Aulas - Teoria das Estruturas II

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 1: Isostática
Apresentação
A análise estrutural é a fase do projeto na qual é feita a idealização do comportamento da estrutura. Nesta aula,
apresentaremos o método de análise para calcular as deformações em estruturas isostáticas.
Reconheceremos o Método da Carga Unitária e o Método do Princípio dos Trabalhos Virtuais, por meio de suas duas
formulações — Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais. O objetivo é dar subsídios para os
Métodos das Forças e o Método dos Deslocamentos. A capacidade de uma estrutura de resistir às solicitações que lhe são
impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura quando o carregamento for excessivo. É necessário reconhecer esta
capacidade para que se projete com segurança.
Objetivos
Aplicar o princípio dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos;
Reconhecer o Método da Carga Unitária.
Resistência dos materiais — Relembrando alguns conceitos
básicos
Este item é para relembrar o conceito de deformação estudado em Resistência dos Materiais, como pode ser visto nas Figuras
1 e 2.
1
 Figura 1 — Viga isostática biapoiada com carregamento distribuído q em toda a viga.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
 Figura 2 — Deformação da viga após aplicação da carga distribuída q.
A tendência da estrutura de voltar à forma original devido à carga representa a elasticidade do material (da estrutura). Quanto
mais uma estrutura tende a voltar à sua forma original, mais elástico é seu material.
Toda a estrutura sofre uma deformação, mesmo que imperceptível. A maior parte da deformação é provocada pela �exão
(Momento Fletor). A deformação pode ser de dois tipos, vejamos.
Deformação elástica
Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer, ela se deforma, mudando a posição de seu eixo. A forma que a viga
toma é descrita pela sua elástica e pelas suas deformações.
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta à sua forma original, conforme pode ser visto
na Figura 4.
 Figura 4 — Deformação elástica. Após a retirada da carga distribuída a viga volta à forma inicial.
Os esforços normais e cortantes não dão muita deformação elástica. A �exão pura, sim. Logo, é o momento �etor que causa a
deforma na estrutura.
Quando a viga é �exionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo:
• uma de�exão (u) e
• uma rotação (q).
As deduções das fórmulas de deformações estão bem explicadas nas disciplinas de Resistência dos Materiais, logo, temos:
Deformação devido a uma rotação:
  = dθ
dx
M
E I
( )M
E×I
Deformação linear:
  =  
yd2
dx2
M
EI
A maioria dos projetos será tratada no regime elástico do material.
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas
Teorema dos trabalhos virtuais sobre corpos elásticos.
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual.
Comentário
Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetido a um conjunto de forças P tais que sua resultante R é nula.
Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento δ sem introdução de nenhuma força no sistema, ou seja, mantendo R
= 0.
Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do ponto, seria
necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Então, teremos,
este deslocamento δ, dado nestas condições (R = 0), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos de
deslocamento virtual.
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças P (reais), que atuam sobre o ponto m, quando ele sofre o deslocamento
virtual δ vale W = δ . R = 0. Dizemos, então, que, ‘para um ponto material em equilíbrio (R = 0), o trabalho virtual realizado pelo
sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é
nulo’, o que constitui o princípio de d’Alembert.
SUSSEKIND, v. 2, cap. 1., s/d.
i
i
Deformação linear — Principio dos trabalhos virtuais (PTV)
Diz-se virtual algo que não é real, imaginário, portanto. Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um
deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural.
O trabalho virtual pode ser considerado como aquele produzido em uma das duas situações:
Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual;
Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real.
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual o provocado por alguma outra
ação que não o sistema de carregamento em questão, atuante na estrutura.
Esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada, e o deslocamento
calculado tem que ser no ponto de aplicação e na direção da força.
O PFV utiliza um sistema auxiliar, chamado sistema virtual, completamente independente do
sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou uma rotação.
A aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à �exão
resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos �etores nos sistemas
real e virtual.
A Tabela Kurt Beyer mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em
uma barra.
Método da carga unitária (MCU)
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com
valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU).
O MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em
estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), sua formulação geral pode
ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não linear.
2
Pelo MCU, considera-se outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual
unitária P correspondente ao deslocamento provocado ∆.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
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Tem-se, pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, . O trabalho virtual nesse caso é devido a forças virtuais e
deslocamentos reais.
O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária, aplicada no ponto em que se deseja obter o deslocamento:
 
δ   =  δWext Wint
δ U =  P   Δ  = 1  ×  Δ  =  Δ
Assim:
△=  fedu  =    mdθ  +   qdλ  +   td∅∫
ext
∫
ext
∫
ext
∫
ext
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas anteriormente, na equação geral do MCU acima,
tem-se:
△=   dx  +     dx  +    fs dx  +     d∅∫
ext
fF
EA
∫
ext
mM
EI
∫
ext
vV
GA
∫
ext
tT
Gj
Exemplos de exercícios
O estudo dos Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) e do Método da Carga Unitária (MCU) será explicado detalhadamente por
meio do exemplo de exercício a seguir.
Exemplo 1
Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer trecho da viga. Figura 5.
Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h)
E = 3 x 10 kN/m7 2
 Figura 5 — Viga Isostática biapoiada de 4 metros de comprimento com carregamento distribuído de 20 kN/m
1º Passo: Calcular as reações de apoios da viga
Como a viga é simples não precisamos determinar as reações de apoio para desenhar o diagrama de momento �etor (a viga é
simétrica).
Lembrando-se de que para calcular a deformação por esse método, que é a multiplicação dos momentos �etores, temos que
desenhar momentos �etores para o caso real e virtual.
2º Passo: Após achar as reações de apoio, desenhar o diagrama de momento
�etor
Sabemos que nos apoios o momento é zero e com uma carga distribuída de 20 kN/m, temos um momento �etor de ql2/8 no
meio da viga. Como pode ser visto na Figura 6.
 Figura 6 — Diagrama de MomentoFletor. Sistema Real M=q l28=20× 428=40 kNm
3º Passo: calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais
Para calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais, na mesma viga (tirando a carga real) colocando uma força (virtual) de valor
de P = 1 kN (método da carga unitária), no ponto onde queremos saber a deformação linear (no exemplo será no meio da viga) e
desenhar o diagrama de momento �etor da viga (Figura 7)
 Figura 7 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema virtual
M   =   =   = 1kNmPab
l
1 x 2 x 2
4
4º Passo: Equações da Deformação
Para estruturas compostas por barras retas de inércias constantes, a fórmula da deformação:
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EI 
Deformação será a combinação dos diagramas de momentos �etores (real e virtual) ao longo do comprimento (x), dividido pelo
produto de rigidez à �exão (E I). Obteremos por um simples uso da Tabela de Kurt Beyer, simpli�cando muito o trabalho numérico
dos problemas a solucionar.
5º Passo: Calcular a σ
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EI
A multiplicação dos dois momentos �etores, o de carga distribuída com o de carga concentrada, lembrando-se de que os dois
momentos são positivos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
13L'1 +   ∝ βL2MM  
Ao usar a Tabela de Kurt Beyer, vemos a equação da multiplicação dos dois momentos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
 L' (1 + )M1
3
αβ
L2
M̄̄̄
 Figura 8 — Tabela de Kurt Beyer (4ª coluna com a 10ª linha)
Ao colocarmos a fórmula na integral da deformação, temos:
δ = [ L'(1 + )M ]1
EI
1
3
αβ
L2
M̄̄̄
Onde:
L' = 4m (comprimento da viga)
a = 2m (comprimento do lado esquerdo da carga pontual)
b = 2m (comprimento do lado direito da carga pontual)
M = 40kNm
M = 1kNm
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
δ = [ x4x(1 + )1 ]1
EI
1
3
2x2
42
x40
δ =  x 1
EI
200
3
Onde:
I = bh /12 = 0,0170667m
E = 3 x 10 kN/m
E I = 512000kNm
Temos a deformação no meio da viga de:
O resultado da deformação deu positivo, logo signi�ca dizer que a deformação é para baixo, conforme está aplicada a força de
1kN.
Na Figura 9 temos o resultado da deformação dessa viga pelo programa Ftool (no meia da viga). Observa-se que o resultado deu
Dy = -1,302 e-4m.
3 4
7 2
2
δ = 0, 0001302 m ↓
 Figura 9 — Resultado do Programa Ftool. Deformação Dy = -1,302 e-004m
E por �m, na Figura 10 segue a Tabela de Kurt Beyer.
 Figura 10 — Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg <https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg>
Saiba mais
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
Esse conhecimento não se esgota por aqui. Para saber mais sobre outros exemplos desta construção acesse a leitura Exemplo
de Exercícios <galeria/aula1/anexo/doc01.pdf> .
Atividade
1. Calcular a deformação na seção A. Considerar EI = 63800 kN/m .2
2. Calcular a deformação na seção C. Considerar E = 2.0e+07kN/m2 e a seção da viga = 0,30 x 0,50m.
3. Calcular a deformação no meio do pórtico (2,50m). Considerar EI = 1.0e+08kN/m2.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
4. Calcular o deslocamento vertical no meio do vão da viga biapoiada.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m6 2
5. Calcular a deformação no meio do vão da viga (seção S). Considerar 5208,33kNm2.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m6 2
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Referências
CELSA, Cleusa Gimenes. Organização de eventos: manual para planejamento e execução. 9. ed. São Paulo: Summus, 2009.
COUTINHO, Helen Rita Menezes. Organização de eventos: Centro de Educação Tecnológica do Amazonas, 2010.
MATIAS, Marlene. Organização de eventos. Procedimentos e técnicas. 5. ed. Barueri (SP): Manole, 2010.
MEIRELLES, Gilda Fleury. Eventos: seu negócio, seu sucesso. Brasil: IBRADEP, 2003.
SEBRAE — Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas. Guia prático de eventos gastronômicos: saiba como
idealizar o seu. Brasília, 2016.
Próxima aula
Método das Forças;
As reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Explore mais
Aprimore seus conheceimentos. Acesse:
CADTEC. Centro Avançado de Desenvolvimento Tecnológico e Ensino da Computação Grá�ca. Departamento de Engenharia
de Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Análise Estrutural I. Disponível em
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
MARTHA, Luiz Fernando. Soluções fundamentais. Disponível em:
//coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf
<//coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
PROFWILLIAN. Exercícios – Hiperestática – Método da Carga Unitária. Disponível em:
//www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf <//www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf> . Acesso em: 03 dez.
2018.
______. Hiperestástica. Disponível em: //www.profwillian.com/estruturas/ <//www.profwillian.com/estruturas/> . Acesso em:
03 dez. 2018.
Método da Carga Unitária. Cálculo de deslocamento em vigas isostáticas – Lista de Exercícios. Disponível em:
//www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf <//www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf> . Acesso
em: 03 dez. 2018.
SILVA, Isaac N. L. Mecânica do contínuo. Método dos trabalhos virtuais. Disponível em:
//www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf
<//www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
Vídeos
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação linear - Princípio dos Trabalhos Virtuais #ISO.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE <https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação por rotação e De�exão da viga 03 - parte 01/02.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM <https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação por rotação e De�exão da viga 03 - parte 02/02.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE <https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas Isostáticas - Deformação por rotação e De�exão de uma viga (ISO 12) #ISO.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA <https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf
https://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/
https://www.profwillian.com/estruturas/
https://www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdfhttps://www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf
https://www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf
https://www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE
https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE
https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM
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https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE
https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE
https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA
https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 1: Isostática
Apresentação
A análise estrutural é a fase do projeto na qual é feita a idealização do comportamento da estrutura. Nesta aula,
apresentaremos o método de análise para calcular as deformações em estruturas isostáticas.
Reconheceremos o Método da Carga Unitária e o Método do Princípio dos Trabalhos Virtuais, por meio de suas duas
formulações — Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais. O objetivo é dar subsídios para os
Métodos das Forças e o Método dos Deslocamentos. A capacidade de uma estrutura de resistir às solicitações que lhe são
impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura quando o carregamento for excessivo. É necessário reconhecer esta
capacidade para que se projete com segurança.
Objetivos
Aplicar o princípio dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos;
Reconhecer o Método da Carga Unitária.
Resistência dos materiais — Relembrando alguns conceitos
básicos
Este item é para relembrar o conceito de deformação estudado em Resistência dos Materiais, como pode ser visto nas Figuras
1 e 2.
1
 Figura 1 — Viga isostática biapoiada com carregamento distribuído q em toda a viga.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
 Figura 2 — Deformação da viga após aplicação da carga distribuída q.
A tendência da estrutura de voltar à forma original devido à carga representa a elasticidade do material (da estrutura). Quanto
mais uma estrutura tende a voltar à sua forma original, mais elástico é seu material.
Toda a estrutura sofre uma deformação, mesmo que imperceptível. A maior parte da deformação é provocada pela �exão
(Momento Fletor). A deformação pode ser de dois tipos, vejamos.
Deformação elástica
Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer, ela se deforma, mudando a posição de seu eixo. A forma que a viga
toma é descrita pela sua elástica e pelas suas deformações.
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta à sua forma original, conforme pode ser visto
na Figura 4.
 Figura 4 — Deformação elástica. Após a retirada da carga distribuída a viga volta à forma inicial.
Os esforços normais e cortantes não dão muita deformação elástica. A �exão pura, sim. Logo, é o momento �etor que causa a
deforma na estrutura.
Quando a viga é �exionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo:
• uma de�exão (u) e
• uma rotação (q).
As deduções das fórmulas de deformações estão bem explicadas nas disciplinas de Resistência dos Materiais, logo, temos:
Deformação devido a uma rotação:
  = dθ
dx
M
E I
( )M
E×I
Deformação linear:
  =  
yd2
dx2
M
EI
A maioria dos projetos será tratada no regime elástico do material.
Cálculo de deformações em estruturas isostáticas
Teorema dos trabalhos virtuais sobre corpos elásticos.
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual.
Comentário
Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetido a um conjunto de forças P tais que sua resultante R é nula.
Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento δ sem introdução de nenhuma força no sistema, ou seja, mantendo R
= 0.
Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do ponto, seria
necessária a introdução de uma nova força ao sistema, que possibilitasse este deslocamento (real) do ponto m. Então, teremos,
este deslocamento δ, dado nestas condições (R = 0), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos de
deslocamento virtual.
O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças P (reais), que atuam sobre o ponto m, quando ele sofre o deslocamento
virtual δ vale W = δ . R = 0. Dizemos, então, que, ‘para um ponto material em equilíbrio (R = 0), o trabalho virtual realizado pelo
sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é
nulo’, o que constitui o princípio de d’Alembert.
SUSSEKIND, v. 2, cap. 1., s/d.
i
i
Deformação linear — Principio dos trabalhos virtuais (PTV)
Diz-se virtual algo que não é real, imaginário, portanto. Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um
deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural.
O trabalho virtual pode ser considerado como aquele produzido em uma das duas situações:
Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual;
Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real.
Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual o provocado por alguma outra
ação que não o sistema de carregamento em questão, atuante na estrutura.
Esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada, e o deslocamento
calculado tem que ser no ponto de aplicação e na direção da força.
O PFV utiliza um sistema auxiliar, chamado sistema virtual, completamente independente do
sistema real, sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou uma rotação.
A aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à �exão
resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos �etores nos sistemas
real e virtual.
A Tabela Kurt Beyer mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em
uma barra.
Método da carga unitária (MCU)
A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com
valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU).
O MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em
estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), sua formulação geral pode
ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não linear.
2
Pelo MCU, considera-se outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual
unitária P correspondente ao deslocamento provocado ∆.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/aula1.html
Tem-se, pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, . O trabalho virtual nesse caso é devido a forças virtuais e
deslocamentos reais.
O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária, aplicada no ponto em que se deseja obter o deslocamento:
 
δ   =  δWext Wint
δ U =  P   Δ  = 1  ×  Δ  =  Δ
Assim:
△=  fedu  =    mdθ  +   qdλ  +   td∅∫
ext
∫
ext
∫
ext
∫
ext
Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas anteriormente, na equação geral do MCU acima,
tem-se:
△=   dx  +     dx  +    fs dx  +     d∅∫
ext
fF
EA
∫
ext
mM
EI
∫
ext
vV
GA
∫
ext
tT
Gj
Exemplos de exercícios
O estudo dos Princípios dos Trabalhos Virtuais (PTV) e do Método da Carga Unitária (MCU) será explicado detalhadamente por
meio do exemplo de exercício a seguir.
Exemplo 1
Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer trecho da viga. Figura 5.
Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h)
E = 3 x 10 kN/m7 2
 Figura 5 — Viga Isostática biapoiada de 4 metros de comprimento com carregamento distribuído de 20 kN/m
1º Passo: Calcular as reações de apoios da viga
Como a viga é simples não precisamos determinaras reações de apoio para desenhar o diagrama de momento �etor (a viga é
simétrica).
Lembrando-se de que para calcular a deformação por esse método, que é a multiplicação dos momentos �etores, temos que
desenhar momentos �etores para o caso real e virtual.
2º Passo: Após achar as reações de apoio, desenhar o diagrama de momento
�etor
Sabemos que nos apoios o momento é zero e com uma carga distribuída de 20 kN/m, temos um momento �etor de ql2/8 no
meio da viga. Como pode ser visto na Figura 6.
 Figura 6 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema Real M=q l28=20× 428=40 kNm
3º Passo: calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais
Para calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais, na mesma viga (tirando a carga real) colocando uma força (virtual) de valor
de P = 1 kN (método da carga unitária), no ponto onde queremos saber a deformação linear (no exemplo será no meio da viga) e
desenhar o diagrama de momento �etor da viga (Figura 7)
 Figura 7 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema virtual
M   =   =   = 1kNmPab
l
1 x 2 x 2
4
4º Passo: Equações da Deformação
Para estruturas compostas por barras retas de inércias constantes, a fórmula da deformação:
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EI 
Deformação será a combinação dos diagramas de momentos �etores (real e virtual) ao longo do comprimento (x), dividido pelo
produto de rigidez à �exão (E I). Obteremos por um simples uso da Tabela de Kurt Beyer, simpli�cando muito o trabalho numérico
dos problemas a solucionar.
5º Passo: Calcular a σ
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EI
A multiplicação dos dois momentos �etores, o de carga distribuída com o de carga concentrada, lembrando-se de que os dois
momentos são positivos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
13L'1 +   ∝ βL2MM  
Ao usar a Tabela de Kurt Beyer, vemos a equação da multiplicação dos dois momentos.
