Matemática - 555 - Geometria Plana

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GEOMETRIA
PLANA
MÓDULO 14 | GEOMETRIA PLANA
ÂNGULOS
Duas semirretas de mesma origem “o” separam o 
plano que as contém em duas regiões. A reunião 
dessas semirretas com qualquer uma dessas regiões 
é chamada de ângulo.
As semirretas OA e OB determinam dois ângulos e 
são os lados desses. Cada um desses ângulos pode 
ser simbolizado por AÔB ou BÔA.
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
ÂNGULO AGUDO: ângulo de medida entre 0º e 90º.
ÂNGULO RETO: ângulo de medida 90º.
ÂNGULO OBTUSO: ângulo de medida entre 90º e 180º.
ÂNGULO RASO: ângulo de medida 180º.
— Ângulos congruentes têm a mesma medida, 
e indicamos por A ≡ B.
— Dois ângulos são complementares quando a 
soma de suas medidas é 90°.
— Dois ângulos são suplementares quando a 
soma de suas medidas é 180º.
— Dois ângulos são replementares quando a 
soma de suas medidas é 360°.
FEIXE DE RETAS PARALELAS
Feixe de retas paralelas (//) é um conjunto de retas 
distintas de um plano, paralelas entre si. As retas r, 
s e t constituem um feixe de retas paralelas.
TRANSVERSAL AO FEIXE
Transversal ao feixe de retas paralelas é uma reta 
do plano que intersecta todas as retas do feixe. Na 
figura, a reta t é transversal ao feixe.
Quando duas retas paralelas quaisquer, r e s, são 
cortadas por uma transversal t, formamos oito 
ângulos.
GEOMETRIA PLANA
— Os ângulos c, d, 1 e 2 estão entre as retas para-
lelas – ângulos internos.
— Os ângulos a, b, 3 e 4 estão fora das retas para-
lelas – ângulos externos.
— Os ângulos d e 2 assim como os ângulos c e 1 são 
chamados de ângulos alternos internos.
— Os ângulos a e 3 assim como os ângulos b e 4 são 
chamados de ângulos alternos externos. 
— Ângulos alternos internos e os alternos externos 
são congruentes.
TEOREMA DE TALES
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas 
transversais, os segmentos determinados sobre a 
primeira transversal são proporcionais a seus cor- 
respondentes determinados na segunda transversal..
SEMELHANÇA DE TRIÂGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando têm os 
ângulos respectivamente congruentes ou os lados 
correspondentes proporcionais
Os ângulos respectivamente congruentes são 
chamados de ângulos correspondentes. Os lados 
opostos aos ângulos correspondentes são chamados 
de lados homólogos. Se dois triângulos são semel-
hantes, então os lados de um são proporcionais aos 
lados homólogos do outro.
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que 
cruza os outros dois lados em pontos distintos 
determina outro triângulo semelhante ao 
primeiro. Como ED//BC, temos: ∆AED ~ ∆ABC
POLÍGONOS
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada 
por uma linha poligonal fechada. Abaixo, desta-
camos os elementos dos polígonos.
LADO: é cada segmento que forma o polígono.
Vértice: é o ponto comum a dois lados do polígono.
ÂNGULO INTERNO: ângulo formado por dois 
lados consecutivos do polígono. (na figura, um dos 
ângulos internos está sendo representado por α)
ÂNGULOS EXTERNOS: são ângulos formados pelo 
prolongamento de um lado com o lado adjacente. 
(na figura está sendo representado por β)
DIAGONAL: segmento que une dois vértices não 
consecutivos
PERÍMETRO: é a soma das medidas dos lados do 
polígono.
POLÍGONO REGULAR
Um polígono convexo é regular se, e somente se, 
seus lados e ângulos forem congruentes e são clas-
sificados de acordo com o número de lados. Veja a 
seguir alguns polígonos regulares.
3 LADOS
TRIÂNGULO
EQUILÁTERO
4 LADOS
QUADRADO
5 LADOS
PENTÁGONO
REGULAR
6 LADOS
HEXÁGONO
REGULAR
A soma dos ângulos externos de um polígono é 
360°. Caso o polígono seja regular, todos os seus 
ângulos internos são congruentes, assim como seus 
ângulos externos.
