Apostila de Concreto Armado - Capítulo 14 - Projeto e dimensionamento de pilares

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Capítulo 14 
PROJETO E DIMENSIONAMENTO DE PILARES 
 
BILIOGRAFIA 
 
1. ABNT, NBR 6118/2014 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. 
2. Fusco, P. B. - Estruturas de Concreto – Solicitações Normais, Ed. Guanabara Dois, 
Rio de Janeiro, 1981. 
3. Meseguer, A.G; Cabré, F.M.; Portero, J,C.A. – Jiménez Montoya Hormigón Armado, 
Ed. Gustavo Gili, Barcelona, 15ª edición, 2011. 
4. Süssekind, J.C. – Curso de Concreto, vol. 2, Ed. Globo, Rio de Janeiro, 1984. 
5. Carvalho, R.C., Pinheiro, L.M. – Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de 
Concreto Armado – vol. 2, Ed. Pini, São Paulo, 2009. 
6. Fusco, P. B. – Técnica de Armar as Estruturas de Concreto, Ed. PINI, São Paulo, 
2013. 
7. Leonhardt, F.; Mönnig, E., Construções de Concreto – Princípios Básicos sobre a 
Armação de Estruturas de Concreto Armado, Vol. 3, Ed. Interciência, Rio de Janeiro, 
1978/2013. 
8. IBRACON, Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB-1 (NBR 
6118/2003), IBRACON, São Paulo, 2007. 
9. IBRACON, Prática Recomendada IBRACON para Estruturas de Edifícios de Nível 
1 (Estruturas de Pequeno Porte), IBRACON, São Paulo, 2007. 
10. ABNT, NBR 6120/1980 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações. 
11. CEB/FIP Manual of Buckling and Instability, Lancaster, 1978. 
 
 
14.1. FUNÇÕES DOS PILARES 
 
 Transmitir as cargas verticais às fundações (p.p. da estrutura, sobrecargas permanentes e 
variáveis). 
 Assegurar contraventamento adequado à estrutura (estabilidade global). 
 Transmitir as cargas horizontais às fundações (vento, sismo, empuxos etc). 
Importância de sua função – falha em um pilar pode levar à queda do prédio 
 
 
 
Os pilares serão sempre verticais ? 
 
 
 
 
207 
 
 
Figura 14.1 - Transição de pilares em Y 
 
 
 
 
Foto 14.1 - Pilares do Museu de Arte Moderna – MAM 
 
De acordo com a norma NBR 6118/2014, pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente 
dispostos na vertical, em que forças normais de compressão são preponderantes (item 14.4.1.2). 
 
 
14.2. FORMAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
 
Retangular, circular, I, H, T, cantoneira – L, seção celular (vazada) etc. 
http://2.bp.blogspot.com/-SadInWOVvOc/Uy7nCd3KDeI/AAAAAAAAACM/HQYX7MsOltk/s1600/f1.jpg
 
208 
 
Figura 14.2 - Tipos usuais de seção transversal 
 
 
14.3. DIMENSÕES MÍNIMAS (13.2.3) 
 
Menor dimensão do pilar (𝑏 ≥ 19 𝑐𝑚). 
Área mínima do pilar (𝐴𝑐 ≥ 360 𝑐𝑚
2) (19x19, 18x20, 15x24, 12x30) 
 
Caso seja utilizada dimensão inferior a 19 cm (admite-se dimensões de até 14 cm, em casos 
especiais), os esforços solicitantes finais de cálculo devem ser majorados pelo COEFICIENTE 
DE AJUSTAMENTO (𝛾𝑛) – esta correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência 
de desvios relativos e falhas na construção (item 11.7.1 da norma). 
 
Tabela 14.1 - Valores do coeficiente 𝛾𝑛 = 1,95 − 0,05 . 𝑏 
b ≥ 19 18 17 16 15 14 
𝛾𝑛 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
 
Nota: A dimensão “b” aqui tratada é a menor dimensão do pilar (em centímetros). Isto não tem qualquer 
relação com as dimensões de seção transversal que são indicadas nos ábacos para o cálculo de armaduras na 
flexão composta (nestes ábacos, o lado “b” pode ser a menor ou a maior dimensão do pilar). 
A NBR 6118/2003 admitia dimensão mínima de até 12 cm, o que foi alterado na versão de 2014. 
Pela norma espanhola EHE-2008 a dimensão mínima nos pilares é de 25 cm. 
 
 
Pilares e pilares-parede 
Nos pilares, a relação entre as dimensões da seção transversal (b x h) deve ser no máximo igual 
a 5, caso contrário o elemento será considerado como pilar-parede, sujeito a recomendações 
especiais (item 18.5 da norma). 
ℎ
𝑏⁄ ≤ 5 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 
ℎ
𝑏⁄ > 5 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 − 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 (𝑖𝑡𝑒𝑚 18.5 𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎) 
 
De acordo com o item 14.4.2.4 da norma, pilares-parede são elementos de superfície plana ou 
casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à 
compressão. Podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas, e pelo menos uma 
delas deve atender à condição (ℎ 𝑏⁄ > 5). Preferencialmente, são projetados em empenas 
(paredes cegas externas), ou caixas de escadas e de elevadores. É uma solução bastante comum 
para garantir contraventamento adequado, especialmente em edificações com lajes lisas ou 
cogumelo. 
 
209 
 
Figura 14.3 - Pilares-parede 
 
 
14.4. ARMADURAS E SUAS FUNÇÕES 
 
A armadura longitudinal (ou armadura principal) tem como função principal contribuir, 
juntamente com o concreto, na resistência às solicitações normais (em regra, comprimida; pode 
estar tracionada, na flexão composta). Deve ser disposta na periferia do pilar, usando-se 
frequentemente armadura simétrica. 
A armadura transversal (estribos) pode ter como funções: 
 Evitar a flambagem lateral da armadura longitudinal comprimida. 
 Servir como armadura de montagem, mantendo as barras da armadura longitudinal em 
sua posição quando da concretagem. 
 Resistir a esforços cortantes (ação do vento, estrutura de contraventamento). 
 Promover o cintamento do pilar, se for o caso. 
 
 
 
Figura 14.4 - Flambagem da armadura longitudinal - espaçamento excessivo dos estribos 
 
 
210 
O conjunto das armaduras (longitudinal e transversal) asseguram ainda que não haja uma ruptura 
prematura (inclinada) do pilar (Montoya, pág. 264, superfície com ± 37𝑜), como mostrado na 
Figura 14.5. 
 
 
 
Figura 14.5 - Ruptura de elemento de concreto simples 
 
14.5. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À POSIÇÃO NO PAVIMENTO 
 
Central (ou interno, ou intermediário), de extremidade, de canto: geralmente, submetidos a 
compressão simples, flexão normal composta, flexão composta oblíqua. 
 
 
 
Figura 14.6 - Pilar central, de extremidade e de canto (Fusco) 
 
Pilar central muito rígido - possibilidade de existência de momento fletor, MESMO sem 
vento/ações horizontais. 
 
 
14.6. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À ESBELTEZ 
 
 CURTOS 
Suficiente dimensionar computando somente os efeitos de 1ª ordem, ou seja, a estrutura é 
suposta com a configuração geométrica inicial. 
 
 ESBELTOS 
Devem ser levados em conta os efeitos de 2ª ordem, ou seja: 
 
211 
 A análise do equilíbrio é efetuada considerando a estrutura na configuração deformada 
(não linearidade geométrica). 
 Leva-se em conta o comportamento não-linear dos materiais (não linearidade física – 
alteração no valor de (EI)eq da peça, em sintonia com o nível de carregamento). 
 
De acordo com as disposições da norma NBR 6118/2014, dependendo do nível de esbeltez do 
pilar, varia o grau de exigência do dimensionamento, a saber: 
 
 Pilar curto (𝜆 ≤ 𝜆1) – dispensada a análise dos efeitos de 2ª ordem. 
 Pilar medianamente esbelto (𝜆1 < 𝜆 ≤ 90) – a análise deve levar em conta os efeitos 
de 2ª ordem, mas podem ser usados processos aproximados, como o método do pilar-
padrão. 
 Pilar esbelto (90 < 𝜆 ≤ 140) – a análise deve levar em conta os efeitos de 2ª ordem, e 
a não linearidade física considerando a curvatura da seção crítica (através do método do 
pilar padrão, acoplado a diagramas M, N, 1/r). Além disso, deve ser levada em conta a 
deformação lenta (devida à fluência). 
 Pilar muito esbelto (140 < 𝜆 ≤ 200) – efeitos de 2ª ordem calculados pela teoria geral, 
que leva em conta a relação momento-curvatura real do elemento, aferida em cada seção 
(barra discretizada), e consideração da fluência. 
 
 
O quadro a seguir mostra as situações de projeto a serem seguidas, de acordo com a situação de 
esbeltez do pilar: 
 
Tabela 14.2 – Situações de projeto de acordo com a esbeltez do pilar 
 
Índice de 
esbeltez 
Deformações 
de 2ª ordem 
Deformações 
de fluência 
Coeficiente adicional 
s/esforços solicitantes 
Curto 
𝝀 ≤ 𝝀𝟏 
Não Não - 
Medianamente 
esbelto 
𝝀𝟏 < 𝝀 ≤ 𝟗𝟎 
Pilar padrão Não - 
Esbelto 
𝟗𝟎 < 𝝀 ≤ 𝟏𝟒𝟎 
Pilar padrão 
c/ diagramas 
M, N, 1/r 
 
Sim 
- 
Muitoesbelto 
140 < 𝝀 ≤ 𝟐𝟎𝟎 
Método exato Sim 𝛾𝑛1 = 1 + [0,01 (𝜆 − 140) 1,4⁄ ] 
(item 15.8.1) 
 
 
Não são admitidos pilares com (𝜆 > 200), exceto se o elemento for pouco comprimido, com 
força normal inferior a (0,10 . 𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑). 
 
No presente texto serão estudados apenas os pilares curtos e os medianamente esbeltos. 
 
 
 
212 
 
 
Figura 14.7 - Efeito de 2ª ordem na estrutura (Fusco, Técnica de Armar) 
 
O problema nem sempre é facilmente identificável. Foi o que levou ao colapso de um prédio de 
13 andares em Belém, nos anos 80, custando a vida de cerca de 40 operários. 
 
 
Figura 14.8 - Provável causa do colapso de edifício de 13 andares em 1987 
 
 
 
213 
14.7. AÇÕES VERTICAIS A CONSIDERAR - ESFORÇOS NORMAIS NOS PILARES 
 
De acordo com a NBR 6120/80, carga acidental (também denominada carga variável, ou de 
utilização normal) é toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações, em função do 
seu uso (pessoas, móveis, utensílios, materiais diversos, veículos etc). 
Em edificações com vários andares, é pequena a probabilidade de que todos estes andares 
estejam carregados, ao mesmo tempo, em sua totalidade (parcela variável das cargas). 
De acordo com o item 2.2.1.8 desta norma, no cálculo de pilares e fundações de edifícios para 
escritórios, residências e casas comerciais não destinados a depósitos, as cargas acidentais podem 
ser reduzidas de acordo com os valores indicados na tabela a seguir. 
 