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8):
 L' (1 + )M1
3
αβ
L2
M̄̄̄
 Figura 8 — Tabela de Kurt Beyer (4ª coluna com a 10ª linha)
Ao colocarmos a fórmula na integral da deformação, temos:
δ = [ L'(1 + )M ]1
EI
1
3
αβ
L2
M̄̄̄
Onde:
L' = 4m (comprimento da viga)
a = 2m (comprimento do lado esquerdo da carga pontual)
b = 2m (comprimento do lado direito da carga pontual)
M = 40kNm
M = 1kNm
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
δ = [ x4x(1 + )1 ]1
EI
1
3
2x2
42
x40
δ =  x 1
EI
200
3
Onde:
I = bh /12 = 0,0170667m
E = 3 x 10 kN/m
E I = 512000kNm
Temos a deformação no meio da viga de:
O resultado da deformação deu positivo, logo signi�ca dizer que a deformação é para baixo, conforme está aplicada a força de
1kN.
Na Figura 9 temos o resultado da deformação dessa viga pelo programa Ftool (no meia da viga). Observa-se que o resultado deu
Dy = -1,302 e-4m.
3 4
7 2
2
δ = 0, 0001302 m ↓
 Figura 9 — Resultado do Programa Ftool. Deformação Dy = -1,302 e-004m
E por �m, na Figura 10 segue a Tabela de Kurt Beyer.
 Figura 10 — Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg <https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg>
Saiba mais
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
Esse conhecimento não se esgota por aqui. Para saber mais sobre outros exemplos desta construção acesse a leitura Exemplo
de Exercícios <galeria/aula1/anexo/doc01.pdf> .
Atividade
1. Calcular a deformação na seção A. Considerar EI = 63800 kN/m .2
2. Calcular a deformação na seção C. Considerar E = 2.0e+07kN/m2 e a seção da viga = 0,30 x 0,50m.
3. Calcular a deformação no meio do pórtico (2,50m). Considerar EI = 1.0e+08kN/m2.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula1/anexo/doc01.pdf
4. Calcular o deslocamento vertical no meio do vão da viga biapoiada.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m6 2
5. Calcular a deformação no meio do vão da viga (seção S). Considerar 5208,33kNm2.
Dados:
Seção da viga: 250mm x 500mm (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m6 2
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Referências
CELSA, Cleusa Gimenes. Organização de eventos: manual para planejamento e execução. 9. ed. São Paulo: Summus, 2009.
COUTINHO, Helen Rita Menezes. Organização de eventos: Centro de Educação Tecnológica do Amazonas, 2010.
MATIAS, Marlene. Organização de eventos. Procedimentos e técnicas. 5. ed. Barueri (SP): Manole, 2010.
MEIRELLES, Gilda Fleury. Eventos: seu negócio, seu sucesso. Brasil: IBRADEP, 2003.
SEBRAE — Serviço Brasileiro de Apoio às Micro e Pequenas Empresas. Guia prático de eventos gastronômicos: saiba como
idealizar o seu. Brasília, 2016.
Próxima aula
Método das Forças;
As reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
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Aprimore seus conheceimentos. Acesse:
CADTEC. Centro Avançado de Desenvolvimento Tecnológico e Ensino da Computação Grá�ca. Departamento de Engenharia
de Estruturas. Escola de Engenharia da UFMG. Análise Estrutural I. Disponível em
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
MARTHA, Luiz Fernando. Soluções fundamentais. Disponível em:
//coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf
<//coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
PROFWILLIAN. Exercícios – Hiperestática – Método da Carga Unitária. Disponível em:
//www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf <//www.profwillian.com/estruturas/HiperMCU.pdf> . Acesso em: 03 dez.
2018.
______. Hiperestástica. Disponível em: //www.profwillian.com/estruturas/ <//www.profwillian.com/estruturas/> . Acesso em:
03 dez. 2018.
Método da Carga Unitária. Cálculo de deslocamento em vigas isostáticas – Lista de Exercícios. Disponível em:
//www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf <//www.profwillian.com/estruturas/MCU_Lista_Vigas.pdf> . Acesso
em: 03 dez. 2018.
SILVA, Isaac N. L. Mecânica do contínuo. Método dos trabalhos virtuais. Disponível em:
//www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf
<//www.politecnica.pucrs.br/~isaac/MEC_CONT_arquivos/MTV.pdf> . Acesso em: 03 dez. 2018.
Vídeos
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação linear - Princípio dos Trabalhos Virtuais #ISO.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE <https://www.youtube.com/watch?v=IayFfMqD6uE> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação por rotação e De�exão da viga 03 - parte 01/02.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM <https://www.youtube.com/watch?v=5Qi1x5ZaKuM> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas isostáticas - Deformação por rotação e De�exão da viga 03 - parte 02/02.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE <https://www.youtube.com/watch?v=iVGr99dhOXE> .
Acesso em: 03 dez. 2018.
AMOR pela engenharia. Natália Keila. Estruturas Isostáticas - Deformação por rotação e De�exão de uma viga (ISO 12) #ISO.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA <https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA> .Acesso em: 03 dez. 2018.
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https://www.youtube.com/watch?v=wzCy0Ux80RA
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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 2: Método das Forças
Apresentação
A partir desta aula começaremos a sedimentar e ampliar os conceitos da estática das estruturas, analisando sistemas
hiperestáticos por meio dos métodos clássicos (forças e deslocamentos), para introduzir o estudo de análise matricial de
estruturas.
Nesta aula apresentaremos o Método das Forças (um dos clássicos) utilizado para análise de estruturas hiperestáticas.
Objetivos
Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Forças.
Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Método das Forças;
Estabelecer os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o Método das Forças.
Teoria das estruturas I – Relembrando alguns conceitos básicos
Antes de mais nada, vamos relembrar...
Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações de apoio é superior ao de equações da estática
, portanto, essas equações somente são insu�cientes para a determinação das
reações de apoio.
(� X  =  0;   � Y   =  0 e  �M   =  0)
A determinação das reações de apoio que atuam nessas
estruturas são, geralmente, calculadas pelo Método das
Forças ou pelo Método dos Deslocamentos:
• No Método das Forças, as variáveis são os esforços;
• No método dos deslocamentos, as deformações.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações de apoio excedentes àquelas necessárias
para o seu equilíbrio.
Relembrando, como calcular o grau de hiperestaticidade, a �m de descobrir se a estrutura é restringida? Usando umas das
fórmulas existentes na literatura. A fórmula a seguir, foi tirada do autor Sussekind (s/d):
G = G + G
G = I – E – R
G = 3 x N
Onde:
G ➔ grau hiperestático das estrututas;
G ➔ grau hiperestático externo;
G ➔ grau hiperestático interno;
I ➔ o número de reações de apoio (incógnita) da estrutura;
E ➔ as equações fundamentais da estática
R ➔ as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos liberados;
3 ➔ o número de esforços liberados (V, H e M ) no corte;
N ➔ o número de cortes.
e i
e
i
e
i
( Fx  = 0;   Fy  = 0;   M   = 0)∑ ∑ ∑
⇩
Observação:
G = 0 ➔ estruturas isostáticas;
G > 0 ➔ estruturas hiperestáticas;
G < 0 ➔ estruturas hipostáticas (sem
equilíbrio).
Método das forças
A metodologia utilizada pelo Método das Forças (também conhecido como Método da Flexibilidade e Método dos Esforços) para
analisar uma estrutura hiperestática, é:
1
Usar uma estrutura auxiliar isostática
(não haverá nenhuma alteração do
ponto de vista estático, se mantemos os
mesmos vínculos), chamada de Sistema
Principal, que é obtida da estrutura
original (hiperestática) pela eliminação
de vínculos;
2
Somar uma série de soluções básicas (chamadas de estados)
que satisfazem às condições de equilíbrio.
Essa eliminação de vínculos pode ser impedimentos de apoio ou vínculos de continuidade interna, e os deslocamentos e as
rotações são sempre calculados nas direções dos vínculos eliminados.
A Figura 1 demostra a passagem do pórtico I (hiperestático) para o pórtico II (isostático), observa-se que não houve nenhuma
alteração no ponto de vista estático. Rompeu-se a quantidade de vínculos (os engastes) que se transformou em apoio de 1º e 2º
gêneros, introduzindo no local os esforços X1, X2 e X3.
 Figura 1 – Pórtico I (hiperestático) e pórtico II (isostático, chamado de Sistema Principal)
Nenhuma alteração ocorreu ao adotar a estrutura isostática (pórtico II), foram aplicados os esforços quanto ao grau de
hiperestaticidade. Assim, a determinação de X1, X2 e X3 implicará na resolução da estrutura.
Quando rompido um vínculo é aplicado um esforço. No sistema principal serão liberadas deformações que não existem e assim a
solução exige que os deslocamentos provocados pelos hiperestáticos sejam nulos.
No caso acima, temos:
Rotação para X2 e X3;
Translação para X1.
Com uma equação para cada descolamento nulo, o problema será resolver o sistema nxn.
Será utilizado o princípio da superposição dos efeitos, separando o carregamento externo e os hiperestáticos.
O primeiro índice é o local e o segundo a causa:
 ➔ translação de
X1;
 ➔ rotação de X2;
 ➔ rotação de X3.
δ10  +  δ11 X1  +  δ12 X2  +  δ13 X3  =  0  
δ20  +  δ21 X1  +  δ22 X2  +  δ23 X3  =  0  
δ30  +  δ31 X1  +  δ32 X2  +  δ33 X3  =  0  
A solução do sistema fornece o valor de Xi.
Na hora de escolher um sistema principal isostático há in�nitos, e o mais lógico é procurar um sistema que forneça diagramas de
momento �etores mais simples possíveis.
Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças será
explicada detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Nos exemplos a seguir, a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exercício 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura
2.
Dados:
Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h);
E = 1 x 10 kN/m .8 2
 Figura 2 – Viga com carregamento distribuído de 30 kN/m
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – R
G = 3 – 2 – 0 = 1 ➔ estrutura hiperistática que desejamos resolver
(X1).
e
e
Logo o sistema será:
δ10  +  δ11 X1  =  0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Rompemos uma quantidade de vínculos tal (no caso, 1) que transformasse a estrutura hiperestática em isostática. Para preservar
a compatibilidade estática, introduzimos os esforços (no caso, X1, X2, X3,...) existentes nos vínculos rompidos, que continuam
sendo as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução da estrutura.
Arbitramos um valor qualquer para cada um dos hiperestáticos (X1, X2, X3,...), por simplicidade, arbitramos valores unitários (=1).
Para esse exemplo temos três modelos de sistema principal (estrutura isostática), como pode ser visto na Figura 3.
Lembrando que na hora de escolher um sistema principal o mais lógico é procurar um
sistema isostático que forneça diagramas de momento �etores mais simples possíveis.
 Figura 3 – Exemplos de três tipos de sistema principal (isostático).
Para o nosso exercício vamos adotar o primeiro exemplo, colocando x no balanço direito, conforme a Figura 4.
 Figura 4 – Esse será o nosso Sistema Principal.
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
Para usar a Tabela de Kurt Beyer (estruturas compostas por barras retas com inércia constante) devemos calcular o comprimento
elástico das barras. A deformação devido ao trabalho à �exão vale:δ
δ = ∫ dxMM̄̄̄̄
EJ
Sendo J uma inércia arbitrária, chamada de inércia de comparação (usualmente é arbitrada igual à menor das inércias das
barras), temos:
c
E δ = ∑ ( ∫ MM)dxJc  JcJbarra ∫barra
Chamamos de comprimento elástico (L’) da barra i, que é o comprimento �ctício de uma barra de inércia J , que nos dá a mesma
deformação da barra de comprimento Li e inércia J . Usamos afórmula indicada por Sussekind (s/d) para calcular L’:
c
i
L' = L Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra que está estudando.
Calcula-se o momento de inércia das barras.
As barras possuem as mesmas seções, logo elas têm as mesmas inércias.
J = bh /12 = 0,0170667m
Calcula-se o comprimento elástico (L’) de cada barra:
3 4
Barra 1 ➔ L’ = 3*0,0170667/0,0170667 = 3m
Barra 2 ➔ L’ = 5*0,0170667/0,0170667 = 5m
4º Passo: Estado 0 (só carga)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento �etor (M0) com as cargas externas.
5º Passo: Estado 1 (só X1)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento �etor (M1) com a carga de 1kN no X1 (no hiperestático).
6º Passo: Calculando dos E J 
Faz-se a multiplicação dos dois momentos �etores, de cada barra. Usamos a Tabela de Kurt Beyer e vemos a equação da
multiplicação dos dois momentos.
Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 0:
c δ
δ10
E     =   x Jc δ10 M1 M0
Barra 1: L’ de 3m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).
Olhando a tabela, temos:
Triângulo com triângulo e ql /8 com triângulo.
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a primeira equação, e na segunda coluna com a quinta.
Encontraremos a segunda equação, logo temos:
2
 L'MM  +    L'Mm  1
3
1
3
M̄̄̄
Onde:
L’ = 3 m (comprimento da barra 1)
M = -375 kNm (momento �etor da parábola 2º grau)
M = 5 kNm (momento �etor do triangulo)
M = 33,75 kNm (momento �etor do ql /8)
Substituindo os valores, temos:
2
x 3 x (−375)  x 5 +   x 3 x 5 x 33, 75 =   − 1706, 25 1
3
1
3
2: L’ de 5m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).
Olhando a tabela, temos:
Parábola do 2º grau com triângulo.
Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação:
 L'M  1
4
M̄̄̄
Onde:
L’ = 5m (comprimento da barra 2);
M = -375kNm (momento �etor da parábola 2º grau);
M = 5kNm (momento �etor do triângulo).
Substituindo os valores, temos:
 x 5 x (−375)  x  5 =   − 2343, 751
4
E     = −4050Jc δ10
Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 1:
δ11
E   =  x Jc δ11 M1  M1
Como existe essa �gura na tabela, não precisamos fazer por barras. Usamos direto (barra 1 + barra 2).
Ao olharmos a tabela, encontramos na última coluna com a última linha a equação:
L'M  1
3
M̄̄̄
Onde:
L’ = 8m (comprimento de toda a viga);
M = 5kNm (momento �etor do triângulo);
M = 5kNm (momento �etor do triângulo).
Substituindo os valores, temos:
 x 8 x 5 x 5 =  66, 671 
3
7º Passo: Sistema
Montar o sistema para acha r X1.
Se deu positivo, signi�ca que o sentido de X1 está correto, para cima.
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor que achamos em X1 (60,75 kN), conforme mostra a Figura 5.
δ10  +  δ11 X1  =  0
−4050  +  66, 67 X1  =  0
X1  =  60, 75kN
 Figura 5 – Viga com o valor de X1
Calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes (diagramas �nais), conforme a Figura 6.
 Figura 6 – Reação de apoio após achar X1
 Figura 7 – Diagrama de esforços cortantes
 Figura 8 – Diagrama de momento fletor
Exercício 2
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a
Figura 9.
Dados:
Valores de inércia: Nos pilares J = 1 e na viga J = 2.
E = 1 x 108 kN/m2
 Figura 9 – Pórtico com carregamento distribuído de 20kN/m
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – R => G = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, desejamos resolver (X1 e X2). Logo, nosso sistema será:
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Indicar X1 e X2, conforme a Figura 10.
e e
δ10  +  δ11 X1  +  δ12 X2  =  0
δ20  +  δ21 X1  +  δ22 X2  =  0
 Figura 10 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
L' = L  Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra em estudo.
4º Passo: Estado 0 (só carga)
Cargas externas, conforme pode ser visto na Figura 11.
 Figura 11 – Diagrama de momento fletor (M0), com o Sistema Principal
5º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 12.
 Figura 12 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1
6º Passo: Estado 2 (só X2)
Carga de 1kN no X2 (no hiperestático), Figura 13.
 Figura 13 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2
7º Passo: Calcular as E J :
Usamos a Tabela de Kurt Beyer.
c δ
δ10
=   x δ10 M1 M0
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (-360 kNm) x retângulo (6kNm).
L' MM =  3 X 6 X (−360) =   − 6480 
Barra 2: L’ de 3 m com par. 2º grau (-360 kNm) x triângulo (6kNm).
 L' M =     X 3 X 6 X(−360) =   − 16201
4
M̄̄̄ 1
4
Barra 3 = 0
= −8100δ10
δ11
=  x δ11 M1  M1
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (6kNm) x retângulo (6kNm).
 L' MM =  3 x 6 x 6 =  180 
Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x triângulo (6kNm).
 L'M =   x 3 x 6 x 6 =  361
3
M̄̄̄  1 
3
= 144δ11
δ12  =  δ21
=   =   x δ12 δ21 M1 M2
Barra 1: L’ de 3 m com triângulo (-3kNm) x retângulo (6kNm).
L' M =    x 3 x (−3)  x 6 =   − 271 
2
M̄̄̄ 1 
2
Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x retângulo (-3kNm).
L' M =    x 3 x (−3)  x 6 =   − 271 
2
M̄̄̄ 1 
2
Barra 3 = 0
= = −54δ12 δ21
= 2700δ20
Barra 1: L’ de 3m com triângulo (-3kNm) x triângulo (-3kNm).
 L' M =     x 3 x(−3)   x(−3) =  91
3
M̄̄̄ 1
3
Barra 2: L’ de 3m com retângulo (-3kNm) x retângulo (-3kNm).
L' M   = 3 x(−3)   x(−3) =  27M̄̄̄
Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
 L' M =    x 3 x 3 x 3 =  91
3
M̄̄̄ 1
3
= 45δ22
8º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
-8100 + 144 X1 - 54 X2 = 0
2700 - 54 X1 + 45 X2 = 0
Resolvendo:
X1 = 60,36kN
X2 = 13,64kN
Se deu positivo, signi�ca que o sentido de X1 e X2 estão corretos.
δ10  +  δ11 X1  +  δ12 X2  =  0
δ20  +  δ21 X1  +  δ22 X2  =  0
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura
14.
 Figura 14 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2
Agora calculamos as reações de apoio (Figura 15) e desenhamos os diagramas solicitantes.