ÁREAS E RELAÇÕES MÉTRICAS
DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
QUADRADO
HEXÁGONO
CÍRCULO
OUTRAS FIGURAS
2
b)h(BÁrea +=
b.hÁrea =
2
D.dÁrea =
01. (UPF/2009) Se os ângulos externos de um 
polígono regular medem 18°, então o número de 
diagonais desse polígono é:
a) 190 
b) 170 
c) 120 
d) 135 
e) 162
02. (UNISC INV/2014) Os lados de um losango 
medem 4 cm e um de seus ângulos 60º. As medidas 
da diagonal menor e da diagonal maior do losango 
medem, respectivamente,
a) 2 cm e 2√3 cm.
b) 2√3 cm e 4 cm. 
c) 2√3 cm e 4√3 cm.
d) 4 cm e 4√3 cm. 
e) 4 cm e 8 cm.
3. (UFRGS/2014) A figura abaixo é formada por 
oito semicircunferências, cada uma com centro nos 
pontos médios dos lados de um octógono regular 
de lado 2.
A área da região sombreada é
a) 4π + 8 + 8√2 .
b) 4π + 8 + 4√2. 
c) 4π + 4 + 8√2.
d) 4π + 4 + 4√2.
e) 4π + 2 + 8√2.
04. (UPE/2014) A figura a seguir representa um 
hexágono regular de lado medindo 2 cm e um círculo 
cujo centro coincide com o centro do hexágono, e 
cujo diâmetro tem medida igual à medida do lado 
do hexágono.
Nessas condições, quanto mede a área da super-
fície pintada?
(considere π = 3 e √3= 1,7)
a) 2,0 cm2
b) 3,0 cm2
c) 7,2 cm2
d) 8,0 cm2
e) 10,2 cm2
05. (UNIFRA INV/2011) A figura a seguir é formada 
por arcos de circunferência. O perímetro e a área 
desta figura são, respectivamente,
EXERCÍCIOS 
MÓDULO 14 | GEOMETRIA PLANA
a) π(2x + 3) e 2π(2x2 + 6x) 
b) 4π(x+3) e 2π(x2 + 12x + 18)
c) 2π(x+4) e 4π(x2 + 6x + 9) 
d) 4πx + 5 e 4πx(x + 2)
e) 4π(x+3) e 2π(x2 + 6x + 9) 
06. (UERJ/2015) Uma chapa de aço com a forma 
de um setor circular possui raio R e perímetro 3R, 
conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
a) R2 
b) R2/4 
c) R2/2 
d) 3R2/2
07. (UPF INV/2012) A área de cada um dos círculos 
pequenos é a cm2. A área do círculo grande não 
ocupada pelos círculos coloridos é dada, em cm2, 
por:
a) 4a2 
b) 6a 
c) 30ª 
d) 9a2p2 
e) 5a
08. (UECE/2014) Se, em um polígono convexo, o 
número de lados n é um terço do número de diag-
onais, então o valor de n é:
a) 9. 
b) 11. 
c) 13. 
d) 15.
09. (UERJ 2014) Considere uma placa retangular 
ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40cm. 
Um estudante, para construir um par de esquadros, 
fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e 
AC, de modo que DÂE= 45° e BÂE= 30°, conforme 
ilustrado a seguir:
Após isso, o estudante descartou a parte triangular 
CAE, restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja 
desprezível e que √3= 1,7, a área, em cm2, do triân-
gulo CAE equivale a:
a) 80 
b) 100 
c) 140 
d) 180
10. (UFRGS/2007) Numa esquina cujas ruas se 
cruzam, formando um ângulo de 1200, está situado 
um terreno triangular com frentes de 20cm e 45cm 
para essas ruas conforme representado na figura 
abaixo.
A área desse terreno, em m2, é
a) 225. 
b) 225 √2. 
c) 225 √3. 
d) 450 √2. 
e) 450 √3.
