TEMA 1 - O Método das Forças

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O método das
forças
Prof.º Giuseppe Miceli Junior
Descrição
A apresentação do primeiro grande método de resolução de estruturas hiperestáticas: o método das forças ou método dos esforços.
Propósito
Apresentar o método das forças, processo importante na análise de estruturas hiperestáticas, e todos os outros métodos de cálculo de
deformações necessários para a compreensão do método das forças.
Preparação
Será necessário acesso a uma calculadora científica para os cálculos que serão realizados.
Antes de iniciar o conteúdo, faça o download do Solucionário, nele você encontrará o feedback das atividades.
Objetivos
Módulo 1
Cálculo de deformações
Calcular as deformações em estruturas.
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04313/pdf/solucionario_metodo_das_forcas.pdf
Módulo 2
As bases do método das forças
Aplicar o método das forças para resolução de estruturas hiperestáticas.
Módulo 3
Vigas contínuas e pórticos planos sob diversos carregamentos
Analisar casos simples de vigas contínuas e pórticos planos sujeitos a carregamentos aplicados.
Módulo 4
Cálculos de recalques e deformações em estruturas
Aplicar o método das forças ao cálculo de recalques e deslocamentos em estruturas hiperestáticas.
Introdução
Neste vídeo, serão abordados os principais conceitos e aspectos sobre o método das forças. Vamos lá!

1 - Cálculo de deformações
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular as deformações em estruturas.
Vamos começar!
Calculando deformações
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
Princípio dos trabalhos virtuais
Teorema dos trabalhos virtuais
Pense em um ponto material “O” em equilíbrio, ou seja, submetido a um conjunto de forças , de forma que sua resultante vetorial é nula. Seja
dado a este ponto um deslocamento sem que seja introduzida nenhuma força no sistema, ou seja, continua sendo nulo.
Como esse deslocamento  não possui causa física real (tendo em vista que somente a introdução de uma nova força ao sistema se tornasse
essa causa), então chamamos esse deslocamento de deslocamento virtual.
Então, define-se o trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças que atua sobre o ponto O quando ele sofre o deslocamento virtual por:
Rotacione a tela. 
A fórmula anterior pode nos apontar que “para um ponto material em equilíbrio , o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em
equilíbrio que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo”. Constitui-se, assim, o chamado princípio
de d´Alembert. 
Vamos agora expandir esse conceito para corpos rígidos e elásticos. Assim, parece justo extrapolar também o princípio dos trabalhos virtuais para
corpos rígidos e elásticos. Veja a seguir mais detalhes sobre os princípios dos corpos rígidos e elásticos.
Corpos rígidos

Pi →R
→R
δ
Pi δ
W = →R ⋅ →δ = 0
→R = 0
"Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais de todas as forças (reais) que sobre ele atuam é nula, para todos os
deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos."
Corpos elásticos
Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao
trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os
vínculos do corpo) que lhe imponhamos.
Fórmula de Mohr
Pense agora em uma estrutura geral submetida a um carregamento indicado qualquer. Pode ser uma soma de esforços normais, esforços
cortantes e momentos fletores e torsores, mas que farão a estrutura se deformar, fazendo-a assumir uma nova configuração, como a mostrada na
figura a seguir:
Deformações devido ao carregamento externo.
Preste atenção agora na seção infinitesimal “ds” e duas seções vizinhas quaisquer que estão sujeitas a um momento fletor M, um esforço normal
N e um esforço cortante Q. Estes M, N e Q darão origem a deformações relativas, que chamaremos de:
, rotação relativa de duas seções distantes de ds, devido ao momento fletor M;
, deslocamento axial relativo de duas seções distantes de ds, devido ao esforço normal N;
 , deslizamento relativo de duas seções distantes de ds, devido ao esforço cortante Q.
Assim, se calcularmos os valores das deformações relativas, teremos as seguintes expressões:
Rotacione a tela. 
E: módulo de elasticidade longitudinal do material;
G: módulo de elasticidade transversal;
I: momento de inércia de seção transversal em relação a seu eixo neutro;
S: área de seção transversal;
: coeficiente de redução de tensões cisalhantes, devido à sua distribuição não uniforme.
dφ
Δds
dh
dφ =
Mds
EI
; Δds =
Nds
ES
; dh =
χQds
GS
χ
Agora, veja a figura, a seguir, na qual se aplica uma carga unitária . Considere que todos os pontos da estrutura com esse carregamento
gerem deslocamentos exatamente iguais aos provocados pelo carregamento indicado anteriormente.
Deslocamentos virtuais devido ao carregamento externo
Apliquemos a esta estrutura com as cargas e esforços indicados, bem como os deslocamentos virtuais impostos, o teorema de trabalhos virtuais
aplicado aos corpos elásticos (que é o trabalho virtual das forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas). Assim, temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Incluindo os valores das deformações relativas calculados anteriormente, teremos as novas expressões a seguir:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Igualando-se o trabalho virtual das forças internas com as externas, temos:
Rotacione a tela. 
Preste atenção nas seguintes orientações:
Deve-se escolher um estado de carregamento de tal forma que a carga associada à deformação que se deseja calcular nos forneça um
trabalho virtual de forças externas igual a 
A escolha do estado de carregamento deve ser realizada caso a caso, de acordo com os exercícios que serão apresentados neste conteúdo.
Para efeitos práticos, as parcelas devidas à influência do esforço cortante e do esforço normal podem ser desprezadas, com exceção do caso
de esforços normais, dos casos de escoras, tirantes, barras de treliças e pilares esbeltos.