Tabela 14.3 – Redução de cargas variáveis nos pavimentos 
 
Nº de pisos que atuam 
sobre o elemento 
Redução percentual 
das cargas acidentais 
Até 3 0 
4 20% 
5 40% 
6 ou mais 60% 
 
 
Notas: 
1 - o forro é considerado como piso. 
2 – não há redução se destinado a depósito. 
 
 
Figura 14.8 - Redução da carga variável nos pavimentos da edificação 
 
 
14.8. MOMENTO E EXCENTRICIDADE DA CARGA NORMAL 
 
Sempre que atuam em conjunto momento fletor e esforço normal numa seção, pode-se falar em 
excentricidade da carga normal. 
𝑒 = 
𝑀𝑘
𝑁𝑘
 
 
214 
Os esforços solicitantes (Mk e Nk, ou Md e Nd) estão, em regra, referidos ao centro de gravidade 
da seção de concreto. Dependendo da origem/causa do momento fletor, as excentricidades 
costumam receber diferentes denominações, a saber: 
ei – excentricidade inicial, derivada do carregamento aplicado à estrutura (engastamento elástico, 
vento, sismo, empuxos laterais etc). 
ea – excentricidade acidental, gerada por imperfeições geométricas na construção. 
e1 – excentricidade de 1ª ordem, decorrente do carregamento aplicado à estrutura, somada à 
excentricidade devida às imperfeições geométricas na construção. 
e2 – excentricidade de 2ª ordem, nas estruturas em que as deformações de 1ª ordem não são 
desprezíveis (peças esbeltas). 
ecc – excentricidade resultante da deformação lenta do concreto, em pilares esbeltos e muito 
esbeltos. 
Os momentos recebem idênticas denominações: momentos iniciais, acidentais, de 1ª ou de 2ª 
ordem, ou decorrentes da fluência do concreto. 
 
Excentricidade de forma (mais comum em pilares de extremidade e de canto). Em geral, 
possuem sentido contrário ao do engastamento elástico – logo, há tendência a se compensarem. 
Outras vigas que concorram no mesmo nó também podem absorver o momento gerado pela 
excentricidade de forma. É correntemente desconsiderada no cálculo manual, mas pode ser 
levada em conta nos cálculos automatizados por computador. 
 
 
Figura 14.9 - Excentricidade de forma 
 
Fenômeno semelhante ocorre quando há redução nas dimensões dos pilares nos pavimentos, 
decorrente da diminuição dos esforços atuantes no pilar à medida que se alcança andares mais 
elevados na edificação. 
 
215 
 
 
Figura 14.10 - Excentricidade de forma por redução de dimensão do pilar no 3º andar 
(Fusco, Técnica de Armar) 
 
Cabe ao engenheiro projetista da estrutura avaliar se é razoável desconsiderar (ou não) a 
excentricidade de forma, caso a caso. 
 
 
14.9. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO ELÁSTICO (14.6.7.1) 
 
Já visto no Capítulo 10 (Projeto e Detalhamento de Vigas), os momentos finais nos pilares de 
um andar intermediário na edificação serão: 
𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1,5 𝑥 𝑀𝑠𝑢𝑝 𝑜𝑢 = 1,5 𝑥 𝑀𝑖𝑛𝑓 
 
 
 
Figura 14.11 - Momentos no pilar - decorrentes do engastamento elástico da viga (Fusco) 
 
 
14.10. CONTRAVENTAMENTO – PARÂMETRO DE INSTABILIDADE (15.5.2) 
 
A edificação precisa ter elementos que garantam sua estabilidade horizontal (não seja, numa 
situação limite, um castelo de cartas). Quem dá a estabilidade horizontal à edificação são as 
estruturas de contraventamento, que podem ser pórticos, pilares-paredes (paredes de 
 
216 
contraventamento, ou “shear-walls”), a associação de ambos, ou outros modelos mais 
sofisticados. 
Nem todos os elementos de uma estrutura participam do contraventamento – só os que possuem 
rigidez suficiente naquela determinada direção. 
Um elemento (um pilar, por exemplo) que participe de estrutura de contraventamento é 
denominado CONTRAVENTANTE. Um que não participe é denominado 
CONTRAVENTADO. 
 
 
 
Figura 14.12 - Estrutura de edificação – possibilidades de contraventamento 
 
Para que a edificação esteja bem contraventada, é necessário que sua estrutura atenda ao limite 
imposto pela expressão a seguir (sendo então considerada como uma estrutura de nós fixos): 
 
 𝛼1 = 0,2 + 0,1. 𝑛 𝑠𝑒 𝑛 ≤ 3 
𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡 √
𝑁𝑘
𝐸𝑐𝑠 . 𝐼𝑐
 ≤ 
 𝛼1 = 0,6 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 4 
 
Onde 
 
(𝛼) é o parâmetro de instabilidade da estrutura. 
 (n) é o número de andares acima da fundação, ou de nível pouco deslocável do subsolo. 
 (Htot) é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação, ou de nível pouco 
deslocável do subsolo. 
(Nk) é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado 
para o cálculo de Htot), com o seu valor característico. 
(Ecs . Ic) é o somatório das rigidezes das estruturas de contraventamento que atuam na direção 
considerada (pode-se considerar o valor de (Ecs . Ic) de um pilar equivalente de seção constante). 
 
O valor de (Ic) deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. 
Para (Ecs), na análise da estabilidade global, pode ser adotado o valor do módulo de deformação 
secante, dado em 8.2.8, majorado em 10% (1,10 x Ecs). 
 
217 
 
Quando atendida a expressão do parâmetro de instabilidade (𝛼), a estrutura pode ser considerada 
como DE NÓS FIXOS, ou seja, sem necessidade de consideração dos efeitos globais de 2ª 
ordem. 
O valor limite do parâmetro de instabilidade (𝛼1) , para quatro ou mais andares, fixado em 
(0,6), pode ser utilizado para estruturas usuais de edifícios, quando há a associação de pórticos 
com pilares-parede para fins de contraventamento. No caso do contraventamento ser feito 
exclusivamente por pilares-parede este limite pode ser aumentado para (0,7). O mesmo limite 
deve ser reduzido para (0,5) se o contraventamento for feito somente por pórticos. 
 
 𝛼1 = 0,7 𝑠𝑒 𝑠ó 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 − 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡 √
𝑁𝑘
𝐸𝑐𝑠 .𝐼𝑐
 ≤ (𝑛 ≥ 4) 
 𝛼1 = 0,5 𝑠𝑒 𝑠ó 𝑝ó𝑟𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
Esta verificação é feita nas duas direções do prédio, pois um contraventamento adequado deve 
ser garantido em ambas as direções. 
 
A verificação do limite de (𝛼) é a única recomendada pela norma para edificações com menos 
de 4 pavimentos. Para edificações com 4 ou mais pavimentos, pode-se usar o método do 
coeficiente (𝛾𝑍) mostrado a seguir. 
 
Observar que o parâmetro de instabilidade é afetado pela altura da edificação, pela rigidez das 
estruturas de contraventamento e pela carga vertical total, sendo independente de eventuais ações 
horizontais atuantes. 
 
O contraventamento da edificação tem queser sempre verificado, independentemente do 
número de pavimentos da edificação, ou de sua simplicidade/complexidade. 
 
 
VER SEPARATA – CASOS EXTREMOS DE FALTA DE CONTRAVENTAMENTO 
 
 
14.11. CONTRAVENTAMENTO – COEFICIENTE 𝜸𝒁 (15.5.3) 
 
Para estruturas reticuladas de 4 ou mais andares, pode-se usar outro procedimento para verificar 
a importância dos efeitos de 2ª ordem globais (necessidade, ou não, de sua consideração no 
projeto). O valor do coeficiente (𝜸𝒁) pode ser obtido a partir de uma análise linear de primeira 
ordem, para cada combinação de carregamento, e deve ser limitado de acordo com a expressão 
a seguir. 
 
 
218 
 
Estrutura indeformada Deslocamentos da análise de 1ª ordem 
Figura 14.13 - Obtenção do coeficiente (𝜸𝒁) 
 
𝛾𝑍 = 
1
1 − (
∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑
𝑀1,𝑡𝑜𝑡,𝑑
⁄ )
 ≤ 1,1 
onde 
 
∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑 - é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação 
considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos 
pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem (∑ 𝑁𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑖). 
𝑀1,𝑡𝑜𝑡,𝑑 - é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças 
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da 
estrutura (∑ 𝐹𝑖. 𝑦𝑖). 
A estrutura é considerada de nós fixos se o coeficiente (𝜸𝒁) ≤ 1,1. 
Tal restrição ( 𝜸𝒁 ≤ 1,1 ) exige que o momento de 2ª ordem gerado pelas cargas verticais nesta 
análise preliminar seja de no máximo 9,1% do momento de tombamento causado pelas ações 
horizontais (∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑 ≤ 9,1% 𝑀1,𝑡𝑜𝑡,𝑑), ou seja, deslocamentos horizontais de pequeno valor, o 
que exige da estrutura uma rigidez horizontal adequada. 
 
 
 
14.12. CONTRAVENTAMENTO – ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E DE NÓS MÓVEIS 
(15.4.2) 
 
São consideradas estruturas de NÓS FIXOS aquelas que atendem ao parâmetro de instabilidade 
(𝛼 ≤ 𝛼1) acima proposto, ou ao limite do coeficiente (𝜸𝒁 ≤ 1,1). Nestas estruturas, admite-se 
que os deslocamentos dos nós são pequenos, logo os esforços de 2ª ordem globais podem ser 
desconsiderados (inferiores a 10% dos esforços de 1ª ordem). Nas estruturas de nós fixos basta, 
então, considerar os efeitos de 2ª ordem locais, como mostrado na figura a seguir. 
 
219 
 
Situação real no pórtico Situação idealizada 
Figura 14.14 - Efeito local de 2ª ordem – situação real e idealizada (de cálculo) 
 
Caso contrário, a estrutura é considerada como de NÓS MÓVEIS, e devem ser considerados os 
esforços de 2ª ordem globais (além dos locais, se for o caso). Tal situação deve ser, sempre que 
possível, evitada, dado o grau de complexidade que será enfrentado no dimensionamento, viável 
somente com uso de sistemas computacionais específicos para tais cálculos, que são iterativos. 
 
Figura 14.15 - Efeito global de 2ª ordem – estrutura a ser considerada 
 
Na análise de estruturas de nós móveis devem ser obrigatoriamente computados os efeitos da 
não linearidade física e da não linearidade geométrica, e, no dimensionamento, obrigatoriamente 
considerados os efeitos globais e locais de 2ª ordem. 
 
 
14.13. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS GLOBAIS E LOCAIS (11.3.3.4) 
 
Certos pilares, principalmente os intermediários, poderiam estar submetidos a compressão 
simples (centrada). Entretanto, na verificação do estado limite último de estruturas reticuladas, 
devem ser consideradas imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais, mesmo com 
a estrutura descarregada. 
Tais imperfeições podem ser globais ou locais. 
 
