DESENVOLVIMENTO COGNITIVO E PROCESSOS DO PENSAMENTO LÓGICO - MATEMÁTICO

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DESENVOLVIMENTO COGNITIVO E PROCESSOS 
DO PENSAMENTO LÓGICO - MATEMÁTICO 
 
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SUMÁRIO 
1 A ARTE DOS ENIGMAS MATEMÁTICOS .............................................................. 4 
2 CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO ............................................... 6 
2.1 Logica proposicional ................................................................................... 6 
2.2 Sentença .................................................................................................... 6 
2.3 Proposição ................................................................................................. 6 
2.4 Proposição simples .................................................................................... 8 
2.5 Proposição composta ................................................................................. 8 
2.6 Conectivos lógicos (ou estruturas lógicas) ................................................. 9 
2.7 Operações com proposições .................................................................... 10 
2.8 Tabela - verdade ...................................................................................... 10 
2.9 Conjunção ( ˄ ) ......................................................................................... 10 
2.10 Disjunção ( ˅ ) ........................................................................................ 11 
2.11 Disjunção Exclusiva ( v ) ........................................................................ 11 
2.12 Condicional (→) ...................................................................................... 12 
2.13 Bicondicional (↔) ................................................................................... 13 
2.14 Negação (~) ........................................................................................... 14 
2.15 Tautologia............................................................................................... 14 
2.16 Contradição ............................................................................................ 17 
2.17 Contingência .......................................................................................... 17 
2.18 Leis Fundamentais do Pensamento Lógico ........................................... 18 
2.19 Equivalências Lógicas ............................................................................ 18 
3 TABELA DAS NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS .......................... 20 
4 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ......................................................................... 21 
 
3 
5 DIAGRAMAS LÓGICOS ....................................................................................... 23 
6 ENIGMAS MATEMÁTICOS .................................................................................. 28 
7 PRICÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO ............................................................. 31 
8 PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO OU PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM ........................................................................................................ 33 
9 PERMUTAÇÃO SIMPLES .................................................................................... 34 
9.1 Permutação com repetição ....................................................................... 35 
10 ARRANJOS SIMPLES .......................................................................................... 36 
10.1 Arranjos com repetição .......................................................................... 36 
11 COMBINAÇÃO SIMPLES ..................................................................................... 38 
11.1 Combinação com repetição .................................................................... 39 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 A ARTE DOS ENIGMAS MATEMÁTICOS 
 
https://abre.ai/cNJn 
 
É muito comum ouvirmos dos alunos o quanto é difícil aprender matemática. 
Essa afirmação nos traz algumas inquietações. O que é aprender matemática? 
Quando essa aprendizagem é significativa? Enquanto professores, que papel 
devemos assumir no processo de ensino-aprendizagem desta disciplina? Que 
motivações se podem trazer para sala de aula? 
Em consonância com a concepção construtivista, ao ensinar matemática 
devemos entender que o papel do professor é ajudar ao aluno a identificar os 
conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à 
sua volta, percebendo o caráter de jogo intelectual, característico da matemática, 
como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o 
desenvolvimento da capacidade para resolver problemas. Nessa apostila, iremos 
tratar a matemática como matemática, onde devemos estimular nossos alunos através 
da curiosidade. 
Machado (2001, p. 75) destaca o fato de muitas vezes ouvirmos como 
justificativa para o ensino e aprendizagem da Matemática o fato de que esta disciplina 
desenvolve o raciocínio e, frequentemente, o termo raciocínio aparece acompanhado 
do adjetivo lógico. De fato, muitos filósofos contribuíram para afirmar essa associação, 
pois seus trabalhos ligavam a lógica à organização do discurso para validar a 
argumentação, o que favorecia a associação de significados entre o pensamento lato 
sensu e o pensamento matemático. (MACHADO, 2001, p. 75) 
https://abre.ai/cNJn
 