P̄ = 1
Wext  = P̄ ⋅ δ
Wint = ∫
l
M̄ ⋅ dφ + ∫
l
N̄ ⋅ Δds + ∫
l
Q̄ ⋅ dh
dφ =
Mds
EI
; Δds =
Nds
ES
; dh =
χQds
GS
Wint  = ∫
l
M̄ ⋅
Mds
EI
+ ∫
l
N̄ ⋅
Nds
ES
+ ∫
l
Q̄ ⋅
χQds
GS
P̄ ⋅ δ = ∫
l
M̄ ⋅
Mds
EI
+ ∫
l
N̄ ⋅
Nds
ES
+ ∫
l
Q̄ ⋅
χQds
GS
P̄ δ
P̄ ⋅ δ
Cálculo de deformações
Deformações devido a esforços
Vamos considerar um pórtico qualquer composto por barras retas e inércia constante, como o exemplo na ilustração a seguir:
Pórtico biapoiado.
A fórmula do cálculo da deformação também pode ser reescrita como:
Rotacione a tela. 
Considere com atenção a integral a seguir:
Rotacione a tela. 
Vamos desenvolver isso substituindo o valor de por uma função linear qualquer , com a e b constante. Assim, temos:
Rotacione a tela. 
A primeira integral da equação é a área Am, sob representação gráfica de uma função M. A segunda integral é o momento estático desta área em
relação ao eixo vertical.
Então, a equação se tornará:
omento estático
Momento estático é o produto de uma área pela coordenada do centroide desta área. Pode variar de acordo com o eixo a partir do qual este momento
de área é calculado.
Rotacione a tela. 
δ = ∫
l
MM̄ds
EI
= ∑∫
barra 
MM̄ds
EIbarra
EIδ = ∫ MM̄dx
M̄ M̄ = a + bx
EIδ = a∫
l
0
Mdx + b∫
l
0
xMdx
EIδ = Am (a + bxc)
Agora veja a ilustração de figura planas a seguir:
Figuras planas
O termo entre parênteses é igual à ordenada de na abscissa correspondente ao centroide de Am. Assim, o resultado fica:
Rotacione a tela. 
Muc é igual à área sob o diagrama de M pela ordenada do diagrama de na abscissa correspondente ao centroide da referida área.
O resultado desta integral pode ser resumido pelatabela de Kurt Beyer, mostrada adiante, que mostra o resultado deste produto para os
diagramas de carga concentrada e distribuída em um comprimento I de barra.
Para determinar o deslocamento sofrido por um pórtico, utiliza-se a tabela de Kurt Beyer, que faz uso dos diagramas das forças aplicadas dos
casos reais combinados com os virtuais. Para fazer o download da tabela de Kurt Beyer, clique aqui.
Deformações por variação de temperatura
Vejamos o caso de uma estrutura que esteja com suas fibras inferiores sujeitas a uma temperatura e suas fibras superiores sujeitas a uma
temperatura .
Consideremos ainda que essa temperatura varie linearmente, fazendo com que surja um deslocamento axial relativo entre as fibras superiores e
inferiores dado pela fórmula deduzida a seguir, na qual é a variação de temperatura do centro de gravidade:
Deslocamento axial relativo devido à temperatura
 (deslocamento axial relativo)
Vemos ainda que surge uma rotação relativa determinada por:
M̄
EIδ = Am ⋅ Muc
M̄
∫ MM̄dx
ti
te
tg
Δds = αtgds
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04313/pdf/tabela_kurt_beyer.pdf
Rotação relativa devido à temperatura
 (deslocamento axial relativo)
Onde é a diferença de temperatura entre e .
Aplicando isso ao princípio dos trabalhos virtuais a esta peça, se for submetida a um esforço normal N e a um momento fletor M, temos que:
Rotacione a tela. 
Substituindo os valores de ds e , e considerando barras com seção constante, temos:
Rotacione a tela. 
Depois de realizar as substituições e solucionar as integrais, teremos:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a carga unitária;
 é o coeficiente de dilatação linear do material;
 é a variação de temperatura do centro de gravidade;
;
 e são respectivamente áreas dos diagramas de esforço normal e de momento fletor;
H é a altura da peça.
Agora, vamos aplicar nosso conhecimento e compreender melhor como esta teoria funciona na prática, com o nosso mão na massa:
Mão na massa
Questão 1
O pórtico representado a seguir tem viga e colunas de seção transversal com I = 30000cm4. Sendo o material aço de E = 200GPa, calcule o
deslocamento horizontal do ponto B, sem a consideração das deformações do esforço normal e do esforço cortante.
Δϕ = αΔtds/h
Δt ti te
P̄δ = ∫
l
NΔds + ∫
l
Mdφ
Δ Δφ
P̄δ = αtg ∫
l
P̄ds +
α(ti − te)
h
∫
l
M̄dφ
P̄δ = αtgAN +
αΔtAM
h
P
–
α
tg
Δt = ti − te
AN AM

Captura de tela com software FTOOL
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
O pórtico representado a seguir tem viga e colunas de seção transversal com I = 29213cm4. Sendo o material aço de E = 205GPa, calcule o
deslocamento horizontal do ponto B, sem a consideração das deformações do esforço normal e do esforço cortante.
Captura de tela com software FTOOL
A 1,51cm
B 1,71cm
C 1,91cm
D 2,21cm
E 2,41cm
A 5,12cm
B 5,22cm
Parabéns! A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Cálculo do deslocamento horizontal
Questão 3
Encontre, dentre as opções a seguir, o deslocamento horizontal na extremidade livre da esquerda da estrutura, considerando E = 2 x 105kN/m2
e EI = 5000kNm2.
Captura de tela com software FTOOL
C 5,32cm
D 5,42cm
E 5,52cm
A 3cm
B 6cm
C 9cm
D 12cm
E 15cm
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Encontre, dentre as opções a seguir, o deslocamento horizontal, em módulo, do ponto indicado para o quadro abaixo, que tem EI = 2 x
104kNm2 para todas as barras.
Captura de tela com software FTOOL
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
O pórtico a seguir é uma seção I com h = 0,5m e é construído com um coeficiente de dilatação α = 10-5°C. Encontre, dentre as opções, o
deslocamento horizontal no apoio da direita, quando a temperatura das fibras superiores é de -10° C e das fibras inferiores é de 70°C.
