Pontes em Concreto Armado Análise e Dimensionamento

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Análise e Dimensionamento de Pontes em Concreto
Armado
Gustavo Henrique Ferreira Cavalcante
1 de Fevereiro de 2018
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Prefácio
Este texto tem por função servir de apoio aos estudantes de graduação e pós-
graduação das disciplinas de pontes ou similares nos cursos de Engenharias e Ar-
quitetura e Urbanismo. Assim sendo, o autor gostaria de transmitir um pouco de
conhecimento aos discentes e pro�ssionais que se interessem na área de projetos
estruturais de pontes, tendo ênfase nas pontes com sistema estrutural em viga.
Para tal, este material é uma compilação da dissertação defendida pelo autor, inti-
tulada como Contribuição ao Estudo da In�uência de Transversinas no Comporta-
mento de Sistemas Estruturais de Pontes, acrescida às notas de aula ao longo dos
semestres que foram ministradas as disciplinas de pontes.
Neste material são expostos a teoria e os roteiros de cálculo para análise, dimen-
sionamento e detalhamento da mesoestrutura e superestrutura de uma ponte em
viga composta por duas longarinas e transversinas de apoio com aparelhos de apoio
elastoméricos, sendo todos os cálculos realizados analíticamente com auxílio do pro-
grama FTOOL.
Este livro é dividido em duas parte, sendo a primeira denominada referencial teó-
rico, na qual se inicia com o capítulo de introdução e são abordadas as de�nições,
tipos de seções transversais, sistemas estruturais de pontes e aparelhos de apoio. Na
sequência, são expostos os capítulos sobre dimensionamento de armaduras longitu-
dinais e transversais para seções retangulares e seções T. O terceiro capítulo expõe
as veri�cações de fadiga para armaduras longitudinais e transversais, esmagamento
do concreto e ruptura do concreto em tração, sendo seguido pelas veri�cações de
�ssuração e �echas para seções retangulare e seções T. Por �m, conclui-se com o
roteiro de dimensionamento de aparelhos de apoio elastoméricos simples e fretados.
A segunda parte é denominada análise e dimensionamento da ponte e é composta
por sete capítulos. O primeiro ilustra o modelo a ser dimensionamento, contendo in-
formações geométricas: (a) dos vãos, (b) seções transversais, (c) aparelhos de apoio
e (d) alturas, e físicas dos materiais a que compõe o sistema estrutural. Posterior-
mente, abordam-se o dimensionamento dos esforços devido: (a) ao peso próprio da
estrutura, (b) à pavimentação, (c) às defensas, (d) à carga móvel, (e) à frenagem
e/ou aceleração e (f) ao vento. Por �m, são obtidas as combinações nos estados
limites últimos e de serviço.
Na continuidade são obtidos dos momentos �etores nas lajes, partindo para o dimen-
sionamento das armaduras longitudinais junto a veri�cação de fadiga das armaduras
e do concreto. Na sequência são logrados os esforços cortantes e são realizadas as
veri�cações de dispensa de estribos, já os tópicos seguintes veri�cam-se os estados
limites de serviço das lajes: (a) �echa imediata elásticas, (b) formação de �ssuras,
(c) aberturas de �ssuras, (d) �echa imediata no estádio II e (e) �echa diferida no
tempo.
O próximo capítulo apresenta o dimensionamento das defensas de concreto armado
devido à colisão de veículos desgovernados no estado limite último, desprezando as
condições de �ssuração e deslocamentos excessivos.
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Na sequência são dimensionadas das transversinas no estado Limite Último conside-
rando apenas o peso próprio das vigas para obtenção das armaduras longitudinais e
transversais, além das veri�cações de diagonais comprimidas. Ao �nal, veri�cam-se
os estados limites de serviço quanto à �ssuração e deformações excessivas.
No capítulo posterior dimensionam-se as longarinas nos estados limites últimos e de
serviço. Para tal, inicia-se com a obtenção das reações de apoio devido à transmissão
de cargas oriundas das lajes, posteriormente determinam-se os esforços nos estados
limites e dimensionam-se as armaduras longitudinais e transversais para os casos
mais críticos. Após isso, veri�cam-se as condições de fadiga nas armaduras longitu-
dinais e transversais e no concreto submetido à compressão. Por �m, veri�cam-se
os estados limites de serviço quanto à �ssuração e deformações excessivas. O último
capítulo da segunda parte ilustra o dimensionamento e a veri�cação dos aparelhos
de apoio adotados na mesoestrutura da ponte.
Quaisquer sugestões e/ou correções são bem vindas e o autor agradece. Para contato
podem ser enviados e-mails para ghenriquefc@hotmail.com.
�Lembre-se que as pessoas podem tirar tudo de você, menos o seu conhecimento�.
Albert Einstein
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Sobre o Autor
Gustavo Henrique Ferreira Cavalcante é graduado em Engenharia Ci-
vil pela Universidade Federal de Alagoas (2014) com graduação sanduíche
em Engenharia Geológica na Universitat Politècnica de Catalunya em con-
vênio com a Universidade de Barcelona (2012). Além disso, é Mestre em
Engenharia Civil na área de concentração de Estruturas pelo Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Alagoas
(2016).
Atualmente, é Doutorando em Engenharia Civil na área de concentração de Estruturas e
Geotécnica pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual
de Campinas (2017-Atual).
Trabalha na área de pesquisas em estruturas metálicas, estruturas de pontes, estruturas de
concreto armado e fundações, tendo orientado diversos alunos em projetos de iniciação cientí�ca
e trabalhos de conclusão de curso ao longo dos últimos anos. Contudo, a linha de pesquisa em
ênfase é voltada a avaliação de vulnerabilidade sísmica em estruturas de pontes.
É projetista de fundações, estruturas de concreto armado, estruturas pré-moldadas, estrutu-
ras metálicas e estruturas mistas, tendo desenvolvido mais de 100 projetos em diversos Estados
(2013-Atual).
Por �m, foi professor dos cursos de Engenharia Civil e Arquitetura e Urbanismo na Fa-
culdade de Tecnologia de Alagoas, no Centro Universitário Maurício de Nassau e no Centro
Universitário Tiradentes, lecionando as cadeiras de modelagem de sistemas estruturais, resis-
tência dos materiais, teoria das estruturas, estruturas de pontes, estruturas de aço, estruturas
de madeira e concreto armado. Atualmente é professor do curso de Engenharia Civil no Centro
Universitário Salesiano em Americana, lecionando as cadeiras de concreto armado (2017-Atual).
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Conversão de Unidades
Este espaço tem como objetivo ilustrar as conversões de unidades usuais empregadas nos
dimensionamentos estruturais. Destaca-se que a unidade kgf e tf são uma abstrações cria-
das na egenheria de estruturas para representar a força gravitacional gerada por unidade de
massa, também conhecidas como quilograma-força ou tonelada-força. Por �m, foi empregado
simpli�cadamente que a aceleração da gravidade é igual a 10m/s2 .
Fatores de conversão de unidades
Força ou carga pontual:
1 kN = 100 kgf = 0.1 tf = 1 000 N
1 tf = 10 kN = 1000 kgf = 10 000 N
Força por unidade de comprimento ou carga distribuída linearmente:
1 kN/cm = 10 000 kgf/m = 10 tf/m = 100 000 N/m = 100 kN/m
1 tf/cm = 1 000 kN/m = 100 000 kgf/m = 1 000 000 N/m
Força por unidade de área ou carga distribuída em área:
1 kN/cm2 = 1 000 000 kgf/m2 = 1 000 tf/m2=10 000 000 N/m2 = 10 000 kN/m2
1 tf/cm2 = 100 000 kN/m2 = 10 000 000 kgf/m2 = 100 000 000 N/m2
1 kN/cm2 = 100 kgf/cm2 = 10 MPa = 0.01 GPa
Força vezes unidade de comprimento:
1 kNcm = 1 kgfm = 0.001 tfm = 10 Nm = 0.01 kNm
1 tfcm = 0.1 kNm = 10 kgfm = 100 Nm = 0.01 tfm
Toma-se como exemplo o cálculo dos deslocamentos em uma viga e a força distribuída
linearmente q é igual a 2.7 tfm e é desejado efetuar a conversão para kNcm. Logo, conforme
veri�cado na tabela anterior: 1 kNcm = 0.001 tfm. Posto isto, deve-se dividir a carga por
0.001, gerando assim, q = 2.7/0.001 = 2700 kNcm.
Ao longo do livro as unidades usuais utilizadas foram em kN e cm, exceto quando indicados.
Posto isto, deve-se ter um cuidado especial as conversões.
