Livro 1 - Mat e Nat-103-108

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MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 1
08. Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de 
papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 
30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse 
retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, 
foram dobradas para cima as abas resultantes. Determine a 
medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço 
de papelão, para que a caixa formada tenha área lateral de 
204 cm2.
A) 1 cm B) 2 cm
C) 3 cm D) 4 cm
E) 5 cm
09. Mariana gosta muito de desenhar, mas sempre usando formas 
geométricas. Ao iniciar um novo desenho, Mariana traçou um par 
de eixos perpendiculares e construiu quatro círculos idênticos com 
raio medindo 2 cm. Cada círculo é tangente a apenas um eixo e a 
intersecção dos quatro círculos coincide com a intersecção dos eixos.
A seguir, Mariana desenhou um quadrado cujos vértices estão sobre 
os eixos.
Ela decidiu apagar parte da fi gura, fi cando apenas com a “fl or” 
formada pelos arcos das circunferências.
É correto afi rmar que o perímetro da “fl or” do desenho de 
Mariana, em cm, mede
A) 2p B) 4p
C) 8p D) 16p
E) 18p
10. Para realizar um evento, em um local que tem a forma de um 
quadrado com 60 metros de lado, foi colocado um palco em 
forma de um setor circular, com 20 metros de raio e 40 metros 
de comprimento de arco. Adotando-se p = 3 e considerando 
que a ocupação média por metro quadrado é de 5 pessoas 
na plateia, o número mais próximo de pessoas presentes, 
na plateia, é
A) 10 mil B) 16 mil
C) 8 mil D) 11 mil
E) 14 mil
Fique de Olho
• (Udesc/2012.1) Em uma praça de alimentação retangular, com 
dimensões 12 m por 16 m, as mesas estão dispostas em fi leiras 
paralelas às laterais do ambiente, conforme o esquema da fi gura, 
sendo as linhas destacadas os corredores entre as mesas.
12 m
16 m
Praça de alimentação
A B
D C
Pela disposição das mesas, existem várias maneiras de se chegar 
do ponto A ao ponto C, movendo-se apenas pelos corredores. 
Seguindo-se o caminho destacado e desprezando-se a largura 
dos corredores, a distância percorrida é
 A) 12 m B) 16 m
 C) 20 m D) 24 m
 E) 28 m
Solução:
 Observe que a linha destacada é formada por segmentos 
horizontais e verticais que ligam os pontos A e C. Então a 
distância percorrida é dada pela soma das dimensões da praça 
de alimentação, ou seja, 16 + 12 = 28 m.
Aula 02: 
Postulados e Teoremas da 
Geometria Plana
A Geometria é um ramo da Matemática que estuda as 
fi guras geométricas e suas propriedades. A partir de conceitos não 
defi nidos, chamados noções primitivas, estabelecem-se as relações 
existentes entre os objetos, denominadas propriedades.
Algumas das propriedades podem ser obtidas a partir de 
outras, por meio de dedução lógica.
As propriedades que servem como ponto de partida 
para esse processo de dedução recebem o nome de postulados, 
propriedades primitivas ou axiomas. As propriedades deduzidas a 
partir dos postulados são chamadas teoremas.
Exemplos de axiomas:
• Por um ponto P passam infi nitas retas.
00
87
-M
12
-B
G
P
C-2 H-7, 8
C-3 H-12Aula
02
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MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 1
• Dois pontos distintos, P e Q, determinam uma única reta.
P
Q
Exemplos de teoremas:
• Se a e b são o.p.v, então a = b.
 Justifi cativa:
a b
x
Veja que:
a + x = b + x = raso → a = b
• Se a2 = b2 + c2, com a, b e c positivos → a > b e a > c.
 Justifi cativa:
I) a b c a b c a b a b c c2 2 2 2 2 2= + → − = → +( ) ⋅ −( ) = ⋅ →
+
+

→ a – b é positivo → a – b > 0 → a > b.
II) a b c a c b a c a c b b2 2 2 2 2 2= + → − = → +( )⋅ −( )= ⋅ →
+
+

→ a – c é positivo → a – c > 0 → a > c.
Paralelismo
b
a
d
c
f
e
h
g
• Ângulos determinados por duas 
paralelas cortadas por uma transversal.
Duas retas paralelas cortadas por 
uma transversal determinam um plano e 
oito ângulos.
Classifi cação
• Correspondentes: {(a, e); (b, f); (c, g); (d, h)}
• Opostos pelos vértices: {(a, c); (b, d); (e, g); (f, h)}
• Alternos 
internos {(c, e); (d, f)}
externos {(a, g); (b, h)}



• Colaterais internos {(c, f); (d, e)}
externos {(a, h); (b, g)}



Nota:
• Os ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos 
e opostos pelos vértices são congruentes (medidas iguais).