11. (UFRGS/2005) Na figura abaixo, C é o centro 
do círculo, A é um ponto do círculo e ABCD é um 
retângulo com lados medindo3 e 4. Entre as alter-
nativas, a que apresenta a melhor aproximação 
para a área da região sombreada é
a) 7,5 
b) 7,6 
c) 7,7 
d) 7,8 
e) 7,9
12. (FFFCMPA/2008) Na figura abaixo, ABC é um 
triângulo equilátero, e a região assinalada é limitada 
por arcos de circunferência de raio 1, tangentes 
dois a dois, com centros em A, B e C. Determine a 
área dessa região.
a) π−3
b) 24
3 π
−
c) 2
3 π−
d) 
24
3 π
−
e) 2
3 π−
3. (UPF/2013) Um caminhão transporta cinco tubos 
de PVC iguais, como se mostra na figura. Os tubos 
têm a forma cilíndrica com 1m de diâmetro. A altura 
da carga em metros é:
a) 
2
31+
b) 
2
32 +
c) 2
d) 2
3
e) √3
14. (PUC RS/2016) Uma pracinha com formato 
circular ocupa uma área de 100π m2. No terreno 
dessa área, foram colocados 3 canteiros em forma 
de setor circular, cada um formado por um ângulo 
central de 30º, como na figura. A área total ocupada 
pelos canteiros é, em m2,
a) π 
b) 3π 
c) 25π 
d) 50π e) 75π
15. (UFRGS/2012) Os círculos desenhados na figura 
abaixo são tangentes dois a dois.A razão entre a 
área de um círculo e a área da região sombreada é
a) 1 
b) 2
c) 
π−4
3
d) π−
π
4
e) π−
π
4
2
16. (UFES) Três circunferências de raios iguais a 
r tangenciam-se externamente duas a duas nos 
pontosA, B e C.
A área do triângulo curvilíneo” ABC assim formado 
é:
a) 
3
r)26( π−
b) 2
r)32( 2π−
c) 5
r)38( 2π−
d) 
2r)26( −π
e) 
3r)36( π−
17. (UFRGS/2006) Observe a figura abaixo. Cada 
um dos quatro círculos tem raio igual a e é tangente 
às diagonais do quadrado e a um de seus lados. A 
área do quadrado é:
a) √2+1
b) 2 √2
c) 4
d) 3 √2-1
e)6
18. (UNIFRA/2011) A área do quadrilátero ABCD, 
inscrito na circunferência de raio unitário e centrada 
em O, representado na figura, é igual a
a) √3+1
b) √3/2+1
c) √3+1/2
d) 2(√3+ √2)
e) 2 √3
19. (ESPECEX/2014) As regras que normatizam as 
construções em um condomínio definem que a área 
construída não deve ser inferior a 40% da área do 
lote e nem superior a 60% desta. O proprietário de 
um lote retangular pretende construir um imóvel de 
formato trapezoidal, conforme indicado na figura.
Para respeitar as normas acima definidas, assinale o 
intervalo que contém todos os possíveis valores de x.
a) [6, 10] 
b) [8, 14] 
c) [10, 18] 
d) [16, 24] 
e) [12, 24]
20. (UFRGS/2015) O emblema de um super-herói 
tem a forma pentagonal, como representado na 
figura abaixo. A área do emblema é
a) 9+5 √3
b) 9+10 √3
c) 9+10 √3
d) 18+5 √3
e) 18+25 √3
21. (CEFET MG/2014) Nesta figura, ABCD é um 
retângulo e DH é um arco de circunferência cujo 
centro é o ponto M.
O segmento EH, em unidades de comprimento, 
mede
a) 
2
51 +−
b) 2
52 +
c) 3
1
d) 2
1
e) 2
5
22. (PUC RS/2015) Em um ginásio de esportes, uma 
quadra retangular está situada no interior de uma 
pista de corridas circular, como mostra a figura. A 
área interior à pista, excedente à da quadra retan-
gular, em m2, é
a) 50π – 48 
b) 25π – 48 
c) 25π – 24 
d) π – 24
e) 10π – 30
23. (UFRGS 2007) Um triângulo equilátero foi 
inscrito em um hexágono regular, como represen-
tado na figura abaixo.
Se a área do triângulo equilátero é 2, então a área 
do hexágono é
a) 2 √2.
b) 3.
c) 2 √3.
d) 2+ √3
e) 4.