 Figura 15 – Estrutura original (hiperestática) com as reações de apoios
Diagrama solicitantes:
 Figura 16 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 17 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 18 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Saiba Mais
Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos <galeria/aula2/anexo/doc1.pdf> .
Atividade
1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas hiperestáticas abaixo. Desenhar os diagramas de esforços internos. EI =
100000MPa.
2. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.).
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Referências
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula2/anexo/doc1.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula2/anexo/doc1.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 7. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural.v. 2. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
Próxima aula
Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas (temperatura e recalque no apoio);
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas (temperatura e recalque no apoio).Explore mais
Aprimore seus conheceimentos. Acesse:
MARTHA, Luiz Fernando. Exemplo de solução pelo Método das Forças. Disponível em://webserver2.tecgraf.puc-
rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf <//webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf> . Acesso em:
04 dez. 2018.
MELLO, Talles. Método das forças (�exibilidade ou compatibilidade). Disponível em://www.tallesmello.com.br/wp-
content/uploads/2017/03/Metodo-das-Forças.pdf <//www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo-das-
Forças.pdf> . Acesso em: 04 dez. 2018.
UNIVERSIDADE Federal de Santa Maria. Método das forças. Disponível
em://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdf
<//coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdf> . Acesso em: 04 dez. 2018.
Vídeos
CANAL Rafael Ensina. Viga hiperestática - Método das forças. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
v=OInBFZ0J76k <https://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k> . Acesso em: 04 dez. 2018.
Passo a passo de como usar o Ftool:
GUIA do engenheiro. Aprenda usar o FTOOL em 10 minutos! Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g
<https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g> . Acesso em: 04 dez. 2018.
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf
https://www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo-das-For%C3%A7as.pdf
https://www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo-das-For%C3%A7as.pdf
https://www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo-das-For%C3%A7as.pdf
https://www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo-das-For%C3%A7as.pdf
https://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdf
https://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k
https://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k
https://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k
https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g
https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 3: Método das Forças – Temperatura & Recalque
nos apoios
Apresentação
Nesta aula veremos que a variação de temperatura (d ) e/ou os recalques de apoios (d ) provocam deformações e
esforços internos em estruturas hiperestáticas. Usaremos o Método das Forças para resolver essa estrutura.
Em uma estrutura isostática as variações de temperatura e recalque só acarretam deformações da estrutura, sem gerar
esforços internos; já nas hiperestáticas, as vinculações adicionais impediriam esse deslocamento livre, gerando esforços
internos e reações diferentes de zero.
iT ir
Objetivos
Resolver estruturas hiperestáticas devido a variações de temperaturas (d ) e/ou recalques de apoios (d ), usando o
Método das Forças;
Traçar os diagramas solicitantes devido a variações de temperaturas (d ) e/ou recalques de apoios (d ).
iT ir
iT ir
Variação de temperatura & recalques de apoio
No caso de querermos resolver uma estrutura hiperestática para uma variação de temperatura e/ou para recalques de apoios,
teremos tão somente que substituir (ou somar) os d (deformações, no estado zero – só carga) por d e/ou d .i0 iT ir
Temperatura
A variação de temperatura provoca deformação e esforços internos em estrutura hiperestática. As solicitações térmicas são de
grande importância para o dimensionamento de uma estrutura.
Vejamos a seguir a fórmula para calcular a variação de temperatura:
= E [  Ami  + α tg Ani]δiT Jc α ΔTh
Onde:
E ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material;
J ➔c
Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma inércia arbitrária,
chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras));
a ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material;
h ➔ Altura da seção transversal;
Dt ➔
ti – te
ti = temperatura nas �bras internas,
te = temperatura nas �bras externas.
tg ➔ Variação de temperatura no centroide da seção transversal.
Tg = (te + ti) / 2
Ami ➔ Área do diagrama do momento �etor (DMF);
Ani ➔ Área do diagrama do esforço normal (DEN).
Recalques de apoios
A solicitação de recalque de apoio é semelhante à de variação de temperatura, cujo o apoio sofra um recalque conhecido,
indicado na estrutura. Se quisermos calcular a estrutura, temos:
= −E [ Ripi]  =   − E [ (Mpm  +  V pv  +  Hph)]δiT Jc ∑ Jc ∑
Onde:
E ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material;
J ➔c
Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma inércia arbitrária,
chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras));
r ➔ recalques;
Será explicado detalhadamente pelos exercícios resolvidos a seguir.
Exercícios resolvidos
Nestes exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
Seção da viga de 6m de comprimento (barra 1): 20cm x 50cm (b x h).
Seção da viga de 8m de comprimento (barra 2): 40cm x 80cm (b x h).
E = 8 x 10 kN/m
a = 10 /°C
6 2
-5
 Figura 1 – Viga com temperatura externa de -16ºC e temperatura interna de 8ºC
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – R
G = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vez hiperistática que desejamos resolver (X1 e X2).
Logo o sistema será:
e
e
d1t + d11 X1 + d12 X2 = 0
d2t + d21 X1 + d22 X2 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1 e X2,
conforme a Figura 2.
 Figura 2 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
= LL′
Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = menor momento de inércia de toda a estrutura;Altura da seção transversal;
Calculando o momento de inércia das barras:
J =viga barra1 bh /12 = 0,2 x 0,5 /12 = 0,002083m3 3 4
J =viga barra2 bh /12 = 0,4 x 0,8 /12 = 0,017067m3 3 4
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔ L’ = 6 x 0,002083/0,002083 = 6m1
Barra 2➔ L’ = 8 x 0,002083/0,017067 = 0,9764m2
4º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 3.
 Figura 3 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1
5º Passo: Estado 2 (só X2)
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento �etor com a carga de 1kN no X2 (no hiperestático),
Figura 4.
 Figura 4 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2
6º Passo: Calcular as E J d
Fazemos a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra, usando a Tabela de Kurt Beyer.
Barra 1: L’ de 6m com triangulo (6kNm) x triângulo (6kNm).
c
=  x δ11 M1 M1
L' M   =  x 6 x 6 x 6 = 721
3
M̄̄̄̄ 1
3
Barra 2: L’ de 0,9764m com trapézio (6kNm a 14kNm) x trapézio (6kNm a 14kNm).
x L' [   (2 x MA  + MB)  +  (2 x MB  +  MA) ]1
6
MA¯ ¯¯̄ ¯̄ MB¯ ¯¯̄ ¯̄
x 0, 9764[  (2 x 6  + 14)  + (2 x 14  +  6) ]  = 102, 851
6
6 ¯̄̄ 14 ¯ ¯¯̄
=δ11 174,85
d12 = d21
Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 2:
  =   =  x   δ12 δ21 M1 M2
Barra 1 = 0;
Barra 2: L’ de 0,9764m com trapézio (6kNm a 14kNm) x triângulo (8kNm).
= x L' x M  x (MA  + 2MB)1
6
= x 0, 9764 x 8 x (6  + 2 x 14)  = 44, 261
6
  =     = 44, 26δ12 δ12
d22
Multiplicar o momento �etor do Estado 2 com o momento �etor do Estado 2:
  =    x δ22 M2 M2
Barra 1 = 0;
Barra 2: L’ de 0,9764m com triângulo (8kNm) x triângulo (8kNm).
L'M = x 0, 9764x8x8  =  20, 831
3
M̄̄̄̄ 1
3
= 20, 83δ22δ1t
Temperatura para o estado 1.
= E  [  Ami  +  a tg Ani]δ1T Jc aΔTh
Δt = 8 – (-16) = 24ºC
Am = 18m2 (barra1) + 80m2 (barra2)
[𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 → esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal.
h = 0,5m
h = 0,8m
barra1
barra2
Barra 1:
= 8x x0, 002083 [  x18] = 143, 98δ1T 106 x2410
−5
0,5
Barra 2:
= 8x x0, 002083 [  x80] = 399, 94δ1T 106 x2410
−5
0,8
= 543, 92δ1T
d2t
Temperatura para o estado 2.
= E  [  Ami  +  a tg Ani]δ1T Jc aΔTh
Δt = 8 – (-16) = 24ºC
Am = 0 m2 (barra1)+ 32m2 (barra2)
[ ] = 0 esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal.
h barra1 = 0,5m
h barra2 = 0,8m
Barra 1= 0
Barra 2:
δ2T=8x106 x 0,002083 x 10-5 x 240,8 x 32=159,97
δ2T=159,97
7º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
d1t + d11 X1 + d12 X2 = 0
d2t + d21 X1 + d22 X2 = 0
543,92 + 174,85 X1 + 44,26 X2 = 0
159,97 – 44,26 X1 + 20,83 X2 = 0
Resolvendo:
X1 = -2,53kN
X2 = -2,31kN
deu negativo, signi�ca que o sentido de X1 e X2 está contrário (é para baixo).
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura 5.
 Figura 5 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2
Agora calculamos as reações de apoio (Figura 6 e Figura 7) e desenhamos os diagramas solicitantes.
 Figura 6 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 7 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Exemplo 2
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 8.
Dados:
Temperatura externa (Te) = 35ºC
Temperatura interna (Ti) = 10ºC
Seção da viga: 20cm x 40cm (b x h)
Seção dos pilares: 20cm x 30cm (b x h)
E = 3000MPa
a = 10 /°C-5 
 Figura 8 – Pórtico com temperatura externa de 35ºC e temperatura interna de 10ºC
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga:
Ge = I – E – R
Ge = 4 – 3 – 0 = 1 estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1).
Logo o sistema será:
d1t + d11 X1 = 0
2º Passo: Sistema Principal (S.P.)
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para facilitar os cálculos e indicar X1, conforme a
Figura 9.
J =
 Figura 9 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras
O comprimento elástico das barras:
L' = L
Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = menor momento de inércia de toda a estrutura;Altura da seção transversal;
Calculando o momento de inércia das barras:
PILAR bh /12 = 0,2 x 0,3 /12 = 0,00045m
3 3 4
J =VIGA bh /12 = 0,2 x 0,4 /12 = 0,001067m3 3 4
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔ L’ = 3 x 0,00045/0,00045 = 3m1
Barra 2 ➔ L’ = 6 x 0,00045/0,001067 = 2,53m2
Barra 3 ➔ L’ = 3 x 0,00045/0,00045 = 3m3
4º Passo: Estado 1 (só X1)
Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 10 e Figura 11.
 Figura 10 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1.
A área do diagrama de momento �etor é de: (4,5m ; 18m ; 4,5m ).2 2 2
 Figura 11 – Diagrama de esforço normal (DEN), com a carga de 1kN no X1.
A área do diagrama de esforço normal é de 6m2.
5º Passo: Calcular as E Jc d
Fazemos a multiplicação dos momentos �etores, de cada barra, usando a Tabela de Kurt Beyer.
δ11
= xδ11 M1 N1
Barra 1: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
= xδ11 M1 N1
Barra 2: L’ de 2,53m com retângulo (3kNm) x retângulo (3kNm).
L'M = 2, 53x3x3 = 22, 77M̄̄̄̄
Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm).
L'M = x3x3x3 = 91
3
M̄̄̄̄ 1
3
= 40, 77δ11
d1t
Temperatura para o estado 1.
Δt = 10 – 35 = -25ºC
Tg = (te +ti) / 2 = (35 + 10) / 2 = 22,5ºC
h = 0,
h = 0,4m
= E [ Ami + a tg Ani]δ1T Jc aΔth
pilar
viga
= 3x [ x(−25) x ( + + )] + x22, 5x(−6)δ1T 107 10−5 −180,4
−4,5
0,8
−4,5
0,3 10
−5
= 234, 90δ1T
6º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
d1t + d11 X1 = 0
234,90 + 40,77 X1 = 0
Resolvendo:
X1 = -5,76kN
Se deu negativo, signi�ca que o sentido de X1 está no sentido contrário (é para outro lado).
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor de X1, conforme a Figura 12.
 Figura 12 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1
Após colocar o valor de X1, calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes:
 Figura 13 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática)
 Figura 14 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática)  Figura 15 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática)
Saiba mais
Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos. <galeria/aula3/anexo/doc1.pdf>
Atividade
1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas abaixo e desenhar os diagramas de esforços internos. EI = 100000MPa. Te =
25ºC e Ti = 10ºC. a = 10-5/ºC.
2. Recalque nos apoios A e B de rV = 2 cm (para baixo).
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula3/anexo/doc1.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula3/anexo/doc1.pdf
3. Recalque no apoio A rV = 3cm (para baixo).
Notas
4. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.).
A Tabela de Kurt Beyer, na Figura 49.
 Figura 49 – Fonte: https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
Notas
Referências
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 7. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 2. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
Próxima aula
Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Para aprimorar seus conhecimentos acesse:
Para aprimorar seus conhecimentos acesse:
Método das forças. Exemplos de aplicação em vigas. <https://ecivilufes.�les.wordpress.com/2011/04/mc3a9todo-das-
forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas.pdf>
Análise das estruturas II. 1º semestre. <//webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-012.pdf>
Análise das estruturas II. 2º semestre. <//webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-041.pdf>
Aprenda usar o FTOOL em 10 minutos! <https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g>
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/mc3a9todo-das-forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas.pdf
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/mc3a9todo-das-forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas.pdf
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/mc3a9todo-das-forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas.pdf
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/mc3a9todo-das-forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas.pdf
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/mc3a9todo-das-forc3a7as-exemplo-de-aplicac3a7c3a3o-em-vigas.pdf
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-012.pdf
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-012.pdf
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-041.pdf
https://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127p1-041.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g
https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 4: Método do Deslocamento (Método da
Deformação)
Apresentação
Na segunda e terceira aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças. Outra maneira de
calcular uma estrutura hiperestática é pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
No método das forças, as incógnitas do problema hiperestático eram esforços simples (reação de apoio e/ou rótulas
colocadas) que quando determinados, permitiam o conhecimento imediato dos diagramas de esforços solicitantes para a
estrutura em estudo (SUSSEKIND, s./d.).
Pelo Método da Deformação a resolução da estrutura hiperestática será abordada inversamente, isto é, determinando-se
primeiro as deformaçõessofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os
diagramas de esforços solicitantes da estrutura.
Objetivos
Compreender um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Deformações;
Calcular uma estrutura hiperestática com o método das deformações;
Traçar os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o método das deformações.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método
da rigidez)
 Fórmula matemática em notebook (Fonte: Shutterstock)
Por ser amplamente utilizado em programações automáticas, é o mais importante de análise de estruturas. Nele as incógnitas
são os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares sofridos pelos nós das diversas barras.
Em seu cálculo, serão desprezadas as deformações das barras que compõem a estrutura devido a esforços normais e também a
esforços cortantes, não se constituindo em nenhum erro especial peculiar ao método pois, também no estudo do Método das
Forças, foi usual desprezar essas deformações (a não ser no caso de peças trabalhando basicamente ao esforço normal: barras
de treliças, escoras, tirantes, arcos, pilares esbeltos, peças protendidas em geral etc.) quando do cálculo dos (SUSSEKIND, s./d.).
Número de incógnitas – deslocabilidade interna e externa
Deslocabilidade interna (di) ∎ placa
O número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui. Não se coloca
placa no �m da estrutura (lá, o momento �etor é 0).
Vejamos o cálculo do número de deslocabilidades internas no pórtico abaixo (Figura 1).
 Figura 1 – Pórtico com 2 placas (duas deslocabilidade internas).
Cálculo do número de deslocabilidaddes internas no pórtico:
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre deformação;
Nó B ➔ precisa de placa, para saber a rotação em B;
Nó C ➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em C (não há deslocabilidade interna a considerar);
Nó D ➔ precisa de placa, para saber a rotação em D;
Nó E ➔ não precisa de placa (nó extremo), esse trecho de E até F é isostático;
Logo, di = 2
Conclui-se que o número de incógnitas do pórtico é igual a 2, números de
nós internos (não rotulados) da estrutura. Dizemos que o número de
deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações de
nós que precisamos conhecer para poder resolvê-la.
Saiba mais
Fique atento aos seguintes fatos:
Nas estruturas espaciais existem componentes de rotação em torno de 3 eixos ortogonais, logo, o número de
deslocabilidades internas é igual ao triplo de nós rígidos que a estrutura possui;
No caso de grelhas, existem componentes de rotação em torno dos 2 eixos que contém a grelha, logo, o número de
deslocabilidades internas é igual ao dobro do número de nós internos rígidos.
Deslocabilidade Externa (de) ▲ (apoio de 1º gênero)
Cálculo do número de deslocabilidades externa e interna no pórtico abaixo (Figura 2).
 Figura 2 – Pórtico com 3 placas e 3 apoios adicionais.
Cálculo do número de deslocabilidades internas e externa no pórtico:
Nó A ➔ não precisa de placa, pois o engaste não sofre
deformação;
Nó B ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º
gênero não há deslocabilidade interna. Há um
deslocamento horizontal em B;
Nó C ➔ não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º
gênero não há deslocabilidade interna. Não precisa de
apoio adicional, não há deslocamento linear em C;
Nó D ➔ precisa de placa, para saber a rotação em D.
Precisa de apoio adicional, há deslocamento linear (na
horizontal) em D;
Nó E ➔ precisa de placa, para saber a rotação em E. Não
precisa de apoio adicional, pois há um apoio adicional
em D;
Nó F ➔ não precisa de placa, pois há uma rótula em F
(não há deslocabilidade interna a considerar para saber
a rotação em F). Não precisa de apoio adicional, pois há
um apoio adicional em D;
Nó G ➔ precisa de placa, para saber a rotação em G.
Precisa de apoio adicional, há deslocamento linear
(inclinado) em G;
⇩
Logo,
di = 3
de = 3
Conclui-se que o número de incógnitas do pórtico é igual a 6, números de
nós internos (não rotulados) da estrutura = 3 e números de nós externos
(deslocamento linear) da estrutura = 3.
Número total de Deslocabilidades (d)
Como as incógnitas do problema são as rotações rígidas da estrutura (di) e os deslocamentos lineares independentes de seus
nós (de), dizemos que o número total de deslocabilidade (d) de uma estrutura é a soma de (di + de).
É importante estar atento aos seguintes itens:
Estrutura indeslocáveis ➔ de = 0
Estrutura deslocáveis ➔ de ≠ 0
O número de incógnitas do sistema será d.