A 7,38mm
B 7,88mm
C 8,38mm
D 8,68mm
E 8,88mm
Captura de tela com software FTOOL
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
O pórtico a seguir é construído com um coeficiente de dilatação . Pede-se, dentre as opções, o deslocamento vertical no ponto
marcado da estrutura, quando há uma diminuição uniforme de 30° C.
Captura de tela com software FTOOL
A 6,58mm
B 6,78mm
C 7,08mm
D 7,28mm
E 7,58mm
α = 10−5/∘C
A 1mm
B 2mm
C 3mm
D 4mm
E 5mm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Cálculo do deslocamento vertical
Teoria na prática
O pórtico a seguir é montado, conforme mostrado na figura. Houve por bem fazer os pilares verticais do pórtico com a metade do momento de
inércia do restante da estrutura. Se EIc é igual a 104kNm2, calcule o deslocamento horizontal no ponto de aplicação da carga de 10kN indicada.
Captura de tela com software FTOOL
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
_black
Mostrar solução
Considere o comprimento de uma viga igual a . Pela Tabela de Kurt Beyer, a combinação entre um diagrama de momentos fletores desta
viga, constantes, iguais a , e um diagrama de momentos fletores triangular, em um estado de deformação, com valor aponta que
 é igual a:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Vejamos o extrato da tabela a seguir:
Parte da tabela de Kurt Beyer.
Substituindo , temos que o valor da expressão é igual a (1/2) X ML. O que levaria à determinação da alternativa B como a correta.
Questão 2
A equação a seguir reflete o cálculo de deformações devido à diferença de temperatura:
Na equação, representa:
L
M M̄ = 1
∫ MM̄dx
A -ML/2
B ML/2
C ML/3
D ML/6
E -ML/6
M̄ = 1
P̄δ = αtgAN +
αΔtAM
h
tg
A variação de temperatura do centro de gravidade.
B diferença da temperatura na fibra inferior da fibra superior.
C
Parabéns! A alternativa A está correta.
Na equação mostrada, é a variação de temperatura do centro de gravidade, e não a diferença da temperatura na fibra inferior da fibra
superior. Não se refere nem a um coeficiente nem a uma propriedade geométrica da figura.
2 - As bases do método das forças
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o método das forças para resolução de estruturas hiperestáticas.
Vamos começar!
O método das forças para resolução de estruturas hiperestáticas
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
momento de inércia.
D momento estático de área.
E coeficiente de dilatação.
tg

Grau de hiperestaticidade
As estruturas podem ser classificadas em hipoestáticas, isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente
indeterminadas). Vejamos as definições a seguir:
Estruturas hipoestáticas
São denominadas assim quando não atingem uma condição de equilíbrio estável, principalmente por não apresentar restrições de apoio
suficientes para garantir sua estabilidade.
Estruturas isostáticas
São denominadas assim quando suas restrições garantem uma condição de equilíbrio estável, o que faz com que o número de incógnitas a
determinar seja igual ao número de equações de equilíbrio estático.
Estruturas hiperestáticas
São denominadas assim quando suas restrições garantem uma condição de equilíbrio estável. Além disso, o número de incógnitas a determinar é
maior que o número de equações de equilíbrio estático.
A maioria das estruturas utilizadas atualmente é hiperestática ou estaticamente indeterminada. Por isso, é interessante saber quais estruturas
devem ser hipostáticas, isostáticas ou hiperestáticas, principalmente pela determinação do grau de hiperestaticidade da estrutura.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura pode ser interno ou externo. O grau de hiperestaticidadeexterno é dado pela equação:
Rotacione a tela. 
Em que:
r é o número de reações da estrutura;
E o número de equações da estática;
Nr é o número de equações provenientes de rótulas. Considere Nr = b-1, em que b é o número de barras ligadas à rótula.
O grau de hiperestaticidade interno é igual ao número de esforços internos que são necessários ao traçado de todos os diagramas
necessários para a compreensão da estrutura.
Vamos ver alguns exemplos?
Estrutura hiperestática
(ge)
ge = r − e − nr
(gi)
Trata-se de 4 reações (1 engate com 3 + 1 apoio simples com 1);
Temos 3 equações;
Não há rótulas.
Assim: = r – e – nr = 4 - 3 - 0 = 1
Estrutura hiperestática
Trata-se de 5 reações (1 engate com 3 + 1 apoio do 2º gênero com 2);
Temos 3 equações;
Não há rótulas.
Assim: = r – e – nr = 5 - 3 - 0 = 2
Estrutura hiperestática
Trata-se de 5 reações (1 engate com 3 + 1 apoio do 2º gênero com 2);
Temos 3 equações;
Há uma rótula (b = 2).
Assim: = r – e – nr = 5 - 3 -1 = 1
ge
ge
ge
Estrutura hiperestática
Trata-se de 6 reações (3 apoios do 2º gênero com 2);
Temos 3 equações;
Há rótula (b = 3). Nr = 3 - 1 = 2
Assim: = r – e – nr = 6 - 3 - 2 = 1
Estrutura isostática
Trata-se de 3 reações (1 apoio do 2º gênero com 1 + 1 apoio simples com 1);
Temos 3 equações;
Assim: = r – e – nr = 3 - 3 - 0 = 0
Estrutura hipoestática
Trata-se de 2 reações (2 apoios simples com 1);
Temos 2 equações;
Não há rótulas.
Assim: = r – e – nr = 2 - 3 - 0 = - 1
Estrutura hiperestática com gi=3
Trata-se de um quadro fechado sem apoios;
Temos 3 equações;
Não há rótulas;
É
ge
ge
ge
É necessário quebrar a estrutura em um ponto para determinar seus diagramas de esforços.
Apresentação do método das forças
Agora que você já conhece os graus de hiperestaticidade, vamos entender como resolver uma estrutura hiperestática, estudando o Método das
Forças.
A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar e resolver uma estrutura hiperestática é “somar uma série de soluções básicas que
satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para na superposição
restabelecer as condições de compatibilidade.”
Vamos entender isso. Veja a estrutura a seguir de um pórtico biengastado:
órtico biengastado
Apresenta as duas extremidades engastadas, ou seja, com restrição à translação e à rotação.
