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PDF SINTÉTICO
RACIOCÍNIO LÓGICO
Livro Eletrônico
Presidente: Gabriel Granjeiro
Vice-Presidente: Rodrigo Calado
Diretor Pedagógico: Erico Teixeira
Diretora de Produção Educacional: Vivian Higashi
Gerência de Produção de Conteúdo: Magno Coimbra
Coordenadora Pedagógica: Élica Lopes
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do Gran. Será proibida toda forma de plágio, cópia, reprodução ou qualquer outra forma de 
uso, não autorizada expressamente, seja ela onerosa ou não, sujeitando-se o transgressor às 
penalidades previstas civil e criminalmente.
CÓDIGO:
231117125858
JOSIMAR PADILHA
Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online 
de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para 
processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é 
professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. 
É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.
 
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Raciocínio Lógico
Josimar Padilha
SUMÁRIO
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
PDF Sintético – Raciocínio Lógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Estruturas Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Conceitos Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Sentenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Expressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Simbolização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Conectivos Lógicos na Linguagem da Lógica Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Construção de uma Tabela-Verdade na Lógica Bivalente . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8. Conectivos ou Operadores Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Tautologia, Contradição e Contingência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1. Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Contradição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Contingência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Negações de Proposições Compostas e Proposições Logicamente Equivalentes 24
3.1. Negação de Proposições Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Proposições Logicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Diagramas Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1. Particular Afirmativo: Algum A É B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Universal Negativo: Nenhum A É B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Particular Negativo: Algum A não É B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4. Universal Afirmativo: Todo A É B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5. Negação das Proposições Categóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Inferência Lógica e Lógica de Argumentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1. Regras de Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
 
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5.2. Lógica de Argumentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3. Silogismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4. Silogismo Categórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.5. Validade de um Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.6. Argumento Dedutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7. Argumento Indutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. Lógica Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1. Sucessões ou Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2. Lei de Formação de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3. Sequências Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1. Princípios de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2. Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3. Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4. Combinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8. Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.1. Evento Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.2. Espaço Amostral ou Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3. Conceito de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4. Probabilidade com Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.5. Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.6. Probabilidade de Ocorrer a União de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9. Noções de Geometria Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.1. Notações de Ponto, Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.3. Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74
9.4. Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.5. Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
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9.6. Figuras Geométricas Espaciais Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10. Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.1. Número de Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2. Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11. Compreensão de Dados Apresentados em Gráficos e Tabelas . . . . . . . . . . . . . 105
11.1. Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.2. Gráficos em Colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.3. Gráficos em Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.4. Gráficos em Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.5. Gráficos em Pictograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.6. Polígono de Frequência – Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Gabarito Comentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
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Josimar Padilha
APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO
Escrever um livro é algo desafiador. Porém, escrever para o público concurseiro torna 
a tarefa ainda mais árdua.
Afinal, há candidatos com diferentes níveis de conhecimento, estudando para seleções 
de áreas variadas.
No entanto, existe algo em comum entre aqueles que se preparam para um concurso 
público: todos querem a aprovação o mais rápido possível e não têm tempo a perder!
Foi pensando nisso que esta obra nasceu.
Você tem em suas mãos um material sintético!
Isso porque ele não é extenso, para não desperdiçar o seu tempo, que é escasso. De 
igual modo, não foge da batalha, trazendo tudo o que é preciso para fazer uma boa prova 
e garantir a aprovação que tanto busca!
Também identificará alguns sinais visuais, para facilitar a assimilação do conteúdo. Por 
exemplo, afirmações importantes aparecerão grifadas em azul. Já exceções, restrições ou 
proibições surgirão em vermelho. Há ainda destaques em marca-texto. Além disso, abusei 
de quadros esquemáticos para organizar melhor os conteúdos.
Tudo foi feito com muita objetividade, por alguém que foi concurseiro durante 
muito tempo.
Para você me conhecer melhor, comecei a estudar para concursos ainda na adolescência, 
e sempre senti falta de ler um material que fosse direto ao ponto, que me ensinasse de um 
jeito mais fácil, mais didático.
Enfrentei concursos de nível médio e superior. Fiz desde provas simples, como recenseador 
do IBGE, até as mais desafiadoras, sendo aprovado para defensor público, promotor de 
justiça e juiz de direito.
Usei toda essa experiência de 16 anos como concurseiro e de outros tantos ensinando 
centenas de milhares de alunos de todo o país para entregar um material que possa 
efetivamente te atender.
A Coleção PDF Sintético era o material que faltava para a sua aprovação!
Aragonê Fernandes
APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR
Olá, pessoal, tudo bem?
Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria que tenho o privilégio de 
compartilhar esse momento importantíssimo com você, que pretende ingressar no serviço 
público. Já tenho mais de 20 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 15 anos 
em aulas online, possuo 03 obras escritas, dentre elas podemos citar: “Raciocínio Lógico 
Matemático – Fundamentos e Métodos Práticos”, da Editora Juspodivm (2021, 4ª Edição); e 
“Raciocínio Lógico - Mais de 500 Questões Comentadas CESPE/CEBRASPE” (2021, 4ª edição).
 
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Josimar Padilha
Teremos, nesse material, uma metodologia infalível e estrategista, pois, além de 
aprendermos os princípios e os fundamentos dos principais tópicos da Matemática, iremos 
ter a oportunidade de aprender os melhores métodos de resolução. No decorrer desses 
mais de 20 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus 
sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo o Brasil. Preparados 
para assumir o seu cargo público?
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PDF SINTÉTICO – RACIOCÍNIO LÓGICOPDF SINTÉTICO – RACIOCÍNIO LÓGICO
1 . ESTRUTURAS LÓGICAS1 . ESTRUTURAS LÓGICAS
1 .1 . CONCEITOS INICIAIS1 .1 . CONCEITOS INICIAIS
A lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos 
pelo pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa pela 
linguagem. O objeto da lógica é a proposição que exprime, por meio da linguagem, os juízos 
formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.
 Obs.: Nas últimas provas de concursos públicos, as bancas exigiram dos candidatos uma 
noção mais específica da lógica de primeira ordem, voltando-se para a teoria, no 
que diz respeito à relação existente entre sentenças, proposições e expressões. 
Neste capítulo, abordaremos a lógica das proposições
1 .2 . SENTENÇAS1 .2 . SENTENÇAS
• Expressão de um pensamento completo.
• São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que 
se declara sobre o sujeito).
EXEMPLO
José passou no concurso público.
Lógica não é difícil.
Que horas começa o filme?
Que belas flores!
Pegue essaxícara agora.
Percebemos que as sentenças podem ser:
s
e
n
t
e
n
ç
a
s
Afirmativas
Ex.: A lógica é uma ciência do raciocínio.
Negativas
Ex.: José não vai à festa.
Imperativas
Ex.: Faça seu trabalho com dedicação.
Exclamativas
Ex.: Que dia lindo!
Interrogativas
Ex.: Qual é o seu nome?
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1 .2 .1 . SENTENÇAS ABERTAS
São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito. Uma forma mais 
simples de identificá-las é o fato de que não podem ser nem V (verdadeiras) nem F (falsas). 
Ex.: Ela foi a melhor atleta da competição.
Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação 
para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).
EXEMPLO
Se tivermos uma proposição expressa: “Para todo a, P(a)”, em que a é um elemento qualquer 
do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, logo se torna necessário 
explicitar U e P para que seja possível valorar.
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é 
juiz do TRT da 1ª Região”, ou “x + 5 = 10”. O sujeito é uma variável que pode ser substituída 
por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser 
valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou 
funções proposicionais.
1 .2 .2 . SENTENÇAS FECHADAS
São aquelas nas quais podemos determinar o sujeito da sentença.
EXEMPLO
Antônio está de férias.
O professor Marcelo foi trabalhar.
 Obs.: Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como 
verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como “Como está 
o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições, porque a primeira é 
pergunta (sentença interrogativa) e a segunda não pode ser nem V nem F.
1 .3 . EXPRESSÕES1 .3 . EXPRESSÕES
Por exclusão, são aquelas que não são sentenças.
EXEMPLO
Vinte e cinco centésimos.
A terça parte de um número.
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1 .4 . PROPOSIÇÕES1 .4 . PROPOSIÇÕES
Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por 
palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se 
podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeira ou falsa). Esta 
valoração também é chamada de valor lógico ou valor-verdade.
1 .4 .1 . REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES
As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas.
EXEMPLO
p: O estado do Espírito Santo é produtor de petróleo.
q: O mundo precisa de paz.
r: Renato é um aluno dedicado.
1 .5 . SIMBOLIZAÇÃO1 .5 . SIMBOLIZAÇÃO
Na lógica proposicional não analisamos o conteúdo das proposições, e sim, a forma como 
se relacionam com outras proposições. Por exemplo, as proposições “A Terra é quadrada” 
ou “Todo cachorro é rosa”, sendo valoradas como verdadeiras mesmo que saibamos que 
em nosso cotidiano não são. Por isso são representadas por símbolos. As proposições são 
indicadas com maior frequência pelas letras ‘p’, ‘q’, ‘r’ ou ‘s’, maiúsculas ou minúsculas.