 
 
 
 
220 
14.13.1 Imperfeições globais e ação do vento (11.3.3.4.1) 
 
 Imperfeições globais 
Na análise global das estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um 
desaprumo dos elementos verticais de valor (𝜃𝑎): 
𝜃1 = 
1
100 . √𝐻
 𝜃𝑎 = 𝜃1 . √
1 + 1 𝑛⁄
2
 
 
 
Figura 14.16 - Imperfeição geométrica global (𝑒𝑎) 
 
 (n) é o número de “PRUMADAS DE PILARES” no pórtico (e não o número de andares). 
(H) é a altura total da edificação, em metros. 
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 = 
1
300⁄ = 0,0033 𝑒𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖çõ𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑖𝑠 
𝜃1,𝑚á𝑥 = 
1
200⁄ = 0,0050 
Exemplificando, para uma estrutura com 4 prumadas de pilares, teríamos os seguintes 
deslocamentos no topo da edificação (𝑒𝑎 = 𝜃𝑎𝑥 𝐻): 
 
Tabela 14.4 – Valores de 𝑒𝑎 
 
H (metros) 𝜃1 𝜃𝑎 𝑒𝑎 (cm) 
10 0,0033 0,0026 2,6 
30 0,0033 0,0026 7,8 
60 0,0033 0,0026 15,6 
100 0,0033 0,0026 26,0 
120 0,0033 0,0026 31,2 
onde 
H – altura total do prédio 
𝑒𝑎 – deslocamento no topo 
À medida que aumenta o número de prumadas (nº de pilares no pórtico), o valor de 𝜃𝑎 tende a 
diminuir, em relação ao valor de 𝜃1. A tabela a seguir exemplifica esta redução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
221 
Tabela 14.5 – Redução de (𝜃𝑎) em função do nº de prumadas 
 
Nro.de Prumadas 
 
(n) 
Valor a multiplicar 𝜽𝟏 
(√
𝟏+ 𝟏 𝒏⁄
𝟐
) 
1 1,00 
2 0,87 
4 0,79 
10 0,74 
 
Para edifícios com predominância de lajes lisas ou cogumelo, considerar (𝜃𝑎 = 𝜃1). 
Para pilares isolados em balanço, deve-se adotar (𝜃1 = 
1
200⁄ ). 
 
 Concomitância da ação do vento e imperfeições globais 
A consideração do vento e desaprumo deve ser realizada de acordo com as seguintes 
possibilidades: 
a) Quando 30% da ação do vento for maior que a ação do desaprumo, considera-se 
somente a ação do vento. 
b) Quando a ação do vento for inferior a 30% da ação do desaprumo, considera-se 
somente a ação do desaprumo, respeitando-se a consideração de (𝜃1,𝑚𝑖𝑛), como 
definido acima. 
c) Nos demais casos, combina-se a ação do vento e o desaprumo, sem necessidade da 
consideração do (𝜃1,𝑚𝑖𝑛). Nessa combinação, admite-se considerar ambas as ações 
atuando na mesma direção e sentido como equivalentes a uma ação do vento, 
portanto, uma carga variável, artificialmente amplificada para cobrir a superposição. 
A comparação pode ser feita com os momentos totais na base da construção e em cada direção e 
sentido da aplicação da ação do vento, com desaprumo calculado com (𝜃𝑎), sem a consideração 
do (𝜃1,𝑚𝑖𝑛). 
O desaprumo não precisa ser considerado para os estados limites de serviço. 
De acordo com as práticas recomendadas do IBRACON, nas estruturas do Nível 1 (estruturas 
muito simples, de até 4 pavimentos, regulares, sem protensão, submetidas a sobrecargas nunca 
superiores a 3 kN/m2, com altura de pilares de até 4 m e vãos não excedendo 6 m), a consideração 
do vento poderá ser omitida, desde que as prescrições para o dimensionamento dos pilares sejam 
rigorosamente obedecidas. Para que isto seja possível, é indispensável a existência de 
contraventamentos em duas direções no conjunto estrutural, e a estrutura não pode estar situada 
em ambiente quimicamente agressivo. 
 
 
14.13.2 Imperfeições locais (11.3.3.4.2) 
 
Nas lajes e/ou vigas que ligam pilares contraventados a contraventantes, deve ser considerada a 
tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (situação da fig. “a” a seguir). 
No dimensionamento de pilar contraventado, devem ser consideradas situações de “falta de 
retilineidade” e de “desaprumo”, (fig. “b” e “c” reproduzidas em seguida). 
𝜃1 = 
1
100 . √𝐻𝑖
 
 
222 
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 = 
1
300⁄ = 0,0033 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖çõ𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑖𝑠 
𝜃1,𝑚á𝑥 = 
1
200⁄ = 0,0050 (sempre que 𝐻𝑖 ≤ 4,0 𝑚) 
 (Hi) é a altura do andar, em metros. 
 
 
Figura 14.17 - Imperfeições geométricas locais 
 
De acordo com a norma, a consideração apenas da “falta de retilineidade” é admitida como 
suficiente nos casos usuais de estruturas reticuladas. 
Na falta de retilineidade, a excentricidade acidental local será 𝑒𝑎 = 𝜃1 .
𝐻𝑖
2
. 
No desaprumo, a excentricidade acidental local será 𝑒𝑎 = 𝜃1 . 𝐻𝑖. 
Para um pavimento com Hi = 3,0 metros, teríamosas seguintes excentricidades (𝑒𝑎): 
 Falta de retilineidade: 𝑒𝑎= 0,75 cm (seção intermediária) 
 Desaprumo: 𝑒𝑎= 1,50 cm (seção de extremidade) 
 
 
14.14. MOMENTO MÍNIMO (11.3.3.4.3) 
 
O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilares-parede pode ser substituído, em estruturas 
reticuladas, pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado por: 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) 
onde (h) é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
A excentricidade de 1ª ordem mínima será: 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) 
 
Tabela 14.6 – Valores de (e1,min) 
 
h (cm) 20 30 40 50 60 80 90 100 
e1,min (cm) 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,9 4,2 4,5 
 
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido 
se for respeitado este valor de momento total mínimo. A este momento mínimo, de 1ª ordem, 
devem ser acrescidos os momentos de 2ª ordem adiante tratados – se for o caso. 
De acordo com a norma, para pilares de seção retangular, pode ser definida uma envoltória 
mínima de 1ª ordem, tomada a favor da segurança, de acordo com a figura a seguir: 
 
223 
 
 
Figura 14.18 - Envoltória mínima de 1ª ordem 
 
Numa situação de dimensionamento, em que uma seção retangular esteja submetida a flexão 
composta oblíqua, em que a normal e os momentos fletores de cálculo sejam 
(𝑁𝑑 , 𝑀1𝑑,𝑥 𝑒 𝑀1𝑑,𝑦), se estará a favor da segurança quando se dimensiona a seção para duas 
flexões normais compostas (𝑁𝑑 ± 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛,𝑥𝑥, numa direção; e 𝑁𝑑 ± 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛,𝑦𝑦 na outra) e 
resultar (vide expressão e figura a seguir): 
(
𝑀1𝑑,𝑥
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛,𝑥𝑥
)
2
+ (
𝑀1𝑑,𝑦
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛,𝑦𝑦
)
2
 ≤ 1,0 
 
 
 
Figura 14.19 - Situação de dimensionamento – seção retangular com flexão oblíqua 
 
 
14.15. INSTABILIDADE E EFEITOS DE 2ª ORDEM (15.8) 
 
Esforços de 2ª ordem devem ser considerados em estruturas esbeltas, de modo a evitar possível 
instabilidade do elemento. Neste caso, os esforços devem ser calculados levando em conta as 
deformações da estrutura (configuração deformada, não linearidade geométrica), assim como a 
não linearidade física dos materiais (através da variação do (EI)eq ao longo do elemento, que leva 
em conta a fissuração da seção e a não linearidade entre tensões e deformações – materiais na 
fase inelástica). 
O estado limite último de instabilidade é atingido sempre que, ao aumentar o carregamento (e as 
deformações) nos elementos submetidos à flexo-compressão, há um aumento dos esforços 
solicitantes (efeito de 2ª ordem), sem que haja um aumento equivalente da capacidade resistente, 
podendo levar a estrutura ao colapso. 
 
224 
Na análise estrutural com os efeitos de 2ª ordem deve ser assegurado que não ocorra a perda de 
estabilidade nem o esgotamento da capacidade resistente de cálculo. 
Como já visto, nas estruturas de nós fixos basta considerar os efeitos de 2ª ordem locais. 
Nas estruturas de nós móveis devem ser considerados os esforços de 2ª ordem globais (além dos 
locais, se for o caso). Como já afirmado, tal situação deve ser, sempre que possível, evitada, dado 
o grau de complexidade que será enfrentado no dimensionamento, viável somente com uso de 
sistemas computacionais específicos para tal fenômeno. 
 
 
14.15.1 Análise dos elementos isolados (15.4.4 e 15.8) 
 
Podem ser considerados elementos isolados, para fins de cálculo dos efeitos de 2ª ordem: 
 Os elementos estruturais isostáticos. 
 Os elementos contraventados. 
 Os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos. 
 Os elementos das estruturas de contraventamento de nós móveis, desde que, aos esforços 
nas extremidades obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os 
determinados por análise global de 2ª ordem. 
 
Na disciplina Concreto Armado II serão estudados somente os pilares contraventados das 
edificações, ou seja, a análise das estruturas de contraventamento e o dimensionamento dos seus 
elementos não serão estudados na disciplina. 
Os cálculos apresentados a seguir são válidos para elementos isolados de seção constante e 
armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos à flexo-compressão. 
 
14.15.2 Comprimento de flambagem (𝓵𝒆) 
 
Como visto, os pilares contraventados de um prédio podem ser considerados como elementos 
isolados, o que facilita extremamente o dimensionamento. Em Concreto Armado II só serão 
estudados os pilares contraventados. 
Via de regra, tais pilares são considerados como bi-rotulados nas duas extremidades, com 
comprimento de flambagem ℓ𝑒 = ℓ. 
 
 
 
Figura 14.20 - Pilar contraventado típico num andar “n” 
 
onde (item 15.6): 
(ℓ) é 𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟, 𝑑𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑎 𝑒𝑖𝑥𝑜, 𝑛ã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 (ℓ𝑜 + ℎ), 
(h) é a dimensão do pilar, na direção sob análise, 
e (ℓ𝑜) a altura livre (face a face). 
 
225 
 
Os comprimentos de flambagem das barras retas, de acordo com suas condições de contorno, 
são: pilar biapoiado (ℓ𝑒 = ℓ); engastado e livre (ℓ𝑒 = 2 ℓ ); biengastado (ℓ𝑒 = 0,5 ℓ); 
biengastado com deslocabilidade (ℓ𝑒 = ℓ ); rotulado e engastado (ℓ𝑒 = 0,7 ℓ). 
 
 
Figura 14.21 - Comprimento de flambagem de barras isoladas (Fusco) 
 
 
14.15.3 Índice de esbeltez (𝝀) 
 
O índice de esbeltez é dado pela expressão: 
𝜆 = 
ℓ𝑒
𝑖
 
 
Onde (𝑖 = √
𝐼𝑐
𝐴𝑐
) é o raio de giração da seção 
Para pilares de seção retangular, com lado menor de largura (b), teremos: 
Ic = 
ℎ .𝑏3
12
 𝐴𝑐 = 𝑏 . ℎ 
i = √
𝑏2
12
 = 
𝑏
3,46
 
𝜆 = 
3,46 . ℓ𝑒
𝑏
 
Para pilares de seção circular, ficaria: 
𝜆 = 
4 . ℓ𝑒
𝑑
 
onde “d” é o diâmetro da seção circular. 
 