Pórtico biengastado e carregado externamente
Vamos substituir esse sistema por um outro, como o mostrado adiante, em que se libera uma quantidade de vínculos tal para transformar essa
estrutura em isostática, sem qualquer alteração no ponto de vista estático:
Pórtico isostático biapoiado
Chamamos de Sistema Principal a estrutura isostática utilizada como base para a superposição de soluções básicas. Cada solução básica resulta
das condições de apoio da estrutura original, mas com vínculos liberados. Cada vínculo liberado é uma incógnita do problema e a ele damos o
nome de hiperestático e sua determinação é importantíssima para a resolução da estrutura.
Para cada vínculo liberado, é de se esperar que surja uma deformação que antes não existia. Então, para cada hiperestático, devemos impor
deslocamentos nulos nas direções dos hiperestáticos das estruturas. Assim, para cada incógnita liberada, teremos uma equação impondo que
o deslocamento na direção deste vínculo liberado é nulo.
Cada uma dessas soluções básicas, formadas por estas equações de deslocamento nulo de forma isolada, não satisfaz todas as condições de
compatibilidade da estrutura original. A resolução dessa estrutura passa pela superposição de todas essas soluções básicas. O número de casos
básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura, acrescido de 1; então, no caso acima, serão 4 casos básicos.
Atenção!
Xi
A resolução de uma estrutura n vezes hiperestática recairá em um sistema n x n, em que cada equação representa a condição de ser nulo o
deslocamento na direção de cada um destes hiperestáticos.
No caso acima, temos que resolver o sistema principal e cada um dos outros três casos básicos referentes aos hiperestáticos, totalizando quatro
casos diferentes para resolver, como mostramos na figura a seguir.
Estrutura hiperestática.
Sistema principal
Cálculo do hiperestático X1
Cálculo do hiperestático X2
Cálculo do hiperestático X3
Ou seja, a resolução passa por:
Rotacione a tela. 
Onde:
[S P C E] = SISTEMA PRINCIPAL COM CARREGAMENTO EXTERNO
[S P H] = SISTEMA PRINCIPAL COM HIPERESTÁTICOS PARA TODO I
Para resolver estas quatro formas estruturais, temos que ter três equações. A saída para se encontrar os quocientes é indexar as deformações
com dois índices , em que x se refere ao local e o segundo ao hiperestático que causa a deformação. Assim, temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
A solução do sistema anterior, chamado de sistema de equações de compatibilidade elástica, nos fornece os valores dos hiperestáticos Xn. Com
estes hiperestáticos, podemos obter os esforços atuantes (momentos fletores, esforços cortantes etc.) que atuam na estrutura.
Veja que o sistema de equações acima também pode ser escrito de forma matricial, como:
Rotacione a tela. 
Ou, então, de uma forma mais compacta:
Rotacione a tela. 
[SPCE] +
n
∑
I=1
[SPH]
XI = 1
δxy
δ10 + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0
δ20 + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0
δ30 + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0
+ = { }
⎧⎪⎨⎪⎩δ10δ20δ30⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩X1X2X3⎫⎪⎬⎪⎭ 0 0 0{δ0} + [δ]{X} = {0}
Em que:
, é o vetor dos termos de carga;
, é a matriz de flexibilidade da estrutura. Ela é sempre quadrada, simétrica, e tem ordem igual ao número de hiperestáticos da estrutura;
 é o vetor dos hiperestáticos. São as incógnitas do problema.
Podemos fazer então um roteiro para o método das forças:
Escolha do sistema principal;
Traçado do diagrama dos esforços no sistema principal;
Obtenção dos referentes ao sistema principal e aos hiperestáticos;
Formulação do sistema de equações de compatibilidade elástica;
Obtenção dos hiperestáticos ;
Obtenção dos efeitos finais, o que pode ser obtido pela expressão:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é o efeito que se deseja calcular;
 é o valor deste efeito no sistema principal;
 é o valor deste efeito durante o cálculo do hiperestático .
Demonstração do método
Seja a viga biengastada a seguir, de comprimento l, carga distribuída q e de hiperestaticidade.
Viga biengastada.
Vamos determinar as suas reações de apoio.
Para formar um Sistema Principal, temos que “transformá-la” em uma estrutura isostática por meio da liberação de tantas reações de apoio forem
necessárias. Faremos isso liberando os três vínculos, como mostrado a seguir:
{δ0}
[δ]
{X}
δ
{X}
E = E0 +∑EiXi
E
E0
E1 X1
Sistema principal
Resolvamos agora cada um dos casos básicos.
Caso : resolução do sistema principal com o carregamento, com hiperestáticos iguais a zero. O diagrama de momentos fletores e o traçado da
linha elástica do pórtico estão descritos a seguir:
Diagrama de momentos fletores
Diagrama de momentos fletores
Definimos então:
A rotação (à esquerda no pilar vertical).
A rotação (à direita no pilar vertical).
O deslocamento horizontal (à direita na barra inclinada).
Caso : Resolução do sistema com X1 = 1, X2 = 0 e X3 = 0. O diagrama de momentos fletores e o traçado da linha elástica do pórtico estão
descritos a seguir:
Diagrama de momentos fletores
M0
δ10
δ20
δ30
M1
Diagrama de momentos fletores com indicação da rotação
Definimos então:
A rotação (à esquerda no pilar vertical).
A rotação (à direita no pilar vertical).
O deslocamento horizontal (à direita na barra inclinada).
Caso : Resolução do sistema com X2 = 1, X1 = 0 e X3 = 0. O diagrama de momentos fletores e o traçado da linha elástica do pórtico estão
descritos a seguir:
Diagrama de momentos fletores
Diagrama de momentos fletores com indicação da rotação
Definimos então:
A rotação (à esquerda no pilar vertical).A rotação (à direita no pilar vertical).
O deslocamento horizontal (à direita na barra inclinada).