Vamos ver agora como obter o número total de deslocabilidades para as estruturas planas abaixo:
A)
Resposta: d = 4
B)
Resposta: d = 2
C)
Resposta: d = 1
D)
Resposta: d = 3
E)
Resposta: d = 3
Grandezas fundamentais
 Estudante de física (Fonte: Shutterstock)
Para a determinação dos diagramas de momento �etores atuantes numa barra de uma estrutura hiperestática, precisamos
conhecer, além do diagrama de momento �etores que teria z barra se fosse biengastada ou engastada e rotulada para
carregamento externo atuante, e facilmente tabelável para os carregamentos usuais da prática (Tabela 1)
<galeria/aula4/anexo/doc2.pdf> (SUSSEKIND, s./d.).
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula4/anexo/doc2.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula4/anexo/doc2.pdf
Rigidez de uma barra
Denominamos rigidez de um nó ao valor do momento que, aplicado nesse nó, supostamente livre para girar, provoca uma rotação
unitária do mesmo.
a) Barra biengastada:
Seja a barra biengastada AB cuja rigidez está no nó A. Trata-se de determinar o Momento MA que deve ser aplicado em A para
produzir a rotação φ =  1
Supondo a barra com inércia constante J e módulo de elasticidade E, a obtenção do diagrama de momentos �etores pode ser
feita pelo processo de Mohr. Temos:
=    e  =  MA
  4 E J
l
ME
  2 E J
l
Onde:
E = módulo de elasticidade;
J = momento de inércia;
L = comprimento da barra
Resumindo:
para uma barra biengastada, de inércia constante, temos rigidez em um nó: K = 4EJ/l ou
trabalhando com rigidez relativa para uma barra biengastada, de inércia e módulo de elasticidade (E) constantes, podemos
usar a fórmula reduzida de rigidez em um nó: K = 60/l. Onde é J/J (momento de inércia da barra / menor momento de
inércia de toda a estrutura).
α α c
a) Convenção de sinais que serão adotados no método das deformações:
Consiste em chamar de positivos aos momentos, e de rotação aos extremos das barras quando os momentos tiverem o sentido
anti-horário.
Atenção
Não existe nenhuma relação entre esta convenção de sinais e a convenção às vezes adotada na estática, chamar de positivos
aos momentos �etores que tracionam suas �bras inferiores e de negativos em caso contrário.
Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Exercícios resolvidos
Veja agora alguns exemplos de exercícios importantes.
Aqui (nos exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 3.
Dados:
J = 0,01 m (para o trecho AD)
J = 0,006 m (para o trecho DE)
E = 2,1 x 107 kN/m
4
4
2
 Figura 3 – Viga hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar
nomes nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperestática sem o balanço e com as cargas de 50 kN e (50 x 3 = 150) KNm de
momento �etor (Figura 4).
 Figura 4 – Sistema principal para calcular a viga hiperestática pelo método da deformação.
Colocar placa e apoio adicional:
d = 0 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
d = d + d = 1
Logo o sistema será:
e
i
e i
β10  +  β11 Δ1  =  0
2º Passo:Estado 0 (só carga):
Barra 1: apoio e engaste
Cálculo do momento �etor em D, usando a tabela de momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Terceira coluna:
Carga momento de 150 kNm.
=   −  ( − 1) =    =    = 75 kNmMD M2
3a2
l2
M
2
150
2
Carga pontual de 100 kN
=   −  (l + a) = − (8 + 3) = −128, 91 kNmMD Pab
2l2
100x3x5
2x82
Carga pontual de 50 kN ➔
=   −  (l + a) = − (8 + 0) = 0 kNmMD Pab
2l2
50x0x8
2x82
=   − 53, 91 kNmMD
Barra 2: engaste e apoio
Cálculo do momento �etor em D. Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 20 kN/m
=   + = =  90 kNmMD
ql2
8
20 x 62
8
Somando os momentos �etores da placa 1 ➔ β   =   − 53, 91  +  90  =  36, 09 kNm 10
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1):
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 2.
Barra 1: apoio e engaste
=    = =  78750 kNmKD
3EJ
l
3x2,1x   x 0,01107
8
Barra 2: engaste e apoio
=    = =  63000 kNmKD
3EJ
l
3x2,1x   x 0,06107
6
Somando-se os momentos �etores da placa 1 ➔   =  78750  +  63000  =  141750 kNmβ11
4º Passo: Sistema
5º Passo: Superposição
β10  +  β11 Δ1  =  0
36, 09  +  141750 Δ1  =  0
Δ1  =   − 2, 546x10−4
M   =  M0  +  M1 Δ1
=   − 53, 91 + 78750 x(−2, 546x )) =   − 73, 96 kNmMD1 10−4
=  90 + 63000 x(−2, 546x ) =  73, 96 kNmMD
2 10−4
= −50 x 3 = −150kNmMD
1
 Figura 5 – Viga com os valores de momentos fletores.
Calculando as reações de apoios da viga, tem-se:
 Figura 6 – Viga com as reações de apoios.
 Figura 7 – Viga com diagrama de esforços cortante (kN).
 Figura 8 – Viga com diagrama de momentos fletores (kNm).
Saiba mais
Acesse Exercícios resolvidos (exemplos) <galeria/aula4/anexo/doc3.pdf> para dar continuidade aos seus estudos sobre o
assunto e ampliar seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI =
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI =
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula4/anexo/doc3.pdf
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI =
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI =
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI =
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos. Dados: EI =
0,0001 kNm . ➔ (E = 1x10 kN/m x J = 1 mm )2 8 2 4
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Notas
Referências
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 10. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 3. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
Próxima aula
Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Para saber mais acesse:
https://www.youtube.com/watch?v=vzVJISTQOS0 <https://www.youtube.com/watch?v=vzVJISTQOS0> . Acesso em 22 jan.
2019.
https://www.youtube.com/watch?v=4OxpZs2kGiY <https://www.youtube.com/watch?v=4OxpZs2kGiY> . Acesso em 22 jan.
2019.
https://www.youtube.com/watch?v=eRfynt1xbU8 <https://www.youtube.com/watch?v=eRfynt1xbU8> . Acesso em 22 jan.
2019.
https://www.youtube.com/watch?v=MhISe60g4AI <https://www.youtube.com/watch?v=MhISe60g4AI> . Acesso em 22 jan.
2019.
https://www.youtube.com/watch?v=kvxSxs7EZQQ <https://www.youtube.com/watch?v=kvxSxs7EZQQ> . Acesso em 22 jan.
2019.
//www.profwillian.com/estruturas/Lista03-Hiperestatica-Metodo_dos_Deslocamentos.pdf
<//www.profwillian.com/estruturas/Lista03-Hiperestatica-Metodo_dos_Deslocamentos.pdf> . Acesso em 22 jan. 2019.
//www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Momentos_de_Engastamento_Perfeito.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=vzVJISTQOS0
https://www.youtube.com/watch?v=vzVJISTQOS0
https://www.youtube.com/watch?v=4OxpZs2kGiY
https://www.youtube.com/watch?v=4OxpZs2kGiY
https://www.youtube.com/watch?v=eRfynt1xbU8
https://www.youtube.com/watch?v=eRfynt1xbU8
https://www.youtube.com/watch?v=MhISe60g4AI
https://www.youtube.com/watch?v=MhISe60g4AI
https://www.youtube.com/watch?v=kvxSxs7EZQQ
https://www.youtube.com/watch?v=kvxSxs7EZQQ
https://www.profwillian.com/estruturas/Lista03-Hiperestatica-Metodo_dos_Deslocamentos.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/Lista03-Hiperestatica-Metodo_dos_Deslocamentos.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Momentos_de_Engastamento_Perfeito.pdf
p g p
<//www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Momentos_de_Engastamento_Perfeito.pdf> . Acesso em 22 jan. 2019.
//www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Tabela_de_Deformacao_Unitaria.pdf
<//www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Tabela_de_Deformacao_Unitaria.pdf> . Acesso em 22 jan. 2019.
//professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/lfm-cap06_método_dos_deslocamentos.pdf
<//professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/lfm-
cap06_método_dos_deslocamentos.pdf> . Acesso em 22 jan. 2019.
https://ecivilufes.�les.wordpress.com/2011/04/anc3a1lise-estrutural-apostilaecv5220.pdf
<https://ecivilufes.�les.wordpress.com/2011/04/anc3a1lise-estrutural-apostilaecv5220.pdf> . Acesso em 22 jan. 2019.
https://www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Momentos_de_Engastamento_Perfeito.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Momentos_de_Engastamento_Perfeito.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Tabela_de_Deformacao_Unitaria.pdf
https://www.profwillian.com/estruturas/tabelas/Tabela_de_Deformacao_Unitaria.pdf
https://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/lfm-cap06_m%C3%A9todo_dos_deslocamentos.pdf
https://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/lfm-cap06_m%C3%A9todo_dos_deslocamentos.pdf
https://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/3922/material/lfm-cap06_m%C3%A9todo_dos_deslocamentos.pdf
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/anc3a1lise-estrutural-apostilaecv5220.pdf
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/04/anc3a1lise-estrutural-apostilaecv5220.pdf
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 5: Método do Deslocamento (Método da
Deformação)
Apresentação
Na quarta aula, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método da Deformação (método do deslocamento).
Nesta aula, continuaremos a compreender como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Deformações,
usando apoio adicional.
Objetivos
Resolver estruturas hiperestáticas usando o método das deformações (apoio adicional);
Calcular uma estrutura hiperestática usando o método da deformação;
Traçar os diagramas solicitantes dessa estrutura hiperestática.
Método das Deformações (método do deslocamento ou método
da rigidez)
 Cálculos para engenharia (Fonte: Dragon Images / Shutterstock)
Explicaremos detalhadamente,pelos exercícios a seguir, como calcular uma estrutura hiperestática por esse método, com apoio
adicional.
Exercícios Resolvidos
Nestes exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
 Acesso a dados no notebook (Fonte: TADAphotographer / Shutterstock)
Exemplo 1
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
E J = 1
 Figura 1 – Pórtico hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S.P.):
No sistema principal, temos que calcular o número total de deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar os
nomes nas barras, nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
 Figura 2 – Sistema Principal (colocando as placas e o apoio adicional), nomes nas barras e nos apoios.
Nó A ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois em apoio de 1º e 2º gênero não há
deslocabilidade interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC).
Nó B ➔ precisa de placa para saber a rotação em B, e precisa de apoio adicional, pois há deslocamento horizontal nessa barra
(AC).
Nó C ➔ não precisa de placa (extremidade da estrutura o momento é zero), pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade
interna. Há deslocamento horizontal nessa barra (AC), basta colocar um apoio adicional na barra AC.
Nó D ➔ não precisa de placa, já é um engaste e não há deslocamento linear.
Colocar placa e apoio adicional:
d = 1 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
d = d + d = 2
Logo o sistema será:
e
i
e i
β10  +  β11 Δ1  +  β12 Δ2  =  0
β20  +  β21 Δ1  +  β22 Δ2  =  0
Calcular o momento �etor em B, usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Segunda coluna:
Carga distribuída de 40kN/m
=   + =   =  245kNmMB
(q )l2
8
40 x 72
8
Barra 3: engaste e engaste
Essa barra não tem carga, logo M = 0B
=  0kNmMB
Somando os momentos �etores:
Placa 1 ➔ 
Apoio adicional 2 ➔ 
  =   − 33, 75  +  240  +  0  =  211, 25kNmβ10
  =  0kNmβ20
, por que não tem carga horizontal e nem momento �etor para fazer deslocamento na viga (em C), para esta fase.
Logo, .
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa ):
Rotacionando a placa 1, trabalho com as barras 1, 2 e 3.
  =  0b20
  =  0b20
1  =>  Δ1
Barra 1: apoio e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
=    = =  7, 5kNmKB
45
l
45
6
Barra 2: engaste e apoio
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
=    = =  6, 43kNmKB
45
l
45
7
Barra 2: engaste e engaste
Trabalhando com a rigidez relativa no nó:
=    = =  20kNmKB
60
l
60
3
=    = =  10kNmKD
30
l
30
3
Somando os momentos �etores:
Placa 1 ➔ 
Apoio adicional ➔ 
  =  7, 5  +  4, 43  +  20  =  33, 93kNmβ11
b   =  (20 + 10) / 3  =  10kN 21
4º Passo: Estado 2 (deslocamento do apoio adicional => Δ2):
Dando um deslocamento em Δ2 ao apoio 2, teremos o aparecimento de deslocamento ortogonal para a barra 3, permanecendo
horizontal as barras 1 e 2.
Teremos os seguintes momentos de engastamento perfeito devido a esse deslocamento:
=   =      =   =  100 kNmMD MB
900
l2
900
32
Somando os momentos �etores:
Placa 1 ➔ 
Apoio adicional ➔ 
β   =  0  +  100  +  0  =  100kNm 12
β   =  (100 + 100) / 3  =  66, 67kN 22
5º Passo: Sistema
β10  + β11 Δ1  +  β12 Δ2  =  0
β20  +  β21 Δ1  +  β22 Δ2  =  0
211, 25  +  33, 93 Δ1  +  100 Δ2  =  0
0  +  10 Δ1  +  66, 67 Δ2  =  0
Δ1  =   − 11, 1591
Δ2  =  1, 6738
6º Passo: Superposição
M   =  M0  +  M1 Δ1  +  M2 Δ2
=   − 33, 75 + 7, 5 x(−11, 1591) + 0 x (1, 6738) =   − 117, 25kNmMB1
=  245 + 6, 43 x(−11, 1591) + 0 x (1, 6738) =  173, 25kNmMB2
=  0 + 20 x(−11, 1591) + 100 x (1, 6738) =   − 55, 80kNmMB3
 Figura 3 – Pórtico com os valores da reação de apoio e diagramas de momento fletores.
 Figura 4 – Diagrama de esforços normais (kN)..
Saiba mais
Você encontrará a obtenção de diagrama de momento �etor e as reações de apoio do pórtico abaixo e do diagrama de momento
�etor do pórtico abaixo em Exercícios resolvidos (exemplos) <galeria/aula5/anexo/doc01.pdf> . Dessa forma, você dará
continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliará seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
2. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula5/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula5/anexo/doc01.pdf
3. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
4. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
5. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1
6. Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática, e desenhar os diagramas de esforços internos.
Dados: EI = 1.
7. Calcular os exercícios da aula do Método das Forças pelo Método da Deformação.
Notas
Deformação1
É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento.
Calcular deslocamentos2
Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita
a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: //cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
<//cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> )
Notas
Referências
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 10. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 3. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
Próxima aula
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
https://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf
Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Para saber mais acesse:
ENGENHARIA fácil. Método dos deslocamentos <https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk> .
https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk
https://www.youtube.com/watch?v=JKjcc6MrUQk
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 6: Processo de Cross (Método da Distribuição de
Momentos)
Apresentação
Nas aulas anteriores, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças e Método da Deformação.
Outra maneira de calcular uma estrutura hiperestática é pelo Processo de Cross (Método da Distribuição de Momentos).
Tal Processo é um método relativamente simples para o cálculo de momentos �etores em vigas contínuas, pórticos planos,
grelhas e até em pórticos espaciais.
Nesta aula, você aprenderá a calcular uma estrutura hiperestática pelo Processo de Cross.
Objetivos
Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Processo de Cross.
Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Processo de Cross;
Traçar os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o Processo de Cross.
Processo de Cross (Método da Distribuição de Momentos)
 Vigas (Fonte: Rachid Jalayanadeja / Shutterstock)

É um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores em vigas
contínuas, pórticos planos, grelhas e até em pórticos espaciais. Este processo é baseado
no Método dos Deslocamentos. Criado por Hardy Cross na década de 1930 ainda é
utilizado para o cálculo de estruturas.”
SUSSEKIND, s./d., v .3
O método desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução por aproximações sucessivas dos
sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação.
Depois da aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado é
bloqueado antesde passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos nós não provoque mais
rotações. Isto signi�ca que o estado de equilíbrio foi atingido.
Segundo Cross, a ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas resume-se a simples operações
aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três
problemas:
a determinação dos momentos de engastamento perfeito;
da rigidez de cada viga; e
do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração.
Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado que todos os nós da estrutura não
pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta
condição.
Para cada nó da estrutura, distribuem-se os momentos de engastamento perfeito desequilibrados entre os membros conectados
na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de
carga.

Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos
transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. Somam-se todos os
momentos das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento
verdadeiro. Para uma estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de
um nó, a solução é aproximada (Processo Iterativo).”
MORAES e ROVERE, 2005
O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande, porque possibilitou a solução manual de estruturas hiperestáticas em
um momento no qual estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns.
O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas, com alto grau de hiperestaticidade. A aplicação prática
do Processo de Cross diminuiu bastante, pois atualmente faz-se uso de programas de computador para a análise de estruturas,
que em geral utilizam o Método dos Deslocamentos (embora alguns programas usem o Processo de Cross como procedimento
de análise de vigas contínuas).

Apesar de o uso do Método da Distribuição de Momentos ter caído nas últimas décadas,
a sua apresentação tem um objetivo acadêmico, pois tem um apelo intuitivo muito forte
e, por isso, serve para uma melhor compreensão do comportamento à flexão de
estruturas reticuladas.”
MARTHA, s/d, cap. 12
Vejamos agora três conceitos importantes: Rigidez das Barras e Coe�cientes
de Transmissão, Convenção de sinais a o Coe�cientes de distribuição
Clique nos botões para ver as informações.
Já visto em Método da Deformação, vejamos agora em resumo. A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento
aplicado nesse nó capaz de provocar um giro unitário nesse nó.
a) Barra biengastada:
A rigidez da barra biengastada é dada por:
b) Barra engastada-rotulada:
A rigidez da barra engastada-rotulada é dada por:
Rigidez das Barras e Coe�cientes de Transmissão 
=        e   =   MA
4 E J
l
MB
2 E J
l
Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado positivo o momento que atua no nó
no sentido horário (mantendo a convenção de esforço positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário).
Convenção de sinais 
Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na �gura abaixo. O único grau de liberdade da estrutura é a rotação (j) do nó A.
Devido à atuação do binário M (�gura abaixo), as barras irão se deformar e os esforços internos nas extremidades serão
proporcional à rigidez das mesmas e à rotação sofrida pelo nó A.