PROPOSIÇÕES SIMPLES OU BÁSICAS: expressam apenas um pensamento.
EXEMPLO
Guarapari tem lindas praias.
José passou no concurso.
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: expressam mais de um pensamento. As proposições 
compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.
EXEMPLO
José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias.
 Obs.: Nas provas de concursos, quando uma questão perguntar sobre a quantidade de 
proposições está implícito que se trata da quantidade de proposições simples 
(pensamentos completos).
Uma proposição simples corresponde a um pensamento completo.
As proposições simples e compostas também são chamadas, respectivamente, de 
átomos e moléculas.
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1 .6 . CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL1 .6 . CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL
Os conectivos lógicos são elementos que operam as proposições simples para formarem 
novas proposições, as proposições compostas. São eles: ‹e›, ‹ou›, ‹se, então›, ‘se, e somente 
se’ e ‘ ou... ou...’
EXEMPLO
Proposições compostas:
P: José é irmão de Maria e André é irmão de João.
Q: André é dedicado aos estudos ou José pratica esporte.
R: Se o professor André Silveira é rigoroso, então seus alunos gostam de lógica.
S: Josias era um homem admirado se, e somente se, gostava muito da sua família.
Conectivos Operadores Símbolos Significados
Conjunção ⋀ “e” / “mas”
Disjunção inclusiva ⋁ “ou”
Disjunção exclusiva ⋁ “ou...ou...”
Condicional → “Se...então..”/ “Quando”
Bicondicional ↔ “Se, e somente se”, 
assim como
É óbvia a necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições, que devem 
ser colocados a evitar qualquer tipo de ambiguidade.
A “ordem de precedência” para os conectivos é:
1) bicondicional
2) condicional
3) conjunção e disjunção/disjunção exclusiva
4) negação
 Obs.: Portanto, o conectivo mais “forte” é o bicondicional e o mais “fraco” é a negação.
1.7. CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA-VERDADE NA LÓGICA BIVALENTE1.7. CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA-VERDADE NA LÓGICA BIVALENTE
Se uma proposição composta é formada por n variáveis proposicionais, a sua tabela-
verdade possuirá 2n linhas.
N. de linhas = 2nproposições
EXEMPLO
Exemplo 1:
Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta (P Q)?
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SOLUÇÃO
O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então 
N. de linhas = 22 = 4 linhas. Veja:
P Q (P ⋀ Q)
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplo 2:
Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição composta (P Q) R?
SOLUÇÃO
O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então 
N. de linhas = 23 = 8 linhas. Veja:
P Q R (P ⋀ Q) (P ⋀ Q) ⋁ R
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F V
F F F F F
1 .7 .1 . NÚMERO DE VALORAÇÕES DISTINTAS
O número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com n 
variáveis proposicionais é igual a 2n de linhas.
N. de valorações = 2n
EXEMPLO
1) Qual o número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com 
exatamente duas variáveis proposicionais?
SOLUÇÃO
O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então 
temos 22 = 4 linhas.
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2) São dadas as proposições p, q, r e s, que podem ser verdadeiras ou falsas. A análise lógica 
de uma sentença matemática envolvendo tais proposições implica na construção de uma 
tabela verdade que possui quantas linhas?
Na construção de uma tabela-verdade, a quantidade de linhas é determinada por 2n, onde 
n é a quantidade de proposições dadas.
Sabendo que temos quatro proposições (p, q, r, s), a quantidade de linhas será 24 =16 linhas
1 .8 . CONECTIVOS OU OPERADORES LÓGICOS1 .8 . CONECTIVOS OU OPERADORES LÓGICOS
Os conectivos lógicos são utilizados para criar novas proposições ou até mesmo modificá-
las. Ao introduzir os conectivos/operadores lógicos, torna-se interessante revisar um pouco 
o décimo primeiro capítulo em que estudamos a noção de conjuntos, o que irá nos auxiliar 
na compreensão das tabelas-verdade.
1 .8 .1 . DISJUNÇÃO INCLUSIVA
A disjunção inclusiva é a proposição composta formada por duas proposições simples 
que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”.
EXEMPLO
P: Gosto de Lógica. (1º disjuntivo)
Q: Passo no concurso público. (2º disjuntivo)
A disjunção P ou Q pode ser escrita como: Gosto de Lógica ou passo no concurso público.