Caso Resolução do sistema com X3 = 1, X1 = 0 e X2 = 0. O diagrama de momentos fletores está descrito a seguir (não há momentos fletores
na viga e por consequência, a deformação devido à flexão é zero):
δ11
δ12
δ13
M2
δ21
δ22
δ23
M3
Diagrama de resolução do sistema
Definiríamos então, se o diagrama não fosse nulo:
A rotação (à esquerda no pilar vertical).
A rotação (à direita no pilar vertical).
O deslocamento horizontal (à direita na barra inclinada).
Todos as rotações e deslocamentos determinados devem ser calculados por meio do Princípio dos Trabalhos Virtuais, considerando os diagramas
de momentos fletores do sistema principal, e dos casos M1, M2 e M3. Assim, temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Montando as equações de compatibilidade estática, temos:
Rotacione a tela. 
δ31
δ32
δ33
 El  ⋅ δ10 = −(1/3) × I ×
ql2
8
= −
3ql2
24
 El  ⋅ δ20 = −(1/3) × 1 ×
ql2
8
= −
3ql2
24
El.δ30 = 0
El ⋅ δ11 = (1/3)XI × (−1) × (−1) = 1/3
 EI  ⋅ δ12 =  EI  ⋅ δ21 = (1/6) × I × (−1) × (−1) = 1/6
 El  ⋅ δ22 = (1/3) × I × (−1) × (−1) = 1/3
El ⋅ δ31 = El ⋅ δ32 = El ⋅ δ23 = El ⋅ δ13 = 0
{δ0} + [δ]{X} = {0} → {X} = −[δ]
−1 {δ0}
Rotacione a tela. 
Resolvendo-se a equação, temos que o vetor de hiperestáticos se torna:
Rotacione a tela. 
Calculemos os efeitos finais, o que pode ser obtido pela expressão:
Rotacione a tela. 
Chegando então que os momentos nos engastes é dado por , gerando o seguinte diagrama de momento fletor final:
Diagrama de momentos fletores (DMF da viga biengastada)
Mão na massa
Questão 1
O grau de hiperestaticidade da estrutura a seguir é:
Estrutura com carregamentos uniforme e concentrado
+ = 0 → {X} = −
−1
{ }
⎧⎪⎨⎪⎩δ10δ20δ30⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣δ11 δ12 δ13δ21 δ22 δ23δ31 δ32 δ33⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩X1X2X3⎫⎪⎬⎪⎭ ⎡⎢⎣l/3 l/6 0l/6 l/3 00 0 0⎤⎥⎦ − 3ql224− 3ql224{X} = ⎧⎪⎨⎪⎩ ql212ql2120 ⎫⎪⎬⎪⎭M = M0 +∑MiXi− ql212
Parabéns! A alternativa C está correta.
Vamos ver as reações de apoio da estrutura: um engaste, um apoio do segundo tipo e um apoio do primeiro tipo, totalizando seis reações. O
grau hiperestático é dado pela equação = r – e – nr. O número de reações é 6, o número de equações é 3 e o número de equações
provenientes de rótula é 1, pela presença da rótula em B. Assim, temos: = r – e – nr = 6 - 3 - 1 = 2. é igual a 2. A alternativa correta é a C.
Questão 2
Para a grelha espacial a seguir, o grau de hiperestaticidade é:
Grelha espacial
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
ge
ge ge
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
Parabéns! A alternativa D está correta.
As reações de apoio da estrutura se resumem a dois engastes com seis reações de apoio.
O grau hiperestático é dado pela equação ge = r – e – nr. O número de reações é 6, o número de equações é 3 e o número de equações
provenientes de rótula é 0.
Assim, temos: ge = r – e – nr = 6 - 3 - 0 = 3. ge é igual a 3. A alternativa correta é a D.
Questão 3
As duas reações de apoio referentes ao pórtico a seguir são dadas por:
Pórtico.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Determine o momento atuante no engaste do pórtico plano a seguir, com as barras tendo seção quadrada de 20cm de lado e E= 2,1 x
107kN/m2.
A 58,5kN e 61,5kN
B 61,5kN e 58,5kN
C 60,0kN e 60,0kN
D 55,0kN e 65,0kN
E 65,0kN e 55,0kN
Pórtico plano
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
O valor do momento do engaste da viga a seguir é:
Diagrama para momento do engaste da viga
A 34,72kNm
B 24,72kNm
C 14,72kNm
D -24,72kNm
E -34,7 kNm
A 48,871kNm
B 53,871kNm
C 58,871kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
O momento fletor máximo que ocorre na viga, de comprimento L, biapoiada hiperestática a seguir, com uma carga P incidindo em um ponto
distante a metros do apoio da esquerda e fazendo um ângulo θ, é dado pela expressão:
Viga biapoiada hiperestática
Parabéns! A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Cálculo da pela expressão do momento �etor máximo
D 63,871kNm
E 68,871kNm
A − Pab sen θl
B Pa sen θl
C Pab sen θl
D Pb sen θl
E P sen θl
Teoria na prática
Desenhe o diagrama de momento fletor da viga contínua a seguir:
Diagrama de momento fletor da viga contínua
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Na estrutura a seguir, se no lugar dos apoios tivéssemos engastes, o grau hiperestático da estrutura se tornaria:
_black
Mostrar solução
Estrutura com apoios
Parabéns! A alternativa E está correta.
Se tivéssemos três engastes, então teríamos 9 reações de apoio para serem determinadas. Temos ainda três equações e uma rótula ligada a
três barras. Assim, teremos: = r – e – nr = 9-3-2 = 4. O que nos levaria determinar que a alternativa E é a correta.
Questão 2
Na estrutura hiperestática a seguir, o valor do momento no engaste, em que o valor da carga distribuída é q e o comprimento é l, pode ser
representado por:
Estrutura hiperestática
A 0
B 1
C 2
D 3
E 4
ge
A − ql
2
7
B ql
2
8
C ql
2
12
D − ql
2
8
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
3 - Vigas contínuas e pórticos planos sob diversos carregamentos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar de casos simples de vigas contínuas e pórticos planos sujeitos a
carregamentos aplicados.
Vamos começar!
