SLIDES DE AULA

Prévia do material em texto

Profa. Deiby Gouveia
UNIDADE I
Matemática Aplicada
 Demanda.
 Oferta.
 Ponto de equilíbrio.
 Representação gráfica.
 Análise econômica.
 Equação demanda e oferta.
Objetivos
Quando vai ao restaurante, o que influencia a sua escolha?
O que vai comer?
O preço?
Tem promoção?
Quando vai ao mercado, como escolhe o produto?
Necessidade?
Marca?
Preço?
Tem promoção?
Pergunta???
Expressão latina traduzida como: 
“outras coisas sendo iguais”.
 É usada para lembrar que todas as variáveis que não aquela que está sendo 
estudada, são mantidas constantes. “Tudo o mais constante”.
 Verifica o efeito das variáveis isoladas, 
independentemente dos efeitos de outras variáveis.
Ex.: Δ preço sobre procura de determinado bem.
 Outras variáveis: renda do consumidor, gosto, 
preferência são constantes.
Coeteris Paribus
Analisar um mercado
isoladamente
Supor todos os demais
mercados constantes
Fonte: VASCONCELLOS, M.A.S. Economia Micro e Macro.
O que é demanda?
Qual o seu significado?
Onde e como pode ser usada?
Demanda de mercado
 Demanda (ou procura)  quantidade de determinado bem ou serviço que os 
consumidores desejam adquirir em um dado período.
 A demanda não representa a compra efetiva, mas a intenção de comprar, 
a dado preço.
 A escala de demanda indica quanto (quantidade) o consumidor pode adquirir, 
dadas várias alternativas de preço de um bem ou serviço.
Demanda de mercado
 Função demanda (ou procura)  função que a todo preço (P) associa à demanda 
ou a procura de mercado.
 Variações de preço provocam, de alguma maneira, variações de 
quantidade/demanda.
 D = f(P)  função de 1 grau (y = ax +b).
 Condição  P > 0 e D > 0.
 Grandezas inversamente proporcionais
Função demanda de mercado
Preço Demanda
$ Alta
$$$ Baixa
Exemplo 1: demanda de mercado (o caso do refrigerante)
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Fatores que afetam a quantidade de produto que se quer ou pode comprar:
 Preço.
 Gosto.
 Renda.
 Expectativa.
 Marca.
 Número de consumidores.
 Atendimento.
 Promoção.
Determinantes da demanda
Exemplo 2: demanda por caneta esferográfica
Básica Sofisticada
Preço $ $$$
Demanda Alta Baixa
Preço Demanda
$ Alta
$$$ Baixa
Pede-se:
a) Identificar as condições para que ocorra DEMANDA.
b) Representação gráfica.
c) Análise econômica.
Exemplo 3: o preço da coxinha no “Boteco da Lalá” é estabelecido pela 
função: D = 10 – 2P 
a) Identificar as condições para que ocorra DEMANDA.
 Para que ocorra Demanda D > 0 e P > 0
Se D > 0
10 – 2P > 0
10 > 2P
10 / 2 > P
P < R$ 5,00
 Portanto: 0 < P < 5 e 0 < D < 10
Exemplo 3: o preço da coxinha no “Boteco da Lalá” é estabelecido pela 
função: D = 10 – 2P 
D = 10 – 2P
D + 2P = 10
P = (10 – D) / 2
Se P > 0
(10 – D) / 2 > 0
10 – D > 0 . 2
10 – D > 0
10 > D ou D < 10,00
b) Representação gráfica
 D = 10 – 2P
Exemplo 3: o preço da coxinha no “Boteco da Lalá” é estabelecido pela 
função: D = 10 – 2P 
P (R$) D
0,00 10
5,00 0
0
Preço: R$
Demanda: q
10
5,00
c) Análise econômica
 D = 10 – 2P
Exemplo 3: o preço da coxinha no “Boteco da Lalá” é estabelecido pela 
função: D = 10 – 2P 
P D
1,00 8
2,00 6
3,00 4
4,00 2
0
Preço: R$
Demanda: q
10
5,00
Uma importadora de vinhos conseguiu calcular a demanda de mercado de 
determinado vinho francês. A demanda é expressa por D = 5000 – 30P. 
Uma vez que a vinícola francesa estabeleceu condições comerciais 
limitando a quantidade, pergunta-se: 
a) Como o preço desse produto pode variar?
b) Que preço deve ser colocado no vinho para que a demanda seja superior 
a 1500 unidades?
Exemplo 4
a) Como o preço desse produto pode variar?
 Condição para que ocorra demanda: P > 0 e D > 0
 Considerando D > 0
D = 5000 – 30P
5000 – 30P > 0
5000 > 30P
5000 > P  166,67 > P  P < R$ 166,67
30
 Portanto 0 < P < R$ 166,67
Exemplo 4
b) Que preço deve ser colocado no vinho para que a demanda seja superior a 
1500 unidades?
D = 5000 – 30P
5000 – 30P > 1500
5000 -1500 > 30P
3500 > 30p
3500 > P  116,67 > P  P < R$ 166,67
30
 Portanto P < R$ 116,67
Exemplo 4
Observe o gráfico e as afirmações:
I. Quando o preço está em um nível elevado, 
a demanda pelo produto é menor.
II. Ao preço de R$ 10,00; teremos somente 
8000 produtos vendidos.
III. Se o preço está a um nível mais baixo, 
a demanda pelo produto será maior.
IV. Ao preço de R$ 5,00 haverá 15.000 
unidades vendidas.
Interatividade
Preço R$
Demanda de mercado
10
4
Demanda
Qtde
(kg)8.000 15.000
Observe o gráfico e as afirmações:
 Quais afirmações são verdadeiras?
a) I e II.
b) I, II e III.
c) II e IV.
d) II, III e IV.
e) III e IV.
Interatividade
Preço R$
Demanda de mercado
10
4
Demanda
Qtde
(kg)8.000 15.000
Observe o gráfico e as afirmações:
I. Quando o preço está em um nível elevado, 
a demanda pelo produto é menor.
II. Ao preço de R$ 10,00; teremos somente 
8000 produtos vendidos.
III. Se o preço está a um nível mais baixo, 
a demanda pelo produto será maior.
IV. Ao preço de R$ 5,00 haverá 15.000 
unidades vendidas.
Resposta
Preço R$
Demanda de mercado
10
4
Demanda
Qtde
(kg)8.000 15.000
Observe o gráfico e as afirmações:
 Quais afirmações são verdadeiras?
a) I e II.
b) I, II e III.
c) II e IV.
d) II, III e IV.
e) III e IV
Resposta
Preço R$
Demanda de mercado
10
4
Demanda
Qtde
(kg)8.000 15.000
 Preço do suíno vivo aumenta em SP.
 “A alta dos preços de carne suína em determinado período pode incentivar 
suinocultores a aumentar a produção, ou até mesmo levar novos produtores a 
passarem a oferecer no mercado.
 Em contrapartida, se o preço da carne suína estiver em baixa, os produtores 
poderão mudar para outro tipo de produção” 
(Fonte: Globo Rural, 2012).
Oferta de mercado
 Oferta  é a quantidade de produtos que vendedores desejam e podem produzir 
para vender a diversos níveis de preço.
 Função oferta: relação entre o preço de mercado de um bem e a quantidade 
desse mesmo bem que os produtores estão dispostos a produzir e a vender.
 Variações de preço provocam, de alguma maneira, variações de quantidade 
ofertada (produzida).
 S = f(P)  Função de 1 grau (y = ax +b).
 Condição  P > 0 e S > 0.
 Grandeza Diretamente 
Proporcional
Oferta de mercado
Preço Oferta
$ Baixa
$$$ Alta
Exemplo 5: oferta de mercado (o caso do refrigerante)
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Fatores que afetam o aumento e a redução da oferta
Aumento
 Número de produtores 
e/ou vendedores aumenta.
 Preço de produtos alternativos diminui.
 Tecnologia melhora.
 Custos diminuem.
 Subsídios aumentam.
 Impostos diminuem.
Diminuição
 Número de produtores 
e/ou vendedores diminui.
 Preço de produtos 
alternativos aumenta.
 Tecnologia deteriora.
 Custos aumentam.
 Subsídios diminuem.
 Impostos aumentam.
Exemplo 6: oferta por caneta esferográfica
Básica Sofisticada
Preço $ $$$
Oferta Baixa Alta
Preço Oferta
$ Baixa
$$$ Alta
Pede-se:
a) Intervalo de variação do preço.
b) Representação gráfica.
c) Análise econômica.
Exemplo 7: o dono do “Boteco da Lalá” verificou que a oferta de 
mercado do seu produto (coxinha) é dada por S = -8 + 2P com 
P  R$ 10,00 
a) Intervalo de variação em relação ao preço.
 Se S > 0
-8 + 2P > 0
2P > 8
P > 8 / 2
P > R$ 4,00
 Portanto: R$ 4,00 < P  R$ 10,00. 
