-05 Álgebra de Boole e funções booleanas

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Capítulo 5
Álgebra de Boole e 
funções booleanas
1 Funções booleanas
De acordo Tocci, Widmer e Moss (2011), os circuitos internos dos 
computadores operam com a presença ou a ausência de sinais elétri-
cos, é e por meio de operações lógicas com esses sinais que todas as 
Neste capítulo, abordaremos a álgebra de Boole e suas funções: OR, 
AND, NOT, XOR, NAND, NOR e XNOR. Exemplificaremos um circuito ló-
gico, a tabela-verdade e a expressão correspondente para cada função. 
Ao longo da disposição do conteúdo, demonstraremos algumas aplica-
ções práticas, para melhor entendimento do uso das funções na resolu-
ção de problemas.
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informações são processadas. A lógica para processar informações 
digitais é conhecida como lógica booleana, na qual os operadores boo-
leanos efetuam operações sobre dados físicos, e, para isso, são neces-
sários componentes físicos para implementação do circuito digital.
Segundo Tocci, Widmer e Moss (2011):
Em 1854, um matemático chamado George Boole escreveu: Uma in-
vestigação das leis do pensamento, em que descrevia o modo como 
se toma decisões lógicas com base em circunstâncias verdadeiras 
ou falsas. O método que ele descreveu é hoje conhecido como lógi-
ca booleana, e o sistema que emprega símbolos e operadores para 
descrever essas decisões é chamado de álgebra booleana. (TOCCI; 
WIDMER; MOSS, 2011, p. 49)
Uma das motivações para o estudo desse tema é que os circuitos di-
gitais são os responsáveis pela implementação lógica dos computado-
res atuais. Podemos citar como exemplo a unidade lógica e aritmética 
(ULA) que fica dentro do processador – a parte física responsável por 
efetuar todas as operações aritméticas lógicas do computador. Dentro 
desse dispositivo, existem muitos circuitos com diferentes funções, 
como: somadores (que realizam operações de soma com valores de 
duas entradas), subtratores (circuitos combinacionais que executam 
operações de subtração) e comparadores (que, em situações práticas, 
são utilizados para comparação de dois sinais sendo provenientes de 
origens distintas). 
Também é importante nos atermos a duas definições da álgebra 
booleana: a variável booleana (uma quantidade que pode ser, em dife-
rentes momentos, igual a 0 ou 1) e as funções booleanas (associam a 
cada “n” variáveis de entrada uma única saída). 
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IMPORTANTE 
De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), é equivocado afirmar que 
a álgebra booleana é utilizada somente como instrumento de análise e 
simplificação de sistemas lógicos. A álgebra booleana pode ser ampla-
mente utilizada como ferramenta de projeto para que um circuito lógico 
produza uma relação entrada/saída. A esse processo dá-se o nome de 
“síntese de circuitos lógicos”.
 
Alguns recursos, como tabela-verdade, símbolos esquemáticos, dia-
gramas de tempo e linguagens, são utilizados na análise, síntese e do-
cumentação de sistemas e circuitos lógicos. Idoeta e Capuano (1999) 
citam que a álgebra booleana é definida como uma ferramenta matemá-
tica; a tabela-verdade é utilizada como forma de organização de dados; 
os símbolos esquemáticos, de desenho e os diagramas de tempo são 
gráficos; e as linguagens são descritivas de interpretação universal.
Nesse sentido, podemos descrever uma função booleana utilizando 
portas lógicas, tabela-verdade e equações.
Os componentes físicos capazes de efetuar as operações booleanas 
sobre os sinais elétricos recebem o nome de portas lógicas, que, na 
prática, são vendidas encapsuladas em uma pastilha de silício chamada 
chip e devem ser colocadas a uma placa de circuito impresso para for-
marem os circuitos. Dessa forma, as portas lógicas são dispositivos ele-
trônicos que têm a função de implementar circuitos booleanos. Vamos 
conhecer as principais portas lógicas e cada um de seus símbolos para 
representação gráfica, além da apresentação da tabela-verdade, que 
descreverá o seu funcionamento.