24. (UEL PR) Uma faixa decorativa é formada por 
hexágonos e semi-hexágonos regulares, como 
mostra a figura abaixo: Se o lado do hexágono mede 
10 cm, então a largura da faixa, em centímetros, é:
a) 5√3.
b) 10 
c) 20 
d) 20√3. 
e) 25√3.
25. (UFRGS/2015) As circunferências do desenho 
abaixo foram construídas de maneira que seus 
centros estão sobre a reta r e que uma intercepta o 
centro da outra. Os vértices do quadrilátero ABCD 
estão na interseção das circunferências com a reta 
r e nos pontos de interseção das circunferências.
Se o raio de cada circunferência é 2, a área do 
quadrilátero ABCD é
a) 3√3/2
b) 3√3.
c) 6√3.
d) 8√3.
e) 12√3.
26. (UFRGS/2015) Considere o hexágono regular 
ABCDEF, no qual foi traçado o segmento FD 
medindo 6 cm , representado na figura abaixo. A 
área do hexágono, em cm², é
a) 18√3
b) 20√3
c) 24√3
d) 28√3
e) 30√3
27. (UFRGS/2015) Considere o pentágono regular 
de lado 2 e duas de suas diagonais, conforme repre-
sentado na figura abaixo.
A área do quadrilátero ABCD é
a) sen 72°. 
b) sen 108°. 
c) 2sen 72°. 
d) 4sen 72°. 
e) 4sen108°.
Obs: A questão foi anulada pela banca. Embora 
não apresente inconsistência em seu enunciado, 
ela contém duas alternativas equivalentes, letra 
D e letra E, pois os valores de sen 72° e sen108° 
são equivalentes.
28. (UFRGS/2015) Considere as áreas dos 
hexágonos regulares A e B inscritos, respectiva-
mente, em círculos de raios 1 e 4. A razão entre a 
área do hexágono A e a área do hexágono B é
a) 1/16 
b) 1/8 
c) 1/4 
d) 1/2 
e) 1.
29. (PUC RS/2012) Para uma engrenagem mecânica, 
deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal 
regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 
cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono 
mede ______ cm.
a) 1/2
b) √3/3
c) √3
d) √5/5
e) 1
30. (UPF/2015) No quadrado ABCD de lado x, 
representado na figura a seguir, os pontos R e S 
são pontos médios dos lados AB e BC, respecti-
vamente, e O é o encontro das duas diagonais. A 
razão entre a área do quadrado pequeno (pintado) 
e a área do quadrado ABCD é
a) 1/16 
b) 1/12 
c) 1/10 
d) 1/8 
e) 1/4
31. (UFRGS/2013) Observe a figura abaixo. No 
quadrado ABCD de lado 2, os lados AB e BC são 
diâmetros dos semicírculos. A área da região 
sombreada é
a) 
4
3 π−
b) 2
4 π−
c) 
π−3
d) π−4
e) 2
3 π−
32. (UFRGS/2013) Os lados de um losango medem 
4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal 
menor do losango é
a) 2 √2-√3
b) √2+ √3
c) 4 √2-√3
d) 2 √2+ √3
e) 4 √2+ √3
33. (UFRGS/2016) Na figura abaixo, encontram-se 
representados o hexágono regular ABCDEF, seis 
quadrados com um de seus lados coincidindo com 
um lado do hexágono e um círculo que passa por 
vértices dos quadrados.
Se o lado do hexágono é 1, então a área do círculo é
a) π+ √3
b) π √3
c) π(2+ √3)
d) 2 π √3
e) π(1+ √3)
34. (UFRGS/2016) Na figura abaixo, três discos P, Q 
e R, de mesmo raio, são construídos de maneira que 
P e R são tangentes entre si e o centro de Q é ponto 
de tangência entre PeR. O quadrilátero sombreado 
ABCD têm vértices nos centros dos discos P e R e 
em dois pontos de interseção de Q com PeR
Se o raio do disco P é 5, a área do quadrilátero 
ABCD é
a) 5 √3
b) 25
c) 50
d) 25 √3
e) 75
35. (UFRGS/2016) Considere o pentágono regular 
de lado 1 e duas de suas diagonais, conforme repre-
sentado na figura abaixo. A área do polígono 
sombreado é
a) 
2
36sen °
b) 2
72sen °
c) 3
72sen °
d) sen36°
e) sen72°
36. (UCS INV/2015) A praça central de uma cidade 
tem forma de semicírculo. Parte da praça, em forma 
de triângulo isósceles, será pavimentada, como 
mostrado na figura abaixo.