Exemplo 7: o dono do “Boteco da Lalá” verificou que a oferta de 
mercado do seu produto (coxinha) é dada por S = -8 + 2P com 
P  R$ 10,00 
b) Representação gráfica
 S = - 8 + 2P
R$ 4,00 < P  R$ 10,00
0 < S  12 unidades
Exemplo 7: o dono do “Boteco da Lalá” verificou que a oferta de 
mercado do seu produto (coxinha) é dada por S = -8 + 2P com 
P  R$ 10,00 
P (R$) S
4,00 0
10,00 12
0 Preço: R$
Oferta: q
12
4,00 10,00
c) Análise econômica
 S = - 8 + 2P
Exemplo 7: o dono do “Boteco da Lalá” verificou que a oferta de mercado 
do seu produto (coxinha) é dada por S = -8 + 2P com P R$ 10,00 
P (R$) S
4,00 0
5,00 2
6,00 4
7,00 6
0 Preço: R$
Oferta: q
12
4,00 10,00
Pede-se:
a) Quais preços da oferta do produto existirão e serão menores do que 
12 unidades?
b) Representação gráfica.
c) Quantos produtos serão oferecidos se o preço for superior a R$ 15,33?
Exemplo 8: considere a função oferta S = -12 + 3P com P  R$ 20,00 
a) Quais preços da oferta do produto existirão e serão menores do que 
12 unidades?
 S > 0
-12 + 3P > 0
3P > 12
P > 12 / 3
P > R$ 4,00
 Portanto: para preços que variam entre R$ 4,00 e 
R$ 8,00, a oferta será entre zero e 12 unidades.
Exemplo 8: considere a função oferta S = -12 + 3P com P  R$ 20,00 
 Se S < 12
-12 + 3P < 12
3P < 12 + 12
P < 24 / 3
P < R$ 8,00
b) Representação gráfica
 S = - 12 + 3P
R$ 4,00 < P  R$ 20,00
0 < S  48 unidades
Exemplo 8: considere a função oferta S = -12 + 3P com P  R$ 20,00 
P (R$) S
4,00 0
20,00 48
0 Preço: R$
Oferta: q
48
4,00 20,00
c) Quantos produtos serão oferecidos se o preço for superior a R$ 15,00? 
(Considerar apenas o valor inteiro)
 S = -12 + 3P
S + 12 = 3P
P = (S + 12) / 3
P = 0,33 S + 4
 Portanto, se o preço for superior a R$ 15,00 serão 
oferecidas acima de 33 unidades.
Exemplo 8: considere a função oferta S = -12 + 3P com P  R$ 20,00 
 P > R$ 15,00
0,33 S + 4 > 15,00
0,33 S > 15 – 4
0,33 S > 11 
S > 11 / 0,33
S > 33,33
Considere a função oferta S = -15 + 2P, com P  R$ 30,00. Para que preços haverá 
oferecimento do produto?
a) P > R$ 5,00.
b) P > R$ 7,50.
c) P > R$ 10,00.
d) P > R$ 18,50.
e) P > R$ 22,50.
Interatividade
Considere a função oferta S = -15 + 2P, com P  R$ 30,00. Para que preços haverá 
oferecimento do produto?
a) P > R$ 5,00.
b) P > R$ 7,50.
c) P > R$ 10,00.
d) P > R$ 18,50.
e) P > R$ 22,50.
Resposta
 Considere a função oferta S = -15 + 2P com P  R$ 30,00. Para que preços 
haverá oferecimento do produto?
b) P > R$ 7,50
 Resposta: Para que ocorra mercado, o produto deve ser oferecido para a venda 
(S > 0).
Resposta
S > 0
−15 + 2𝑃 > 0
2P > 15
P >
15
2
P > 𝑅$ 7,50
Exemplo: Sai inverno entra verão: 
Como ficam as roupas?
 Possíveis efeitos:
Preço e quantidade de equilíbrio
Demanda
 Diminui a demanda por roupas de inverno.
 Renda será utilizada para compra de roupa de verão.
 Preferência: Não se vê necessidade de comprar, pois a roupa 
pode estar fora de moda no próximo inverno etc.
Oferta
 Loja: queda dos preços.
 Loja: liquidações.
 Loja: necessidade de capital de giro (custo de estoque).
 Equilíbrio de mercado  quantidades oferecidas de um bem tangível ou 
intangível são iguais às quantidades demandadas.
 Preço de equilíbrio  preço para o qual as quantidades oferecidas são iguais às 
quantidades demandadas.
 Quantidade de equilíbrio  quantidades em que tanto a procura como a oferta 
são iguais.
Preço e quantidade de equilíbrio
Preço e quantidade de equilíbrio (o caso do refrigerante)
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Preço e quantidade de equilíbrio (o caso do refrigerante)
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Uma empresa de plástico fabrica cestos de lixo e determinou as seguintes 
equações de demanda e oferta:
Demanda: D = 40 – 2P
Oferta: S = -15 + 3P com P  R$ 20,00
Pede-se:
a) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. 
b) Representação gráfica das duas funções no mesmo plano cartesiano.
Exemplo 9
 Dados: D = 40 – 2P e S = -15 + 3P com P  R$ 20,00.
a) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio  Ponto de Equilíbrio (PE)
 D = S
40 – 2P = -15 + 3P
40 + 15 = 3P + 2P
55 = 5P
55 / 5 = P  P = R$ 11,00 (PE)
 Determinando Q.E
D = 40 – 2P
D = 40 – 2.(11)
D = 40 – 22  D = 18 unidades (Q.E)
Exemplo 9 
b) Representação gráfica 
Exemplo 9 
P (R$) D = 40 – 2P
0,00 40
20,00 0
P (R$) S = -15 + 3P
5,00 0
20,00 45
Fonte: livro-texto
Aumento da demanda resulta em:
 Deslocamento da demanda para direita.
 Aumento na quantidade de equilíbrio.
 Aumento no preço de equilíbrio.
Aumento da demanda
P
Q/t
D0
E0
S
P0
Q0
E1
P1
Q1
D1
Fonte: a autora
Diminuição da demanda resulta em:
 Deslocamento da demanda para esquerda.
 Diminuição na quantidade de equilíbrio.
 Diminuição no preço de equilíbrio.
Diminuição da demanda
P
Q/t
E0
S
P0
Q0
E1
P1
Q1
D1
D0
Fonte: a autora
Aumento da oferta resulta em:
 Deslocamento da oferta para direita.
 Aumento na quantidade de equilíbrio.
 Diminuição no preço de equilíbrio.
Aumento da oferta
P
Q/t
D
E0
P0
Q0
E1
P1
Q1
S1
S0
Fonte: a autora
Diminuição da oferta resulta em:
 Deslocamento da oferta para esquerda.
 Diminuição na quantidade de equilíbrio.
 Aumento no preço de equilíbrio.
Diminuição da oferta
P
Q/t
D
E0
S0
P0
Q0
E1
P1
Q1
S1
Fonte: a autora
Excesso de demanda
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Excesso de oferta
Fonte: Aulas do Prof. Germano
Sistema de concorrência pura
Excesso de demanda (escassez de oferta)
Existirá concorrência entre consumidores para compra.
Formam-se filas
Tendência ao aumento de preço
Fonte: https://pt.dreamstime.com/foto-de-stock-royalty-free-fila-
infinita-image30869255
Sistema de concorrência pura
Excesso de oferta (escassez de demanda)
Existirá concorrência entre empresas para vender os 
bens aos escassos consumidores
Formam-se estoques
Tendência à redução de preço
Fonte: https://pt.dreamstime.com/imagem-de-stock-printshop-
armaz%C3%A9m-de-papel-image17449361
 Dados do exemplo 10: D = 40 – 2P e S = -15 + 3P, com P  R$ 20,00.
Interpretação dos resultados:
Exemplo 11 
P (R$) D = 40 – 2P D
0,00 40 - 2(0) 40
5,00 40 - 2(5) 30
10,00 40 - 2(10) 20
11,00 40 - 2(11) 18
15,00 40 - 2(15) 10
20,00 40 - 2(20) 0
P (R$) S = –15 +3P S
0,00 –15 +3(0) -15 
5,00 –15 +3(5) 0
10,00 –15 +3(10) 15
11,00 -15 + 3.(11) 18
15,00 –15 +3(15) 30
20,00 –15 +3(20) 45
Exemplo 11 
Excesso 
demanda
Excesso 
oferta
Observe o gráfico e assinale a alternativa incorreta:
a) O preço de equilíbrio satisfaz tanto ao consumidor quanto ao produtor (D = S).
b) O preço de equilíbrio é R$ 70,00.
c) A quantidade de equilíbrio é de 30 unidades.
d) Quando a oferta é R$ 100,00; 
a demanda é igual a R$ 40,00.
e) Quando a oferta é R$ 20,00; 
a demanda é igual a R$ 120,00.
Interatividade
Fonte: Demanda, oferta e equilíbrio de mercado; 2010, Bráulio Wilker Silva
Observe o gráfico e assinale a alternativa incorreta:
c) A quantidade de equilíbrio é de 30 unidades. Resposta correta: A quantidade de 
equilíbrio é de 35 unidades.
Resposta
Fonte: Demanda, oferta e equilíbrio de mercado; 2010, Bráulio Wilker Silva
Situação 1: Quando o preço de uma camiseta é R$ 35,00; 25 unidades são 
oferecidas e, quando o preço é R$ 45,00, 40 unidades são oferecidas. Pede-se:
a) Identificar se é uma função demanda ou oferta.
b) Determinar a função p = f(x), supondo-a linear (y = ax+b) para x unidades do 
bem a um preço p.