Os pilares devem ter índice de esbeltez (𝜆 ≤ 200). Postes com força normal inferior a (Nd = 0,1 
. Ac . fcd, ou seja, 𝜐 < 0,1), podem ter este limite ultrapassado (15.8.1). 
 
ATENÇÃO: nas fórmulas a seguir, relativas ao estudo da flambagem, (h) é a dimensão da seção 
transversal na qual se está verificando a esbeltez (via de regra, a menor dimensão da seção 
transversal, que conduz ao maior índice de esbeltez). Mas as condições de esbeltez devem ser 
verificadas nas duas direções principais da seção. 
 
 
 
 
 
 
226 
14.15.4 Delimitação entre pilar curto e esbelto (15.8.2) 
 
O índice de esbeltez (𝜆), calculado acima, deverá ser inferior ao limite (𝜆1), para que os efeitos 
de 2ª ordem possam ser desconsiderados (pilar curto) em elementos isolados. 
 
Na disciplina serão estudados somente os pilares contraventados curtos e medianamente 
esbeltos. 
 Pilar Curto: 𝜆 ≤ 𝜆1 
 
 Pilar medianamente esbelto: 𝜆1 < 𝜆 ≤ 90 
 
Este valor limite de esbeltez, (𝜆1), depende de diversos fatores, sendo preponderantes: 
 A excentricidade relativa de 1ª ordem, (
𝑒1
ℎ⁄ ), não inclui a excentricidade acidental (item 
15.1 da norma). 
 A vinculação das extremidades da coluna isolada. 
 A forma/distribuição do diagrama dos momentos de 1ª ordem. 
 
O valor de (𝜆1) é dado por: 
𝜆1 = 
25 + 12,5 . (𝑒1 ℎ⁄ )
𝛼𝑏
 
Devendo situar-se na faixa de: 
35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 
 
O fator (𝛼𝑏) leva em consideração que, dependendo da distribuição de momentos de 1ª ordem 
ao longo do pilar, o efeito da flambagem pode ser mais ou menos crítico. 
 
 
𝛼𝑏 = 0,4 𝛼𝑏 = 0,75 𝛼𝑏 = 1,0 
 
Figura 14.22 - Possibilidades de distribuição dos momentos de 1ª e de 2ª ordem e valores de 
(𝛼𝑏) 
 
 
Os valores de (𝛼𝑏), necessários para a determinação do valor limite (𝜆1), para diferentes 
situações dos pilares são fornecidos em seguida. 
 
 
 
227 
a) Para pilares biapoiados, sem cargas transversais, teremos: 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 .
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 ≥ 0,40 
1,0 ≥ 𝛼𝑏 ≥ 0,40 
MA e MB são os momentos de 1ª ordem atuantes nas extremidades A e B do pilar – vide figura 
anterior. Variando-se os valores de MA e MB, temos a faixa de variação de (𝛼𝑏): 
 
Tabela 14.7 – Valores de (𝛼𝑏) 
 
MB/MA - 1,0 - 0,75 - 0.5 - 0,250,00 0,25 0,50 0,75 1,00 
𝛼𝑏 0,40 0,40 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
 
Situações em que os momentos de 1ª ordem invertem de sinal são mais favoráveis, e conduzem 
a um valor mais elevado de (𝜆1), a partir do qual os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados 
no cálculo. No mesmo sentido, quanto maior a excentricidade relativa (
𝑒1
ℎ⁄ ), maior é o valor de 
(𝜆1), como se conclui da própria expressão de cálculo de (𝜆1). 
 
b) Pilares biapoiados, com cargas transversais significativas ao longo da altura. 
 
𝛼𝑏 = 1,0 
 
 
 
Figura 14.23 - Pilar com cargas transversais significativas 
 
 
c) Pilares em balanço (𝑴𝑪 ≤ 𝑴𝑨): 
 
𝛼𝑏 = 0,80 + 0,20 .
𝑀𝐶
𝑀𝐴
 ≥ 0,85 
 
1,0 ≥ 𝛼𝑏 ≥ 0,85 
 
𝑀𝐴 é o momento de 1ª ordem no engaste e 𝑀𝐶 é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em 
balanço. 
 
 
d) Pilares biapoiados, ou em balanço (item 15.8.2.d), com momentos menores que (M1d,min): 
𝜶𝒃 = 𝟏, 𝟎 
 
 
 
 
228 
Nota: o momento a comparar com (M1d,min), para fins de determinação do fator (𝜶𝒃), é o 
momento inicial, devido exclusivamente aos carregamentos (vento, engastamento elástico etc), 
não incluindo a excentricidade acidental. 
 
 
 
14.16. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DOS PILARES (17.3.5.3 e 18.4) 
 
14.16.1 Armadura longitudinal 
 
 Quantidade mínima e máxima 
A armadura longitudinal mínima: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = (0,15 .
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
) ≥ 0,4% . 𝐴𝑐 
 
A armadura longitudinal máxima: 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 8,0% . 𝐴𝑐 
 
Inclusive na região de emenda por traspasse da armadura. Logo, se for prevista a emenda por 
traspasse da totalidade da armadura na mesma seção do pilar, a percentagem máxima de 
armadura, fora da região de emenda, será de 4,0% 𝐴𝑐. 
 
 
 Bitola e espaçamento 
Diâmetro mínimo e máximo da armadura longitudinal: 
 
𝜙ℓ ≥ 10 𝑚𝑚 (𝜙ℓ ≥12,5 mm na norma espanhola) 
 
𝜙ℓ ≤ 𝑏/8 b, menor dimensão da seção transversal 
 
Espaçamento mínimo entre barras da armadura longitudinal (18.4.2.2), a ser obedecida inclusive 
nas regiões de emenda por traspasse: 
 
20 mm 
ah ≥  (da barra ou do feixe ou da luva) 
(livre) 1,2 dmax (agregado: Br1, ah ≥ 23 mm; Br2, ah ≥ 30 mm) 
 
Se houver previsão no plano de concretagem de adensamento através de abertura lateral na face 
da forma, o espaçamento entre barras deve ser suficiente para a passagem do vibrador (18.4.2.2). 
Espaçamento máximo entre barras da armadura longitudinal (18.4.2.2), medido de centro a 
centro da barra ou feixe: 
 
40 cm 
ah ≤ 
(centro) 2b (o dobro da menor dimensão no trecho considerado) 
 
 
 
 
 
229 
 Quantidade mínima de barras longitudinais 
As barras devem ser colocadas ao longo da superfície do pilar. Em pilares de seção poligonal, 
deve ser prevista pelo menos uma barra de armadura longitudinal em cada vértice. Em seções 
circulares, no mínimo 6 barras distribuídas ao longo do perímetro (18.4.2.2). 
 
Figura 14.24 - Quantidade mínima de barras longitudinais na seção do pilar 
 
 Emenda por traspasse 
Estando todas as barras da seção comprimidas, a norma admite que sejam todas emendadas numa 
mesma seção (9.5.2.1). É muito comum proceder-se à emenda da barras de armadura logo acima 
das lajes dos pavimentos (ver figura), deixando as barras de espera para o pilar do andar seguinte 
(caso sejam emendadas menos de 100% das barras na seção, algumas barras de espera terão 
comprimentos diferentes). 
Sendo as barras longitudinais verticais (ou, pelo menos, possuindo inclinação superior a 45º), 
trata-se de traspasse em zona de boa aderência. 
Para aço CA-50, os valores de comprimento de ancoragem (ℓ𝑏) das barras estão mostrados na 
tabela a seguir, em função da resistência do concreto: 
 
Tabela 14.8 - Comprimento de ancoragem de barras, zona de boa aderência, aço CA-50 
 
Concreto C20 C25 C30 C35 C40 
ℓ𝑏 44∅ 38∅ 33∅ 30∅ 28∅ 
 
O comprimento de traspasse será ℓ0𝑐 = ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 ≥ ℓ0𝑐,𝑚𝑖𝑛 
onde 
ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = ℓ𝑏 𝑥 
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡
 
 
 0,6 . ℓ𝑏 
ℓ0𝑐,𝑚𝑖𝑛 ≥ 15 ∅ 
 20 cm 
 
Deve ser prevista armadura transversal na região de emenda por traspasse, capaz de resistir a 
25% da força de uma barra ancorada. Tal armadura deve ser distribuída nos terços extremos da 
emenda, e pelo menos uma barra transversal deve estar situada a uma distância igual a (4 ∅ℓ). Os 
estribos existentes podem ser computados, compondo esta armadura transversal na região de 
emenda. 
 
 
Quando houver redução da seção transversal do pilar num determinado pavimento da edificação, 
pode ser adotado um dos detalhes indicados na figura a seguir. 
 
230 
 
 
Figura 14.25 - Emenda por traspasse – transição no pavimento (Leonhardt, Chust) 
 
Emenda por traspasse só é admitida pela norma para diâmetros de até 32 mm (item 9.5.2). Acima 
desta bitola, só são admitidas emendas soldadas ou com luvas. 
 
 
Figura 14.26 - Emendas de barras de armadura com luvas 
(com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas) 
 
231 
 
Figura 14.27 - Ancoragem junto à superfície deve ser evitada (Chust, Leonhardt) 
 
 
 
14.16.2 Armadura transversal (18.4.3) 
 
 
 Bitola e espaçamento 
Colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento 
com vigas e lajes, de acordo com determinação expressa da norma. 
 
Figura 14.28 - Fissuras por falta ou deslocamento de estribos (Montoya) 
 
Diâmetro mínimo: 
5 mm 
𝜙𝑡 ≥ 
 
𝜙ℓ
4
 
Espaçamento entre estribos: 
 200 mm 
𝑠𝑡 ≤ 𝑏 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 
 12 𝜙ℓ, para CA-50* (24 𝜙ℓ, para CA-25)* 
 
* - diâmetro (𝜙ℓ) da barra de menor bitola, se houver mais de uma. 
 
232 
 
Pode ser adotado (𝜙𝑡 < 
𝜙ℓ
4
 ) se respeitada a limitação a seguir de espaçamento (expressão 
válida se adotado o mesmo tipo de aço para as armaduras longitudinal e transversal) 
𝑠𝑡 ≤ 90.000 . (
𝜙𝑡
2
𝜙ℓ
) .
1
𝑓𝑦𝑘
 (𝑓𝑦𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎) 
Esta expressão é aplicável para diâmetros de armadura longitudinal superiores a 20 mm, como 
exemplificado na tabela a seguir (para aço CA-50), tendo em vista que há o limite mínimo fixo 
de 5 mm de diâmetro para os estribos (devendo ser atendido o espaçamento máximo de 20 cm): 
 
Tabela 14.9 – Espaçamento máximo estribos 
 
𝜙ℓ 
(mm) 
𝜙𝑡 
(mm) 
𝑠𝑡,𝑚𝑎𝑥 
(cm) 
22 5,0 20,0 
25 5,0 18,0 
32 5,0 14,1 
32 6,3 20,0 
40 5,0 11,3 
40 6,3 17,9 
 
 
 
 
Foto 14.2 - Flambagem da armadura longitudinal decorrente de estribos muito espaçados 
(Leonhardt) 
 
Caso haja necessidade de armaduras transversais para resistir a esforços cortantes (e /ou torção), 
os limites (armadura mínima) aplicáveis a estribos de vigas também devem ser atendidos (para 
esforço cortante e/ou torção). 
 
