Introducción a las Derivadas

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Algunos conceptos básicos.
La recta secante 
y la recta tangente
en términos 
geométricos
Recta secante
Recta tangente
la recta intersecta 
en dos puntos
la recta tiene un 
punto en común 
Algunos conceptos básicos.
La recta secante 
y la recta tangente
en una función
Función original
Algunos conceptos básicos.
La recta secante 
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante
Algunos conceptos básicos.
La recta secante 
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente
Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si 
tienes dos puntos sobre una recta
Algunos conceptos básicos.
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1( , )x y
2 2( , )x y
Algunos conceptos básicos.
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 

La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
recta tangente
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aproximación
tanm  secm
2 1
2 1
y y
aprox
x x
 
  
 
recta tangente
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x 
2 1x x x  
2 1x x x  
recta tangente
1.- Si hacemos la definición de derivada resulta ser: h x 
OBSERVACIÓN:
0
0
0
0
( ) ( )( ) ( )
lim lim
h x x
f x f xdy f x h f x
dx h x x 
 
 

siempre y cuando el límite exista y sea finito
2.- Se pueden considerar las siguientes notaciones:
3.- El problema de calcular la pendiente de la recta tangente a
la curva en el punto de ella, se reduce a calcular el
limite:
0 0( , ( ))P x f x
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
 
5.- En el siglo XVII, Issac Newton introdujo la definición de derivada al
determinar la velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo en un instante
dado ( velocidad instantánea )
6.- La derivada de una función en un punto dado de su dominio
es un límite y por lo tanto puede no existir; esto significa
geométricamente que es posible trazar una tangente a la curva en ese
punto.
f 0x
7.- La derivabilidad implica continuidad, pero lo recíproco no es cierto
DEFINICION DE DERIVADA
Sea una función definida en el intervalo abierto 
de , y sea un punto de . Se define la derivada de la función
en como el límite:
cuando éste existe y es finito. En tal caso decimos que la función es
Derivable ( diferenciable ) en . Si la función es derivable en todo 
punto de , decimos que es derivable en 
:f I   I
0x I f
0x
0 0
0
( ) ( )
lim
h
f x h f x
h
 
f
0x f
x I I
Ejemplos de aplicación:
1) Calcular la derivada de la función: 
3( ) 2f x x x 
   
   
 
0
3 3
0
3 2 2 3 3
0
2 2 3
0
2 2
0
2
'( ) lim
2 ( 2 )
lim
3 3 2 2 2
lim
3 3 2
lim
lim 3 3 2
3 2
h
h
h
h
h
f x h f x
f x
h
x h x h x x
h
x x h xh h x h x x
h
x h xh h h
h
x xh h
x





 

    

      

  

   
 
Solución:
2) Calcular '( )f x para '( )f x x
Luego calcular la pendiente de la tangente a la gráfica de f en los puntos
(1,1) y (4,2) . Analizar el comportamiento de en el origen. f
Solución:
   
 
 
0
0
0
0
0
'( ) lim
lim
lim .
( )
lim
lim
h
h
h
h
h
f x h f x
f x
h
x h x
h
x h x
h
x
x
x
h
h
x
x h
x
x h x
h x
h
h x h





 

 

 

 



 




 0
1 1
lim , 0
2h
x
x h x x
  
 
CAUSAS QUE DESTRUYEN LA DERIVABILIDAD
 Las discontinuidades
 Vértices o puntos angulosos
 Tangentes de rectas verticales
DERIVADAS LATERALES
Definición: Sea , la derivada por la izquierda de en 
Se denota y define por:
:f I   0x
0
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
x x
f x f x
f x
x x






f
cuando éste existe y es finito
Definición: Sea , la derivada por la derecha de en :f I   0xf
Se denota y define por:
0
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
x x
f x f x
f x
x x






cuando éste existe y es finito
Proposición: Sea una función, es derivable en :f I   f
0x I  existen y son iguales y0' ( )f x

0' ( )f x

Ejemplo 1: analizar la derivada de la función mayor entero en el origen
Solución:
Ejemplo 2: Analizar la derivada de en ( ) 2f x x  0 2x 
Solución:
Ejemplo 3 : Analizar la derivada de en el origen 3( )f x x
Solución:
Ejercicio: Analizar la derivada de la siguiente función en 
2
2
2 , 2
( )
4 2 , 2
x si x
f x
x x si x
  
 
  