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No contexto da educação matemática, um problema, ainda que simples, pode 
suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar a curiosidade e proporcionar ao aluno 
o prazer pela descoberta da resolução. Neste sentido, os problemas podem estimular 
a curiosidade do aluno e fazê-lo interessar-se pela matemática. 
Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento 
independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Como educadores 
matemáticos, devemos procurar alternativas para aumentar a motivação para a 
aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, concentração, atenção, 
raciocínio lógico-dedutivo e o senso cooperativo. 
Na linha dessas ideias seguem pensamentos tais como o de Ausubel (1978), 
segundo o qual, o principal no processo de ensino é que a aprendizagem seja 
significativa. Isto é, o material a ser aprendido precisa fazer algum sentido para o 
aluno. Isto acontece quando a nova informação “ancora-se” nos conceitos relevantes 
já existentes na estrutura cognitiva do aprendiz. 
O aluno precisa ter uma disposição para aprender, ou seja, o autoconceito que 
ele possui deve estar receptivo para a proposta da atividade, que por sua vez deve 
ter sentido para o mesmo. 
Segundo Borin (1996) ao trabalharmos com a matemática e curiosidades no 
ensino da matemática tem - se o objetivo de fazer com que os alunos gostem de 
aprender esta disciplina, mudando a rotina da sala de aula e permitindo a formulação 
de problemas desafiantes que incentivem o aprender mais. 
De acordo com Imenes (1988) as experiências vivenciadas pelos alunos são 
importantes na construção do sentimento da matemática. 
Moura (1991) afirma que a matemática se aproxima da matemática via 
desenvolvimento de habilidades de resoluções de problemas. 
A matemática é encarada como uma estratégia em que o professor propõe ao 
aluno desafios interessantes, caracterizados por investigação e exploração de alguns 
conceitos matemáticos. Nessa metodologia, o aluno pode formular problemas, 
tornando a matemática um conhecimento mais próximo dele mesmo. 
Nessa intenção, a matemática, aqui é definida como o prazer de aprender 
matemática trazendo mais uma maneira interessante de abordar assuntos, tais como: 
divisibilidade, propriedades das operações numéricas e mudança de base, além de 
revisitar alguns aspectos do sistema de numeração decimal. 
 
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2 CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
https://abre.ai/cNJv2.1 Logica proposicional 
A lógica proposicional é a forma mais simples de lógica. Nela os fatos do mundo 
real são representados por sentenças sem argumentos, chamadas de proposições. 
De acordo com Maritain (2001, p. 17), o raciocínio funciona através da 
inteligência, quando ver e aprende alguma coisa, tais como informação, ideias, teorias 
e a própria experiência. Os instrumentos lógicos do pensamento, responsáveis pelo 
processo operacional de aquisição de conhecimentos, ocorrem ordenadamente em 
quatro etapas cognitivas: a simples apreensão, o conceito, o juízo e o raciocínio. 
“Uma ciência que estuda as leis e critérios de validade que regem o 
pensamento e a demonstração, ou seja, ciências dos princípios formais do 
raciocínio”. [GAB84] 
2.2 Sentença 
Frase, expressão que encerra um sentido geral. 
2.3 Proposição 
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, 
que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um 
de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. 
 
7 
Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores de verdadeiro ou 
falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. 
Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando 
ela é falsa, atribuímos-lhe o valor lógico F. 
Observação: não se pode atribuir valores de verdadeiro ou falso às outras 
formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas, 
embora elas também expressem juízos. 
Weston (1996, p. 7) explica que “o primeiro passo para redigirmos um 
argumento é perguntarmos: que desejamos provar? Qual a conclusão? ” Utilizando a 
forma estrutural das proposições simples e compostas, pode-se afirmar com clareza 
e objetividade as razões que provam uma conclusão em um argumento. 
 
Exemplos de proposições: 
 “O número 5 é ímpar” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). 
 “ 15127  ” – é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. 
Sabemos ser falsa (valor lógico F). 
 
Exemplos de sentenças que não são proposições: (sentenças abertas) 
 “Qual o seu nome? ” – É uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não 
é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 “Que dia lindo! ” – É uma sentença exclamativa, e não uma declaração. 
Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V 
ou F). 
 “Ana, vá estudar sua lição” – é uma sentença imperativa, e não uma 
declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um 
valor lógico (V ou F). 
 “ 2013 x ” – é uma sentença aberta, e não uma declaração. Portanto, não é 
uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
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2.4 Proposição simples 
Fonte:www.brasilescola.com 
[...] defendemos que no processo de constituição do conhecimento 
matemático, não é possível atribuir maior valor ao aspecto intuitivo ou ao 
lógico, ou mesmo concebe-los como excludentes e que o intuitivo se apoia 
no lógico e vice-versa, em níveis cada vez mais elaborados, num processo 
gradual e dinâmico, em forma de espiral. Entendemos que o equilíbrio entre 
os aspectos lógico e intuitivo deve estar presente em cada um dos níveis e 
que, nesses últimos, o caráter intuitivo e o lógico estão suscetíveis a 
mudanças, por exemplo, o que é lógico num nível pode passar a ser intuitivo 
num outro. (MENEGHETTI, 2009, p. 162) 
Exemplo: 
A sentença “Júlio gosta de esporte” é uma proposição simples, pois não é 
possível identificar como parte dela qualquer outra proposição diferente. 
Outros exemplos: 
 “Júlio fala inglês” 
 “Laranja é uma fruta” 
 “Todos os ricos são homens” 
 
2.5 Proposição composta 
Uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova 
proposição. 
 
Exemplo: 
A sentença “Paulo é irmão de Ana e de César” é uma proposição composta, 
pois é possível retirar-se dela outras proposições: “Paulo e irmão de Ana” e “Paulo é 
irmão de César”. 
 
