Nivelamento de Física Desafio Condutividade

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Solução Desafio 
Maria diz: 
— Nossa, como resolvemos este problema, Giovana? 
Giovana responde: 
— É simples. Vou colocar no papel em detalhe. 
A corrente que passa no resistor 𝑅 que pode ter valores 1𝛺, 2𝛺 e 3𝛺, é encontrada 
utilizando a Lei de Ohm e considerando a soma da resistência 𝑅 com 𝑅𝑖 = 2𝛺 e a 
tensão da bateria 𝑉𝑏𝑎𝑡 = 12𝑉. A potência dissipada no resistor 𝑅 é dada por: 
𝑃 = 𝑅. 𝑖2 
Mas a corrente i neste resistor é: 
𝑖 =
𝑉𝑏𝑎𝑡
𝑅𝑒𝑞
=
𝑉𝑏𝑎𝑡
𝑅𝑖 + 𝑅
 
Então 𝑃 pode ser reescrito assim: 
𝑃 = 𝑅. (
𝑉𝑏𝑎𝑡
𝑅𝑖 + 𝑅
)
2
 
Para encontrar o máximo da potência P, preciso da derivada primeira e segunda com 
relação a 𝑅. O máximo vem das condições: 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 0 
e 
𝑑2𝑃
𝑑𝑅2
< 0 
Aplicando as condições na expressão para 𝑃: 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
=
𝑑
𝑑𝑅
[𝑅. (
𝑉𝑏𝑎𝑡
𝑅𝑖 + 𝑅
)
2
] 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑑
𝑑𝑅
[𝑅. (𝑅𝑖 + 𝑅)
−2] 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [(𝑅𝑖 + 𝑅)
−2 − 2. 𝑅. (𝑅𝑖 + 𝑅)
−3] 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [
1
(𝑅𝑖 + 𝑅)
2
− 2
𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [
𝑅𝑖 + 𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
− 2
𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [
𝑅𝑖 − 𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] 
Para um máximo em 𝑃, 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 0: 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [
𝑅𝑖 − 𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] = 0 
Como 𝑅𝑖 e 𝑅 são ambos diferentes de zero, então, a única possibilidade é 𝑅 = 𝑅𝑖 . 
Posso verificar como fica 
𝑑2𝑃
𝑑𝑅2
 com 𝑅 = 𝑅𝑖: 
𝑑2𝑃
𝑑𝑅2
= 𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑑
𝑑𝑅
[
𝑅𝑖 − 𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] = 𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑑
𝑑𝑅
[
𝑅𝑖
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] − 𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑑
𝑑𝑅
[
𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
3
] 
𝑑2𝑃
𝑑𝑅2
= −3. 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [
𝑅𝑖
(𝑅𝑖 + 𝑅)
4
] − 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [(𝑅𝑖 + 𝑅)
−3 − 3
𝑅
(𝑅𝑖 + 𝑅)
4
] 
𝑑2𝑃
𝑑𝑅2
|𝑅=𝑅𝑖 = −3. 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [
𝑅𝑖
(2. 𝑅𝑖)
4
] − 𝑉𝑏𝑎𝑡
2 [(2. 𝑅𝑖)
−3 − 3
𝑅𝑖
(2. 𝑅𝑖)
4
] 
𝑑2𝑃
𝑑𝑅2
|𝑅=𝑅𝑖 = −
3
2
𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑅𝑖
3 − 2
𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑅𝑖
3 +
3
2
𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑅𝑖
3 = −2
𝑉𝑏𝑎𝑡
2
𝑅𝑖
3 < 0 
Como o cálculo da derivada segunda mostrou, realmente 𝑅 = 𝑅𝑖 é um ponto de 
máximo. 
Agora sim posso calcular a potência com 𝑅 = 𝑅𝑖 para os 3 casos pedidos: 
𝑃1 =
(12𝑉)2. (1𝛺)
(1𝛺 + 2𝛺)2
= 16𝑊 
𝑃2 =
(12𝑉)2. (2𝛺)
(2𝛺 + 2𝛺)2
= 18𝑊 
𝑃3 =
(12𝑉)2. (3𝛺)
(3𝛺 + 2𝛺)2
= 17,28𝑊