De acordo com Idoeta e Capuano (1999), a tabela-verdade é o nome 
dado à organização de valores para todas as possíveis situações e seus 
resultados, no formato de tabela ou mapa. Assim, na tabela, é possível 
encontrar a forma como uma função se comporta.
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Diferente da álgebra comum, a álgebra booleana possui somente três 
operações básicas: OR, AND e NOT, conhecidas como operações lógicas.
1.1 OR (ou booleano)
Segundo Tocci, Widmer e Moss (2011), uma porta lógica OR assume 
o valor 1 quando uma ou mais variáveis de entrada de um circuito fo-
rem iguais a 1 e assume valor 0 se, e somente se, todas as variáveis de 
entrada forem iguais a 0.
Para entradas {X1,...,Xn}, ela é definida como:
f(X1, …, Xn) = ∑
n
 Xi i = 1
E vale 1 se qualquer uma das entradas for igual a 1. 
Para duas entradas, temos a tabela-verdade, que mostra duas entra-
das, X1 e X2, e uma de saída f(X1, X2). Para as entradas 0 ou 0, a saída é 
0; para as entradas 0 ou 1, a saída é 1; para as entradas 1 ou 0, a saída é 
1; para as entradas 1 ou 1, a saída é 1.
Tabela 1 – Tabela-verdade para função OR
X1 X2 f(X1, X2)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Por meio da porta lógica, também podemos representar as duas 
entradas e sua saída. 
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Figura 1 – Representação de porta lógica OR
X1 + X2
X2
X1
Sendo que, a partir da saída evidenciada na porta lógica, temos a 
expressão: S = X1 + X2.
A seguir, são mencionados alguns pontos-chave em relação à opera-
ção OR e às portas OR (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011, p. 121):
 • A operação OR promove um resultado (saída) 1 sempre que 
quaisquer das entradas forem 1, pois, do contrário, a saída seria 0.
 • Uma porta OR é um circuito lógico que faz operação OR nas en-
tradas do circuito.
 • A expressão S = X1 + X2 é lida como “S é igual a X1 ou X2”.
Conforme Tocci, Widmer e Moss (2011) exemplificam, uma aplica-
ção para porta lógica OR pode ser encontrada em sistemas industriais, 
os quais necessitam de ativação de uma função de saída sempre que 
qualquer de suas várias entradas for ativada, como é o caso de um pro-
cesso químico em que um alarme deve ser ativado sempre que a tem-
peratura do processo passar de um valor máximo predeterminado ou 
sempre que a pressão ultrapassar um limite máximo.
A figura 2 ilustra um sistema de alarme com o uso de uma porta 
lógica OR.
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Figura 2 – Exemplo do uso de uma porta lógica OR em um sistema de alarme
Alarme
Comparador
Transdutor de
temperatura
Transdutor de
pressão
Processo químico
Comparador
VT
VTR
TH
PHVP
VPR
VT: valor de temperatura
VTR: valor de temperatura de referência
VP: valor de pressão
VPR: valor de pressão de referência
TH: valor lógico de temperatura
PH: valor lógico de pressão
Fonte: adaptado de Tocci, Widmer e Moss (2011, p. 54).
1.2 AND (e booleano)
A porta lógica AND executa a multiplicação de duas ou mais variá-
veis booleanas. Uma saída só será 1 se todas as entradas forem 1; para 
todos os outros casos, a saída é 0. 
Para entradas {X1,...,Xn}, ela é definida como:
f(X1, …, Xn) = 
n
i = 1 Xi
E vale 1 apenas se todas as entradas forem iguais a 1. Para duas 
entradas, temos:
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Tabela 2 – Tabela-verdade para função AND
X1 X2 f(X1, X2)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Figura 3 – Representação de porta lógica AND
X1 × X2
X2
X1
Expressão: S = X1 × X2
1.3 NOT (não booleano)
A porta lógica NOT faz a negação de qualquer entrada, ou seja, se a 
entrada for 0, a saída será 1, e, se a entrada for 1, a saída será 0.