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2.6 Conectivos lógicos (ou estruturas lógicas) 
Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de modo 
a criar novas proposições. Alguns dos conectivos são: 
 Tabelas: 
Fonte: toda matéria.com.br 
“Na lógica proposicional não se tem o significado dos conectivos 
considerados isoladamente. A interpretação das fórmulas é feita a partir de 
um conjunto de regras semânticas, obtidas dos significados semânticos dos 
símbolos, de verdade e dos conectivos proposicionais”. [SOU02] 
Exemplo: 
A sentença “Se Talita não bebe, então Carlos vai ao clube ou Bruna toma café”. 
É uma proposição composta na qual podemos observar alguns conectivos lógicos 
(“não”, “se., então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “Talita não 
bebe”, “Carlos vai ao clube” e “Bruna toma café”. 
 
 
 
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2.7 Operações com proposições 
Assim como na Álgebra tradicional existem as operações com números 
(adição, subtração etc.), na Álgebra Booleana existem operações com as proposições. 
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende 
somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma 
como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. 
2.8 Tabela - verdade 
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é 
representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos 
possíveis. 
2.9 Conjunção ( ˄ ) 
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”. 
Sendo a conjunção uma conclusão lógica verdadeira quando as duas 
premissas são verdadeiras. Nos demais casos, retornam- se resultados falsos. 
Chamamos de proposições as letras p e q. 
 Sendo que p ^ q representa a conjunção entre as duas proposições com os 
possíveis resultados possíveis: 
Tabela Verdade - Conjunções 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Conclusão: as proposições compostas conjuntivas (que contenham o 
conectivo e) só serão verdadeiras quando todos os seus elementos forem 
verdadeiros. 
 
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Exemplo: 
Paulo, Renato e Túlio são gentis e Carolina é engraçada. - Se Paulo, Renato 
ou Túlio não forem gentis ou Carolina não for engraçada, a proposição será falsa. É 
necessário que todas as informações sejam verdadeiras para que a proposição 
composta seja verdadeira. 
2.10 Disjunção ( ˅ ) 
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. A disjunção de duas proposições 
p e q retorna um valor lógico verdadeiro quando, pelo menos uma das duas premissas, 
for verdadeira. Quando ambas são falsas, o valor lógico atribuído à disjunção será 
falso. 
 Tabela Verdade - Disjunções 
p q p ˅ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Conclusão: as proposições compostas disjuntivas (que contenham o 
conectivo ou) só serão falsas quando todos os seus elementos forem falsos. 
Exemplo: 
Minha mãe, meu pai ou meu tio me darão um presente. - Para que a afirmação 
seja VERDADEIRA, basta que apenas um entre a mãe, pai ou tio dê o presente. A 
proposição só será FALSA caso nenhum deles o dê. 
2.11 Disjunção Exclusiva ( v ) 
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer em que cada uma delas esteja precedida pelo conectivo “ou”, 
retornando a um valor lógico verdadeiro somente quando uma das duas é verdadeira. 
 
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O fato de ambas ( p e q ) serem verdadeiras, o valor lógico da Disjunção Exclusiva 
retornará um valor falso. 
 
 Tabela Verdade – Disjunções Exclusivas 
p q p q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo: 
“José ou é filho de Armando ou é filho de Leandro”. A disjunção é exclusiva por 
que José não pode ser filho de ambos simultaneamente. Caso seja filho de um, nãoo 
será do outro. 
2.12 Condicional (→) 
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se..., então” ou por uma 
de suas formas equivalentes, retornando a um valor lógico falso quando p é verdadeiro 
e q for falso quando p e q estão dispostos na seguinte ordem: p → q (se p então q). p 
é o termo antecedente e q o consequante. O símbolo → chama- se implicação. 
 
Tabela Verdade – Condicionais 
p q p →q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
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Conclusão: As proposições compostas condicionais (que contenham os 
conectivos se e então) só serão falsas se a primeira proposição for verdadeira e a 
segunda falsa. 
Exemplo: 
Se Paulo é carioca, então ele é brasileiro. - Para que esta proposição seja 
considerada VERDADEIRA, é necessário avaliar os casos em que ela é POSSÍVEL. 
De acordo com a tabela verdade acima, temos: 
 Paulo é carioca / Paulo é brasileiro = POSSÍVEL 
 Paulo é carioca / Paulo não é brasileiro = IMPOSSÍVEL 
 Paulo não é carioca / Paulo é brasileiro = POSSÍVEL 
 Paulo não é carioca / Paulo não é brasileiro = POSSÍVEL 
2.13 Bicondicional (↔) 
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas 
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”. 
A bicondicional retorna um valor lógico verdadeiro quando p e q são 
verdadeiros ou quando p e q forem falsos. Nos demais casos, têm – se valores lógicos 
falsos. 
 