• Os ângulos colaterais internos e colaterais externos são 
suplementares (soma igual a 180º).
Compreensão da propriedade
b
b
a
a
A
D
B
C
I) ABCD é um retângulo;
II) Sua diagonal BD determina dois triângulos retângulos BAD e 
DCB, iguais;
III) Fazendo a superposição dos triângulos citados, temos que:
ABD BDC
ADB CBD
alternos iguais
ˆ ˆ
ˆ ˆ , .
≡
≡


⇒ internos
Consequência
A
B C
α1
α1
α2
α3
α3
r
s
r//s (paralelas)
A soma dos ângulos internos de um ∆ABC qualquer é igual a 180º.
Um notável teorema da geometria
00
93
-M
12
-B
G
A B E
C
D
a ab
b
c
c
α
α
θ
θ
I) ∆CAB ≡ ∆BED (sobreposição, evidente)
II) Área(∆CAB) + Área(∆DEB) + Área(∆CBD) = Área (trapézio ACDE)
 Então: c b c b a a
b c b c⋅
+
⋅
+
⋅
=
+( ) ⋅ +( )
2 2 2 2
Simplifi cando, obtemos:
 a2 = b2 + c2 (Relação de Pitágoras)
Exercícios de Fixação
01. Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha 
usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual 
servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar 
uma calota esférica do melão, conforme ilustra a fi gura, e, 
para garantir a estabilidade deste suporte, difi cultando que o 
melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte, de modo que 
o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. 
Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível 
da região em que serão afi xados os doces.
O
A B
Calota a ser cortada
e eliminada
A parte hachurada
será apoiada na mesa
Região onde serão
afixados os doces
r
h
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Anual – Volume 1
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a 
calota do melão em uma altura h, em centímetro, igual a
A) 5
91
2
− B) 10 91−
C) 1 D) 4
E) 5
02. Para introduzir um tópico de geometria, um professor propôs 
aos seus alunos uma atividade envolvendo dobradura, seguindo 
os passos a seguir:
1º passo
10 cm10 cm
10 cm10 cm
2º passo
x
3º passo
x
Nesse caso, a medida x, em centímetros, é igual a
A) 10 2 1+( ). B) 10 2 2+( ).
C) 10 2 1−( ). D) 10 2 2−( ).
E) 10 2 3+( ).
03. Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam 
expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de 
segurança é que a base da escultura esteja integralmente 
apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o 
equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que 
será fi xada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico 
do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a 
plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar, 
de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
A) R ≥ L/ 2 B) R ≥ 2L/p
C) R ≥ L/ π D) R ≥L/2
E) R ≥ L/(2 2)
04. Eva é aluna do curso de Construção Naval do campus Ipojuca 
e tem mania de construir barquinhos de papel. Durante a 
aula de desenho técnico, resolveu medir os ângulos do último 
barquinho que fez, representado na imagem a seguir.
61°
67° 60°
sr
α
Sabendo que as retas suportes, r e s, são paralelas, qual a 
medida do ângulo a destacado?
A) 67° 
B) 65º
C) 61° 
D) 60°
E) 59°
05. Um raio de luz é refl etido por três espelhos planos, dois dos 
quais são paralelos, como mostra a fi gura a seguir:
50º
100º
a
Lembrando que o raio de luz é refl etido por um espelho 
segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo de 
refl exão é igual ao ângulo de incidência, o valor a é, em graus,
A) 65 B) 70
C) 80 D) 85
E) 90
Exercícios Propostos
01. (CMBH) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas.
O complemento do ângulo a vale
r
30º
A C E
40º 50º
50º45º
B D F
s
α
A) 25° B) 30°
C) 65° D) 60°
E) 70°
02. (UFSCar) Um programa de rádio é gerado em umacidade plana, 
a partir de uma central C localizada 40 km a leste e 20 km a 
norte da antena de transmissão T, e C envia o sinal de rádio para 
T, que, em seguida, o transmite em todas as direções, a uma 
distância máxima de 60 km. O ponto mais a leste de C, que está 
20 km a norte de T e poderá receber o sinal da rádio, está a 
uma distância de C, em km, igual a
A) 20 ( 2 – 1)
B) 30 ( 3 – 1)
C) 40 ( 2 –1)
D) 40 ( 3 –1)
E) 50 (2 – 2 )
A
D
CB
x
03. (EF-SP) Quando um raio de luz é 
refletido em uma superfície lisa, 
o ângu lo fo rmado pe lo r a io 
inc idente com a super f í c ie é 
congruente ao ângulo formado 
pelo raio refl etido com a superfície.
