Comportamento_RLC_em_CA

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COMPORTAMENTO DO R, C E L EM CORRENTE ALTERNADA 
 
 
RESISTÊNCIA EM CIRCUITOS CA 
 
 Em um circuito CA, formado somente por resistências, as variações na corrente ocorrem em 
fase com a tensão aplicada. Isso ocorre porque as resistências possuem apenas um comportamento 
ôhmico resistivo e não reativo, pois a sua resistência é uma constante R independente da frequência, 
conforme mostram as Figuras abaixo. 
 
 
Figura 1 - Resistor em corrente alternada. 
 
 
Figura 2 - Representação temporal. 
 
Figura 3 - Representação fasorial. 
 
Figura 4 - Representação complexa. 
 
 
 2 
COMPORTAMENTO DO CAPACITOR IDEAL EM CA E REATÂNCIA CAPACITIVA 
 
 
Dedução Matemática do Comportamento do Capacitor Ideal em CA e Reatância Capacitiva 
 
 
A relação entre a tensão vc(t) e a corrente ic(t) no capacitor pode ser dada matematicamente 
por meio das expressões: 
 
dt
dv
C.)(i e vi.dt
C
1)(v cc
t
o
c0c =+= ∫ tt 
 
 onde vc0 é o valor inicial do capacitor no tempo t = 0s. 
 
 
Considerando que o capacitor esteja submetido a uma tensão CA co-senoidal com fase inicial 
nula, isto é: 
 
vc(t) = Vcp⋅cos ωt ou Vc = Vc∠0º ,onde Vc é a tensão eficaz. 
 
 
A expressão ic(t) da corrente no capacitor pode ser deduzida da forma seguinte: 
 
 
ωt senVCω(t)i ωt) cos(V
dt
dC
dt
(t)dv
C(t)i cpccp
c
c ⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅=⋅= 
 
 
Da trigonometria, sabe-se que: -sen θ = sen (-θ) = cos (θ + 90º). 
 
 
Assim: ic(t) = ω⋅C⋅Vcp⋅cos (ωt + π/2) ou İc = Ic∠90º, onde ω⋅C⋅Vcp é a corrente eficaz. 
 
 
Portanto, como mostra a Figura 5, no capacitor a corrente está 90º adiantada em relação à 
tensão ou a tensão está 90º atrasada em relação à corrente, correspondendo a uma defasagem negativa, 
isto é, ϕ = -90º. 
 
 
 
 
 3 
 
Figura 5 - Comportamento do capacitor em CA. 
 
 
Aplicando a Lei de Ohm ao capacitor, obtemos: 
 
( )
C
1-jZ ou 90º
Cω
1Z 90º0º
VCω
V
90ºI
0ºV
I
V
Z
c
c
c
c
c
c
⋅ω
=−∠
⋅
=⇒−∠
⋅⋅
=
∠
∠
== 


 
 
A impedância do capacitor ideal é uma reatância pura, ou seja, ela é composta somente pelo 
valor imaginário. 
A reatância capacitiva XC é a oposição à passagem da corrente elétrica alternada (CA) devido 
à capacitância no circuito e a sua unidade é o ohm [Ω]. Pode-se calcular a reatância capacitiva através 
do módulo da impedância: 
 
)capacitiva (reatância 
Cω
1 X 
Cω
1Z XXXRZ C
222
⋅
=⇒
⋅
=⇒==+= 
 
 Como ω = 2⋅π⋅f, temos que: 
Cfπ2
1XC ⋅⋅⋅
= 
 
onde: XC = Reatância capacitiva, em [Ω] 
 C = Capacitância, em [F] 
 ω = Frequência angular, em [rad/s] 
 f = frequência, em [Hz]. 
 4 
COMPORTAMENTO DO INDUTOR IDEAL EM CA E REATÂNCIA INDUTIVA 
 
 Aplicando o mesmo raciocínio matemático, que foi aplicado no capacitor, ao indutor, 
chegamos as seguintes conclusões: 
 No indutor, como mostra a Figura 6, a corrente está 90º atrasada em relação à tensão ou a 
tensão está 90º adiantada em relação a corrente, correspondendo a uma defasagem positiva, isto é, ϕ 
= +90º. 
 
 
Figura 6 - Comportamento do indutor em CA. 
 