Sendo a área da parte a ser pavimentada igual a 
2k2, qual é área total da praça?
a) 2 k2 
b) π k2 
c) 2 π k 
d) π k 
e) ( π +2) k2
37. (ENEM 2010) João tem uma loja onde fabrica e 
vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm 
e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja 
e, após comer várias moedas de chocolate, sugere 
ao João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro 
e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade.
. Considerando que o preço da moeda depende 
apenas da quantidade de chocolate, João:
a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o 
diâmetro, o preço também deve dobrar.
b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto 
seria R$ 12,00.
c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto 
seria R$ 7,50.
d) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto 
seria R$ 6,00.
e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto 
seria R$ 4,50
38. (ENEM 2010/2a) Um arquiteto está fazendo 
um projeto de iluminação de ambiente e necessita 
saber a altura que deverá instalar a luminária ilus-
trada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá 
iluminar uma área circular de 28,26m2, consid-
erando π = 3,14, a altura h será igual a:
a) 3 m 
b) 4 m 
c) 5 m 
d) 9 m 
e) 16 m
39. (ENEM 2010/2a) Uma fábrica de tubos acondi-
ciona tubos cilíndricos menores dentro de outros 
tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação 
em que quatro tubos cilíndricos estão acondicio-
nados perfeitamente em um tubo com raio maior. 
Suponha que você seja o operador da máquina que 
produzirá os tubos maiores em que serão colo-
cados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilín-
dricos internos. Se o raio da base de cada um dos 
cilindros menores for igual a 6cm, a máquina por 
você operada deverá ser ajustada para produzir 
tubos maiores, com raio da base igual a:
a) 12cm
b) 12 √2cm
c) 24√2cm
d) 6(1+√2)cm
e) 12(1+√2)cm
40. (ENEM) Uma empresa produz tampas circu-
lares de alumínio para tanques cilíndricos a partir 
de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme 
a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 
tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras 
de material da produção diária das tampas grandes, 
médias e pequenas dessa empresa são doadas, 
respectivamente, a três entidades: I, II e III, para 
efetuarem reciclagem do material. A partir dessas 
informações, pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe maismaterial do que a enti-
dade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a III
c) a entidade II recebe o dobro de material do que 
a entidade III.
d) as entidades I e II recebem juntas, menos mate-
rial do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades 
de material.
41. (ENEM/2011) Em uma certa cidade, os mora-
dores de um bairro carente de espaços de lazer 
reivindicam à prefeitura municipal a construção 
de uma praça. A prefeitura concorda com a solici-
tação e afirma que irá construí-la em formato retan-
gular devido às características técnicas do terreno. 
Restrições de natureza orçamentária impõem que 
sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar 
a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse 
bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a 
construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m 
Terreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda 
às restrições impostas pela prefeitura, os mora-
dores deverão escolher o terreno. 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5
42. (ENEM/2012) Em exposições de artes plásticas, 
é usual que estátuas sejam expostas sobre plata-
formas giratórias. Uma medida de segurança é que 
a base da escultura esteja integralmente apoiada 
sobre a plataforma. Para que se providencie o equi-
pamento adequado, no caso de uma base quadrada 
que será fixada sobre uma plataforma circular, o 
auxiliar técnico do evento deve estimar a medida 
R do raio adequado para a plataforma em termos 
da medida L do lado da base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá 
apresentar de modo que a exigência de segurança 
seja cumprida?