Na figura, os ângulos ABC e BCD 
medem, respectivamente, 90° e 70°, 
e o raio incidente faz um ângulo de 
medida x = 30° com a superfície AB. 
Sob que ângulo o raio incide em AB na segunda vez?
A) 40° B) 50°
C) 60° D) 70°
E) 80°
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MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 1
04. Diante da atual crise de mobilidade pela qual passam os 
moradores de sua cidade, Carlos decidiu ir trabalhar sempre a 
pé, fazendo a trajetória descrita por uma reunião de segmentos 
horizontais e verticais, conforme a fi gura a seguir.
80 m
Casa
100 m
50 m
100 m
50 m
30 m
Trabalho
Ao constatar que caminhava uma distância longa até o trabalho, 
certo dia pensou:
 — Se eu fi zesse esse caminho em linha reta, quantos metros 
a menos caminharia?
Assinale a alternativa que responde à pergunta de Carlos.
A) 325 m B) 250 m
C) 160 m D) 150 m
E) 130 m
05. Considere um rio, cujas margens são retas e paralelas. A largura 
desse rio é 28 metros. Um barco sai de uma das margens desse 
rio de um local chamado ponto A e atravessa o rio em um 
trajeto diagonal com 56 metros de comprimento, chegando à 
outra margem em um local chamado ponto B.
 Considere: 2 1 41 3 1 73 5 2 24= = =, ; , ; ,
Qual é a distância na horizontal entre os pontos A e B,
se o ponto A for projetado perpendicularmente sobre a outra 
margem do rio?
A) 19,03 m B) 27,62 m
C) 34,48 m D) 39,48 m
E) 48,44 m
06. (FGV) Qual é a profundidade de uma lagoa com a forma de 
um círculo, de área 49,6 pés quadrados, se um caniço que 
cresce no centro e se estende 1 pé para fora da água atinge 
exatamente a superfície, se puxado pela ponta para a margem 
da lagoa, sem arrancá-lo? Use a aproximação p = 3,1.
A) 4,5 pés B) 5,5 pés
C) 6,5 pés D) 7,5 pés
E) 8,5 pés
07. (IFPE/2016) Francisco decidiu fazer uma brincadeira com seus 
fi lhos. Montou um mapa do tesouro com algumas instruções e 
disse-lhes que, ao chegar ao ponto fi nal, encontrariam um belo 
prêmio. As instruções foram: 
1. Ande 200 metros na direção NORTE;
2. Ande 120 metros na direção LESTE;
3. Ande 50 metros na direção SUL;
4. Ande 40 metros na direção OESTE. 
Luiz, um de seus fi lhos, decidiu colocar 
em prática o que acabara de aprender 
na escola. Em alguns minutos, ele 
descobriu qual seria a menor distância entre o ponto de partida 
e o ponto de chegada mostrados no mapa.
O L
N
S
Re
pr
od
uç
ão
/IF
PE
 2
01
6
 Assim sendo, a distância calculada por Luiz foi de
A) 170 metros. 
B) 150 metros.
C) 180 metros. 
D) 200 metros.
E) 210 metros.
08. Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos 
pontos médios das arestas de uma peça cúbica, conforme a 
fi gura a seguir.
Se a aresta do cubo é dada por 2 2 cm, a área da secção plana 
representada pelo hexágono é
A) 6 cm2
B) 4 2 cm2
C) 4 3 cm2
D) 6 3 cm2
E) 8 3 cm2
09. Um engenheiro deseja projetar uma ponte estaiada para 
ligar duas cidades vizinhas. Ele precisa instalar 8 cabos de 
sustentação que ligam uma torre (vertical) à parte horizontal 
da ponte, e dispõe de 1400 metros de cabo para isso. Os cabos 
devem ser fi xados à mesma distância um do outro, tanto na 
torre quanto na parte horizontal. Assim, a distância da base 
da torre ao primeiro ponto de fi xação vertical deve ser igual 
à distância entre dois pontos de fi xação vertical consecutivos. 
Essa mesma distância deve ser utilizada da base da torre ao 
primeiro ponto de fi xação horizontal e entre os pontos de 
fi xação horizontal consecutivos, conforme mostra a fi gura a 
seguir:
 Dado: 2 1 41≅ ,
Cabo de
sustentação
A distância, em metros, entre dois pontos consecutivos de 
fi xação desses cabos deve ser, aproximadamente, de
A) 49,5
B) 70,0
C) 98,5
D) 100,0
E) 110,0
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MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 1
10. Duas crianças, cada uma em um prédio diferente, brincam com 
canetas lasers nas janelas de seus apartamentos, apontando 
para um ponto na quadra situada entre os prédios. A criança 
do prédio A está a uma altura de 10 m, e a do prédio B, a uma 
altura de 20 m do chão. A distância entre os prédios é de 50 m.
