Slides de Aula Unidade II Estatística

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Prof. Me. José Lorandi
UNIDADE II
Estatística
 As Medidas de Tendência Central são usadas para representar o conjunto de dados em um 
único valor. 
 São medidas de Tendência Central a Média, a Moda e a Mediana. 
Medidas e Tendência Central 
 A primeira medida de Tendência Central a ser abordada é a Média, que é um estimador 
adequado para dados razoavelmente comportados (sem dados discrepantes). 
 A Média pode ser Simples ou Ponderada.
Médias 
 Somatório é um operador matemático indicado por Σ usado para somas sucessivas. 
 No Somatório, indica-se um índice com seu valor inicial e seu valor final, e esse índice é 
incrementado por uma unidade a cada parcela somada. 
Médias – Somatório 
Matematicamente, temos:
 Embaixo do símbolo de Somatório, define-se o índice que 
será incrementado e passamos o seu valor inicial. 
 Sobre o símbolo de Somatório, colocamos o valor 
final do índice. 
 Neste exemplo, o valor inicial do índice i é 0, e o valor final é n. 
Então, somam-se as parcelas de x cujo índice varia desde o 
valor inicial 0 até o valor final n.
 É usual adotarmos as letras i ou j para índice de somatórios.
Médias – Somatório 
 Exemplo da Aplicação. 
Calcule o valor da seguinte expressão matemática:
No exemplo, a expressão pede para realizar o Somatório entre os próprios valores assumidos 
pelo índice i. Expandindo o Somatório, com o índice i iniciando em 1 e terminando em 5, temos:
Médias – Somatório
 A Média de um conjunto de dados xi costuma ser indicada por x. 
 Usa-se a notação X para representar a Média. 
 A Média Aritmética Simples de N dados é obtida somando-se esses dados e dividindo-se o 
resultado da soma pelo número de dados N.
Matematicamente, temos:
 Note que, para resolver essa equação, primeiro é preciso 
calcular o Somatório, que indica a soma de todos os dados xi, 
com i de 1 até N, e depois é preciso dividir o resultado pelo 
número de dados N.
Média Aritmética Simples
 Exemplo de aplicação
 Imagine que os tempos de resposta de um computador ligado em rede sejam os listados 
na tabela 14 a seguir. 
Média Aritmética Simples
Figura 1 - Cabos passando por trás de uma máquina 
Fonte: Disponível em: https://cutt.ly/OMx8p2R
Pode-se calcular o tempo de resposta 
médio desse computador usando a 
seguinte equação:
 Como são 4 dados e N indica o número de dados, temos 
N = 4; logo, a soma dos dados deve ser feita do primeiro dado 
da tabela até o quarto e último dado, usando a letra t em vez 
de x na equação por se tratar da variável tempo (usualmente 
representado por t). Portanto,
Média Aritmética Simples
Tempo de
resposta (ms)
1,013
1,102
1,004
1,121
Tabela 1 – Tempos de resposta de um computador ligado em rede
Calcula-se primeiro a soma que está no numerador da fração:
Média Aritmética Simples
Então, calcula-se a divisão:
 Logo, o tempo de resposta médio desse computador na rede é de 1,060 ms.
 O tempo de resposta do computador em rede foi calculado em ms, ou seja, em 
milissegundos. 
Média Aritmética Simples
Fernando está avaliando o preço médio de sua tarifa de energia elétrica nos cinco primeiros 
meses do ano. A planilha mostra os valores por mês, de janeiro a maio.
Sua meta é fechar o semestre com um preço médio de R$ 130,00. Para alcançar a meta, o 
maior preço possível a pagar na tarifa do mês de junho será de:
a) R$ 109,05.
b) R$ 125,65.
c) R$ 130,87.
d) R$ 98,55.
e) R$ 100,62.
Interatividade 
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
R$ 173,00 R$ 113,58 R$ 145,67 R$ 98,50 R$ 123,60
Resposta correta: b) R$ 125,65.
Para determinar o maior preço a ser pago para manter o preço médio na meta, devemos 
calcular a média aritmética nos seis meses. Chamando de X o preço a ser pago em 
junho, temos:
Portanto, o preço máximo a se pagar na conta de junho, é 
de R$ 125,65.
Resposta 
 Alguns Prefixos 
Alguns Prefixos 
Nome do prefixo Valor do prefixo
mil (m) 10-3 ou 0,001
micro (μ) 10-6 ou 0,000001
nano (n) 10-9 ou 0,000000001
kilo (k) 103 ou 1.000
mega (M) 106 ou 1.000.000
giga (G) 109 ou 1.000.000.000
tera (T) 1012 ou 1.000.000.000.000
Tabela 15 – Alguns prefixos
 A Média Ponderada é calculada de modo que cada dado é multiplicado por seu peso pi. 