Tabela Verdade – Bicondicionais 
p q p ↔q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Conclusão: As proposições compostas bicondicionais (que contenham os 
conectivos se e somente se) só serão verdadeiras quando todas as proposições 
forem verdadeiras, ou todas as proposições forem falsas. 
 
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Exemplo: 
 João fica feliz se e somente se Maria sorri. - Significa dizer que: 
 Se João fica feliz, Maria sorri e se Maria sorri, João fica feliz = VERDADEIRO 
 Se João não fica feliz, Maria não sorri e se Maria não sorri, João não fica feliz 
= VERDADEIRO 
 Se João fica feliz, Maria não sorri = FALSO 
 Se João não fica feliz, Maria sorri = FALSO 
2.14 Negação (~) 
Uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então a 
outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a outra é obrigatoriamente 
verdadeira. 
Sendo representada por ‘não p’ que apresenta valor lógico verdadeiro quando 
p é falsa e valor lógico falso quando p é verdadeira. 
 
Tabela Verdade – Negação 
P ~P 
V F 
F V 
 
Exemplo: 
 Não p, sendo p: "π é um número racional". 
A operação lógica que devemos fazer é a negação, desta forma, a proposição 
~p pode ser definida como "π não é um número racional". 
Como "π é um número racional" é uma proposição falsa, então, de acordo com 
a tabela verdade acima, o valor lógico de ~p será verdadeiro. 
2.15 Tautologia 
Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira 
independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. 
 
 
 
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Exemplo 1: 
1º- A proposição “  AA  ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de A. Veja a seguir: 
 
Como exemplo, temos a afirmação: “Miguel é sério ou Miguel não é sério”. 
Perceba que essa proposição sempre será verdadeira. 
2º- proposição “    BABA  ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, 
independentemente dos valores lógicos de A e de B. Veja a seguir: 
 
Exemplo 2: 
Se 2 é um número par e primo, então 2 é um número par ou 2 é um número 
primo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela-verdade da tautologia: 
A B A ∧ B A ∨ B A ∧ B→ A ∨ B 
2 é número par 
(V) 
2 um 
número 
primo (V) 
2 é um número 
par e primo (V) 
2 é um número par 
ou um número 
primo (V) 
Se 2 é um 
número par e 
Primo, então 2 
é um número 
par ou um 
número 
primo (V) 
2 é um número 
par (V) 
2 não é um 
número primo 
(F) 
2 é um número 
par e não é 
primo (F) 
2 é um número par 
ou não é um 
número primo 
(V) 
Se 2 é um 
número par e 
primo então 2 
é um número 
par ou é um 
número primo 
(V) 
2 não é um 
número par (F) 
2 é um número 
primo (V) 
2 não é um 
número par e é 
um número 
primo (F) 
2 não é um número 
par ou 2 é um 
número 
primo (V) 
Se 2 é um 
número par e 
primo, então 2 
é um número 
par ou um 
número 
primo (V) 
2 não é um 
número par (F) 
2 não é um 
número primo 
(F) 
2 não é um 
número par e 
um número 
primo (F) 
2 não é um número 
par ou 2 não é um 
número primo 
(F) 
Se 2 é um 
número par e 
primo então 2 
é um número 
par ou um 
número 
primo (V) 
 
 
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2.16 Contradição 
Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa 
independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Consistindo 
em afirmar algo e depois negar essa mesma afirmação durante sua argumentação. 
Exemplo: dizer que “Isabela é inteligente e Isabela não é inteligente”. 
 
Exemplo: 
1º- A proposição “  AA  ” é uma contradição, pois é sempre falsa, 
independentemente dos valores lógicos de A. Veja a seguir: 
Observação 
 A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. 
 A negação de uma contradição é sempre uma tautologia. 
2.17 Contingência 
Contingência é todo caso que não é nem tautologia e nem contradição. 
Ocorre quando a proposição da última coluna da tabela da verdade é composta 
pelos valores V e F, cada uma pelo menos uma vez. 
P Q PVQ 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo: Renato é vascaíno ou Marcos Antônio é flamenguista. 
 