Determinação das funções demanda e oferta
Situação 1: Quando o preço de uma camiseta é R$ 35,00; 25 unidades são 
oferecidas e, quando o preço é R$ 45,00, 40 unidades são oferecidas. Pede-se:
a) Identificar se é uma função demanda ou oferta.
 Função oferta.
 Equação do tipo p = a x + b  a x + b = p.
Determinação das funções demanda e oferta
Preço Quantidade
35,00 25
45,00 40
b) Determinar a função p = f(x), supondo-a linear (y = ax+b) para x unidades do
bem a um preço p.
Resolver o sistema:
Determinação das funções demanda e oferta
Preço Quantidade
35,00 25
45,00 40
ax +b = p
25. a + b = 35 (I) 
40.a +b = 45 (II)
Resolver o sistema:
(25, 35) → 25 a + b = 35 (I)
(40, 45) → 40 a + b = 45 (II)
1º passo: isolando b em (I)  25a + b = 35  b = 35 – 25a
2º passo: substituindo b em (II)  40 a + (35 – 25a) = 45
40a – 25a = 45 – 35
15a = 10
a = 10/15
a = 0,67
Determinação das funções demanda e oferta
3º passo: escolher a equação (I) ou (II) para determinar b:
b = 35 – 25a
b = 35 – 25 0,67
b = 18,25
Se a = 0,67 e b = 18,25, então:
 P = ax + b
 P = 0,67x + 18,25
Determinação das funções demanda e oferta
Situação 2: Quando o preço de uma camiseta é R$ 60,00; 10 unidades são 
vendidas. Quando o preço é de R$ 50,00; são vendidas 16 camisetas.
Pede-se:
a) Identificar se é uma função demanda ou oferta.
b) Determinar a função p = f(x), supondo-a linear (y = ax+b) para x unidades do 
bem a um preço p.
Determinação das funções demanda e oferta
Situação 2: Quando o preço de uma camiseta é R$ 60,00; 10 unidades são 
vendidas. Quando o preço é de R$ 50,00; são vendidas 16 camisetas. Pede-se:
a) Identificar se é uma função demanda ou oferta.
 Função demanda.
 Equação do tipo p = a x + b  a x + b = p.
Determinação das funções demanda e oferta
Preço Quantidade
60,00 10
50,00 16
b) Determinar a função p = f(x), supondo-a linear (y = ax+b) para x unidades do 
bem a um preço p.
Resolver o sistema:
Determinação das funções demanda e oferta
Preço Quantidade
60,00 10
50,00 16
ax +b = p
10.a + b = 60 (I) 
16.a +b = 50 (II)
Resolver o sistema:
(10, 60) → 10 a + b = 60 (I)
(16, 50) → 16 a + b = 50 (II)
1º passo: isolando b em (I)  10.a + b = 60  b = 60 – 10a
2º passo: substituindo b em (II)  16a + b = 50
16a + (60 – 10a) = 50
16a – 10a = 50 – 60
6a = – 10
a = – 1,67
Determinação das funções demanda e oferta
3º passo: escolher a equação (I) ou (II) para determinar b:
b = 60 – 10a
b = 60 – 10  (– 1,67)
b = 76,7
Se a = -1,67 e b = 76,7, então:
 P = ax + b
 P = -1,67x + 76,7
Determinação das funções demanda e oferta
 Situação 3: com base nas equações de oferta e demanda das situações 1 e 2, 
calcule o preço de equilíbrio, mostrando-o graficamente.
Determinação do ponto de equilíbrio
 Situação 3: com base nas equações de oferta e demanda das situações 1 e 2, 
calcule o preço de equilíbrio, mostrando-o graficamente.
Solução: O preço de equilíbrio é obtido pela solução do sistema formado pelas 
equações de oferta e demanda, ou seja, as equações:
P = 0,67 x + 18,25 (S)
P = -1,67 x + 76,7 (D)
Determinação do ponto de equilíbrio
Para determinar o preço de equilíbrio, é necessário igualar as duas equações:
 D = S
-1,67x + 76,7 = 0,67x +18,25
76,7-18,25 = 0,67x + 1,67x
58,45 = 2,34x
58,45 / 2,34 = x
x = 24,98 ~ 25 unidades (Q.E)
 Determinando P.E
P = 0,67x +18,25
P = 0,67. (25) +18,25
P = 16,75 + 18,25  P = R$ 35,00 (P.E)
Determinação do ponto de equilíbrio
Determinação do ponto de equilíbrio 
X P = -1,67x + 76,7
0 R$ 76,67
~46 0
x S = 0,67x + 18,25
0 R$ 18,25
- -
 Se o preço colocado nas camisas for de R$ 38,00 haverá excesso ou escassez 
de oferta? Justifique sua resposta.
 Resposta: Haverá excesso de oferta, pois esse valor está favorável ao produtor e 
não ao consumidor.
Análise
Em um mercado, as curvas de demanda e oferta estão definidas pelas funções 
D = 100 – 0,1P e S = 60 + 0,15P. Qual é o preço de equilíbrio?
a) 500.
b) 160.
c) 130.
d) 50.
e) 13.
Interatividade
Em um mercado, as curvas de demanda e oferta estão definidas pelas funções 
D = 100 – 0,1P e S = 60 + 0,15P. Qual é o preço de equilíbrio?
b) 160.
Solução:
100 – 0,1P = 60 + 0,15P
100 – 60 = 0,15P + 0,1P
40 = 0,25P
0,25P = 40
P = R$ 160,00
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!
Profa. Deiby Gouveia
UNIDADE II
Matemática Aplicada
 Receita (p é fixo).
 Receita (p não é fixo).
 Maximização da receita.
 Representação gráfica.
 Custo total.
 Custo médio.
 Ponto de nivelamento ou break even point.
 Representação gráfica.
 Lucro.
 Análise econômica.
Objetivos
 O que é?
 Quantia total que a firma recebe pela venda de uma quantidade de produtos.
 Função receita: R = f(x).
Podemos ter:
 Preço é fixo  R = p.x
 Preço não é fixo  R = p.D
Receita total
 Venda de salgados: R = 3·q, 0  q  60.
 Representação gráfica
 y = a.x + b
 R = 3.q
Exemplo de receita total (“p” é fixo)
q (unid) R (R$)
0 0,00
10 30,00
20 60,00
30 90,00
40 120,00
50 150,00
60 180,00
q (quantidade)
RT (R$)
180,00
600
Uma empresa de peças automotivas vende determinada peça por R$ 110,00 cada. Pensando 
em ter uma receita de R$ 2.100,00 por mês, quantas peças devem 
ser vendidas?
R = p. q 
R = 110. q
2100 = 110.q
2100 / 110 = q
q = 19 unidades
Exemplo 1 
q (quantidade)
RT (R$)
2.100,00
190
 Quando o preço de um produto não é fixo, a receita total pode variar, pois se o preço muda, 
a procura pelo produto (demanda = quantidade “q”) também 
se altera.
 Função receita total associada à venda do produto  RT = P · D
Importante:
 Subir preços não garante aumento da receita total.
Função receita (“p” não é fixo)
Suponha que a demanda de mercado de um determinado sabor de sorvete seja dada por:
 D = 40 – 5P em que R$ 0,00 < P < R$ 8,00 e 0 < D < 40.
 Vamos estabelecer a expressão da receita total RT = P · D somente em função da variável 
D: qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que torna a receita total (RT) 
máxima???
Exemplo 2 
 D = 40 – 5P em que R$ 0,00 < P < R$ 8,00 e 0 < D < 40
 Importante!!!
 Aumento de preços não garante aumento da receita total.
Exemplo 2 
P ($) D = 40 – 5P RT = P · D
0,00 40 – 5 · 0 = 40 unid 0 · 40 = R$ 0,00
2,00 40 – 5 · 2 = 30 unid 2 · 30 = R$ 60,00
4,00 40 – 5 · 4 = 20 unid 4 · 20 = R$ 80,00
6,00 40 – 5 · 6 = 10 unid 6 · 10 = R$ 60,00
8,00 40 – 5 · 8 = 0 unid 8 · 0 = R$ 0,00
 Dada a demanda de mercado de meia infantil D = 20 – 2P.
 A variação de preço (primeira coluna) altera a receita total.
 Importante!!!
 Subir preços não garante aumento da receita total.
Exemplo 3
P D RT = P.D
1,00 20 – 2 · 1 = 18 unid 1 · 18 = R$ 18,00
3,00 20 – 2 · 3 = 14 unid 3 · 14 = R$ 42,00
5,00 20 – 2 · 5 = 10 unid 5 · 10 = R$ 50,00
7,00 20 – 2 · 7 = 6 unid 7 · 6 = R$ 42,00
9,00 20 – 2 · 9 = 2 unid 9 · 2 = R$ 18,00
As pesquisas de mercado para um modelo de caderno universitário indicam que a sua função 
demanda é dada pela expressão D = 48 – 2P. Pede-se:
a) Estabelecer a expressão da receita total RT = f(D).
b) Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que tornará a receita total (RT) 
máxima?
c) Determine a receita máxima.
d) Determine o preço correspondente à demanda de 24 unidades do 
produto vendido.
e) Representar graficamente a função receita.