A norma NBR 6118/2014 (item 18.4.3) recomenda a redução em 50% dos espaçamentos 
máximos dos estribos, quando utilizando concretos das classes C55 a C90, de modo a garantir a 
ductilidade dos pilares. Recomenda ainda que as ancoragens destes estribos tenham ganchos de 
pelo menos 135º. 
 
 
233 
 
 
 
Figura 14.29 - Arranjos estribos (Chust) 
 
Em pilares pré-moldados, e em pilares com momentos nas extremidades, recomenda-se a adoção 
de estribos adicionais na região próxima aos seus extremos, como mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Figura 14.30 - Estribos com espaçamento reduzido nas extremidades e defasagem dos 
ganchos (Leonhardt) 
 
 
 
 Estribos suplementares – proteção contra a flambagem das barras longitudinais 
(18.2.4) 
 
A norma fixa critérios para proteção das armaduras longitudinais contra flambagem, quando 
dispostas junto à superfície de elementos comprimidos (item 18.2.4). Os estribos poligonais 
garantem contra flambagem até duas barras de armadura longitudinaldispostas na superfície 
 
234 
(além da de canto), desde que situadas a uma distância de até (20 𝜙𝑡) do canto (e mais duas 
barras na outra face do pilar). 
Caso haja barras longitudinais fora desta região protegida, devem ser usados estribos 
suplementares. Até 2014, a norma dispunha que tais estribos suplementares poderiam proteger 
até cinco barras, desde que o gancho envolvesse uma barra longitudinal e o estribo principal, o 
que deveria ser claramente indicado no projeto (ver figuras a seguir). A versão de 2014 da norma, 
entretanto, deixou de se referir a esta possibilidade. 
Em superfícies curvilíneas com concavidade voltada para o interior do concreto (circular, p.ex.), 
não há necessidade de estribos suplementares. Em contrapartida, se a concavidade da superfície 
for voltada para fora, todas as barras ao longo da superfície deverão ter estribos suplementares. 
O espaçamento vertical dos estribos suplementares é o mesmo dos estribos principais. 
 
 
 
 
Figura 14.31 - Arranjos básicos dos estribos (Fusco) 
 
 
A nova versão da norma NBR 6118/14 retirou a previsão de estribo suplementar mostrada no 
item (e) da Figura acima, que possibilitava proteger contra flambagem cinco barras de armadura. 
 
 
14.16.3 Cobrimento das armaduras dos pilares (7.4.7.6) 
 
De acordo com a classe de agressividade ambiental o cobrimento nominal das armaduras de 
pilares deve ser (valores em milímetros): 
 
Tabela 14.10 – Cobrimento Nominal (mm) 
FRACA MODERADA FORTE MUITO FORTE 
25 30 40 50 
 
 
 
235 
14.17. DIMENSIONAMENTO DE PILAR CURTO (15.8.2) 
 
É considerado pilar curto aquele cujo índice de esbeltez seja (𝜆 ≤ 𝜆1). 
A condição de pilar curto deve ser atendida em ambas as direções principais da seção. 
Neste caso, serão considerados somente os momentos devidos às cargas atuantes e os devidos à 
excentricidade acidental, nunca esquecendo de atender ao momento mínimo. 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) 
 
Os efeitos de 2ª ordem podem ser desconsiderados. As situações de cálculo estão mostradas em 
seguida: 
 
 
Figura 14.32 - Situações de cálculo – pilar curto 
 
 
Exemplo 1: 
Seja calcular um pilar interno, com dimensões 35 x 40 cm2, altura de 3,0 metros (entre eixos), 
concreto C30, aço CA-50, solicitado por uma carga normal característica de 1.500 kN. 
SOLUÇÃO: 
Dimensão mínima: b ≥ 19 cm OK, b = 35 cm, não aplica fator 𝛾𝑛 
Imperfeições geométricas locais (excentricidade acidental): 
𝜃1 = 
1
100 . √𝐻𝑖
= 
1
100 . √3,0
= 0,0058 
 
 
236 
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 = 
1
300⁄ = 0,0033 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖çõ𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑖𝑠 
𝜃1,𝑚á𝑥 = 
1
200⁄ = 0,0050 
Logo 𝜃1 = 0,0050 
 
Excentricidades acidentais 
- Falta de retilineidade (seção intermediária): 
𝑒𝑎 = 𝜃1 .
𝐻𝑖
2
. = 0,0050 x .
3,0
2
= 0,0075 𝑚 = 0,75 𝑐𝑚. 
- Desaprumo do pilar (extremidade): 
𝑒𝑎 = 𝜃1 . 𝐻𝑖 = 0,0050 𝑥 3,0 = 0,015 𝑚 = 1,5 𝑐𝑚 
Momento 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) 
onde (h) é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
A excentricidade de 1ª ordem mínima será (em cada direção): 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) = 0,0015 + 0,03 x 0,35 = 0,0255 m = 2,55 cm 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) = 0,0015 + 0,03 x 0,40 = 0,027 m = 2,7 cm 
 
Logo, os valores de excentricidade mínima serão os usados no cálculo, pois seus valores superam 
os de excentricidade acidental. 
 
Verificação da esbeltez: 
Esbeltez máxima do pilar 
𝜆 = 
3,46 . ℓ𝑒
𝑏
= 
3,46 𝑥 3,0
0,35
= 30 
Valor máximo de esbeltez para pilar curto: 
𝛼𝑏 = 1,0 (pilar biapoiado com momento inferior a 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛) 
𝑒1 = 0 (não inclui a excentricidade acidental – item 15.1 da norma) 
𝜆1 = 
25 + 12,5 . (𝑒1 ℎ⁄ )
𝛼𝑏
 = 
25 + 0
1,0
= 25 ≥ 35 (𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠) 
 
Logo 𝜆1 = 35 𝑒, 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝜆 = 30 < 𝜆1 = 35 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜 
 
𝑒𝑎𝑥 = 1,5 𝑐𝑚 𝑒𝑎𝑦 = 1,5 𝑐𝑚 
𝒆𝟏,𝒙,𝒎𝒊𝒏 = 2,55 cm 𝒆𝟏,𝒚,𝒎𝒊𝒏= 2,7 cm 
 
Obs: nestas figuras, 𝑒𝑎 deve ser substituído por 𝑒1,𝑚𝑖𝑛, quando o valor de 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 naquela direção 
for superior ao de 𝑒𝑎. 
 
237 
Ábaco da pág. 4 (d’ = 0,10 h) – Flexão Normal Composta 
Situação de cálculo 1: 
Nd = 1,4 x 1.500 = 2.100 kN 
Md = 2.100 x 0,0255 = 53,6 kN.m (M1d,min) 
𝜐 = 
𝑁𝑑
𝑏 .ℎ .𝑓𝑐𝑑
 = 
− 2,100
0,35 𝑥 0,4 𝑥 21.429
= - 0,70 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏 .ℎ2 .𝑓𝑐𝑑
 = 
53,6
0,4 .0,352 . 21.429
= 0,05 
𝜔𝑡𝑜𝑡 = 𝑧𝑒𝑟𝑜 
Nota: lembrar que a dimensão “b” do ábaco não é necessariamente a menor dimensão do pilar. 
 
Situação de cálculo 2: 
Nd = 2.100 kN 
Md = 2.100 x 0,027 = 56,7 kN.m (M1d,min) 
𝜐 = - 0,70 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏 .ℎ2 .𝑓𝑐𝑑
 = 
56,7
0,35 .0,42 . 21.429
= 0,05 
𝜔𝑡𝑜𝑡 = 𝑧𝑒𝑟𝑜 
 
Logo, não precisa armadura longitudinal, necessário usar a armadura mínima prevista para 
pilares. 
 
Outra forma de calcular o parâmetro adimensional do momento fletor: 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏 . ℎ2 . 𝑓𝑐𝑑
= 
𝑁𝑑 . 𝑒
𝑏 . ℎ2 . 𝑓𝑐𝑑
= 
𝜐 . 𝑒
ℎ
 
 
 
As,min = 0,15 x Nd / fyd = 0,15 x 2.100 / 43,5 = 7,24 cm
2 
 
𝜌 = 
𝐴𝑠
𝐴𝑐
= 
7,24
35 𝑥 40
= 0,52% > 0,4% 𝑂𝐾 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 8,0% . 𝐴𝑐 (na região de emenda) OK 
 
Armadura longitudinal 
𝜙ℓ ≥ 10 𝑚𝑚 
𝜙ℓ ≤ 𝑏/8 = 35/8 = 4,4 cm (b, menor dimensão da seção transversal) 
 
Adotados 6 𝜙12,5 mm (7,38 cm2) 
 
20 mm 
 
ah ≥ mm 
 
1,2 dmax (agregado: Br2, ah ≥ 30 mm) 
 
 
 
40 cm 
ah ≤ 
 2b = 2 x 35 = 70 cm 
 
 
 
238 
Armadura transversal: bitola e espaçamento 
 
5 mm 
𝜙𝑡 ≥ 
 
𝜙ℓ
4
=
12,5
4
= 3,1 𝑚𝑚 
 
 
 
 200 mm 
𝑠𝑡 ≤ 𝑏 = 35𝑐𝑚 
 12 𝜙ℓ = 12 x 12,5 = 150 mm = 15 cm 
 
 
Serão adotados estribos de 𝜙5 mm c. 15 cm 
Verificação da flambagem da armadura longitudinal (estribo suplementar) 
20 𝜙𝑡 = 20 x 0,5 cm = 10 cm < 16,375 cm entre barras longitudinais, logo precisa estribo 
suplementar. 
Cobrimento das armaduras: ambiente interno, pilar com revestimento de argamassa e pintura, 
cnom = 25 mm. 
 
Detalhe da armação na seção transversal: 
 
Emenda: ℓ0𝑐 = 33∅ = 33 x 1,25 = 42 cm 
 
 
18. DIMENSIONAMENTO DE PILAR MEDIANAMENTE ESBELTO 
 
É considerado pilar medianamente esbelto, aquele cujo índice de esbeltez seja: 
 ( 𝜆1 ≤ 𝜆 ≤ 90) 
 
 
18.1 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA (15.8.3.3.2) 
Nesta faixa de esbeltez, pode-se desconsiderar o efeito da fluência. Os efeitos de 2ª ordem podem 
ser calculados com o método do pilar-padrão com curvatura aproximada. Este é um método 
aproximado, válido somente se: 
 Seção constante. 
 Armadura longitudinal simétrica e constante ao longo do seu eixo. 
A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação 
da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada através de uma expressão 
aproximada da curvatura (1/r) na seção crítica. 
 