SUMÁRIO
I Referencial Teórico 11
1 Introdução 12
1.1 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Tiposde Seções Transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Seções Maciças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Seções Vazadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Seções T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Seções Celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Sistemas Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Pontes em Laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Pontes em Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Pontes em Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Aparelhos de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Referências e bibliogra�a recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Dimensionamento de Armaduras 42
2.1 Dimensionamento de Armaduras Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1 Dimensionamento de Seções Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2 Dimensionamento de Seções T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.3 Dimensionamento de Armaduras de Pele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Dimensionamento de Armaduras Transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Veri�cação de Dispensa de Estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Veri�cação de Fadiga 59
3.1 Ruptura das Armaduras Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Ruptura das Armaduras Transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Esmagamento do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Ruptura do Concreto em Tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Veri�cação de Fissuração e Flechas 68
4.1 Formação de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Abertura de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Flecha Elástica Imediata no Estádio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Flecha Elástica Imediata no Estádio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Flecha Diferida no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7
8 SUMÁRIO
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Dimensionamento de Aparelhos de Apoio 80
5.1 Veri�cação de Deformação por Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Veri�cação das Tensões Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Veri�cação das Tensões de Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Veri�cação dos Recalques por Deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Veri�cação de Espessura Mínima e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6 Segurança contra o Deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.7 Levantamento da Borda Menos Carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.8 Veri�cação das Chapas de Aço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Análise e Dimensionamento da Ponte 88
6 Caracterização Geométrica e Física da Ponte 89
6.1 Propriedades Físicas dos Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 Caracterização Geométrica da Ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Ações e Combinações 95
7.1 Cargas Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2 Carga Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Carga de Frenagem e/ou Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4 Carga de Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.5 Estados Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5.1 Estado Limite Último . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.5.2 Estado Limite de Serviço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5.3 Combinações de Ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8 Dimensionamento das Lajes 113
8.1 Dimensionamento à Flexão Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1.1 Obtenção dos Esforços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1.2 Dimensionamento no Estado Limite Último . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.1.3 Veri�cação de Fadiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Dimensionamento às Forças Cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2.1 Obtenção dos Esforços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2.2 Resumo dos Esforços Cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2.3 Veri�cação de Dispensa de Estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.3 Veri�cações nos Estados Limites de Serviço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.3.1 Flecha Elástica Imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3.2 Formação de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.3.3 Abertura de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.3.4 Flecha Imediata no Estádio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3.5 Flecha Diferida no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
SUMÁRIO 9
9 Dimensionamento das Defensas 155
9.1 Dimensionamento e Detalhamento das Armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.1.1 Combinações Últimas Excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.1.2 Dimensionamento das Armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1.3 Detalhamento das Armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2 Veri�cação de Dispensa de Estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2.1 Combinações Últimas Excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2.2 Veri�cação de Dispensa de Estribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10 Dimensionamento das Transversinas 161
10.1 Obtenção dos Esforços Internos Solicitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.2 Dimensionamento no Estado Limite Último . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2.1 Combinações Últimas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2.2 Dimensionamento das Armaduras Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2.3 Dimensionamento das Armaduras Transversais . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.3 Veri�cações nos Estados Limites de Serviço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.3.1 Flecha Elástica Imediata no Estádio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.3.2 Formação de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.3.3 Flecha Diferida no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11 Dimensionamento das Longarinas 169
11.1 Obtenção das Reações de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.1.1 Cargas Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 169
11.1.2 Carga Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.2 Obtenção dos Esforços Internos Solicitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.2.1 Cargas Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.2.2 Carga Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.2.3 Resumo dos Esforços Internos Solicitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.3 Dimensionamento no Estado Limite Último . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.3.1 Dimensionamento das Armaduras Negativas . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.3.2 Dimensionamento das Armaduras Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.3.3 Dimensionamento das Armaduras de Pele . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.3.4 Dimensionamento das Armaduras Transversais . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.4 Veri�cação de Fadiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.4.1 Veri�cação das Armaduras Negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.4.2 Veri�cação das Armaduras Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.4.3 Veri�cação das Armaduras Transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.4.4 Veri�cação de Esmagamento do Concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4.5 Veri�cação de Ruptura do Concreto em Tração . . . . . . . . . . . . . . 204
11.5 Veri�cações nos Estados Limites de Serviço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.5.1 Flecha Elástica Imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.5.2 Formação de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.5.3 Abertura de Fissuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.5.4 Flecha Imediata no Estádio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.5.5 Flecha Diferida no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Referências e Bibliogra�a Recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10 SUMÁRIO
12 Dimensionamento dos Aparelhos de Apoio 220
12.1 Obtenção dos Esforços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.1.1 Forças Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.1.2 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.1.3 Forças Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Parte I
Referencial Teórico
11
CAPÍTULO 1
Introdução
�Denomina-se Ponte a obra destinada a permitir a transposição de obstáculos à continuidade
de uma via de comunicação qualquer. Os obstáculos podem ser: rios, braços de mar, vales pro-
fundos, outras vias etc� (MARCHETTI, 2008). Nas situações que o obstáculo a ser transposto
não tem água a ponte é chamada de viaduto.
As pontes têm grande fator de importância na evolução da engenharia civil, visto que exigem
tecnologias cada vez mais inovadoras e criativas para vencer os desa�os impostos por condições
climáticas, arquitetônicas, geológicas, logísticas etc. Além disso, relacionam-se diretamente
ao grau de desenvolvimento de cidades, sendo indispensáveis economicamente para diversas
situações de transportes de pessoas e mercadorias.
1.1 De�nições
Os elementos estruturais que compõem uma ponte podem ser divididos nos seguintes compo-
nentes, conforme ilustrado na sequência:
Figura 1.1: Esquema ilustrativo da composição de pontes (Fonte: El Debs e Takeya, 2009)
A superestrutura é composta pelos estruturas principais e secundárias. As principais são
compostas pelas peças estruturais que tem a função de vencer o vão livre, enquanto as secun-
12
1.1. DEFINIÇÕES 13
dárias são constituídas pelos tabuleiros que são os membros que recebem as ações diretas das
cargas e transmitem-nas para a estrutura principal.
A mesoestrutura é composta pelos aparelhos de apoio e estes fazem a ligação entre a supe-
restrutura e os elementos de suporte, quais sejam: (a) pilares, (b) encontros e (c) elementos de
fundação. Aqueles devem ser dimensionados e construídos de forma que apresentem condições
de vinculação compatíveis com as ligações utilizadas em projeto.
A infraestrutura é composta pelos encontros, pilares e elementos de fundação, os quais
podem ser caracterizados como: (a) sapatas, (b) tubulões, (c) blocos super�ciais e (d) blocos
estaqueados. Os encontros são situados nas extremidades e �cam em contato com aterros da
via, trabalhando como muros de arrimo e suporte da superestrutura. Os pilares encontram-
se nos vão intermediários com função de suporte da superestrutura. Simpli�cadamente, a
infraestrutura irá transmitir os esforços provenientes da superestrutura para o material com
capacidade carga resistente, neste caso o solo ou rocha.
A seção transversal de um tabuleiro de pontes rodoviárias pode ser dividida e caracterizada
conforme cita El Debs e Takeya (2009):
Figura 1.2: Dimensões e caracterizações de elementos que compõem seções transversais de
pontes
A pista de rolamento é dividida em faixas e estas compreendem o espaço de tráfego mais
intenso dos automóveis. O acostamento é a região adicional às faixas que deve ser utilizado
em situações emergenciais e deverá seguir com defensas que servem como objetos de proteção
em impactos de automóveis. Os passeios destinam-se ao tráfego de pedestres e devem ser
protegidos por guarda-rodas que impedirão o acesso dos veículos no espaço e de guarda-corpos
para prevenir acidentes.
As defensas são constituídas por barreiras de concreto ou defensas metálicas. O Manual
de Projetos de Obras-de-Arte Especiais (1996) de�ne as barreiras de concreto como sendo
dispositivos rígidos, de concreto armado, de proteção lateral de veículos. Elas devem possuir
altura, capacidade resistente e per�l internado adequados para impedir a queda do veículo,
absorver o choque lateral e propiciar sua recondução à faixa de tráfego.
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
As defensas metálicas também possuem as mesmas funções das barreiras de concreto, porém
possuem aplicações distintas, visto que as metálicas são utilizadas nas vias de acesso e as
barreiras de concreto ao longo da ponte, o DNER (1996) recomenda que:
�As defensas metálicas, dispositivos de proteção lateral nas rodovias, não fazem
parte, propriamente, das obras-de-arte especiais; entretanto, a transição entre as
defensas metálicas, �exíveis, da rodovia, e as barreiras de concreto, rígidas, das
obras-de-arte especiais, deve ser feita sem solução de continuidade e sem superfícies
salientes.�
Outros componentes secundários também são importantes na caracterização de uma ponte,
dentre eles, destacam-se:
a) lajes de transição: são as unidades que realizam a transição entre o tabuleiro
e a via de acesso à ponte;
b) cortinas e alas: são estruturas que servem de suporte para as lajes de transição
em pontes sem encontros, em geral diminuem os problemas gerados por aterros
mal compactados;
c) juntas de dilatação: são espaços entre elementos estruturais preenchidos por
materiais com alta capacidade de deformação e baixo.
Para maiores detalhes de membros que constituem uma estrutura de ponte, o Manual de
Projeto de Obras-de-Arte Especiais (1996) traz uma série de recomendações para dimensões,
critérios de dimensionamento, caracterização de cargas, tipos de materiais a serem utilizados
e outros aspectos para que se evitem problemas em juntas de dilatação, lajes de transição,
defensas, guarda-rodas, guarda-corpos etc.
Diversas pontes no estado de São Paulo encontram-se em manutenção para a criação de
acostamentos ou novas faixas, pois ocorrem diversos acidentes em pontes que possuem menos
faixas que as vias de acesso ou não possuem acostamentos.
1.2 Tipos de Seções Transversais
1.2.1 Seções Maciças
São seções típicas de pontes em laje, nas quais se tem um peso próprio elevado, tornando o
sistema estrutural pouco e�ciente devido à baixa relação do momento de inércia pela área da
seção transversal. A �gura 1.3 aponta seções maciças típicas.São pontes comumente executadas em concreto armado ou protendido e são de simples
execução. Possuem uma melhor relação custo-benefício para vãos de até 20 metros de acordo
com O'Brien e Keogh (1999), já Chen e Duan (2000) alegam que se tornam econômicas em
vãos simplesmente apoiados até 9 metros e em vãos contínuos até 12 metros.