Seja um momento “m” aplicado no nó A na estrutura abaixo. Assim, para girar o nó, o momento deve deformar todas as
barras ligadas ao nó A. (SUSSEKIND, s./d.)
O momento em cada barra.
Mas:
Somando, tem-se:
Substituindo o ângulo nas equações dos momentos, tem-se:
Adotando o coe�ciente de distribuição:
Coe�cientes de distribuição 
  =     +     +     +  MA m1 m2 m3 m4
 ∑     
  =    φM1 KA
1
  =    φM2 KA
2
=    φM3  KA
3
  =    φM4 KA
4
⎫
⎭
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
KA
M   =  φ (   +     +     +   )  =  φ KA1 KA2 KA3 KA4
φ  =  M/ ∑     KA
φ  
  =  (  / ∑S   ) m M1 KA1 KA
  =  (  / ∑    ) m  M2 KA2 KA
  =  (  / ∑  ) m M3 KA
3 KA
  =  (  / ∑    ) m M4 KA
4 KA
Os momentos serão obtidos por:
=    / ∑  dAi  KAi KA
  =    mmA
i dA
i
Atenção
A soma dos coef. de distribuição em um nó é igual à unidade.
∑     =  1dA
Número de incógnitas – deslocabilidade interna e externa
 Análise de planta (Fonte: Dragon Images / Shutterstock)
O cálculo do número de deslocabilidade é igual ao explicado na Aula 4 (Método da Deformação).
Saiba mais
Acesse a tabela 1 <galeria/aula6/anexo/doc02.pdf> – Momento de engastamento perfeito (viga com inércia constante).
Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Exercícios resolvidos
 Materiais de escritório (Fonte: ArthurStock / Shutterstock)
Nesses exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula6/anexo/doc02.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula6/anexo/doc02.pdf
J = 0,01 m (para o trecho AD)
J = 0,006 m (para o trecho DE)
E = 2,1 x 10 kN/m
4
4
7 2
 Figura 1 – Viga hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S. P.):
No sistema principal, temos que colocar as placas e o apoio adicional (caso precise) na estrutura hiperestática.
Colocar os nomes nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperestática sem o balanço e com as cargas de 50kN e (50 x 3 = 150) KNm de
momento �etor (Figura 2).
Colocar placa e apoio adicional:
d = 0 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
e
i
 Figura 2 – Sistema principal para calcular a viga hiperestática pelo método da deformação.
2º Passo: Momento de engaste perfeito (tabela 1):
Barra 1: apoio e engaste
Calcular o momento �etor em D usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Carga momento de 150kNm.
Carga pontual de 100kN
Carga pontual de 50kN ➜
Barra 2: engaste e apoio
=   − ( − 1) =    =    = 75kNmMD M 2
3a2
l2
M
2
150
2
=   −  (l + a) =   − (8 + 3) = −128, 91kNmMD Pab
2l2
100x3x5
2x  82
=   −  (l + a) =   −  (8 + 0) = 0 kNmMD Pab
2l2
50x0x8
2x82
Calcular o momento �etor em D usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Carga distribuída de 20kN/m
3º Passo: Rigidez nas barras
Barra 1: apoio e engaste
=   + =   =  90kNmMD
ql2
8
20 x 62
8
Barra 2: engaste e apoio
4º Passo: Distribuição
d  =  Ki / ∑  K
  =  78750 / 141750  =  0, 5556dB
1
  =  63000 / 141750  =  0, 4444dB
2
Atenção
O somatório dos di de cada placa é = 1 ➜ (0,5556 + 0,4444)
5º Passo: Processo de Cross
Para começar o processo de Cross:
1) Escolher uma placa ➜ placa 1
2) Somar os momentos dessa placa escolhida ➜ -53,91 + 90 = 36,09
3) Trocar o sinal ➜ - 36,09
4) Multiplicar pelo di ➜ - 36,09 x 0,5556 = -20,05
- 36,09 x 0,4444 = -16,04
1) Passar a metade para a extremidade da barra, caso a extremidade receba momento.
2) Ir para outra placa ➜ não tem outra placa, logo �naliza a viga somando os momentos �etores.
 Figura 3 – Viga com o Processo e Cross.
 Figura 4 – Viga com os valores dos momentos fletores.
 Figura 5 – Viga com as reações de apoios.
 Figura 7 – Viga com diagrama de momentos fletores (kNm).
Saiba mais
Acesse outros 8 Exercícios resolvidos (exemplos) <galeria/aula6/anexo/doc01.pdf> . Dessa forma, você dará continuidade aos
seus estudos sobre o assunto e ampliará seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à �exão
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
2. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internoscuja rigidez à �exão
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula6/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula6/anexo/doc01.pdf
3. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à �exão
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
4. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à �exão
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
5. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à �exão
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
6. Recalcular todas as estruturas da aula 1 e 2 pelo Processo de Cross.
NotasReferências
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 10. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
MORAES, Poliana Dias de e ROVERE, Henriette Lebre la. Análise Estrutural II. Santa Catariana: UFSC, 2005.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 3. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d.
Próxima aula
Cálculo das reações de apoio em estruturas hiperestáticas;
Os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas.
Explore mais
Para aprofundar seus conhecimentos, leia mais sobre:
Aula 01: Processo de Cross (passo a passo) <https://www.youtube.com/watch?v=jEGGQ76-thg> .
https://www.youtube.com/watch?v=jEGGQ76-thg
https://www.youtube.com/watch?v=jEGGQ76-thg
Aula 02: Processo de Cross (Exercício 1) <https://www.youtube.com/watch?v=44Dy1iTps9A> .
Processo de Cross parte 1 - Engenharia Fácil <https://www.youtube.com/watch?v=9LgsAQYgw7c> .
Teoria das Estruturas - Processo de Cross - AULA 02 <https://www.youtube.com/watch?v=mkPBldG9vds> .
https://www.youtube.com/watch?v=44Dy1iTps9A
https://www.youtube.com/watch?v=44Dy1iTps9A
https://www.youtube.com/watch?v=9LgsAQYgw7c
https://www.youtube.com/watch?v=9LgsAQYgw7c
https://www.youtube.com/watch?v=mkPBldG9vds
https://www.youtube.com/watch?v=mkPBldG9vds
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 7: Introdução ao Método Matricial
Apresentação
Os métodos de análise estrutural podem ser divididos em dois grupos: analíticos (clássicos) e numéricos (matricial). Na
formulação clássica, desenvolvem-se o método das forças, o método da deformação e o processo de Cross, visto até a aula
passada (da Aula 2 até a Aula 6).
Essa formulação é muito útil para compreender o comportamento da estrutura hiperestática. Importante também para a
análise crítica de resultados fornecidos por computador. Já na formulação matricial, a ênfase é a generalização, que veremos
a partir desta aula.
Nas últimas décadas houve mudanças nos métodos de análise estrutural usados na Engenharia por conta dos avanços dos
computadores (processadores). Os métodos matriciais fornecem uma linguagem matemática que podem resolver questões
complexas de estruturas por meio do computador.
Atualmente, todos os sistemas computacionais comerciais de análise de estruturas fazem uso do método da rigidez direta
(formulação matricial do método dos deslocamentos). Não se projetam mais estruturas com algum grau de complexidade
sem fazer uso desses sistemas.
Objetivos
Calcular um vetor (matriz) dos deslocamentos;
Calcular um vetor (matriz) das ações nodais;
Reconhecer a introdução aos métodos de rigidez e �exibilidade.
Introdução aos métodos matriciais
Antes de mais nada, você precisa possuir alguns conhecimentos fundamentais de álgebra matricial. Indicamos fazer uma revisão
do assunto para poder começar a estudar esta aula e as demais.
 Solda em estrutura metálica (Fonte: Shutterstock)
No �nal da Aula 10 faremos um resumo de álgebra matricial.
Comentário
Esta aula é toda baseada nas notas do professor Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho.
A análise matricial de estruturas é um tópico da disciplina de Teoria das Estruturas, na qual as equações que regem o problema a
resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de deformações,
dependendo do método utilizado (das forças ou dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais adequado para
implementação computacional.
 Fonte: Shutterstock
A formulação de um modelo matemático de elementos à estrutura contínua real é a análise matricial de estruturas. As operações
de álgebra matricial poderão ser realizadas por meio do modelo necessário para obtenção de números de graus de liberdade.
A Análise Matricial de Estruturas determina os deslocamentos, as reações e os esforços solicitantes de estruturas de barras, tais
como: vigas, vigas continuas, grelha, pórticos planos e espaciais. Modelando-as como um arranjo de elementos simples (barras),
unidos através de suas extremidades ou nós.
Os pontos de interseção são os nós de uma estrutura reticulada, assim como os pontos de apoio e as extremidades livres. A
estrutura sofrerá deslocamentos sob a forma de translações e rotações, quando estiver submetido a cargas em cada nó.
Os deslocamentos nodais serão identi�cados devido às condições colocadas nas
estruturas, por exemplo, no engaste não existe deslocamento nenhum. Os nós que não
são os apoios, possuirão deslocamentos que não são conhecidos e só podem ser
obtidos fazendo-se uma análise completa da estrutura. Esses deslocamentos nodais
são as quantidades cinemáticas indeterminadas do sistema estrutural. Esse número
representa o número de graus de liberdade da estrutura. Em alguma literatura chama-
se de grau de indeterminação cinemática.
Em uma estrutura, os apoios podem ser modelados como engaste, como na Figura 1, no apoio A. No apoio D modela-se um
apoio articulado, de 2° gênero. E apoios móveis (1º gênero) em B e C.
 Figura 1 – Esquema estrutural
Em uma estrutura reticulada as cargas podem ser modeladas como ações mecânicas externas, cargas concentradas, cargas
distribuídas e cargas momentos.
Nas estruturas onde os elementos são conectados por nós, a in�uência necessária entre os elementos livres é introduzida por
meio de forças e deslocamentos nos nós comuns. Em um sistema estrutural as forças de in�uência entre os elementos são
representadas por forças axiais e cortantes, e momentos �etores e torsores nos nós. Observe a Figura 2.
 Figura 2 – Estrutura integra
Se as estruturas forem isostáticas, as equações de equilíbrio estático são su�cientes para determinar todas as forças, todos os
momentos �etores e torsores nos nós. Já para as estruturas hiperestáticas as equações de equilíbrio estático não são su�cientes
para determinar todas as forças desconhecidas, logo devem ser complementadas com as equações de compatibilidade.
Ao formular as equações de equilíbrio, em termos dos deslocamentos, sempre haverá um número su�ciente de equações para
determinar os deslocamentos desconhecidos de de�exões e rotações.
Sistemas de coordenadas
Para identi�car e ordenar matricialmente as forças e os momentos (ações mecânicas) e os deslocamentos lineares e angulares,
existentes em uma estrutura montada ou uma estrutura contínua ou nas extremidades de um elemento, �ca imprescindível a
determinação de um sistema de coordenada arbitrária.
Na Figura 3, a estrutura é submetida a alguns carregamentos pontuais. Uma carga pontal de 2kN e outra de 5kN, e uma carga
momento de 3kNm. Escolheu-se inicialmente um sistema de coordenadas a �m de analisar os nós B, C e D. Como pode ser visto
na Figura 4.
 Figura 3 – Estrutura submetida a uns carregamentos.
⇩
 Figura 4 – Sistema de Coordenadas Arbitrário.
O vetor das ações nodais [R]:
Após aplicação das cargas (Figura 3), a estrutura se deformará e apresentará uma elasticidade, como pode ser visto na Figura 5.
R =
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢
−22  
 0   
55
− 33
⎤
⎦
⎥⎥
 Figura 5 – Deformações devidas ao carregamento nas coordenadas monitoradas.
Os vetores das ações e dos deslocamentos sempre terão quatro termos, mesmo que sejam nulos alguns. Sempreserão
enunciados na ordem em que as coordenadas estiverem numeradas.
Se quisermos montar um sistema de carregamento mais genérico, ou mesmo obter um maior número de deformações,
poderemos montar outro sistema de coordenadas. Veja a Figura 6.
A partir da Figura 6, o vetor (matriz) nodal [R] será:
O vetor nodal [R] será:
A Figura 7 representa os deslocamentos encontrados após todas as coordenadas monitoradas.
R =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
−22
0
0
0
− 55
0
0
0
− 33   
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
 Figura 7 – Deformações segundo o novo sistema de coordenadas.
O vetor dos deslocamentos:
Logo, quanto maior o número de coordenadas maior serão as respostas obtidas sobre o comportamento da estrutura. Também
será maior o custo computacional para resolver a estrutura.
R =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
0, 005
−0, 001
0, 002
0, 004
− 0, 002
− 0, 001
0, 004
− 0, 001
0, 003
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1
Coordenadas globais caracterizam-se
pelo sistema de coordenadas
apresentado até aqui.
2
Coordenadas locais referem-se ao sistema de coordenadas
referente aos elementos desmontados.
Um elemento de viga (barra), considerando forças transversais e desconsiderando forças normais poderia ter, inicialmente, quatro
coordenadas (Figura 8a). A existência de duas equações de equilíbrio possibilita apenas duas coordenadas, como pode-se ver na
Figura 8b e Figura 8c.
 Figura 8 – Sistemas de coordenadas para o elemento de viga.
Na Figura 3, as coordenadas locais do pórtico para a estrutura decomposta serão vistas na Figura 9. Não levando em
consideração as forças normais.
 Figura 9 – Sistema de coordenadas locais para a estrutura da Figura 3.
As cargas nas extremidades dos elementos consistem nos esforços existentes nos nós. Logo, o Vetor dos Esforços representa 8
coordenadas locais:
S =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Os deslocamentos em cada elemento podem ser escritos pelo Vetor das Deformações (deslocamentos locais):
S =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Para calcular uma estrutura por meio da discretização em elementos, será necessário montar dois sistemas de coordenadas:
1
Coordenadas Globais, para ações [R] e
deslocamentos [r] nodais da estrutura.
2
Coordenadas Locais, para os esforços [S] e deformações
(deslocamentos) [s] nos elementos da estrutura.
Introdução aos métodos de rigidez e �exibilidade
Relação entre ações e deslocamentos
Normalmente, a rigidez de um nó é conceituada como a força (ou o momento) exigida para produzir um deslocamento (ou uma
rotação) unitário no nó se o deslocamento for em todos os outros nós da estrutura.
 Figura 10 – Análise estrutural – Jack C. McCormac.
Com base na Figura 10, o relacionamento entre força aplicada P1 e o alongamento da mola 1 pode ser escrito como:
P1 = K 1
K é a constante da mola ou a força exigida para produzir um deslocamento unitário.
δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de �exibilidade, sendo o deslocamento por
unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de uma força de valor
unitário.
K = P se = 11 1
Se a constante da mola for conhecida, o deslocamento pode ser determinado para qualquer carga aplicada P .1
Logo,
kij ≡ Coe�ciente de rigidez: representa a ação (força) na direção i causada por um
deslocamento unitário na direção j (enquanto todos os outros deslocamentos são impostos
como nulos).
�j ≡ Coe�ciente de �exibilidade: representa o deslocamento na direção i causado por uma ação
(força) de valor unitário na direção j (enquanto todas as outras são nulas).
Força em função de deslocamentos
 Figura 12 – Coeficientes de rigidez em estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial: (a) - Sistema de coordenadas globais (1 e 2); (b) e (c) - Coeficientes de rigidez.
Ao conhecer R1 e R2 e força por unidade de deslocamento, os coe�cientes de rigidez (K11, K12, K21 e K22), queremos saber o
deslocamento (r1 e r2).
Sendo R1 Força aplicada na coordenada 1. Para se garantir o equilíbrio no nó, ela deve ser igual ao somatório das forças
(internas) na coordenada 1 resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura, ou seja:
R1  =  K11. r1  +  K12. r2
Da mesma forma para a coordenada 2, obtém-se:
R2  =  K21. r1  +  K22. r2
Reunindo as equações sob forma matricial, obtém-se ainda:
[ ]  = [ ]  [ ]  =   [R]  =   [K]  [r]R1
R2
K11
K21
K12
K22
r1
r2
Onde:
• [R] é o vetor das ações externas (solicitações);
• [r] é o vetor dos deslocamentos;
• [K] é matriz de rigidez da estrutura em estudo, de dimensões (2x2),
correspondente ao número de coordenadas utilizadas.
A matriz de rigidez é uma matriz de transformação linear, onde transforma o vetor
dos deslocamentos no vetor das ações.
Deslocamento em função das forças
Ao conhecer R1 e R2 e deslocamento por unidade de força, os coe�cientes de �exibilidade (f11, f12, f21 e f22), queremos saber o
deslocamento (r1 e r2).
No regime elástico-linear o deslocamento �nal na coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos devido às cargas
externas.
r1  =  f11. R1  +  f12. R2
Ao conhecer R1 e R2 e deslocamento por unidade de força, os coe�cientes de �exibilidade (f11, f12, f21 e f22), queremos saber o
deslocamento (r1 e r2).
No regime elástico-linear o deslocamento �nal na coordenada 1 será igual à soma dos deslocamentos ocorridos devido às cargas
externas.
r1  =  f11. R1  +  f12. R2
Fazendo para a coordenada 2:
r2  =  f21. R1  +  f22. R2
Logo, as equações sob forma matricial, são:
[ ]  =   [ ]  [ ]  = R [r]  =   [F]  [R]r1
r2
f11
f21
f12
f22
R1
R2
Onde:
[R] ➜ vetor das ações externas (solicitações);
[r] ➜ vetor dos deslocamentos;
[F] ➜ matriz de �exibilidade da estrutura com dimensões (2x2), correspondente ao
número de coordenadas utilizadas.
Referências
Você verá a seguir exemplos envolvendo as �guras trabalhadas com métodos matriciais
Exemplo 1
Para a estrutura da Figura 11, submetida a determinado carregamento, escolheu-se inicialmente o sistema de coordenadas
apresentado na Figura 12, a �m de assinalar as solicitações nos nós B, C e D.
 Figura 12 – Estrutura submetida a um dado carregamento.
 Figura 13 – Sistema de Coordenadas Arbitrário.
