Aplicações da integral área entre duas curvas

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R721c Rogawski, Jon.
 Cálculo / Jon Rogawski ; tradução Claus Ivo Doering. –
 Porto Alegre : Bookman, 2009.
 v. 1 : il. ; 28 cm.
 ISBN 978-85-7780-270-8
 1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
CDU 571
Catalogação na publicação: Mônica Ballejo Canto – CRB 10/1023.
APLICAÇÕES DA INTEGRAL
A integral, como a derivada, tem uma grande variedade de aplicações. No capítulo anterior, utilizamos a integral para 
calcular áreas debaixo de curvas e variação líquida. Neste capí-
tulo, discutimos algumas das outras quantidades representadas 
por integrais, incluindo volume, valor médio, trabalho, massa 
total e fl uxo de fl uido.
6.1 Área entre duas curvas
Na Seção 5.2, aprendemos que a integral defi nida 
representa a área com sinal entre o gráfi co de f (x) e o eixo 
x, ao longo do intervalo [a, b]. Às vezes, estamos interes-
sados em calcular a área entre dois gráfi cos (Figura 1). Se 
 para , então o gráfi co de f (x) fi ca 
acima do gráfi co de g(x) e a região entre os dois gráfi cos pode 
ser obtida removendo a região debaixo de y = g(x) da região 
debaixo de y = f (x). Portanto,
 
x
y
bababa
A região entre os gráficos
x
y
x
y
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
f (x)
g(x)
■ EXEMPLO 1 Calcule a área da região entre os gráfi cos de
acima de [1, 3].
Solução Para calcular a área entre os gráfi cos, devemos primeiro determinar qual gráfi co 
está acima do outro. A Figura 2 mostra que . Podemos verifi car isso sem re-
correr ao gráfi co completando o quadrado:
FIGURA 1 A área entre os gráfi cos é 
uma diferença de duas áreas.
FIGURA 2 A região entre os 
gráfi cos de e 
, acima de [1, 3].
1 2 3 4
f (x) = x2 − 4x + 10
g(x) = 4x − x2
10
8
6
4
2
x
y
A tomografi a computadorizada é uma técnica 
matemática para combinar uma seqüência 
grande de raios X do corpo, tomados em 
ângulos diferentes, com o objetivo de formar 
uma só imagem da seção transversal.
6
302 CÁLCULO
Pela Equação (1), a área entre os gráfi cos é
 
■
Antes de continuar com mais exemplos, vamos usar somas de Riemann para explicar 
por que a Equação (1) permanece válida se mas f (x) e g(x) não forem neces-
sariamente positivas:
Lembre que P denota uma partição de [a, b]:
 é uma escolha de pontos intermediários, onde e 
. A i-ésima parcela na soma de Riemann é igual à área de um retângulo vertical 
fi no de altura e largura (Figura 3):
Portanto, R( f − g, P, C) é uma aproximação da área entre os gráfi cos usando retângulos 
verticais fi nos. Como a norma (o máximo das larguras dos retângulos) tende a zero, a 
soma de Riemann converge à área entre os gráfi cos e obtemos a Equação (1).
yba = g(x)
yal = f(x)
c1 c2 ci
x1
x
y
a = x0 xN = bxi−1 xi
Para ajudar a identifi car a função, às vezes denotamos o gráfi co de cima por 
e o gráfi co de baixo por :
■ EXEMPLO 2 Encontre a área entre os gráfi cos de e g(x) = x − 12, 
ao longo de [−2, 5].
Solução Para calcular a área, precisamos determinar primeiro qual gráfi co está acima.
FIGURA 3 O i-ésimo retângulo tem 
largura e altura 
.
Lembre que é a altura de 
uma fatia vertical fi na da região.
CAPÍTULO 6 Aplicações da Integral 303
Passo 1. Esboçar a região (especialmente, quaisquer pontos de interseção).
Sabemos que y = f (x) é uma parábola que corta o eixo y em −7 e y = g(x) é uma reta 
que corta o eixo y em −12. Para determinar onde os gráfi cos intersectam, resolvemos 
f (x) = g(x):
Assim, os pontos de interseção são x = 1 e 5 (Figura 4).