O uso de balanços com espessuras reduzidas melhora o comportamento estrutural, dimi-
nuindo o peso do conjunto sem diminuir excessivamente os momentos de inércia, entretanto é
uma medida adotada principalmente para melhorar a estética.
Em alguns casos são utilizados elementos pré-moldados que podem dispensar escoramentos
e aceleram a execução da obra, tornando o sistema mais competitivo. O'Brien e Keogh (1999)
ilustram um caso de tabuleiro composta por vigas pré-moldadas justapostas com adição poste-
rior de concreto in loco, assim sendo, o escoramento pode ser dispensado sem comprometimento
da estrutura (FIG. 1.4).
1.2. TIPOS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS 15
Figura 1.3: Seções típicas para pontes em lajes maciças moldadas no local: (a) sem balanços;
(b) com balanços (Fonte: O'Brien e Keogh, 1999).
Figura 1.4: Seções maciças com vigas pré-moldadas (Fonte: O'Brien e Keogh, 1999).
1.2.2 Seções Vazadas
As seções vazadas apresentam redução da massa e maior momento de inércia quando compa-
radas às maciças, sendo executadas em concreto armado ou por sistemas de protensão com
pós-tração. São preferíveis em situações que o projetista requer espessuras pequenas compará-
veis a outros tipos de seções transversais. O'Brien e Keogh (1999) caracterizam esse sistema
como sendo vantajoso �nanceiramente para vãos entre 20 e 30 metros. Aponta-se como des-
vantagem a maior complexidade de execução em relação as seções maciças pelos furos ao longo
da peça. A �gura 1.5 ilustra uma seção vazada típica para pontes em laje.
Figura 1.5: Seções vazadas para pontes em laje (Fonte: O'Brien e Keogh, 1999).
1.2.3 Seções T
Esse tipo de seção é caracterizado pelas longarinas que costumam ser: (a) treliçadas, (b) em
per�s metálicos com seção I (FIG. 1.6a), (c) em vigas pré-moldadas ou pré-fabricadas em
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
concreto armado ou protendido com seção I ou T (1.6b) e (d) em vigas de concreto armado
ou protendido retangulares moldadas in loco. As lajes apresentam espessuras reduzidas e
consolidam a seção, conferindo monoliticidade, isto se dá ao fato de que estas são unidirecionais
com o sentido predominante de �exão perpendicular ao �uxo de automóveis.
São seções menos vantajosas estruturalmente que as vazadas, pois possuem mais matéria
próxima a linha neutra. O'Brien e Keogh (1999) a�rmam que são mais utilizadas para vãos
entre 20 e 40 metros e Chen e Duan (2000) indicam que é geralmente mais econômico em vãos
entre 12 e 18 metros. Para vigas pré-fabricadas ou pré-moldadas têm-se o peso como limitação
desse sistema.
Figura 1.6: Seção T para pontes em viga: (a) vigas metálicas; (b) vigas pré-moldadas (Fonte:
Adaptado O'Brien e Keogh, 1999).
Esse tipo de seção transversal, apresenta como vantagens:
a) �exibilidade na escolha dos materiais a serem utilizados: possibilidade de usar
vigas em concreto armado ou protendido, em aço ou mistas e de se utilizar
lajes em concreto armado ou protendido;
b) �exibilidade na escolha da seção transversal das vigas;
c) possibilidade de se utilizar elementos pré-moldados, pré-fabricados ou molda-
dos no local, conferindo maior �exibilização quanto à logística do canteiro;
d) pode desprezar o uso de escoramentos em determinadas situações;
e) facilidade na determinação dos esforços, obtendo-se bons resultados com cál-
culos simpli�cados;
f) execução rápida.
Tonias e Zhao (2007) explanam que as transversinas são unidades secundárias que atuam,
geralmente, sem receber carregamentos principais da superestrutura, mas são dimensionadas
para prevenir deformações nas seções transversais dos pórticos da superestrutura e fornece
melhor distribuição de cargas verticais entre as longarinas, permitindo que o tabuleiro trabalhe
de forma única.
1.2. TIPOS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS 17
Figura 1.7: Seção T para pontes em viga de concreto: (a) sem transversinas e (b) com trans-
versinas.
Tonias e Zhao (2007) declaram que o espaçamento longitudinal das transversinas depende
do tipo de elementos primários escolhido e do comprimento dos vãos, já a escolha varia com o
tipo de estrutura e com a preferência do projetista.
Algumas desvantagens no uso de transversinas são:
a) aumento do custo;
b) aumento do tempo de execução.
Isto acontece uma vez que ocorre aumento do consumo de concreto e aço, além de que a
execução das transversinas costuma ser moldada no local, ou seja, reduz a velocidade da cons-
trução, já que é comum o emprego de longarinas pré-moldadas neste tipo de seção transversal.
Todavia, pode-se executar as transversinas com protensão posterior, agilizando o processo e
gerando maior complexidade ao processo construitivo.
1.2.4 Seções Celulares
São extensões da concepção de seções vazadas e possuem alto momento polar de inércia, confe-
rindo rigidez elevada à torção com pequena taxa de massa. Tornam-se convenientes para vãos
superiores a 40 metros (O'BRIEN e KEOGH, 1999).
Exigem altura su�ciente para inspeção e recuperação, uma vez que são suscetíveis à ocorrên-
cia patologias internas à seção e não seriam vistas externamente. Na prática, surgiram muitos
problemas com pessoas morando nesses locais, agravando as patologias.
Schlaich e Scheef (1982) expõem a evolução da concepção das seções transversais com re-
dução de massa e ganhos na e�ciência estrutural (FIG. 1.8).
Para se estudar a distribuição dos esforços ao longo da seção transversal nesse tipo de es-
trutura deve-se simular diferentes posições de carregamentos para que seja possível caracterizar
os momentos �etores e de torção, esforços cortantes e axiais nas mesas e almas da seção celu-
lar. Schlaich e Scheef (1982) descrevem com maiores detalhes os locais que ocorrem os maiores
esforços ao longo da seção transversal.
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.8: Evolução das seções transversais: (a) seção maciça; (b) seção vazada; (c) seção T ;
(d) seção T com alargamento da mesa inferior; (e) seção multicelular; (f) seção multicelular com
redução de espessura nos balanços; (g) seção unicelular com redução de espessura nos balanços;
(h) seção multicelular com maior e�ciência estrutural (Fonte: Schlaich e Scheef, 1982).
1.3 Sistemas Estruturais
1.3.1 Pontes em Laje
Em harmonia com Hambly (1991), a superestrutura de pontes em laje é composta por compo-
nentes estruturais contínuos em planos bidimensionais, onde as cargas aplicadas são suportadas
por distribuições bidimensionais de forças cortantes, momentos �etores e momentos de torção.
Logo, os esforços são mais complexos que sistemas usuais de barras unidimensionais. A �gura
1.9 ilustra como esse sistema é caracterizado usualmente.
Figura 1.9: Ponte em laje com seção maciça (Fonte: Stucchi, 2006).
São sistemas que apresentam boa capacidade de redistribuição de esforços, podendo ser lajes
contínuas ou biapoiadas, maciças ou vazadas. Em suma, irá apresentar as mesmas vantagens
e desvantagens citadas para as seções transversais maciças e vazadas. A análise dos esforços e
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 19
deslocamentos costuma ser realizada por métodos analíticos simpli�cados ou aproximados por
diferenças �nitas, analogia de grelha, elementos �nitos ou elementos de contorno.
As soluções analíticas são baseadas na teoria de placas ou cascas, sendo a primeira mais
simples e reproduz bons resultados. A segunda é mais complexa e considera esforços horizontais
no tabuleiro.
Nesse tipo de tabuleiro com apoios nas extremidades, a seção deforma nos sentidos ortogo-
nais e longitudinais a depender da rigidez da seção, sendo os momentos �etores principais no
sentido do tráfego, nos quais os esforços são transmitidos para os apoios diretamente através da
rigidez da seção. Fu e Wang (2015) relatam que os momentos de torção devido às curvaturasem ambos os sentidos são de pequena intensidade e podem ser desprezados.
Os deslocamentos verticais ao longo da seção transversal para pontes em seções cheias
costumam apresentar o formato ilustrado por Fu e Wang (2015), nos quais δ e δ1 representam
as �echas do tabuleiro nos pontos de�nidos pelas interseções dos cortes (FIG. 1.10).
Figura 1.10: Deslocamentos típicos para seções maciças com apoios nas extremidades (Fonte:
Fu e Wang, 2015).
1.3.2 Pontes em Viga
As pontes em viga constituem sistemas estruturais compostas por longarinas com ou sem trans-
versinas servindo como suporte para lajes, que irão receber os carregamentos diretamente.
As longarinas se apoiam sobre os pilares sem transmissão de momentos �etores. Assim
sendo, é comum o tratamento da análise estrutural separando a superestrutura da mesoestru-
tura, considerando os apoios indeformáveis.
O dimensionamento dos esforços e deslocamentos das longarinas pode ser realizado ana-
liticamente ou numericamente pela teoria de vigas, acrescidas pelos métodos das forças ou
deslocamentos para estruturas hiperestáticas. Em análises numéricas é uma prática geral dis-
cretizar as lajes e vigas como elementos de barras, formando grelhas, ou utilizar soluções em
elementos �nitos para o tabuleiro.
Analiticamente é usual o emprego de linhas de in�uência criadas a partir do estudo da va-
riabilidade gerada pela carga móvel ao longo da seção transversal nos esforços das longarinas.
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Segundo Abreu e Aguiar (2016), uma linha de in�uência representa a variação de um determi-
nado efeito elástico, em uma seção de uma estrutura reticulada, devido a uma força vertical
orientada para baixo e unitária que percorre toda a estrutura.