 Aplicando a Lei de Ohm ao indutor, obtemos: 
 
Lω jZ ou 90ºLωZ 
90ºI
0ºV
I
VZ
c
L
c
L ⋅=+∠⋅=⇒=
−∠
∠
== 


 
 
A impedância do indutor ideal também é uma reatância pura, ou seja, ela é composta somente 
pelo valor imaginário. 
Um indutor, quando é percorrido por uma corrente elétrica alternada, oferece oposição à 
passagem desta corrente, imposta por um campo magnético, denominada reatância indutiva XL. A 
unidade da reatância indutiva é o ohm [Ω]. Pode-se calcular a reatância indutiva através do módulo 
da impedância: 
 
indutiva) (reatância LX LZ XXXRZ LL
2
L
2
L
2 ⋅ω=⇒⋅ω=⇒==+= 
 
 5 
 Como ω = 2⋅π⋅f, temos que: L⋅⋅⋅= fπ2XL 
 
onde: XL = Reatância indutiva, em [Ω] 
 L = Indutância, em [H] 
 ω = Frequência angular, em [rad/s] 
 f = frequência, em [Hz] 
 
 6 
CIRCUITOS RL 
 
Análise de impedância de um circuito RL série 
 
Para as análises seguintes de circuitos RL e RC, R será considerado como uma impedância 
resistiva pura e XL e XC como impedâncias reativas puras. 
Quando um indutor L está em série com uma resistência R, como mostra o circuito da Figura 
7a, a corrente I é limitada tanto por R como por XL. Por isso, a impedância (Ż) do circuito é dada pela 
adição dos fasores R e XL, Figura 7b. 
 
 
Figura 7 - Circuito RL série e sua impedância. 
 
 
 O valor da impedância Ż pode ser encontrada através da soma vetorial de R e de XL, ou seja: 
 
 O módulo de é Ż dado por: 2L2 XRZ += 
 
A fase é calculada por: 
R
X
arctg L=ϕ 
 
 R = Z⋅cos ϕ e XL = Z⋅sen ϕ 
 
 
 
Exemplo: Para o circuito da Figura, se R for igual a 500Ω e XL for 800Ω, calcule a impedância 
(módulo e fase). 
 
Ω≅⇒=+=+=+= 943 890000640000250000800500 2222 ZXRZ L 
 
58º 1,6arctg 
50
80arctg
R
X
arctg L ≅ϕ⇒===ϕ 
 
Análise de tensão e corrente de um circuito RL série 
 
No circuito da Figura 7 o valor da corrente I é o mesmo em XL e em R, uma vez que os dois 
elementos estão em série. Pela Lei de Ohm, sabemos que a queda de tensão em R deve ser IRVR  ⋅=
, e a queda de tensão em XL deve ser IXV LL  ⋅= . Como estudamos anteriormente, a corrente İ através 
de XL deve estar 90º atrasada em relação à LV , pois este é o ângulo de fase entre a corrente através 
 7 
da indutância e a sua tensão auto-induzida, Figura 8b. A corrente İ através de R e a sua queda de 
tensão İ ⋅R estão em fase, portanto o ângulo de fase é 0º. 
 
 
Figura 8 -Circuito RL série e seu diagrama fasorial. 
 
 Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, sabemos que LR VVV  += . Porém, deve-se tomar alguns 
cuidados, pois agora estamos tratando com valores que podem diferenciar em módulo e/ou em fase. 
Neste caso, temos que realizar uma soma fasorial. 
Para associar duas formas de onda fora de fase, somamos seus fasores equivalentes através da 
regra do paralelogramo. O método consiste em se acrescentar à extremidade de um fasor à ponta da 
seta do outro, utilizando o ângulo para indicar a sua fase relativa. A soma dos fasores produz um fasor 
resultante que parte da base de um fasor e vai até a extremidade da seta do outro, como mostra a 
Figura. 
 Quando os valores estão em quadratura, ou seja, a diferença angular for de 90º, os módulos 
da tensão podem ser relacionados através do Teorema de Pitágoras caso contrário, deve-se utilizar 
outro método de soma fasorial, como por exemplo, o método gráfico ou através da representação de 
números complexos. 
 
 
Figura 9 - Triângulo de impedâncias para o circuito RL série. 
 
Como o ângulo entre as duas tensões é de 90º, temos: 
 
Módulos de V igual a: VVV 2L2R += 
 
 E fase de V igual a: 
R
L
V
V
arctg=ϕ 
 
 
 
Análise de impedância de um circuito RL paralelo 
 8 
 
 A impedância total Ż de um circuito RL paralelo pode ser obtida pela fórmula geral de 
impedâncias em paralelo. Assim, para o circuito da Figura 10 temos: 
 
L
L
jXR
XjR
Z ou 111111
+
⋅
=−=⇒+= 

LL X
j
RZjXRZ
 
 
 
Figura 10 – Circuito RL paralelo e sua impedância equivalente. 
 
 Atenção: A impedância total de um circuito RL paralelo não é igual à do circuito RL série, 
isto é 22 LXRZ +≠ , porque a resistência e a reatância indutiva se combinam para apresentar uma 
condição de carga diferente com relação à fonte de tensão. 
 A impedância total do circuito também pode ser obtida pela primeira Lei de Ohm. 
 