Exemplo 4 
a) Estabelecer a expressão da receita total RT = f(D).
1. Isolando” P em função de D:
D = 48 – 2P
D + 2P = 48
2P = 48 – D
P = (48 – D) / 2 
P = 48/2 – D / 2
P = 24 – 0,5D
Exemplo 4
2. Substituindo” em RT = P · D:
RT = (24 – 0,5D) · D
RT = 24D – 0,5D²
b) Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que tornará a receita total (RT) 
máxima?
 Função receita: RT = – 0,5D² + 24D
 Lembrete: y = ax2+bx +c
Exemplo 4
xv = - b
2a
yv =-
4a
x
y
xv
yv
0
b) Qual deverá ser o valor de D (quantidade de procura) que tornará a receita total (RT) 
máxima?
 Função receita: RT = – 0,5D² + 24D (a=-0,5 b = 24 c = 0)
 xv = - b 
2a
 D = -24  D = 24 unidades
2(-0,5) 
Exemplo 4
x
y
xv
yv
0
c) Determine a receita máxima
 Função receita: RT = – 0,5D² + 24D (a=-0,5 b = 24 c = 0)
 Rmáx  yv = -
4a
 yv = -(b
2-4.a,c)  Rmáx = -(242 -4.(-0,5).(0)) Rmáx = R$ 288,00 
4a 4(-0,5)
Exemplo 4
x
y
xv
yv
0
d) Determine o preço correspondente à demanda de 24 unidades do 
produto vendido.
 Função demanda: P = 24 – 0,5D
P = 24 – 0,5.(24)
P = R$ 12,00
Exemplo 4
e) Representar graficamente a função receita
 Função Receita: RT = – 0,5D² + 24D (a=-0,5 b = 24 c = 0)
 Considerar RT = 0
  = b2 – 4ac
 = (24)2-4.(-0,5).0
 = 576
Exemplo 4
 Função receita: RT = – 0,5D² + 24D
Exemplo 4
D (unid)24
0
RT (R$)
48
288
 Existirá, ao preço (P) de R$ 12,00, 
uma demanda (D) de 24 unidades 
do produto para que a receita total 
(RT) de R$ 288,00, nesse caso, 
seja a maior possível.
Considerando D = 24 – 2P,determine a expressão da receita total (RT = f(D)), além do valor de 
D (Demanda) que torna a receita total (RT) máxima.
a) RT = 24D – D² e D = 24 unidades.
b) RT = 12D + 5D² e D = 17 unidades.
c) RT = 0,5D + 24D² e D = 5 unidades.
d) RT = 5D – 12D² e D = 20 unidades.
e) RT = 12D – 0,5D² e D = 12 unidades.
Interatividade
Considerando D = 24 – 2P, determine a expressão da receita total RT = P · D (somente em 
função da variável D), além do valor de D (Demanda) que torna a receita total (RT) máxima.
e) RT = 12D – 0,5D² e D = 12 unidades.
Determinando a função RT:
 D = 24 – 2P  2P = 24 – D  P = 24/2 – D/2  P = 12 – 0,5D
 RT = P · D  RT = (12 – 0,5D) · D  RT = 12D – 0,5D²
Determinando a demanda para RT máxima:
Resposta
A função custo está relacionada aos gastos efetuados para produção ou aquisição de alguma 
mercadoria ou produto, tais como: 
 Aluguel, transporte, salário, matéria-prima, impostos etc. 
 Quantia que a empresa gasta pagando pelos insumos de produção.
 CT = CF + CV, 
 em que CT é o custo total, CF é o custo fixo e CV é o custo variável.
Custo total
 Custo fixo  não varia com a quantidade produzida.
 Custo variável  custos que variam com a quantidade produzida.
Custo total
Custo Total 
(R$)
Custo Fixo
(R$)
Custos Variáveis 
(R$)
30,00 30,00 0,00
40,00 30,00 10,00
50,00 30,00 20,00
60,00 30,00 30,00
70,00 30,00 40,00
80,00 30,00 50,00
Custo (ou despesa) Fixo (CF)
 Constituído de parcelas que não dependem da quantidade produzida, como: aluguel, 
material de escritório, material de limpeza, seguros e outros.
 Trata-se de um conjunto de despesas que a empresa teria que pagar mesmo que parasse de 
produzir.
Exemplos: 
 Salários e encargos sociais dos supervisores e de outros funcionários da 
área industrial.
 Despesas com depreciação calculadas linearmente. 
 Despesas financeiras. 
 Aluguéis, imposto predial, iluminação etc.
Custo fixo
Custo (ou despesa) Variável (CV)
 O valor total aumenta ou diminui, direta e proporcionalmente, com as flutuações ocorridas na 
produção e na venda.
 São custos diretamente ligados à produção.
Exemplo: 
 Consumo de matéria-prima e de outros materiais de produção.
 Energia industrial.
 Materiais de embalagem.
 Fretes.
 Comissões sobre vendas.
 Impostos e contribuições calculados sobre o 
faturamento etc.
Custo variável
CT = CF + CV
 CT  soma do custo variável com o custo fixo e representa o total dos gastos que a 
empresa tem dentro de um período considerado.
 CT = CF + cu.x
Custo total
Curva de custo total
Custo
Total
$80
70
60
50
40
30
20
10
Quantidade Produzida0 20 40 1401201008060
Curva de
Custo Total
Custo Total 
(R$)
Custo Fixo
(R$)
Custos 
Variáveis (R$)
30,00 30,00 0,00
40,00 30,00 10,00
50,00 30,00 20,00
60,00 30,00 30,00
70,00 30,00 40,00
80,00 30,00 50,00
O custo médio "CM(x)"
 É o quociente entre o custo total "C(x)" e a quantidade "x" produzida. 
 Representa o custo de cada unidade produzida.
 Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) é o custo total 
dividido pela quantidade, isto é:
Custo médio
O custo variável médio (custo unitário) de produção de chinelos é de R$ 12,00 e o custo fixo 
associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de 0 a 100 unidades. 
Se o preço de venda, na mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, pede-se:
a) A função custo total (CT).
b) A representação gráfica.
c) A função receita total (RT).
d) A representação gráfica.
e) O custo total (CT) associado a uma produção de 75 unidades desse bem.
f) Qual será o custo médio de produção de cada unidade, se forem produzidas 80 unidades?
Exemplo 5
O custo variável médio (custo unitário) de produção de chinelos é de R$ 12,00 e o custo fixo 
associado à produção é de R$ 60,00 para quantidades variáveis na faixa de 0 a 100 unidades. 
Se o preço de venda, na mesma faixa, é de R$ 20,00/unidade, pede-se:
a) A função custo total (CT).
 CT = CF + CV
 CT = 60 + 12 · q (0 < q < 100)
Exemplo 5
b) Representação gráfica
Exemplo 5
q CT = 60 + 12 · q
0 60 + 12 · 0 = 60
25 60 + 12 · 25 = 360
50 60 + 12 · 50 = 660
75 60 + 12 · 75 = 960
100 60 + 12 · 100 = 1.260
c) A função receita total (RT):
 RT = p · q
 RT = 20 · q (0 < q < 100)
d) A representação gráfica:
Exemplo 5
q (unid) R = 20.q
0 0,00
100 2.000,00
q (quantidade)
RT (R$)
2.000,00
1000
e) O custo total (CT) associado a uma produção de 75 unidades desse bem:
 CT = 60 + 12 · q
 CT = 60 + 12 · (75) = 60 + 900 = R$ 960,00
f) Qual será o custo médio de produção de cada unidade, se forem produzidas 
80 unidades?
 Assim, o custo de produção de cada unidade, em média, é de R$ 12,75. 
Exemplo 5
O custo total de um fabricante de camisa consiste em uma quantia fixa de 
R$ 200,00 somada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Expresse o custo 
total como função do número de unidades produzidas e, se há produção, determine o custo 
total mínimo.
a) CT = 200 – 50q e CT mín = R$ 250,00.
b) CT = 50 + 200q e CT mín = R$ 50,00.
c) CT = 200 + 50q e CT mín = R$ 250,00.
d) CT = – 50 + 250q e CT mín = R$ 0,00.
e) CT = 250 + 200q e CT mín = R$ 50,00.
Interatividade
O custo total de um fabricante de camisa consiste em uma quantia fixa de 
R$ 200,00 somada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Expresse o custo 
total como função do número de unidades produzidas e, se há produção, determine o custo 
total mínimo.
c) CT = 200 + 50q e CT mín = R$ 250,00.
Resolução: 
CT = CF + CV  CT = 200 + 50q
Para determinar o custo total mínimo:
CT = 200 + 501 
CT = R$ 250,00.
Resposta
 Quando há equilíbrio entre custo e receita, a quantidade produzida é considerada ponto de 
nivelamento. 
 Ponto de nivelamento (ou equilíbrio) é a quantidade (produzida e vendida) de determinada 
mercadoria, que corresponde, ao mesmo tempo, à receita total e ao custo total. Ou seja, 
Lucro Zero.
 RT = CT 
Ponto de nivelamento break even point
q (quantidade)
RT e CT
0
P.N
 Dadas as funções RT = 0,4 · q e CT = 3 + 0,1 · q para 0 < q < 20 unidades para a produção 
e venda de botões.