Se temos N medidas xi, cada uma associada a um peso pi, a Média Ponderada é 
calculada por:
 Note que, no numerador da fração, há a soma do produto de 
cada medida pelo seu peso e, no denominador, a soma de 
todos os pesos.
 Lembrando que é preciso calcular os somatórios para em 
seguida calcular a divisão. 
Média Ponderada
Exemplo de aplicação
 Considere o caso de um aluno que tirou as seguintes notas: 8 na primeira prova, 7 na 
segunda prova e 4 na terceira prova. 
 Se pensarmos em Média Aritmética Simples, a média do aluno seria superior a 5 e ele 
estaria aprovado na disciplina. 
 Mas a vida não é tão simples para esse aluno, pois a última prova tem peso 3 e as demais 
têm peso 1.
Média Ponderada
Para calcular a média do aluno, é preciso usar a Média Ponderada. Da equação para esse 
cálculo, temos: 
Substituindo os pesos e as notas no somatório, ficamos com:
Média Ponderada
 Note que, no numerador, soma-se o produto do peso de cada prova pela nota da respectiva 
prova e, no denominador, temos a soma dos pesos de cada prova.
Fazendo os cálculos, chega-se a:
 A Média Ponderada das notas das provas, com nota 8 na 
primeira prova, nota 7 na segunda e nota 4 na terceira, com 
peso 3 na última prova e peso 1 nas demais, foi 5,4. 
 Logo, o aluno foi aprovado ao considerar a média mínima 
igual a 5 para aprovação.
Média Ponderada
 A Mediana é o valor central de um conjunto de dados quando esses são organizados em um 
Rol, seja ele crescente ou decrescente. 
 Se temos uma quantidade ímpar de dados, o valor central é determinado sem maiores 
problemas, mas se temos um número par de dados, a Mediana é a média dos dois 
valores centrais.
 A Mediana é frequentemente indicada por Md.
Mediana
 Considere as medidas para a espessura de uma chapa metálica, em milímetros, expressas 
na tabela 17 a seguir.
 Para calcular a Mediana, precisamos primeiro 
ordenar os dados. 
 Aqui, faremos a ordenação de forma crescente, mas o 
resultado seria o mesmo se a ordenação fosse decrescente.
Mediana
Espessura (mm)
2,03
2,41
1,99
1,82
2,06
2,03
2,01
Tabela 17 – Medidas da espessura de uma chapa metálica, em milímetros
 Ordenando os dados do menor para o maior, temos o que se mostra na tabela 18 a seguir.
 O valor central da tabela é 2,03, pois temos 3 dados abaixo e 
3 dados acima desse valor. 
 Então, a mediana na espessura da chapa metálica é 2,03 mm. 
Mediana
Espessura (mm)
1,82
1,99
2,01
2,03
2,03
2,06
2,41
Tabela 18 – Medidas ordenadas da espessura
de uma chapa metálica, em milímetros
A Média Ponderada dos números 5, 12, 20 e 15 com pesos respectivamente 
iguais a 1, 2, 3 e 4 é:
a) 16,0.
b) 14,9.
c) 17,2.
d) 17,8.
e) 18,0.
Interatividade 
Alternativa correta é B
Calculando a Média Ponderada:
Resposta 
4
60
149
14,9
 Definimos como Moda o valor mais frequente de uma distribuição de dados. 
 A Moda é o valor com maior número de ocorrências. 
 A Moda costuma ser indicada por Mo.
Moda
 Voltando aos dados do exemplo de distribuição de salários em uma empresa, temos os 
seguintes valores.
 A Moda desses valores é o valor mais frequente, ou seja, com 
maior número de ocorrências. 
 A faixa de valores com maior número de ocorrências é a faixa 
de 6 a 8 salários mínimos, com 12 funcionários com esse 
rendimento. 
 Considerando a Moda como o ponto médio do intervalo, a 
Moda é igual a 7 salários mínimos. 
Moda
Tabela 21 – Distribuição dos salários em uma empresa
Salário (em salários mínimos)
Número de 
funcionários
0├ 2 0
2├ 4 5
4├ 6 3
6├ 8 12
8├ 10 4
 Podemos também calcular a Moda a partir de dados organizados em um Histograma.
 Considere o Histograma a seguir, com os resultadosde 14 lançamentos de um 
dado de 6 faces.
 A Moda é o valor mais 
frequente, ou seja, de 
maior número de ocorrências.