A �gura 1.11 exibe os componentes de uma ponte em viga com vigas em seções I, indicando
os aparelhos de apoio, vigas de travamento, longarinas, blocos de fundação, estacas, encontros
e a separação entre superestrutura, mesoestrutura e infraestrutura.
Figura 1.11: Componentes de uma ponte em viga com longarinas em seção I (Fonte: adaptado
de Lee e Sternberg, 2015).
Stucchi (2006) ilustra um caso de pontes com duas longarinas consideradas indeslocáveis
e travadas por TI, no qual será calculada a linha de in�uência para uma das vigas, porém o
resultado pode ser extrapolado para a outra espelhando-a (FIG. 1.12).
Figura 1.12: Seção transversal e repartição de cargas (Fonte: Stucchi, 2006).
Os parâmetros da �gura 1.12 são de�nidos como:
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 21
M1 e M2 = Momentos �etores nas vigas 1 e 2 respectivamente;
V1 e V2 = Esforços cortantes nas vigas 1 e 2 respectivamente;
T = Momento de torção nas vigas, considerados nulos;
m, v e t = Momento �etor, esforço cortante e momento de torção na laje;
P = Intensidade da carga móvel.
A carga P tende a aumentar ou diminuir os esforços cortantes e momentos �etores nas vigas,
a depender de onde esteja posicionada ao longo da seção transversal, criando assim uma linha
de in�uência (li) determinada pelo parâmetro η (FIG. 1.13).
Figura 1.13: Linha de in�uência (li) da carga P para as reações na viga 1 (Fonte: Stucchi,
2006).
Logo, é possível calcular os esforços para cada longarina de forma simpli�cada, utilizando-se
a carga equivalente que é avaliada em ambas as vigas a partir do parâmetro η que é encontrado
locomovendo a carga P ao longo da seção transversal (FIG. 1.14).
Figura 1.14: Cargas equivalentes na viga 1 (a) e na viga 2 (b) e sistema longitudinal para
análise dos esforços para a viga 1 (c) (Fonte: Stucchi, 2006).
Apesar de Stucchi (2006) expor um método para obtenção das parcelas de carregamento
correspondente à cada uma das longarinas devido à uma carga P, estas podem apresentar �echas
consideráveis, tornando os resultados menos exatos. Logo, existem alguns métodos simpli�cados
que consideram os deslocamentos verticais das longarinas, dentre eles:
a) método de Engesser-Courbon;
b) método de Leonhardt;
c) método de Guyon-Massonet-Bares.
O método de Engesser-Courbon trata as transversinas com rigidez in�nita, tornando as
deformações da seção transversal desprezíveis. Segundo Rebouças et al. (2016), isso fez com que
o comportamento mecânico do conjunto à �exão transversal, na região das transversinas, �casse
semelhante ao de uma viga deslocando como corpo rígido sob apoios elásticos. Essa consideração
foi criada devido às pequenas deformações elásticas do tabuleiro quando comparadas as das
longarinas (FIG. 1.15).
As restrições na geometria da seção transversal para aplicação do modelo são citadas por
Stucchi (2006):
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.15: Deslocamento de corpo rígido para uma seção com cinco longarinas (Fonte: Re-
bouças et al ; 2016).
a) a largura da seção transversal é menor que metade do vão;
b) a altura das transversinas é da mesma ordem de grandeza daquela das longa-
rinas;
c) as espessuras das longarinas e das lajes são pequenas.
Além disso, adotam-se as mesmas hipóteses simpli�cadoras relativas a teoria de vigas e de
acordo com Alves et al. (2004):
a) as longarinas são paralelas, ligadas entre si perpendicularmente, por transver-
sinas e possuem inércia constante;
b) as transversinas estão simplesmente apoiadas nas longarinas e admite-se que
estas possuem rigidez in�nita à �exão, desprezando-se suas deformações em
relação às das longarinas;
c) desprezam-se os efeitos de torção.
Assim sendo, obtém-se as reações de apoio para cada longarina (Ri) a partir da seguinte
formulação:
Ri =
P
n
[
1 + 6
(2 i − n − 1 ) e
(n2 − 1 ) ξ
]
(1.1)
Sendo:
i = Número da íesima longarina, contada a partir da esquerda;
P = Carga atuante na seção transversal com transversina;
n = Número de longarinas;
e = Excentricidade horizontal da Carga P em relação ao baricentro da seção trans-
versal, sendo o sentido positivo da esquerda para direita;
ξ = Distância entre eixos das longarinas, consideradas igualmente espaçadas.
Por �m, obtém-se o coe�ciente de repartição transversal de cada longarina a partir da
consideração de que P é uma carga unitária, ou seja, esse valor é uma parcela da totalidade da
carga P que é absorvida individualmente.
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 23
rie =
1
n
[
1 + 6
(2 i − n − 1 ) e
(n2 − 1 ) ξ
]
(1.2)
Onde;
rie = Coe�ciente de repartição de carga da longarina i.
Em harmonia com Rebouças et al. (2016), o método desenvolvido pelo alemão Leonhardt
nas décadas de 40 e 50 é considerado bastante prático e de tratamento matemático relativamente
simples. Nele, considera-se a �exibilidade das transversinas, ou seja, não existe a consideração
de que o tabuleiro é indeformável.
Segundo Neto (2015), Leonhardt estuda o efeito de grelha aplicando a teoria das deformações
elásticas considerando apenas uma transversina central e supondo as longarinas com momento
de inércia constante e simplesmente apoiadas nos extremos.
Assim como o método anterior, as simpli�cações da teoria de vigas também são válidas com
os seguintes acréscimos, segundo Alves et al. (2004):
a) todas as transversinas do tabuleiro são representadas por uma única transver-
sina �ctícia, apoiada no meio dos vãos das diversas longarinas;
b) esta transversina �ctícia é considerada como simplesmente apoiada nas longa-
rinas;
c) desprezam-se os efeitos de torção.
O cálculo da inércia equivalente da transversina central é realizado a partir da equação:
Ieq,t = K It (1.3)
Sendo:
Ieq,t = Momento de inércia equivalente da transversina central;
It = Momento de inércia da transversina central;
K = Coe�ciente de majoração do momento de inércia da transversina central.
Sendo o coe�ciente K de�nido de acordo com a tabela 1.1.
No de transversinas intermediárias Coe�ciente K
1 ou 2 1
3 ou 4 1.6
5 ou mais 2
Tabela 1.1: Obtenção do coe�ciente de majoração do momento de inércia da transversina
central a partir do número de transversinas intermediárias.
Logo, determina-se o grau de rigidez da grelha. Este é um parâmetro que veri�ca a e�ciência
do conjunto de TI na distribuição transversal dos carregamentos, ou seja, quanto maioro grau,
maior é a distribuição de cargas.
ζ =
Il
Ieq,t
(
L
2ξ
)3
(1.4)
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Onde:
ζ = Grau de rigidez da grelha;
Il = Momento de inércia das longarinas;
L = Tamanho do vão das longarinas, consideradas como simplesmente apoiadas.
Para Neto (2015), ainda existem considerações a serem feitas para alguns casos:
a) quando a viga principal tem momento de inércia variável, o cálculo dos coe-
�cientes de distribuição deve ser feito diretamente pelo processo de grelhas,
porém de modo aproximado, o problema poderá ser resolvido multiplicando-se
o momento de inércia no centro da viga por coe�cientes ψc e ψv;
b) se existirem mais de duas transversinas intermediárias, substituem-se estas por
uma só transversina virtual com momento de inércia majorado pelo coe�ciente
K;
c) para as vigas contínuas com momento de inércia constante, pode-se utilizar
fatores dados em tabelas, permitindo, assim, corrigir os momentos de inércia
da viga real, para efeito do uso das tabelas de coe�cientes de distribuição;
d) algumas tabelas não podem ser usadas para casos com longarinas externas mais
reforçadas, sendo neste caso necessário utilizar dados fornecidos por Leonhardt.
A partir do grau de rigidez da grelha, obtém-se os coe�cientes de repartição transversal do
tabuleiro. Nos quais, são designados por rnk , em que o índice n indica a longarina que se está
avaliando e k o ponto onde está sendo aplicado a carga unitária. Uma vez obtidos os valores dos
coe�cientes rnk , as linhas de in�uência e os esforços são obtidos de forma análoga ao método
de Engesser-Courbon.
A �gura 1.16 apresenta um exemplo de aplicação do método para uma ponte com quatro
longarinas pelo método de Leonhardt.
Figura 1.16: Exemplo de aplicação do método de Leonhardt (Fonte: Adaptado de Neto, 2015).
Estando a carga P no ponta a:
raa = Quinhão de carga de P no ponto a que solicita a longarina A;
rba = Quinhão de carga de P no ponto a que solicita a longarina B ;
rca = Quinhão de carga de P no ponto a que solicita a longarina C ;
rda = Quinhão de carga de P no ponto a que solicita a longarina D.
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 25
Por equilíbrio de forças, sabe-se que:
raa + rba + rca + rda = 1 (1.5)
O método de Guyon-Massonet-Barres difere dos apresentados pela consideração da torção
nas vigas e por tratar o sistema contínuo como uma placa ortotrópica. Em harmonia com Alves
et al. (2004), são admitidas as hipóteses:
a) a espessura da placa é constante e pequena em relação às demais dimensões;
b) as deformações são puramente elásticas, obedecem a lei de Hooke e os deslo-
camentos são pequenos em relação à espessura da laje;
c) pontos alinhados segundo uma normal à superfície média da laje indeformada
encontram-se também linearmente dispostos em uma normal à superfície média
na con�guração deformada;
d) pontos situados na superfície média da laje deslocam-se somente normalmente
à mesma;
e) em relação ao material, admite-se que as propriedades elásticas sejam constan-
tes, podendo ser diferentes nas duas direções ortogonais.