A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza 
lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Quando 
declaramos “Gosto de Lógica ou Passo no concurso público” devemos, de acordo com os 
axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que: gosto exclusivamente de lógica, passo 
exclusivamente no concurso ou pode ainda gostar de lógica e passar no concurso público. 
A possibilidade de não gostar de lógica e nem passar no concurso público representa um 
conjunto vazio. A tabela a seguir mostra este raciocínio.
Tabela-Verdade
P Q P v Q
V V V
V F V
F V V
F F F
 Obs.: O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.
O operador “ou” em operações de conjuntos dá ideia de união e de soma.
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1 .8 .2 . DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições 
simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”
EXEMPLO
R: João gosta de matemática. (1º disjuntivo)
S: João gosta de esporte. (2º disjuntivo)
A disjunção ou R ou S pode ser escrita como: Ou João gosta de matemática ou João 
gosta de esporte.
A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza 
lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio.
Quando declaramos que “Ou João gosta de matemática ou João gosta de esporte” 
devemos, de acordo com os axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que: João gosta 
exclusivamente de Matemática, João gosta exclusivamente de esporte. A possibilidade 
de João gostar de Matemática e João gostar de esporte representa um conjunto vazio. A 
tabela abaixo mostra este raciocínio.
Tabela-Verdade
R S R v S
V V F
V F V
F V V
F F F
 Obs.: O operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro e não ambos”.
O operador “ou...ou...” em operações de conjuntos dá ideia de união dos exclusivos 
e uma ideia da soma dos exclusivos.
Quando se utiliza o “ou” no sentido exclusivo, é comum adicionar no final a expressão: 
“mas não os dois”.
1 .8 .3 . CONJUNÇÃO
Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer 
que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “e”.
EXEMPLO
T: José trabalha no Tribunal. (1º conjuntivo)
U: José mora em Brasília. (2º conjuntivo)
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A palavra “e” é breve e cômoda, mas tem outros usos, além do de interligar enunciados 
(proposições simples). Por exemplo, o enunciado “Lincoln e Grant eram contemporâneos” 
não é uma conjunção, mas um simples enunciado que expressa uma relação. “Para ter 
um símbolo único com a função específica de interligar conjuntivamente os enunciados, 
introduzimos o símbolo como símbolo da conjunção”. Assim, a conjunção, previamente 
mencionada, pode ser escrita como T U: José trabalha no Tribunal e José mora em Brasília. 
A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias de natureza 
lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio.
Quando declaramos que “José trabalha no tribunal” e “José mora em Brasília” devemos, 
de acordo com os axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que: José trabalha no Tribunal 
e mora em Brasília. As possibilidades de que José trabalhe exclusivamente no Tribunal e 
que José more exclusivamente em Brasília ou que não trabalhe no Tribunal e não more em 
Brasília representa um conjunto vazio. A tabela abaixo representa esta situação.
Tabela-Verdade
I E I ∧ E
V V V
V F F
F V F
F F F
 Obs.: O operador “e” tem o sentido de “ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo”.
O operador “e” em operações de conjuntos transmite a ideia de “intersecção” e 
de “multiplicação”.
1 .8 .4 . CONDICIONAL
Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que 
estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/ “Quando”.
EXEMPLO
A: Elisa é estudiosa.
B: Elisa é bem-sucedida.
A condicional “Se A, então B”/ “Quando A, B” pode ser escrita como: A → B: Se Elisa é 
estudiosa, então Elisa é bem-sucedida.
Ao escrevermos “Se Elisa é estudiosa, então Elisa é bem-sucedida” devemos, de 
acordo com os axiomas da Lógica, acordar que: Elisa ser estudiosa obrigatoriamente Elisa 
é bem-sucedida e que se Elisa não é bem-sucedida, então Elisa não é estudiosa. A tabela 
a seguir representa esta situação.
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A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira 
e a segunda falsa, então, se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, 
deverá ser considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa, a primeira deverá 
ser considerada falsa. Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos 
como deduzir o valor lógico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não 
temos como deduzir o valor lógico da primeira. Veja:
A → B
Antecedente → Consequente
Em uma proposição condicional temos as seguintes condições:
X 
Antecedentes Consequentes
Y
X= Condicional suficiente
Y= Condicional necessária
EXEMPLO
Se o dia estiver claro, estão José vai ao comércio.
P: O dia estiver claro.
Q: José vai ao comércio.
Temos que:
O dia estar claro é condição suficiente para José ir ao comércio.
ou
José ir ao comércio é condição necessária para o dia estar claro.