O ponto de nivelamento é:
RT = CT
0,4·q = 3 + 0,1·q
0,4 ·q – 0,1·q = 3
0,3·q = 3  q = 3/0,3 = 10 unidades
 Para q = 10 unidades (produzida e vendida), temos 
R = C; logo, não temos lucro nem prejuízo.
Exemplo 6
q RT = 0,4·q
0 0,00
5 2,00
10 4,00
15 6,00
20 8,00
Exemplo 6
q CT = 3 + 0,1·q
0 3,00
5 3,50
10 4,00
15 4,50
20 5,00
Exemplo 6
RT, CT (R$)
RT = 0,4 . q
CT = 3 + 0,1 . q
q (quantidade)
Analisando as duas funções:
 q = 10 unidades (RT = CT).
 Prejuízo: 0  q < 10.
 Lucro: 10 < q  20.
Exemplo 6
RT, CT (R$)
RT = 0,4 . q
CT = 3 + 0,1 . q
q (quantidade)
 Permite compreender como o lucro pode ser afetado pelas variações nos elementos que 
integram as receitas de vendas, os custos e as despesas totais.
 Corresponde a certo nível de atividades em que o lucro será nulo.
Ponto de nivelamento – considerações 
 Seja CT o custo total associado à produção de uma utilidade e RT a receita total referente à 
venda dessa utilidade.
A função lucro total (LT) associada à produção e à venda da utilidade é dada por:
Lucro = Receita Total – Custo Total
L = RT – CT
Lucro total
q (quantidade)
LT
0
-
+
Utilizando os dados do exemplo 6:
 Dadas as funções RT = 0,4·q e CT = 3 + 0,1·q para 0 < q < 20 unidades para a produção e 
venda de botões.
 Determinar a função lucro
L = RT – CT
L = 0,4 · q – (3 + 0,1 · q)
L = 0,4 · q – 3 – 0,1 · q  L = 0,3·q – 3
Determinação da função lucro
Análise da função lucro
q LT = 0,3·q – 3
0 –3,00
5 –1,50
10 0,00
15 1,50
20 3,00
q RT = 0,4·q
0 0,00
5 2,00
10 4,00
15 6,00
20 8,00
q CT = 3 + 0,1·q
0 3,00
5 3,50
10 4,00
15 4,50
20 5,00
Análise da função lucro – gráfico 
RT, CT, LT (R$)
RT = 0,4 . q
CT = 3 + 0,1 . q
q (quantidade)
LT = 0,3 . q - 3
 Uma empresa dedespertadores analisa seu lucro por meio da função:
L = 12x – 4200 , para 0  x  750. Pede-se:
a) A quantidade de produtos que devem ser vendidos para que a empresa não tenha prejuízo.
b) Representação gráfica da função lucro e análise econômica.
Exemplo 7
 Uma empresa de despertadores analisa seu lucro por meio da função:
L = 12x – 4200 , para 0 x  750. Pede-se:
a) A quantidade de produtos que devem ser vendidos para que a empresa não tenha prejuízo.
L = 12x = 4200
Considerando L = 0
12 x – 4200 =0
12 x = 4200
x = 4200 / 12
x = 350 unidades
Exemplo 7
b) Representação gráfica da função lucro e análise econômica. 
Função dada: L = 12x – 4200 0  q  750
 Análise econômica
350 < q  750
0 < LT  4800
Exemplo 7
q LT = 12x - 4200
0 -4200
750 4800
q
LT
0
-
+
350 750 
4800
-4200
Uma editora vende certo livro por R$ 60 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000 e o custo 
variável por unidade é R$ 40.
I. O ponto de nivelamento é de 500 livros vendidos.
II. A função lucro é L = 20q – 10.000.
III. A editora deverá vender 4.000 livros para ter um lucro igual a R$ 8.000.
As afirmações corretas são:
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) II e III.
Interatividade
d) Afirmações corretas: I e II.
Resposta
 Uma editora vende certo livro por R$ 60 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000 e o custo 
variável por unidade é R$ 40.
Analisando cada proposição temos:
I. O ponto de nivelamento é de 500 livros vendidos.
CT = 10.000 + 40q e RT = 60q
CT = RT
10.000 + 40q = 60q 
60q – 40q = 10.000 
20 q = 10.000  q = 500 livros.
Resposta
II. A função lucro é L = 20q – 10.000.
LT = RT – CT 
LT = 60q – (10.000 + 40q) 
LT = 60q – 10.000 – 40q
LT = 20q – 10.000
III. A editora deverá vender 400 livros para ter um lucro igual a R$ 8.000.
LT = 20q – 10.000
LT = 20 · (400) – 10.000
LT = –2.000
Resposta
 Verifique que: 
 Ponto de nivelamento  q = 500 livros
Substituindo na função lucro, temos: 
LT = 20q – 10.000
LT = 20.(500) – 10.000
LT = 0 (zero)
Resposta
 Quantidades produzidas e vendidas e os respectivos preços, determinantes das receitas de 
vendas.
 Custos e despesas variáveis e fixos.
 Volume de produção e vendas.
 Também conhecido por Análise das Relações Custo-volume-lucro.
 O ponto de equilíbrio ignora aspectos relacionados com a 
formação de estoques, pressupondo que toda a produção seja 
vendida instantaneamente.
Análise do ponto de nivelamento
 Considerar as funções CT(x) = 2x + 39 e a função RT(x) = –x² + 18 x relativas à produção e 
venda de x unidades de um mesmo produto, 0 ≤ x ≤ 18, representadas no gráfico.
Pede-se: 
a) Determinar a função LT, representar graficamente e fazer análise econômica 
da função.
Exemplo 8
 Determinar a função LT.
Dado: CT(x) = 2x + 39 e RT(x) = –x² + 18 x, sendo 0 ≤ x ≤ 18.
Função LT:
LT = RT – CT
LT = –x² + 18x – (2x + 39)
LT = –x² + 18x – 2x – 39
LT = –x² + 16x – 39 (eq. do 2º grau)
Exemplo 9
 Representação gráfica: 
Determinando a quantidade que o lucro será zero
LT = –x² + 16x – 39 (eq. do 2º grau)
(a = –1, b = 16, c = –39)
 = b² – 4 · a · c
 = (16)² – 4 · (–1) · (–39) = 100
 x1 = 3 e x2 = 13
 Então podemos construir a tabela e o gráfico de LT.
Exemplo 9
Tabela:
LT = –x² + 16x – 39
Intervalo de variação:
3 < x < 13 
Exemplo 9
x LT = –x² + 16x – 39 
1 –1² + 16 · 1 – 39 = –24
3 –3² + 16 · 3 – 39 = 0
5 –5² + 16 · 5 – 39 = 16
7 –7² + 16 · 7 – 39 = 24
8 –8² + 16 · 8 – 39 = 25
9 –9² + 16 · 9 – 39 = 24 
11 –11² + 16 · 11 – 39 = 16
13 –13² + 16 · 13 – 39 = 0
15 –15² + 16 · 15 – 39 = -24 
Representação gráfica
LT = –x² + 16x – 39
Intervalo de variação:
3 < x < 13 
Exemplo 9 
-30
-20
-10
0
10
20
30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
L
u
c
ro
 (
R
$
)
x (quantidade)
+++
- - - - - -
b) Observando o gráfico das funções RT e CT, responda:
B1) Quais os pontos de nivelamento.
B2) O que significa o fato da função custo total não iniciar do ponto (0,0)?
B3) Qual o intervalo em que temos lucro (L(x)>0). 
B4) Qual o intervalo em que temos prejuízo (L(x)<0). 
Exemplo 9
Dado: CT(x) = 2x + 39 e RT(x) = –x² + 18 x, sendo 0 ≤ x ≤ 18.
B1) Quais os pontos de nivelamento?
1º ponto: 3 unidades e o valor de R$ 45,00.
2º ponto: 13 unidades e o valor de R$ 65,00
Exemplo 9
Dado: CT(x) = 2x + 39 e RT(x) = –x² + 18 x, sendo 0 ≤ x ≤ 18.
B2) O que significa o fato da função custo total não iniciar do ponto (0,0)?
Custo fixo = R$ 39,00
Exemplo 9
Dado: CT(x) = 2x + 39 e RT(x) = –x² + 18 x, sendo 0 ≤ x ≤ 18.
B3) Qual o intervalo em que temos lucro (L(x)>0). 
3 < x < 13
B4) Qual o intervalo em que temos prejuízo (L(x)<0). 
x < 3 e x > 13
Exemplo 9
++
- -- -
 Um fabricante produz um DVD a um custo de R$ 2,00 a unidade. Os DVDs vêm sendo 
vendidos a R$ 5,00 a unidade, por esse preço são vendidos 4.000 DVDs por mês. O 
fabricante pretende aumentar o preço do DVD e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento 
no preço, menos 400 DVDs serão vendidos por mês. 
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda. 
b) Para que preço o lucro é máximo?
Exemplo 10:
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda.