Considera-se que o espaçamento entre longarinas e transversinas são su�cientemente pe-
quenos para que o sistema se assemelhe a uma placa. Assim sendo, o tabuleiro composto
por laje, longarinas e transversinas é substituído por uma placa ortotrópica equivalente (FIG.
1.17). Além disso, admite-se que qualquer distribuição de carregamento ao longo do sistema
equivalente seja aproximada por meio da expressão:
p (x) = psen
(π x
L
)
(1.6)
Onde:
p (x) = Função senoidal do carregamento distribuído;
p = Valor máximo do carregamento distribuído;
x = Distância longitudinal, partindo de uma borda.
A partir dessas considerações, logra-se a formulação de superfície elástica para uma placa
ortotrópica equivalente:
ρx
∂4
∂x4
w (x, y) + 2ϕ
√
pxpy
∂4
∂y2∂x2
w (x, y) + ρy
∂4
∂y4
w (x, y) = p (x, y) (1.7)
Sendo:
ρx = Rigidez à �exão das longarinas;
ρy = Rigidez à �exão das transversinas;
ϕ = Parâmetro de torção;
w (x, y) = Função que representa os deslocamentos elásticos.
26 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.17: Simpli�cação do carregamento distribuído para tabuleiros com larguras in�nita e
�nita (Fonte: adaptado de San Martin, 1981 apud Rebouças et al ; 2016).
Os parâmetros podem ser obtidos a partir das equações:
ρx =
EIl
L
(1.8)
ρy =
EIt
Lt
(1.9)
ϕ =
ρx + ρy
2
√
pxpy
(1.10)
Onde:
Lt = Comprimento das transversinas.
Os autores utilizaram uma carga P para simular a carga linear senoidal e consideraram
a premissa de muitas longarinas, propondo, assim, a solução do sistema análogo a uma viga
apoiada sobre base elástica (FIG. 1.18).
Figura 1.18: Transversina sobre base elástica (Fonte: Rebouças et al ; 2016).
Obtendo-se a equação:
d4
dy4
v (y) +
ρxπ
ρyL4
v (y) = 0 (1.11)
Sendo:
v (y) = Função do deslocamento vertical da viga.
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 27
Observa-se que a solução do sistema com uma viga apoiada sobre elástica com uma carga
concentrada é semelhante à de uma viga simplesmente apoiada sobre base elástica com módulo
de recalque (µo):
µo =
ρxπ
ρyL4
(1.12)
Logo, calculam-se os índices de repartição transversal (χϕ) a partir da solução da equação da
superfície elástica da placa ortotrópica equivalente, utilizando tabelas propostas pelos autores.
Para isso, determinam-se os parâmetros:
a) Coe�ciente de travejamento (θ), de�nido na equação 1.13;
b) Parâmetro de torção (ϕ), de�nido na equação 1.10;
c) Posição da carga, de�nido por sua excentricidade (e);
d) pontos situados na superfície média da laje deslocam-se somente normalmente
à mesma;
e) Posição da viga que se quer conseguir os índices de repartição transversal.
O coe�ciente θ é dado por:
θ =
b
L
4
√
ρx
ρy
(1.13)
En�m, com os valores dos coe�cientes de distribuição de cargas, pode-se traçar as linhas de
in�uência e, assim, determinar os esforços e deslocamentos correspondentes.
Além desses métodos, existem outros como: (a) método de Homberg-Trenks e (b) Fauchart,
sendo descritos em Alves et al. (2004) e Stucchi (2006) respectivamente.
Para pontes em viga sem TI, Hambly (1991) sugere a análise dos esforços e deslocamen-
tos longitudinais a partir de simples combinações de vigas, considerando parte da laje como
elemento da viga, atuando como mesas superiores da viga (FIG. 1.19a).
Veri�cam-se que há cuidados necessários para se estudar os deslocamentos transversais nas
vigas, visto que se geram rotações que não são determinadas quando se considera a teoria de
vigas planas (FIG. 1.19b).
Figura 1.19: Análise estrutural de pontes em viga: (a) tratamento do tabuleiro como sendo
diversas vigas isoladas; (b) deslocamentos transversais da seção considerando vigas contínuas
(Fonte: Hambly, 1991).
28 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Para se obter soluções mais exatas, adota-se a solução com superfícies de in�uência, que de
acordo com Souza e Cunha (1998) apud Abreu e Aguiar (2016) é uma extensão do procedimento
com linhas de in�uência para estruturas bidimensionais. Sendo o valor da ordenada de um
ponto na superfície representativo do efeito elástico produzido na seção de observação devido
a uma carga unitária orientada na vertical e para baixo aplicada sobre o ponto da ordenada na
estrutura (FIG. 1.20).
Figura 1.20: Exemplo de superfície de in�uência (Fonte: Abreu e Aguiar, 2016).
A obtenção de um esforço elástico através de uma superfície de in�uência pode ser realizada
com a solução da equação:
Es =
n∑
i=1
qiVol i +
n∑
i=1
piAi +
n∑
i=1
PiWi (1.14)
Onde:
qi = Intensidade do carregamento distribuído em área;
Vol i = Volume da superfície de in�uência pelo carregamento distribuído na área em
questão;
pi = Intensidade do carregamento distribuído em linha;
Ai = Área da superfície de in�uência delimitada pelo carregamento distribuído
linear em questão;
Pi = Intensidade da força concentrada;
Wi = Ordenada da superfície de in�uência no ponto de aplicação de Pi.
Ao �nal, o uso de superfícies de in�uências é viável apenas numericamente por se tratar de
formulações extensas e complexas.
Uma vez obtidasas linhas de in�uência ou superfícies de in�uência, o trabalho direciona-
se as soluções das equações analíticas da teoria de vigas e placas ou numéricas considerando
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 29
pórticos, grelhas, elementos �nitos ou elementos de contorno. A �m de se lograr as envoltórias
dos esforços, deslocamentos, tensões e deformações da estrutura.
EXEMPLO: Dada a seção transversal a seguir, calcule as linhas de in�uência a partir dos
métodos: (a) longarinas indeslocáveis, (b) Engesser-Courbon e (c) Leonhardt. Considere que
o vão é biapoiado e possui comprimento igual a 30 metros e as transversinas possuem largura
igual a 20 cm e são espaçadas a cada 15 metros.
Figura 1.21: Geometria da seção transversal.
SOLUÇÃO: Inicialmente, precisa-se desenhar o modelo estrutural (FIG. 1.22) constituído
pelas lajes (elemento de barra) e longarinas (apoios) e introduzindo os eixos de referência, sendo
R1 , R2 , R3 , R4 e R5 as reações de apoio nas longarinas para a carga unitária P .
Figura 1.22: Modelo estrutural para obtenção das linhas de in�uência.
Posto isto, é possível observar que o eixo de referência e utilizado para o método de Engesser-
Courbon (EQ. 1.1) é calculado em função do eixo x através da equação 1.15, sendo expresso
em centímetros.
e = x − 705 (1.15)
a) Método das Longarinas Indeslocáveis: Calculam-se as reações de apoio para alguns
pontos especí�cos conforme ilustrado na tabela a seguir, destaca-se ainda que o sistema é hipe-
restático, sendo necessário utilizar o método das forças, método dos deslocamentos, método dos
trabalhos virtuais ou alguma ferramenta computacional como o Ftool, por exemplo. Apesar da
hiperestaticidade, como as lajes possuem espessuras e propriedades físicas constantes, qualquer
valor obtido para rigidez dos elementos apresentará os mesmo resultados.
30 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Posição x (m) R1 R2 R3 R4 R5
0 1.2 -0.3 0.1 0.0 0.0
0.57 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0
2.19 0.4 0.7 -0.2 0.0 0.0
3.81 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0
5.43 -0.1 0.6 0.6 -0.1 0.0
7.05 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
8.67 0.0 -0.1 0.6 0.6 -0.1
10.29 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
11.91 0.0 0.0 -0.2 0.7 0.4
13.53 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0
14.1 0.0 0.0 0.1 -0.3 1.2
Tabela 1.2: Obtenção das reações de apoio através do método das longarinas indeslocáveis para
uma carga unitária com posição variável.
Figura 1.23: Linhas de in�uência das reações de apoio das longarinas.
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 31
A �gura 1.23 ilustra os resultados das linhas de in�uência para as reações R1 , R2 e R3 ,
sendo as reações R4 e R5 similares as R1 e R2 , porém espelhadas.
b) Método Método de Engesser-Courbon: Para este método, utiliza-se a equação a
seguir. Destaca-se que n é o número de longarinas, sendo duas neste caso, i é o número da
longarina avaliada, contada a partir da esquerda, e ξ é a distância entre eixos das longarinas
(FIG. 1.22).
ηi(x ) =
1
n
[
1 + 6
(2 i − n − 1 ) (x − 7 .05 )
(n2 − 1 ) ξ
]
(1.16)
Portanto, sabe-se que a carga P é unitária, o número n de longarinas é igual a 5, a distância
entre eixos ξ das longarinas é igual a 3.24 metros. Assim sendo, encontram-se as equações na
continuidade.
