C1 Lista Semanal 13 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 13
Questão 1. Monte a integral para calcular
a) a área da região limitada pelo gráfico de f , pelas retas x = a, x = b e o eixo x.
b) a área da região limitada pelos gráficos f e g, pelas retas x = a e x = b.
Solução:
a) I) ∫ b
a
(f(x)− 0)dx =
∫ b
a
f(x)dx .
II) ∫ b
a
(0− f(x))dx = −
∫ b
a
f(x)dx =
∣∣∣∣ ∫ b
a
f(x)dx
∣∣∣∣ .
b) I) ∫ b
a
(f(x)− g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx−
∫ b
a
g(x)dx .
II) ∫ b
a
(f(x)− g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx−
∫ b
a
g(x)dx .
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 13
III) ∫ b
a
(f(x)− g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx−
∫ b
a
g(x)dx .
IV) ∫ c
a
(f(x)− g(x))dx+
∫ b
c
(g(x)− f(x))dx =
=
∫ c
a
f(x)dx−
∫ c
a
g(x)dx+
∫ b
c
g(x)dx−
∫ b
c
f(x)dx .
Questão 2. Seja A a região abaixo da curva f(x) = 2 sen(x/2) e seja B a região
abaixo da curva g(x) = 2 cos(x/2). Considerando o intervalo [0, π], calcule a área da
região
a) B. b) A ∩B. c) entre f e g.
Solução:
a) ∫ π
0
2 cos
(
x
2
)
dx =
[
4 sen
(
x
2
)]π
0
= 4 sen
(
π
2
)
− 4 sen
(
0
2
)
= 4u.a.
b) Descobrindo o valor de x para o qual g(x) = f(x), temos que
2 sen
(
x
2
)
= 2 cos
(
x
2
)
sen
(
x
2
)
= cos
(
x
2
)
Somente em x =
π
2
, nesse intervalo [0, π] satisfaz g(x) = f(x), visto que sen
(π
4
)
=
cos
(π
4
)
. Diante disso, a área da região A ∩ B será igual a soma das áreas: da
região abaixo da curva f no intervalo de
[
0,
π
2
]
e da região abaixo da curva g no
intervalo de
[π
2
, π
]
. Assim,
∫ π
2
0
2 sen
(
x
2
)
dx =
[
−4 cos
(
x
2
)]π
2
0
= −4 cos
(
π
4
)
+4 cos
(
0
2
)
=
(
−4
√
2
2
+4
)
u.a.
∫ π
π
2
2 cos
(
x
2
)
dx =
[
4 sen
(
x
2
)]π
π
2
= 4 sen
(
π
2
)
−4 sen
(
π
4
)
=
(
4−4
√
2
2
)
u.a.
Portanto ∫ π
2
0
2 sen
(
x
2
)
dx+
∫ π
π
2
2 cos
(
x
2
)
dx = (8− 4
√
2)u.a.
2
Cálculo I Lista de Exercícios 13
c) A área da região entre as curvas será igual a soma das áreas: da região abaixo de
g e acima da curva f no intervalo de [0, π
2
] e da região abaixo da curva f e acima
da curva g no intervalo de [π
2
, π]. Assim,∫ π
2
0
[
2 cos
(
x
2
)
− 2 sen
(
x
2
)]
dx =
[
4 sen
(
x
2
)
+ 4 cos
(
x
2
)]π
2
0
=
= 4 sen
(
π
4
)
− 4 sen
(
0
2
)
+ 4 cos
(
π
4
)
− 4 cos
(
0
2
)
= (4
√
2− 4)u.a.
e ∫ π
π
2
2 sen
(
x
2
)
− 2 cos
(
x
2
)
dx =
[
−4 cos
(
x
2
)
− 4 sen
(
x
2
)]π
π
2
=
= −4 cos
(
π
2
)
+ 4 cos
(
π
4
)
− 4 sen
(
π
2
)
+ 4 sen
(
π
4
)
= (−4 + 4
√
2)u.a.
Portanto∫ π
2
0
[
2 cos
(
x
2
)
−2 sen
(
x
2
)]
dx+
∫ π
π
2
[
2 sen
(
x
2
)
−2 cos
(
x
2
)]
dx = (8
√
2−8)u.a.