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2.18 Leis Fundamentais do Pensamento Lógico 
1º- Princípio da Identidade 
 Se um enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. 
Em símbolos: pp  
 
2º- Princípio da Não Contradição 
 Nenhum enunciado pode ser verdadeiro e também ser falso. 
 Em símbolos:  pp  
 
3º- Princípio do Terceiro Excluído 
 Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. 
 Em símbolos: pp  
Observação 
1. Tautologia: sempre verdadeira. 
2. Contradição: sempre falsa. 
3. Contingência: pode ser verdadeira ou falsa. 
2.19 Equivalências Lógicas 
Comutativa ∧ q ⇔ q ∧ p 
Comutativa ∨ q ⇔ q ∨ p 
Associativa (p ∧q)∧r ⇔ p ∧(q∧r) 
Associativa (p∨q)∨r ⇔ p∨(q∨r) 
Distributividade A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 
 
Distributividade A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 
 
Idempotente p ∧ p ⇔ p 
Idempotente p ∨ p ⇔ p 
 
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Absorção p ∧(p∨ q) ⇔ p 
Absorção p∨(p ∧q) ⇔ p 
Lei de Morgan ~ (p∨q) ⇔~ p∧ ~ q 
Lei de Morgan ~ (p∧q) ⇔~ p∨ ~ q 
Def Implicação p → q ⇔~ p ∨ q 
Def Implicação p → q ⇔~ ( p∧ ~ q) 
Def Bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q)∧(q → p) 
Def Bicondicional p ↔ q ⇔ (~ p∨ q)∧(~ q∨ p) 
Condicional A → B ⇔ ∼A ∨ B 
 
Condicional A → B ⇔ ∼B → ∼A 
 
dupla negação ∼ (∼ A) ⇔ A 
 
 
Observação: vale lembrar que os resultados na tabela acima são resultados 
finais de uma conjugação da tabela verdade, portanto adquirir o conhecimento de 
conjugações é de suma importância para o entender da matéria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
3 TABELA DAS NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
Proposição Negação direta Equivalente da negação 
A e B Não (A e B) Não A e não B 
A ou B Não (A ou B) Não A ou não B 
Se A então B Não (se A então B) A e não B 
A se e somente se B Não (A se e somente se 
B) 
 Ou A ou B 
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B 
Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 Na Lógica clássica (aristotélica) usa-se apenas quatro tipos de proposições, 
denominadas proposições categóricas. Elas podem ser universais ou particulares e 
são: 
Tipos de proposições categóricas: 
 Aquelas que afirmam que toda a classe do sujeito está incluída na classe do 
predicado; 
 Aquelas que afirmam que toda a classe do sujeito está excluída da classe do 
predicado; 
 Aquelas que afirmam que parte da classedo sujeito está incluída na classe do 
predicado; 
 E, por fim, aquelas que afirmam que parte da classe do sujeito está excluída da 
classe do predicado. 
 Afirmativas Negativas 
 Universais Todo A é B Nenhum A é B 
 Particulares Algum A é B Algum A não é B 
 
São formadas por dois termos, o termo sujeito e o termo predicado, e ao 
usarmos uma proposição categórica estamos dizendo que o termo sujeito está 
incluído ou excluído, totalmente ou em parte, do termo predicado. 
 
Exemplo: A afirmação “todos os cachorros têm quatro patas” é formada por 
um termo sujeito (“cachorros”) e um termo predicado (“quatro patas”). O que está 
sendo dito é que todo o conjunto dos cachorros pertence ao conjunto de seres que 
possuem quatro patas. 
S representa o conjunto de todos os cachorros e P representa o conjunto de 
todos os seres com quatro patas. O fato de todos os cachorros também estarem no 
conjunto de seres com quatro patas representa a proposição “todos os cachorros têm 
quatro patas”. 
 
22 
 
 
Já a afirmação “alguns animais são capazes de voar” possui como termo sujeito 
“animais” e como termo predicado “voar” e está afirmando que alguns elementos da 
classe animais pertence à classe dos seres que voam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
5 DIAGRAMAS LÓGICOS 
Fonte: pixabay.com 
 
Diagrama lógico é um esquema de representação das relações entre as 
diversas partes que compõem uma proposição. Os modelos mais usados são os 
diagramas de Venn-Euler. 
Nesses modelos, o universo do discurso (conjunto de tudo que se admite como 
possível em um dado contexto) é representado por um retângulo e cada proposição é 
indicada por uma região delimitada dentro do universo do discurso. 
 
Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região e falsa 
em todos os demais pontos do universo. Assim, na região 1 do diagrama ao lado A é 
verdadeira e na região B ela é falsa. 
 Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama, somente as regiões 
para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro 
serão sombreadas. 
 
 
24 
 DIAGRAMA DA NEGAÇÃO 
 
Se a proposição for representada pelo conjunto A, então a negação “não A” 
corresponderá ao conjunto complementar de A. 
 