 Sendo “x” o valor (R$) aumentado
 Assim, aumentando “p” reais, o preço será de “5 + x” e o 
número de DVD’s vendidos será de 4000 – 400 . x
Exemplo 10:
Preço Nº de DVDs vendidos
R$ 6,00 (5 + 1) (aumentando R$ 1,00) 4.000 – 400 = 3.600
R$ 7,00 (5 + 2) (aumentando R$ 2,00) 4.000 – 800 = 3.200, (800 = 400 · 2)
R$ 8,00 (5 + 3) (aumentando R$ 3,00) 4.000 – 1.200 ,(1.200 = 400 · 3)
R$ 9,00 (5 + 4) (aumentando R$ 4,00) 4.000 – 1.600 , (1.600 = 400 · 4)
Sabe-se que:
 Custo é o número de peças vendidas pelo valor do preço de custo unitário
 C(p) = (4.000 – 400x) · 2 
 C(p) = 8.000 – 800x 
 Receita  é o número de peças vendidas pelo preço de venda, R = q.p
 Preço de venda: R$ 5,00 + x
 R(x) = (4.000 – 400x) · (5 + x) 
 R(x) = 20.000 + 4.000x – 2.000x – 400x2
 R(x) = 20.000 + 2.000x – 400x²
Exemplo 10:
Assim, o lucro, que é a diferença entre a receita e o custo, será: 
 L(x) = 20.000 + 2.000x – 400x2 – (8.000 – 800x) 
L(x) = 20.000 + 2.000x – 400x2 – 8.000 + 800x 
L(x) = – 400x2 + 2.800x + 12.000
 Temos, então, uma função Lucro em função do preço (x).
Exemplo 10:
b) Para que preço o lucro é máximo?
 L(x) = – 400x2 + 2.800x + 12.000
 A função Lucro tem ponto de máximo em seu vértice por se tratar de uma 
função com concavidade voltada para baixo.
 O lucro máximo é o vértice de y e o valor (R$) cujo lucro é máximo é o vértice 
de x.
 xV = – b / 2a 
xV = – 2.800 / 2 . (– 400) 
xV = 2.800 / 800 
xV = 3,5
 Assim, para se ter o lucro máximo, deve-se 
vender a R$ 3,50. 
Exemplo 10:
O custo para produção de uma determinada mercadoria tem custo fixo mensal de R$ 1.440,00, 
inclui conta de energia elétrica, água, salários e impostos, e um custo de R$ 50,00 por peça 
produzida. 
Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto seja de 
R$ 140,00, quais as funções custo, receita e lucro?
a) CT = 1.440+ 50x; RT = 140x; LT = 90x – 1.440 
b) CT = 50+1.440x; RT = 1.440x; LT = 1.440x – 90 
c) CT = 1.440 + 50x; RT = 140x + 1.440; LT = 90x + 1.440 
d) CT = 140x; RT = 1.440x; LT = 190x + 1.440 
e) CT =1.440 – 50x; RT = –140x e LT = 90x + 1.440 
Interatividade
O custo para produção de uma determinada mercadoria tem custo fixo mensal de R$ 1.440,00, 
inclui conta de energia elétrica, água, salários e impostos, e um custo de R$ 50,00 por peça 
produzida. 
Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto seja de 
R$ 140,00, quais as funções custo, receita e lucro?
a) CT = 1.440 + 50x; RT = 140x e LT = 90x – 1.440 
Função custo total mensal: CT(x) = 1.440 + 50x
Função receita total mensal: RT(x) = 140x 
Função lucro total mensal: 
L(x) = 140x – (1.440 + 50x) 
L(x) = 140x – 1.440 – 50x 
LT(x) = 90x – 1.440. 
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!
Profa. Deiby Gouveia
UNIDADE III
Matemática Aplicada Uso de funções econômicas na resolução de problemas.
Principais funções:
 Demanda e oferta;
 Receita e custo;
 Lucro.
Objetivo:
 Aprofundar o seu conhecimento com abordagem em 
aplicações econômicas utilizando funções de 1º e 2º grau, bem 
como a sua interpretação gráfica.
Aplicação econômica
 y = ax + b. 
 a = coeficiente angular.
 a > 0  função crescente.
 a < 0  função decrescente.
 b = coeficiente linear.
Função do 1º grau para modelos econômicos
x y = ax + b
0
0
x
y
0
y = f(x)
 Demanda (ou procura)  quantidade de determinado bem ou serviço que os consumidores 
desejam adquirir em um dado período.
 Oferta  é a quantidade de produtos que os vendedores desejam e podem produzir para 
vender a diversos níveis de preço.
 Equilíbrio de mercado  as quantidades oferecidas de um bem tangível ou intangível são 
iguais às quantidades demandadas.
Demanda, Oferta e Ponto de Equilíbrio
Condição para que ocorram Demanda e 
Oferta:
P > 0
Q > 0
 Tok Tok é uma empresa de bijuterias que se preocupa com o bem-estar dos seus 
funcionários e clientes. Por essa razão, ela trabalha efetivamente para oferecer bons 
serviços. Para calcular os seus gastos semanais, utiliza uma função cuja lei de formação é 
dada por y = ax + b, em que y é a quantidade e x, o preço.
 A empresa sabe que, se estabelecer o preço de uma pulseira por R$ 49,00 a unidade, ela 
conseguirá vender 15 pulseiras por semana. Por outro lado, se cobrasse R$ 35,00 por 
unidade, 22 pulseiras seriam vendidas semanalmente.
 Pede-se:
Exemplo 1: Aplicação Econômica
a) Identifique o tipo de função econômica.
 A empresa sabe que, se estabelecer o preço de uma pulseira por R$ 49,00 a unidade, ela 
conseguirá vender 15 pulseiras por semana. Por outro lado, se cobrasse R$ 35,00 por 
unidade, 22 pulseiras seriam vendidas semanalmente.
 Função demanda: q = -a p + b.
P
Q
0
Quantidade Preço
15 49,00
22 35,00
Quantidade Preço
b) Determinar a função q = f(p), supondo-a linear (y=f(x)), em que q é a quantidade e p
é o preço.
y = a . x + b
15 = 49 . a + b (I) 
22 = 35 . a + b (II)
Quantidade Preço
15 49,00
22 35,00
Resolver o sistema:
Resolver o sistema:
15 = 49 . a + b (I) 
22 = 35 . a + b (II)
1º passo: método da adição:
Multiplicando a equação (I) por -1
- 49 . a - b = -15
35 . a + b = 22 
7 = -14 . a  a = -0,5
Q = -0,5P + 39,50
2º passo: substituindo a na equação original (I): 
49 . (-0,5) + b = 15
-24,50 + b = 15  b = 39,50
c) Represente graficamente a função e faça uma análise econômica. 
Q = -0,5P + 39,50
Q P (R$)
0,00
0
(0; 39,5)
(79; 0)
-10 10 30 50 70 90
Q
U
A
N
T
ID
A
D
E
PREÇO (R$)
Condição para que 
ocorra a demanda:
P > 0
Q > 0
R$ 0,00 < P < R$ 79,00
0 < Q < 40
Q P (R$)
39,50 0,00
0 79,00
d) Qual a previsão de venda caso a pulseira passe a custar R$ 43,00?
Q = -0,5P + 39,50
Q = -0,5 . (43) + 39,50
Q = -21,50 + 39,50 
Q = 18 pulseiras
 A empresa conseguirá vender 18 pulseiras a um preço de R$ 43,00 cada.
e) O que aconteceria com a venda do produto se o preço fosse superior a R$ 59,00?
Análise econômica:
Se P > R$ 59,00 → Q < 10 unidades.
Lembrete: 
- Função demanda → GIP;
- Aumenta o preço  demanda cai.
Q = -0,5 . P + 39,50 
Q = -0,5 . (59) + 39,50
Q = 10 unidades
As funções oferta e demanda para uma filmadora são, respectivamente:
(I) Q = 5P – 40 e (II) Q = -3,33P + 673,33
Em que q é a quantidade (demanda ou oferta) e p é o preço (em dólar). 
Pede-se:
Exemplo 2: Aplicação Econômica
a) Identificar as funções I e II, e analisar economicamente.
 Função I: Q = 5P - 40
a > 0 → Função crescente
Função oferta
Q P (U$)
0,00
0
Q P (U$)
-40 0,00
0 8,00
(0; -40)
(8; 0)
-2 3 8 13 18
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
Preço (U$)
Portanto: 
P > U$ 8,00 e 
Q > 0
 Função II: Q = -3,33P + 673,33
a < 0 → Função decrescente
Função demanda Q P (U$)
0,00
0
Q P (U$)
673,33 0,00
0 202,20
(0; 673,33)
(202,2; 0,00)
-10 40 90 140 190
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
Preço (U$)
Portanto: 
0 < P < U$ 202,20 
0 < Q < 673
 Nada impede que a quantidade (x) não seja um número inteiro.
 A “unidade” do produto depende do tipo do produto que a empresa fabrica.
Variáveis discretas:
 Ex.: móveis ou eletrodomésticos  esses produtos são compatíveis com 
quantidades inteiras.
Variável contínua:
 Ex.: a empresa pode fabricar um produto líquido (52,5 litros) 
ou em pó (2,75 kg), e assim por diante  esses produtos são 
compatíveis com quantidades decimais.
Observação
b) Determinar o preço para uma oferta superior a 600 filmadoras.
 Q = 5P – 40 quando Q > 600 filmadoras.
5P – 40 = 600
5P = 600 – 40 
5P = 560
P = 560 / 5 → P = U$ 112,00 
Lembrete:
 Função oferta: GDP (grandeza diretamente proporcional);
 Aumenta a oferta  aumenta o preço.