A operação NOT para qualquer entrada X é definida como:
f(X) = X
_
Ou seja, é a entrada negada (barrada). Para uma entrada X1, por 
exemplo, temos:
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Tabela 3 – Tabela-verdade para função NOT
X1 f(X1)
0 1
1 0
Figura 4 – Representação de porta lógica NOT
X1 X1
Expressão: S = X1 
_
1.4 XOR (ou exclusivo)
De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), a função do XOR é for-
necer 1 à saída quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si. 
Para entradas {X1,...,Xn}, ela é definida como:
f(X1, X2) = 
_ _
X2X1 × X2 + X1 × X2 = X1
E vale 1 apenas se as entradas forem diferentes. Para duas entradas, 
temos:
Tabela 4 – Tabela-verdade para função XOR
X1 X2 f(X1, X2)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Figura 5 – Representação de porta lógica XOR
X1 X2
X2
X1
Expressão: S = X1 X2 
1.4.1 Aplicações de circuitos práticos utilizando a porta lógica XOR
De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), no fluxo de dados, a co-
dificação em códigos binários de um local para outro é a operação mais 
frequentemente realizada em sistemas digitais de comunicações, como:
 • transmissão de voz digitalizada por um enlace de micro-ondas; 
 • armazenamento e controle de erros nas sequências de bits arma-
zenados em dispositivos de memorização externa, como discos 
óticos e magnéticos; 
 • transmissão de dados de um computador para outro, que esteja 
distante, por meio de cabos ou mesmo fibras ópticas (essa é a 
principal maneira de enviar e receber informações pela internet). 
Para que essas informações sejam transmitidas e recebidas de for-
ma íntegra, existe um circuito verificador de paridade, o qual permite 
que o transmissor anexe um bit de paridade em um conjunto de bits de 
dados antes, para, então, transmiti-lo ao receptor. Sendo assim, esse bit 
de paridade faz com que o receptor detecte qualquer erro em um bit que 
tenha ocorrido na transmissão (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011).
A figura 6 apresenta o conjunto dos dados a serem transmitidos sen-
do aplicados em um circuito gerador de paridade, que produz um bit 
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de paridade par (P) em sua saída. Esse bit de paridade, segundo Tocci, 
Widmer e Moss (2011, p. 148), “é transmitido para o receptor juntamen-
te com os bits do dado original, totalizando cinco bits”.
Figura 6 – Porta XOR utilizada para implementar um gerador de paridade 
Dados
transmitidos
com bit de
paridade
Dados
originais
Gerador de paridade par
D3
D2
D1
D0
Paridade (P) {
Fonte: adaptado de Tocci, Widmer e Moss (2011, p. 148).
Na figura 7, temos os mesmos cinco bits (dado e paridade) entran-
do no circuito verificador de paridade do receptor, que gera uma saída 
de erro (E), que indica a ocorrência ou não de um erro em um único bit 
(TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011).
Figura 7 – Porta XOR utilizada para implementar um verificador de paridade 
Verificador de paridade par
Do transmissor Erro (E)
{1 = erro 
0 = não erro}
D3
D2
D1
D0
P
Fonte: adaptado de Tocci, Widmer e Moss (2011, p. 148).
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Para exemplificar nossa aplicação prática, vamos considerar a saída 
do verificador de paridade e determinar cada um dos conjuntos de 
dados enviados pelos transmissores. 
Tabela 5 – Tabela de transmissão 
P D3 D2 D1 D0
Transmissão 1 0 1 0 1 0
Transmissão 2 1 1 1 1 0
Transmissão 3 0 1 1 1 1
Transmissão 4 0 0 0 0 0
Submetendo as entradas de dados D3, D2, D1, D0 da transmissão 1 
aos circuitos lógicos anteriores, teremos:
D3 XOR D2 = 1 XOR 0 = 1
D0 XOR D1 = 0 XOR 1 = 1
Realizando (D3 XOR D2) XOR (D1 XOR D0) = 0 com XOR do bit de pari-
dade P = 0, então teremos: 0 XOR 0 = 0, e, assim sendo, a saída de erro 
será 0, o que indica que não houve erro.