Vigas contínuas e pórticos planos sujeitos a carregamentos aplicados
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
E − ql
2
4

Vigas contínuas
A resolução de uma estrutura pelo método das forças segue alguns passos que já foram apresentados e que serão aqui reapresentados:
Depois de realizar o passo a passo, é importante você saber que os efeitos finais podem ser obtido pela expressão:
Rotacione a tela. 
1º passo
Escolha do sistema principal.
2º passo
Traçado do diagrama dos esforços no sistema principal.
3º passo
Obtenção dos referentes ao sistema principal e aos hiperestáticos.δ
4º passo
Formulação do sistema de equações de compatibilidade elástica.
5º passo
Obtenção dos hiperestáticos {X}.
6º passo
Obtenção dos efeitos finais.
E = E0 +∑EiXi
Em que:
 é o efeito que se deseja calcular;
 é o valor deste efeito no sistema principal;
 é o valor deste efeito durante o cálculo do hiperestático .
Grande parte do sucesso do problema está na escolha de um sistema principal compatível. Por uma questão de conveniência da solução, pode-se
eliminar os vínculos internos da estrutura hiperestática para a determinação do SP. Em outros casos, a única alternativa é a eliminação dos
vínculos externos.
Vamos ver agora como escolher sistemas principais convenientes para vigas contínuas e para pórticos planos.
Vigas contínuas são vigas com mais de dois pontos de apoio. Trata-se de um perfil importante para a composição de estruturas um pouco mais
complexas, como estruturas de edifícios.
É importante entendermos algumas formas mais simplificadas de resolver o caso específico das vigas contínuas. Já vimos que devemos escolher
um sistema principal ideal, isto é, uma estrutura que teve seus vínculos liberados até se tornar isostática. Por exemplo, temos a viga apresentada a
seguir:
Viga contínua
Teremos à nossa disposição os seguintes sistemas principais que podem ser utilizados para a resolução dos problemas:
Viga hiperestática e alguns de seus sistemas principais, parte 1.
Viga hiperestática e alguns de seus sistemas principais, parte 2.
Veja a seguir mais explicações sobre dois tipos desistemas de viga hiperestática:
E
E0
Ei Xi
Eliminação da hiperestaticidade – sistema principal.
Sistema principal obtido pela eliminação de apoios
Os hiperestáticos são formados eliminando os apoios internos da viga para se chegar ao SP. Desta forma, a solução pelo método se torna a
determinação dos valores dessas reações de apoio (hiperestáticos) para que, juntamente com o carregamento atuante, o deslocamento vertical
desses apoios que foram eliminados seja nulo.
Sistema principal com as rótulas.
Sistema principal obtido pela introdução de rótulas internas
O sistema principal para a resolução de vigas contínuas é obtido introduzindo vínculos internos de continuidade de rotação da linha elástica.
Desta forma, a solução pelo método se torna a determinação dos momentos fletores (hiperestáticos) que garantam a continuidade de rotação
da viga nestas seções.
Pórticos planos
Pórticos são estruturas constituídas por barras horizontais e verticais não alinhadas, bem como pontos de apoio que trazem estabilidade a esta
estrutura.
Para o caso de pórticos, os critérios para a formação do sistema principal passa pelas mesmas duas estratégias já apresentadas: introdução de
rótulas internas ou eliminação de apoios do pórtico, ou uma combinação das duas estratégias.
Como primeiro exemplo, na figura a seguir, vemos um pórtico com g= 3, ou seja, grau de hiperestaticidade da estrutura, já definido anteriormente.
Desta forma, pode-se escolher um sistema principal rotulando o apoio e liberando o momento dos engates ou simplesmente liberando os três
vínculos dos engastes.
Exemplos de sistemas principais para pórtico
O segundo exemplo exige atenção, pois há três graus de hiperestaticidade interna além da hiperestaticidade externa oriunda da rótula à direita
(g=4). Devemos então introduzir rótulas internas na estrutura visando à separação em quadros isostáticos mais simples, bem como se cortar uma
seção, como vemos adiante. Neste caso, os hiperestáticos são os esforços internos de ligação da estrutura na seção S.
Exemplos de sistemas principais para pórtico.
Mão na massa
Questão 1
Seja a viga contínua a seguir. O maior momento negativo que ocorre nela é:
Diagrama de viga contínua

A -24,0kNm
B -48,0kNm
C -72,0kNm
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
As reações de apoio (considere apenas as verticais, em módulo) referentes ao pórtico a seguir são, da esquerda para a direita,
respectivamente:
Diagrama de pórtico
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Os momentos negativos e positivos máximos na viga contínua retratada a seguir são, respectivamente:
D -96,0kNm
E -120,0kNm
A 9,6 kN, 44,0kN e 44,0kN
B 4,8 kN, 40,7kN e 40,7kN
C 4,8 kN, 4,8kN e 40,7kN
D 4,8 kN, 44,0kN e 40,7kN
E 4,8 kN, 40,7kN e 44,0kN
Diagrama de viga contínua
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Os valores dos momentos fletores nos apoios intermediários da viga contínua a seguir são:
Diagrama da viga contínua
A -80,0kNm e 120,0kNm
B -80,0kNm e 80,0kNm
C -120,0kNm e 120,0kNm
D -120,0kNm e 80,0kNm
E -60,0kNm e 120,0kNm
A 19,22kNm e 19,22kNm
B 26,42kNm e 19,22kNm
C 19,22kNm e 26,42kNm
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Os momentos nos três apoios intermediários referentes à viga hiperestática a seguir, do apoio mais à esquerda ao apoio mais à direita são,
respectivamente:
Diagrama da viga hiperestática
Parabéns! A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Cálculo dos momentos nos três apoios intermediários
D 26,42kNm e 26,42kNm
E -26,42kNm e -19,22kNm
A -22,52kNm, - 11,23kNm e 11,23kNm
B -11,23kNm, - 22,52kNm e 10,0kNm
C -22,52kNm, - 10,0kNm e 27,6kNm
D -10,0kNm, - 27,6kNm e 11,23kNm
E -22,52kNm, - 11,23kNm e 22,52kNm
Questão 6
O momento fletor máximo e o esforço cortante máximo, em módulo, no quadro hiperestático a seguir valem, respectivamente:
Diagrama do quadro hiperestático.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Determine o DMF, o DEC e o DEN do pórtico plano a seguir:
A 22,9kNm, 9kN
B 22,1kNm, 30,0kN
C 22,9kNm, 30,0kN
D 22,1kNm, 9,0kN
E 5,0kNm, 9,0kN
_black
Diagrama do pórtico plano
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma configuração possível de se selecionar os hiperestáticos da estrutura a seguir para torná-la isostática é:
Diagrama de estrutura hiperestática
Mostrar solução
A
Colocar duas rótulas na barra horizontal intermediária, uma na junção com a barra vertical da esquerda, e outra na junção com
a barra horizontal da direita.
