Lista_2_GA

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SMA0300 Geometria Analítica
Segunda Lista de Exercícios – Dependência linear
Exercício 1. A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decida se cada uma das afirmativas
abaixo é verdadeira ou falsa:
A
B
CD
E
F
G
H
"
"
""
"
"
""
"
"
""
"
"
""
(a)
−−→
DH =
−−→
BF .
(b)
−−→
AB =−−−→HG.
(c)
−−→
AB é paralelo a−−→CG.
(d) ||
−→
AC|| =||−−→HF ||.
(e)
−−→
BG é paralelo a−−→ED.
(f) os vetores−−→AB,−−→BC e−−→CG são coplanares.
(g) os vetores−→AC ,−−→DB, e−−→FG são coplanares.
(h)
−−→
DC é paralelo ao plano que contém os pontosH ,E e F .
Exercício 2. Considere o paralelepípedo retângulo como abaixo:
A
B
CD
E
F
G
H
"
"
""
"
"
""
"
"
""
"
"
""
(a) Escreva o vetor−→AG como combinação linear dos vetores−→AE,−−→AD e−−→AB.
(b) Escreva o vetor−−→BH como combinação linear dos vetores−→AE,−−→AD e−−→AB.
(c)O vetor−→AG pode ser escrito como combinação linear de−→AC ,−−→AD e−−→AB? Justifique sua resposta.
Exercício 3. Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais
são falsas.
(a) Se u⃗ e v⃗ são L.I., então u⃗, v⃗, w⃗ são L.I. para todo w⃗.
(b) Se u⃗ e v⃗ são L.D., então u⃗, v⃗, w⃗ são L.D. para todo w⃗.
(c) Se u⃗, v⃗, w⃗ são L.D., então u⃗, v⃗ são L.D.
Exercício 4. Se os vetores u⃗, v⃗ e w⃗ são tais que u⃗ e v⃗ são L.I., u⃗ e w⃗ são L.D. e v⃗ e w⃗ são L.D., mostre que
w⃗ = 0.
Exercício 5. Decida se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: “Se um conjunto
de vetores é L.D., então qualquer um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.”
Exercício 6. Prove que se o conjunto de vetores (u⃗, v⃗, w⃗) é L.I., então (u⃗ + v⃗ + w⃗, u⃗ − v⃗, 3w⃗) também é
L.I., o mesmo sucedendo com (u⃗+ v⃗, u⃗− w⃗, v⃗ + w⃗).
Exercício 7. Prove que (u⃗, v⃗) é L.I. se, e somente, se (u⃗+ v⃗, u⃗− v⃗) é L.I..
Exercício 8. Prove que (u⃗ − 2v⃗ + w⃗, 2u⃗ + v⃗ + 3w⃗, u⃗ + 8v⃗ + 3w⃗) é L.D. quaisquer que sejam os vetores
u⃗, v⃗, w⃗.
GABARITO
• Exercício 1: V,F,F,V,F,F,V,V.
• Exercício 2: a)−→AG = −→AE +−−→AD +−−→AB.
b)−−→BH = −→AE +−−→AD −−−→AB.
c) Não.
• Exercício 3: o item (b) é verdadeiro.
• Exercício 5: F.
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