 DIAGRAMA DA CONJUNÇÃO 
 
B corresponde à interseção A 
 
 
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 DIAGRAMA DA DISJUNÇÃO 
B corresponde à união A 
 
 DIAGRAMA DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
A V B correspondente ao conjunto (A-B) U (B-A) 
 
 DIAGRAMA DA CONDICIONAL 
 
Sombreando somente as regiões correspondentes aos resultados V da tabela-
verdade da proposição condicional. 
 
 
 
26 
 
 
Como a inclusão do conjunto A no conjunto B 
 
 DIAGRAMA DA BICONDICIONAL 
 
A ↔ B corresponde à igualdade dos conjuntos A e B 
A (V) e B (V) 
A=B 
 
 
27 
 
 A (V) e B (V) 
 → A ↔ B (V) ~ A (F) e ~B (F) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
6 ENIGMAS MATEMÁTICOS 
 
https://abre.ai/cNJ4 
 
Enigmas matemáticos são problemas envolvendo cálculos matemáticos 
levando as pessoas a curiosidade pela descoberta da resposta. 
Pode-se contribuir para a formação de um aluno crítico e criativo ao usarmos 
argumentações na sala de aula, não só de matemática como de todas as 
disciplinas. Quando o aluno participa de discussões e processos 
argumentativos, constrói novos sentidos, amplia seu mundo e transforma-se. 
O argumentar nunca se esgota, novas vivências originam novas perguntas, 
cujas respostas constituem novos domínios do conhecimento. Assim, o que 
importa neste uso da Lógica no ensino não é o conteúdo, mas a perspectiva, 
a relação, o modo de ser. (BIANCHI, 2007, p. 200) 
Exemplo 1: 
Enquanto você pensa em pizza, eu descubro a sua idade! Vá lendo aos poucos, 
conforme for calculando. É rápido, gasta menos que um minuto. 
1. Primeiro de tudo, pense no número de vezes por semana que você sente 
vontade de comer pizza (tente pensar em mais de uma vez, mas menos que dez); 
2. Multiplique esse número por 2; 
3. Some 5; 
4. Multiplique o resultado por 50; 
5. Se você já fez aniversário este ano, some 1770, se ainda não fez, some 
1769; 
6. Agora, subtraia os quatro dígitos do ano que você nasceu do resultado que 
obteve; 
7. Você deve ter obtido um resultado de três dígitos... 
https://abre.ai/cNJ4
 
29 
O primeiro dígito desse resultado foi seu número original (o número de vezes 
que você pensa em comer pizza na semana) 
Os dois últimos números são SUA IDADE!!! 
 
Simulação: 
Eu tenho 38 anos, nasci em 1982 e faço aniversário em 25 de dezembro. 
Logo: 
Pensei no número 2, multipliquei por 2, somando 5. 
O resultado foi 9 que multiplico por 50. 
Resultado 450, irei somar a esse valor o número 1769 (ainda não fiz aniversario 
esse ano.). 
Da um valor de 2219, subtraindo pelo meu ano de nascimento 1982, eu 
encontro 237, onde, o número 2 é a quantidade de vezes que como pizza na semana 
e o valor 37 é a minha idade. 
 
Exemplo 2: 
O problema das idades 
Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade. Quando 
tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. Quais são as 
nossas idades atuais? 
Resolução: 
O problema das idades 
Tu tinhas uma idade que chamaremos de x e hoje tem uma idade que 
chamaremos de y. 
Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o 
dobro de x), ou seja, eu tenho 2x anos. 
Então: 
Tu tinhas x e agora tem y. 
Eu tinha y e agora tenho 2x. 
Portanto temos que: 
y-x = 2x-y 
2y=3x 
x=(2/3)*y 
 
30 
Então, substituindo o valor de x, temos: 
Tu tinhas (2/3)*y e agora tem y. eu tinha y e agora tenho (4/3)*y. 
Agora preste atenção na segunda frase: 
Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. 
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua 
idade y com mais (1/3)*y. 
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y. 
Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou 
seja: 
Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y. 
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos: 
(4/3)*y + (5/3)*y=45 
(9/3)*y=45 
3y=45 
y=15 
No início descobrimos que x= (2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10. 
Finalmente: quais são as nossas idades??? 
Como dissemos no início, a tua idade atual é y, ou seja, 15 anos. 
E a minha idade é 2x, ou seja, 2.10, que é igual a 20 anos. 
Portanto as idades são 20 e 15 anos!!! 
 
 O que trabalharemos com essas atividades? 
Ao formular uma equação algébrica que represente o respectivo problema, 
utilizando-se do raciocínio lógico, estimulamos o aluno a trabalhar com a linguagem 
matemática para representar essas relações de dependência entre duas ou mais 
grandezas. 
 
