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Montagem: Prof . Luciano Cardoso 1 
 
CÁLCULO APLICADO 
 
À 
 
QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 2 
CAPÍTULO 1 
 
 
# R A Z Ã O E P R O P O R Ç Ã O 
 
 
 Razão de dois números 
 
Razão entre dois números a e b ( b  0 ), nesta ordem, é o quociente a / b, que se lê “ a 
sobre b “ . 
 
A razão a / b pode ser indicada por a : b, que se lê “ a está para b “ . Os números a e b são 
os termos da razão : 
 
a é o antecedente e b é o consequente 
 
Exemplos : 
 
- a razão entre os números 4 e 5 é 4 / 5 ou 4 : 5 
 
- a razão entre a altura de um indivíduo A ( 170 cm ) e um indivíduo B ( 150 cm ) é : 
 
 170 cm / 150 cm = 170 . 1 cm / 150 . 1cm = 170 / 150 = 17 / 15, isto é, 17 : 15 
 
 
 Proporção 
 
Diz-se que os números a , b, c e d ( b e d  0 ) estão em proporção, na ordem dada, se : 
 
 a / b = c / d , que se lê : “ a está para b assim como, c está para d “ . 
 
Chama-se proporção à igualdade entre duas razões . Os números a , b, c e d são os 
termos da proporção : 
 
a e d : são denominados extremos da proporção 
 
b e c : são denominados meios da proporção 
 
Exemplos : 
 
3 / 4 = 6 / 8, que também pode ser escrita 3 : 4 = 6 : 8 . Nesta proporção os meios são os 
extremos são 3 e 8 , e os meios 4 e 6 . 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 3 
 
 Propriedade Fundamental : 
 
Para uma proporção pode-se mostrar que: “ o produto dos extremos a e d é igual ao produto 
dos meios b e c : 
 
 a / b = c / d => a . d = b . c ( “multiplicação em cruz “ ) 
 
Exemplo : 
 
4 / 9 = x / 6 => 9 . x = 6 . 4 => 9.x = 24 => x = 24 / 9 
 
 
 Propriedades das Proporções: 
 
 
. Propriedade P1: a / b = c / d => a + b / b = c + d / d 
 
 
. Propriedade P2: a / b = c / d => a – b / b = c – d / d 
 
 
Exemplo : Sendo a + b = 10 e a / b = 5 / 4 , determinar a e b 
 
 
a / b = 5 / 4 => a + b / b = 5 + 4 / 4 => 10 / b = 9 / 4 => 9 . b = 10 . 4 => 9.b = 40 
 
=> b = 40 / 9 
 
 como a+b = 10 , então : a = 10 – b => a = 10 – 40 / 9 => a = 50 / 9 
 
 
 Conjunto de razões iguais ( proporções múltiplas ) : 
 
 
Se a / b = c / d = e / f = k , então : a / b = c / d = e / f = a + c + d / b + d + f = k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 4 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
1) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar a substância 
sulfeto de ferro II é igual a 4 / 7.Calcule: 
 
a- a massa de ferro que se combina com 16,0 g de enxofre para formar o sulfeto de ferro II 
 
b- a massa de enxofre que se combina com 0,56 de ferro para formar o sulfeto de ferro II 
 
 
Resolução: 
 
a- m S / mFe = 4 / 7 => 16 / mFe = 4 / 7 => 4 . mFe = 16 . 7 => mFe = 112 / 4 => 
 
mFe = 28 g 
 
 b- m S / mFe = 4 / 7 => m S / 0,56 = 4 /7 => 7 . mS = 0,56 . 4 => mS = 2,24 / 7 => 
 
 mS = 0,32 g 
 
 
 2) A proporção entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de alumínio é 
igual a 9 : 8 . Calcule as massas de alumínio e de oxigênio contidas em 25,5 g de óxido de 
alumínio . 
 
 Resolução: 
 
 m Al / m O = 9 / 8 => mAl + mO / O = 9 + 8 / 8 => 25,5 / m O = 17 / 8 => 17. mO = 25,5 . 8 
 
 => mO = 204 / 17 => mO = 12 g 
 
 mAl = ( mAl + mO ) - mO => mAl = 25,5 – 12 => mAl = 13,5 g 
 
 
3) A proporção entre as massa de ferro, enxofre e oxigênio que se combinam para formar a 
substância sulfato de ferro III é igual a 7 : 6 : 12 . Calcular as massas de ferro, enxofre e oxigênio, 
contidas em 50 g de sulfato de ferro III . 
 
Resolução : 
 
mFe / 7 = mS/ 6 = mO / 12 = mFe + mS + mO / 7 + 6 + 12 => 50 / 25 = 2 / 1 
 
então : 
 
. mFe / 7 = 2 / 1 => mFe = 14 g 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 5 
. mS / 6 = 2 / 1 => mS = 12 g 
 
. mO / 12 = 2 / 1 => mO = 24 g 
 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
4) O sal de cozinha é uma substância formada de cloro e sódio na proporção de 71 /46, em 
massa. Calcule: 
 
a- a massa de cloro contida numa quantidade de sal de cozinha que contém 23 g de sódio 
 
b- a massa de sódio contida numa quantidade de sal de cozinha que contém 14,2 g de cloro 
 
5) A razão entre as massa de ferro e de oxigênio na substância óxido de ferro III é igual a 7 : 3 . 
Calcule as massas de ferro e de oxigênio contidas em 160 g de óxido de ferro III . 
 
6) A razão entre as massas atômicas de dois átomos A e B é 11/3 e a diferença entre elas é 
igual a 56 . Qual as massas atômicas de A e de B ? 
 
7) A proporção entre as massas de cálcio, de carbono e de oxigênio, na substância carbonato de 
cálcio é igual a 10 : 3 : 12, respectivamente . Quais as massas de cálcio, de carbono e de 
oxigênio contidas em 70 g de carbonato de cálcio ? 
 
8) Qual a razão entre : 
 
a- 2 e 3/5 b- 3/7 e 4/7 c- 0,4 e 0,15 
 
9) Num mapa feito na escala de 1 : 50.000, uma estrada mede 12,4 cm . Qual o comprimento 
dessa estrada ? 
 
* Os exercícios 10, 11 e 12 devem ser resolvidos com base na informação : a proporção entre as 
massas de alumínio e de oxigênio no óxido de alumínio é igual 9 : 8 . 
 
10) Qual a massa de alumínio contida numa quantidade de óxido de alumínio que contém 3,2 g 
de oxigênio ? 
 
11) Qual a massa de oxigênio contida numa quantidade de óxido de alumínio que contém 10,8 g 
de alumínio ? 
 
12) Quais as massas de alumínio e de oxigênio contidas em 85 g de óxido de alumínio ? 
 
13) Em uma mistura de ferro com enxofre, a razão entre as massas destes dois elementos 
químicos é igual a 7 / 11 . Tem-se uma quantidade dessa mistura na qual a diferença entre as 
massas de enxofre e de ferro é igual a 28 g . Calcule: 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 6 
a- a massa de ferro na referida quantidade de mistura 
b- a massa de enxofre na referida quantidade de mistura 
c- a massa da referida quantidade de mistura 
 
 
 
14) A substância sulfato de magnésio contém magnésio, enxofre e oxigênio na proporção de 3 : 4 
: 8 , em massa . Calcule as massas de magnésio, enxofre e oxigênio contidas em 105 g de 
sulfato de magnésio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 7 
CAPÍTULO 2 
 
# C O N V E R S Õ E S D I M E N S I O N A I S E D E U N I D A D E S 
 
 
 Fatores Unitários 
 
 Se alguém perguntar qual a quantidade de centímetros cúbicos contida em 2 metros, certamente 
a resposta é “200” . O valor do comprimento não foi alterado, ou seja, é o mesmo comprimento, 
quer o chamemos de 2 metros ou de 200 centímetros . Muitas vezes, faz-se esta conversão de 
modo intuitivo . Entretanto, o que o MÉTODO DO FATOR UNITÁRIO , faz é fornecer um 
procedimento sistemático para a execução de tais conversões nos casos um pouco mais 
complicados para o uso do “ método intuitivo ” . 
Desde que qualquer fração, onde o denominador e numerador são equivalentes , é igual a 
unidade, poderemos fazer fatores unitários de quaisquer equivalentes de unidades e/ou 
dimensionais . 
 
Exemplos : 
 
 Equivalentes Fatores Unitários 
 
 1 pol = 2,54 cm 1 pol / 2,54 cm ou 2,54 cm / 1 pol 
 
 1 milha = 5.280 pés 1 milha / 5.280 pés ou 5.280 pés / 1 milha 
 
 1 kg = 1.000 g 1 kg / 1.000 g ou 1.000 g / 1 kg 
 
 
 
Fatores Unitários são úteis em casos de conversão de unidades de dimensões, incluindo 
grandezas quimicamente equivalentes . 
O método requer simplesmente a colocação do problema em forma fracionária, usando 
dimensões para todas as quantidades . A quantidade s ser convertida é multiplicada por fatores 
unitários apropriados, para tanto deve-se conhecer previamente as equivalências, até que todas 
as dimensões sejam canceladas, exceto as desejadas na resposta . É aconselhável ter, em 
conversões de diversas etapas, uma sequência sistemática : as conversões do numerador são 
efetuadas em primeiro lugar, e, em seguida, as unidades do denominador . 
 
