_MP.indd 18 4/30/16 2:55 PM</p><p>AULA 2</p><p>Agora, deduza a fórmula do arranjo simples de acordo</p><p>com a seção Para aprender, do Caderno do Aluno. Lembre</p><p>seus alunos de que sempre há a possibilidade de resolver</p><p>problemas envolvendo arranjo simples utilizando o princípio</p><p>multiplicativo, sendo optativo o uso da fórmula. Apresenta-</p><p>mos, a seguir, outra sugestão para deduzir a fórmula.</p><p>Dado um grupo de pessoas a serem escolhidas para for-</p><p>mar sequências diferentes, dando origem a configurações</p><p>diferentes, é adequado que se coloquem todas as n pessoas</p><p>em fila para que se possa perceber todas as sequências dife-</p><p>rentes para as p primeiras pessoas da fila. Podemos enten-</p><p>der que as últimas n – p pessoas da fila inicial não serão ob-</p><p>servadas. Convém mostrar um exemplo numérico primeiro.</p><p>Exemplo 1: Quantas são as possibilidades para os 2</p><p>primeiros elementos de uma fila com 5 elementos?</p><p>1o) Escolher o primeiro elemento da fila. Para tanto te-</p><p>mos 5 alternativas.</p><p>2o) Escolher o segundo elemento da fila. Para tanto te-</p><p>mos 4 alternativas.</p><p>Pelo princípio multiplicativo temos:</p><p>? 5</p><p>? ? ? ?</p><p>? ?</p><p>5 5</p><p>2</p><p>55 4</p><p>5 4 3 2 1</p><p>3 2 1</p><p>5!</p><p>3!</p><p>5!</p><p>(5 2)!</p><p>A5,2</p><p>Exemplo 2: Quantas são as possibilidades para os 3</p><p>primeiros elementos de uma fila com 8 elementos?</p><p>1o) Escolher o primeiro elemento da fila. Para tanto te-</p><p>mos 8 opções.</p><p>2o) Escolher o segundo elemento da fila. Para tanto te-</p><p>mos 7 opções.</p><p>3o) Escolher o terceiro elemento da fila. Para tanto te-</p><p>mos 6 opções.</p><p>Pelo princípio multiplicativo temos:</p><p>? ? 5</p><p>? ? ? ? ? ? ?</p><p>? ? ? ?</p><p>5 5</p><p>2</p><p>58 7 6</p><p>8 7 6 5 4 3 2 1</p><p>5 4 3 2 1</p><p>8!</p><p>5!</p><p>8!</p><p>(8 3)!</p><p>A8,3</p><p>De maneira genérica, quantas são as possibilidades para</p><p>os p primeiros elementos de uma fila com n elementos?</p><p>5</p><p>2</p><p>A</p><p>n!</p><p>(n p)!</p><p>n,p</p><p>Sugerimos que sejam feitos, na sala de aula, os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 1 e 2;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 1 e 2.</p><p>Para casa, sugerimos os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 6 e 10;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 3, 4 e 5.</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>ARRANJOS SIMPLES</p><p>Definição: Seleção de sequências diferentes com p elementos a partir de um conjunto com n elementos.</p><p>• Exemplo 1:</p><p>Formar uma chapa composta por um presidente e um vice-presidente.</p><p>Candidatos: Antônio, Bernardo, Cláudio, Daniel e Eduardo.</p><p>5 opções</p><p>Presidente</p><p>? 4 opções</p><p>Vice-presidente</p><p>5 5 ? 4 5 20 maneiras para formar a chapa</p><p>Observação: (Daniel, Eduardo) ≠ (Eduardo, Daniel)</p><p>• Exemplo 2:</p><p>Formar uma chapa composta por um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro.</p><p>Candidatos: Antônio, Bernardo, Cláudio, Daniel e Eduardo.</p><p>5 opções</p><p>Presidente</p><p>? 4 opções</p><p>Vice-presidente</p><p>? 3 opções</p><p>Tesoureiro</p><p>5 5 ? 4 ? 