 P > U$ 112,00
c) Quanto será a demanda de filmadoras ao preço unitário de U$ 121,12?
Q = -3,33.P + 673,33
Q = -3,33 . (121,12) + 673,33
Q = -403,33 + 673,33
Q = 270 filmadoras
d) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio  Ponto de Equilíbrio (PE).
QD = QO
-3,33P + 673,33 = 5P – 40 
40 + 673,33 = 3,33P + 5P
713,33 = 8,33P
713,33 / 8,33 = P  P = U$ 85,63 (PE)
Determinando QE:
Q = 5 . P – 40 
Q = 5 . (85,63) – 40 
Q = 428,15 - 40  Q = 388 filmadoras (QE)
(I) Qo = 5P – 40 
(II) QD = -3,33P + 673,33
e) Representação gráfica.
(I) Qo = 5P – 40 
(II) QD = -3,33P + 673,33
PE = (85,63; 388) 
-20 30 80 130 180
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
Preço (U$)
673
202,208
Oferta
Demanda
f) Se o preço for abaixo do preço de equilíbrio, o que acontecerá com a demanda e a oferta?
(I) Qo = 5P – 40 
(II) QD = -3,33P + 673,33
PE = (85,63; 388) 
Oferta
Demanda
-20 30 80 130 180
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
Preço (U$)
673
202,208
Escassez de oferta
Excesso de demanda
Considere a função Q = -2P + 3200. Para que preço a demanda é inferior a 500 unidades?
a) P > R$ 1350,00.
b) P < R$ 1350,00.
c) P > R$ 1850,00.
d) P < R$ 1850,00.
e) P > R$ 1600,00.
Interatividade
Considere a função Q = -2P + 3200. Para que preço a demanda é inferior a 500 unidades?
a) P > R$ 1350,00.
b) P < R$ 1350,00.
c) P > R$ 1850,00.
d) P < R$ 1850,00.
e) P > R$ 1600,00.
Resposta
Resolução: 
Para Q < 500
-2P + 3200 < 500
3200 – 500 < 2P  2700 < 2P  2700 / 2 < P 
 P > R$ 1350,00
Lembrete:
 Função demanda: GIP (grandeza 
inversamente proporcional);
 Diminui a demanda  aumenta o preço.
 Receita  quantia total que a firma recebe pela venda de uma quantidade de produtos.
R = p.q (“p” pode ser ou não fixo). 
 Custo  quantia que a empresa gasta pagando pelos insumos de produção.
CT = CF + CV
 Lucro  Receita – Custo.
 Ponto de nivelamento  equilíbrio entre as funções receita 
e custo.
Função Receita, Custo e Lucro
 O dono de uma barraca de doces verificou que a receita total diária para a venda de bolos 
em um dia de quermesse é de R$ 300,00. Sabendo que o preço de venda por unidade é de 
R$ 20,00 e ele não quer ultrapassar a venda em 25 unidades, pergunta-se: 
a) Quantos bolos a mais ele precisa vender para aumentar a sua receita total diária em 40%?
 RT = p . q 
 RT = 20 . q 0  q  25 (p é fixo)
Exemplo 3: Aplicação Econômica 
Para aumentar a receita diária em 40%:
RTinicial = R$ 300,00;
RT40% = R$ 420,00.
Cálculo da quantidade inicial de bolos:
 RT = 20 . q
 RTinicial = R$ 300,00
 RT = 20 . q
300 = 20 . q  300 / 20 = q
qinicial = 15 unidades
Calculando a quantidade adicional de bolos:
21 – 15 = 6 bolos
 Precisa vender mais 6 bolos para aumentar em 40% a sua 
receita diária.
Cálculo da quantidade para RT40%
RT40%= 20 . q 
RT40% = R$ 420,00
420 = 20 . q  420 / 20 = q 
q = 21 unidades
b) Representação gráfica da função Receita.
RT = 20 . q 0  q  25
q R = 20 . q
0
25
500
25 q 
RT (R$)
0
q R = 20 . q
0 0,00
25 500,00
Sabe-se que o custo mensal fixo de uma pequena empresa é de R$ 4.800,00. Seu custo 
variável é deR$ 10,00 por peça produzida e o preço de venda é de R$ 90,00 por peça. 
Pede-se:
a) Determinar a quantidade de peças produzidas/vendidas para a empresa ter lucro positivo.
 Função receita: R = 90q
 Função custo: CT = 4800 + 10q
Opções para a resolução:
 Modo 1: ponto de nivelamento;
 Modo 2: função lucro.
Exemplo 4: Aplicação Econômica
Modo 1: ponto de nivelamento:
 R = C
90q = 4800 + 10q
80q = 4800
q = 60 peças
Para a empresa ter lucro:
 q > 60 peças.
Análise econômica: 
q = 60 peças  R = C  não tem lucro nem prejuízo;
q < 60 peças  C > R  prejuízo;
q > 60 peças  C < R  lucro. 
Modo 2: função lucro:
 LT = R – C 
LT = 90q – (4800 + 10q)
LT = 90q – 4800 – 10q
LT = 80q – 4800 
Para a empresa ter lucro:
 q > 60 peças.
 LT > 0
80q – 4800 > 0
80q = 4800
q = 4800 / 80
q = 60 peças
b) Representar graficamente as funções receita e custo, no mesmo plano cartesiano, e fazer a 
análise econômica.
q R = 90 . q 
0 0,00
q CT = 4800 + 10 . q 
0 4800
Análise: 
q = 60 peças  R = C
q < 60 peças  C > R
q > 60 peças  C < R
q (quantidade)
RT, CT
0
4800
60
5400
CT
RT
A empresa Eletronics S&A trabalha no ramo da eletrônica há 3 anos com a produção de cabo 
genérico para celular e tablet. Nesse segmento, ela tem um custo fixo de produção de 
R$ 15.000 por mês. Se cada peça produzida tiver um custo de R$ 6,00 e o preço de venda for 
de R$ 10,00 por peça, pede-se:
a) Determinar a quantidade de peças a ser vendida para que a empresa tenha lucro.
 Função custo: CT = CF + CV  CT = 15000 + 6 . q
 Função receita: RT = p . q  RT = 10 . q
 Função lucro: L = R – C 
L = 10q – (15000 + 6 . q)
L = 4q – 15000 
Exemplo 5: Aplicação Econômica
 Desejamos que LT > 0
 L = 4q – 15000 
 4q – 15000 > 0
 4q > 15000  q > 3750 peças
Lembrete:
LT < 0  prejuízo;
LT > 0  lucro;
LT = 0  R = C.
b) Representar graficamente a função lucro e fazer a análise econômica.
q LT = 4q – 15000 
0 -15000
3750 0
LT
0
-
+
3750 q 
-15000
Análise econômica:
Q < 3750  prejuízo;
Q = 3750  L = 0;
Q > 3750  lucro.
c) Qual o custo médio de produção de cada peça se forem produzidas 4200 unidades?
Função custo: CT = 15000 + 6 . q
Função custo médio: Cme = CT / q
Para q = 4200, temos:
Cme = 15000 + 6. (4200)  Cme = R$ 9,57
4200
 Logo, o custo de produção de cada peça, em média, 
é de R$ 9,57. 
A indústria Secadores S&A produz secadores de 2ª linha, que são vendidos a R$ 85,00. O 
custo fixo é de R$ 13.978,00 e o custo variável é de R$ 56,00. A quantidade que deverá ser 
produzida e vendida para que a empresa tenha um lucro de R$ 14.442,00 é de:
a) 464.
b) 16.
c) 980.
d) 482.
e) 895.
Interatividade
A indústria Secadores S&A produz secadores de 2ª linha, que são vendidos a R$ 85,00. O 
custo fixo é de R$ 13.978,00 e o custo variável é de R$ 56,00. A quantidade que deverá ser 
produzida e vendida para que a empresa tenha um lucro de R$ 14.442,00 é de:
a) 464.
b) 16.
c) 980.
d) 482.
e) 895.
Resposta
Resolução:
R = 85 . q e CT = 13978 + 56q
L = R – C  L = 85q – (13987 – 56q)  L = 29q – 13978 
Para L = R$ 14.442,00 temos:
L = 29q – 13978 
14442 = 29q – 13978 
q = 980 unidades
 y = ax2 + bx + c.
 a < 0  função CVB.
 a > 0  função CVC.
Função de 2º grau para modelos econômicos
x x
y
00
y PM
Pm
X' X’' X' X’'
Dona Mercedes, dona de uma barraca de pastéis, constatou que a quantidade diária (x) de 
pastéis vendidos aos domingos variava de acordo com o preço unitário de venda (p). 
Considerando que a relação quantitativa entre as variáveis pode ser dada por 
Q = -2p2 – 4P + 160, em que P é o preço por unidade e Q é a demanda ou a procura de 
mercado correspondente, pede-se:
Exemplo 6: Aplicação Econômica
a) A quantidade de pastéis vendidos se o preço for R$ 6,00.
Função: Q = -2p2 – 4P + 160
 Para P = R$ 6,00
Q = -2P2 – 4P + 160
Q = -2(6)2 – 4(6) + 160 
Q = 64 pastéis
 Serão vendidos 64 pastéis se o preço for R$ 6,00.
b) Representação gráfica.