Passo 2. Montar as integrais e calcular.
A Figura 4 mostra que
Portanto, escrevemos a área como uma soma de integrais nesses dois intervalos:
 
■
■ EXEMPLO 3 Calculando área dividindo a região Encontre a área da região delimitada 
pelos gráfi cos de , y = 8x e y = x.
Solução
Passo 1. Esboçar a região (especialmente, quaisquer pontos de interseção).
A curva corta fora uma região no setor entre as duas retas y = 8x e y = x 
(Figura 5). Para encontrar a interseção de e y = 8x, resolvemos
y = 8x
y = ––
y = x
8
x2
y = 8x
y = x
y = ––
y = x
8
x2
x
y
1 2
8
2
8
2
8
2
x
y
1 2
x
y
BA
1 2
No Exemplo 2, encontramos os 
pontos de interseção dos gráfi cos 
algebricamente. Para funções mais 
complicadas, pode ser preciso utilizar 
um sistema algébrico computacional.
FIGURA 5 A área delimitada por 
, y = 8x e y = x como uma 
soma de duas áreas.
FIGURA 4
f(x) = x2 − 5x − 7
g(x) = x − 12
x
y
1 5−2
−7
−12
304 CÁLCULO
Para encontrar a interseção de e y = x, resolvemos
Passo 2. Montar as integrais e calcular.
A Figura 5 mostra que , mas troca em x = 1 de para .
Portanto, dividimos a região em duas partes, A e B, e calculamos as áreas separa-
damente:
A área total delimitada pelas curvas é a soma . ■
Integração ao longo do eixo y
Suponha que x seja dado como função de y, digamos, x = g(y). Qual é o signifi cado da 
integral ? Essa integral pode ser interpretada como uma área com sinal, em 
que regiões à direita do eixo y têm área positiva e regiões à esquerda têm área negativa:
A Figura 6(A) mostra o gráfi co de . A região à esquerda do eixo y tem área 
negativa. A integral é igual à área com sinal:
2
1
−2
−1
−
−
+
+
x = y2 − 1
(A) A região entre x = y2 − 1
 e o eixo y.
(B) A região entre x = g2(y)
 e x = g1(y)
d
c
y
Δy
x
x
xdi = g2(y)
xdi − x es
xes = g1(y)
y
FIGURA 6
CAPÍTULO 6 Aplicações da Integral 305
Mais geralmente, se , como na Figura 6(B), então o gráfi co de 
fi ca à direita do gráfi co de . Como um lembrete, escrevemos e 
. A área entre os dois gráfi cos, ao longo de , é igual a
 
Nesse caso, as somas de Riemann aproximam a área com retângulos horizontais fi nos de 
largura e altura �y.
■ EXEMPLO 4 Calcule a área entre os gráfi cos de e 
para .
Solução Confi rmamos que , como mostra a Figura 7:
Portanto, e e a área é
 
■
6.1 RESUMO
Se • em [a, b], então a área entre os gráfi cos de f e g, ao longo de [a, b], é
Para calcular a área entre dois gráfi cos • y = f (x) e y = g(x), esboçamos a região para en-
contrar . Se necessário, procuramos os pontos de interseção resolvendo f (x) = g(x).
A integral • ao longo do eixo y é igual à área com sinal entre o gráfi co e 
o eixo y, ao longo de c ≤ y ≤ d, onde a área à direita do eixo y é positiva e a área à 
esquerda é negativa.
Se • , então o gráfi co de fi ca à direita do gráfi co de 
e a área entre os gráfi cos, ao longo de c ≤ y ≤ d, é
FIGURA 7 A região entre
 e 
 para .
2
−2
y
x
xdi = y3+ y2 + 8
xes = y3 − 4y
Seria mais difícil calcular a área na 
Figura 7 como uma integral em relação 
a x, pois as curvas não são gráfi cos de 
funções de x.
 1. Qual é a interpretação de área de se 
?