3 5 60 maneiras para formar a chapa</p><p>Todas as sequências abaixo são diferentes:</p><p>(Bernardo, Daniel, Eduardo), (Bernardo, Eduardo, Daniel), (Daniel, Bernardo, Eduardo), (Daniel, Eduardo, Bernardo),</p><p>(Eduardo, Daniel, Bernardo), (Eduardo, Bernardo, Daniel)</p><p>19</p><p>A</p><p>rr</p><p>an</p><p>jo</p><p>s</p><p>si</p><p>m</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>ó</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>4</p><p>pH_EM2_C1_018a022_M4_Mat_MP.indd 19 4/30/16 2:55 PM</p><p>AULA 3</p><p>Nesta aula, é adequado que o professor complemente</p><p>todos os argumentos das outras duas aulas resolvendo os</p><p>exercícios 6, 7, 8 e 9 da seção Aprofundando o conheci-</p><p>mento.</p><p>GABARITO COMENTADO</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>2. b.</p><p>O número de maneiras que esse aluno pode es-</p><p>crever a palavra PAZ é igual a A</p><p>4,3</p><p>:</p><p>⇒5</p><p>2</p><p>5 ? ? 5A</p><p>4!</p><p>(4 3)!</p><p>4 3 2 A 244,3 4,3</p><p>3. a.</p><p>O resultado pedido corresponde ao número de</p><p>arranjos simples de 9 objetos tomados 7 a 7:</p><p>5A</p><p>9!</p><p>2!</p><p>9,7</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>1. b.</p><p>Número total de jogos: 20 ? 19 5 380</p><p>Número de jogos entre os times paulistas: 6 ? 5 5 30</p><p>Porcentagem de jogos nos quais os dois oponen-</p><p>tes são paulistas:</p><p>30</p><p>380</p><p>. 7,8%</p><p>6. b.</p><p>Para resolver, devemos seguir os passos:</p><p>1o) Escolher um dos 4 lugares restantes para o al-</p><p>garismo 7. Para tanto temos 4 opções.</p><p>2o) Escolher um algarismo diferente dos demais</p><p>para o terceiro lugar disponível. Para tanto te-</p><p>mos 8 opções.</p><p>3o) Escolher um algarismo diferente dos demais</p><p>para o quarto lugar disponível. Para tanto te-</p><p>mos 7 opções.</p><p>4o) Escolher um algarismo diferente dos demais</p><p>para o quinto e último lugar disponível. Para</p><p>tanto temos 6 opções.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos 4 ∙ 8 ∙ 7 ∙</p><p>? 6 = 1 344</p><p>9. b.</p><p>Resultado geral da prova: 9 ? 8 ? 7 5 504</p><p>Resultado sem os brasileiros: 5 ? 4 ? 3 ? 2 5 60</p><p>Resultado com ao menos um brasileiro:</p><p>504 2 60 5 444</p><p>10. d.</p><p>Podemos resolver da seguinte maneira:</p><p>1o) Escolher uma vogal para a primeira posição.</p><p>Para tanto temos 5 opções.</p><p>2o) Escolher uma vogal para a segunda posição.</p><p>Para tanto temos 5 opções.</p><p>3o) Escolher um algarismo para a terceira posição.</p><p>Para tanto temos 10 opções.</p><p>4o) Escolher um algarismo diferente do anterior para</p><p>a quarta posição. Para tanto temos 9 opções.</p><p>5o) Escolher um algarismo diferente dos outros</p><p>dois para a quinta posição. Para tanto temos</p><p>8 opções.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos</p><p>5 ? 5 ? 10 ? 9 ? 8 5 18 000</p><p>APROFUNDANDO O CONHECIMENTO</p><p>1. b.</p><p>• Opções de algarismo para a casa das centenas: 3.</p><p>• Opções de algarismo para a casa das dezenas:</p><p>4 (o algarismo não pode ter sido usado antes)</p><p>• Opções de algarismo para a casa das unidades:</p><p>3 (o algarismo não pode ter sido usado antes)</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, tem-se</p><p>3 ? 4 ? 3 5 36</p><p>2. a.</p><p>Números terminados com o algarismo zero:</p><p>4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24</p><p>Números terminados com os algarismos 2 e 4:</p><p>3 ? 3 ? 2 ? 2 5 36</p><p>Somando as possibilidades:</p><p>24 1 36 5 60 pares</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>Exemplo: Quantas são as possibilidades para os 3</p><p>primeiros lugares de uma fila com 5 pessoas?</p><p>? ? 5</p><p>? ? ? ?</p><p>? ?</p><p>5 5</p><p>2</p><p>55 4 3</p><p>5 4 3 2 1</p><p>3 2 1</p><p>5!</p><p>2</p><p>5!</p><p>(5 3)!</p><p>A5,3</p><p>!</p><p>Generalizando: A</p><p>n!