η1 (x ) =
1
5
[
1 + 6
(2 · 1 − 5 − 1 ) (x − 7 .05 )
(5 2 − 1 ) · 3 .24
]
= −0 .062 x + 0 .64 (1.17)
η2 (x ) =
1
5
[
1 + 6
(2 · 2 − 5 − 1 ) (x − 7 .05 )
(5 2 − 1 ) · 3 .24
]
= −0 .031 x + 0 .42 (1.18)
η3 (x ) =
1
5
[
1 + 6
(2 · 3 − 5 − 1 ) (x − 7 .05 )
(5 2 − 1 ) · 3 .24
]
= 0 .2 (1.19)
A �gura 1.24 expõe as linhas de in�uência das reações de apoio das longarinas para uma
carga concentrada unitária.
Figura 1.24: Linhas de in�uência das reações de apoio das longarinas.
32 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
c) Método Método de Leonhardt: Calcula-se inicialmente o momento de inércia equi-
valente da transversina central, sendo esta representada por uma seção retangular de 20x80.
Além disso, foi de�nido que as transversinas são espaçadas a cada 15 metros, ou seja, existe
apenas uma transversina intermediária e duas de apoio, posto isto o valor de K é igual a 1
(TAB. 1.1).
It =
bh3
12
=
0 .2 · 0 .8 3
12
= 0 .0085m4 (1.20)
Ieq,t = K It = 1 · 0 .0085 = 0 .0085m4 (1.21)
Além disso, deve-se determinar o momento de inércias das longarinas. Estas foram con-
sideradas como seções T, apresentando as seguintes dimensões: (a) largura colaborante (bf )
igual a 3.24 metros, (b) largura da alma (bw) igual a 0.2 metros, (c) altura total (h) igual a
1.9 metros e (d) altura da mesa (hf ) igual a 0.3 metros. O momento de inércia é calculado na
continuidade. A metodologia de obtenção da largura colaborante no item 2.1.2, enquanto as
equações do momento de inércia para uma seção T estão descritas no item 4.1. Além disso, o
capítulo 11 descreve com mais detalhes como se obter esses resultados.
Il = 0 .29m
4 (1.22)
Com isso, é possível obter o grau de rigidez da grelha, no qual o comprimento L é o tamanho
do vão biapoiado que é igual a 30 metros.
ζ =
Il
Ieq,t
(
L
2ξ
)3
=
0 .29
0 .0085
·
(
30
2 · 3 .4
)3
= 2930 > 500 → ζ ∼=∞ (1.23)
Utilizando o valor de ζ na tabela com 5 longarinas exposta nos apêndices, encontram-se os
valores na continuidade.
Posição x (m) R1 R2 R3 R4 R5
0.57 0.6 - - - -0.2
3.81 0.4 0.3 - 0.1 0.4
7.05 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
10.29 0.0 0.1 - 0.3 0.0
13.53 -0.2 - - - 0.6
Tabela 1.3: Obtenção das reações de apoio através do método de Leonhardt para uma carga
unitária com posição variável.
As �guras 1.25 e1.26 expõem os resultados das linhas de in�uências para as reações de apoio
das longarinas pelo método de Leonhardt.
Figura 1.25: Linhas de in�uência das reações de apoio da longarina 1.
1.3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 33
Figura 1.26: Linhas de in�uência das reações de apoio das longarinas 2 e 3.
Avalia-se que os métodos de Engesser-Courbon e Leonhardt apresentam valores bastante
inferiores ao método das longarinas indeslocáveis, ou seja, para este caso a deformabilidade
do tabuleiro acaba reduzindo as reações, gerando resultados mais econômicos. Além disso,
os métodos de Engesser-Courbon e Leonhardt apresentam valores similares devido ao fato do
parâmetro ζ ser muito alto e considerado in�nito para o uso das tabelas.
Por �m, o método das longarinas indeslocáveis na prática só deve ser empregado em ta-
buleiros com 2 longarinas, em razão de que o sistema é isostático e apresentará os mesmos
resultados independente do modelo analítico utilizado.
1.3.3 Pontes em Pórtico
As pontes em pórtico diferenciam-se das pontes em laje e em viga por apresentar ligações rígidas
ou semi-rígidas entre as partes do tabuleiro e dos pilares ou paredes dos encontros.
Leonardt (1979) explica que a extremidade da viga é engastada, com isso uma parcela do
momento é diminuída pelo momento negativo do engastamento, o que conduz à redução da
altura necessária do vão. É comum o uso desse tipo de sistema estrutural em pontes com tramo
único.
O método de análise estrutural para esse sistema deve integrar os pilares com a superestru-
tura, fazendo com que modelos de grelha já não sejam viáveis. Para tanto, seriam necessários
modelos de pórticos, associação pórtico-grelha ou o método dos elementos �nitos. O cálculo
das linhas de in�uência emprega os métodos abordados no tópico sobre pontes em viga.
O sistema estrutural da superestrutura pode ser contínuo ou simplesmente apoiado nos
pilares, sendo estaticamente determinado para momentos �etores e de torção (FIG. 1.27a),
determinado apenas para momentos �etores (FIG. 1.27b e 1.27c) e indeterminado para ambos
(FIG. 1.27d). O grau de indeterminação estático ainda pode variar a depender das vinculações
dos pilares com os elementos de fundação e entre longarinas conforme ilustra Hambly (1991).
O'Brien e Keogh (1999) ilustram casos típicos de distribuições de momentos �etores pra
pontes em viga ou laje que podem apresentar rótulas (FIG. 1.29a), continuidades (FIG. 1.29b)
entre tabuleiros e continuidades com pilares e encontros (FIG. 1.29c). Podendo ser interpretados
como casos usuais de tabuleiros pré-moldados quando são simplesmente apoiados nos pilares
e moldados no local quando possuem ligações monolíticase contínuas com os pilares e/ou
encontros.
As ligações devem ser executadas para que o desempenho real seja compatível com as
34 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.27: Variabilidade do grau de determinação estática a partir dos vínculos e continuidade
dos tramos: (a) tabuleiro simplesmente apoiado e determinado estaticamente para momentos
�etores e de torção; (b) tabuleiro simplesmente apoiado e determinado estaticamente para
momentos �etores; (c) múltiplos tramos simplesmente apoiados e determinados estaticamente
para momentos �etores; (d) múltiplos tramos contínuos e indeterminados estaticamente (Fonte:
Hambly, 1991).
vinculações utilizadas no modelo de cálculo, sendo comum o uso de aparelhos de apoio para
desvincular o tabuleiro dos pilares e o emprego de concretagens posteriores entre vigas pré-
moldadas para que se tenha ou não continuidades nas transmissões de esforços entre vãos.
Fu e Wang (2015) apresentam casos com lajes e juntas moldadas simultaneamente (FIG.
1.30a) para tabuleiros sem continuidade nos apoios, vãos contínuos sem juntas (FIG. 1.30b) e
com a ligação no apoio realizada por cabos de protensão (FIG. 1.30c) ou por armaduras passivas
(FIG. 1.30d)
1.4 Aparelhos de Apoio
�O termo ligação é aplicado a todos os detalhes construtivos, os quais promovam a união de
partes da estrutura entre si ou a sua junção com elementos externos a ela� (CBCA, 2003).
Sendo assim, as transmissões dos esforços entre peças estruturais devem-se às ligações entre
elas. Desta forma, as referidas peças possuem fundamental importância no comportamento
global da estrutura.
Para a calibração do modelo estrutural, faz-se necessário de�nir com clareza as ligações entre
os membros estruturais e assim de�nir as restrições cinemáticas do problema. �Na interação
superestrutura e mesoestrutura são introduzidos aparelhos de apoios que são dispositivos que
fazem a transição entre esses elementos� (NORMA DNIT 091, 2006).
Os aparelhos de apoio elastoméricos, mais conhecidos como neoprene são os mais emprega-
1.4. APARELHOS DE APOIO 35
Figura 1.28: Variabilidade do grau de determinação estática a partir dos vínculos entre
longarinas-longarinas, longarinas-pilares e pilares-fundações e continuidade dos tramos: (a) es-
trutura determinada estaticamente; (b) estrutura indeterminada estaticamente (Fonte: Hambly,
1991).
Figura 1.29: Típica distribuição de momentos �etores para pontes em laje ou viga: (a) tabuleiros
simplesmente apoiados; (b) tabuleiros contínuos nos apoios intermediários; (c) tabuleiros com
ligações rígidas nos apoios (Fonte: O'Brien e Keogh, 1999).
dos. Estes segundo Machado e Sartori (2010), geram entre a superestrutura e a mesoestrutura,
uma ligação �exível apresentando grandes deformações e deslocamentos. Com isso, as principais
características desse elastômero à base de policloropreno (borracha sintética) são:
36 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Figura 1.30: Ligações e vinculações típicas em pontes em laje ou viga: (a) tabuleiros sim-
plesmente apoiados; (b) tabuleiros contínuos; (c) tabuleiros contínuos com uso de armaduras
ativas; (d) tabuleiros contínuos com o uso de armaduras passivas (Fonte: adaptado de Fu e
Wang, 2015).
a) baixo valor de módulo de deformação transversal;
b) baixo valor de módulo de deformação longitudinal;
c) grande resistência a intempéries.
Devido à alta deformação do elastômero mediante à cargas verticais, a NBR 9062 (2006)
determina que as chapas podem ser de aço inoxidável, quando a utilização dos apoios se der em
ambientes protegidos e não agressivo, recomenda-se a utilização de chapas de aço-carbono desde
que as faces laterais das chapas estejam revestidas com elastômero, com cobrimento mínimo de
0,5 centímetros e as demais com 0,3 centímetros. Por �m, as chapas devem ser solidarizadas
por vulcanização ou colagem especial e devem possuir espessura mínima igual a 1 milímetro,
enquanto cada camada de elastômero pode ter espessura mínima de 2 centímetros.