 Principais Unidades de Massa e de Volume utilizadas na Química / Equivalências : 
 
 
- MASSA : 
 
. 1 kg = 1.000 g ( 10 3 g ) 
 
. 1 mg = 0,001 g ( 10 –3 g ) 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 8 
. 1 t = 1.000 kg 
 
. 1 t = 1000.000 g ( 10 6 g ) 
 
 
 - VOLUME: 
 
 . 1 L = 1.000 mL = 1.000 cm3 
 
 . 1 mL = 1 cm3 
 
 . 1 L = 1 dm3 
 
 . 1 L = 1 dm3 = 1.000 mL = 1.000 cm3 
 
 . 1 m3 = 1.000 L = 1000.000 mL ( 106 mL ) = 1000.000 cm3 ( 10 6 cm3 ) 
 
 
Exemplos Resolvidos de aplicação do Método dos Fatores Unitários : 
 
 
Na resolução dos exemplos e questões propostas não considere as conversões intuitivas e tenha 
em mente as relações de equivalência entre as unidades envolvidas . 
 
 
a) Converta 5 kg em g 
 
Resolução : 5 kg . 1000 g = 5 . 1000 g => 5.000 g 
1 1 kg 
 
 
b) Converta 1200 g em t 
 
Resolução : 1200 g . 1 t = 1200 t => 0,012 t 
 1 1000.000 g 1000.000 
 
 c) Converta 20 t em kg 
 
 Resolução : 20 t . 1000 kg = > 20.000 kg 
 1 1 t 
 
 
 d) Converta 30 t em g 
 
 Resolução : 30 t . 1000.000 g = > 30.000.000 g 
 1 1 t 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 9 
e) Converta 100 milhas por hora em pés por hora 
 
Resolução : 
 
 
A) Solução por etapas : 
 
 
. Conversão do numerador ( milhas para pés ) 
 
100 milhas . 5280 pés = 100 . 5280 pés 
 1 hora 1 milha 1 hora 
 
 
. Conversão do denominador ( hora para segundo ) 
 
100 . 5280 pés . 1 hora = 100 . 5280 pés = 8.800 pés / min. 
 1 hora 60 min. 60 min. 
 
 
B) Solução Combinada : 
 
 
100 milhas . 5280 pés . 1 hora = 8.800 pés / min. 
 1 hora 1 milha 60 min. 
 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) Efetue as seguintes conversões: 
 
a- 100 g e kg 
 
b- 5 mg em g 
 
c- 1750 kg em t 
 
d- 3,5 t em kg 
 
e- 10 g em mg 
 
f- 200 kg em g 
 
g- 3000 g em t 
 
h- 60 mg em t 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 10 
 
i- 150 mg em kg 
 
j- 1 kg em mg 
 
 
2) Converta : 
 
 a- 10 L em mL 
 
 b- 5500 mL em L 
 
 c- 25 m3 em L 
 
 d- 30.000 L em m3 
 
 e- 35 L em dm3 
 
 f- 1,5 dm3 em cm3 
 
 g- 1200 cm3 em m3 
 
 h- 750 cm3 em L 
 
 i- 430 mL em L 
 
 j- 6500 m3 em dm3 
 
 l- 50dm3 em m3 
 
 m- 10 mL cm3 
 
 n- 3 cm3 em m3 
 
 o- 0,5 cm3 em mL 
 
 p- 0,03 L em cm3 
 
 
 3) Faça as conversões abaixo : 
 
a- 25,4 libras por pé cúbico para gramas por centímetro cúbico 
 
dados : 1 libra = 4,54 g 
 1 pé = 12 pol 
 1 pol = 2,54 cm 
 
b) 100 km / h para m / s 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 11 
 
 c) 20 m3 / h para L / s 
 
 d) 20 m3 / s para L / h 
 
e) 1200 g / cm 3 para kg / L 
 
f) 0,7 kg / L para g / mL 
 
g) 1900 kg / L para g / cm3 
 
h) 20 m / s para km / h 
 
i) 300 km / s para m / h 
 
 j) 800 g / L para kg / dm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 12 
CAPÍTULO 3 
 
# P O T E N C I A Ç Ã O 
 
 
Potência é um produto de fatores iguais : an = a . a . a . a .... . a 
 |_____________| 
 n fatores 
a é chamada base ( a  |R ) 
n é chamado expoente ( n  Z e > ou igual a 2 ) 
 
Obs.: |R é o conjunto dos números reais e Z é o conjunto dos números inteiros 
 
Exemplos: 
 
 
=> 34 = 3.3.3.3 = 81 
 
=> 43 = 4.4.4 = 64 
 
=> ( 3/5 ) 2 = 3/5 . 3/5 = 9 / 25 
 
=> ( -0,2 ) 2 = (-0,2) .(-0,2) = + 0,04 
 
=> 11978 = 1 
 
=> (-1)78 = +1 
 
=> (-1)79 = -1 
 
 
 Propriedades e Exemplos: 
 
 
P1) am. an = a m+n => a2. a3 = a 2+3 = a5 
 
P2) am / an = a m – n => a5 /a2 = a 5 – 2 = a3 ( a  0 ) 
 
P3) (a . b)n = an. bn => ( a . b ) 3 = a3 . b3 
 
P4) ( a / b )n = an / bn => ( a / b ) 4 = a4 / b4 ( b  0 ) 
 
P5) (a m) n = a m.n => ( a 2 ) 3 = a 2.3 = a6 
 
Obs.: 
 
* a1 = a ; a0 = 1 ; a – n = 1 / a n 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 13 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Calcule : 
 
a- 03 b-(-1)4 c- ( -2/3 )2 d- -52 
 
Resolução : 
 
a- 03 = 0 . 0 . 0 = 0 
 
b- (-1)4 = (-1).(-1).(-1).(-1) = 1 
 
c- (-2/3)2 = (-2/3) .(-2/3) = 4/9 
 
d- -52 = - ( 5 . 5 ) = - 25 
 
 
2) Calcule : 
 
a- 5-2 b- ( - 1/2 ) –3 c- -7 -2 
 
 
Resolução : 
 
 
a- 5-2 = 1 / 52 = 1 / 25 
 
b- ( - 1/2 ) –3 = 1 / ( - ½ ) 3 = 1 / -1/8 = 1 : ( - 1/ 8) = - 8 
 
c- -7 –2 = - ( 7-2 ) = - ( 1/72 ) = - 1 /49 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
3) Calcular : 
 
a-42 d- ( 2/5)2 
 
b-04 e- ( -1/4)2 
 
c-103 
 
 
4) Calcular : 
 
a- (-1)13 b- 50 c-00 d- 3 –1 e- (-2) -3 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 14 
5) Calcular : 
 
 a- 10 –2 b-(-2)5 c- 30 d- 4 –1 e- ( -1/2) 0 
 
6) Calcular : 
 
 a- (1/3) –2 b- (-3)3 c- -52 d- -(-5)2 e- -23 
 
7) Calcular : 
 
a- (-1/2) -4 b- (-1/7)0 c- -24 d- -33 e- -124 
 
 
8) Calcular : 
 
a- -(-2)3 b- (4/3) –2 c- 07 d- (-2/3) -2 e- (-1)100 
 
 
9) Calcular : 
 
 
a- -(-2) –1 b- -(-1/2) –2 c- [ - (-4)2 ] 0 d- [ (-2/3) –1 ] –2 e- [ -(-2/3) –2 ] –1 
 
 
10) Calcular : 
 
 
a- - (-1/3) –2 b- [ ( -2) –1] –2 c- [ (-2)3 ] –2 d- [ - ( -3 ) 2 ] –1 e- ( 3 2/3 ) –3 
 
 
11) Calcular : 
 
 
a- 34 . 35 b- a6 . a3 . a c- 3 m – 1 . 3 d- (a.b.c)2 e- (52 )3 . 5 -3 
 
 
12) Calcular : 
 
a- [ ( -3)2 ]3 b- 7 -8 : 7-5 c- 10 -3 : 10 –5 d- 103 .102 : 10 –1 e- ( 1/10) –2 . 10 -3 
 
 
13) Calcular : 
 
a- 10 –5 : 10 2 / 10 –3 
 
b- 10 6 . 10 –3 : 10 –2 / 10 –4 : 10 –1 
 
c- ( 10 5 . 10 –2 : 10 –1 / 10 –3 : 10 : 10 5 : 10 –1 / 10 –2 ) –1 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 15 
CAPÍTULO 4 
 
 
# P O R C E N T A G E M 
 
 
 Razão Centesimal 
 
As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas razões centesimais . 
 
Exemplos: 5 / 100 ; 8 / 100 ; 21 / 100 etc . 
 
 
 Porcentagem 
 
 
Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo “ % “ ( lê-se : por cento ) 
 
Exemplos: 
 
5 / 100 = 5% ( cinco por cento ) 
 
8 / 100 = 8% ( oito por cento ) 
 
21 / 100 = 21% ( vinte e um por cento ) 
 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
1) Quanto é 30% de 2.000 ? 
 
Resolução : 30 / 100 x 2.000 = 600 
 
 
2) Quanto por cento é 30 de 50 ? 
 
Resolução : x / 100 x 50 => 50 . x = 3.000 => x = 60% 
 
 
3) Quanto é 30% de 20% ? 
 
Resolução : 30 / 100 x 20 / 100 = 600 / 10.000 = 6 / 100 => 6% 
 
4) Qual é o quadrado de 20% ? 
 
Resolução: ( 20 / 100 ) 2 = ( 2 / 10 ) 2 = 4 / 100 => 4% 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 16 
 
5) Aquecendo-se um gás num frasco aberto, 2/5 do gás são expulsos do frasco . Qual a 
porcentagem do gás expulso? 
 
Resolução: x / 100 = 2 / 5 => x = 40% 
 
6) 80g de sulfato de ferro III contém 22,4 g de ferro,19,2 g de enxofre e 38,4 g de oxigênio . 
Calcule as porcentagens, em massa, de ferro, enxofre e oxigênio no sulfato de ferro III . 
 
Resolução : 
 
X% de Fe : x / 100 x 80 = 22,4 => x = 22,4 x 100 / 80 => x = 28 => X% = 28% 
 
Y% de S : y / 100 x 80 = 19,2 => y = 19,2 x 100 / 80 => y = 24 => Y% = 24% 
 
Z% de O : z / 100 x 80 = 38,4 => z = 38,4 x 100 / 80 => z = 48 => Z% = 48% 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
7) Quanto é 35% de 4.000 ? 
 
8) Quanto por cento é 600 de 5.000 ? 
 
9) 70 gramas de carbonato de cálcio contém 28 g de cálcio . Qual a porcentagem de cálcio no 
carbonato ? 
 
10) Qual é o quadrado de 5% ? 
 
11) Uma classe tem 140 alunos, dos quais 25% são moças . A porcentagem de aprovação das 
moças dessa classe foi de 80% . Quantas moças foram aprovadas ? 
 