 Analisando o Histograma, 
vemos que o valor mais 
frequente foi 2. Logo, a 
Moda é 2.
Moda
Considere o histograma a seguir, com os resultados de 14 lançamentos de 
um dado de 6 faces.
frequência
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 face
Figura 22 – Exemplo de histograma construído a partir dos dados da tabela 3,
com dados de frequência relativa dos resultados de 14 lançamentos de um 
dado de 6 faces
Distribuição de frequência para lançamento de um dado numérico de 6 faces
 As Medidas de Dispersão têm como objetivo indicar o “espalhamento” dos dados, ou seja, se 
eles estão mais concentrados perto do valor médio ou mais espalhados em relação a 
esse valor. 
Medidas de Dispersão
Figura 2 – Exemplo de espalhamento aplicado a discos coloridos
 A Amplitude Total, representada por A, é calculada pela diferença entre o maior dado e o 
menor dado do conjunto. 
Indicando um elemento qualquer do conjunto de dados como xi, com o menor dado sendo xmin
e o maior dado sendo xmax, temos:
Amplitude Total
A = xmax – xmin
 Na cotação de uma peça para reposição em um servidor, foram obtidos os seguintes valores:
 Determina-se a Amplitude Total dos dados pela 
diferença entre o valor máximo e o valor mínimo. 
 O valor máximo registrado na tabela 22 é R$ 683,20, e 
o mínimo, R$ 600,00. Dessa forma, tem-se: 
 A = 683,20 - 600,00 
 A = 83,20 
 Logo, a Amplitude Total dos preços da peça de 
reposição do servidor é igual a R$ 83,20.
Amplitude Total
Tabela 22 – Cotação de preços de uma peça para o servidor
Preço da peça (R$)
632,12
600,00
621,00
683,20
610,10
 Caso os dados estejam organizados em uma distribuição de frequências, podemos 
determinar a Amplitude Total de duas formas: 
 A Amplitude A é dada pela diferença entre o ponto médio da maior classe (ou intervalo) e o 
ponto médio da menor classe (ou intervalo). 
 A Amplitude A é dada pela diferença entre o limite superior da maior classe (ou intervalo) e o 
limite inferior da menor classe (ou intervalo).
O ponto médio de uma classe é calculado por: 
 Na equação, Ls é o limite superior e Li é o limite inferior da 
classe (ou intervalo). 
Amplitude Total
Quais valores são, respectivamente, a moda, média e mediana dos números da lista a seguir?
133, 425, 244, 385, 236, 236, 328, 1000, 299, 325
a) 236; 361,1 e 312.
b) 244; 361 e 312.
c) 236; 360 e 312.
d) 236; 361,1 e 310.
e) 236; 361,1 e 299.
Interatividade 
Resposta: A alternativa correta é A
 A moda é o número que aparece com maior frequência. 
 Observe que todos os números aparecem apenas uma vez na lista, exceto 236, que aparece
duas vezes. Assim, a moda é 236.
 A média é obtida pela soma de todos os números e dividindo o resultado pela quantidade de
números somados:
M = 133 + 425 + 244 + 385 + 236 + 236 + 328 + 1000 + 299 + 325
10
M = 3611
10
M = 361,1
Resposta 
 A mediana é o número central de uma lista em ordem crescente.
 Caso a lista tenha um número par de elementos, é a média entre os dois números centrais.
133, 236, 236, 244, 299, 325, 328, 385, 425, 1000
299 + 325 = 624 = 312
2 2
 Assim, Moda, Média e Mediana são: 236; 361,1 e 312.
Resposta 
 O Desvio Médio Simples é um indicador de dispersão dos dados que considera o quanto 
cada dado xi se afasta do valor médio x. 
O Desvio Médio Simples é indicado por Dm e é calculado por:
 Na equação, N é o número de dados da população ou da amostra.
Desvio Médio Simples
A dispersão desses dados pode ser estimada calculando-se o Desvio Médio Simples, como 
feito a seguir.
Desvio Médio Simples
Diâmetro (mm)
20,34
20,39
20,28
20,34
Tabela 7 – Medidas de diâmetro de uma bolinha de gude
 O Desvio Médio Simples é a soma dos módulos das diferenças entre cada valor xi e o valor 
médio x, dividida pelo número de dados N. 
 É preciso, então, calcular a Média dos dados. 
 Para calcular a Média, soma-se todos os dados e divide-se esse resultado pelo número de 
dados, que, no caso, é N = 4.