 Em que momentos podemos trabalhar com essas atividades? 
Ao ensinar Funções (1ºano do ensino médio), Equações algébricas (7ª série do 
Ensino Fundamental), ou mesmo na resolução de problemas que introduzam o cálculo 
algébrico, como a partir da situação em que os alunos se encontram a par desses 
assuntos. 
 
31 
7 PRICÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO 
 Em análise Combinatória há dois princípios fundamentais – 
 Princípio Aditivo 
 Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem 
 
Vejamos um exemplo de um problema em que se usa o princípio aditivo para 
resolvê-lo. 
 Em uma escola foi feita uma enquete para saber quem prefere futebol ou vôlei. 
O resultado foi o seguinte: 230 alunos gostam de futebol, 150 gostam de vôlei e 80 
alunos gostam dos dois esportes. Quantos alunos tem essa escola? 
 Em princípio parecem ser 230 + 150 + 80 = 460 alunos. Entretanto, há que se 
observar que entre os alunos que gostam de futebol podem existir alunos que também 
gostam de vôlei, portanto, o número de alunos que gostam somente de futebol é 230 
– 80 = 150. Da mesma maneira,o número de alunos que gostam somente de vôlei é 
150 – 80 = 70. Sendo assim, o número de alunos da escola será: 
 Número de alunos que gostam só de futebol + número de alunos que gostam 
só de vôlei + número de alunos que gostam de futebol e vôlei, ou seja, 150 + 70 + 80 
= 300 alunos. 
Isto porque, segundo o teorema: 
Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado 
por: 
n (A∪B) = n(A) + n(B) – n (AnB); 
Em que n() representa o número de elemento de um conjunto. 
Exemplo: Em uma confeitaria existem 5 tipos de salgados - empada, coxinha, 
pastel, quibe e casulo - e 3 tipos de suco – de uva, de laranja e abacaxi. Se Flávia vai 
lanchar e só pode comer um salgado e tomar um suco, quantos são os possíveis 
pedidos que ela pode fazer? 
Ora, ela pode escolher um entre os 5 salgados e um entre os 3 sucos, logo, ela 
poderá fazer 15 tipos de pedidos. 
 
 
 
32 
Procure indicar os valores da menor quantidade para a maior quantidade, por 
exemplo: 
 
1 Suco de uva 
1 Empada 
1 Coxinha 
1 Pastel 
1 Quibe 
1 Casulo 
 
1 Suco de laranja 
1 Empada 
1 Coxinha 
1 Pastel 
1 Quibe 
1 Casulo 
 
1 Suco de abacaxi 
1 Empada 
1 Coxinha 
1 Pastel 
1 Quibe 
1 Casulo 
 
Logo, com cada suco Flávia tem cinco opções de lanches, sendo três sucos a 
cliente teria 15 formas diferentes de consumir o lanche. 
 
 
33 
8 PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO OU PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA CONTAGEM 
Fonte: pixabay.com 
 
Considere o seguinte problema: 
 “Quero ir da cidade A à cidade C, passando pela cidade B. Sabendo-se que 
há 3 caminhos para ir de A à B e 4 caminhos para ir de B a C, de quantos maneira 
possíveis posso fazer essa viagem? ” 
Uma das maneiras de se resolvê-lo é usando a árvore de possibilidades. 
Sejam B1, B2, B3 os três caminhos para ir de A a B e C1, C2, C3 e C4 os 
caminhos para ir de B a C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
9 PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Intuitivamente, permutar significa misturar e essa é a ideia que usamos para 
resolver problemas de permutação simples. 
Considere o seguinte problema: 
 “Com os algarismos 3,5,7,9 e sem repeti-los, quantos números de quatro 
algarismos podem ser formados. ” 
Pelo princípio multiplicativo, temos que o total de possibilidades é: 
4 x 3 x 2 x 1 = 24 
Observe que nesse exercício, a ordem dos algarismos é muito importante. 
Todos os números se diferem pela ordem de seus algarismos. 
Portanto, se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos 
ordenados que podemos obter é dado por: 
n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1 
 Esses agrupamentos ordenados (que diferem pela ordem) são chamados 
permutação simples e representados por: 
Pn = n (n-1)(n-2)(n-3)….3.2.1 
O número n (n-1)(n-2)(n-3)….3.2.1 é chamado fatorial de n e representado por n! 
Fórmula logo abaixo: 
 
Exemplo: 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? 
Resolução: 
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um 
caso de permutação simples. 
P = 4! = 24 
 
 
35 
9.1 Permutação com repetição 
A permutação com repetição envolve cálculos onde existem elementos 
repetidos. 
Fórmula 
 
Pnn1,n2,n3… = quantidade de permutações com repetição 
n = quantidade de elementos 
n1, n2, n3, … = elementos repetidos 
 
Exemplo: 
 Seja o problema 
 “Quantos são os anagramas da palavra SAPATO? ” 
 Anagrama é uma palavra obtida a partir de outra pela mudança de posição de 
suas letras. 
Se as letras A fossem diferentes, teríamos: S, A1, P, A2, T, O e o número de 
anagramas possíveis seria P6. Como a mudança de localização dos As não produzirá 
um novo anagrama, é necessário que se divida P6 por P2 
Assim, a solução correta do problema é 
P6 = 6! = 6 x5x4x3x 2! = 360 
 ___ ___ = ________ 
 P2 2! 2! 
 