12) Por compressão, o volume de um gás reduziu de 5/8 do volume inicial. Qual foi a 
porcentagem de redução do volume ? 
 
13) 25 de carbonato de cálcio contém 10 g de cálcio, 3 g de carbono e 12 g de oxigênio. Calcule 
as porcentagens, em massa, de cálcio, carbono e oxigênio no carbonato de cálcio . 
 
14) Quando o lado de um quadrado aumenta de 20%, de quantos por cento aumenta a sua área 
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 17 
 
15) Associe corretamente as colunas I e II 
 
 Coluna I Coluna II 
 
1) 20% A ) 3 / 8 
2) 75% B ) 3 / 5 
3) 37,5% C ) 1 / 5 
4) 6,25% D ) 3 / 4 
5) 60% E ) 1 / 16 
 
16) Por aquecimento, um fio metálico aumenta de 5/32 de seu comprimento inicial. Qual a 
porcentagem de aumento do comprimento ? 
 
17) Por compressão, 16 L de um gás se reduzem a 13 L . Qual foi a porcentagem de diminuição 
de volume do gás ? 
 
18) Por compressão, um gás sofre uma redução de volume igual a 2/5 do volume inicial. Com 
isso o volume final fica igual a : 
 
a) 40% do volume inicial 
b) 60% do volume inicial 
c) 25% do volume inicial 
 
19) Por aquecimento de um gás a pressão constante, seu volume aumenta de 15% do volume 
inicial . Qual o volume final do gás, sabendo-se que o volume inicial é igual a 35 L ? 
 
20) 1% elevado ao cubo é igual a : 
 
a) 1% 
b) 0,1% 
c) 0,01% 
d) 0,001% 
e) 0,0001% 
 
 
21) 2% elevado ao quadrado é igual a : 
 
a) 4% 
b) 0,4% 
c) 0,04% 
d) 0,004% 
e) 0,0004% 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 18 
 
22) Um aumento de 30% no lado de um quadrado representa um aumento de : 
 
a) 90% de sua área 
b) 9% de sua área 
c) 69% de sua área 
d) 19% de sua área 
e) 15% de sua área 
 
23) Um aumento de 10% na aresta de um cubo representa um aumento de : 
 
a) 33,1% de seu volume 
b) 4,78% de seu volume 
c) 0,0001% de seu volume 
d) 0,001% de seu volume 
e) 103 % de seu volume ] 
 
24) A pólvora negra é uma mistura de salitre, carvão e enxofre, na proporção de 101 : 18 : 16 , 
em massa, respectivamente. Calcule a composição da pólvora negra, expressa em porcentagem, 
em massa . 
 
25) Um sal contendo 10% de umidade foi aquecido numa estufa até ser eliminada a metade de 
sua quantidade de água . Qual a porcentagem de umidade ( água ) no sal após a secagem ? 
 
26) A hemoglobina contém 0,335% de ferro . Calcule a massa de hemoglobina que contém 56 g 
de ferro . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 19 
CAPÍTULO 5 
 
# G R A N D E Z A S 
 
Diretamente e Inversamente Proporcionais 
 Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são 
alguns exemplos de grandezas. 
No nosso dia-a-dia encontramos varias situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. 
Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as 
grandezas são a velocidade e o tempo. 
Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para 
que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo. 
 
 
 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
 
Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse 
dado podemos formar a seguinte tabela. 
 
 
Quantidade de gasolina 
(em litros) 
Quantidade a pagar (em 
reais) 
1 0,50 
2 1,00 
3 1,50 
 
Observe: 
 
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. 
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. 
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são 
chamadas grandezas diretamente proporcionais. 
Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra 
também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica. 
Observe, que as razões são iguais. 
 
 
. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando as variáveis x e y a elas associadas 
estabelecem entre si a razão: x / y = k, onde k é chamado constante ou fator de 
proporcionalidade . 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 20 
 
 EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1) A planta de uma sala retangular está desenhada na escala de 1 : 100 . Determinar as medidas 
reais da sala. 
 
Resolução: S a l a 
 
 
 6 cm 
 
 
 
 8 cm escala 1 : 100 
 
 
A razão entre as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reais é de 1:100, o que 
significa que as medidas reais são 100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta . 
Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da planta por 100 : 
 
6 cm .100 = 600 cm = 6 m 
8 cm .100 = 800 cm = 8 m 
 
As medidas reais da sala são, portanto, 6m e 8 m. 
O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na planta, como, por 
exemplo, largura e altura de portas e janelas. 
 
 
2) Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa para percorrer 
180 km com a mesma velocidade? 
 
Resolução: 
 
Observe-se que as variáveis envolvidas no problema (distância/tempo), são grandezas 
diretamente proporcionais . Assim pois, tem-se : 
 
 Distância Tempo 
 
 120 km 2 h 
 180 km x 
 
 
 120 km / 2 h = 180 km / x => 120 . x = 180 . 2 => 120 . x = 360 => x = 360 /120 => 
 
 => x = 3 horas para percorrer 180 km 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 21 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
3) Na tabela, encontram-se vários pares de números A e B . Complete a tabela de modo que a 
razão de A para B seja sempre o número 6 / 7 : 
 
////////////// A B Razão A / B Razão A/B na forma mais simples 
a) 12 14 
b) 21 12 / 14 
c) 30 
d) 100 
e) 100 
 
 
 
4) Numa sala há 30 alunos, dos quais 12 são meninas : 
 
a- qual é a razão do número de meninas para o total de alunos da turma ? 
 
b- qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma ? 
 
c- qual é a razão do número de meninas para o número de meninos ? 
 
5) Determine o valor de x em cada uma das seguintes igualdades de modo que elas se tornem 
verdadeiras : 
 
a- 20 / 8 = x / 6 b- 14 / 30 = x / 90 c- x / 3 = 75 / 15 d- x / 4 = 36 / 27 
 
6) A planta de uma casa foi feita na escala de 1 : 50 . Quanto medirá na planta uma parede que 
mede 20 m ? 
 
7) Quanto custam 12 canetas se 4, custam R$ 3,50 ? 
 
8) Várias porções de uma mesma substância foram medidas e pesadas . Suas massas e seus 
volumes estão relacionados na tabela abaixo :Volume ( cm3 ) Massa ( g ) 
 3 15 
 5 25 
7 35 
9 45 
 
a- estas grandezas são diretamente proporcionais ? 
 
b- qual a constante de proporcionalidade ? 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 22 
9) São dadas as grandezas A e B. Verifica-se que quando A aumenta, B também aumenta . 
Assim, pode-se dizer : “ as grandezas A e B são diretamente proporcionais “ . 
 
( ) certo ( ) errado 
 
 
10) São dadas duas grandezas x e y . Multiplicando-se x por 2 verifica-se que y fica multiplicado 
por 2 . Concluí-se, assim, que x e y são grandezas diretamente proporcionais . 
 
( ) certo ( ) errado 
 
 
 
 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele 
escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um 
deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. 
Observe a tabela: 
Número de alunos 
escolhidos. 
Números de livros 
para cada aluno 
2 12 
4 6 
6 4 
 
 Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. 
 Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz 
para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. 
 
 
. Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas 
grandezas variam um na razão inversa do outro. 
 
. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando as variáveis ( x e y ) correspondentes 
a elas são tais que : x . y = k , onde k é um valor constante e positivo chamado de constante 
ou fator de proporcionalidade . 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 23 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras fazem um determinado serviço 
em 5 dias . Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em quantos dias 15 costureiras farão o mesmo 
serviço ? 
 
Resolução : Costureiras Dias 
 12 5 
 15 x 
 
Observar que nessas condições, as variáveis ( costureiras / dias ) mantém entre si uma relação 
inversamente proporcional . Isto se dá porque, se for aumentado o número de costureiras, o 
tempo gasto será menor, pois o serviço é o mesmo . Então : 
 
12 . 5 = 15 . x => 60 = 15.x => x = 60 / 15 => x = 4 dias 
 
2) Para encher uma caixa d’água cuja capacidade é de 500 L, uma torneira leva 6 horas. Em 
quanto tempo duas torneiras iguais a essa encherão caixa d’ água ? 
Resolução : Capacidade da caixa d’água Quantidade de torneiras Tempo 
 500 L 1 6 h 
 500 L 2 x 
 
Como as variáveis ( quantidade de torneiras / tempo ) são grandezas inversamente proporcionais 
, tem-se : 
 6 . 1 = 2 . x => x = 6 / 2 => x = 3 horas 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2) Verifique se as variáveis, X e Y abaixo, são inversamente proporcionais . Em caso afirmativo 
dê o coeficiente de proporcionalidade . 
a) X : 5 20 50 
 Y : 8 2 1 
 
b) X : 90 80 60 
 Y : 10 20 40 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 24 
c) X : 8 5 4 
 Y : 10 16 20 
 
 
 REGRA DE TRÊS 
 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro 
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos. 
Passos utilizados numa regra de três simples 
· Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na 
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
· Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
· Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
a) Se 8 m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? 
 
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido 
aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. 
 