Desvio Médio Simples
Voltando ao cálculo do Desvio Médio, ficamos com:
Desvio Médio Simples
𝐃𝐦 =
𝐍
𝐢 = 𝟏|Σ 𝐱𝐢− 𝐱 |
𝐍
𝐃𝐦 =
𝟐𝟎, 𝟑𝟒 − 𝟐𝟎, 𝟑𝟒 + 𝟐𝟎, 𝟑𝟗 − 𝟐𝟎, 𝟑𝟒 + 𝟐𝟎, 𝟐𝟖 − 𝟐𝟎, 𝟑𝟒 + |𝟐𝟎, 𝟑𝟒 − 𝟐𝟎, 𝟑𝟒
𝟒
𝐃𝐦 =
𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟓 + −𝟎, 𝟎𝟔 + |𝟎|
𝟒
Como o módulo de um número positivo é esse valor numérico positivo, e o módulo de um 
número negativo é esse valor numérico, mas também positivo, temos:
 Logo, o Desvio Médio das medidas de diâmetro da 
bolinha de gude é Dm = 0,027 mm.
Desvio Médio Simples
 O Desvio Padrão é uma medida da dispersão dos dados em torno da média que considera o 
quadrado do desvio de cada dado em relação ao valor médio. 
 O Desvio Padrão é frequentemente indicado pela letra grega 𝜎. 
 O Desvio Padrão é calculado de forma distinta se temos uma amostra ou uma população.
No caso de uma população, o Desvio Padrão 𝜎 de um conjunto de N dados xi, de valor médio x 
é dado por:
 Note que o procedimento de cálculo dessa expressão envolve 
subtrair o Valor Médio de cada dado e elevar o resultado ao 
quadrado, somar os resultados dessa diferença ao quadrado 
para todos os dados, dividir pelo número de dados para, 
finalmente, calcular a raiz quadrada do resultado.
Variância e Desvio Padrão
Se os dados são organizados em uma distribuição de Frequências fi de Ponto Médio Pmi, 
ainda para uma população, o Desvio Padrão é dado por:
No caso de uma amostra, o Desvio Padrão 𝜎 de um conjunto de N dados xi, de valor médio x é 
dado por:
Variância e Desvio Padrão
Se os dados são organizados em uma distribuição de Frequências fi de Ponto Médio Pmi, 
ainda para uma amostra o desvio padrão é dado por:
 A variância é indicada por 𝜎2 e é o quadrado do Desvio Padrão. 
 Novamente, pelo fato de os cálculos do Desvio Padrão e, consequentemente, da variância 
envolverem somas com vários termos, o uso de tabelas facilita o processo algébrico.
Variância e Desvio Padrão
 O Desvio Padrão é uma estatística que tem como objetivo apontar o espalhamento dos 
dados em torno do valor médio. 
 Quanto maior o Desvio Padrão, maior o espalhamento dos dados.
 Considere os seguintes valores médios e os Desvios Padrões para os conjuntos de medidas 
de tempo de resposta de um servidor em uma rede.
Interpretação do Desvio Padrão
Qual dos conjuntos de dados tem menor espalhamento, ou seja, está mais concentrado em 
torno do valor médio?
 O conjunto de dados com menor espalhamento é o com menor Desvio Padrão, ou seja, o 
conjunto de dados com x = 1,4 ms e 𝜎 = 0,1 ms.
Interpretação do Desvio Padrão
Numa turma, 20 alunos fizeram uma prova de matemática e a média desse grupo de alunos foi 
de 8,2, com desvio padrão de 0,85. 
Este mesmo grupo de alunos tira em português média de 7,8, com Desvio Padrão de 0,69. 
Na disciplina de matemática, qual foi maior a dispersão?
a) Matemática: 0,85 / 8,2 = 0,10 ou 10%.
b) Matemática: 0,95 / 8,2 = 0,10 ou 100%.
c) Matemática: 0,75 / 8,2 = 0,10 ou 1000%.
d) Matemática: 0,65 / 8,2 = 0,10 ou 10000%.
e) Matemática: 0,45 / 8,2 = 0,10 ou 100000%.
Interatividade 
Resposta: A alternativa correta é A
 Maior dispersão é calculada pelo desvio padrão sobre a média.
 Maior dispersão = Desvio padrão / Média.
Então, temos que:
 Matemática: 0,85 / 8,2 = 0,10 ou 10%
a) Matemática: 0,85 / 8,2 = 0,10 ou 10%.
b) Matemática: 0,95 / 8,2 = 0,10 ou 100%.
c) Matemática: 0,75 / 8,2 = 0,10 ou 1000%.
d) Matemática: 0,65 / 8,2 = 0,10 ou 10000%.
e) Matemática: 0,45 / 8,2 = 0,10 ou 100000%.
Resposta 
ATÉ A PRÓXIMA!