Observação importante para o conectivocondicional é que este não pode comutar. A 
tabela-verdade mostra isso claramente nas linhas 2 e 3, em que os resultados são diferentes.
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
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 Obs.: Na lógica, a interrogação é sempre essa: a conclusão que se chegou deriva das 
premissas usadas ou pressupostas? Se as premissas fornecem bases ou boas provas 
para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação da 
verdade da conclusão, então o raciocínio é correto
Sendo assim, partiremos que as proposições “premissas” são verdadeiras, o que 
teremos uma conclusão verdadeira.
1 .8 .5 . BICONDICIONAL
É a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas pelo 
conectivo “se, e somente se”.
EXEMPLO
A: Gosto de Lógica.
B: Gosto de Matemática.
A proposição bicondicional “A se, e somente se, B” pode ser escrita como:
A ↔ B: Gosto de Lógica se, e somente se, gosto de Matemática.
Quando declaramos que esta proposição é bicondicional devemos, de acordo com 
os axiomas da Lógica, aceitar como verdadeiro que: Se é verdade que gosto de lógica, 
obrigatoriamente, é verdade que gosto de Matemática. Se é verdade que gosto de 
Matemática, obrigatoriamente, é verdade que gosto de Lógica. Se é falso que gosto de 
Lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de Matemática, e, se é falso que gosto de 
Matemática, obrigatoriamente, é falso que gosto de Lógica. Qualquer outra possibilidade 
representa um conjunto vazio.
Conclusão: na proposição bicondicional, se a primeira das duas proposições simples que 
a compõem for verdadeira, a segunda será verdadeira, e se a primeira for falsa, a segunda 
será falsa. Se a segunda for falsa, a primeira será falsa, e se a segunda for verdadeira, a 
primeira será verdadeira. Veja:
Tabela-Verdade
A B A↔B
V V V
V F F
F V F
F F V
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1 .8 .6 . NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO
O ‘não’ é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição 
muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a 
negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa 
a proposição.
Proposição p Proposição ~ p
Reginaldo é 
trabalhador
Reginaldo não é trabalhador
Não é verdade que
Reginaldo é trabalhador
É falso que Reginaldo é
trabalhador
Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição p, é falsa. Veja:
Se a proposição... tem valor lógico...
A bola é pesada verdadeiro
então a proposição... tem valor lógico...
A bola não é pesada Falso
Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa. Veja:
 
Se a proposição... tem valor lógico...
Não quero. verdadeiro
então a 
proposição...
tem valor lógico...
Quero. Falso
EXEMPLO
1) A frase “Você conhece o Luan Santana?” pode ser considerada uma proposição?
São consideradas proposições lógicas as sentenças que podem ser valoradas. Assim, podem 
assumir um único valor: VERDADEIRO ou FALSO.
Vale lembrar que não são proposições lógicas, ou seja, não podem receber o valor de F e V 
as sentenças:
i) Interrogativas.
ii) Exclamativas.
iii) Sentenças abertas.
iv) Opinativas.
v) Sem verbo.
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Como é uma sentença interrogativa, logo, não é uma proposição.
2) “Red Hot Chili Peppers é a maior banda de funk rock de todos os tempos!” é uma proposição.
Note que a sentença é, claramente, imperativa, ou seja, expressa uma opinião. Logo, a sentença 
não é uma proposição.
3) Na proposição composta “Se João foi ao mercado e comprou um produto, então pagou 
com desconto se, e somente se, o produto estava próximo da validade”. Desse modo, qual o 
total de proposições simples na frase?
Uma proposição composta é dada por proposições simples ligadas por conectivos.
Os conectivos utilizados na sentença dada são 3:
Se...,então; e; se, e somente se;
E as proposições simples são:
p: João foi ao mercado
q: comprou um produto
s: pagou com desconto
t: o produto estava próximo da validade
Logo, 4 proposições simples.
4) Qual das proposições abaixo é classificada como composta?
a) João é graduado e pós-graduado.
b) É muito comum os jovens serem rebeldes.
c) Lúcia nunca sai de casa sozinha.
d) Murilo deseja ser pai um dia.
e) Felipe tem muitos sonhos.
Como já vimos, uma proposição lógica é composta quando há duas proposições simples 
ligadas por um conectivo. Cada proposição simples receberá uma valoração e isso implicará 
no valor lógico da proposição composta.
Sabendo dessas informações, vamos analisar cada item:
João é graduado e pós-graduado.
Observe que essa sentença é formada por duas proposições simples: “João é graduado” e 
“João é pós-graduado”. O conectivo utilizado é uma conjunção do tipo “e”.