 
 
 
239 
 Curvatura da seção crítica 
A curvatura na seção crítica é obtida pela expressão aproximada: 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ (𝜈 + 0,5)
 ≤ 
0,005
ℎ
 (𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝜈 ≥ 0,5) 
 
onde 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
 (𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎, 𝑜𝑢 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 
 (h) é a altura da seção na direção considerada 
 
Para valores de 𝜈 ≤ 0,5 teremos 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ
 
Os valores de curvatura na seção crítica diminuem à medida que aumenta o nível de compressão 
no pilar, como mostrado a seguir: 
 
Tabela 14.11 – Valores de 1/r 
𝜐 1 𝑟⁄ 
≤ 0,5 0,005 ℎ⁄ 
0,75 0,004 ℎ⁄ 
1,00 0,0033 ℎ⁄ 
1,20 0,0029 ℎ⁄ 
1,50 0,0025 ℎ⁄ 
 
 
 Momento de 2ª ordem 
𝑀2𝑑 = 𝑁𝑑 .
ℓ𝑒
2
10
 .
1
𝑟
 
 
Sabendo-se que 𝑒 = 
𝑀
𝑁
 , podemosobter a excentricidade de 2ª ordem, e2: 
𝑒2 = 
ℓ𝑒
2
10
 .
1
𝑟
 
 
 
Figura 14.33 - Diagrama de momentos de 1ª e de 2ª ordem ao longo do pilar (Chust) 
(situação válida para pilar contraventado) 
 
240 
 
Como se pode perceber da figura anterior, os momentos de 1ª ordem máximos ocorrem nas 
extremidades do pilar, e o momento de 2ª ordem é máximo em seção próxima da meia altura. 
Para fins de dimensionamento, o momento máximo de 2ª ordem deve ser somado a um momento 
de 1ª ordem possível de ocorrer naquela mesma seção. Tendo em vista uma certa 
imprevisibilidade na distribuição real de momentos ao longo do pilar, adota-se um valor 
padronizado de momento de 1ª ordem, a somar-se com o momento máximo de 2ª ordem, como 
mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Figura 14.34 - Momento de 1ª ordem numa seção intermediária do pilar contraventado 
 
𝑀1𝑑,𝐶 = 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴 
 
onde 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 .
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 ≥ 0,40 
 
Logo, quando há efeito de 2ª ordem em pilar contraventado da edificação, o dimensionamento 
deve ser efetuado em três seções, a saber (item 15.8.3.3.5 - vide figura a seguir): 
 Extremidades, onde atuam os momentos máximos (de 1ª ordem – momento inicial mais 
o momento devido ao desaprumo do pilar), sendo nulo o momento de 2ª ordem. Logo, o 
cálculo nestas seções é idêntico ao já estudado para pilar curto. 
 Intermediária, onde atua o momento de 2ª ordem, com seu valor máximo, associado a um 
momento inicial com valor reduzido (𝑀1𝑑,𝐶 = 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴), inferior ao que ocorre na 
seção de extremidade, mais o momento devido à imperfeição local (falta de retilineidade 
no pilar). 
 
 
241 
 
 e1,A + ea (desaprumo) e1,C + ea (retilineidade) + e2 
 Seção extremidade Seção intermediária 
 Obs: (e1,C = 𝛼𝑏 x 𝑒1,𝐴) 
Figura 14.35 - Excentricidades a considerar em pilar medianamente esbelto 
 
Obs: Tendo o pilar armadura longitudinal obrigatoriamente simétrica (e constante ao longo do 
seu eixo), dentre as duas seções de extremidade (A e B), basta dimensionar a mais solicitada (A). 
Se o pilar for esbelto, além desta seção, o dimensionamento também deve ser feito na seção 
intermediária. 
 
 Momento total na seção intermediária (15.8.3.3.2) 
 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = (𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑. 𝑒𝑎) + 𝑀2𝑑 ≥ 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 + 𝑀2𝑑 
De acordo com o item 11.3.3.4.3 da norma, na direção em que se considera a imperfeição 
geométrica local (ea), a excentricidade de 1ª ordem (ea, ou ei + ea) deve ser, no mínimo, igual a 
e1d,min, e esta excentricidade mínima deve ser somada à excentricidade e2, se for o caso (se 
esbelto). 
 
242 
 
Figura 14.36 - Situações de cálculo – pilar medianamente esbelto, seção intermediária 
(supondo pilar esbelto nas duas direções) 
 
 
Exemplo 2: 
Seja calcular um pilar central, com dimensões 20 x 40 cm2, altura de 3,0 metros (entre eixos de 
vigas), concreto C25, aço CA-50, solicitado por uma carga normal característica de 1.000 kN. 
SOLUÇÃO: 
Dimensão mínima: b ≥ 19 cm OK, b = 20 cm, não aplica fator 𝛾𝑛 
Ac = 20 x 40 = 800 cm
2 > 360 cm2 OK 
Imperfeições geométricas locais (excentricidade acidental): 
𝜃1 = 
1
100 . √𝐻𝑖
= 
1
100 . √3,0
= 0,0058 
 
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 = 
1
300⁄ = 0,0033 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑖çõ𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑖𝑠 
𝜃1,𝑚á𝑥 = 
1
200⁄ = 0,0050 
Logo 𝜃1 = 0,0050 
 
 
 
243 
Excentricidades acidentais 
- Falta de retilineidade (seção intermediária): 
𝑒𝑎 = 𝜃1 .
𝐻𝑖
2
. = 0,0050 x .
3,0
2
= 0,0075 𝑚 = 0,75 𝑐𝑚. 
- Desaprumo do pilar (seção de extremidade): 
𝑒𝑎 = 𝜃1 . 𝐻𝑖 = 0,0050 𝑥 3,0 = 0,015 𝑚 = 1,5 𝑐𝑚 
Momento 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) 
onde (h) é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
A excentricidade de 1ª ordem mínima será (em cada direção): 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) = 0,0015 + 0,03 x 0,20 = 0,021 m = 2,1 cm 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) = 0,0015 + 0,03 x 0,40 = 0,027 m = 2,7 cm 
 
Logo, os valores de excentricidade mínima serão os usados no cálculo (2,1 cm e 2,7 cm), pois 
seus valores superam os de excentricidade acidental (0,75 cm na seção intermediária e 1,5 cm na 
seção de extremidade). 
 
Verificação da esbeltez: 
Esbeltez máxima do pilar (direção da dimensão 20 cm) 
𝜆 = 
3,46 . ℓ𝑒
𝑏
= 
3,46 𝑥 3,0
0,20
= 51,9 
Esbeltez do pilar na direção da dimensão 40 cm 
𝜆 = 
3,46 . ℓ𝑒
𝑏
= 
3,46 𝑥 3,0
0,40
= 26 
 
Valor máximo de esbeltez para pilar curto (ambas direções): 
𝛼𝑏 = 1,0 (pilar biapoiado com momento inicial inferior a 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛) 
𝑒1 = 0 (não inclui a excentricidade acidental – item 15.1 da norma) 
𝜆1 = 
25 + 12,5 . (𝑒1 ℎ⁄ )
𝛼𝑏
 = 
25 + 0
1,0
= 25 ≥ 35 (𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠) 
Na direção (20 cm), tendo em vista que: 
𝜆1 = 35 < 𝜆 = 51,9 < 90 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑜 
 
Na outra direção (40 cm), é pilar curto: (𝜆 = 26 < 𝜆1 = 35) 
 
Sendo o pilar medianamente esbelto numa direção, faz-se necessário calcular o momento de 2ª 
ordem na seção intermediária (pelo método do pilar padrão com curvatura aproximada): 
Curvatura na seção crítica: 
𝜈 = 
𝑁𝑑
𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
 = 
1,4 𝑥 1.000
0,2𝑥0,4𝑥17.857
= 0,98 
 
1
𝑟
= 
0,005
ℎ (𝜈 + 0,5)
= 
0,005
0,2 (0,98 + 0,5)
= 0,0169 𝑟𝑎𝑑 
 
A excentricidade de 2ª ordem, e2 será: 
𝑒2 = 
ℓ𝑒
2
10
 .
1
𝑟
 = 
3,02
10
 . 0,0169 = 0,0152 𝑚 = 1,52 𝑐𝑚 
 
 
 
 
244 
Seção de extremidade – só esforços de 1ª ordem 
(1) (2) (3) 
 
 ea 1,5 cm 1,5 cm 
 e1,min 2,1 cm 2,7 cm 
 
 
Seção intermediária – com esforços de 2ª ordem 
(4) (5) (6) 
 
(ea + e2) 0,75 cm+ 1,52 0,75 cm+ zero 
(e1,min + e2) 2,1 cm + 1,52 = 3,62 cm 2,7 cm + zero 
 
Logo, sendo pilar central, basta dimensionar para a seção intermediária, situações (5) e (6 = 3). 
 
Situação de cálculo (5) - (ábaco da pág. 2 –Flexão Normal Composta): 
Nd = 1,4 x 1.000 = 1.400 kN 
Md = 1.400 x 0,0362 = 50,7 kN.m 
𝜐 = 
𝑁𝑑
𝑏 .ℎ .𝑓𝑐𝑑
 = 
− 1,400
0,20 𝑥 0,4 𝑥 17.857
= - 0,98 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏 .ℎ2 .𝑓𝑐𝑑
 = 
50,7
0,4 .0,202 . 17.857
= 0,18 
𝝎𝒕𝒐𝒕 = 𝟎, 𝟕 
 
Situação de cálculo (6 = 3) - (ábaco da pág. 7 –Flexão Normal Composta): 
Nd = 1.400 kN 
Md = 1.400 x 0,027 = 37,8 kN.m 
𝜐 = - 0,98 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑏 .ℎ2 .𝑓𝑐𝑑
 = 
37,8
0,20 .0,42 . 17.857
= 0,05 
𝜔𝑡𝑜𝑡 = 0,35 
 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡 = 𝜔𝑡𝑜𝑡 .
𝑏.ℎ.𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 = 0,7 .
20.40.17857
435000
= 23 𝑐𝑚2 
 
245 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = (0,15 .
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
) = (0,15 .
1.400
43,5
) = 4,8 𝑐𝑚2 ≥ 0,4% . 𝐴𝑐 
 
𝜌 = 
𝐴𝑠
𝐴𝑐
= 
23,0
20 𝑥 40
= 2,9 % > 0,4% 𝑂𝐾 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 8,0% . 𝐴𝑐 (4,0% . 𝐴𝑐 fora da região de emenda) OK 
 
Armadura longitudinal 
𝜙ℓ ≥ 10 𝑚𝑚 
𝜙ℓ ≤ 𝑏/8 = 20/8 = 25 mm (b, menor dimensão da seção transversal) 
 
Adotados 8 𝜙20 mm (25,12 cm2) 
 
 
20 mm 
 
ah ≥ mm 
 
1,2 dmax (agregado: Br2, ah ≥ 30 mm) 
 
 
 
40 cm 
ah ≤ 
 2b = 2 x 20 = 40 cm 
 
 
Armadura transversal 
5 mm 
𝜙𝑡 ≥ 
 
𝜙ℓ
4
=
20
4
= 5,0 𝑚𝑚 
 
 
 
 200 mm 
𝑠𝑡 ≤ 𝑏 = 20𝑐𝑚 
 12 𝜙ℓ = 12 x 20 = 240 mm = 24 cm 
 
Serão adotados estribos de 𝜙5 mm c. 20 cm 
Cobrimento das armaduras: ambiente interno, pilar com revestimento de argamassa e pintura, 
cnom = 25 mm. 
 