I
VZ IZV


 =⇒⋅= 
 
Análise de tensão e corrente de um circuito RL paralelo 
 
 Em um circuito RL paralelo, como mostra a Figura 11, a mesma tensão V é aplicada em R e 
em XL. Neste caso não há diferença de fase entre as tensões. Portanto, a tensão V será utilizada como 
referência. 
Pela Lei de Ohm, sabe-se que a corrente sobre o resistor R deve ser RVIR  = e esta deve estar 
em fase com a tensão V . A corrente sobre o indutor deve ser LL XVI  = atrasada de 90ºem relação 
a V . E o fasor soma de İR e İL é igual à corrente total İ, Figura 11c. 
Como a defasagem é de exatos 90º, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar 
o módulo e a fase a corrente total İ. 
 
Módulo: 2L2R III += 
 
Fase: 




 −
=ϕ
R
L
I
I
arctg 
 
Atenção: O vetor İL está apontando para baixo, por isso deve ter sinal negativo. 
 
 9 
 
Figura 11 -Circuito RL paralelo e seu diagrama de fasores. 
 
 
 
 10 
CIRCUITOS RC EM CORRENTE ALTERNADA. 
 
Análise de impedância de um circuito RC série 
 
Exatamente como no caso do circuito RL série, a impedância (Ż) de um circuito RC série é 
dada pela adição dos fasores R e XC, Figura 12b. 
 
 
Figura 12 - Circuito RC série e sua impedância. 
 
 O valor da impedância Ż pode ser encontrada através da soma vetorial de R e de XC, ou seja: 
 
 O módulo de Ż é: 2C2 XRZ += 
 
A fase de Ż é: 




 −
=ϕ
R
X
arctg C 
 
 R = Z⋅cos ϕ e XC = -Z⋅sen ϕ 
 
Atenção: A reatância capacitiva está atrasada de 90º, logo o ângulo ϕ deve ser negativo. 
 
Exemplo: Para o circuito da Figura 12a, se R for igual a 500 Ω e XC for 800 Ω, calcule a impedância 
(módulo e fase). 
 
 Ω943Z 890000640000250000800500XRZ 222L
2 ≅⇒=+=+=+= 
 
( ) 58º 1,6arctg 
50
80arctg
R
X
arctg C −≅ϕ⇒−=




 −=




 −
=ϕ 
 
Análise de tensão e corrente de um circuito RC série 
 
No circuito da Figura 13 a queda de tensão em R é IRVR  ⋅= , e a queda de tensão em XC é 
IXV CC  ⋅= . A tensão através de XC segue a corrente que passa por XC atrasada de 90º. A tensão 
através de R está em fase com İ uma vez que a resistência não produz desvio de fase. 
 
 11 
 
Figura 13 - Circuito RC série. 
 
Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, sabemos que CR VVV  += . Como os fasores RV e CV 
formam um triângulo retângulo, podemos encontrar o módulo e a fase através das expressões: 
 
Módulos de V igual a: VVV 2C2R += 
 
 E fase de V igual a: 




 −
=ϕ
R
C
V
V
arctg 
 
 
Figura 14 - Triângulo dos fasores de tensão. 
 
 
 
Análise de impedância de um circuito RC paralelo 
 
 A impedância total Ż de um circuito RC paralelo pode ser obtida pela fórmula geral de 
impedâncias em paralelo. Assim, para o circuito da Figura 15 temos: 
 
L
L
LC jXR
XjR-
Z ou 
X
1j
R
1
Z
1
jX
1
R
1
Z
1
−
⋅
=+=⇒





−
+= 

 
 
 
Figura 15 - Circuito RC paralelo. 
 12 
 
 Atenção! A impedância total do circuito também pode ser calculada através da primeira Lei 
de Ohm: 
I
VZ IZV


 =⇒⋅= 
 
Análise de tensão e corrente de um circuito RC paralelo 
 
 Em um circuito RC paralelo, como mostra a Figura 16a, a mesma tensão V é aplicada em R 
e em XC. Neste caso, não há diferença de fase entre as tensões. Portanto, a tensão V será utilizada 
como referência. 
 
Pela Lei de Kirchhoff sabemos que: İ = İR + İC, logo: 
 
Módulo de İ: 2C2R III += 
 
Fase de İ: 





=ϕ
R
C
I
I
arctg 
 
 
Figura 16 - Circuito RC paralelo. 
 
 13 
CIRCUITOS RLC 
 
Circuito RLC Série 
 
 
Figura 17 - Circuito RLC série. 
 