Logo, tem-se as coordenadas, e quando a estrutura for submetida às cargas, o vetor (matriz) nodal [R] será:
R =  
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢
−12  
0
15
− 13 
⎤
⎦
⎥⎥
Exemplo 2
Ao se aplicar o carregamento indicado (Figura 11), a estrutura se deformará, apresentando uma elástica, conforme aponta a
Figura 13.
A partir da Figura 13, qual será o vetor (matriz) dos deslocamentos:
 Figura 14 – Deformações devidas ao carregamento nas coordenadas monitoradas - Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho.
Logo, o vetor (matriz) de deslocamento [r] será:
r =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
0, 006 
0, 003  
−0, 002  
0, 004
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
Exemplo 3
Ao se desejar representar um sistema de carregamentos mais genérico, ou mesmo obter um maior número de deformações do
domínio da estrutura, poderemos estabelecer outro sistema de coordenadas, conforme Figura 14.
A partir da Figura 14, o vetor (matriz) nodal [R] será:
 Figura 15 – Sistema de coordenadas alternativo. - Notas de Aula - Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho.
Logo, o vetor (matriz) nodal [R] será:
r =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
−12  
0
0
0
−15
0
0
0
−13
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Exemplo 4
Diante dos deslocamentos indicados (Figura 15), a estrutura se deformará, apresentando uma elástica.
A partir da Figura 15, qual será o vetor (matriz) dos deslocamentos:
 Figura 16 – Deformações segundo o novo sistema de coordenadas.
Logo, o vetor (matriz) de deslocamento [r] será:
r =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0, 005
−0, 001   
0, 002 
0, 004
−0, 002
−0, 001
0, 004
−0, 001
0, 001 
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Atividades
1. Obter o vetor nodal da estrutura abaixo:
2. Obter o vetor nodal da estrutura abaixo com o maior número de deformações do domínio da estrutura:
3. Obter o vetor dos deslocamentos da estrutura abaixo.
NotasReferências
ARAGÃO Filho, Luiz A. C. Moniz de. Notas de aula. Disponível em: //aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
<//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> . Acesso em: 27 fev. 2019.
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 9. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 22. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas – formulação matricial. cap. 1. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, s/d.
Próxima aula
Matriz de Flexibilidade e Matriz de Rigidez;
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
Calculo das reações de apoio usando a Matriz de Rigidez;
Calculo das reações de apoio usando a Matriz de Flexibilidade.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, acesse:
//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/ <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/> .
//aquarius.ime.eb.br/~moniz/ <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/> .
Leia:
MCCORMAC, J. C. Análise estrutural. Cidade: LTC, 2009. cap. 22.
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 8: Matrizes Flexibilidade e Rigidez
Apresentação
Esta aula será a continuação da Aula 7, pois aqui vamos calcular as reações de apoio usando as matrizes de �exibilidade e
rigidez.
Serão apresentados os coe�cientes de rigidez locais, os princípios dos deslocamentos virtuais, a matriz de rigidez local no
sistema global e a estrutura composta por duas hastes com solicitação axial.
Objetivos
Calcular reação de apoio a uma estrutura hiperestática aplicando a matriz de �exibilidade;
Calcular reação de apoio a uma estrutura hiperestática aplicando a matriz de rigidez.
Introdução ao método da �exibilidade e do método da rigidez
 Equações da física (Fonte: Shutterstock)
O método da �exibilidade (também conhecido como método das forças) determina um conjunto de reações Ou esforços
seccionais superabundantes ao equilíbrio estático de uma estrutura hiperestática, permitindo que as outras reações ou esforços
seccionais sejam calculados com as leis da estática. É o método das forças apresentado em forma matricial.

Uma superposição de soluções faz com que o método da rigidez tenha uma
discretização do comportamento contínuo de uma estrutura. Os que formam a base do
processo de discretização do método da rigidez direta são as configurações deformadas
de barras isoladas; são as soluções fundamentais para o método.
MARTHA, s./d., cap. 5
Há dois tipos de soluções fundamentais de barras isoladas, segundo Martha (s./d., cap. 5):
1
Coe�cientes de rigidez locais
2
Correspondem força e momento que
devem atuar nas extremidades de uma
barra para equilibrá-la quando são
impostos, isoladamente, deslocamentos
ou rotações unitárias nas suas
extremidades.
Reações de engastamento perfeito de uma barra isolada
provocadas por solicitações externas
As reações de apoio para uma barra com as extremidades
engastadas resultantes da aplicação de uma solicitação
externa.
Os tipos de solicitações externas são forças concentradas, momentos concentrados, forças distribuídas e variação de
temperatura.
Nesta aula, são deduzidos coe�cientes de rigidez locais para barras com seção transversal que não variam ao longo do seu
comprimento. As propriedades de materiais, de comprimento de barra e geométricas de seção transversal, utilizadas pelas
soluções fundamentais de rigidez, são:
E ➜ módulo de elasticidade do material [F/L ];
L ➜ comprimento de uma barra [L];
A ➜ área da seção transversal [L ];
I ➜ momento de inércia à �exão da seção transversal [L ];
Jt ➜ momento de inércia à torção da seção transversal [L ].
2
2
4
4
Coe�cientes de rigidez locais
São momentos e forças que devem atuar nas barra isolada, suas extremidades, para equilibrá-la quando é imposto um
deslocamento (ou rotação) unitário, em uma das suas extremidades (Figura 1).
 Figura 1 – Viga biapoiada com deslocamento nos nós. Fonte: McCORMAC, s./d.
Os momentos M e M nas extremidades produzem as rotações � e � naquelas extremidades. Usando o procedimento do
método das inclinações, nessas expressões, k é igual a I/L, o denominado coe�ciente de rigidez.
1 2 1 2
=  2EK(2 +  ) = +   M1 θ1 θ2 4EIL  θ1
2EI
L 
θ2
=  2EK( + 2  ) = +   M2 θ2 θ2 2EIL  θ1
4EI
L 
θ2
Em forma matricial, temos:
[ ]  =   [ ]  [ ]M1
M2
4EI
L
2EI
L
2EI
L
4EI
L
θ1
θ2
Os coe�cientes 4EI/L e 2EI/L podem ser escritos simbolicamente como K , onde os subscritos de�nem a linha e a coluna do local
dos coe�cientes na matriz de rigidez.
ij
[ ]  =   [ ]  [ ]M1
M2
K11
K21
K12
K22
θ1
θ2
O coe�ciente de rigidez K pode ser interpretado como o momento que deve ser aplicado à extremidade 1 a �m de produzir uma
rotação unitária (� = 1), enquanto a extremidade oposta da viga permanece �xa (� = 0) conforme a �gura abaixo.
O coe�ciente K é o momento resultante na extremidade 2 da viga para essa situação. De modo semelhante, temos os
coe�cientes K e K . Como podem ser vistos na Figura 2.
11
1 2
21
12 22
 Figura 2 – Viga biapoiada com deslocamento nos nós. Fonte: McCORMAC, s./d.
Veja a seguir, mais três abordagens importantes.
Princípio dos deslocamentos virtuais
Para dar uma condição de equilíbrio a um sistema de força é imposto o princípio dos deslocamentos virtuais (PDV). Arbitra-
se uma con�guração deformada, chamada virtual, da qual se sabe que satisfaz as condições de compatibilidade.
A principal utilidade do PDV é a determinação de forças e momentos que são necessários para garantir o equilíbrio da
con�guração de um modelo estrutural.
Matriz de rigidez local no sistema global
A in�uência de uma barra, na matriz de rigidez global, tem que transformar as propriedades mecânicas da barra, para o
sistema de coordenadas generalizadas globais.
Introdução da Matriz de Flexibilidade
Esse é, na realidade, o método das forças (aulas 2 e 3) consistente colocado na forma matricial.
Ainda sobre a introdução da Matriz de Flexibilidade veja o roteiro de calculo:
 Figura 3 – Estrutura hiperestática (viga).
⇩
 Figura 4 – Sistema principal (com 3 x).
Neste contexto o, é importante saber os seguintes passos:
Deve-se iniciar transformando a estrutura hiperestática (Figura 3), rompendo-se tantos vínculos
quantos necessários para se obter um modelo isostático (sistema principal, Figura 4);
O sistema principal deverá ser compatibilizado com a estrutura original através da aplicação de ações
(x) nos locais e nas direções onde houve cortes de vínculos;
Um valor unitário é aplicado à estrutura principal no local e na direção onde foi rompido o vínculo. É
calculada a de�exão devida a uma carga unitária no ponto 1 e denominada aqui de � , e a de�exão no
ponto 2 devido à carga unitária devido ao ponto 1 é denominada � , assim por diante. Os
deslocamentos devidos à carga unitária são chamados de coe�cientes de �exibilidade. O
deslocamento real no nó 1, devido à redundante estática X1, vale X1 vezes a de�exão por uma carga
unitária agindo ali, isto é, X *�� , o deslocamento transversal no nó 2 devido a X , vale X *�� , e
assim por diante;
Finalmente, são escritas as equações simultâneas de compatibilidade de deformações no local de
cada uma das redundantes estáticas. As incógnitas dessas equações são as forças redundantes. As
equações são expressas na forma matricial e resolvidas a �m de fornecerem o valor das redundantes.
11
21
1 11 1 1 21
Para ilustrar esses procedimentos, observe as �guras abaixo:
 Figura 5 – Estrutura hiperestática com carregamento qualquer.
⇩
 Figura 6 –Sistema Principal (com 3 grau de hiperestaticidade).
⇩
 Figura 7 – Deformação com o carregamento (Estado 0 – só carga).
⇩
 Figura 8 – Deformação aplicando a carga de X (Estado 1 – só X ).1 1
⇩
 Figura 9 – Deformação aplicando a carga de X (Estado 2 – só X ).2 2
⇩
 Figura 10 – Deformação aplicando a carga de X (Estado 3 – só X ).3 3
Somando as deformações do ponto 1, temos:
� + X + � X + � X = 0
Somando as deformações do ponto 2, temos:
� + X + � X + � X = 0
Somando as deformações do ponto 3, temos:
� + X + � X + � X = 0
10 11 1 12 2 13 3
20 21 1 22 2 23 3
30 31 1 32 2 33 3
Essa equação indica que os deslocamentos devidos às cargas, mais a matriz de �exibilidade, vezes as redundantes estáticas são
iguais à deformação �nal nos apoios. Ela pode ser escrita na forma compacta, como a seguir:
[� ]  +  [F ][R]  =  [ ]�L �R
Onde:
[ ] ➜ é um vetor de deslocamento devido à carga imposta;
[F] ➜ é a matriz dos coe�cientes de �exibilidade;
[R] ➜ é um vetor das forças redundantes;
[ ] ➜ é um vetor das deformações �nais nos apoios (todos iguais a zero aqui).
L
R
Essa equação pode ser escrita de outra forma, a �m de serem encontrados os valores das redundantes.
[� R]  +  [F  [ ]  −   � ]]−1 �R �L
O símbolo [F] representa a matriz inversa de [F].-1
Saiba mais
Agora, veja um exemplo de como determinar as reações de apoios da viga <galeria/aula8/anexo/doc01.pdf> .
Exemplo da estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial
Para identi�car e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e momentos) seguir o exemplo abaixo (Figura 12).
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc01.pdf
 Figura 12 – Estrutura composta de 2 hastes com solicitação axial:
(a) - Sistema de coordenadas globais (1 e 2);
(b) e (c) – Coeficientes de rigidez;
(d) e (e) – Coeficientes de flexibilidade.
Neste contexto, ainda temos os conceitos de:
Clique nos botões para ver as informações.
Da resistência dos materiais obtém-se as relações da haste com solicitação normal:
A matriz de �exibilidade da estrutura pode, então, ser montada a partir do conceito de seus coe�cientes: f - é o
deslocamento na coordenada 1 provocado pela aplicação de uma força unitária também na coordenada 1:
f - é o deslocamento na coordenada 2 provocado pela aplicação de uma força unitária na coordenada 1:
Solicitação normal 
11
21
f - é o deslocamento na coordenada 1 provocado pela aplicação de uma força unitária na coordenada 2:
f - é o deslocamento na coordenada 2 provocado pela aplicação de uma força unitária também na coordenada 2:
Logo, obtém-se:
12
22
A viga abaixo está sujeita a uma carga normal. Determinar as reações de apoios da viga.
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
I = 0,002604 m (seção da viga 0,25 x 0,50) ➜ A = 0,125 m
EI = 260400 kNm
Reações de apoios da viga: exemplo 
8 2
4 2
2
Solução
1º Passo: Sistema Principal (SP):
2º Passo: Diagrama de momento �etor no Estado 0 (só carga):
3º Passo: Diagrama de momento �etor no Estado 1 (só X ):1
Um elemento sujeito a uma carga axial varia de comprimento segundo valor de �L=PL/AE, assim sendo:
=  (L) +     (L)  δ20 1200
AE
500
AE
=  (1, 5)  +    (2, 0) = 0, 08602 mδ20 1200(0,125 x 260400)
500
(0,125 x 260400)
= 1( ) = 1 ( ) = 0, 0001536 mδ22 L
AE
5
(0,125 x 260400)
A seguir, é calculada a reação em 2:
20 + 11R2 = 0
0,028602 + 0,0001536 R2 = 0
R2 = -560 kN
R1 = 700 + 500 -560 = 640 kN
Introdução à Matriz de Rigidez
A matriz de rigidez pode ser obtida pela simples inversão da matriz �exibilidade, obtendo-se:
k - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 1, mantendo-se as demais
coordenadas restringidas.
k - k - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as
demais coordenadas restringidas.
k - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na coordenada 2, mantendo-se as demais
coordenadas restringidas.
Obtendo-se, por �m, a mesma matriz de rigidez:
21
12 12
22
Saiba mais
Agora, veja um exemplo de como deduzir a matriz de rigidez de uma viga (barra) com dois nós <galeria/aula8/anexo/doc02.pdf> .
Matrizes de Rigidezes
Nas matrizes abaixo foram de�nidos os coe�cientes de rigidez a partir das relações de ações e deslocamentos.
Saiba mais
Veja a de�nição completa em: Análise Matricial de Estruturas <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> .
Saiba mais
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc02.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc02.pdf
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
Agora, veja um exemplo de como determinar a rotação e as reações de apoios da viga <galeria/aula8/anexo/doc03.pdf> .
Atividades
1. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de �exibilidade:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,35m x 0,50m
8 2
2. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de �exibilidade:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,60m
8 2
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc03.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula8/anexo/doc03.pdf
3. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de rigidez:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,45m
8 2
4. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de rigidez:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m8 2
Seção da viga 0,25m x 0,45m
5. Obter as reações de apoio da viga abaixo, usando a matriz de rigidez:
Dados:
E = 1 x 10 kN/m
Seção da viga 0,25m x 0,45m
8 2
NotasReferências
ARAGÃO Filho, Luiz A. C. Moniz de. Notas de aula. Disponível em: //aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
<//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> . Acesso em: 27 fev. 2019.
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 9. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 22. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas – formulação matricial. cap. 1. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, s/d.
Próxima aula
O método da matriz de rigidez direta sendo aplicada para desenhar os diagramas solicitantes e calcular as reações de apoio.
Desenhar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas usando o método das matrizes rigidez direta.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, acesse:
Aquarius IME <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/>
Aquarius IME <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/>
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 9: Mensuração da atividade econômica
Apresentação
Essa aula será a continuação da Aula 8. Aqui vamos estudar o processo da rigidez direta. Como calcular as reações de
apoios e desenhar os diagramas solicitantes usando esse método.
Esta aula trata de montagem e solução do sistema de equações do problema global do método da rigidez direta.
Objetivos
Calcular as reações de apoios de uma estrutura hiperestática;
Calcular as deformações de uma estrutura hiperestática;
Calcular os esforços solicitantes de uma estrutura hiperestática.
Método da Rigidez Direta
A solução completa de um modelo estrutural, pelo método da rigidez direta, é obtida pela superposição de uma solução global do
modelo com soluções locais em cada barra do modelo. Martha (s/d).
Relembrando:
Clique nos botões para ver as informações.
Os sistemas de coordenadas referentes aos elementos (“desmontados”).
Coordenada Local 
O sistema de coordenada referente ao longo de toda a estrutura(“montado”).
Coordenada Global 
Saiba mais
Os coe�cientes das matrizes de rigidez tanto no local quanto no global são formulados a partir de um mesmo princípio físico
(correspondem à força necessária para que se imponha um deslocamento unitário segundo determinado grau de liberdade,
enquanto todos os outros deslocamentos são nulos). (ARAGÃO FILHO, s/d.)
Considere a a�rmação a seguir:
Quando um sistema estrutural tem os seus graus de liberdades identi�cados por um
conjunto de coordenadas globais, e está discretizado em elementos que possuem
representações locais (coordenadas) de tais graus de liberdades globais, destaca-se a
correspondência existente entre os deslocamentos da estrutura montada, decorrentes
do equilíbrio global, e o deslocamento (relativo) impostos em cada um dos elementos
no referencial local. (ARAGÃO FILHO, s/d)
Esse método será explicado por meio do exercício a seguir.
Saiba mais
Considere a rigidez à �exão EI constante para todas as barras. Aplicando o Método da rigidez direta, determine:
A matriz de rigidez global da estrutura;
A matriz ou o vetor de carregamento;
Os deslocamentos desconhecidos;
As reações de apoio;
Os esforços solicitantes nas extremidades das barras.
Dados: E = 200GPa = 200 x 10 kN/m
I = 200 x 10 mm = 0,0002 m
6 2
6 4 4
 Figura 1 – Viga hiperestática.
 Figura 2 – Sistema principal (com nomes nas barras e apoios).
1º Passo: Matriz de rigidez
Para resolver essa viga pelo método da rigidez direta, o primeiro passo é montar uma matriz nodal dessa viga.
K =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
EI 
L3
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
12  
6L
−12  
6L
6L  
4L2
−6L 
2L2
−12
6L
12
−6L 
6L
2L2
−6L 
4L2
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
Lembrando de que essa matriz de rigidez foi explicada (deduzida) na aula anterior.
Para qualquer barra da viga essa matriz sempre será 4 x 4.
Calculando a matriz acima, temos:
Esse resultado da matriz é constante para as três barras. A inercia (I) é a mesma, o comprimento (L) da barra e o material (E) são
os mesmos.