Verificação da flambagem da armadura longitudinal (estribo suplementar) 
20 𝜙𝑡 = 20 x 0,5 cm = 10 cm (entre barras longitudinais, logo não precisa estribo suplementar)Detalhe da armação na seção transversal: 
 
246 
 
 
 
18.2 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM RIGIDEZ APROXIMADA (15.8.3.3.3) 
Os efeitos de 2ª ordem também podem ser calculados com o método do pilar-padrão com rigidez 
aproximada (15.8.3.3.3). Este é um método não era previsto na NBR-6118/78, sendo uma 
novidade da norma atual. É um método aproximado, válido somente se: 
 Seção retangular constante. 
 Armadura longitudinal simétrica e constante ao longo do seu eixo. 
 Índice de esbeltez 𝜆 ≤ 90. 
A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação 
da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada através de uma expressão 
aproximada da rigidez. 
Este método é especialmente recomendado para ser aplicado em pilares esbeltos submetidos à 
flexão composta oblíqua (item 15.8.3.3.5 da norma). 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1ª 
ordem pela expressão: 
 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴
(1 − 
𝜆2
120 𝑘 𝜐⁄
)
 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 
 
Sendo o valor da rigidez adimensional “k” dado pela expressão aproximada: 
𝑘𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 32 (1 + 5 
𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡
ℎ . 𝑁𝑑
) 𝜐 
onde as variáveis ℎ, 𝜈, 𝑀1𝑑,𝐴 𝑒 𝛼𝑏 são as mesmas definidas anteriormente. 
Em um processo de dimensionamento, toma-se (𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡). Em um processo de 
verificação, onde a armadura é conhecida, (𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡) é o momento resistente calculado com essa 
armadura e com (𝑁𝑑 = 𝑁𝑆𝑑 = 𝑁𝑅𝑑). 
A determinação do momento total, através das expressões acima, é iterativa (𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 depende de 
“𝑘” e “𝑘” depende de 𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡), mas usualmente duas ou três iterações são suficientes para se 
determinar o valor final. 
O dimensionamento também pode ser feito por solução direta, não iterativa, através das 
expressões a seguir. 
19200 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
2 + (3840 . ℎ . 𝑁𝑑 − 𝜆
2 . ℎ . 𝑁𝑑 − 19200 . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 −
3840 . 𝛼𝑏 . ℎ . 𝑁𝑑 . 𝑀1𝑑,𝐴 = 0 
 
Ou, sabendo-se que: 𝜆2 = 
12 . ℓ𝑒
2
ℎ2
 
Chega-se a: 
𝐴 . 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡
2 + 𝐵 . 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 + 𝐶 = 0 
onde 
 
247 
𝐴 = 5 . ℎ 
𝐵 = (ℎ2 . 𝑁𝑑 − ℓ𝑒
2 .
𝑁𝑑
320
− 5 . ℎ . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) 
𝐶 = (− ℎ2 . 𝑁𝑑 . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) 
 
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
− 𝐵 + √𝐵2 − 4. 𝐴 . 𝐶
2 . 𝐴
 
 
ATENÇÃO: 
Ao se usar este método para pilares sujeitos a flexão composta oblíqua, o mesmo deve ser 
aplicado, numa seção intermediária do pilar, nas duas direções (X e Y) simultaneamente (item 
15.8.3.3.5 da norma), mesmo que o pilar seja esbelto apenas em uma das direções principais. 
 
 
Exemplo 3: 
Seja calcular um pilar de canto, com dimensões 30 x 20 cm2 (P1), altura de 3,0 metros (entre 
eixos), concreto C30, aço CA-50, solicitado por uma carga normal é Nd = 770 kN. 
Momento no pilar gerado pela viga V1: Mi,A = - Mi,B = 15,4 kN.m (de cálculo) 
Momento no pilar gerado pela viga V6: Mi,A = - Mi,B = 30,0 kN.m (de cálculo) 
Obs: os valores de momentos informados já estão multiplicados por 1,5, para levar em conta a 
influência de um andar sobre o outro. 
 
 
SOLUÇÃO: 
Dimensão mínima: b ≥ 19 cm OK, b = 20 cm, não aplica fator 𝛾𝑛 
Imperfeições geométricas locais (altura do pilar 3,0 metros): 
Logo 𝜃1 = 0,0050 (limite superior – sempre que a altura for inferior a 4,0 metros) 
 
Excentricidades acidentais 
- Falta de retilineidade (seção intermediária): 
𝑒𝑎 = 𝜃1 .
𝐻𝑖
2
. = 0,0050 x 𝜃1 .
3,0
2
= 0,0075 𝑚 = 0,75 𝑐𝑚. 
- Desaprumo do pilar (extremidade): 
𝑒𝑎 = 𝜃1 . 𝐻𝑖 = 0,0050 𝑥 3,0 = 0,015 𝑚 = 1,5 𝑐𝑚 
As excentricidades iniciais são: 
Dir. 20 cm: ei = 15,4 / 770 = 0,020 m = 2,0 cm 
Dir. 30 cm: ei = 30,0 / 770 = 0,039 m = 3,90 cm 
 
As excentricidades de 1ª ordem (ei + ea) serão (topo e base do pilar): 
Dir. 20 cm: e1 = ei + ea = 2,00 cm + 1,5 cm = 3,5 cm 
Dir. 30 cm: e1 = ei + ea = 3,90 cm + 1,5 cm = 5,40 cm 
 
 
 
248 
Momentos 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑 . (0,015 + 0,03 . ℎ) 
onde (h) é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
A excentricidade de 1ª ordem mínima será (em cada direção): 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) = 0,0015 + 0,03 x 0,20 = 0,021 m = 2,10 cm < 3,5 cm 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = (0,0015 + 0,03 . ℎ) = 0,0015 + 0,03 x 0,30 = 0,024 m = 2,40 cm < 5,40 cm 
Em ambas as direções, predominam os valores de (ei + ea), logo os valores de “e1,min” não serão 
os usados no dimensionamento das seções de extremidade. 
 
Verificação da esbeltez máxima do pilar 
 
a) Na direção do lado de 20 cm: 
𝜆 = 
3,46 . ℓ𝑒
𝑏
= 
3,46 𝑥 3,0
0,20
= 52 
Valor máximo de esbeltez para pilar curto: 
Sendo e1 = ei = 2,0 cm < e1,min = 2,1 cm – logo 𝛼𝑏 = 1,0 
 
𝑒1 = 2,0 𝑐𝑚 (não inclui a excentricidade acidental – item 15.1 da norma) 
𝜆1 = 
25 + 12,5 . (𝑒1 ℎ⁄ )
𝛼𝑏
 = 
25 + 12,5𝑥2,0/20
1,0
= 26,5 ≥ 35 
 
Logo 𝜆 = 52 > 𝜆1 = 35 𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒔𝒃𝒆𝒍𝒕𝒐 
 
b) Na direção do lado de 30 cm: 
𝜆 = 
3,46 . ℓ𝑒
𝑏
= 
3,46 𝑥 3,0
0,30
= 34,6 
Sendo 𝑒𝑖 = 3,9 𝑐𝑚 > 𝑒1,𝑚𝑖𝑛 = 2,40 cm - cálculo de 𝛼𝑏 em função da variação dos momentos 
na barra. 
 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 .
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 = 0,60 + 0,40 .
−30,0
 30,0
 = 0,2 ≥ 0,40 
𝛼𝑏 = 0,40 
𝑒1 = 3,9 𝑐𝑚 (não inclui a excentricidade acidental – item 15.1 da norma) 
𝜆1 = 
25 + 12,5 . (𝑒1 ℎ⁄ )
𝛼𝑏
 = 
25 + 12,5𝑥3,9/30
0,4
= 66,6 
 
Logo 𝜆 = 34,6 < 𝜆1 = 66,6 𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓 𝒄𝒖𝒓𝒕𝒐 
Pilar é curto nesta direção. 
 
A) Dimensionamento na seção de extremidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
249 
 
Situações de projeto (1) e de cálculo (2) e (3) 
(1) (2) (3) 
 
Dir. 20 cm: eix = 2,0 cm eix + eax = 2,0+1,5= 3,5cm eix = 2,0 cm 
e1,min = 2,1 cm 
Dir. 30 cm: eiy = 3,9 cm eiy = 3,9 cm eiy + eay = 3,9+1,5= 5,4 cm 
e1,min = 2,4 cm 
 
Obs: nestas figuras, na direção onde se aplica a excentricidade devida às imperfeições locais (ea), 
os valores das excentricidades de 1º grau devem ser substituídos por 𝑒1,𝑚𝑖𝑛, quando o valor de 
𝑒1,𝑚𝑖𝑛 naquela direção for superior ao da excentricidade de 1º grau calculada (o que não é o caso 
no presente exemplo) . 
Situação de cálculo (2): 
Nd = 770 kN 
eix + eax = 2,0+1,5= 3,5 cm (dir. 20cm) 
eiy = 3,9 cm (dir. 30cm) 
 
𝜐 = 
𝑁𝑑
𝑏 .ℎ .𝑓𝑐𝑑
 = 
− 770
0,2 𝑥 0,3 𝑥 21.429
= - 0,60 
𝜇 = 
𝜐 .𝑒
ℎ 
 = 
0,6 𝑥 3,5
20,0
= 0,105 
𝜇 = 
𝜐 .𝑒
ℎ 
 = 
0,6 𝑥 3,9
30,0
= 0,08 
 
Ábaco da pág. 3 –Flexão Composta Oblíqua (As/face = Astot/4) 
𝜔𝑡𝑜𝑡 = 0,25 
 
 
Situação de cálculo (3): 
Nd = 770 kN 
eix = 2,0cm (dir. 20cm) 
eiy + eay = 3,9 +1,5= = 5,4 cm (dir. 30cm) 
 
𝜐 = - 0,60 
𝜇 = 
𝜐 .𝑒
ℎ 
 = 
0,6 𝑥 2,0
20,0
= 0,06 
𝜇 = 
𝜐 .𝑒
ℎ 
 = 
0,6 𝑥 5,4
30,0
= 0,108 
𝜔𝑡𝑜𝑡 = 0,20 
 
B) Dimensionamento na seção intermediária 
Será usado o método da rigidez aproximada para cálculo dos momentos totais na seção 
intermediária. 
 