 A queda de tensão na resistência está em fase com a corrente que passa pela resistência. A 
tensão através da indutância está adiante da corrente que passa pela indutância de 90º e a tensão no 
capacitor está atrasada relativamente à corrente que passa pela capacitância de 90º. Como LV e CV 
estão exatamente em fase 180º fora de fase agem em sentidos opostos e se somam algebricamente 
podendo gerar 3 situações distintas: 
 
Circuito Indutivo (ϕ > 0º) Circuito Capacitivo (ϕ < 0º) Circuito Resistivo (ϕ = 0º) 
VL > VC 
XL > XC 
VC > VL 
XC > XL 
VC = VL (ressonância) 
XC = XL (ressonância) 
 
Observe que, na ressonância em série, a impedância do circuito é igual à resistência do 
circuito. Este é o valor mínimo da impedância para o circuito. Portanto, na ressonância passará a 
maior corrente possível. 
 
 A tensão total V deve ser igual à soma fasorial de todas as tensões, logo: 
 
CLR VVVV  ++= 
 
 O módulo de V é: ( )2CL2R VVVV −+= 
 
 A fase de V é: 
R
CL
V
VV
arctg
−
=ϕ 
 
A impedância Ż do circuito é a soma complexa da resistência R com as reatâncias indutivas 
jXL e capacitiva –jXC, matematicamente: 
 
 14 
Ż = R + j(XL - XC) ou Ż = Z∠ϕ 
 
 O módulo de Ż é: ( )2CL2 XXRZ −+= 
 
 A fase de Ż é: ( )
R
XX
arctg CL
−
=ϕ 
 
 Circuito RLC Paralelo 
 
 
 
Figura 18 - Circuito RLC paralelo. 
 
 Utilizando a tensão V como referência. A corrente total İ é o fasor soma de İR, İL e İC. A 
corrente na indutância İL segue 90º atrás da tensão V . A corrente no capacitor İC está 90º adiante da 
tensão V . İL e İC estão exatamente 180º fora de fase e agem, portanto, em sentidos opostos gerando 
3 situações distintas: 
 
Circuito Indutivo (ϕ > 0º) Circuito Capacitivo (ϕ < 0º) Circuito Resistivo (ϕ = 0º) 
IL > IC 
XC > XL 
IC > IL 
XL > XC 
IC = IL (ressonância) 
XC = XL (ressonância) 
 
 A corrente total İ deve ser igual a soma fasorial de todas as correntes, logo: 
 
İ = İ R + İ L + İ C 
 
 O módulo de İ é: ( )2LC2R IIII −+= 
 
 A fase de İ é: 
R
LC
I
IIarctg −=ϕ 
 
Em um circuito RLC paralelo, o inverso da impedância Ż do circuito é a soma complexa do 
inverso da resistência R com o inverso das reatâncias indutivas jXL e capacitiva –jXC, ou seja: 
 15 
 
ϕ∠=





−+= Z Z ou 
X
1
X
1j
R
1
Z
1
LC


 
 
Logo: 
 O módulo de 1/Ż é: 
2
2
2 11
R
1
Z
1






−+=
LC XX
 
 
 A fase de Ż é: ( )
CL
LC
XX
XXRarctg
⋅
−⋅
=ϕ 
 
 16 
RESSONÂNCIA 
 
 Uma das características mais importantes dos circuitos RLC é que é possível fazê-lo responder 
a uma única frequência dada, com maior eficácia. Ao funcionar nestas condições, diz-se que o circuito 
está em ressonância ou ressoa na frequência de operação. Um circuito RLC série ou paralelo 
trabalhando em ressonância apresenta certas propriedades que permitem que ele responda 
seletivamente a certas frequências rejeitando outras. Um circuito que funciona de modo a fornecer 
uma seletividade de frequência é chamado de circuito sintonizado. Os circuitos sintonizados são 
usados no “casamento” de impedâncias, em filtros de passagem de faixa e em osciladores. 
 Um circuito entra em ressonância quando a reatância capacitiva XC for igual à reatância 
indutiva XL, onde: 
Cfπ2
1 X e Lfπ2X CL ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅= 
 
Portanto, na ressonância: 
 
CL XX = → Cfπ2
1Lfπ2
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅ 
 
Tirando o valor de f, 
 
( ) CLCL ⋅
=
⋅⋅π⋅
==⇒
⋅⋅⋅
=
159,0
2
1ff 
CLπ2
1f 02
2 
 
Como ω0 = 2⋅π⋅f0, podemos escrever: 
CL
1ω0
⋅
= 
 
onde f0 = frequência de ressonância, [Hz] 
 ω0 = frequência angular de ressonância, [rad/s] 
 L = indutância, [H] 
 C = capacitância, [F] 
 
 
Figura 19 - Ponto de ressonância nas curvas de XC e XL. 
 
O gráfico da Figura 19 mostra as curvas de XC e XL e o ponto onde elas se cruzam. Para 
qualquer produto LC, existe somente uma frequência de ressonância. A partir de uma frequência f0 
qualquer, pode-se calcular o valor de L ou C para formar um circuito ressonante.