</p><p>(n p)!</p><p>n,p 5</p><p>2</p><p>20</p><p>pH_EM2_C1_018a022_M4_Mat_MP.indd 20 4/30/16 2:55 PM</p><p>5. d.</p><p>Quantidade de números de 3 algarismos com zero</p><p>no final: 8 ? 9 5 72</p><p>Quantidade de números de 4 algarismos com zero</p><p>no final: 7 ? 8 ? 9 5 504</p><p>Total: 504 1 72 5 576</p><p>6. d.</p><p>Para que um número seja múltiplo de 3 é necessá-</p><p>rio que a soma de seus algarismos seja um múlti-</p><p>plo de 3.</p><p>Neste caso estudaremos os números que são for-</p><p>mados pelos algarismos 3, 4, 6 e 8 e seguiremos os</p><p>passos:</p><p>1o) Escolher, entre estes algarismos, o que vai ocu-</p><p>par a casa das unidades. Para tanto temos 4</p><p>opções.</p><p>2o) Escolher, entre os restantes, o que vai ocupar a</p><p>casa das dezenas. Para tanto temos 3 opções.</p><p>3o) Escolher, entre os restantes, o que vai ocupar a</p><p>casa das centenas. Para tanto temos 2 opções.</p><p>4o) Escolher, entre os restantes, o que vai ocupar a</p><p>casa das unidades de milhar. Para tanto temos</p><p>1 opção.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos 4 ? 3 ? 2 ?</p><p>? 1 5 24 números.</p><p>Em seguida estudaremos os números formados</p><p>pelos algarismos 3, 4, 8 e 9.</p><p>De maneira análoga temos outros 24 números</p><p>possíveis.</p><p>Por último, estudaremos os números formados pe-</p><p>los algarismos 4, 6, 8 e 9.</p><p>De maneira análoga temos outros 24 números</p><p>possíveis.</p><p>Logo, teremos ao todo 24 ? 3 5 72 números que</p><p>satisfazem às condições do problema.</p><p>7. 40</p><p>Como os números têm que ser ímpares, o último</p><p>algarismo de cada número deve ser ímpar. Desse</p><p>modo, vamos tomar as seguintes decisões:</p><p>1a) Escolher um algarismo para a casa das unida-</p><p>des. Para tanto temos 2 opções.</p><p>2a) Escolher um algarismo para a casa das deze-</p><p>nas. Para tanto temos 5 opções.</p><p>3o) Escolher um algarismo para a casa das cente-</p><p>nas. Para tanto temos 4 opções.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos 2 ? 5 ? 4 5</p><p>5 40 números que</p><p>satisfazem às condições do pro-</p><p>blema.</p><p>8. b.</p><p>Vamos calcular todos os números pares com 3 algaris-</p><p>mos, sem algarismos repetidos, seguindo os passos.</p><p>1o) Escolher um algarismo par para a casa das uni-</p><p>dades. Para tanto temos 4 opções.</p><p>2o) Escolher um algarismo diferente do anterior</p><p>para a casa das dezenas. Para tanto temos</p><p>6 opções.</p><p>3o) Escolher um algarismo diferente dos outros</p><p>dois para a casa das centenas. Para tanto te-</p><p>mos 5 opções.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos 4 ? 6 ? 5 5</p><p>5 120 números pares de três algarismos formados a</p><p>partir da lista de algarismos oferecida pelo proble-</p><p>ma. No entanto, os números devem ser maiores que</p><p>234. Logo ele deve ser retirado da lista, restando</p><p>apenas 119 números.</p><p>9. b.</p><p>Vamos calcular os múltiplos de 5 terminados em</p><p>zero. Para tanto vamos tomar as seguintes decisões:</p><p>1a) Escolher o algarismo da casa das dezenas.</p><p>Para tanto temos 9 opções.</p><p>2a) Escolher o algarismo da casa das centenas dife-</p><p>rente do anterior. Para tanto temos 8 opções.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos 9 ? 8 5</p><p>5 72 múltiplos de 5 terminados em zero.</p><p>Vamos agora calcular todos os múltiplos de 5 ter-</p><p>minados em 5. Para tanto vamos tomar as seguin-</p><p>tes decisões:</p><p>1a) Escolher um algarismo para a casa das cen-</p><p>tenas. Para tanto temos 8 opções. Observem</p><p>que o zero não pode ocupar este lugar.