a) 
2
LR ≥
b) 
π
≥
LR 2
c) 
π
≥
LR
d) 
2
LR ≥
e) 
22
LR ≥
43. (ENEM/2012) Para decorar a fachada de um 
edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo 1m, 
conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios 
dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC 
medem da medida do lado do quadrado. Para confec-
cionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: 
um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 
30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões 
ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos mate-
riais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50 
b) R$ 35,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 42,50 
e) R$ 45,00
44. (ENEM/2013) Uma fábrica de fórmicas produz 
placas quadradas de lados de medida igual a y 
centímetros. Essas placas são vendidas em caixas 
com N unidades e, na caixa, é especificada a área 
máxima S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas 
maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de 
suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova 
caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse 
alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada 
nova caixa será igual a:
a) N/9 
b) N/6 
c) N/3 
d) 3N 
e) 9N
45. (ENEM/2010) Em canteiros de obras de 
construção civil é comum perceber trabalhadores 
realizando medidas de comprimento e de ângulos e 
fazendo demarcações por onde a obra deve começar 
ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas 
algumas marcas no chão plano.
Foi possível perceber que, das seis estacas colo-
cadas, três eram vértices de um triângulo retân-
gulo e as outras três eram os pontos médios dos 
lados desse triângulo,
Conforme pode ser visto na figura, em que as estacas 
foram indicadas por letras. A região demarcada 
pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com 
concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC. 
b) à mesma área do triângulo BNC. 
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
46. (ENEM/2010) O jornal de certa cidade publicou 
em uma página inteira a seguinte divulgação do seu 
caderno de classificados
Para que a propaganda seja fidedigna à porcent-
agem da área que aparece na divulgação, a medida 
do lado do retângulo que representa os 4%, deve 
ser de aproximadamente
a) 1 mm. 
b) 10 mm. 
c) 17 mm. 
d) 160 mm. 
e) 167 mm.
47. (ENEM/2009) O governo cedeu terrenos para 
que famílias construíssem suas residências com a 
condição de que no mínimo 94% da área do terreno 
fosse mantida como área de preservação ambiental. 
Ao receber o terreno retangular ABCD, em que 
AB=BC/2 , Antônio demarcou uma área quadrada 
no vértice A, para a construção de sua residência, 
de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5 é lado 
do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria 
exatamente o limite determinado pela condição 
se ele
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
48. (ENEM/2009) A figura a seguir mostra as 
medidas reais de uma aeronave que será fabri-
cada para utilização por companhias de transporte 
aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho 
desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha 
de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação 
às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em 
centímetros, que essa folha deverá ter?
a) 2,9 cm × 3,4 cm.
b) 3,9 cm × 4,4 cm.
c) 20 cm × 25 cm.
d) 21 cm × 26 cm. 
e) 192 cm × 242 cm.
49. (ENEM/2009) A figura mostra uma turista apar-
entemente beijando a esfinge de Gisé, no Egito. A 
figura a seguir mostra como, na verdade, foram posi-
cionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na 
fotografia, verifica-se que a medida do queixo até 
o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida 
do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. 
Considere que essas medidas na realidade são 
representadad por d e d´, respectivamentge, que 
a distância da esfinge à lente da câmera fotográ-
fica, localizada no plano horizontal do queixo da 
turista e da esfinge, é representado por b, e que a 
distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por 
a) 
c
d́
a
b
=
b) 3c
2d
a
b
=
c) 2c
3d´
a
b
=
d) 3c
2d´
a
b
=
e) c
2d´
a
b
=
50. (UTFPR/2014) A medida de y na figura, em graus
a) 42°.
b) 32°.
c) 142°.
d) 148°.
e) 24°.
51. (CEFET MG/2014) A figura abaixo tem as 
seguintes características:
- o ângulo é reto;
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD ;
- os segmentos AE , BD e DE, medem, respectiv-
amente, 5, 4 e 3.
O segmento AC, em unidades de comprimento, 
mede
a) 8. 
b) 12. 
c) 13. 
d) √61. 
e) 5 √10 .
52. (UPF/2016) Considere a área de uma folha de 
papel A4 , com 297mm de comprimento e 210mm 
de largura. A folha de papel A4 foi dobrada como 
mostra a figura a seguir. Se o comprimento do 
segmento AE é 177 mm, a medida do segmento CE 
e a área do polígono ABCDE são, respectivamente:
a) 30√65 mm e 37170 mm² 
b) 30 √65mm e 49779 mm²
c) 3√13 mm e 49770mm² 
d) 20√10 mm e 37170mm²
e) 3√10 mm e 35070mm²
53. (UFRGS) Na figura abaixo AV, CD e EF são 
paralelos. AB e CD medem, respectivamente, 10 
cm e 5 cm.