K =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
7, 5 x 103
1, 5 x 104
−7, 5 x 103
1, 5 x 104
1, 5 x 104
4, 0 x 104
−1, 5 x 104
2, 0 x 104
−7, 5 x 103
−1, 5 x 104
7, 5 x 103
−1, 5 x 104
1, 5 x 104
2, 0 x 104
−1, 5 x 104
4, 0 x 104
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
2º Passo: Interpolar a matriz de rigidez (K) para cada barra.
Desconsiderando a força axial e considerando somente cortante e momento �etor, nas seções A, B, C e D, e interpolando as 3
barras, dará uma matriz de 8 x 8.
Clique nos botões para ver as informações.
A disposição das coordenadas locais nos fornece a matriz abaixo:
Chamaremos de [Br1] para a barra 1 e assim, sucessivamente, para as outras barras. Fazendo a multiplicação das matrizes,
temos a matriz global da estrutura:
Onde, [Br1]^T é a matriz transposta de [Br1]
Em Matemática, a matriz transposta é a que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz.
Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva à obtenção de sua transposta.
Matriz para a barra 1 
Br1 =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
1000
0100
0010
0001
0000
0000
0000
0000
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
[K] = [Br1   [K][Br1]  ]T
SM1 = Br1    K Br1  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
T
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
7, 5 x 103
1, 5 x 104
−7, 5 x 103
1, 5 x 104
0
0
0
0
1, 5 x 104
4, 0 x 104
−1, 5 x104
2, 0 x 104
0
0
0
0
−7, 5 x 103
−1, 5 x 104
7, 5 x 103
−1, 5 x104
0
0
0
0
1, 5 x 104
2, 0 x 104
−1, 5 x 104
4, 0 x 104
0
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
A disposição das coordenadas locais, nos fornece a matriz abaixo:
Matriz para a barra 2 
Br2 =  
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢
00100000
00010000
00001000
00000100
⎤
⎦
⎥⎥
SM2 = Br2    K Br2  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
T
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
000
000
007, 5 x  103
001, 5 x 104
00 − 7, 5 x 103
001, 5 x 104
000
000
0
0
1, 5 x 104
4, 0 x 104
−1, 5 x104
2, 0 x 104
0
0
0
0
−7, 5 x 103
−1, 5 x 104
7, 5 x 103
−1, 5 x 104
0
0
0
0
1, 5 x 104
2, 0 x104
−1, 5 x 104
4, 0 x 104
0
0
00
00
00
00
00
00
00
00
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
O sistema de coordenada referente ao longo de toda a estrutura (“montado”).
A disposição das coordenadas locais nos fornece a matriz abaixo:
Matriz para a barra 3 
Br3 =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
0000
0000
0000
0000
1000
0100
0010
0001
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
SM3 = Br3    K Br3  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
T
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0000
0000
0000
0000
00007, 5 x 103
00001, 5 x 104
0000 − 7, 5 x 103
00001, 5 x 104
0
0
0
0
1, 5 x 104
4, 0 x 104
−1, 5 x 104
2, 0 x 104
0
0
0
0
−7, 5 x 103
−1, 5 x 104
7, 5 x 103
−1, 5 x 104
0
0
0
0
1, 5 x 104
2, 0 x 104
−1, 5 x 104
4, 0 x 104
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3º Passo: Somar todas as matrizes (das barras), SM1 + SM2 + SM3 = Sj
4º Passo: Rearranjar as linhas da matriz [Sj]
Nos pontos 1, 2 e 3 os momentos podem se deslocar.
Temos que trocar de lugar esses pontos porque eram 2, 4
e 6. Respeitando-se sempre a sequência: cortante,
momento, cortante, momento, cortante, momento...
Rearranjando as linhas da matriz Sj, temos:
Onde era 2 passa para 1; onde era 4 passa para 2 e onde era 6 passa para 3. A sequência será a seguinte:
S  ;  S ;  S  ;  S  ;  S  ;  S  ;  S ;  Sj2 j4  j6 j1 j3 j5 j7  j8
5º Passo: Rearranjar as colunas da matriz [Sjl]
Rearranjando as colunas da matriz Sjl, temos:
Onde era 2 passa para 1; onde era 4 passa para 2 e onde era 6 passa para 3. A sequência será a seguinte:
Sjl2 ;  Sjl4 ;  Sjl6 ;  Sjl1 ;  Sjl3 ;  Sjl5 ;  Sjl7 ;  Sjl8
Logo, a matriz de rigidez global da estrutura (Sj) será:
6º Passo: Matriz dos deslocamentos desconhecidos
Agora, fazer a matriz SFF (onde todos os nós livres se interpolam). Ela é uma submatriz da matriz Sj (que vai da linha 1 à linha 3 e
da coluna 1 à coluna 3), que são os três deslocamentos desconhecidos, por isso uma matriz 3 x 3.
Inverter essa matriz SFF, pois vamos precisar mais lá na frente:
SFF =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
4, 0 x 104
2, 0 x 104
0
2, 0 x 104
8, 0 x 104
2, 0 x 104
0
2, 0 x 104
8, 0 x 104
⎤
⎦
⎥
Agora, criar uma matriz SRF, que são os deslocamentos restritos em função dos deslocamentos livres (os nós restritos em função
dos nós livres). Essa matriz SRF será uma submatriz da matriz Sj (da linha 4 à 8 e da coluna 1 à 3).
SFF =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−1 ∣
∣
∣
∣
∣
2, 885 x 10−5
−7, 692 x 10−6
1, 923 x 10−6
−7, 692 x 10−6
1, 538 x 10−5
−3, 846 x 10−6
1, 923 x 10−6
−3, 846 x 10−6
1, 346 x 10−5
∣
∣
∣
∣
∣
SRF =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1, 5 x 104
−1, 5 x 104
0
0
0
1, 5 x 104
0
−1, 5 x 104
0
0
0
1, 5 x 104
0
1, 5 x 104
2, 0 x 104
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
7º Passo: Vetor de carregamento
Encontrar uma matriz ou um vetor de carregamento (Ac).
Vetor Aj, forças aplicadas nos nós (nó = apoio); nesse exercício as forças aplicadas nos nós são 600 kNm no apoio A e 150kN no
apoio C.
O momento de 600kNm está no sentido anti-horário, logo é positivo e a força 150kN está para baixo, logo é negativo.
Criar um vetor de 8 posições:
∣ ∣
Só terá força na 2ª linha (600) e na 5ª linha (-150), o resto é zero.
O que é vetor AML?
Vetor AML, são forças nodais aplicadas nas barras: 150kN na barra 1; 300kN na barra 2 e 300kN na barra 3.
Fazer a barra 1; barra 2 e barra 3:
P = 150kN
L = 4m
Aj =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0
600
0
0
−150
0
0
0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Tendo agora os vetores AML1; AML2e AML3, podemos montar o vetor AE (invertendo o sinal):
O vetor de carregamento AC, (AE + Aj):
Rearranjar as linhas desse vetor AC (porque foi feito na matriz global):
A sequência será a seguinte:
AE = − AM − AM   − AM   =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
L1 ]
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
L2
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
L3
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
−75
−75
− 225
− 75
− 300
0
− 150
150
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
A ;  A ;  A ;  A ;  A ;  A ;  A  e AC 2 C 4 C 6 C 1 C 3 C 5 C 7 C 8
AC =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
525
−75
0
− 75
− 225
− 450
− 150
150
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
Clique nos botões para ver as informações.
Vetor AFC, é a submatriz de AC (da linha 1 até a linha 3 e coluna 1). Essa matriz é a soma de todas as forças relativas dos
deslocamentos desconhecidos que ocupam as posições 2, 4 e 6.
Vetor AFC 
AFC   =  
⎡
⎣
⎤
⎦
⎡
⎣
525
−75
0
⎤
⎦
Vetor ARC, é a submatriz de AC (da linha 4 até a linha 8 e coluna 1)
Vetor ARC 
ARC   =  
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
−75
−225
− 450
− 150
150
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
8º Passo: Cálculo dos deslocamentos desconhecidos (DF)
DF   =  SF  x AFCF −1
9º Passo: Cálculo das reações de apoio (AR)
[AR] =   − [ARC] + [SRF ]  x [DF ]
10º Passo: Cálculo dos esforços solicitantes nas extremidades das barras:
Calcular o vetor deslocamento em cada barra
Na matriz DF pegamos os deslocamentos onde estão atuando e fazemos a matriz DM para cada barra.
Agora, tirando os zeros nos vetores AML:
Calcular a matriz AM (esforços solicitantes das extremidades).
Barra 1
DF =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
 0, 0157
−0, 0052
0, 0013
⎤
⎦
⎥
Barra 2
Barra 3
Diagramas:
Atividades
1. Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo, usando o método rigidez direta:
Dados: E = 200GPa = 200 x 10 kN/m
I = 200 x 10 mm = 0,0002 m
6 2
6 4 4
2. Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo, usando o método rigidez direta:
Dados: E = 200GPa = 200 x 10 kN/m
I = 200 x 10 mm = 0,0002 m
6 2
6 4 4
3. Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo, usando o método rigidez direta:
Dados: E = 200GPa = 200 x 10 kN/m
I = 200 x 10 mm = 0,0002 m
6 2
6 4 4
4. Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo, usando o método rigidez direta:
Dados: E = 200GPa = 200 x 10 kN/m6 2
I = 200 x 10 mm = 0,0002 m6 4 4
5. Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo, usando o método rigidez direta:
Dados: E = 200GPa = 200 x 10 kN/m
I = 200 x 10 mm = 0,0002 m
6 2
6 4 4
NotasReferências
ARAGÃO Filho, Luiz A. C. Moniz de. Notas de aula. Disponível em: //aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
<//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> . Acesso em: 27 fev. 2019.
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 9. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 22. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas – formulação matricial. cap. 1. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, s/d.
Próxima aula
Desenhar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas usando o método de �exibilidade.
Explore mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, acesse:
Index de Moniz; <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/>
Página pessoal de Luiz Augusto C. M. de Aragão Filho. <//aquarius.ime.eb.br/~moniz/>
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/pdf/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 10: Álgebra Matricial (resumo) e exercícios
Apresentação
Esta aula será dedicada a uma revisão de Álgebra matricial e vários exercícios de todos os métodos ensinados nas aulas
anteriores.
Será apresentada uma introdução básica da Álgebra matricial, como tipos de matrizes; matriz transposta etc. utilizadas para
resolver os exercícios passados.
Objetivos
Avaliar seus conhecimentos vistos em todas as aulas anteriores;
Aplicar vários exercícios;
Recordar Álgebra matricial.
Revisão de Álgebra Matricial
Uma matriz é de�nida com números reais ordenados de linhas e colunas, como:
A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∣
∣
∣
∣
∣
a1,1
a2,1
am,1
a1,2
a2,2
am,2
a1,3
a2,3
am,3
a1,n
a2,n
am,n
∣
∣
∣
∣
∣
Onde:
m = linha
n = coluna
Diz-se que a matriz [A] é de ordem m x n.
Quando m é igual a 1, a matriz tem apenas uma linha de elemento e é chamada de matriz linha.
[A] =  [              ]a1 a2 a3 an
Tipos de Matrizes
Clique nos botões para ver as informações.
Quando o numero de linhas, m, e o numero de colunas, n, são iguais.
Matriz Quadrada 
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∣
∣
∣
∣
∣
a1,1
a2,1
a3,1
a1,2
a2,2
a3,2
a1,3
a2,3
a3,3
∣
∣
∣
∣
∣
Quando os termos fora da diagonal são re�etidos em relação à diagonal principal.
É simétrica, pois a = a = -2, a = a = 5, a = a = 7, ou seja, temos sempre a a = a para i ≠ j
As matrizes simétricas aparecem frequentemente na teoria estrutural.
Matriz Simétrica 
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∣
∣
∣
∣
3
−2
5
−2
4
7
5
7
6
∣
∣
∣
∣
12 21 13 31 23 32 ij ji
Quando todos os elementos da diagonal principal forem iguais à unidade e todos os outros elementos forem zero. As
matrizes desses tipos são identi�cadas pelo símbolo [I].
Matriz Identidade ou Unitária 
I =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎤
⎦
⎥
Quando os elementos de determinada matriz forem reordenados de tal forma que as colunas da matriz original se tornem as
linhas correspondentes da nova matriz. A transposta de matriz [A] é dada pelo símbolo [A] .
Essa propriedade é usada com frequência no desenvolvimento da teoria estrutural.
Matriz Transposta 
T
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
5
8
3
4
2
−7
7
6
⎤
⎦
⎥
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
T
⎡
⎣
⎢
1
3
−2
5
4
7
8
2
6
⎤
⎦
⎥
Determinante de uma Matriz Quadrada
A matriz quadrada [A] é dado pelo símbolo |A|.
O valor de |A| é calculado facilmente para uma matriz 2 x 2:
  = 2 x 5 − 1 x 4 = 6
∣
∣
∣
2
4
1
5
∣
∣
∣
Para matrizes com ordem maior do que dois, há outra maneira para calcular:
A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
−2
1
2
3
5
3
4
2
⎤
⎦
⎥
1
Menor de a1,1
[ ]  = 6 − 20 = −143
5
4
2
2
Menor de a1,2
[ ]  = −4 − 4 = −8−2
1
4
2
2
Menor de a2,3
[ ]  = 5 − 2 = 31
1
2
5
Matriz Adjunta
Recebe o símbolo adj[A]. Para encontrar a matriz adjunta correspondente a uma matriz original [A], substitua cada elemento de [A]
por seu cofator, a matriz adjunta é a transposta dessa matriz resultante.
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
2
1
2
3
5
3
4
3
⎤
⎦
⎥
adj A =     =  
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢
−11
9
−1
−2
0
2
7
−3
−1
⎤
⎦
⎥
T
⎡
⎣
⎢
−11
−2
7
9
0
−3
−1
2
−1
⎤
⎦
⎥
Aritmética de Matrizes
Adição e Subtração de Matrizes
Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas se tiverem a mesma ordem.
[C] =  [A] +  [A]
[C] = [ ]  +   [ ]  =   [ ]1
3
2
4
5
6
7
8
6
9
9
12
Exemplo
Outro exemplo:
[C] = [ ]  +   [ ]  =   [ ]2
0
3
1
0
−1
3
1
1
−1
1
2
5
1
4
0
1
2
A subtração de duas matrizes é realizada da mesma maneira, subtraindo os elementos correspondentes.
Multiplicação de Matrizes
O produto de duas matrizes só existe se as matrizes forem conformes.
Conformes ➔ número de coluna da matriz [A] é igual ao número de linhas da matriz [B].
[A] =   [ ]1
−3
2
2
[B] = [ ]1
4
3
5
2
3
[C] = [A]  X [B] = [ ]9
5
13
1
8
0
Essa multiplicação foi feita da seguinte forma:
C = (1) (1) + (2) (4) = 9
C = (1) (3) + (2) (5) = 13
C = (1) (2) + (2) (3) = 8
C = (-3) (1) + (2) (4) = 5
C = (-3) (3) + (2) (5) = 1
C = (-3) (2) + (2) (3) = 0
Se uma matriz [A] for multiplicada pela matriz identidade (admitindo que as matrizes sejam conformes), A matriz [A] permanece
inalterada.
1,1
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
Matriz Inversa
Não existe divisão de matrizes([A] / [B]). Vimos até agora a adição, a subtração e a multiplicação de matrizes. Bom, para a divisão
algébrica de matrizes, existe uma operação matricial que é o uso da matriz inversa.
A inversa de uma matriz quadrada [A] é dada pelo símbolo [A] .-1
[A] [A   =  [I]]−1
Existem muitas técnicas com as quais a inversa pode ser determinada. Uma técnica usual é descrita pelas seguintes expressões:
[A =  ]
−1 
adj [A]
|A|
Exemplo
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
2
1
2
3
5
3
4
3
⎤
⎦
⎥
adj A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−11
−2
7
9
0
−3
−1
2
−1
⎤
⎦
⎥
|A|  =       +       +    a1,1 A1,1 a2,1 A2,1 a3,1 A3,1
|A|  =  1(−11)  +  2(9)  +  1(−1)  =  6
A   =    
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−1
1
6
⎡
⎣
⎢
−11
−2
7
9
0
−3
−1
2
−1
⎤
⎦
⎥
[A] [A   =  [I]]−1
A   A =      ( )    =       =   I
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−1
⎡
⎣
⎢
1
2
1
2
3
5
3
4
3
⎤
⎦
⎥ 16
⎡
⎣
⎢
−11
−2
7
9
0
−3
−1
2
−1
⎤
⎦
⎥ 16
⎡
⎣
⎢
6
0
0
0
6
0
0
0
6
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
A =  
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
−2
3
2
3
6
4
2
12
⎤
⎦
⎥
Saiba Mais
Veja um exemplo de aplicação da matriz inversa <galeria/aula10/anexo/doc01.pdf> .
Exercícios resolvidos
Exemplo 1
Calcular a deformação da viga isostática na �nal do balanço (seção D). Na Figura 1 está a viga com seu carregamento real.
Dados: Seção da viga: 0,30 m x 0,50 m (b x h)
E = 2,0 x 10 kN/m7 2
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula10/anexo/doc01.pdf
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0078/galeria/aula10/anexo/doc01.pdf
 Figura 1 – Viga Isostática de 6,5 metros de comprimento com carregamento distribuído de 30 kN/m (da Seção A até C) e uma carga pontual de 40kN na seção D.
Solução
Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade (produto de rigidez à �exão), temos:
Onde I = bh /12 = 0,003125 m
EI = 62500 kNm
3 4
2
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento
�etor.
Como pode ser visto na Figura 2.
 Figura 2 – Diagrama de momento fletor, devido ao seu carregamento real.
2º Passo: Calcular a reação de apoio com uma carga de P = 1kN no ponto
onde queremos o valor da deformação (Método da Carga Unitária).
Nesse exemplo, queremos saber o valor da deformação na seção D (�nal do balanço). Figura 3.
 Figura 3 – A viga com a carga virtual de P = 1 kN na seção D.
 Figura 4 – Diagrama de momento fletor devido à carga virtual de P = 1 kN na seção D.
3º Passo: Cálculo de d: Fazendo a multiplicação dos dois momentos �etores
para cada barra.
Barra 1: Igual a zero (multiplicar parábola do 2º grau com zero = 0).