É muito comum os jovens serem rebeldes.
Possui apenas um verbo e uma única ideia. Logo, é uma proposição simples.
Lúcia nunca sai de casa sozinha.
Possui apenas um verbo e uma única ideia. Logo, é uma proposição simples.
Murilo deseja ser pai um dia.
Possui apenas um verbo e uma única ideia. Logo, é uma proposição simples.
Felipe tem muitos sonhos.
Possui apenas um verbo e uma única ideia. Logo, é uma proposição simples.
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5) Complete a tabela com V ou F no lugar dos números:
Qual a ordem correta de substituição dos números 1 – 2 – 3?
Para responder essa questão precisamos saber que o símbolo representa a negação da 
proposição, ou seja, a troca do seu valor lógico.
Desta forma, 1 = F.
O número 2 ocupa um lugar da conjunção: V⋀ F = F
Dessa forma, 2 = F.
O número 3 ocupa um lugar de uma disjunção, se pelo menos uma proposição é verdadeira, 
logo a sentença será verdadeira:
Então: 3 = V
Logo, a sequência correta será: F – F – V.
6) Dada a tabela abaixo, como ficaria a coluna correspondente a P ⋀ (Q → R)?
É uma questão que envolve dois operadores e a tabela verdade. Primeiro passo é resolver a 
operação que está dentro dos parênteses.
Observe que temos uma condicional e que, em uma condicional, a única forma de obtermos 
F é quando a primeira sentença é verdadeira e a segunda sentença é falsa. Então, vamos 
observar apenas as colunas Q e R.
Q R Q → R
V V V
V F F
F V V
F F V
V V V
V F F
F V V
F F V
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Sabendo o resultado dessa coluna, agora vamos fazer a conjunção “.
Vale lembrar que, em uma conjunção, a única forma de se obter V é quando as duas sentenças 
que a formam são verdadeiras. Então temos:
P Q → R P ⋀ (Q → R)
V V V
V F F
V V V
V V V
F V F
F F F
F V F
F V F
7) Se os valores lógicos de duas proposições forem iguais, então qual é o conectivo entre as 
duas proposições cujo valor lógico é sempre falso?
A operação da disjunção exclusiva indica que a expressão somente será verdadeira quando 
as duas proposições envolvidas possuem valores lógicos diferentes.
Dessa forma, quando os valores lógicos de duas proposições forem iguais, a sua disjunção 
exclusiva sempre será falsa.
2 . TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA2 . TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
2 .1 . TAUTOLOGIA2 .1 . TAUTOLOGIA
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia 
se ela for sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos. Quando uma 
proposição composta é sempre verdadeira, independente dos valores das proposições 
simples que a compõem, então teremos uma tautologia.
EXEMPLO
1) P (p, q) = (p ⋀ q) ⋁~(p ⋀ q)
2)
A ~A B A→B ~A v B (A→B) ↔ (~A v B)
V F V V V V
V F F F F V
F V V V V V
F V F V V V
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A proposição (A→B) ↔ (~A v B)) é uma tautologia.
2 .2 . CONTRADIÇÃO2 .2 . CONTRADIÇÃO
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição 
ou contraválida se ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos.
A ~A A~A
V F F
F V F
EXEMPLO
A proposição A⋀~A é uma contradição.
2 .3 . CONTINGÊNCIA2 .3 . CONTINGÊNCIA
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia 
nem uma contradição. Somente isso. Você pegará a proposição composta e construirá a sua 
tabela-verdade. Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia 
(só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, por exceção, será dita 
uma contingência. As contingências são também denominadas proposições contingentes 
ou proposições indeterminadas.
P Q R (P⋀Q) (P⋀Q) ⋁ R
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F V
F F F F F
EXEMPLO
1) Sendo P e Q duas proposições lógicas, é correto afirmar que a proposição composta 
[(P→Q)⋀P]→Q é uma tautologia?
Vamos criar a tabela verdade da proposição para saber o seus possíveis valores:
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P Q (P→Q) (P→Q)⋀P [(P→Q)⋀P]→Q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Note que a proposição é, na verdade, uma tautologia, ou seja, uma proposição cujo valor 
sempre será verdadeiro, independentemente da valoração das proposições simples que a 
formam.
2) Sendo p, q e r três proposições, a proposição (p⋁~q)↔(~p⋀q) é uma contradição?
Para verificar se a proposição é uma contradição, vamos construir a tabela-verdade.
p q ~p ~q (p⋁~q) (~p⋁q) (p⋁~q)↔(~p⋀q)
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V V F F
Observe que a questão não é a última coluna toda possui o valor F, ou seja, é sim uma contradição.