 
 
 
 
36 
10 ARRANJOS SIMPLES 
Arranjos são agrupamentos formados com p elementos, onde (p> n), de forma 
que os elementos p são distintos entre si pela espécie ou pela sua ordem. 
Também podemos dizer que arranjo simples de n elementos tomados p a p (n 
≤ p) são agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n 
elementos dados. 
Fórmula: 
 
 
Vejamos agora a seguinte situação: 
 “Considere os números 1,2,3,4. Quantos e quais são os números formados por 
dois algarismos? ” 
 Temos como solução os números 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43, 
perfazendo um total de 12 números. 
O que fizemos foi arranjarmos 4 algarismos agrupados 2 a 2. 
Esse tipo de agrupamento é chamado arranjo simples e representado por A4,2 
Nesse problema temos que A4,2 => 4!/(4-2)! => 4x3x2!/2! => 4.3 
De modo geral temos 12 formas de arranjo simples. 
10.1 Arranjos com repetição 
Os arranjos com repetição são aqueles em que a ordem de cada elemento do 
conjunto importa e que cada elemento pode ser contado mais de uma vez, ou seja, 
pode haver repetição. 
 
Exemplo: 
Listar os números de dois dígitos que podem ser formados com os algarismos 
3, 4 e 5, podendo haver repetição: 
33, 34, 35 
43, 44, 45 
53, 54, 55 
 
37 
A fórmula utilizada no cálculo de arranjos com repetição é a seguinte: 
 
Onde: 
AR(n,p) = quantidade de arranjos com repetição 
n = quantidade de elementos do conjunto 
p = quantidade de elementos por arranjo 
Voltando ao exemplo 1, temos um arranjo com repetição, onde n = 3 e p = 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
11 COMBINAÇÃO SIMPLES 
Fonte: pixabay.com 
 
Em Análise Combinatória, intuitivamente o conceito de combinação está 
associado à noção de escolher subconjuntos ou seja, combinação de n, tomados 
de p em p, a contagem de todos os subconjuntos possíveis com p elementos de n. 
 
Fórmula: 
 
 
Exemplo: 
Para a organização da colação de grau, os estudantes decidiram montar uma 
comissão de formatura. Sabendo que havia 30 formandos e que somente 2 alunos 
seriam escolhidos, a quantidade de comissões possíveis será? 
 
Resolução: 
C(30,2)= 30!/2!(30-2)! => 30!/2!x28! => 30x 29x28!/2!x28! => 30x 29/2.1 => 15 
x 29 => 435 comissões possíveis. 
 
 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/subconjuntos-relacao-inclusao.htm
 
39 
11.1 Combinação com repetição 
A combinação com repetição é uma forma de selecionarmos p objetos dentre 
n objetos distintos onde cada um deles poderá ser tomado até p vezes. É um tipo de 
combinação, onde os objetos podem aparecer repetidos, não importando a ordem dos 
objetos. 
Observação: nas combinações com repetição podemos ter n menor do que p. 
Simbolizamos combinação com repetição de n elementos tomados p a p, 
através da fórmula: CR n,p= CR n+p-1,p 
 
 
Isto é 
CR n,p= CR n+p-1,p 
 
Logo após a subtração por menos 1, passasse para a próxima fórmula. 
CR n,p= CR n!/ p!(n-p)! 
 
Exemplo: 
Uma pessoa quer comprar para sua família 10 sorvetes numa padaria. Há 
sorvetes de abacaxi, banana, creme e damasco. Sabendo-se que podem ser 
compradas de zero a 10 sorvetes de cada tipo, de quantas maneiras diferentes esta 
compra pode ser feita? 
Note que os quatro sabores de soverte são respectivamente n elementos 
distintos e que dez sorvetes para a família são respectivamente p objetos dentre os 
sabores, podendo haver repetição. 
 
Resolução: 
n:4 e p:10 
CR n,p= CR n+p-1,p => 
CR(4,10)=> CR 4+10-1,10 =>CR(13,10) => CR: 13!/ 10!(13-10)! => 
CR: 13!/10! x 3! => 13x 12x11x10! /10!x3x2=> 13x12x11/6=>13x2x11=> 286 
 
40 
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