B
Colocar duas rótulas na barra horizontal intermediária e duas na barra horizontal superior, duas na junção com a barra vertical
da esquerda, e as outras duas na junção com a barra horizontal da direita.
C Colocar duas rótulas nos pontos médios das barras horizontais superiores.
D
Colocar apenas uma rótula no ponto médio da barra horizontal superior e colocar duas rótulas na barra horizontal
intermediária, uma na junção com a barra vertical da esquerda, e a outra na junção com a barra horizontal da direita.
Parabéns! A alternativa E está correta.
O grau de hiperestaticidade da estrutura é seis, então devemos liberar seis vínculos. A única situação em que isso acontece é no pórtico D,
com a eliminação do engaste (3 vínculos) e de 3 rótulas, totalizando seis vínculos liberados.
Questão 2
Na viga contínua a seguir, o momento no apoio intermediário é:
Diagrama da viga contínua
Parabéns! A alternativa B está correta.
Adota-se como hiperestático a rótula sobre o apoio intermediário. Daí, temos o seguinte DMF com o desenvolvimento dos cálculos:
E
Eliminar o engaste da direita, tornando-o livre, colocar apenas uma rótula no ponto médio da barra horizontal superior e colocar
duas rótulas na barra horizontal intermediária, uma na junção com a barra vertical da esquerda, e a outra na junção com a barra
horizontal da direita.
A -15kNm
B -21kNm
C 15kNm
D 21kNm
E 9kNm
Diagrama da viga contínua
4 - Cálculos de recalques e deformações em estruturas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o método das forças ao cálculo de recalques e deslocamentos em estruturas
hiperestáticas.
Vamos começar!
Recalques e deslocamentos em estruturas hiperestáticas
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos que devem ser observados durante a leitura deste módulo. Vamos lá!
Aplicações a cálculos de recalques de apoio
Seja uma estrutura como a seguinte, cujos apoios sofrem recalques conhecidos. Se quisermos calcular deformações provocadas por eles,
devemos instituir os estados de carregamento e, por meio deles, o cálculo das deformações virtuais em todos os pontos da estrutura.

Pórtico biapoiado com recalques nos apoios
Se esse recalque determinado ocorrer sobre um apoio já existente ou redundante, a equação de compatibilidade será simplesmente definida igual
ao valor do movimento do apoio.
Assim, a fórmula (já aprendida) vai passar a incluir os recalques:
Rotacione a tela. 
Passando os recalques para o segundo membro, temos:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é a carga virtual no estado de deformação;
 é a deformação da estrutura;
 são as reações de apoio no estado de carregamento;
 são os recalques a elas correspondentes no estado de deformação.
Para uma estrutura hiperestática, a sequência executiva dos cálculos de recalques, como mostrado a seguir, é a mesma apresentada
anteriormente. Entretanto, os valores de δi0 são devidos ao cálculo do valor de . Se você tiver uma estrutura com a matriz de flexibilidade já
calculada,basta apenas compor o vetor de termos de carga com os valores correspondentes .
Aplicações a cálculos de deformações em estruturas hiperestática
Seja uma estrutura qualquer submetida a um carregamento indicado, para a qual desejamos, por exemplo, calcular o deslocamento de uma seção
S em uma direção genérica . Aplicando o princípio do trabalho virtual, podemos escrever:
Pórtico biapoiado – deslocamento de uma seção
P̄δ +∑ R̄ρ = 0
P̄δ = −∑ R̄ρ
P̄
δ
R̄
ρ
∑ R̄ρ
∑ R̄ρ
Δ
Agora veja a equação a seguir:
Rotacione a tela. 
A partir de um sistema principal qualquer, vamos explorar somente a parcela do teorema devido ao momento fletor e escrever as seguintes
equações:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Na equação anterior a partir de seus hiperestáticos.
Após simplificação dos termos nulos relacionados aos hiperestáticos, juntando os termos de M na segunda equação na integral da primeira
equação, podemos encontrar a seguinte equação:
Rotacione a tela. 
Em que:
 é o esforço atuante na estrutura hiperestática no estado de carregamento.
 é o esforço atuante no sistema principal isostático quando aplicado o carregamento externo.
A respeito desta expressão, apresentamos o chamado teorema da redução, assim como enunciado por Pasternak, da seguinte forma:
“Para se calcular deformações em uma estrutura hiperestática, empregando-se o teorema dos trabalhos virtuais,
um dos estados (o de carregamento ou o de deformação) deve ser tomado uma estrutura hiperestática, podendo
o outro ser tornado em um sistema principal isostático qualquer que dela se obtenha.”
Alguns autores apontam que, para o carregamento externo, o estado de deformação é tomado para a estrutura hiperestática, para conhecermos
seus diagramas solicitantes, a fim de dimensioná-la adequadamente. O estado de carregamento seria considerado em um sistema principal
isostático, obtido a partir da liberação de alguns vínculos da viga hiperestática.
