Questão resolvida - Determine, usando integral dupla, a área entre as curvas y=cos(x) e y=sen(x) de 0 a pi_2 - Integral dupla - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine, usando integral dupla, a área entre as curvas e de y = cos x( ) y = sen x( )
0 a . 
𝜋
2
 
Resolução:
 
Primeiro vamos fazer a intercessão entre as curvas;
 
cos x = sen x( ) ( )
Essa igualdade ocorre em como podemos ver na tabela de ângulos notáveis a seguir;x =
𝜋
4
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Conhecendo interseção e substituindo alguns pontos nas funções e (como: , cos x( ) sen x( )
𝜋
2
 e ) podemos construir o gráfico com a região que devemos encontrar a área, com visto 
𝜋
3
𝜋
posteriormente;
 
 
 A área por integrais duplas é dada por;
 
A = dA∫
R
∫
 
Temos que: e os limites de integração vão, em y, da curva de baixo até a curva dA = dxdy
de cima. Perceba que a área é formada por 2 partes, na primeira parte a curva de baixo é 
 e a de cima é , na segunda parte isso se inverte. Ainda, como a região é sen x( ) cos x( )
formada por 2 partes, em x, o limite de integração vai de 0 a e de a . Dessa forma, a 
𝜋
4
𝜋
4
𝜋
2
integral dupla da área fica;
 
A = dydx + dydx
0
∫
𝜋
4∫
cos x( )
sen x( )
∫
𝜋
2
𝜋
4
∫
sen x( )
cos x( )
Veja que, pela simetria da figura, as duas partes da região são iguais, assim, podemos 
reduzir a integral dupla da área a apenas uma;
 
 
 
A = 2 dydx
0
∫
𝜋
4∫
cos x( )
sen x( )
Resolvendo, temos;
 
A = 2 dydx = 2 y dx = 2 cos x - sen x dx = 2 sen x - -cos x
0
∫
𝜋
4∫
cos x( )
sen x( ) 0
∫
𝜋
4
cos x
sen x
( )
( ) 0
∫
𝜋
4
( ( ) ( )) ( ( ) ( ( ))
0
𝜋
4
 
A = 2 sen x + cos x( ( ) ( ))
0
𝜋
4
 
A = 2 sen + cos - sen 0 + cos 0 =
𝜋
4
𝜋
4
( ( ) ( ))
 
A = 2 + - 0 - 1 = 2 - 1 = 2 - 1
2
2
2
2 +
2
2 2 2
2
2
 
A = 2 - 1 u. a.2
 
 
(Resposta )