 2. Será que ainda é igual à área entre os grá-
fi cos de f e g se mas ?
6.1 EXERCÍCIOS
Exercícios preliminares
306 CÁLCULO
 3. Suponha que em [0, 3] e em [3, 5]. 
Expresse a área entre os gráfi cos, ao longo de [0, 5], como uma 
soma de integrais.
 4. Suponha que o gráfi co de x = f (y) fi que à esquerda do eixo y. 
Será positiva ou negativa?
 1. Encontre a área da região entre e y = 4x + 4, ao 
longo de [−3, 3] (Figura 8).
FIGURA 8
50
25
y
x
y = 3x2 + 12
y = 4x + 4
3−1−2−3 1 2
 2. Calcule a área da região na Figura 9(A), que fi ca entre 
e y = −2, ao longo de [−2, 2].
FIGURA 9
y
x
2−2 −2
−2 −2
y
x
1
y = 2 − x2 y = 2 − x2
y = x
)B()A(
y = −2
 3. Sejam f (x) = x e [Figura 9(B)].
 (a) Encontre os pontos de interseção dos gráfi cos.
 (b) Encontre a área englobada pelos gráfi cos de f e g.
 4. Sejam f (x) = 8x − 10 e .
 (a) Encontre os pontos de interseção dos gráfi cos.
 (b) Calcule a área da região abaixo do gráfi co de f e acima do gráfi co 
de g.
Nos Exercícios 5-7, encontre a área entre y = sen x e y = cos x, ao 
longo do intervalo dado. Esboce as curvas, se necessário.
 5. 6. 7. 
Nos Exercícios 8-10, sejam e .
 8. Encontre a área entre os gráfi cos de f e g ao longo de [1, 3].
 9. Encontre a área da região englobada pelos dois gráfi cos.
 10. Calcule a área da região entre os dois gráfi cosao longo de [4, 8] 
como uma soma de duas integrais.
Nos Exercícios 11-14, encontre a área da região destacada na fi gura.
 11. 
FIGURA 10
y
x
2
y = 3x2 + 4x − 10
y = x3 − 2x2 + 10
−2
 12. 
FIGURA 11
x
y = sen x
y = sen 2x
ππ
2
y
1
−1
 13. 
FIGURA 12
1
−1
x
y
y = x 1 − x2
y = − x 1
2
 14. 
FIGURA 13
x
y
y = cos x
π
6
3
2 , ) 
π
3
1
2, ) 
π
6
π
3
π
2
 15. Encontre a área da região englobada pelas curvas e 
.
 16. Encontre a área da região englobada pela parábola semicúbica 
 e a reta x = 1.
Exercícios
CAPÍTULO 6 Aplicações da Integral 307
Nos Exercícios 17-18, encontre a área entre os gráfi cos de x = sen y e 
x = 1 − cos y ao longo do intervalo dado (Figura 14).
FIGURA 14
x = 1 − cos y
x = sen y
x
y
− π
2
π
2
 17. 18. 
 19. Encontre a área da região que fi ca à direita de 
e à esquerda de x = 3y + 8.
 20. Encontre a área da região que fi ca à direita de e à 
esquerda de .
 21. Calcule a área englobada por e x = 5 de duas manei-
ras: como uma integral ao longo do eixo y e como uma integral 
ao longo do eixo x.
 22. A Figura 15 mostra os gráfi cos de e 
. Combine as equações com as curvas e calcule a 
área da região destacada.
FIGURA 15
x
y
3
−1
−5
Nos Exercícios 23-24, encontre a área da região indicada usando o 
método (integração ao longo de um dos eixos x ou y) que exija o cál-
culo de somente uma integral.
 23. A região entre e .
 24. A região entre y = x e x + y = 8 acima de [2, 3].
Nos Exercícios 25-41, esboce a região englobada pelas curvas dadas 
e calcule sua área como uma integral ao longo do eixo x ou y.
 25. 
 26. eixo y.
 27. 
 28. 
 29. 
 30. 
 31. 
 32. 
 33. 
 34. 
 35. 
 36. 
 37. 
 38. 
 39. (na região x > 0)
 40. 