Questão 3. Considere a função F (x) =
∫ x
0
− 1√
1− t2
dt. Encontre F (0) e F
(π
4
)
.
Solução: Veja que
F (x) =
∫ x
0
− 1√
1− t2
dt =
[
arccos(t)
]x
0
= arccos(x)− arccos(0)
Assim,
F (0) =
∫ 0
0
− 1√
1− t2
dt = arccos(0)− arccos(0) = 0.
e
F
(π
4
)
= arccos
(
π
4
)
− arccos(0)
≈ 0, 667457216− π
2
≈ 0, 667457216− 1, 570796327
= −0, 903339111.
Questão 4. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
a)
∫
(
√
x+ 1)(x−
√
x+ 2)dx. b)
∫
x2 + 2x− 3x3
x2
dx.
Solução:
a) Fazendo a distributiva temos
(
√
x+ 1)(x−
√
x+ 2) = x
√
x+
√
x+ 2 = x
3
2 + x
1
2 + 2.
Assim,
3
Cálculo I Lista de Exercícios 13
∫
(
√
x+ 1)(x−
√
x+ 2)dx =
∫
(x
3
2 + x
1
2 + 2)
=
∫
x
3
2dx+
∫
x
1
2dx+
∫
2dx
=
x
5
2
5
2
+
x
3
2
3
2
+ 2x+K
=
2
5
x2
√
x+
2
3
x
√
x+ 2x+K, K ∈ R.
b) Usando propriedades de integral temos
∫
x2 + 2x− 3x3
x2
dx =
∫
x2
x2
dx+
∫
2x
x2
dx−
∫
3x3
x2
dx
=
∫
1dx+ 2
∫
1
x
dx− 3
∫
xdx
= x+ 2 ln |x| − 3x
2
2
+ C, C ∈ R
Questão 5. Se fmed[a, b] denota o valor médio de f no intervalo [a, b] e a < c < b,
mostre que
fmed[a, b] =
(c− a)
(b− a)
fmed[a, c] +
(b− c)
(b− a)
fmed[c, b].
Solução: Tomando c ∈ [a, b] podemos reescrever [a, b] = [a, c]∪ [c, b]. Desta forma,∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx.
Como a < c < b, então (b− a), (c− a) e (b− c) são não nulos, assim
1
(b− a)
∫ b
a
f(x)dx =
1
(b− a)
∫ c
a
f(x)dx+
1
(b− a)
∫ b
c
f(x)dx
fmed[a, b] =
1
(b− a)
∫ c
a
f(x)dx
(c− a)
(c− a)
+
1
(b− a)
∫ b
c
f(x)dx
(b− c)
(b− c)
fmed[a, b] =
(c− a)
(b− a)
fmed[a, c] +
(b− c)
(b− a)
fmed[c, b].
4
Cálculo I Lista de Exercícios 13
Questão extra: Dada a função f : [3,+∞[→ [1,+∞[, f(x) = x2 − 6x + 10 e
bijetora. Calcule ∫ 5
3
(f−1(x)− x)dx .
Após isso, desenhe a região de integração no plano xy.
Solução: Primeiramente, deve-se calcular f−1(x), temos que
y = x2 − 6x+ 10 → x2 − 6x+ 10− y = 0 → x2 − 6x+ (10− y) = 0
resolvendo essa equação do segundo grau,
∆ = 62 − 4 · 1 · (10− y) = 36− 40 + 4y = 4y − 4
então,
x =
6±
√
4y − 4
2
= 3±
√
y − 1
Assim, considerando apenas o sinal positivo de fora da raiz quadrada, visto que x ≥ 3,
temos que
x = 3 +
√
y − 1 → f−1(x) = 3 +
√
x− 1
Com isso,∫ 5
3
(3 +
√
x− 1− x)dx =
[
3x+
2
√
(x− 1)3
3
− x
2
2
]5
3
= 15 +
2 ·
√
64
3
− 25
2
−
(
9 +
2 ·
√
8
3
− 9
2
)
= 6 +
16
3
− 2
√
8
3
− 16
2
=
16
3
− 2
√
8
3
− 2
= 1, 44771525 .
Por fim, o esboço da região de integração será
em que a curva vermelha representa f−1(x) e a curva verde a reta y = x. A região
de integração está sombreada entre as duas curvas e limitada pelas retas x = 3 e
x = 5.
5