O comprimento de EF é
a) 5/3. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 10/3. 
e) 4.
54. (UNISC INV/2015) O Principado de Mônaco é 
um microestado situado no sul da França. Possui, 
aproximadamente, uma área de 2 km², sendo o 
segundo menor Estado do mundo, atrás apenas do 
Vaticano. Se o território do Principado de Mônaco 
tivesse a forma de um quadrado, então a medida 
de seus lados estaria entre
a) 440 m e 450 m. 
b) 1140 m e 1150 m.
c) 4470 m e 4480 m.
d) 1410 m e 1420m.
e) 14 140 m e 14 150 m.
55. (UFSC/2014) No livro A hora da estrela, de 
Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atro-
pelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela 
inscrita em uma circunferência, como mostra a 
figura. Se os pontos A, B e C dividem a circunferênciaem arcos de mesmo comprimento e a área do triân-
gulo ABC é igual a 27√3cm², determine a medida 
do raio desta circunferência em centímetros.
56. (ENEM/2015) Uma loja comercializa cinco 
tipos de tampos de vidro circulares com cortes já 
padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 
cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja 
adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro 
que seja suficiente para cobrir a base superior do 
suporte da mesa. 
Considere 1,7 como aproximação para √3 .
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em 
centímetros, é igual a
a) 18. 
b) 26. 
c) 30. 
d) 35. 
e) 60.
57. (ENEM/2006) Na figura, que representa o 
projeto de uma escada com 5 degraus de mesma 
altura, o comprimento total do corrimão e igual a
a) 1,8 m. 
b) 1,9 m. 
c) 2,0 m. 
d) 2,1 m. 
e) 2,2 m.
58. (UNIFRA INV/2013) O navio A deixa o porto 
navegando em direção ao norte a uma velocidade 
de 25 km/h. Após meia hora, o navio B deixa o 
mesmo porto, navegando em direção ao leste a 
uma velocidade de 20 km/h. Meia hora depois, a 
distância entre os navios A e B é
a) de 27 km. 
b) menor do que 27 km. 
c) de 30 km. 
d) maior do que 30 km.
e) maior do que 27 km, mas menor do que 30 km.
59. (UNIFRA/2009) Na Praça dos Três Poderes, 
em Brasília – DF, está o Mastro da Bandeira. Sua 
construção foi feita em aço e é considerada a maior 
do gênero, no mundo, para bandeiras nacionais. Tal 
mastro está localizado em um terreno plano e hori-
zontal. Sobre o terreno, tomam-se dois pontos, A 
e B, distantes 120m um do outro e pertencentes a 
uma mesma semi-reta de origem na base do mastro. 
Do ponto A, vê-se o ponto P mais alto da torre, sob 
um ângulo de 30° com o plano do terreno; do ponto 
B, vê-se P sob um ângulo de 60° com o plano do 
terreno. Assim a altura do mastro, em m, é
a) 60 
b) 60 √3 
c) 120 
d) 120√3 
e) 90
60. (ENEM/2010) Duas pessoas avistaram um balão. 