 
Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. 
A quantia a ser paga é de R$234,00. 
b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do 
carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 25 
 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o 
tempo diminui na razão inversa. 
Resolução: 
 
Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas. 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) 294 g da substância dicromato de potássio decompõe-se em seus elementos constituintes 
conforme o esquema abaixo , formando 78 g de potássio, 104 g de cromo e 112 g de 
oxigênio . Quais massas desses elementos se formam pela decomposição de 10 daquela 
substância ? 
 dicromato de potássio  potássio + cromo + oxigênio 
2) Sabe-se que 4 mols de átomos de ferro reagem com 3 mols de moléculas de gás oxigênio 
para formar 2 mols de moléculas de óxido de ferro III . Quando reagem 5 mols de átomos de 
ferro, qual a quantidade de mols de moléculas de gás oxigênio são necessários e, qual a 
quantidade de mols de moléculas de óxido de ferro III são produzidos ? 
3) 100 g de carbonato de cálcio ao reagir com ácido clorídrico em excesso, produz 18 g de água 
e 22,4 L de gás carbônico . Calcule a massa de água e o volume de gás carbônico formados 
a partir da reação de 50 g de carbonato com o ácido considerado . 
4) Hidróxido de cálcio reage com ácido clorídrico, produzindo cloreto de cálcio e água . Sabe-se 
que ao se partir de 74 g do hidróxido, necessita-se de 73 g do ácido para a produção de 111 
g de cloreto de cálcio e 36 g de água . Qual massa de ácido reagirá com 29,6 g de hidróxido 
de cálcio e, quais as massas do cloreto e de água que se formarão ? 
5) Um sal de nome nitrato de amônio, sofre decomposição térmica originando um monóxido de 
nitrogênio e água . Quando 36 g de água são produzidos, sabe-se que a massa de partida do 
nitrato vale 80 g . Qual a massa do nitrato que por decomposição térmica é capaz de gerar 
3,6 g de água ? 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 26 
6) Em uma transformação química, somente a massa considerada pura de uma substância, 
participa da reação . Se forem considerados 40 g de uma amostra de blenda ( minério de 
zinco à base de sulfeto de zinco ) para reagir com gás oxigênio, e ela apresentar 90% de 
pureza, pede-se calcular a massa do sulfeto presente na amostra que reagirá efetivamente 
com o gás . 
7) Uma amostra de galena ( minério de chumbo à base de sulfeto de chumbo ) apresenta 80% 
de teor de pureza em sulfeto de chumbo . Ache a massa do sulfeto contida em 320 g dessa 
amostra . 
8) Pela queima de 480 g de dissulfeto de ferro, são produzidos 179,2 L do gás dióxido de 
enxofre. Descubra a massa do dissulfeto necessária para a produção de 59,73 L do gás 
considerado . 
9) 68 g de gás amoníaco geram por reação de queima, 108 g de água. Numa transformação 
cujo rendimento é de95 %, calcule a massa de água que se forma pela queima de 42,5 g do 
gás em questão . ( neste caso as grandezas são diretamente proporcionais ) . 
10) 46 g de álcool comum ( etanol ) produzem ao serem queimadas, 44,8 L de gás carbônico . 
Qual a massa de álcool responsável, a partir de sua queima, pela produção de 8,96 L de gás 
carbônico , sendo o rendimento do processo igual a 98% . ( neste caso as grandezas são 
inversamente proporcionais ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 27 
CAPÍTULO 6 
# E Q U A Ç Ã O D O 1º G R A U 
 Definição 
Equação do 1º Grau, na incógnita x, é uma equação do tipo : a . x + b = 0 ( a  0 ) . 
Exemplos : 
2x – 5 = 0 ; 3x = 0 ; x + 7 = 0 ; etc . 
 Raiz 
Chama-se raiz ou solução de uma equação do 1º Grau, ao número que, substituindo a 
incógnita, transforma a equação numa igualdade numérica . 
Assim, a equação 2x – 4 = 0 admite a raiz x = 2 , pois , substituindo, obtemos a igualdade : 
2 . 2 - 4 = 0 . 
Toda equação do 1º Grau admite apenas uma única raiz . 
 
 Propriedades 
 
. P1 : Em uma equação, pode-se somar/subtrair a ambos os membros um mesmo número . 
. P2 : Em uma equação, pode-se multiplicar/dividir seus dois membros por um número k  0. 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Resolver em |R a equação : 2x – 5 = 3x – 4 
 
Resolução : 
 
2x – 5 = 3x – 4 => 2x – 3x = -4 + 5 => - 1 x = 1 x ( -1) => x = -1 
 
2) Resolver em |R a equação : x – 1 / 3 - x – 2 / 12 = 1 / 4 
 
Resolução : 
 
Reduzindo-se as frações ao mesmo denominador ( M.M.C dos denominadores é igual a 12 ), 
obtém-se : 
 
4 ( x – 1 ) / 12 - 1 ( x – 2 ) / 12 = 4 ( x – 1 ) - 1 ( x – 2 ) = 3 / 12 => 
 12 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 28 
 
=> 4 ( x – 1 ) – 1 ( x – 2 ) = 3 => 4x – 4 – x + 2 = 3 => 3x = 5 => x = 5/3 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
3) Resolver em |R as equações : 
 
a- x – 4 = 0 
b- 2x + 10 = 0 
c- -3x + 8 = -4 
d- 2x + 4 = x + 7 
e- 3x2 + 2x + 4 = x + 3x2 
4) Resolver em |R as equações : 
a- 2( x + 1) – 3 ( - x – 1 ) = 0 
b- 3 – x = 2 ( x – 1 ) + 2 
c- 2 / 3 ( x – 1 / 2 ) – x = 1 / 2 
5) Resolver em |R as equações : 
a- x – 1 = x + 1 
 2 3 
 
b- 2x + 1 - 1 = x 
 3 2 
 
 c- 1 - x - 1 + x = 2 – x 
 3 2 5 
 
 6) São dados três átomos, A, B e C, com as seguintes características : 
 
 . A tem 21 prótons, B tem número de massa 43 e C tem número atômico 22 ; 
 . A e B são isótopos , B e C são isóbaros e A e C são isótonos . 
 
 Calcular o número de massa de A . 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 29 
 
7) São dados dois isótopos : A e B . Determinar o número de nêutrons desses átomos, 
sabendo que o átomo A tem número atômico ( 3x – 6 ) e número de massa 5x , e que o 
átomo B tem número atômico ( 2x + 4 ) e número de massa ( 5x – 1 ) . 
 
8) Um determinado átomo apresenta número atômico ( x + 1 ) e número de massa 3x . 
descubra o valor de x, sabendo que esse átomo apresenta 5 nêutrons . 
 
9) Com base nos dados referentes aos átomos A, B e C, apresentados no quadro a seguir, 
determine os números atômicos e os números de massa desses átomos e verifique quais 
são isótopos : 
 
ÁTOMO Z A n 
A 3x - 1 5x + 4 15 
B x - 2 2x - 3 4 
C 2x + 4 6x 16 
 
 
 
10) Três átomos A, B e C, apresentam respectivamente números de massa pares e consecutivos. 
Sabendo que B tem 27 nêutrons e C tem 29 prótons, determine os números de massa desses 
átomos de modo que A seja isótopo de B e isótono de C . 
 
 
 Sistemas de Equações do 1º Grau 
 
 
11) Resolver os sistemas do 1º Grau, abaixo : 
 
 
 a- 3x – y = 7 
 2x + y = 3 
 
 
 b- 
 4x – 3y + 18 = 0 
 x + y + 1 = 0 
 
 
 c- 
 5x + 3y + 1 = 0 
 - x + 3y + 7 = 0 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 30 
 
 d- 
 5x – 2y – 17 = 0 
 2x – 3y = 9 
 
 
 e- 
 x – 1 + y – 3 = 1 
 2 4 
 
 2x = y + 7 
 
 
 f- 
 x + y = 5 
 3 2 
 x - y = 19 
 2 3 6 
 
 
 
 g- 2x + 3y = 10 - y 
 5 3 
 
 3x + 1 = 4y – 3x 
 4 6 
 
 
 
12) O elemento bromo é formado por 2 isótopos de números de massa iguais a 79 e 81 . A 
massa atômica do elemento bromo é igual a 80 u . Quais as composições isotópicas dos 
constituintes do bromo, expressas em porcentagem ? 
 
13) Sabe-se que o elemento químico cloro apresenta duas variedades isotópicas de números de 
massa iguais a 35 e 37 . Se a massa atômica do elemento cloro vale 35,5 u, quais as 
porcentagens de participação daqueles isótopos na formação total do elemento ? 
 
14) Efetue o que se pede : 
 
A- A massa molecular de uma substância X é igual ao triplo da massa molecular da água ( 18 u ) 
, mais 7 unidades de massa atômica. Calcule a massa molecular da substância X . 
 
B- A massa molecular de uma substância A é o triplo da massa molecular de uma substância B, 
menos 10 unidades de massa atômica. A soma das massas moleculares A e B é igual a 62 u . 
Calcule essas massas moleculares . 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 31 
 
15) O dobro da massa molecular de uma substância A é igual à massa molecular de uma 
substância B, menos 16 u . A soma das massas moleculares de A e B é igual a 112 u . Determine 
as massas moleculares de A e B . 
 
 
# E Q U A Ç Ã O D O 2º G R A U 
 
 São equações matemáticas que se apresentam sob a forma geral : ax2 + bx + c = 0 (a  0) . 
 Resolver uma equação do 2º Grau é determinar os valores de x ( raízes ) que tornarm a 
expressão igual a zero . Para resolver uma equação do 2º, utilizam-se as fórmulas : 
 
x1 = - b +  ; x2 = - b -  , em que :  = b
2 – 4 . a . c 
 2.a 2.a 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 Determine as raízes das equações do 2º Grau abaixo : 
 
a) x2 – 5x + 6 = 0 
b) 2 x2 – 3x – 5 = 0 
c) 9 x2 – 24x – 16 = 0 
d) – x2 + 2x – 1 = 0 
e) –x2 +2x – 2 = 0 
f) x2 – 2x + 4 = 0 
g) 3 x2 – 15x + 12 = 0 
h) 2 x2 –2x –12 = 0 
i) 6 x2 – x – 1 = 0 
j) 10 x2 +72x – 64 = 0 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 32 
CAPÍTULO 7 
 
# M E D I Ç Ã O D E G R A N D E Z A S 
 
 . Noção de Grandeza : grandeza é tudo aquilo capaz de ser medido, quantificado, mensura- 
 do . 
 
 Exemplos : 
 
 
- velocidade de um corpo, massa, volume, comprimento, quantidade de matéria, etc ... 
 
 
 . Medição de uma grandeza: medir uma grandeza, é compará-la com outra de mesma espécie, 
tomada previamente como padrão . 
 
 
Exemplo: para medir comprimentos, um dos padrões utilizados é o metro . 
 
Em 1886, baseados em alguns cálculos, o metro foi materializado através de uma barra 
confeccionada em platina iridiada ( 90% de platina e 10% de irídio ) . 
Em 1889, na Conferência Geral de Pesos e Medidas ( CGPM ), declarou que este metro ( barra 
de platina ) tomado na temperatura de fusão do gelo, seria adotada como padrão de unidade 
métrica para comprimento . 
 