A �gura 1.31 ilustra dois tipos de aparelhos de apoio, sendo o primeiro (a) sem chapas de
reforço e o segundo (b) com as chapas de reforço.
A NBR 9062 (2006) a�rma ainda que na falta de ensaios conclusivos, recomenda-se utilizar
os seguintes valores indicativos de correspondência entre a dureza Shore A e o módulo de
elasticidade transversal G, à temperatura de 20o C dispostos na tabela 1.4:
Dureza Shore (A) 50 60 70
Módulo G (MPa) 0.8 1.0 1.2
Tabela 1.4: Correspondência entre a dureza Shore A e o módulo G, à temperatura de 20o C
(Fonte: adaptado da NBR 9062, 2006).
Os aparelhos de apoio custam em torno de 1 % do valor da obra, porém costumam causar
muitos problemas, uma vez que quando dimensionados inadequadamente costumam dani�car
as juntas de dilatação e os elementos estruturais que estão sendo conectados. Alguns destes
problemas podem ocorrer devido aos fatores:
1.4. APARELHOS DE APOIO 37
Figura 1.31: Aparelhos de apoio elastoméricos: (a) sem reforço e (b) com reforço de chapas
(Fonte: adaptado de Neoprex Catálogo Técnico).
a) danos intrínsecos não dectados durante a instalação: podem surgir �ssuras,
reduzindo a vida útil do aparelho, ou patologias na ligação com o berço ou
longarina, ocasionando escorregamento relativo entre os elementos;
b) posicionamento incorreto no berço: tende a provocar sobrecargas adicionais
localizadas;
c) carregamentos superiores ao previsto: pode causar grandes deslocamentos e
�ssurar o aparelho, dani�cando o recobimento das chapas;
d) agressividade não prevista no meio ambiente e ataque por produtos químicos:
reduz a vida útil;
e) erros de projeto: podem causar colapsos da estrutura.
Salienta-se que nem sempre é preciso substituir os aparelhos de apoio, sendo o trabalho de
monitoração destes elementos na ponte Rio-Niterói um exemplo. Neste serviço, foram veri�ca-
dos como o estado dos aparelhos estejam interferindo no comportamento do sistema estrutural
global a partir do monitoramento da estrutura e de ensaios em alguns que foram substituidos.
Ao �nal não foram necessários realizar as intervenções, já que as patologias detectadas esta-
vam no deterioramento das camadas externas da borracha elastomérica (até 2 cm), todavia as
regiões internas estavam em bom estado e permaneciam funcionando perfeitamente. As con-
clusões deste serviço foram que se estes elementos forem projetados, produzidos e instalados
corretamente, tendem a ter durabilidade similar a obra.
Contudo, os casos em que forem imprescindíveis a troca dos aparelhos de apoio, alguns
procedimentos devem ser seguidos (MACHADO E SARTORI, 2010):
a) desviar o tráfego durante a realização do serviço;
b) a estrutura necessita ser macaqueada seguindo projeto executivo especí�co
para que não seja dani�cada;
c) as juntas de dilatação precisam ser limpas antes do início dos procedimentos
de macaqueamento;
d) para substituição de aparelhos de apoio nos encontros, deve-se remover uma
faixa de aterro da cabeceira, com posterior preenchimento com solo-cimento e
compactação manual para consolidação antes do início do trabalho;
38 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
e) ainda sobre os aparelhos de apoio nos encontros, quando existerem lajes de
aproximação, estas devem ser removidas, posto que di�cultam o procedimento
pela di�culdade de acesso aos aparelhos;
f) à medida que a estrutura se desliga do aparelhos, devem ser inseridos calços
ou equipamentos de alto-travamento de modo a evitar acidentes;
g) após a substituição dos aparelhos de apoio, a operação deve ocorrer de modo
inverso, com a retirada gradual dos calços.
A �gura 1.32 ilustra alguns dispositivos para substituição dos aparelhos de apoio. O tipo A
apresenta a utilização das travessas como elemento de suporte para colocação dos macacos e,
posterior, elevação das longarinas. Todavia, nesta situação as travessas devem ser dimensiona-
das para esta condição e os pontos de macaqueamento devem ser previstos e explicitados em
projeto. Já o tipo B, torna-se interessante quando não há espaço su�ciente entre as travessas e
as longarina ou quando estas não foram dimensionadaspara tal esforço, sendo inseridos novos
consolos com protensão (tirante) para efetuar a ligação com os pilares e travessas, e os macacos
são posicionados acima destes novos elementos. O tipo C é similar ao anterior, porém o em-
prego é em pontes com seção celular, enquanto o tipo D adota a mesma estratégia do primeiro
com a redução do nível das travessas ou pilares em determinados trechos para colocação dos
equipamentos. Por �m, o tipo E é caracterizado pela construção de uma estrutura auxiliar ex-
terna e temporária como suporte dos macacos, sendo viável economicamente quando os pilares
possuem alturas relativamente pequenas e as soluções anteriores não sejam favoráveis.
1.4. APARELHOS DE APOIO 39
F
ig
ur
a
1.
32
:
D
is
po
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19
96
).
40 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Para os aparelhos de elastômero simples, não fretados, são empregados usualmente com
espessuras de 5.0 mm, 6.3 mm, 10 mm, 12.5 mm, 16 mm, 20 mm, 22 mm e 25 mm. Todavia, são
recomendadas espessuras mínimas de 12,5 mm. Já os fretados são determinados em catálogos
comerciais, sendo a tabela 1.5 retirada da empresa NEOPREX. As dimensões a e b representam
os comprimentos e larguras dos aparelhos quando retangulares e φ o diâmetro quando circulares.
Espessuras (mm)
Dimensões Altura Número de Número de
a x b ou D do aparelho Cobrimento Camadas de chapas de camadas
(mm) Mín Máx Vertical Lateral elastômero aço Mín Máx
100 x 100 14 35 2.5 4 5 2 1 4
100 x 150 14 35 2.5 4 5 2 1 4
100 x 200 14 35 2.5 4 5 2 1 4
150 x 200 21 42 2.5 4 5 2 2 5
φ 200 21 42 2.5 4 5 2 2 5
150 x 250 21 42 2.5 4 5 2 2 5
150 x 300 21 42 2.5 4 5 2 2 5
φ 250 30 63 2.5 4 8 3 2 5
200 x 250 30 63 2.5 4 8 3 2 5
200 x 300 30 63 2.5 4 8 3 2 5
200 x 350 30 63 2.5 4 8 3 2 5
φ 300 30 63 2.5 4 8 3 2 5
200 x 400 30 63 2.5 4 8 3 2 5
250 x 300 30 74 2.5 4 8 3 2 6
300 x 400 47 86 2.5 4 10 3 3 6
φ 400 47 86 2.5 4 10 3 3 6
300 x 500 47 86 2.5 4 10 3 3 6
φ 450 47 86 2.5 4 10 3 3 6
300 x 600 47 86 2.5 4 10 3 3 6
350 x 450 47 86 2.5 4 10 3 3 6
φ 500 57 105 2.5 4 12 4 3 6
400 x 500 57 105 2.5 4 12 4 3 6
φ 550 57 105 2.5 4 12 4 3 6
400 x 600 57 105 2.5 4 12 4 3 6
450 x 600 57 105 2.5 4 12 4 3 6
φ 600 73 105 2.5 4 12 4 4 6
500 x 600 73 105 2.5 4 12 4 4 6
φ 650 90 150 2.5 4 15 5 4 7
600 x 600 90 150 2.5 4 15 5 4 7
Tabela 1.5: Dimensões padronizadas de aparelhos de apoio fretados da empresa NEOPREX
(Fonte: adaptado de Neoprex Catálogo Técnico).
1.4. APARELHOS DE APOIO 41
Referências e Bibliogra�a Recomendada
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of Modern Highway Bridges. McGraw-Hill Professional. 2 ed. New York, USA. 2007.
CAPÍTULO 2
Dimensionamento de Armaduras
Neste capítulo são ilustrados os roteiros de dimensionamento de armaduras longitudinais e
transversais para seções retangulares e seções T segundo as considerações da NBR 6118 (2014)
para vigas e lajes. Destaca-se que os esforços a serem considerados no dimensionamento são
determinados a partir dos estados limites últimos, sendo estes detalhados nos capítulos a seguir.
2.1 Dimensionamento de Armaduras Longitudinais
O dimensionamento das armaduras longitudinais em seções submetidas à �exão simples parte
do pressuposto que o elemento estrutural atingiu o estádio III, ou seja, a zona comprimida
encontra-se plasti�cada enquanto a tracionada está �ssurada e a apenas o aço está trabalhando.
Para tal, algumas hipóteses são consideradas:
a) admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto;
b) a resistência do concreto à tração é desprezada;
c) adota-se a condição que a peça quando submetida à solicitações normais, man-
tém a seção transversal plana até a ruptura.