</p><p>2a) Escolher um algarismo para a casa das deze-</p><p>nas diferente do anterior. Para tanto temos</p><p>8 opções. Observe que o zero volta para a lista</p><p>de opções.</p><p>Logo, pelo princípio multiplicativo temos 8 ? 8 5</p><p>5 64 múltiplos de 5 terminados em 5.</p><p>No total, temos 72 1 64 5 136 números.</p><p>11. 3 360</p><p>Vamos calcular todos os casos possíveis:</p><p>1o) Escolher um atleta para ganhar R$ 50 000,00.</p><p>Para tanto temos 10 opções.</p><p>2o) Escolher um atleta diferente do primeiro para</p><p>ganhar R$ 30 000,00. Para tanto temos 9 opções.</p><p>3o) Escolher um atleta di ferente dos demais para</p><p>ganhar um prêmio de R$ 15 000,00. Para tanto</p><p>temos 8 opções.</p><p>21</p><p>A</p><p>rr</p><p>an</p><p>jo</p><p>s</p><p>si</p><p>m</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>4</p><p>pH_EM2_C1_018a022_M4_Mat_MP.indd 21 4/30/16 2:55 PM</p><p>4o) Escolher um atleta diferente dos demais para</p><p>ganhar um prêmio de R$ 5 000,00. Para tanto</p><p>temos 7 opções.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, temos</p><p>10 ? 9 ? 8 ? 7 5 5 040 combinações possíveis.</p><p>Agora, vamos calcular todos os casos em que não</p><p>temos atletas brasileiros recebendo algum prêmio.</p><p>1o) Escolher um atleta para ganhar R$ 50 000,00.</p><p>Para tanto temos 8 opções.</p><p>2o) Escolher um atleta diferente do primeiro para</p><p>ganhar R$ 30 000,00. Para tanto temos 7 op-</p><p>ções.</p><p>3o) Escolher um atleta diferente dos demais para</p><p>ganhar um prêmio de R$ 15 000,00. Para tanto</p><p>temos 6 opções.</p><p>4o) Escolher um atleta diferente dos demais para</p><p>ganhar um prêmio de R$ 5 000,00. Para tanto</p><p>temos 5 opções.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, temos</p><p>8 ? 7 ? 6 ? 5 5 1 680.</p><p>Para dar solução ao problema, devemos fazer a se-</p><p>guinte diferença: 5 040 2 1 680 5 3 360.</p><p>Observe que outra solução pode ser apresentada</p><p>com o uso de fórmulas.</p><p>12. 756</p><p>É preciso tomar as seguintes decisões:</p><p>1a) Escolher um dos seguintes pares de algarismos</p><p>{12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48, 52, 56, 64, 68, 72,</p><p>76, 84, 88, 92, 96} para entrar nas duas últimas</p><p>casas. Para tanto temos 18 opções.</p><p>2a) Escolher um algarismo diferente dos que foram</p><p>escolhidos para a casa das centenas. Para tanto</p><p>temos 7 opções.</p><p>3a) Escolher um algarismo diferente dos que foram</p><p>escolhidos para a casa das unidades de milhar.</p><p>Para tanto temos 6 opções.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, temos</p><p>18 ? 7 ? 6 5 756.</p><p>13. 144</p><p>A partir do nome Julieta, vamos calcular quantas</p><p>senhas começam por vogal.</p><p>1o) Escolher uma vogal para a primeira posição da</p><p>senha. Para tanto temos 4 opções.</p><p>2o) Escolher uma vogal diferente da primeira para</p><p>a terceira posição da senha. Para tanto temos</p><p>3 opções.</p><p>3o) Escolher uma consoante para a segunda posi-</p><p>ção da senha. Para tanto temos 3 opções.</p><p>4o) Escolher uma consoante para a quarta posição</p><p>da senha. Para tanto temos 2 opções.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, temos</p><p>4 ? 3 ? 3 ? 2 5 72 senhas.</p><p>A partir do nome Julieta, vamos calcular quantas</p><p>senhas começam por consoante.</p><p>1o) Escolher uma consoante para a primeira posi-</p><p>ção da senha. Para tanto temos 3 opções.