Função: Q = -2p2 – 4P + 160
 Determinar as raízes (Q = 0).
-2P2 – 4P + 160 = 0 (a = -2; b = -4; c = 160) 
 Determinação das coordenadas do PM (xv, yv).
Q
P0 8-10 -1
162
160
PM
c) O preço máximo (limite) que pode ser estabelecido para a venda dos pastéis.
Função: Q = -2p2 – 4P + 160
 Condição de existência da demanda: Q > 0 e P > 0.
Região de interesse econômico: 0 < P < R$ 8,00
Preço máximo: P < R$ 8,00
Q
P0 810 -1
162
160
PM
d) Quantidade máxima (limite) de pastéis que poderão ser vendidos por dia.
Função: Q = -2p2 – 4P + 160
 Condição de existência da demanda: Q > 0 e P > 0.
Obs.: 
 Nem sempre quando determinamos o PM da 
função, o valor do Yv é a quantidade máxima 
a ser utilizada;
 Região de interesse econômico: 0 < Q < 160;
 Logo, Q < 160 unid.
Q
P0 810 -1
162
160
PM
 A empresária Maria Fulô é dona de uma confecção de roupas infantis. Com a ajuda de uma 
consultoria, ela verificou que poderia ofertar um dos seus produtos, shorts e bermudas 
masculinas, por meio da função Q = 2P2 – 2450 e estabeleceu que o preço dos produtos não 
poderia ultrapassar R$ 75,00.
a) A que preço a oferta será inferior a 122 unidades?
b) Represente graficamente a função oferta, indicando o intervalo de variação.
c) Determine o menor preço que deve ser estabelecido para a empresária iniciar a sua oferta.
Exemplo 7: Aplicação Econômica
a) A que preço a oferta será inferior a 122 unidades?
Função: Q = 2P2 – 2450 
 Condição: Q < 122
2P2 – 2450 = 122
2P2 = 122 + 2450
2P2 = 2572
P2 = 2572 / 2  P = √1286  P =  R$ 35,86
Logo, P < R$ 35,86.
Lembrete: 
 Função oferta: GDP (grandeza 
diretamente proporcional);
 Diminui o preço  diminui a oferta.
b) Represente graficamente a função oferta, indicando o intervalo de variação.
Função: Q = 2P2 – 2450 
 Determinar as raízes: (Q = 0)
2P2 – 2450 = 0 (a = 2; b = 0; c = -2450) 
P Q
0 -2450
35,00 0
75,00 8800
Q
P0 35 75
-2450
8800
-35
 Intervalo de variação.
R$ 35,00 < p < R$ 75,00
0 < Q < 8800
c) Determine o menor preço que deve ser estabelecido para a empresária iniciar a sua oferta.
Função: Q = 2P2 – 2450 
 Sabemos que haverá oferta quando Q > 0 e P > 0.
 Logo, P > R$ 35,00.
Q
P0 35 75
-2450
8800
-35
Dadas as funções Q = 81 – P2 e Q = P2 – P – 6. 
a) Determinar o preço e a quantidade de equilíbrio.
QD = QO
81 – P2 = P2 – P – 6 
81 – P2 – P2 + P + 6 = 0
-2P2 + P + 87 = 0 
Substituindo P = R$ 6,85 na função demanda ou oferta:
QD = 81 – P
2
QD = 81 – (6,85)
2  QD  34 unidades
PE (6,85; 34)
Exemplo 8: Aplicação Econômica
b) Representar graficamente as funções indicando o PE.
P Q = 81 – P2
0 81
-9 e 9 0
P Q = P2 – P – 6
0 -6
-2 e 3 0 PE = (R$ 6,85; 34)
QD, QO
P0
81
Oferta
Demanda
34
93 6,85
Dada a função Q = 256 – P2, a que preço a demanda será superior a 162 unidades?
a) P < R$ 9,70.
b) P > R$ 9,70.
c) P > R$ 20,44.
d) P < R$ 20,44.
e) P < R$ 25,98.
Interatividade
Dada a função Q = 256 – P2, a que preço a demanda será superior a 162 unidades?
a) P < R$ 9,70.
Resolução:
Para Q > 162 
256 – P2 = 162
256 – 162 = P2
94 = P2 = P2  P = ± R$ 9,70
Logo, P < R$ 9,70
Resposta
Lembrete: 
- Função demanda → GIP;
- Aumenta o preço  demanda cai.
Suponha que a receita total para a venda de “q” unidades de um tênis, em uma loja de 
departamento esportivo, seja R(q) = -2q2 + 1000q.
a) Qual será o valor da receita se forem vendidas 100 unidades de tênis? 
R = -2q2 + 1000q
R = -2(100)2 + 1000(100)
R = R$ 80.000,00
 Se forem vendidas 100 unidades de tênis, a loja terá uma 
 R = R$ 80.000,00.
Exemplo 9: Aplicação Econômica
b) Represente graficamente a função.
Função: R(q) = -2q2 + 1000q 
(a = -2; b = 1000; c = 0) 
Determinação do PM:
R Q
0
0
R Q
0 Q’ = 0
Q’’ = 500
0 0
q
RT
250
5000
125.000
c) Calcule o preço que deve ser colocado no tênis para que a loja obtenha a receita máxima.
 Substituir xv e yv na função R = p . q
 xv: q = 250 unidades yv: Rmáx. = R$ 125.000
R = p . q
125.000 = p. 250 
p = 125.000 / 250 
p = R$ 500,00
q
RT
250
5000
125.000
 Uma oficina que fabrica um tipo de suporte para a TV tem um custo fixo de R$ 640,00 por 
mês, e o custo de produção de cada suporte é de R$ 6,00. A demanda para esse tipo de 
suporte é calculada pela função Q = 58 – P. 
Determine a função Lucro e o intervalo em que o lucro é positivo.
Resposta:
 1º passo: função Receita;
 2º passo: função Lucro;
 3º passo: determinar o intervalo em que o lucro é positivo.
Exemplo 10: Aplicação Econômica
1º passo: determinar a função Receita:
 Função Receita total  RT = P . QD
 Função Demanda: Q = 58 – P 
1. Reescrever a função demanda  P = f(Q)
Q = 58 – P 
P = 58 – Q 
2. Substituir em RT = P . Q
RT = P . Q
RT = (58 – Q) . Q
RT = -Q2 + 58Q
2º passo: determinar a função Lucro:
Uma oficina que fabrica um tipo de suporte para a TV tem um custo fixo de R$ 640,00 por mês, 
e o custo de produção de cada suporte é de R$ 6,00.
 Função Custo total: CT = 6q + 640
 Função Receita total: RT = -Q2 + 58Q
Função Lucro:
LT = R – C 
LT = (-q2 + 58q) – (6q + 640)
LT = -q2 + 52q – 640 
3º passo: determinar o intervalo em que o lucro é positivo:
LT = -q2 + 52q – 640 (eq. do 2º grau)
 Considerar L = 0.
-q2 + 52q – 640 = 0 (a = -1; b = 52; c = -640)
 = b² – 4 . a . c
 = (52)² – 4 . (–1) . (-640) = 144
q‘ = 20 e q” = 32
20 < q < 32 é a região em que o lucro é positivo.
q
LT
20 32
Considere as funções Receita e Lucro:
 Quando a Rmáx. = R$ 4.800 para uma produção e 
venda de 400 unidades, seu lucro é de R$ 1.125,00;
 O Lmáx. é obtido com 350 unidades e é igual a 
R$ 1.200,00. Já neste ponto, a receita atinge um valor 
de R$ 4.725,00.
 Produzir e vender mais de 550 unidades, embora gere 
receita, resulta em prejuízo. A empresa também terá 
prejuízo se vender menos de 150 unidades.
Interpretação das funções Receita e Lucro
4.800
4.725
1.200
1.125
150 350 400 800
550
L(x)
R(x)
x
0
Dadas as funções RT e LT. Com base no gráfico, é incorreto afirmar: 
a) O lucro máximo é obtido quando a receita for de R$ 7.381,50.
b) Só haverá lucro quando 220 < q < 890.
c) Para atingir a receita máxima é necessário vender 610 unidades.
d) Acima de 610 peças vendidas, o lucro será negativo.
e) É possível vender uma quantidade inferior a 1220 unidades.
Interatividade
1.220
7.442
7.381,50
2.244,50
2.184
220 555 6100
Lucro
Receita
R,L
890
Dadas as funções RT e LT. Com base no gráfico, é incorreto afirmar: 
a) O lucro máximo é obtido quando a receita for de R$ 7.381,50.
b) Só haverá lucro quando 220 < q < 890.
c) Para atingir a receita máxima é necessário vender 610 unidades.
d) Acima de 610 peças vendidas, o lucro será negativo.
e) É possível vender uma quantidade inferior a 1220 unidades.
Resposta
Resposta:
 O lucro será negativo para
q > 890 peças;
 Para q = 610 peças 
L = R$ 2184 e
Rmáx. = R$ 7.442,00.
7.442
7.381,50
2.244,50
2.184
220 555 6100
Lucro
Receita
R,L
1.220890
ATÉ A PRÓXIMA!
	Slides de Aula – Unidade I
	Slides de Aula – Unidade II
	Slides de Aula – Unidade III