0 2x 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1.- Utilizando la definición de derivada, calcular en cada caso:'( )f x
) ( ) 2 ) ( ) ) ( ) 2 3a f x b f x x c f x x   
2.- Utilizando la definición de derivada, calcular en cada caso:
0'( )f x
3
0 0) ( ) 2 ; 1 ) ( ) 3 ;
4
a f x x x x b f x Cosx x

    
3.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función
en el origen de coordenadas( )f x Tgx
4.- El movimiento rectilíneo de un cuerpo se efectúa de acuerdo con la 
ley en donde se mide en metros y en 
segundos.Determinar la velocidad del cuerpo a los 4 seg. De haber 
empezado su movimiento
2
2
2
( )
1
t
x f t
t
 

x t
REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean y funciones derivables y una constante; entonces las 
funciones: 
f g c
; ;
f
f g f g
g
 son derivables, cuyas reglas de derivación son:
 
 
 
 
'
2
'
2
'
1. ( ) '( ) 0
2. ( ) '( ) '( ) '( )
3. ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )
'( ) ( ) ( ) '( )
4. ( ) ; ( ) 0
( )
'( )
5. ( ) ; ( ) 0
( )
'( )
6. ( ) ; 0
7. '( ) '( )
8. '( )n
Si f x c f x
f g x f x g x
f g x f x g x f x g x
f f x g x f x g x
x g x
g g x
c c f x
x f x
f f x
f f x
x c
c c
c f x c f x
f x
  
  
 
  
  
 
 
   
 
 
  
 

 1( ) '( ) ;nn f x f x n 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Usando las fórmulas de derivación, calcular en cada caso:
 
6 5 4 3 2
8 5 4
2
2
2
2 2
4
3
3
2
2
1) ' : 4 3 2 8 7 1
2) ' : 3 5 7 2 10
3
3) '( ) : ( ) 3
4
4) '( ) : ( ) 1
2 3
5) :
1
6) : ( )
1
1
7) ( ) : ( )
8) :
y si y x x x x x x
y si y x x x x
f x si f x x x
x
x
f x si f x
x
dy x
si y
dx a x
df x
si f x
dx x
x
f x si f x
x
y si y


      
    
 
   
 
 
  
 


 
  
 
 
  
 

 
3 2
2
2 4
9) ' : 3 4 8 1
x x
y si y x x x

   
 
 
 
 
2
3
2
2 2
2 2
2 2
2
3
2 2 2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 2 2 22
3
3
2 2
2 2
4
10) ' :
1
2
11) ' :
3
12) '( ) : ( )
2
13) '( ) : ( )
3
2 2
14) :
3 3
15) : ( )
1
16) ( ) : ( )
x
y si y
x
a x
y si y x a
x a x
f x si f x
a x
f x si f x x x a x a
dy a x
si y x x a x a x a
dx
df x
si f x
dx
x
f x si f x x x a




 
  
 
 

   
 
      
 


  
 
2
2 2
2 217) ' : 4 4
a x
x a
y si y x x

  
 
3
5 8
2 7
x
f x
x



18) Dada la función Determinar los valores de si: m
 2
1 1
4 12 '
2 2
m f m f
    
    
   
19) Determinar los valores de y de modo que 
y se intersectan en el punto y tienen la
misma recta recta tangente en dicho punto
,a b c   2f x x ax b  
  3g x x c   1,2P
20) Dada la función , determinar y su dominio:f 'f
 
2
2
5, 2
3 1, 2 1
4 , 1
x si x
f x x x si x
x si x
   

     

 
21) Analizar la derivabilidad de tal que:f
  2 1f x x  
22) Dada la función tal que:f
 
2
2
4 , 2
4 , 2
x si x
f x
x si x
  
 
 
a) Examinar la continuidad en los puntos 2 y -2
b) Analizar la derivabilidad en los puntos 2 y -2 
c) Calcular y su dominio  'f x
d) Trazar la gráfica de f
23) Determinar las constantes y para que la función sea 
derivable en 
c d f
2x 
24) Examinar la derivada de en si: f 0x 
 
2
2
1
, 0
0 , 0
x Sen si x
f x x
si x
  
  
  
 
25) Analizar la derivabilidad de si en x = 2 f   2 1f x x  
26) Estudiar la derivabilidad de si en x = 1 f   3 1 1f x x  
 
23 , 2
, 2
x si x
f x
cx d si x
 
 
 