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão 
e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 
5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com 
a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na 
figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o 
balão? (adote √3 = 1,7)
a) 1,8 km 
b) 1,9 km 
c) 3,1 km 
d) 3,7 km 
e) 5,5 km
61. (UNIOESTE PR) Um observador de 1,60 m de 
altura, que se encontra no solo, visualiza uma luz 
na extremidade superior de uma torre a um ângulo 
de 45°. Sabe-se que o terreno ao redor da torre é 
totalmente plano. O observador afasta-se mais 98 
m da torre e passa a visualizar a mesma luz a um 
ângulo de 30°. Considere √3 = 1,7. Pode-se, então, 
concluir que a torre tem uma altura aproximada de:
a) 141,6 metros 
b) 170,6 metros 
c) 148,4 metros 
d) 160 metros 
 e) 130 metros
62. (MODELO ENEM) De um ponto A um agri-
mensor enxerga o topo T de um morro, segundo 
um ângulo de 450. Ao se aproximar 50 metros do 
morro ele passa a ver o topo T segundo um ângulo 
de 600. A altura do morro é aproximadamente:
(adote √3 = 1,7)
a) 206 m 
b) 121 m 
c) 100 m 
d) 152 m 
e) 178 m
63. (IFSC 2014 modificada) Durante uma queda 
de luz, Carla e Sabrina resolveram brincar fazendo 
desenhos com as sombras das mãos. Para isso, 
pegaram duas lanternas diferentes, apontando os 
feixes de luz para a parede BC. Márcio, que estava 
no andar superior, observou tudo. A figura a seguir 
mostra a visão que Márcio tinha da situação. Dados: 
o ângulo entre as duas paredes CD e BC é 90° e 
DC=BC, sendo D o ponto onde Carla está e A o 
ponto onde se encontra Sabrina. Também sabemos 
que BEC vale 75°.
Com base nas informações, analise as proposições 
abaixo e assinale a CORRETA.
a) O ângulo BDC vale 60°. 
b) O ângulo BAC vale 80°. 
c) O ângulo BCE vale 60°.
d) O ângulo CED vale 100°. 
e) O ângulo ABE vale 80°.
64. A figura mostra o trecho de um rio onde se 
deseja construir uma ponte AB. De um ponto P, a 
100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º e do ponto 
A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Qual o compri-
mento da ponte.
(adote √2 = 1,41)
a) 141m 
b) 133m 
c) 150m 
d) 130m 
e) 138m
65. (UNIFRA INV/2015) Uma empresa que trans-
porta a produção de soja de uma fazenda, faz 
o trajeto de A até B (onde fica localizado o silo) 
passando por C, conforme a figura. Qual será, 
aproximadamente, a economia por viagem, em km, 
se o fazendeiro construir uma estrada ligando AB 
diretamente?
a) 3 
b) 6 
c) 10 
d) 13 
e) 17
66. (UFAL/2011) De um ponto A, situado no mesmo 
nível da base de uma torre, o ângulo de elevação 
do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado 
na mesma vertical de A e 5 m acima, o ângulo de 
elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura 
da torre? Dados: use as aproximações tg 20° = 0,36 
e tg 18° = 0,32.
a) 42 m 
b) 43 m 
c) 44 m 
d) 45 m 
e) 46 m
67. (UFG GO) Uma empresa de engenharia deseja 
construir uma estrada ligando os pontos A e B, que 
estão situados em lados opostos de uma reserva 
florestal, como mostra a figura a seguir.
A empresa optou por construir dois trechos retilí-
neos, denotados pelos segmentos AC e CB, ambos 
com o mesmo comprimento. Considerando que a 
distância de A até B, em linha reta, é igual ao dobro 
da distância de B a D, o ângulo a, formado pelos dois 
trechos retilíneos da estrada, mede
a) 110° 
b) 120° 
c) 130° 
d) 140° 
e) 150°
68. (UNESP) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente 
ao outro, num terreno plano. Um observador, no 
pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo a em 
relação ao topo do edifício Y (ponto Q ). Depois 
disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma 
que RPTS formem um retângulo e QT seja perpen-
dicular a PT, esse observador mede um ângulo a em 
relação ao ponto Q no edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 
tga = 4 tg a, a altura h do edifício Y, em metros, é:
a) 40/3 
b) 50/4 
c) 30 
d) 40 
e) 50
GABARITO: 
1B; 2D; 3A; 4C; 5E; 6C; 7C; 8A; 9C; 10C; 11D; 12C; 13A; 14C; 15D;16B; 
17C; 18C; 19E; 20C; 21A;22B; 23E; 24E; 25C; 26A; 27E; 28A;29B; 
30D;31E;32C; 33C; 34D; 35A; 36B; 37B; 38B; 39D; 40E; 41C; 42A; 
43B; 44A; 45E; 46E; 47C; 48D; 49D; 50B; 51E; 52A; 53D; 54D; 55-6; 
56A; 57D; 58B; 59B; 60C; 61E; 62B; 63C; 64A; 65A; 66D; 67B; 68D