Em um determinado momento, os lasers das crianças atingem, 
simultaneamente, um ponto P do pátio equidistante das 
crianças, tal como na ilustração a seguir:
10
 m
20
 m
P
50 m
prédio A prédio B
x
A distância x, em metros, deste ponto até o prédio B é
A) 22
B) 23
C) 25
D) 28
E) 29
Fique de Olho
No plano, considere três retas paralelas: r
1
, r
2
, r
3
, com r
2
 entre r
1
 e r
3
e a distância entre r
1
 e r
3
 igual a 6 m. Se P e Q são pontos distintos 
na reta r
2
, M é um ponto na reta r
1
 e N é um ponto da reta r
3
, de 
tal forma que as medidas das áreas dos triângulos PQM e PQN são, 
respectivamente, 10 m2 e 5 m2. Então a medida do segmento PQ é
A) 3 m
B) 4 m
C) 5 m
D) 6 m
E) 7 m
Solução:
Q
M
P
N
h
1
h
2
r
1
r
2
r
3
∆
∆
PMQ rea
PQ h
PQ h
PNQ rea
PQ h
PQ h
→ →
⋅
= ∴ ⋅ =
→ →
⋅
= ∴ ⋅ =
Á
Á
1
1
2
2
2
10 20
2
5 10
(I)
(( )II
Dividindo (I) por (II), temos: 
h
h
h h1
2
1 22 2= → = .
Como h
1
 + h
2
 = 6, então: 2h
2
 + h
2
 = 6 → h
2
 = 2.
Logo, substituindo em (II), concluímos: PQ · 2 = 10 → PQ = 5 m
Resposta: C
Aula 03: 
Ângulos na Circunferência
Introdução
Considerando uma reta do plano de uma circunferência,
sua posição em relação a essa circunferência pode ser:
• Externa: não intersecta a circunferência.
• Tangente: intersecta a circunferência em um único ponto.
• Secante: intersecta a circunferência em dois pontos distintos.
Para a resolução, com desenvoltura, de situações-problema 
relativas a áreas e ângulos na circunferência, é de fundamental 
importância o reconhecimento dos ângulos formados por 
retas secantes e/ou tangentes, bem como o conhecimento das 
relações existentes entre as medidas das áreas determinadas na 
circunferência por esses retas.
Dependendo das retas que as formam e da posição do 
vértice no círculo, os ângulos recebem nomes espécies. Veja a seguir:
Ângulo central
O: centro
α = ( )m AB
a é chamado de central.
A
B
O α
Ângulo inscrito
B
A
O αP
O: centro
Propriedade: β α=
2
β é chamado de inscrito.
Arco capaz
A
B
α
α
α
P
P´
P´´
α =
( )m AB
2
Observação:
Todo triângulo inscrito em um semicírculo é retângulo.
C-2 H-7, 8
C-3 H-12Aula
03
97
MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 1
B A
O
O: centro
Ângulo de segmento ou semi-inscrito
α =
2
m( )
)
AB
A
B
α
semirreta tangente
 α é chamado de ângulo de segmento.
Ângulo excêntrico interior
D
C
A
B
α α =
2
m( )) )AB ( )CD+m
Observação:
Também chamado de excêntrico interno.
Ângulo excêntrico exterior
01
13
-M
12
-B
G
A
A
C
C
B
B
PP
D
α
a = ângulo excêntrico exterior
α =
( ) − ( )m AB m CD 
2
01
13
-M
12
-B
G
A
A
C
C
B
B
PP
D
α
θ = ângulo excêntrico exterior
θ =
( ) − ( )m CB m AB 
2
A
P
B
N Mβ
β = ângulo circunscrito.
β =
( ) − ( )m AMB m ANB 
2
• Consequência: em todo quadrilátero inscrito em uma 
circunferência, a soma dos ângulos opostos é igual a 180º.
01
15
-M
12
-B
G
A B
C
D
 + B = 180º C + D = 180ºou
 B+ =ˆ º180
ou
ˆ ˆ ºC D+ = 180
Exercícios de Fixação
01. Sobre um sistema cartesiano, considera-se uma malha formada 
por circunferências de raios com medidas dadas por números 
naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, 
separadas por ângulos de 
π
6
rad, conforme fi gura.A
y
x
B
1 –1 0
 –1
 –2
 –3
 –4
 –5
 –6
 –2 –3 –4 –5 –6
1
2
3
4
5
6
2 3 4 5 6
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas 
e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela 
origem (0; 0).
 Considere o valor de p com aproximação de, pelo menos, uma 
casa decimal.
 Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, 
do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma 
distância igual a