Ao longo da história, a definição de “metro” sofreu várias evoluções. A definição atual do metro, 
foi estipulada em outubro de 1983, na 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas. 
Segundo esta Conferência, o metro é definido como sendo: 
 
 "A distância percorrida pela luz, no vácuo, durante o tempode 1 / 299 792 458 de 
 segundo “ 
 
 No geral, tem-se que : 1 metro = 1 m = 100 centímetros = 100 cm . 
 
Assim, pois , se ao medirmos o comprimento de uma parede, dispormos ao longo dela, 5 vezes a 
“ barra métrica “ tomada como padrão, diremos que a parede apresenta 5 m de comprimento . 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 33 
. Unidades de Medidas no Sistema Internacional ( S.I ) 
 
O Sistema Internacional de Unidades - SI 
As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a escrever 
corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de medir é muito antiga 
e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país, cada região, teve o seu próprio 
sistema de medidas, baseado em unidades arbritárias e imprecisas, como por exemplo, aquelas 
baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. 
 
Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma região não estavam 
familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine a dificuldade em comprar ou 
vender produtos cujas quantidades eram expressas em unidades de medida diferentes e que não 
tinham correspondência entre si. 
Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano Francês pediu à 
Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante 
natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Posteriormente, muitos outros países 
adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à "Convenção do Metro". O Sistema Métrico 
Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. 
Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada vez mais 
precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal foi subtituído pelo 
Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e sofisticado, adotado também pelo Brasil 
em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de 1988 do Conselho Nacional de Metrologia, 
Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o 
Território Nacional. 
 
Nome e Símbolo (como escrever as unidades SI) 
Nome 
em letra minúscula 
formação do plural 
pronúncia correta 
 
Símbolo 
 não é abreviatura 
 não é expoente 
 não tem plural 
 
Unidade Composta 
O Grama 
O prefixo Quilo 
Medidas de Tempo 
Principais Unidades SI 
Algumas unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo 
http://arquitetura.com/11/#n_letra
http://arquitetura.com/11/#n_plural
http://arquitetura.com/11/#n_pronuncia
http://arquitetura.com/11/#s_abreviatura
http://arquitetura.com/11/#s_expoente
http://arquitetura.com/11/#s_plural
http://arquitetura.com/11/#unidade
http://arquitetura.com/11/#grama
http://arquitetura.com/11/#quilo
http://arquitetura.com/11/#tempo
http://arquitetura.com/11/#principaisSI
http://arquitetura.com/11/#prazo
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 34 
Algumas unidades fora do SI, admitidas temporariamente 
Prefixos das Unidades SI 
 
Nome e Símbolo 
 
como escrever as unidades SI 
As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de símbolos. 
Exemplos: 
Unidade de comprimento 
nome: metro 
símbolo: m 
Unidade de tempo 
nome: segundo 
símbolo: s 
 
Nome 
 
em letra minúscula 
Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. 
Exemplos: 
quilograma, newton, metro cúbico 
exceção: 
no início da frase e "grau Celsius" 
 
Nome 
 formação do plural 
A Resolução Conmetro 12/88 estabelece regras para a formação do plural dos nomes das 
unidades de medir. Para facilitar a consulta, indicamos na tabela "1" o plural dos nomes mais 
utilizados. 
 
Nome 
 pronúncia correta 
O acento tônico recai sobre a unidade e não sobre o prefixo. 
exemplos: 
micrometro, hectolitro, milisegundo, centigrama 
exceções: 
quilômetro, hectômetro, decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro 
 
Símbolo 
 não é abreviatura 
O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e universalizar a escrita e a 
leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de ponto. 
 Certo Errado 
segundo s s. ; seg. 
metro m m. ; mtr. 
quilograma kg kg. ; kgr. 
hora h h. ; hr. 
 
http://arquitetura.com/11/#tempor
http://arquitetura.com/11/#principais_pre
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 35 
 
Símbolo 
 não é expoente 
O símbolo não é escrito na forma de expoente. 
Certo Errado 
250 m 
10 g 
2 mg 
 
 
Símbolo 
não tem plural 
O símbolo é invariável; não é seguido de "s". 
 Certo Errado 
cinco metros 5m 5ms 
dois quilogramas 2kg 2kgs 
oito horas 8h 8hs 
 
 
Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que, de algum 
modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o resultado da medição, que 
apresenta as seguintes características básicas: 
 
 
 
Unidade Composta 
Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo. 
Certo Errado 
quilômetro por hora 
km/h 
quilômetro/h 
km/hora 
metro por segundo 
m/s 
metro/s 
m/segundo 
 
 
O Grama 
O grama pertence ao gênero masculino. Por isso, ao escrever e pronunciar essa unidade, seus 
múltiplos e submúltiplos, faça a concordância corretamente. 
exemplos: 
dois quilogramas ( errado : duas gramas ) 
quinhentos miligramas ( quinhentas gramas ) 
duzentos e dez gramas ( duzentas e dez gramas ) 
oitocentos e um gramas ( oitocentas e uma gramas ) 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 36 
O Prefixo Quilo 
O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil. Portanto, não pode ser 
usado sozinho. 
Certo Errado 
quilograma; kg quilo; k 
Use o prefixo quilo da maneira correta. 
Certo Errado 
quilômetro kilômetro 
quilograma kilograma 
quilolitro kilolitro 
 
 
Medidas de Tempo 
Ao escrever as medidas de tempo, observe o uso correto dos símbolos para hora, minuto e 
segundo. 
Certo Errado 
9h25min6s 
9:25h 
9h 25´ 6´´ 
Obs: Os símbolos ' e " representam minuto e segundo em unidades de ângulo plano e não de 
tempo. 
 
 
Principais Unidades SI 
Grandeza Nome Plural Símbolo 
comprimento metro metros m 
área metro quadrado metros quadrados m² 
volume metro cúbico metros cúbicos m³ 
ângulo plano radiano radianos rad 
tempo segundo segundos s 
freqüência hertz hertz Hz 
velocidade metro por segundo metros por segundo m/s 
aceleração 
metro por segundo 
por segundo 
metros por segundo 
por segundo 
m/s² 
massa quilograma quilogramas kg 
massa específica 
quilograma por 
metro cúbico 
quilogramas por 
metro cúbico 
kg/m³ 
vazão 
metro cúbico 
por segundo 
metros cúbicos 
por segundo 
m³/s 
quantidade de matéria mol mols mol 
força newton newtons N 
pressão pascal pascals Pa 
trabalho, energia 
quantidade de calor 
joule joules J 
potência, fluxo de energia watt watts W 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 37 
corrente elétrica ampère ampères A 
carga elétrica coulomb coulombs C 
tensão elétrica volt volts V 
resistência elétrica ohm ohms 
condutância siemens siemens S 
capacitância farad farads F 
temperatura Celsius grau Celsius graus Celsius ºC 
temp. termodinâmica kelvin kelvins K 
intensidade luminosa candela candelas cd 
fluxo luminoso lúmen lúmens lm 
iluminamento lux lux lx 
 
 
Algumas Unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência 
volume litro litros l ou L 0,001 m³ 
ângulo plano grau graus º p/180 rad 
ângulo plano minuto minutos ´ p/10 800 rad 
ângulo plano segundo segundos ´´ p/648 000 rad 
massa tonelada toneladas t 1 000 kg 
tempo minuto minutos min 60 s 
tempo hora horas h 3 600 s 
velocidade 
angular 
rotação 
por minuto 
rotações 
por minuto 
rpm p/30 rad/s 
Algumas Unidades fora do SI, admitidas temporariamente 
Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência 
pressão atmosfera atmosferas atm 101 325 Pa 
pressão bar bars bar Pa 
pressão 
milímetro 
de mercúrio 
milímetrosde mercúrio 
mmHg 
133,322 Pa 
aprox. 
quantidade 
de calor 
caloria calorias cal 4,186 8 J 
área hectare hectares ha m² 
força 
quilograma- 
força 
quilogramas- 
força 
kgf 9,806 65 N 
comprimento 
milha 
marítima 
milhas 
marítimas 
 1 852 m 
velocidade nó nós (1852/3600)m/s 
Prefixos das Unidades SI 
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade 
yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 
zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 38 
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 1012 = 1 000 000 000 000 
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000 
quilo k 10³ = 1 000 
hecto h 10² = 100 
deca da 10 
deci d 10-1 = 0,1 
centi c 10-2 = 0,01 
mili m 10-3 = 0,001 
micro µ 10-6 = 0,000 001 
nano n 10-9 = 0,000 000 001 
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 
zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001 
yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 
 
 
A - Para formar o múltiplo ou submúltiplo de uma unidade, basta colocar o nome do prefixo 
desejado na frente do nome desta unidade. O mesmo se dá com o símbolo. 
 
Exemplo: 
 
Para multiplicar e dividir a unidade volt por mil 
quilo + volt = quilovolt ; k + V = kV 
mili + volt = milivolt ; m + V = mV 
 
B - Os prefixos SI também podem ser empregados com unidades fora do SI. 
 
Exemplo: 
 
milibar; quilocaloria; megatonelada; hectolitro 
 
C - Por motivos históricos, o nome da unidade SI de massa contém um prefixo: quilograma. Por 
isso, os múltiplos e submúltiplos dessa unidade são formados a partir do grama. 
 
fonte: INMETRO 
 
 
 
 
 
 
http://www.inmetro.gov.br/
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 39 
 ERROS E MEDIDAS 
 
 
Chama-se ERRO de uma medida à diferença entre o “valor verdadeiro” de uma grandeza que 
foi medida e o valor realmente encontrado . 
O valor verdadeiro de uma grandeza é impossível de ser encontrado, devido a uma série de 
fatores e limitações que influem a sua medição . Assim, pois, o que se procura fazer ao se 
efetuar a medição de uma grandeza qualquer, é determinar os limites entre os quais o valor 
dessa grandeza está compreendido, ou , pelo menos, tem uma grande probabilidade de se 
encontrar . 
 
 CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS / TIPOS DE ERROS DE MEDIÇÃO 
 
 
. Os diversos erros que podem ser cometidos numa medição qualquer, podem ser agrupados 
em três categorias fundamentais: 
 
 
- ERROS GROSSEIROS ( ou enganos ) 
 
- ERROS SISTEMÁTICOS ( ou constantes ) 
 
- ERROS ACIDENTAIS ( ou fortuitos ) 
 
 
=> ERROS GROSSEIROS 
 
 
É o que decorre da falta de cuidado ou da falta de experiência do operador . 
 
Exemplo : O ERRO DE PARALAXE 
 
É o erro que se comete quando se faz a leitura da posição de um ponteiro, por exemplo, 
diante de uma escala, sem se ter o cuidado de fazer a visada numa direção perpendicular ao 
plano da escala . 
 
 Ponteiro 
 4 
 3- 
 2- -------- x ------------------------------- “olhos do operador “ 
 1- 
 0 - 
 -1- “ olhos do operador “ 
 -2- 
 -3- 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 40 
 
 
Note que a visada correta fornece a leitura “2” , enquanto a visada com erro de paralaxe, fornece 
a leitura “3” . 
O erro de paralaxe é facilmente evitado; basta gravar e escala sobre uma superfície espelhada e 
fazer a visada de modo que o olho, o ponteiro e a imagem do olho ( ou a do ponteiro ) fiquem, 
todos na mesma resta . 
 
 
 
 
=> ERROS SISTEMÁTICOS 
 
 
É o que decorre de imperfeições do instrumento de medição, do método usado e do próprio 
observador . 
 
 
=> ERROS ACIDENTAIS 
 
É o que decorre de várias causas ( conhecidas ou não ) que se supõe de maneira imprevisível . 
Os erros acidentais não podem ser evitados, nem corrigidos, nem ao menos diminuídos. 
Ocorrem, sempre inteiramente ao acaso, qualquer que seja o operador, o instrumento e o método 
. 
 
Resumidamente pode-se dizer, portanto, que ao se fazer medições, as leituras que se obtém 
nunca são idênticas devido a vários fatores como a falta de treinamento ou experiência do 
operador, o próprio mensurando, condições ambientais entre outros fatores. 
 
 
 DISPERSÃO DE MEDIDAS 
 
 
Ao se medir várias vezes uma mesma grandeza, usando-se o mesmo instrumento e o mesmo 
método de medição, é possível que as medidas encontradas sejam diferentes . A isto de 
chama de Dispersão de Medidas . Os erros acidentais são os responsáveis por essa 
dispersão . 
Ao se utilizar uma régua por exemplo, graduada em centímetros, para se efetuar diversas 
medições de uma mesma grandeza, e depois fosse utilizada uma outra régua graduada em 
milímetros, provavelmente seriam obtidos valores iguais. Mas isso não quer dizer que não 
tenham ocorrido erros acidentais. Eles sempre ocorrem. Apenas a sensibilidade do 
instrumento não é mais suficiente para detectá-los . 
 
 
. SENSIBILIDADE 
 
Sensibilidade de um instrumento de medição diz respeito ao menor intervalo da grandeza que 
ele é capaz de acusar . Quanto menor for este intervalo, maior é a sensibilidade do 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 41 
instrumento . Por exemplo, uma régua graduada em milímetros é mais sensível que uma outra 
graduada em decímetros . Uma balança analítica é mais sensível que uma “ balança de 
armazém “ . 
Entretanto, o fato de um instrumento de medição apresentar maior sensibilidade, não quer 
dizer necessariamente que as leituras que ele fornece são as mais corretas. Isto porque, o 
instrumento apesar de sensível, pode estar mal calibrado . De que adiantaria usar uma 
balança analítica para pesar um corpo, se os pesos para a calibração do equipamento fossem 
defeituosos ? 
 
 
 
 
 VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRANDEZA ( M ) 
 
 
Como se viu, ao se medir uma mesma grandeza diversas vezes, resultados diferentes podem 
ser obtidos, bastando para isso, que o instrumento de medição tenha uma sensibilidade 
adequada . 
Portanto, dos diversos resultados obtidos, deve ser utilizado para se expressar a o valor mais 
provável da grandeza, aquele obtido como resultado da média aritmética entre todos os 
valores obtidos na medição, desde que esta mereça a mesma confiança, ou seja, desde que 
medidas sejam feitas pelo mesmo operador, usando o mesmo método . 
 
Exemplo : 
 
Considere-se que foram feitas 10 medições de uma determinada peça, sendo encontradas as 
seguintes medidas : 
 
 43,28 mm ; 43,29 mm ; 43,27 mm ; 43,30 mm ; 43,28 ; 43,31 mm ; 43,29 mm ; 43,30 ; 
 
 43,28 mm e 43,30 mm 
 
 Supor que todas as medidas mereçam a mesma confiança . 
 
Qual é o valor mais provável do comprimento “ L “ da peça ? 
 
Resolução : pode-se chegar facilmente ao valor mais provável do comprimento “L” pela 
 
expressão => M = 
n
Li
 
 
 
em que : M = média aritmética dos valores obtidos na medição 
 L i = os vários comprimentos obtidos 
  = somatório 
 n = número de medidas efetuadas 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 42 
 
 
M = 43,28 + 43,29 + 43,27 + 43,30 + 43,28 + 43,31 + 43,29 + 43,30 + 43,28 + 43,30 => 
 10 
 
 
= > M = 43,29 mm este é o valor mais provável da medida 
 
 
 
 
 
 DESVIO ABSOLUTO ( D ) 
 
 
Desvio Absoluto de uma das medidas de um conjunto de medidas da mesma grandeza é a 
diferença ( em valor absoluto – em módulo – valores positivos ) entre o valor mais provável ( 
M ) da grandeza e o valor da medida considerada ( L ) . 
Se todas as medidas apresentam a mesma confiança,tem-se : 
 
 
 D = | M - L | 
 
D = desvio absoluto 
M = valor mais provável da medida / média aritmética das medidas 
L = medida considerada 
 
 
As duas barras verticais indicam que se leva em conta apenas o valor absoluto ou módulo da 
diferença M – L , ou seja, quer esta diferença, valha por exemplo , – 0,05 ou + 0,05 , o valor 
absoluto ou módulo da diferença é sempre 0,05 ( sem sinal ) . 
 
 
 
 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO ( D ) 
 
 
Desvio Absoluto Médio de uma série de medidas da mesma grandeza é a média aritmética 
dos desvios absolutos das diversas medidas da série . 
 
 
 D = 
n
Di
 
 
 
 D = desvio absoluto médio 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 43 
Di = desvio absoluto de uma das medidas 
  = somatório 
 n = número de medidas 
 
Exemplo: 
 
Se considerarmos as diversas medidas obtidas no exemplo anterior, qual o desvio absoluto 
médio da série de medidas ? 
 
M ( mm ) L ( mm ) Di ( mm ) 
43,29 43,28 0,01 
43,29 43,29 0 
43,29 43,27 0,02 
43,29 43,3 0,01 
43,29 43,28 0,01 
43,29 43,31 0,02 
43,29 43,29 0 
43,29 43,3 0,01 
43,29 43,28 0,01 
43,29 43,3 0,01 
 Soma Di = 0,10 
 
 
D = 
n
Di
 = 
10
10,0
 = > D = 0,01 mm 
 
 
 DESVIO AVALIADO ( Dav ) / CONSIDERAÇÕES SOBRE A MANEIRA DE SE EXPRIMIR 
 UMA MEDIDA 
 
 
 Tem sido usual se expressar a medição de uma grandeza, de uma das seguintes maneiras : 
 
 
 . G = M  D 
 
 ou 
 
 . G = M  Dav 
 
 
 G = valor verdadeiro da grandeza 
 M = valor mais provável da grandeza 
 D = desvio absoluto médio 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 44 
 Dav = desvio avaliado do instrumento de medição 
 
 
 
Considera-se como desvio avaliado ( Dav ) de um instrumento de medição, a metade da menor 
divisão da escala do instrumento . 
Por exemplo, se efetuarmos as medidas de uma grandeza com uma régua graduada em 
milímetros, o desvio avaliado será 0,5 mm . 
 
 
. OBSERVAÇÕES 
 
 
1) Se ao medir várias vezes uma grandeza, forem obtidas medidas diferentes ( embora algumas 
delas possam ser repetidas ) , não há razão para se usar um instrumento ainda mais sensível. 
Pois, como se sabe, a dispersão das medidas decorrem de erros acidentais e, estes já estão 
sendo detectados pelo instrumento . 
 
 
2) Se for utilizado um instrumento de medição cuja sensibilidade seja insuficiente para detectar os 
erros acidentais, as medidas obtidas serão todas iguais. Sendo assim será inútil repetir as 
medidas. Basta uma . 
 
 
3) Para se expressar o valor verdadeiro G de uma grandeza, deve-se entre o Dav e D , aquele 
que for maior ; isto para que se possa afirmar com maior segurança que o valor da grandeza que 
foi medida está compreendido entre os valores limites encontrados . 
 
Assim, para o exemplo que foi visto anteriormente, tem-se : 
 
M = 43,29 mm 
D = 0,01 mm 
Dav = 0,05 mm ( considerar como sendo este o desvio avaliado do instrumento ) 
 
Como Dav > D , será utilizada a forma : 
 
G = M  Dav => G = 43,29  0,05 ou seja, o valor verdadeiro da grandeza está compreen- 
 
dido no intervalo entre : 
 
 G 
 43,24 43,34 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 45 
 
 PRECISÃO E EXATIDÃO DE UMA MEDIDA 
 
 
. PRECISÃO : - 
 
A precisão de uma medida está associada à reprodutibilidade de um determinado resultado 
obtido em uma medição . 
 
Exemplo : Medição da massa de uma determinada amostra em várias experiências 
 
 
 1ª Experiência 2ª Experiência 3ª Experiência 4ª Experiência 5ª Experiência 
 
 3,54 g 3,54 g 3,53 g 3, 55 g 3,54 g 
 
 
 Como se vê, a precisão de uma medida informa sobre o quanto o resultado de duas ou mais 
 medidas experimentais de uma mesma grandeza estão próximas uma da outra . 
 A precisão é afetada pelos erros acidentais, que são aqueles que como se viu anteriormen- 
 te, são decorrentes da má colocação do observador em relação à escala de leitura ( erro de 
 paralaxe ) , estimativa errada na avaliação das frações da escala, correntes de ar, estreme – 
 cimento da mesa de trabalho, flutuações de tensão na rede elétrica, etc. . Lembre-se que os 
 erros acidentais podem ser previstos e minimizados, mas não podem ser totalmente evita evi- 
 tados ( uma vez que são acidentais ) . 
 
