Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-367-369

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 Fazendo um esquema da situação, temos: 
 
 Pela figura acima, percebe-se que há 4 ângulos iguais a 𝛽 e 4 iguais a 2𝛽, formando um 
ângulo de 360°. Disso, temos: 
4𝛽 + 4(4𝛽) = 360° ⇒ 12𝛽 = 360° ⇒ 𝛽 = 30° 
 O próximo passo é encontrar o raio da circunferência. Para isso, observe a figura abaixo: 
 
 
 
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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 Nela, podemos observar que o lado do quadrado é igual a duas vezes a altura do triângulo 
destacado na figura: 
2(
𝑟√3
2
) = 2 ⇒ 𝑟 =
2
√3
 
 Perceba ainda que a área interna a ambos se constitui de 4 setores circulares de 30° e 4 
triângulos de ângulo 60° entre os lados de medida 𝑟. Logo: 
4 ∙ (
30
360
∙ 𝜋𝑟2) = 𝑟2 = (
2
√3
)
2
=
4
3
 
 Já que 𝜋 = 3. 
 Além disso: 
4 ∙ (
𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛 60°
2
) = 2 ∙ (
2
√3
)
2
∙
√3
2
=
6,8
3
 
 Já que √3 = 1,7. 
 Por fim, basta somar as áreas: 
4
3
+
6,8
3
=
10,8
3
= 3,6 
Gabarito: “e”. 
 
 
 
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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
191. (CN/2007) 
Deseja-se revestir uma área retangular, de 198 cm de comprimento e 165 cm de largura, com um 
número exato de lajotas quadradas, de tal forma que a medida do lado dessas lajotas, expressa por 
um número inteiro em cm, seja a maior possível. Quantas lajotas deverão ser usadas? 
a) 27 
b) 30 
c) 33 
d) 36 
e) 38 
Comentários 
 Do estudo da geometria plana, a área retangular é calculada por: 
198 ∙ 165 
 Queremos lajotas quadradas de lados inteiros. Seja 𝑙 o lado dessa lajota. Sua área é dada 
por 𝑙2. 
 Dessa forma, devemos fatorar a área para descobrir os possíveis lados que essa lajota pode 
ter. 
 Fatorando o número 198 ∙ 165: 
2 ∙ 32 ∙ 11 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11 
 Para termos o maior lado do quadrado possível, devemos agrupar a maior quantidade de 
fatores com expoente 2, isto é: 
(3 ∙ 11)2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 3 
 Observe que o lado da lajota deve ser 3 ∙ 11 = 33, de modo que o número de lajotas é 
dado por 2 ∙ 5 ∙ 3 = 30. 
Gabarito: “b”. 
192. (CN/2007) 
Dado um triângulo ABC de área 72, sobre a mediana AM = 12, traçam-se os segmentos AQ = 3 e QP 
= 6. Sabendo-se que E é o ponto de intersecção entre as retas BP e QC, qual é a área do triângulo 
QPE? 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 12