</p><p>2o) Escolher uma consoante diferente da primeira</p><p>para a terceira posição da senha. Para tanto te-</p><p>mos 2 opções.</p><p>3o) Escolher uma vogal para a segunda posição da</p><p>senha. Para tanto temos 4 opções.</p><p>4o) Escolher uma vogal para a quarta posição da</p><p>senha. Para tanto temos 3 opções.</p><p>Pelo princípio fundamental da contagem, temos</p><p>4 ? 3 ? 3 ? 2 5 72 senhas.</p><p>Para resolver o problema, devemos somar 72 1 72 5</p><p>5 144.</p><p>ANOTA‚ÍES</p><p>22</p><p>pH_EM2_C1_018a022_M4_Mat_MP.indd 22 4/30/16 2:55 PM</p><p>OBJETO DO CONHECIMENTO HABILIDADES</p><p>• Agrupamentos: combinações simples • Distinguir situações em que a ordem dos eventos não</p><p>é relevante.</p><p>• Contar subconjuntos.</p><p>• Resolver situação-problema utilizando combinações</p><p>simples.</p><p>5</p><p>Módulo</p><p>Combina•›es simples I</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Os jogos de cartas são ótimos exemplos para abordar</p><p>as combinações simples, pois, mesmo que as cartas este-</p><p>jam em uma ordem diferente, representam a mesma joga-</p><p>da. No jogo de pôquer, considerando apenas as cartas de</p><p>copas, por exemplo, as configurações {rei, valete, dama,</p><p>10, 9} e {9, 10, valete, dama, rei} são iguais.</p><p>Neste módulo, o objetivo é apresentar quando uma</p><p>configuração é diferente da outra e como se calcula a</p><p>quantidade de configurações distintas.</p><p>ESTRATÉGIAS DE AULA</p><p>AULA 1</p><p>Nesta aula é interessante fazer uma breve revisão</p><p>dos conceitos de arranjo e permutação simples para</p><p>que se possa introduzir o conceito de combinação sim-</p><p>ples. Para se trabalhar esses conceitos juntos, considera-</p><p>-se um grupo de 5 pessoas (Ana, Bruno, Cláudio, Daniela</p><p>e Eduardo) que participam de uma competição de xadrez.</p><p>Exemplo 1: Quantas possibilidades existem para os</p><p>três primeiros lugares dessa competição?</p><p>Para responder a essa pergunta, utiliza-se o Princípio</p><p>Fundamental da Contagem, seguindo as etapas:</p><p>1a) etapa: escolha do 1o colocado → 5 possibilidades.</p><p>2a) etapa: escolha do 2o colocado → 4 possibilidades</p><p>(não pode ser a mesma pessoa escolhida na etapa anterior).</p><p>3a) etapa: escolha do 3o colocado → 3 possibilidades</p><p>(não pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas eta-</p><p>pas anteriores).</p><p>Total: 5 ? 4 ? 3 5 60 possibilidades</p><p>Porém, o aluno deve perceber que a possibilidade:</p><p>1o) Ana 2o) Bruno 3o) Cláudio</p><p>é diferente da possibilidade:</p><p>1o) Bruno 2o) Cláudio 3o) Ana</p><p>mesmo apresentando os mesmos elementos. Dessa manei-</p><p>ra, o que se busca calcular nessa situação é o número de</p><p>sequências que podem ser formadas com três dessas cinco</p><p>pessoas. Essas sequências são denominadas arranjos sim-</p><p>ples (não existe repetição de elementos) desses 5 elemen-</p><p>tos tomados 3 a 3. O número de arranjos simples de n ele-</p><p>mentos tomados p a p é representado por A</p><p>n, p</p><p>ou A</p><p>n</p><p>p. Assim:</p><p>A</p><p>5, 3</p><p>5 5 ? 4 ? 3 5</p><p>? ? ?</p><p>5 5</p><p>2</p><p>5 4 3 2!</p><p>2!</p><p>5!</p><p>2!</p><p>5!</p><p>(5 3)!</p><p>Conclui-se que a expressão que calcula o número de</p><p>arranjos simples de n elementos tomados p a p é:</p><p>5</p><p>2</p><p>A</p><p>n!</p><p>(n p)!</p><p>n, p</p><p>Exemplo 2: Quantas possibilidades existem para a</p><p>classificação geral dessa competição?</p><p>De maneira análoga ao problema anterior, tem-se:</p><p>1a) etapa: escolha do 1o colocado → 5 possibilidades.