 
 . EXATIDÃO : - 
 
 
 A exatidão de uma medida está relacionada à maior ou menor aproximação do resultado obti- 
 do, do valor real ( ou pelo menos, do valor mais provável ) . 
 
 
 Exemplos : 
 
 
 a) 3,54 g  0,01 => 3,53 g 3,55 g 
 
 b) 3,5400 g  0,001 = > 3,539 g 3,5401 g 
 
 
 Observação : 
 
- 3,54 g e 3,5400 g são números iguais matematicamente falando mas, são números diferentes 
 para efeito de medição . 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 46 
Como se vê, a exatidão de uma medida informa sobre o quanto o resultado de uma medida 
experimental está próximo do valor verdadeiro ou aceito como tal . 
A exatidão de uma medida é afetada por erros sistemáticos que, como se viu anteriormente, 
decorrem de deficiências no método utilizado, má calibração dos instrumentos, deficiências 
inerentes ao observador ( defeitos de visão, inexperiência ), condições inadequadas em que a 
medida é efetuada ( variações de pressão e temperatura ), presença de impurezas na amostra 
analisada , etc. . O erros sistemáticos podem ser evitados . 
 
 EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
* Na determinação experimental do volume de uma solução, três alunos A, B e C, efetuaram 
várias medições utilizando um equipamento que tinha tolerância de  0,03 mL . 
Os resultados obtidos foram registrados na tabela a seguir : 
 
ENSAIO A B C 
1 8,45 mL 8,43 mL 8,50 mL 
2 8,41 mL 8,40 mL 8,48 mL 
3 8,44 mL 8,41 mL 8,40 mL 
 
a) Calcule o valor mais provável ( M ) do volume , o desvio absoluto ( D ) de cada medida e o 
desvio absoluto médio ( D ) de todas as medidas . Indique qual a medida mais precisa por aluno 
. 
 
b) Apresente o resultado obtido por aluno seguido do desvio médio e indique o aluno que obteve 
os resultados mais precisos . 
 
Resolução : 
 
a) Valor mais provável , desvio absoluto e desvio médio 
 
. Aluno A 
 
 
M = 
3
44,841,845,8 
 => M = 8,43 mL 
 
Desvio Absoluto de cada medida : 
 
. Medida 1 : D = | 8,45 – 8,43 | = 0,02 
 
. Medida 2 : D = | 8,41 – 8,43 | = 0,02 
 
. Medida 3 : D = | 8,44 – 4,43 | = 0,01 
 
 
 
Desvio Médio Absoluto 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 47 
 
D = 
3
01,002,002,0 
 => D = 0,01667  0,02 
 
A medida 3 é a mais precisa, pois apresenta o menor desvio absoluto . 
 
A partir desses mesmos cálculos, chega-se aos valores indicados abaixo, para os alunos B e C. 
 
. Aluno B 
 
Medidas 1, 2 e 3 : 8,43 ; 8,40 mL ; 8,41 mL 
 
D = 8,41 mL 
 
. Medida 1 : D = 0,02 
 
. Medida 2 : D = 0,01 
 
. Medida 3 : D = 0,00 ( mais precisa ) 
 
D = 0,01 
 
. Aluno C 
 
Medidas 1, 2 e 3 : 8,50 mL ; 8,48 mL ; 8,40 mL 
 
D = 8,46 mL 
 
. Medida 1 : D = 0,04 
 
. Medida 2 : D = 0,02 ( mais precisa ) 
 
. Medida 3 : D = 0,06 
 
D = 0,04 
 
 
b) Nesse caso, como é dada a tolerância do equipamento utilizado ( igual a 0,03 ) , é preciso 
comparar o valor obtido para o desvio médio da série de medidas efetuadas por aluno com o 
valor da tolerância do equipamento e optar pelo quefor superior . Desse modo, o resultado deve 
ser expresso por : 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 48 
 
. Aluno A : 8,43  0,03 mL 
 
. Aluno B : 8,41  0,03 mL 
 
. Aluno C : 8,46  0,04 mL 
 
Conclusão : 
 
Os resultados apresentados pelo Aluno B são os mais precisos porque apresentam o menor 
desvio absoluto . 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1) Complete o quadro abaixo, referente à medida da densidade da água destilada à 4 0C feita por 
dois pesquisadores, A e B . Os valores mencionados na tabela estão expressos em g / cm3 . 
 
 
 Valor obtido Valor provável 
Desvio 
Absoluto Desvio Médio 
PESQUISADOR A 1ª medida 1,052 
 2ª medida 0,970 
 3ª medida 0,981 
PESQUISADOR B 1ª medida 1,008 
 2ª medida 1,007 
 3ª medida 1,003 
 
Valor verdadeiro da densidade da água a 4 0C = 1,000 g / cm3 . 
 
 
a) Qual pesquisador obteve resultado com maior precisão ? Por quê ? 
 
 
b) Qual pesquisador obteve resultado com maior exatidão ? Por quê ? 
 
 
2) Na determinação experimental do volume de uma solução, um estudante de Química efetuou 5 
medidas utilizando uma pipeta graduada cuja tolerância era de  0,25 mL . Os resultados obtidos 
encontram-se registrados a seguir : 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 49 
Medida 1 2 3 4 5 
Volume ( mL ) 10,14 9,78 10,26 9,69 9,98 
 
 
 
 
Calcule o valor mais provável do volume, o desvio absoluto de cada medida e o desvio médio de 
todas as medidas . Expresse corretamente o resultado obtido . 
 
3) Em 2 de fevereiro de 1.997, o INMETRO divulgou pela Internet e pela televisão uma análise 
feita em 109 estabelecimentos comerciais ( bares, restaurantes e lanchonetes ) que teve como 
objetivo comparar a informação sobre o volume de chope por copo, declarada no cardápio, com o 
volume de chope por copo oferecido de fato ao cliente. Para tal, foi utilizada uma proveta com 
precisão de 5 mL . 
Dos 109 estabelecimentos analisados, 89 apresentaram irregularidades, como a não-informação 
do volume vendido ou volume inferior ao informado . Em certas cidades como o Rio de Janeiro e 
Salvador, o índice de reprovação chegou a 100%, com uma diferença de volume de até 70 mL ( 
23% do total ) . Embora o consumo de álcool não seja recomendável, houve um desrespeito aos 
direitos do consumidor . 
Assim, 3 consumidores adultos, a par da denúncia feita pelo INMETRO, resolveram verificar se o 
volume de 150 mL de chope declarado no cardápio do restaurante que freqüentavam era o 
mesmo oferecido no copo . Fizeram então uma série de 3 medidas cada um, utilizando uma 
proveta graduada de 200 mL com tolerância de 5,0 mL . Os resultados obtidos estão descritos na 
tabela a seguir : 
 
CONSUMIDORES A B C 
medida 1 130 mL 149 mL 141 mL 
medida 2 142 mL 134 mL 135 mL 
medida 3 127 mL 143 mL 129 mL 
 
 
a) Calcule o valor mais provável do volume, o desvio absoluto de cada medida e o desvio médio 
de todas as medidas. Indique qual a medida mais precisa por consumidor . 
 
 
b) Apresente o resultado obtido por consumidor seguido do desvio médio e indique qual deles 
obteve resultados mais precisos . 
 
 
4) Para medir-se a concentração de um certo eletrólito em uma solução, usou-se um 
galvanômetro cujo ponteiro acusou as seguintes deflexões : 
 
 
 37,0 ; 36,8 ; 36,8 ; 36, 9 ; 37,1 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 50 
Indique de forma correta o valor mais provável da deflexão . 
 
 
 
 
 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ( A .S ) 
 
 
Como se sabe, o valor numérico de qualquer medida representa sempre uma aproximação, pois 
sempre estará afetada de um certo grau de incerteza , por melhor que seja o instrumento 
utilizado . Portanto, o grau de incerteza de qualquer medida está relacionado com sua precisão e 
exatidão . 
Assim, o operador ao expressar o resultado de uma medida deverá se preocupar com a 
informação da certeza dos algarismos, podendo citar um único duvidoso. Estes algarismos são 
denominados ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS , ou melhor, é significativo aquele algarismo que 
é sabido ser confiável . Ou, de outra forma, algarismos significativos são aqueles que realmente 
tem significado no resultado de uma medição . 
 
 
 Algarismos Significativos = são os números certos de uma medida + o 1º algarismo duvidoso 
 
 
Exemplos : 
 
 
 a) 0 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . . . ( cm ) 
 
 ( régua ) 
 | | 
 
 x = 3,54 cm => x = 3, 5 4 cm => 03 algarismos signficativos 
 
 
 certos duvidoso 
 
 
 
 40 . 60 
 . . 
b) 20 
 20 80 => v = 6 3 km / h => 02 algarismos significativos 
 . . duvidoso 
 0 100 
 km/h certo 
 
 ( velocímetro ) 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 51 
 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
 
 POTÊNCIAS DE BASE DEZ 
 
 
0,0001 = 1.10 - 4 
0,001 = 1.10 - 3 
0,01 = 1.10 - 2 
0,1 = 1.10 -1 
1,0 = 1.10 0 
10 = 1.10 1 
100 = 1.10 2 
1000 = 1.10 3 
10000 = 1.10 4 
 
etc . 
 