Mão na massa
Questão 1
P̄ ⋅ δ = ∫
l
M̄ ⋅
Mds
EI
+ ∫
l
N̄ ⋅
Nds
ES
+ ∫
l
Q̄ ⋅
χQds
GS
P̄ ⋅ δ = ∫
l
M̄ ⋅
Mds
EI
M = M0 + M1X1 + M2X2
P̄ ⋅ δ = ∫
l
M ⋅
M0ds
EI
–
M
M0
–

Calcule o deslocamento vertical da seção central da viga biengastada de rigidez constante EI, comprimento L e submetida a um carregamento
distribuído uniformemente q, como indicado a seguir:
Diagrama da viga biengastada
Parabéns! A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Calcule a rotação da tangente à linha elástica de uma dos engastes da viga biengastada de rigidez constante EI, comprimento L e submetida a
um carregamento distribuído uniformemente q, como indicado a seguir:
Diagrama da viga biengastada
A δ = ql
3
216EI
B δ = ql
2
8EI
C δ = ql
3
384EI
D δ = ql
3
12EI
E δ = ql
4
384EI
A δ = ql
2
216EI
B δ = ql8EI
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
A partir da obtenção dos esforços da viga a seguir, escolha, dentre as opções, o momento negativo máximo na viga, considerando um
recalque no apoio mais à esquerda de 1,5cm e EI = 8,1 x 104kNm2.
Diagrama da viga
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
C δ = ql
4
384EI
D δ = 0
E δ = ql
2
12EI
A 176,28kNm
B 196,28kNm
C 206,28kNm
D 216,28kNm
E 236,28kNm
Dentre as opções a seguir, escolha a que corresponde aos dois hiperestáticos na estrutura, sabendo que o recalque vertical no engaste é de
1cm e o recalque horizontal no engaste é de 2cm. (Considere EI = 105kNm2 e os hiperestáticos.)
Diagrama da estrutura hiperestática
Parabéns! A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
Questão 5
Dentre as opções a seguir, escolha a que corresponde ao deslocamento vertical da seção central da estrutura, sabendo que (Considere EI =
105kNm2):
O recalque horizontal (em A) no apoio da direita é de 3cm da esquerda para a direita;
O recalque horizontal (em B) no apoio da esquerda é de 1cm da direita para a esquerda;
O recalque vertical (em C) no apoio da esquerda é de 2cm de cima para baixo.
A 58,5kN e 61,5kN
B 10,6kN e 25,6kN
C 10,6kN e 25,6kN
D 61,5kN e 58,5kN
E 65,0kN e 55,0kN
Diagrama de estrutura com recalque
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Dentre as opções, escolha o deslocamento vertical em B na estrutura a seguir, considerando EI = 105kNm2.
Diagrama de estrutura com deslocamento vertical
A 1cm
B 1,25cm
C 1,5cm
D 1,75cm
E 2cm
A Deslocamento nulo
B 0,25cm
C 0,5cm
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Determine a flecha no meio da barra horizontal na estrutura a seguir, considerando EI = 105kNm2.
Diagrama de estrutura
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Na expressão a seguir, representa:
D 0,75cm
E 1cm
_black
Mostrar solução
ρ
P̄δ +∑ R̄ρ = ∫
l
M ⋅
M0ds
EI
–
Parabéns! A alternativa C está correta.
Na expressão, representa o recalque que ocorre em um apoio. O valor dessa reação de apoio é , que também está presente na expressão.
Questão 2
Calcule o deslocamento (flecha) à linha elástica do engaste da viga a seguir, de rigidez constante EI, comprimento L e submetida a um
carregamento distribuído uniformemente q, como indicado:
Diagrama de viga
A o trabalho virtual.
B a reação de apoio.
C o recalque que ocorre em um apoio.
D o momento fletor.
E o hiperestático.
ρ R̄
A y = ql
2
216EI
B y = ql8EI
C y = ql
4
384EI
D y = 0
E y = ql
2
12EI
Parabéns! A alternativa D está correta.
Na estrutura, utiliza-se o método das forças para achar a deformação no apoio. É de se esperar, pelos cálculos, que este valor seja igual a zero,
pois se trata de um engaste no qual a deformação e a rotação são iguais a zero.
Considerações �nais
Acabamos de aprender mais sobre o Método das Forças, um dos grandes métodos de resolução de estruturas hiperestáticas. Vimos como montar
a matriz de flexibilidade e os vetores que formam o sistema de resolução do método em inúmeras aplicações diferentes, como carregamentos
diversos, recalques, e deformações de temperatura.
O cálculo dos esforços e dos momentos relacionados às estruturas (esforços normais, esforços cortantes, momentos fletores) é de suma
importância para, primeiro, compreender os outros métodos de resolução de estruturas, e em seguida, aplicar os resultados a análises mais
complexas de estruturas reais, conforme você verá no prosseguimento de seus estudos.
Podcast
Agora, encerramos o tema falando fazendo um breve resumo dos principais tópicos que foram abordados ao longo dos módulos.

Referências
GERE, J. M.; WEAVER J. W. Análise de estruturas reticuladas. Rio de Janeiro: Guanabara, 1987.
GERE, J. M.; WEAVER J. W. Analysis of Framed Structures. Nova York: D. Van Nostrand, 1965.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013.
LEET, M. K.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.
MARTHA, L. F. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 1. ed. Amsterdã: Elsevier Editora Ltda, 2010.
SORIANO, H. L. Análise de estruturas: método das forças e dos deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural I. 7. ed. Porto Alegre: Globo, 1977.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural: deformações em estruturas. Método da Força. v. 2. 4. ed. Porto Alegre: Globo, 1980.
VENÂNCIO FILHO, F. Análise matricial de estruturas: estática, estabilidade, dinâmica. Rio de Janeiro: A. Neves, 1975.
Explore +
Você sabia que existem programas específicos para resolução de estruturas de Engenharia Civil?
Um dos programas de análise de estruturas planasmais utilizado para estudantes de engenharia é o Ftool, desenvolvido na PUC-RJ.
Ele possui uma interface bastante amigável e intuitiva para lançamento de estruturas e desenvolvimento de diagramas de esforços e momentos
em estruturas.
Conheça mais sobre ele no site da própria Ftool.