250 
Por este método, não se calcula o momento de 2ª ordem (M2d, ou e2) separadamente, 
como visto no método da curvatura aproximada. Calcula-se o momento total atuante numa seção 
intermediária, resultado da atuação conjunta dos momentos de 1ª e 2ª ordem. 
Para o cálculo do momento total (𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡) por este método, não será levada em conta a 
excentricidade acidental (ea), mas sim a excentricidade inicial (ei), devida ao carregamento 
existente, ou o momento mínimo de 1ª ordem (e1,min) - considera-se o maior dos dois valores. 
Os momentos nas extremidades valem: 
Dir 20 cm: 
Mi,A = - Mi,B = 15,4 kN.m < 𝑴𝟏𝒅,𝒎𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏 𝒙 𝟕𝟕𝟎 = 𝟏𝟔, 𝟐 𝒌𝑵. 𝒎 
𝛼𝑏 = 1,0 (porque Mi,A < 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛)Dir. 30 cm: 
Mi,A = - Mi,B = 30,0 kN.m > 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,024𝑥 770 = 18,5 𝑘𝑁. 𝑚 
𝛼𝑏 = 0,40 (porque Mi,A = - Mi,B > 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛) 
 
 
B.1) Cálculo de (𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡) na dir. 20 cm (pilar esbelto nesta direção): 
𝐴 . 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡
2 + 𝐵 . 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 − 𝐶 = 0 
onde 
𝐴 = 5 . ℎ = 5 x 0,2 = 1,0 
𝐵 = (ℎ2 . 𝑁𝑑 − ℓ𝑒
2 .
𝑁𝑑
320
− 5 . ℎ . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) = 
= (0,22 . 770 − 3,02 .
770
320
− 5 . 0,2 . 1,0 . 16,2) = -7,06 
 
𝐶 = (− ℎ2 . 𝑁𝑑 . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) = (− 0,2
2 . 770 . 1,0 . 16,2) = -498,96 
 
𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
7,06+ √7,062+4.1,0 .498,96
2 .1,0
 = 26,1 kN.m 
Ou seja, devido ao efeito de 2ª ordem, o momento na seção intermediária passa de 16,2 para 26,1 
kN.m. 
 
B.2) Cálculo de (𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡) na dir. 30 cm (pilar curto nesta direção): 
𝐴 . 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡
2 + 𝐵 . 𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 − 𝐶 = 0 
onde 
𝐴 = 5 . ℎ = 5 x 0,3 = 1,5 
𝐵 = (ℎ2 . 𝑁𝑑 − ℓ𝑒
2 .
𝑁𝑑
320
− 5 . ℎ . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) = 
= (0,32 . 770 − 3,02 .
770
320
− 5 . 0,3 . 0,4 . 30,0) = +29,64 
 
𝐶 = (− ℎ2 . 𝑁𝑑 . 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴) = (− 0,3
2 . 770 . 0,4 . 30,0) = -831,6 
 
𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 
− 29,64+ √29,642+4.1,5 .831,6
2 .1,5
 = 15,66 kN.m 
Ou seja, o momento na seção intermediária passa de 12,0 (0,4x30,0) para 15,66 kN.m. 
 
 
251 
B.3) Determinação da armadura longitudinal na seção: 
𝜐 = - 0,60 
𝜇 = 
𝜐 .𝑒
ℎ 
 = 
0,6 𝑥 26,1/770 
0,2
= 0,102 
𝜇 = 
𝜐 .𝑒
ℎ 
 = 
0,6 𝑥 15,66/770 
0,3
= 0,04 
Como os parâmetros de entrada desta hipótese de cálculo (seção intermediária) são inferiores 
aos apurados na seção de extremidade, desnecessário calcular a armadura para a presente 
situação. 
 
Logo, a armadura necessária no pilar será: 
𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡 = 𝜔𝑡𝑜𝑡 .
𝑏. ℎ. 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
= 0,25 .
20 𝑥 30 𝑥 21.428
435.000
= 7,4 𝑐𝑚2 (𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 8 𝜙 12,5 = 9,84 𝑐𝑚2) 
𝜌 = 
𝐴𝑠
𝐴𝑐
⁄ = 9,84 ÷ (20 𝑥 30) = 1,64 % 
Adotados estribos de 5,0 mm c. 15 cm. 
Demais desenvolvimentos iguais aos do exemplo 3, tendo em vista que as dimensões do pilar 
são as mesmas, assim como a armadura longitudinal. 
Detalhe da armação na seção transversal: 
 
 
 
 
19. DIMENSIONAMENTO DE PILAR ESBELTO (15.8.3.3.4) 
 
É considerado pilar esbelto, aquele cujo índice de esbeltez esteja na faixa: 
 ( 90 ≤ 𝜆 ≤ 140) 
Os efeitos de 2ª ordem podem ser obtidos pelo método do pilar-padrão melhorado, utilizando-se 
a curvatura da seção crítica com base nos diagramas M-N-1/r específicos para o caso. 
Nesta faixa de esbeltez, se deve considerar o efeito da fluência (15.8.4). O dimensionamento de 
pilares esbeltos não será objeto do curso. 
 
 
20. DIMENSIONAMENTO DE PILAR MUITO ESBELTO (15.8.3.2) 
 
É considerado pilar muito esbelto aquele cujo índice de esbeltez seja: 
 ( 140 ≤ 𝜆 ≤ 200) 
Deve-se aplicar o método geral de análise não-linear de 2ª ordem, efetuada com discretização 
adequada da barra, consideração da relação “momento – curvatura” real em cada seção, e 
também da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada. Devem ser computadas 
também as deformações devidas à fluência. 
 
 
 
 
252 
21. DIMENSIONAMENTO DE PILAR ESBELTO OU MUITO ESBELTO – 
CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA (15.8.4) 
 
Nos pilares esbeltos e muito esbeltos ( 90 ≤ 𝜆 ≤ 200), além de considerar o efeito de 2ª ordem, 
deve ser levada em conta ainda a deformação decorrente da fluência do concreto, cuja 
excentricidade pode ser calculada pela expressão a seguir: 
 
 
𝑒𝑐𝑐 = (
𝑀𝑠𝑔
𝑁𝑠𝑔
+ 𝑒𝑎) [2,718
𝜑.𝑁𝑠𝑔
𝑁𝑒− 𝑁𝑠𝑔 − 1] 
onde 
𝑁𝑒 = 
10 . 𝐸𝑐𝑖 . 𝐼𝑐
ℓ𝑒2
 
 
Msg, Nsg, esforços solicitantes devidos às ações na combinação quase-permanente. 
ea, excentricidade acidental devida às imperfeições locais. 
𝜑, 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 
Eci, módulo de elasticidade tangente inicial do concreto. 
Ic, momento de inércia da seção bruta de concreto, segundo a direção do carregamento analisado. 
ℓ𝑒 , comprimento de flambagem do pilar. 
 
Para o cálculo do momento decorrente da fluência (Mcc), teremos então: 
𝑀𝑐𝑐 = 𝑁𝑑 . 𝑒𝑐𝑐 
 
O dimensionamento de pilares esbeltos e muito esbeltos não será objeto do curso (pilares com 𝜆 
≥ 90). 
 
 
 
22. PILAR-PAREDE (itens 18.5, 15.4 e 15.9) 
São elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical, e 
submetidos preponderantemente à compressão (item 14.4.2.4). Podem ser compostos por uma 
ou mais superfícies associadas. Em pelo menos uma destas superfícies as suas dimensões (seção 
transversal) estão na proporção: 
ℎ
𝑏⁄ > 5 
h – maior dimensão da seção transversal do pilar-parede 
b – menor dimensão da seção transversal do pilar-parede 
 
 
Figura 14.37 - Seções transversais usuais de pilares-parede 
 
253 
 
 
Figura 14.38 - Flambagem local de pilar-parede 
 
Assim como os pilares, a dimensão mínima é de 19 cm (item 13.2.3). Dimensões de até 14 cm 
podem ser usadas, majorando-se os esforços solicitantes de um valor (𝛾𝑛), como já visto. 
Para a consideração de um pilar-parede como componente de um sistema estrutural, permite-se 
representa-lo como elemento linear, desde que se considere a deformação por cisalhamento, e 
um ajuste de sua rigidez à flexão para o comportamento real (pilar-parede participando de 
estruturas de contraventamento, por exemplo), segundo o item 14.8.1 da norma. 
Nos pilares-parede pode haver, numa determinada região, uma não retilineidade maior que a do 
eixo do pilar como um todo, e os esforços de 2ª ordem que surgem nestas regiões são maiores. 
Estes esforços, além de aumentar a flexão longitudinal, aumentam também a flexão transversal, 
havendo a necessidade de aumentar a armadura transversal (estribos) nessas regiões (item 15.4.1 
da norma). 
 
Figura 14.39 - Efeitos de 2ª ordem localizados em pilares-parede 
 
Logo, além das exigências já feitas quanto às armaduras dos pilares (já vistas anteriormente), a 
armadura transversal dos pilares-parede deve respeitar a armadura mínima de flexão de placas, 
se essa flexão e a armadura correspondente forem calculadas. Caso contrário, a armadura 
transversal deve respeitar o mínimo de 25% da armadura longitudinal da face (item 18.5). 
 
Os efeitos localizados de 2ª ordem podem ser desprezados se, para cada uma das lâminas 
componentes do pilar-parede, forem obedecidas as seguintes condições (item 15.9.2 da norma): 
a) A base e o topo de cada lâmina devem ser convenientemente fixadas às lajes do edifício, que 
conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal. 
b) A esbeltez (𝜆𝑖) de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo o cálculo dessa esbeltez ser 
efetuado através da expressão a seguir: 
 
254 
𝜆𝑖 = 
3,46 . ℓ𝑒𝑖
ℎ𝑖
 
 
ℓ𝑒𝑖 − é o comprimento equivalente. 
ℎ𝑖 – é a espessura. 
 
Figura 14.40 - Comprimento de flambagem equivalente (ℓ𝑒𝑖) nos pilares-parede 
𝛽 = ℓ 𝑏⁄ (ℓ 𝑒 𝑏 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎) 
 
Se o topo e a base forem engastados e (𝛽 ≤ 1), os valores de (𝜆𝑖) podem ser multiplicados por 
0,85. 
Se esbeltos, devem ser considerados os efeitos de 2ª ordem localizados, de acordo com o item 
15.9.3 da norma (para 𝜆 ≤ 90). O dimensionamento de pilares-paredes com efeito localizado de 
2ª ordem (item 15.9.3 da norma) não será abordado no presente curso. 
 
 
23. FUROS, ABERTURAS E CANALIZAÇÕES EMBUTIDAS 
Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais, seu efeito na resistência e na 
deformação deve ser verificado e não devem ser ultrapassados os limites previstos em norma 
(item 13.2.5). 
Não são admitidas canalizações embutidas (segundo o eixo longitudinal do elemento linear) em 
pilares de concreto, quer imersas no material ou em espaços vazios internos ao elemento 
estrutural, sem a existência de aberturas para drenagem (item 13.2.6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
255 
24. TRANSIÇÃO DE PILARES 
Muitas vezes, a transição de pilares leva a tensões elevadas em área de concreto reduzida,e tal 
situação é tratada no item 21.2 da norma (Regiões especiais – Pressão de contato em área 
reduzida), havendo necessidade de dispor de armadura para combater os esforços de tração 
gerados na peça. 
 
Figura 14.41 - Transição com mudança de direção da seção transversal 
 
 
Figura 14.42 - Tensões resultantes de carga em área reduzida 
 
 
Figura 14.43 - Armadura para carga aplicada em área reduzida 
 
A transição de pilares também pode ser feita com a utilização de viga de transição, ou outros 
modelos estruturais, como, por exemplo, a transição em “V”. 
 
256 
 
Viga de Transição 
 
Figura 14.44 - Transição de pilares em V