3) Se P e Q são proposições simples, então a proposição [P→Q]⋀P é uma contingência?
Vamos construir a tabela-verdade, uma vez que temos apenas duas proposições simples e 
o conectivo principal é uma conjunção.
P Q (P→Q) [P→Q]⋀P
V V V V
V F F F
F V V F
F F V F
Conforme o resultado da tabela-verdade trata-se de uma contingência, ou proposição 
indeterminada.
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3 . NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS E 3 . NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS E 
PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTESPROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
3 .1 . NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS3 .1 . NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Duas proposições, em que uma é a negação da outra quando são formadas pelas 
mesmas proposições simples, e os resultados das tabelas-verdade são contrários.
A
FI
R
M
A
Ç
Ã
O
A B A⋀B A⋁B A→B A↔B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
N
E
G
A
Ç
Ã
O
~A ~B ~A⋁~B ~A⋀~B A⋀~B (A⋀~B)⋁(B⋀~A)
F F F F F F
F V V F V V
V F V F F V
V V V V F F
De acordo com as tabelas-verdade, temos o seguinte:
Afirmação Negação
P⋀Q
Ex.: O réu é culpado e a testemunha 
mente.
~P⋁~Q
Ex.: O réu não é culpado ou a 
testemunha não mente.
P⋁Q
Ex.: Bárbara come ou dorme.
~P⋁~Q
Ex.: Bárbara não come e não dorme.
P→Q
Ex.: Se molhar então vai desmanchar.
P⋀~Q
Ex.: Vai molhar e não vai desmanchar.
P↔Q
Ex.: Eu te darei um carro, se e 
somente se eu ficar rico.
(P⋀~Q)⋁(Q⋀~P)
Ex.: Eu te darei um carro e não fico 
rico, ou fico rico e não te darei um 
carro.
3 .2 . PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES3 .2 . PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições 
simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos.
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3 .2 .1 . LEIS ASSOCIATIVAS
• (A⋀B)⋀C⇔A⋀(B⋀C)
• (A⋁B)⋁C⇔A⋁(B⋁C)
EXEMPLO
(A⋀B)⋀C⇔A⋀(B⋀C)
A: José é um aluno dedicado.
B: José é um aluno esforçado.
C: José gosta de futebol.
A⋀B⋀C A⋀B⋀C
José é um aluno dedicado e esforçado, e 
gosta de jogar futebol.
José é um aluno dedicado e esforçado e gosta 
de jogar futebol.
(A⋁B)⋁C⇔A⋁(B⋁C)
A: Josimar é um professor esforçado.
B: José é um aluno dedicado.
C: Josias gosta de estudar.
(A⋁B)⋁C A⋁(B⋁C)
Josimar é um professor esforçado ou José 
é um aluno dedicado, ou Josias gosta de 
estudar.
Josimar é um professor esforçado ou José 
é um aluno dedicado ou Josias gosta de 
estudar.
3 .2 .2 . LEIS DISTRIBUTIVAS
A⋀(B⋁C)⇔(A⋀B)⋁(A⋀C)
A⋁(B⋀C)⇔(A⋁B)⋀(A⋁C)
EXEMPLO
A⋀(B⋁C)⇔(A⋀B)⋁(A⋀C)
A: Josimar gosta de Lógica.
B: Josimar gosta de Português.
C: Josimar gosta de Matemática.
A⋀(B⋁C) A⋀B)⋁(A⋀C)
Josimar gosta de Lógica e Josimar gosta de 
Português ou Matemática
Josimar gosta de Lógica e Português ou 
Josimar gosta
de Lógica e Matemática
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Josimar Padilha
A⋁(B⋀C)⇔(A⋁B)⋀(A⋁C
A: Josimar gosta de Lógica.
B: Josimar gosta de Português.
C: Josimar gosta de Matemática.
A⋁(B⋀C) (A⋁B)⋀(A⋁C)
Josimar gosta de Lógicaou Josimar gosta de 
Português e Matemática
Josimar gosta de Lógica ou Português e 
Josimar gosta de Lógica ou Matemática
3 .2 .3 . LEI DA DUPLA NEGAÇÃO
~(~A)↔~A
EXEMPLO
Proposições Proposições equivalentes
Não é verdade que Reginaldo Aranha não é 
brasiliense
Reginaldo Aranha é brasiliense
3 .2 .4 . EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL
• (A→B ⇔ ~A⋁B)
• (A→B ⇔ ~B→~A) (Teorema da Contra-Recíproca ou Contra-Positiva)
EXEMPLO
Proposição Proposição equivalente
Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa. Enny não toma remédio ou fica boa.