Assim sendo, a �gura 2.1 apresenta o equilíbrio de forças em uma seção retangular com
armaduras simples submetida à �exão simples, sendo possível observar que a tração do concreto
foi desprezada e o diagrama parábola-retângulo é substituído por um diagrama retangular com
mesma área. Estas considerações são abordadas na NBR 6118 (2014), nos quais os parâmetros
são:
d - Distância do centro de gravidade das armaduras de tração até a borda compri-
mida;
d′ - Distância do centro de gravidade das armaduras de tração até a borda tracio-
nada;
h - Altura da seção transversal;
fcd � Resistência à compressão de cálculo do concreto;
As � Área de aço tracionada da seção transversal;
42
2.1. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS LONGITUDINAIS 43
LN � Abreviação de linha neutra;
x � Distância da linha neutra até a borda comprimida;
ξc � Deformação do concreto;
ξs � Deformação do aço;
fyd � Tensão de escoamento de cálculo do aço;
Md � Momento �etor de cálculo atuante na seção transversal;
y � Comprimento simpli�cado das tensões de compressão atuantes na seção trans-
versal;
Rcc � Força resultante de compressão atuante no concreto devido ao momento �etor;
Rst � Força resultante de tração atuante nas armaduras devido ao momento �etor.
Figura 2.1: Esquema ilustrativo do equilíbrio de forçasem uma seção sob �exão.
A determinação da distância entre o centro de gravidade das armaduras longitudinais até
as bordas depende principalmente do cobrimento, sendo este determinado a partir da tabela
2.1 obtido através da NBR 6118 (2014).
Classe de agressividade ambiental
Tipo de Componente ou Classe I Classe II Classe III Classe IV
estrutura elemento Cobrimento nominal (mm)
Laje 20 25 35 45
Concreto Viga/pilar 25 30 40 50
armado Elementos estruturais em
contato como o solo 30 30 40 50
Concreto Laje 25 30 40 50
protendido Viga/pilar 30 35 45 55
Tabela 2.1: Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal
(Fonte: adaptado da NBR 6118, 2014).
44 CAPÍTULO 2. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS
Além disso, a NBR 6118 (2014) introduz algumas observações:
a) Para o cobrimento nominal da bainha ou dos �os, cabos e cordoalhas. O
cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto
armado;
b) Para a face superior de lajes e vigas em concreto armado que serão revestidas
com argamassa de contrapiso, com revestimentos �nais secos tipo carpete e
madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como pisos de elevado
desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências deste qua-
dro podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 da NBR 6118 (2014), respeitando
um cobrimento nominal mínimo igual a 15 milímetros;
c) Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações
de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de e�uentes
e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, devem ser
atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV;
d) No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação,
a armadura deve ter cobrimento nominal maior ou igual a 4,5 centímetros.
As classes de agressividade segundo a tabela 6.1 da NBR 6118 (2014) são descritas como:
a) classe I: agressividade fraca, ambientes rurais ou submersos com risco insigni-
�cante de deterioração da estrutura;
b) classe II: agressividade moderada, ambientes urbanos ou marinhos com risco
pequeno de deterioração da estrutura;
c) classe III: agressividade forte, ambientes marinhos ou industriais com risco
grande de deterioração da estrutura;
d) classe IV: agressividade elevada, ambientes industriais ou com respingo de maré
com risco elevado de deterioração da estrutura.
Segundo a classi�cação da NBR 6118 (2014), as estruturas de pontes podem se enquadrar em
mais de uma classe de agressividade a depender do ambiente onde será implantada a estrutura.
2.1.1 Dimensionamento de Seções Retangulares
Para dimensionamento das armaduras longitudinais de uma seção retangular em concreto ar-
mado, deve-se inicialmente calcular a posição da linha neutra e, posteriormente, determinar em
qual estádio de deformação está a peça.
Portanto, o parâmetro a ser calculado é a distância da linha neutra até a borda comprimida
(x) e pode ser dimensionado a partir do parâmetro de ductilidade (ξ) através do equilíbrio de
forças seguindo o esquema da �gura 2.1:
ξ =
x
d
=
x
h− d′
(2.1)
Onde:
0 .4 ξ2 − ξ + Md
0 .68 bwd2fcd
= 0 (2.2)
Porém, é necessário determinar a resistência à compressão de cálculo do concreto (fcd)
a partir do coe�ciente de ponderação da resistência do concreto (γc) e da largura da seção
transversal (bw):
2.1. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS LONGITUDINAIS 45
fcd =
fck
γc
=
fck
1 .4
(2.3)
Após isto, veri�ca-se o domínio de deformação da seção, no qual:
a) domínio I: caracteriza-se pela seção submetida à tração apenas, tendo a ruptura
plástica excessiva das armaduras (ξs = 10h);
b) domínio II: caracteriza-se pela seção submetida à �exão simples ou composta,
tendo a ruptura por deformação plástica excessiva das armaduras (ξs = 10h),
enquanto o concreto não atingiu o encurtamento limite (ξc < 3 .5h);
c) domínio III: caracteriza-se pela seção submetida à �exão simples ou composta,
tendo a ruptura no concreto (ξc = 3 .5h), porém ocorreu escoamento das
armaduras sem ruptura (ξyd ≤ ξs < 10h);
d) domínio IV: caracteriza-se pela seção submetida à �exão simples ou composta,
ruptura no concreto (ξc = 3 .5h), porém ocorreu as armaduras não sofreram
escoamento (ξs < ξyd);
e) domínio V: caracteriza-se pela seção submetida à compressão apenas, tendo a
ruptura no concreto (ξc = 2h).
Destaca-se que a deformação longitudinal de cálculo da armadura quando atinge o esco-
amento (ξyd) varia a depender do tipo de aço utilizado, sendo para os aços com patamar de
escoamento bem de�nido (CA-25 e CA-50):
�yd =
fyd
Es
(2.4)
Para os aços sem patamar de escoamento bem de�nido (CA-60) é:
�yd =
fyd
Es
+ 2h (2.5)
A tensão de escoamento de cálculo do aço (fyd) é calculada a partir da tensão de escoamento
característica do aço (fyk) reduzida pelo coe�ciente de minoração do aço (γs) que é exposto na
NBR 6118 (2014) como sendo igual a 1.15.
fyd =
fyk
γs
=
fyk
1 .15
(2.6)
Então os valores de deformações longitunais de cálculo das armaduras no escoamento utili-
zadas no Brasil em estruturas de concreto armado estão descritos na tabela 2.2.
Tipo de Aço Es (kN/cm2) Fyk (kN/cm2) Fyd (kN/cm2) ξyd (h)
CA-25 25 21.74 1.035
CA-50 21000 50 43.5 2.071
CA-60 60 52.17 4.484
Tabela 2.2: Deformçãoes longitudinais de cálculo das armaduras quanto antigem o escoamento.
Para uma seção submetida à �exão simples apenas os domínios de deformação II, III e IV
são alcançáveis, todavia o último apresenta ruptura frágil ou brusca, uma vez que as armaduras
longitudinais não escoaram e, consequentemente, a peça não apresenta grandes deslocamentos
antes da ruptura, podendo romper sem sofrer trincas visíveis.
46 CAPÍTULO 2. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS
Caso ξ ≤ ξ2−3 a peça se encontra no domínio II, se ξ2−3 < ξ ≤ ξ3−4 está no domínio III e se
ξ > ξ3−4 está no domínio IV, porém se a peça estiver neste no IV é sugerido utilizer armaduras
duplas e, assim, reduzir o valor de ξ até valores pré-estabelecidos.
Portanto, os limites dos domínios são determinados na tabela 2.3.
Tipo de Aço ξ2−3 ξ3−4
CA-25 0.772
CA-50 0.259 0.628
CA-60 0.438
Tabela 2.3: Limites entre domínios de deformação a partir da ductilidade ξ.
Além disso, a NBR 6118 (2014) no item 14.6.4.3 determinar limites de ductilidade (ξlim) a
depender da resistência característica do concreto à tração (fck) sendo de�nidos na tabela 2.4.
Classe do Concreto ξlim
fck ≤ 50MPa 0.45
fck > 50MPa 0.35
Tabela 2.4: Limites ductilidade a partir das recomendações da NBR 6118 (2014).
Assim sendo, em geral se ξ ≤ ξlim adotam-se armaduras simples (FIG. 2.2a) e quando
ξ > ξlim empregam-se armaduras duplas (FIG. 2.2b).
Figura 2.2: Seção retangular com armaduras simples (a) e duplas (b).
Sendo:
d′ = Distância do centro de gravidade das armaduras comprimidas até a borda
comprimida;
A′s = Área de aço das armaduras longitudinais comprimidas.
Desta forma, no caso de seções com armaduras simples (ξ ≤ ξlim e ξ ≤ ξ3−4 ) determina-se
a área de aço necessária (As) para equilibrar a seção:
As =
0 .68 bwdξ fcd
fyd
(2.7)
2.1. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURAS LONGITUDINAIS 47
No caso de armaduras duplas, a área de aço necessária de tração (As) é:
As =
0 .68 bwdξlim fcd
fyd
+ A′s (2.8)
E a área de aço necessária comprimida (A′s) é:
A′s =
Md − 0 .68 bwd2ξlim fcd(1− 0 .4 ξlim)
fyd(d− d′′)
(2.9)
Porém, a área de aço de tração deve ser maior ou igual a área de aço mínima, sendo
esta empregada para melhorar o desempenho e a ductilidade à �exão, assim como controlar a
�ssuração (NBR 6118, 2014). Para tal, as taxas mínimas de armaduras longitudinais (ρmin)
para cada valor de resistência característica à compressão do concreto (fck) é descrita na tabela
2.5 para vigas.
Forma da seção Valores de ρmin (%)
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50
Retangular 0.15 0.15 0.15 0.164 0.179 0.194 0.208
C55 C60 C65 C70 C75 C80 C85
0.211 0.219 0.226 0.233 0.239 0.245 0.251
Tabela 2.5: Taxas mínimas de armaduras de �exão para vigas (Fonte: adaptado da NBR 6118,
2014).
Destaca-se que a nomenclatura C20, C25, ..., C90 signi�ca