</p><p>2a) etapa: escolha do 2o colocado → 4 possibilidades</p><p>(não pode ser a mesma pessoa escolhida na etapa anterior).</p><p>3a) etapa: escolha do 3o colocado → 3 possibilidades</p><p>(não pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas eta-</p><p>pas anteriores).</p><p>23</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>5</p><p>pH_EM2_C1_023a026_M5_Mat_MP.indd 23 4/30/16 2:56 PM</p><p>4a) etapa: escolha do 4o colocado → 2 possibilidades</p><p>(não pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas eta-</p><p>pas anteriores).</p><p>5a) etapa:</p><p>escolha do 5o colocado → 1 possibilidade</p><p>(não pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas eta-</p><p>pas anteriores).</p><p>Total: 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 5 5! 5 120 possibilidades</p><p>Nessa situação, o aluno deve compreender que o que</p><p>se busca calcular é o número de sequências que podem</p><p>ser formadas pelas 5 pessoas do grupo ou, em outros ter-</p><p>mos, o número de permutações simples desses 5 elemen-</p><p>tos, representado por P</p><p>5</p><p>.</p><p>Em um caso geral, com um grupo de n elementos,</p><p>mostra-se que o número de permutações simples desses</p><p>n elementos é dado por:</p><p>P</p><p>n</p><p>5 n!</p><p>Vale alertar os alunos de que esse é um caso particular de</p><p>arranjo simples, em que n e p têm valores iguais (P</p><p>n</p><p>5 A</p><p>n, n</p><p>).</p><p>Exemplo 3: Três dessas 5 pessoas serão responsáveis</p><p>por divulgar esse campeonato pela vizinhança do bairro.</p><p>Quantos grupos diferentes poderão ser formados para</p><p>essa tarefa?</p><p>Dentre as 60 sequências determinadas na resolução</p><p>da pergunta 1, cada grupo de 6 sequências representa um</p><p>único grupo possível:</p><p>(Ana, Bruno, Cláudio)</p><p>(Ana, Cláudio, Bruno)</p><p>(Bruno, Ana, Cláudio)</p><p>(Bruno, Cláudio, Ana)</p><p>(Cláudio, Ana, Bruno)</p><p>(Cláudio, Bruno, Ana)</p><p>{Ana, Bruno, Cláudio}</p><p>(Ana, Bruno, Daniela)</p><p>(Ana, Daniela, Bruno)</p><p>(Bruno, Ana, Daniela)</p><p>(Bruno, Daniela, Ana)</p><p>(Daniela, Ana, Bruno)</p><p>(Daniela, Bruno, Ana)</p><p>{Ana, Bruno, Daniela}</p><p>O número de vezes que um mesmo conjunto é conta-</p><p>do nessas 60 sequências (6 vezes) é o número de permu-</p><p>tações dos 3 elementos do conjunto, ou seja, P</p><p>3</p><p>5 3! 5</p><p>5 6 vezes. Desse modo, mostra-se a necessidade de divi-</p><p>dir esse total por 6 para que cada grupo seja contado uma</p><p>única vez:</p><p>? ?</p><p>5</p><p>5 4 3</p><p>3!</p><p>10 grupos</p><p>Esses 10 grupos são as denominadas combinações</p><p>simples das 5 pessoas tomadas 3 a 3, cuja quantidade</p><p>é representada por C</p><p>5,3</p><p>ou C3</p><p>5</p><p>. A ideia aqui é a formação</p><p>de subconjuntos em que a modificação na ordem dos</p><p>elementos não caracteriza uma nova possibilidade. Desse</p><p>exemplo, tem-se:</p><p>5</p><p>? ?</p><p>5</p><p>? ? ?</p><p>?</p><p>5</p><p>? 2</p><p>C</p><p>5 4 3</p><p>3!</p><p>5 4 3 2!</p><p>3! 2!</p><p>5!</p><p>3! (5 3)!</p><p>5,3</p><p>em que se pode induzir que o número de combinações</p><p>simples de n elementos tomados p a p é igual a:</p><p>5</p><p>? 2</p><p>C</p><p>n!</p><p>p! (n p)!</p><p>n,p</p><p>A utilização ou não das expressões aqui apresentadas</p><p>deve ser definida pelo aluno levando em consideração sua</p><p>facilidade em usar esse recurso.</p><p>Sugerimos, como tarefa de casa, os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 1 e 4.