FICHA RESUMEN MCD - MCM

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Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo 
 
Definición. El máximo elemento del conjunto de los divisores comunes 
positivos de dos o más números enteros no nulos, recibe el nombre de máximo 
común divisor. Ejemplo. El conjunto de los divisores comunes positivos de 12 y 
–20 es {1, 2, 4} luego el MCD (12, -20) = 4 
 
Definición. El menor elemento del conjunto de los múltiplos comunes positivos 
de dos o más números enteros no nulos se denomina mínimo común múltiplo 
Ejemplo. El conjunto de los múltiplos comunes positivos de 12 y –20 es 
{60, 120, 180, 240} luego el MCM (12, -20) = 60 
 
Propiedades del MCD y del MCM de dos o más números. 
 
1. Si A y B son dos números enteros no nulos tales que B I A, entonces 
 MCD (A, B ) = I B I y el MCM(A, B ) = I A I. 
 Ejemplo: MCD (48, -16) = I –16 I = 16, mientras que MCM (48, -16) = 48 
 
2. Si se tienen dos o mas números primos entre si, dos a dos, entonces el MCD 
de ellos es la unidad, mientras que el mcm será el producto de los valores 
absolutos de ellos. 
Ejemplo: MCD ( -4, 5, 9) = 1, pero MCM (- 4,5,9) = I-4I I5I I9I = 180 
 
3. Si dos o más números enteros no nulos se multiplican o dividen por otro 
entero no nulo, entonces tanto el MCD como el mcm de ellos queda 
multiplicado o dividido por el valor absoluto de dicho número. 
 
 Ejemplo. Tenemos que MCD (A k, B k, C k) = MCD (A, B, C) IkI 
 MCD (A/ k, B/ k, C/ k) = MCD(A,B,C) / IkI 
 MCM (A k, B k, C k) = MCM(A,B,C) IkI 
 MCM (A/ k, B/ k, C/ k) = MCM(A,B,C)/ IkI 
 
4. Todo número entero que sea divisor común de otros dos, divide también a su 
MCD; mientras que todo número entero que sea múltiplo común de otros dos, 
también lo será del mcm. 
 
5. Si varios números se dividen entre el MCD de ellos, los cocientes que se 
obtienen son primos entre si; Mientras que si el mcm se divide entre cada uno 
de ellos, los cocientes que se obtienen son primos entre si. 
 
 Importancia. Esta propiedad nos indica que cada número puede expresarse 
en términos del MCD o del MCM de ellos 
 Por ejemplo, si MCD (A, B, C) = d, tenemos I A I = dxp, I B I = dxq y 
 I C I = dxr, donde p, q r son primos entre si. 
 
 
 
 
6. En los naturales se tiene 
 
 MCD( Na -1, Nb -1, ….,Nc -1) = NMCD(a,b,…,c) -1 
 
 Asimismo, se tiene MCD(An,Bn) = (MCD(A,B))n 
 
7. El producto de los valores absolutos de dos números enteros no nulos, es 
igual al producto del minimo comun multiplo por su maximo comun divisor. 
 
8.Ramificación Árbol. Si en un conjunto de números, parte de ellos se 
reemplaza por el MCD, entonces el MCD no varía, algo similar se cumple 
para el MCM 
 
 Ejemplo. MCD (A, B, C, D) = MCD (MCD (A, B), MCD (A, B, C), D) 
 MCM (A, B, C, D) = MCM (MCM (A, B, C), MCM (C, D)) 
 
9.En una división inexacta por defecto se tiene MCD (D, d) = MCD (d, r) 
 
10.Algoritmo de Euclides en los enteros. Sean A y B números enteros 
diferentes de cero. Para hallar el MCD(A, B) podemos utilizar la propiedad 9 
varias veces. 
 
 Ejemplo Hallar el MCD (336, 102) 
 
 
 
 
 
 Entonces el MCD (336, 102) = 6 
 
Métodos para hallar el MCD y MCM en el campo de los números naturales 
 
Por descomposición individual en factores primos: Se descompone todos 
los números como producto de sus factores primos. 
- Para hallar el MCD se multiplican los factores comunes elevados al 
menor exponente. 
- Para hallar el MCM se multiplican los factores comunes y no comunes 
elevados al mayor exponente. 
 
Por ejemplo: Hallar el MCD y MCM de 504 y 540. 
Hacemos 504 = 23 x 32 x 7, 540 = 22 x 33 x 5; luego: 
 MCD = 22 x 32 = 36 y MCM = 23 x 33 x 5 x 7 = 7560 
 
Por descomposición simultánea en factores primos. Para hallar el MCD de 
varios números se descomponen simultáneamente en factores primos, 
multiplicando luego solo los factores comunes. 
 3 3 2 2 
336 102 30 12 6 
 30 12 6 0 
 
 
Por ejemplo, hallar el MCD de 504 y 540. 
 
504 - 540 2 
252 - 270 2  MCD = 22 x 32 = 36 
126 - 135 3 
 42 - 45 3 
 14 - 15 
 
Para hallar el MCM de varios números se les descompone simultáneamente en 
factores primos y luego se multiplican los factores comunes y no comunes. 
 
Ejemplo: hallar el MCM de 504 y 540 
 
504 - 540 2 
252 - 270 2  MCM = 23 x 33 x 5 x 7 = 7560 
126 - 135 3 
 42 - 45 3 
 14 - 15 3 
 14 - 5 5 
 14 - 1 2 
 7 - 1 7 
 1 - 1 
 
Uso del algoritmo de Euclides para hallar la fracción continua simple del 
racional 
a
b
 
1
= + 
1
1
. 
 . .
 . .
1
 
a
x
b
y
z
v
w
+
+
+
 
Para 
29
67
 
 
 
 
 
 2 3 4 2 
67 29 9 2 1 
 9 2 1 0 
 
 
 Entonces 
29
67
= 
1
2
1
3
1
4
2
+
+
+
 , 
29
67
= [2; 3, 4, 2] , 
67 1 1 1
= 2 + 
29 3 4 2+ +
 
 
Todo número racional puede ser representado mediante una fracción continua 
simple finita y tal representación es básicamente única. 
Además toda fracción continua simple finita representa a un número racional.