 41. 
 42. Esboce e no mesmo par de ei-
xos. Use um sistema algébrico computacional para encontrar nume-
ricamente os pontos de interseção e calcule a área entre as curvas.
 43. Esboce a região cuja área é representada por
 e calcule-a usando Geometria.
 44. Duas atletas correm no mesmo sentido ao longo de uma 
pista reta com velocidades e (em m/s). Suponha que
 (a) Dê uma interpretação verbal da integral .
 (b) Dispomos de informação sufi ciente para determinar a distância 
entre as duas atletas no instante t = 5 s?
 (c) Se as atletas começam no mesmo lugar no mesmo instante, quão 
adiante está a atleta 1 no instante t = 20 s?
 (d) Suponha que a atleta 1 esteja 8 m adiante em t = 30 s. Quão 
adiante ou atrás ela está em t = 35 s?
 45. Expresse a área (não com sinal) da região destacada na Figura 16 
como uma soma de três integrais envolvendo as funções f e g.
308 CÁLCULO
FIGURA 16
x
y
g(x)
f(x)
3 5 9
 46. Encontre a área englobada pelas curvas e 
como uma função de c. Encontre o valor de c para o qual essa 
área é 1.
 47. Monte (mas não calcule) uma integral que expresse a área entre 
os círculos e .
 48. Monte (mas não calcule) uma integral que expresse a área entre 
os gráfi cos de e .
 49. Encontre uma aproximação numérica da área acima de 
 e abaixo de y = sen x (encontre numericamente 
os pontos de interseção).
 50. Encontre uma aproximação numérica da área acima de
y = |x| e abaixo de y = cos x.
 51. Use um sistema algébrico computacional para encontrar 
uma aproximação numérica do número c (exceto zero) em , 
onde se intersectam as curvas y = sen x e . Em seguida, 
encontre a área englobada pelos gráfi cos ao longo de [0, c].
 52. O fundo do violão de João (Figura 17) tem um comprimento de 
19 polegadas. Ele mediu as larguras com intervalos de 1 polega-
da, começando e terminando polegada das extremidades, obten-
do as larguras
6; 9; 10,25; 10,75; 10,75; 10,25; 9,75; 9,5; 10; 11,25;
12,75; 13,75; 14,25; 14,5; 14,5; 14; 13,25; 11,25; 9
 Use a aproximação pelo meio para obter uma estimativa da área 
do fundo do violão.
FIGURA 17 O fundo do violão.
10
,7
5
11
,2
5
9
10
,2
5
96
 53. Encontre a reta y = mx que divide a área sob a curva y = x(1 − x) 
acima de [0, 1] em duas regiões de mesma área.
 54. Seja c o número tal que a área sob y = sen x, acima de 
, seja dividida ao meio pela reta y = cx (Figura 18). Encon-
tre uma equação para c e resolva essa equação numericamente 
usando um sistema algébrico computacional.
 55. Explique geometricamente (sem fazer contas) por que a 
equação seguinte é válida para qualquer n > 0:
Compreensão adicional e desafi os
FIGURA 18
y = sen x y = cx
x
1
ππ
2
y
6.2 Montando integrais: volume, densidade, valor médio
Nessa seção, usamos a integral para calcular quantidades tais como volume, massa total 
e fl uxo de fl uido. O que essas diversas aplicações têm em comum é que as quantidades 
relevantes são aproximadas por uma soma de Riemann que, então, é passada ao limite 
para fornecer o valor exato.
Volume
Começamos mostrando como a integração pode ser usada para calcular o volume de um 
corpo sólido. Antes de continuar, lembremos que o volume de um cilindro reto (Figura 
1) é Ah, onde A é a área da base e h é a altura, medida perpendicularmente à base. Aqui 
usamos o termo “cilindro” num sentido geral; a base não precisa ser circular.
O termo “sólido” ou “corpo sólido” se 
refere a um objeto sólido tridimensional.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
	Capa
	Aplicações da integral
	Área entre duas curvas
	Integração ao longo do eixo y
	Resumo
	Exercícios