</p><p>SUGESTÃO DE QUADRO</p><p>COMBINAÇÕES</p><p>Definição:</p><p>Seleção de subconjuntos com p elementos a partir de um conjunto com n elementos.</p><p>Exemplo:</p><p>Selecionar 2 nomes do conjunto {Antônio, Bruno, Carlos, Daniel e Eduardo}.</p><p>5 opções</p><p>1o Nome</p><p>? 4 opções</p><p>2o Nome</p><p>5 5 ? 4 5 20 maneiras</p><p>No entanto:</p><p>(Bruno, Carlos) = (Carlos, Bruno)</p><p>Logo, o número de possibilidades para escolher 2 nomes é igual a</p><p>2</p><p>5</p><p>20</p><p>10.</p><p>24</p><p>pH_EM2_C1_023a026_M5_Mat_MP.indd 24 4/30/16 2:56 PM</p><p>AULA 2</p><p>Nesta aula enfatize que o aluno pode resolver qual-</p><p>quer exercício de análise combinatória pelo princípio fun-</p><p>damental da contagem (ou princípio multiplicativo). No</p><p>entanto, qualquer estratégia que se tome exige de cada</p><p>um uma percepção com relação aos possíveis erros de</p><p>contagem. Para muitos exercícios cometemos o erro de</p><p>contar diversas configurações repetidas vezes. Esse é um</p><p>erro fácil de ser corrigido. Basta identificarmos o número</p><p>de vezes que cada configuração se repete e dividir o resul-</p><p>tado encontrado por este número.</p><p>Exemplo: Qual é o número de sucos diferentes que</p><p>podemos fazer escolhendo 3 frutas entre as seguintes: la-</p><p>ranja, melancia, morango, melão, amora e pêssego?</p><p>O professor deve incitar seu aluno a tomar as suas de-</p><p>cisões:</p><p>1o) Escolher uma fruta. Para tanto temos 6 alternativas.</p><p>2o) Escolher outra fruta diferente da primeira. Para tan-</p><p>to temos 5 alternativas.</p><p>3o) Escolher uma outra fruta diferente das outras duas.</p><p>Para tanto temos 4 alternativas.</p><p>Pelo princípio multiplicativo temos 6 ? 5 ? 4 5 120.</p><p>No entanto, todos os grupos descritos abaixo repre-</p><p>sentam uma mesma possibilidade de mistura para o suco</p><p>desejado.</p><p>(laranja, morango, amora) 5 (laranja, amora, morango) 5</p><p>5 (morango, laranja, amora) 5 (morango, amora, laranja) 5</p><p>5 (amora, laranja, morango) 5 (amora, morango, laranja)</p><p>A grande questão é que todas essas configurações</p><p>foram contadas entre as 120 que calculamos, o que ca-</p><p>racteriza um erro no processo. Tal erro é corrigido quando</p><p>dividimos o resultado inicial por 6 5 3!.</p><p>A fórmula da combinação já efetua essa correção.</p><p>5</p><p>2</p><p>5</p><p>? ? ?</p><p>?</p><p>5C</p><p>6!</p><p>3!(6 3)!</p><p>6 5 4 3!</p><p>3! 3!</p><p>206,3</p><p>Deixe a cargo do aluno o uso da fórmula ou a aplica-</p><p>ção do princípio multiplicativo, alertando-o que é tão difí-</p><p>cil escolher entre a fórmula de Arranjo e a de Combinação</p><p>quanto é difícil decidir se é necessário dividir o resultado</p><p>encontrado.</p><p>Sugerimos que sejam feitos, na sala de aula, os exercícios:</p><p>Praticando o aprendizado: 3 e 5;</p><p>Desenvolvendo habilidades: 3 e 4.</p><p>Para casa, sugerimos os exercícios:</p><p>Desenvolvendo habilidades: 2, 6 e 9;</p><p>Aprofundando o conhecimento: 1, 2 e 3.</p><p>AULA 3</p><p>Nesta aula, é adequado complementar os argumen-</p><p>tos das outras duas aulas resolvendo o exercício 2 da se-</p><p>ção Praticando o aprendizado e os exercícios 6, 7 e 8 da</p><p>seção Aprofundando o conhecimento.