Escrever um número sob a forma de notação científica é escrevê-lo conforme o esquema geral : 
 
 
 N , ......... x 10 n 
 Um único A . S 
  de zero potência de base 10 
 ( 1  N  10 ) 
 
 
Exemplos : inteiro 
 
 
. 1,20 x 10 1 
 
. 3,75 x 10 –3 
 
. 6,02 x 10 23 
 
. 9,106 x 10 –28 
 
. 1,0 x 10 2 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 52 
 
. Passar os números abaixo para a forma de Notação Científica : 
 
 
a) 0,123 x 10 –3 ( não está sob a forma de Notação Científica ) 
 
0,123 = 1,23 x10 -1 
 
então : 0,123 .10 –3 = 1,23 x 10 -1 x 10 –3 = 1,23 . 10 –4 
 
 
b) 12,3 x 10 4 ( não está sob a forma de Notação Científica ) 
 
12,3 = 1,23 x 10 
 
então : 12,3 x 10 4 = 1,23 x 10 x 10 4 = 1,23 x 10 5 
 
c) 0,00123 x 10 5 ( não está sob a forma de Notação Científica ) 
 
0,00123 = 1,23 x 10 –3 
 
então : 0,00123 x 10 3 = 1,23 x 10 –3 x 10 5 = 1,23 x 10 2 
 
 
d) 1230 ( não está sob a forma de Notação Científica ) 
 
1230 = 1,23 x 10 3 
 
 
 NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA MEDIDA EXPRESSA EM NOTA - 
ÇÃO CIENTÍFICA 
 
 
É o número de algarismos da sua notação científica, excluindo-se os algarismos da potência de 
base 10 . 
 
 
Exemplos : 
 
 
. 0,0020600 g = 2,0600 x 10 –3 = 5 A . S 
 
 
. 0,02060 g = 2,060 x 10 –2 = 4 A . S 
 
 
. 2060 g = 2,060 x 10 3 = 4 A . S 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 53 
 ORDEM DE GRANDEZA DE UMA MEDIDA 
 
 
Lembre-se que uma medida sob a forma de notação científica será escrita de uma forma geral, 
conforme o esquema : 
 
 N , ..... x 10 n 
 
 
.A Ordem de Grandeza será igual = 10 n , se N  10 ( 10 = 3,16 ) 
 
. A Ordem de Grandeza será igual = 10 n + 1 , se N  10 ( 10 = 3,16 ) 
 
 
Exemplos : 
 
 
a) Velocidade da luz = 299.792, 5 km / s = 2,997925 x 10 5 
 |_______| 
 N 
 
- Como N  10 , tem-se : 
 
 
. Ordem de Grandeza da velocidade da luz = 10 n => 10 5 km / s 
 
 
b) Constante de Avogadro = 6,02 x 10 23 quantidade de matéria / mol 
 |__| 
 N 
 
- Como N  10 , tem-se : 
 
 
. Ordem de Grandeza da Constante de Avogadro = 10 n + 1 => 10 23 + 1 => 10 24 quantidade de 
 
 matéria / mol 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 54 
 
 OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
 
. Técnicas de Arredondamento 
 
Um número é arredondado para outro, com o número desejado de algarismos significativos, 
pelo cancelamento de um ou mais algarismos a direita . 
 
 
 
REGRAS PARA O ARREDONDAMENTO / RESUMO 
 
 
- REGRA 1 : Quando o primeiro algarismo cancelado for menor que 5 , os algarismos que 
 permanecem não se modificam . 
 
 
. Exemplo : 12,542 => 12,54 2 => 12,54 
 
 
- REGRA 2 : Quando o primeiro algarismo cancelado for maior que 5, então se adiciona uma 
 uma unidade ao último algarismo que permanece . 
 
 
. Exemplo : 100,7 => 100, 7 => 101 ; 3,1416 => 3,141 6 => 3,142 
 
 
 
- REGRA 3 : Quando o primeiro algarismo a ser cancelado for exatamente igual a 5 seguido 
de 
 zero(s) , então a adição da unidade é feita quando o último algarismo que perma 
– 
 nece ímpar , caso contrário , ele é cancelado . 
 
 
 
. Exemplo : 12,75 ou 12,750 => 12,7 5 ou 12,75 0 => 12, 8 
 
 
 24,45 ou 24,450 => 24,4 5 ou 24,45 0 => 24,4 
 
 
 23,8503 => 23, 8 5 03 => 23,9 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 55 
 
. Soma e Subtração 
 
Os resultados das somas ou subtrações devem conter casas correspondentes as parcelas de 
menor precisão . É importante lembrar que os últimos algarismos são estimados . 
 
 
. Exemplos : 
 
 
- SOMA 
 
 
 4, 20 4, 20 
 1, 6523 + ou 1, 65 + 
 0, 015 0, 02 
_________ _______ 
 5, 8673 => 5,87 5, 87 
 
 
 - SUBTRAÇÃO 
 
 
 415, 5 415, 5 
 3, 64 - ou 3,6 - 
 0, 238 0,2 
 __________ ________ 
 419, 378 => 419,4 419,3 
 |____________| 
 
 
 o último algarismo apresenta 
 uma incerteza 
 
 
. Multiplicação e Divisão 
 
 
Nas multiplicações e divisões as respostas devem ser arredondadas de forma a conterem tantos 
algarismos significativos quanto os contidos no fator de menor precisão . 
 
 
. Exemplos : 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 56 
 
- MULTIPLICAÇÃO 
 
 
 7,485 x 8,61 = 64,445 => 64,4 
 
 2,3 x 2,3 = 5,29 => 5,3 
 
 
- DIVISÃO 
 
 
 0,1642  1,52 = 0,1080 => 0,108 
 
 
. Radiciação 
 
 
O valor da raiz quadrada deve ter o mesmo número de algarismos significativos do radicando . 
 
. Exemplos : 
 
 
x = 43,2532,25 x = 25,374 => 25,37 
 
y = 84,51 = 7,200 
 
z = 00362,0 = 0,060166 => 0,0602 
 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( Qualitativos ) 
 
 
 
1) O que se entende por medir uma grandeza ? 
 
2) Explique porque não tem sentido falar em valor verdadeiro de uma grandeza e em medida 
exata ? 
 
3) Como se classificam os erros cometidos numa medição ? 
 
4) O que se entende por erro grosseiro ( ou engano ) ? 
 
5) Explique o que vem a ser erro de paralaxe e como evitá-lo . 
 
6) Explique o que vem a ser um erro sistemático ? 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 57 
 
7) O que se entende por erro acidental ? 
 
8) O que se entende por dispersão de uma medida ? 
 
9) Explique o que vem a ser sensibilidade ou tolerância de um instrumento . 
 
10) Defina valor mais provável de uma grandeza medida diversas vezes, para o caso de todas as 
medidas merecerem a mesma confiança . 
 
11) Estabeleça a diferença entre desvio absoluto e desvio absoluto médio . A que se refere cada 
um desses desvios : a uma medida ou a uma série de medidas ? 
 
12) Como se deve exprimir o resultado final correspondente a uma série de medidas ? Deixe bem 
claro quando se deve usar o desvio absoluto médio da série de medidas e quando se deve usar o 
desvio avaliado do instrumento . 
 
13) Se ao medir várias vezes a mesma grandeza você obtiver medidas diferentes ( embora 
algumas possam se repetir ), adianta usar um instrumento ainda mais sensível ? 
 
14) Se for usado para uma medição, um instrumento cuja sensibilidade é insuficiente para 
detectar os erros acidentais , adianta repetir as medidas ? 
 
15) Defina algarismos significativos . 
 
16) Quando é que o zero não é considerado algarismo significativo ? 
 
17) O que há de errado ao se escrever : 87,625  0,2 ? 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( Numéricos ) 
 
 
18) Quantos algarismos significativos tem as medidas abaixo ? 
 
a- 0,320 m 
 
b- 2.330 g 
 
c- 0,0030500 kg 
 
d- 1500 g 
 
e- 0,220 m 
 
f- 0,0040600 kg 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 58 
19) Uma definição elementar de ordem de grandeza de um número é potência de dez mais 
próxima do número . Qual a ordem de grandeza das medidas abaixo ? 
 
 
a- 3,20 x 10 –1 m 
 
b- 2.300 x 10 3 g 
 
c- 8.0500 x 10 –3 kg 
 
d- 2,80 x 10 –1 cm 
 
e- 5,800 x 10 –3 g 
 
f- 4,0500 x 10 –4 kg 
 
 
20) Complete o quadro abaixo : 
 
 
MEDIDA NOTAÇÃO CIENTÍFICA ORDEM DE GRANDEZA Nº DE A . S 
0,0003050 g 
0,3500 g 
4.287 cm 
5,0 m 
5,000 m 
0,0005 m 
1583,43 L 
0,038 x 10 -5 g 
300.000 km 
1728 x 10 3 
 
 
21) Arredonde os números abaixo de modo que eles fiquem apenas com 3 A .S : 
 
 a- 3,1415 
 
 b- 2,71828 
 
 c- 1,41421 
 
 d- 1,73205 
 
 e- 56872 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 59 
22) Arredonde os números abaixo de modo que eles fiquem apenas com 3 A .S : 
 
a- 9,80665 m / s 2 
 
b- 4,1855 J / cal 
 
c- 96495 C 
 
23) Indique os números que estão em notação científica : 
 
a- 5,2 x 104 
 
b- 52,3 x 10 –3 
 
c- 10.000 
 
d- 0,102 
 
e- 1,3 x 10 8 
 
24)Escreva em notação científica os seguintes números : 
 
a- 1300 
 
b- 0,0005 
 
c- 12,5 x 10 6 
 
d- 0,00000089 x 10 –4 
 
 
25) Qual a distância percorrida pela luz no vácuo em 1 segundo ? Escreva o valor em notação 
científica . 
 
 
26) Calcule o número de segundos de : 
 
a- um dia 
 
b- um mês 
 
c- um ano 
 
 
 
 
 
 
Montagem: Prof . Luciano Cardoso 60 
27) Calcule quantos metros estão contidos em : 
 
a- 108 km 
 
b- 10 3 cm 
 
c- 10 –2 mm 
 
28) Calcule quantos gramas estão contidos em : 
 
a- 75 kg 
 
b- 0,8 mg 
 
c- 10 –5 kg 
 
29) Calcule quantos litros estão contidos em : 
 
a- 1500 mL 
 
b- 30.000 m 3 
 
c- 107 mL 
 
30) Descreva com suas palavras, situações do dia a dia onde o uso de notação científica e 
potências de 10 pode ser útil . 
 
 
31) Num recipiente são colocados sucessivamente as seguintes massas de água : 85,438 g ; 
5,27 g ; 4,15 g ; 2,512 g e 0,3784 . Qual a