Barra 2: Na barra 2 os diagramas de momentos �etores são:
Na barra onde tem a carga distribuída, tem que decompor a �gura, por não haver essa �gura geométrica na tabela de Kurt Beyer.
Decompondo a �gura temos um trapézio menos uma parábola do 2º grau (q l2 / 8).
Multiplicar o trapézio pelo triângulo e a parábola do 2º grau pelo triângulo. Usando a tabela de Kurt Beyer, vemos a equação da
multiplicação dos dois momentos (trapézio com o triangulo).
Na terceira coluna com a décima linha encontraremos a equação:
 L' M [ + 2  ]1
6
MA MB
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos:
δ =   [   L'M  [ + 2 ]]1
E I
1
6
MA MB
Onde:
L’ = 4 m (comprimento da barra 2)
M = -1 kNm (momento do triângulo)
M = -33,75 kNm (a parte mais baixa do trapézio)
M = -40,00 kNm (a parte mais alta do trapézio)
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
A
B
δ =   [   x 4 x (−1)  [(−33, 75) + 2(−40)]] = 0, 001213328 m1
E I
1
6
Usando a tabela de Kurt Beyer vemos a equação da multiplicação dos dois momentos (parábola de 2º com o triângulo).
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação:
  L' MM1
3
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos:
δ = [ L' MM ]1
E I
1
3
Onde:
L’ = 4 m (comprimento da barra 2)
M = -1 kNm (momento do triângulo)
M = 60,00 kNm (momento ql /8)
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
2
δ = [ x 4 x(−1 )  x 60 ] = −0, 00128 m1
E I
1
3
Calculando a deformação para a barra 2, temos:
=  0, 001213328 − 0, 00128 =   − 0, 000066672 mδbarra 2
Barra 3: Na barra 3 os diagramas de momentos �etores são:
Multiplicação de dois triângulos. Usando a tabela de Kurt Beyer vemos a equação da multiplicação dos dois momentos (triângulo
com triângulo). Observe que a maior altura de um triângulo tem que casar com a maior altura do outro triangulo.
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a equação:
L'M M1
3
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos:
δ = [ L' MM ]1
E I
1
3
Onde:
L’ = 1 m (comprimento da barra 3)
M = -1 kNm (momento do triângulo)
M = 40,00 kNm (momento do triângulo)
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
= [ x 1 x(−1 )  x (−40) ] = 0, 00021328 mδbarra 3 1E I
1
3
Temos a deformação no balaço da viga (seção D):
= +   +  δTotal δbarra 1 δbarra 2 δbarra 3
= 0  − 0, 000066672 +  0, 00021328δTotal
= 0, 000146608 mδTotal
A Figura 5 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool. Observa-se que o resultado foi Dy = -1,467 e-4m.
 Figura 5 – Resultado do Programa Ftool. Deformação. Dy = 1,467 e-004m na seção D (final do balanço).
Exercício 2
Calcular a deformação no �nal da viga em balanço (seção B). Conforme mostra a Figura 6.
Dados:
Seção da viga: 0,40 m x 0,80 m (b x h)
E = 2,3 x 10 kN/m6 2
 Figura 6 – Viga isostática em balanço. Com carregamento de 30kN e comprimento 5m.
Solução
Já calculando o Momento de Inércia e o Módulo de Elasticidade (produto de rigidez a �exão), temos:
Onde I = bh /12 = 0,017067 m
EI = 39253,33 kNm
3 4
2
1º Passo: Calcular as reações de apoios e desenhar o diagrama de momento
�etor, como pode ser visto na Figura 7.
 Figura 7 – Diagrama de momento fletor.
2º Passo: Calcular a reação de apoio com uma carga de P = 1kN no ponto
onde queremos o valor da deformação (Método da Carga Unitária).
Nesse exemplo, desejamos saber o valor da deformação na seção B (�nal do balanço). Como mostras as Figuras 8 e 9.
 Figura 8 – A viga com a carga virtual de P = 1 kN na seção B.
 Figura 9 – Diagrama de momento fletor devido à carga virtual de P = 1 kN na seção B.
3º Passo: Cálculo de d: Fazendo a multiplicação dos dois momentos �etores.
Multiplicação da parábola do 2º grau com o triângulo. Usando a tabela de Kurt Beyer vemos a equação da multiplicação dos dois
momentos. Observe que a maior altura de um triângulo tem que casar com a maior altura da parábola do 2º grau.
Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação:
 L' MM1
4
Colocando a fórmula na integral da deformação, temos:
δ =   [ L' MM ]1
E I
1
4
Onde:
L’ = 5 m (comprimento da barra)
M = -5 kNm (momento do triângulo)
M = -375 kNm (momento da parábola do 2º grau)
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à �exão).
δ =   [ x 1 x(−5 )  x (−375) ] = 0, 059708 m1
E I
1
4
A Figura 10 é o resultado dessa viga pelo programa Ftool. Observa-se que o resultado foi Dy = -5,971 e-2m.
 Figura 10 – Resultado do Programa Ftool. Deformação. Dy = -5,971 e-002m na seção B (final do balanço).
Exercício 3
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, usando o método das forças, conforme a Figura 11.
Dados:
Valores de inércia estão nas barras e E = 1 x 10 kN/m8 2
 Figura 11 – Pórtico hiperestático.
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga
G = I – E – R
G = 6 – 3 – 1 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, (X1 e X2).
e
e
Logo, o sistema será:
δ10  +  δ11 X1  +  δ12 X2  =  0
δ20  +  δ21 X1  +  δ22 X2  =  0
2º Passo: Sistema Principal (S. P.). Escolher uma estrutura isostática e
colocar os X1 e X2 (Figura 12):
 Figura 12 – Sistema Principal (estrutura isostática). Colocando X1 e X2 e dando nomes às barras.
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras.
Como o momento de inércia é 1 em todas as barras, logo,L’ = L
L ^ ' = L   Jc
J
Onde:
L’ = comprimento elástico;
L = comprimento da barra;
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura;
J = momento de inércia da barra que está estudando.
Calculando o L’ das barras:
Barra 1 ➔ L’ = 3,60 x (1/1,5) = 2,40 m
Barra 2 ➔ L’ = 3,35 x (1/2,0) = 1,68 m
Barra 3 ➔ L’ = 5,39 x (1/3,0) = 1,80 m
Barra 4 ➔ L’ = 2,50 x (1/1,0) = 2,50 m
1
2
3
4
4º Passo: Estado 0 (só carga): Calcular as reações de apoio e desenhar o
diagrama de momento �etor (M0) com as cargas externas (Figura 13).
 Figura 13 – Diagrama de momento fletor (M0) com as cargas externas.
5º Passo: Estado 1 (só X1) Calcular as reações de apoio e desenhar o
diagrama de momento �etor (M1) com a carga de 1kN no X1 (no
hiperestático), conforme a Figura 14.
 Figura 14 – Diagrama de momento fletor (M1) com a carga de X1.
6º Passo: Estado 2 (só X2) Calcular as reações de apoio e desenhar o
diagrama de momento �etor (M2) com a carga de 1kN no X2 (no
hiperestático), conforme a Figura 15.
 Figura 15 – Diagrama de momento fletor (M2) com a carga de X2.
7º Passo: Calculando dos E Jc d: Fazer a multiplicação dos momentos
�etores, de cada barra, usando a tabela de Kurt Beyer.
Clique nos botões para ver as informações.
δ = M x M
Barra 1: L’ de 2,40 m com retângulo de 8kNm com trapézio (-907,9kNm a -799,9kNm).
Barra 2: L’ de 1,68m com trapézio (8kNm a 5kNm) com trapézio (-799,9kNm a -312,5kNm, esse trapézio tem de descontar o
ql /8).
Barra 3: L’ de 1,80 m com triangulo (5kNm) com Par. do 2º grau (tang. Horiz.) de -312,5kNm.
Barra 4 = 0
 Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 0δ10 :   
10 1 0
M  (MA + MB) = X 2, 40 X 8 X (−799, 9 − 907, 9)  =   − 16394, 881
2
L′ 1
2
2
  [   (2 MA + MB) +      (2MB + MA)]  +   M  (MA + MB)1
6
L′ MA¯ ¯¯̄ ¯̄ MB¯ ¯¯̄ ¯̄ 13 L
′
 x 1, 68  [   (2 x 312, 5 + 799, 9) +  (2 x − 799, 9 − 312, 5)]1
6 5̄  8 
¯ ¯¯̄
+  x 1, 67 x 28, 06 (5 + 8) =   − 6074, 431
3
  M = X 1, 80 X (−312, 5) X 5 =   − 703, 131
4
L′ M̄̄̄̄ 1
4
= −23172, 44δ10
δ = M x M
Barra 1: L’ de 2,40 m com retângulo (8kNm) com retângulo (8kNm).
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (8kNm a 5kNm) com trapézio (8kNm a 5kNm).
Barra 3: L’ de 1,80m com triângulo (5kNm) com triângulo (5kNm).
Barra 3: L’ de 1,80m com triângulo (5kNm) com triângulo (5kNm).
Barra 4 = 0
δ = 240,84
 Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 1δ11 :   
11 1 1
M   = 2, 40 X 8 X 8 = 153, 6L′ M̄̄̄̄
    [   (2 MA + MB) +     (2MB + MA)]1
6
L′ MA¯ ¯¯̄ ¯̄ MB¯ ¯¯̄ ¯̄
 x 1, 68  [5  (2 x 5 + 8) +  8   (2x8 + 5)]  = 72, 241
6
  M   = [5  (2 x 5 + 8) +  8   (2x8 + 5)]  = 72, 241
3 L
′ M̄̄̄̄
  M   =  X 1, 80 X 5 X 5 =  151
3
L′ M̄̄̄̄ 1
3
11
δ = δ = M x M
Barra 1: Ela terá que se dividir em duas (barra 1a e barra 1b).
Barra 1a: L’ de 0,40m com triângulo (0,6kNm) com retângulo (8kNm).
Barra 1b: L’ de 2,0m com triângulo (-3,0kNm) com retângulo (8kNm).
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (8kNm a 5kNm) com trapézio (-3kNm a -4,5kNm). Escolher um dos trapézios para
decompor (retângulo + triângulo), será o trapézio de (-3kNm a -4,5kNm).
Barra 3: L’ de 1,80m com trapézio (-4,5kNm a -2,5kNm) com triângulo (5kNm).
 Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 2δ12  =  d21 :   
12 21 1 2
  M   =  0, 40 x 8 x 0, 6 =  0, 961
2
L′ M̄̄̄̄ 1
2
  M   =  x 2, 0 x 8 x (−3, 0) =   − 24, 01
2
L′ M̄̄̄̄ 1
2
  M  (MA + MB) +   M  (2MA + MB)1
2
L′ 1
6
L′
x 1, 68 x  − 3 x (5 + 8) +   x 1, 68 x − 1, 5 (2 x 5 + 8) =   − 40, 321
2
1
6
  M  (MA + 2MB) =  x 1, 80 x 5 x (−2, 5 − 2 x 4, 5) =   − 17, 251
6
L′ 1
6
Barra 4 = 0
δ = δ = -80,6112 21
δ = M x M
Barra 1: A barra 1 terá que dividir em duas (barra 1a e barra 1b).
Barra 1a: L’ de 0,40m com triângulo (0,6kNm) com trapézio (-907,9kNm a -889,9kNm)
Barra 1b: L’ de 2,0m com triângulo (-3,0kNm) com trapézio (-889,9kNm a -799,9kNm).
Barra 2:L’ de 1,68m com trapézio (-799,9kNm a -312,5kNm) com trapézio (-3kNm a -4,5kNm). O trapézio (-799,9kNm a
-312,5kNm) tem que descontar o ql /8 = 28,06 kNm. E o trapézio (-3kNm a -4,5kNm), tem que separar por retângulo +
triângulo.
 Multiplicar o momento �etor do Estado 2 com o momento �etor do Estado 0δ20 :   
20 2 0
  M  (MA + 2MB) =  x 0, 40 x 0, 6 x (−889, 9 + 2 x − 907, 9) =   − 108, 231
6
L′ 1
6
  M  (MA + 2MB) = x 2, 0 x − 3, 0 x (2x − 799, 9 − 889, 9) =  2489, 501
6
L′ 1
6
2
Trapézio com retângulo:
Retângulo com par. 2º grau:
Trapézio com triângulo:
Triângulo com par. 2º grau:
Barra 3: L’ de 1,80m com Par. 2º grau tang. Horiz. (-312,5 kN) com trapézio (-4,5kNm a -2,5kNm).
Barra 4 = 0
δ = 6415,13
  M  (MA + MB) =   x 1, 68  x(−3)x ((−312, 5 − 799, 9) ) =  2803, 251
2 L
′ 1
2
  M   =    x 1, 68 x (−3)  x (28, 06) = −94, 282
3
L′ M̄̄̄̄ 2
3
  M  (2MA + MB) =  x 1, 68 x(−1, 5)   x (2x − 312, 5 + (−799, 9)) =  598, 461
6
L′ 1
6
M   = x 1, 68 x (28, 06)  x (−1, 5) =   − 23, 571
3
L′ M̄̄̄̄ 13
  M(MA + 3MB) =    x 1, 80 x (−312, 5) x (−2, 5 + 3 x (−4, 5))  =  7501
12 L
′ 1
12
20
δ = M x M
Barra 1: Terá que se dividir em duas (barra 1a e barra 1b).
Barra 1a: L’ de 0,40m com triângulo (0,6kNm) com triângulo (0,6kNm)
Barra 1b: L’ de 2,0m com triângulo (-3,0kNm) com triângulo (-3,0kNm).
Barra 2:L’ de 1,68m com trapézio (-3,0kNm a -4,5kNm) com trapézio (-3,0kNm a -4,5kNm).
Barra 3: L’ de 1,80m com trapézio (-4,5kNm a -2,5kNm) com trapézio (-4,5kNm a -2,5kNm).
 Multiplicar o momento �etor do Estado 2 com o momento �etor do Estado 2δ22 :   
22 2 2
MM = x 0, 40 x 0, 6 x 0, 6 =  0, 0481
3
L′ 1
3
MM = x 2, 0 x − 3, 0  x − 3, 0 =  6, 051
3
L′ 1
3
  [     (2 MA + MB) +     (2MB + MA)]1
6
L'  MA¯ ¯¯̄ ¯̄ MB¯ ¯¯̄ ¯̄
x 1, 68   [−3  ((2 x(−3) − 4, 5)) +   − 4, 5 ((2x(−4, 5) − 3))]  = 23, 941
6
    [   (2 MA + MB) +     (2MB + MA)  ]1
6
L′ MA¯ ¯¯̄ ¯̄ MB¯ ¯¯̄ ¯̄
 x 1, 80  [−2, 5  ((2 x(−2, 5) − 4, 5)) +   − 4, 5 ((2x(−4, 5) − 2, 5)) ]  = 22, 651
6
Barra 4: L’ de 2,50m com triângulo (2,5kNm) com triângulo (2,5kNm).
δ = 57,85
  M  M =  x2, 5x2, 5x2, 5 = 5, 211
3
L′ 1
3
22
8º Passo: Sistema
Montar o sistema para achar X1 e X2.
δ10  +  δ11 X1  +  δ12 X2  =  0
δ20  +  δ21 X1  +  δ22 X2  =  0
−23172, 44  +  240, 84 X1 –  80, 61X2  =  0
6415, 13 –  80, 61 X1  +  57, 85 X2  =  0
Resolvendo:
X1  =  110, 75 kN
X2  =  43, 42 kN  
Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2.
Calculamos as reações de apoios (Figura 16) e desenhamos os diagramas solicitantes.
Figura 16 – Estrutura hiperestática com os valores das reações de apoios.
Figura 17 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática).
Figura 18 – Diagrama de Esforços Cortante (DEC) na estrutura original (hiperestática).
Figura 19 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática).
Atividades
1. Obter o diagrama de momento �etor e as reações de apoio da viga abaixo, usando o método das deformações conforme a
Figura 20.
Dados:
Seção da viga (0,20m x 0,40m) e E = 1 x 10 kN/m8 2
 Figura 20: Viga hiperestático
2. Obter o diagrama de momento �etor e as reações de apoio da viga abaixo, usando o Processo de Cross conforme a Figura 23.
Dados:
Inércia = 1mm e E = 1 x 10 kN/m4 8 2
 Figura 23 – Pórtico Hiperestático.
3. Para a viga biapoiada, determinar os deslocamentos e as rotações nos extremos da viga e na metade, usando o Método
Matricial conforme a Figura 25.
Dados:
I = 0,000450 m
E = 2 x 10 kN/m
4
6 2
 Figura 25 – Viga Hiperestática.
Notas
Referências
ARAGÃO Filho, Luiz A. C. Moniz de. Notas de aula. Disponível em: //aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
<//aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm> . Acesso em: 27 fev. 2019.
MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 9. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d.
McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 22. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
______. Análise estrutural. Apêndice B. Rio de Janeiro: LTC, s/d.
SÓ Matemática. Matrizes. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php<https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php> . Acesso em: 12 mar. 2019.
SORIANO, Humberto Lima. Análise de estruturas – formulação matricial. cap. 1. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, s/d.
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Álgebra matricial <//recursos.bertrand.pt/recurso?&id=9445470> .
Álgebra matricial <https://www.ufrgs.br/wiki-r/index.php?title=%C3%81lgebra matricial> .
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://aquarius.ime.eb.br/~moniz/notas_de_aula.htm
https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php
https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php
https://recursos.bertrand.pt/recurso?&id=9445470
https://recursos.bertrand.pt/recurso?&id=9445470
https://www.ufrgs.br/wiki-r/index.php?title=%C3%81lgebra_matricial
https://www.ufrgs.br/wiki-r/index.php?title=%C3%81lgebra_matricial
Álgebra matricial https://www.ufrgs.br/wiki r/index.php?title %C3%81lgebra_matricial .
Resumo de Álgebra matricial <https://daniellecarusi.�les.wordpress.com/2009/07/apendiced.pdf> .
https://www.ufrgs.br/wiki-r/index.php?title=%C3%81lgebra_matricial
https://www.ufrgs.br/wiki-r/index.php?title=%C3%81lgebra_matricial
https://daniellecarusi.files.wordpress.com/2009/07/apendiced.pdf
https://daniellecarusi.files.wordpress.com/2009/07/apendiced.pdf