</p><p>ATIVIDADES COMPLEMENTARES</p><p>Grande parte dos jogos que fizeram parte da infância</p><p>dos alunos, como jogos de cartas, damas, xadrez, domi-</p><p>nós, etc., costuma ser temática em situações-problema</p><p>de Matemática. É interessante que, em algum momento,</p><p>os alunos tenham um mínimo de contato com esses jo-</p><p>gos. Pode-se levar para a sala de aula um baralho e dar,</p><p>por exemplo, 5 cartas para um aluno e pedir que ele as</p><p>embaralhe. No final, o aluno vai perceber que ele tem a</p><p>mesma configuração de antes, o que determinaria que,</p><p>independentemente de ter embaralhado as cartas, ele te-</p><p>ria as mesmas chances de ganhar ou perder uma partida</p><p>do jogo.</p><p>GABARITO COMENTADO</p><p>PRATICANDO O APRENDIZADO</p><p>3. d.</p><p>1o) Devemos escolher dois círculos da primeira coluna.</p><p>2o) Devemos escolher dois círculos da segunda coluna</p><p>e que estejam em linhas diferentes dos primeiros.</p><p>3o) Devemos escolher dois círculos da terceira coluna</p><p>e que estejam em linhas diferentes dos demais.</p><p>Total:</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>? 5</p><p>6 5</p><p>2</p><p>4 3</p><p>3</p><p>1 90</p><p>5. a.</p><p>Consideram-se n pontos, dentre os quais 5 estão</p><p>alinhados.</p><p>1o) Escolher 3 dentre os n pontos em destaque.</p><p>2o) Como tem-se 5 pontos alinhados, escolhem-se</p><p>3 dentre esses 5 pontos. Todos esses agrupamen-</p><p>tos devem ser retirados da contagem principal, já</p><p>que não formam triângulos.</p><p>⇒</p><p>n (n 1) (n 2)</p><p>n!</p><p>5 4 3</p><p>3!</p><p>110? 2 ? 2</p><p>2</p><p>? ?</p><p>5</p><p>⇒</p><p>n (n 1) (n 2)</p><p>3!</p><p>? 2 ? 2</p><p>5 120 ⇒ n ? (n 2 1) ? (n 2 2) 5</p><p>5 720 ⇒ n ? (n 2 1) ? (n 2 2) 5 10 ? 9 ? 8 ⇒ n 5 10</p><p>25</p><p>C</p><p>o</p><p>m</p><p>b</p><p>in</p><p>aç</p><p>õ</p><p>es</p><p>s</p><p>im</p><p>p</p><p>le</p><p>s</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>TE</p><p>M</p><p>Á</p><p>TI</p><p>C</p><p>A</p><p>I</p><p>M</p><p>—</p><p>d</p><p>u</p><p>lo</p><p>5</p><p>pH_EM2_C1_023a026_M5_Mat_MP.indd 25 4/30/16 2:56 PM</p><p>ANOTAÇÕES</p><p>DESENVOLVENDO HABILIDADES</p><p>3. c.</p><p>28 27 26 25 24 23 22</p><p>7!</p><p>21 20 19 18 17 16 15</p><p>7!</p><p>14 13 12 11 10 9 8</p><p>7!</p><p>7 6 5 4 3 2 1</p><p>7!</p><p>28!</p><p>(7!)4</p><p>? ? ? ? ? ?</p><p>?</p><p>?</p><p>? ? ? ? ? ?</p><p>?</p><p>?</p><p>? ? ? ? ? ?</p><p>?</p><p>?</p><p>? ? ? ? ? ?</p><p>5</p><p>4. a.</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>?</p><p>5</p><p>10 9</p><p>2!</p><p>8 7</p><p>2!</p><p>6 5</p><p>2!</p><p>4 3</p><p>2!</p><p>2 1</p><p>2!</p><p>10!</p><p>25</p><p>6. c.</p><p>1o) Se considerarmos que Clara é quem escolhe os</p><p>livros, então temos</p><p>C</p><p>9!</p><p>5!(9 5)!</p><p>9 8 7 6 5!</p><p>5! 4!</p><p>9 8 7 6</p><p>4 3 2 1</p><p>1629,5 5</p><p>2</p><p>5</p><p>? ? ? ?</p><p>?</p><p>5</p><p>? ? ?</p><p>? ? ?</p><p>5</p><p>2o) Se considerarmos que Alex é quem escolhe os</p><p>livros, então temos</p><p>C</p><p>9!</p><p>5!(9 4)!</p><p>9 8 7 6 5!</p><p>4! 5!</p><p>9 8 7 6</p><p>4 3 2 1</p><p>1629,5 5</p><p>2</p><p>5</p><p>? ? ? ?</p><p>?</p><p>5</p><p>? ? ?</p><p>? ? ?</p><p>5</p><p>Ou seja, as possibilidades de Clara fazer a escolha</p><p>entre os 5 livros são as mesmas de Alex fazer a es-</p><p>colha entre 4 livros.</p><p>9. b.</p><p>Primeiro é preciso escolher 2 entre os n times pos-</p><p>síveis.</p><p>C</p><p>n!</p><p>2!(n 2!)</p><p>n  (n 1) (n 2)!</p><p>2! (n 2)!</p><p>n (n 1)</p><p>2</p><p>n,2 5</p><p>2</p><p>5</p><p>? 2 ? 2</p><p>? 2</p><p>5</p><p>? 2</p><p>Como o campeonato é disputado em dois turnos,</p><p>todos os jogos acontecem duas vezes. Logo, a ex-</p><p>pressão deve ser multiplicada por 2.</p><p>2</p><p>n (n 1)</p><p>2</p><p>306 n (n 1) 306 n⇒ ⇒?</p><p>? 2</p><p>5 ? 2 5</p><p>n (n 1) 18 17 n 18⇒ ⇒ ⇒? 2 5 ? 5</p><p>APROFUNDANDO</p>