Submetendo as entradas de dados D3, D2, D1, D0 da transmissão 2 
aos circuitos lógicos anteriores, teremos:
D3 XOR D2 = 1 XOR 1 = 0
D1 XOR D0 = 1 XOR 0 = 1
Realizando (D3 XOR D2) XOR (D1 XOR D0) = 1 com XOR do bit de pari-
dade P = 1, então teremos: 1 XOR 1 = 0, e, assim sendo, a saída de erro 
será 0, o que indica que não houve erro.
Submetendo as entradas de dados D3, D2, D1, D0 da transmissão 3 
aos circuitos lógicos anteriores, teremos:
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D3 XOR D2 = 1 XOR 1 = 0
D0 XOR D1 = 1 XOR 1 = 0
Realizando (D3 XOR D2) XOR (D1 XOR D0) = 0 com XOR do bit de pari-
dade P = 0, então teremos: 0 XOR 0 = 0, e, assim sendo, a saída de erro 
será 0, o que indica que não houve erro.
Submetendo as entradas de dados D3, D2, D1, D0 da transmissão 4 
aos circuitos lógicos anteriores, teremos:
D3 XOR D2 = 0 XOR 0 = 0
D0 XOR D1 = 0 XOR 0 = 0
Realizando (D3 XOR D2) XOR(D1 XOR D0) = 0 com XOR do bit de pari-
dade P = 0, então teremos: 0 XOR 0 = 0, e, assim sendo, a saída de erro 
será igual a 0, o que indica que não houve erro. 
IMPORTANTE 
Tocci, Widmer e Moss (2011) definem que a saída E terá nível 1, caso 
as entradas do verificador de paridade sejam um número ímpar de 1’s, e 
que um número ímpar de 1’s indica que um erro ocorreu de acordo com 
o critério de paridade par.
 
1.5 NAND (não e)
NAND é a operação AND negada. Para duas entradas {X1,X2}, por 
exemplo, ela é definida como:
f(X1, X2) = X1 × X2 
__
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Sendo o resultado do teorema de De Morgan,1 e vale 1 se qualquer 
uma das entradas for igual a 1. Para duas entradas, temos:
Tabela 6 – Tabela-verdade para função NAND 
X1 X2 f(X1, X2)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Figura 8 – Representação de porta lógica NAND
Expressão: S = X1 × X2 
__
1.6 NOR (não ou)
NOR é a operação OR negada. Para duas entradas {A1,A2}, por exem-
plo, ela é definida como:
1 Os teoremas de De Morgan foram sugeridos pelo matemático Augustus De Morgan no século XIX, e são 
utilizados para realização de simplificações de expressões booleanas e, também, para desenvolvimento de 
muitos circuitos digitais (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011, p. 103).
X2
X1
X1 × X2
X1 + X2 
__
X1 × X2 
__ __
= 
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E vale 1 se as entradas forem iguais a 0. Para duas entradas, temos:
Tabela 7 – Tabela-verdade para função NOR 
X1 X2
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
 X1 × X2 X1+ X2 
Figura 9 – Representação de porta lógica NOR
 X1 + X2 
X2
X1
Expressão: S = X1 + X2 
1.7 XNOR (ou exclusivo ou coincidência)
Definida apenas para duas entradas {X1,X2}, como sendo:
f(X1, X2) = X1 × X2 + X1 × X2 = X1
_ _
X2
E vale 1 apenas se as entradas forem iguais. Para duas entradas, 
temos:
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Tabela 8 – Tabela-verdade para função XNOR 
X1 X2 f(X1, X2)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Figura 10 – Representação de porta lógica XNOR
 X1 X2
X2
X1
Expressão: S = X1 X2
Considerações finais
Neste capítulo, apresentou-se uma breve introdução sobre a álgebra 
booleana, sua aplicação na computação e seu emprego na resolução 
de problemas para a área industrial. A principal utilidade dessas expres-
sões lógicas é descrever o relacionamento entre as saídas do circuito 
lógico (as decisões) e as entradas (as circunstâncias). Conhecemos, 
também, todos os sete tipos de portas lógicas, seus símbolos, suas 
tabelas-verdade e suas expressões correspondentes.
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Referências
IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de eletrônica 
digital. São Paulo: Érica, 1999.
TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: 
princípios e aplicações. 11. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.