Clara anda ou corre. Se Clara não anda, então Clara corre.
3 .2 .5 . LEI DE AUGUSTUS DE MORGAN
• ~(A⋀B)⇔(~A)⋁(~B)
• ~(A⋁B)⇔(~A)⋀(~B)
3 .2 .6 . EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL
• 1) [(A→B)⋀(B→A)]⇔(A↔B)
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Raciocínio Lógico
Josimar Padilha
3 .2 .7 . LEI COMUTATIVA
Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: 
conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, 
isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade 
permanecem idênticos. Com relação ao conectivo condicional, não ocorre o mesmo, uma vez 
que os resultados de suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo 
condicional não possui a propriedade comutativa.
COMUTAM:
A⋀B⇔B⋀A
A⋀B⇔B⋀A
A↔B⇔B↔A
A⋁B⇔B⋁A
NÃO COMUTA:
A→B ≠ B→A
 Obs.: Nas últimas provas de concursos públicos vimos a importância das equivalências 
lógicas aparecendo com maior frequência. As leis são cobradas, mas é interessante 
identificar quando duas proposições são equivalentes. Então, torna-se necessário 
construir, possibilitando uma análise das tabelas-verdade concreta.
EXEMPLO
1) Qual a negação da proposição lógica “João dançará ou irá tirar fotos com os amigos?
A negação de uma conjunção é dada por uma disjunção. A sentença dada é uma disjunção:
~(P⋁Q)=~P⋀~Q
Assim, negamos as duas proposições e trocamos o conectivo:
“João dançará ou irá tirar fotos com os amigos”
A negação será: “João NÃO dançará E NÃO irá tirar fotos com os amigos”.
2) Considere a proposição: “Se estamos em fevereiro, então eu pago o IPVA”. Qual a negação 
dessa proposição?
A negação de uma condicional é dada por uma conjunção. Podemos usar a regra do MANÉ 
para ajudarmos a lembrar da forma da negação:
MANE: Mantém a primeira e nega a segunda
Então temos: “Se estamos em fevereiro, então eu pago o IPVA”.
A negação será: “Estamos em fevereiro e eu não pago o IPVA.
3) Dada a proposição “se o esboço está em conformidade com o marco regulatório, então o 
projeto deve ser executado”. Qual a sua negação?
A proposição dada é uma condicional do tipo: Se A, então B.
A negação de uma condicional é dada por A⋀~B
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Conhecida como a regra MANÉ: Mantém a primeira e nega a segunda.
Logo: “se o esboço está em conformidade com o marco regulatório, então o projeto deve ser 
executado”.
A negação será: “O esboço está em conformidade com o marco regulatório e o projeto não 
deve ser executado.
4)Qual a negação lógica para a afirmação “Sou feliz se, e somente se, você é feliz”?
A afirmação dada é uma bicondicional (se, e somente se).
A negação de uma bicondicional é dada por uma disjunção exclusiva (ou...ou). Assim, as 
proposições são mantidas e é trocado apenas o conectivo.
Desta forma, a negação dessa afirmativa será:
Ou eu sou feliz, ou você é feliz.
5) Considere a seguinte afirmação: “Se Carlos é médico, então Selma é auditora de controle 
externo e André é auxiliar técnico de controle externo”. Qual seria a equivalência lógica para 
a afirmação apresentada?
A proposição apresentada possui a seguinte estrutura lógica:
Se Carlos é médico, então Selma é auditora de controle externo e André é auxiliar técnico de 
controle externo.
P→(Q⋀R)
Buscamos a equivalência da condicional. As equivalências da condicional são as seguintes:
I – Se p então q = Se não q então não p.
Desta forma, nega as duas proposições, inverte e mantém o conectivo.
Para negar as duas proposições devemos lembrar que a segunda parte é dada por uma 
conjunção e que a sua negação será uma disjunção. Então teremos:
~(Q⋀R)=~Q⋁~R
Logo, a sua equivalência será: (~Q⋁~R)→~P
“Se Selma não é auditora de controle externo ou André não é auxiliar técnico de controle 
externo, então Carlos não é médico.”
II – Se p então q = Não p ou q.
Logo, nega a primeira, troca o conectivo por OU e mantém a segunda.
Então a equivalência será: ~P⋁(Q⋀R)
“Carlos NÃO é médico OU Selma é auditora de controle externo e André é auxiliar técnico de 
controle externo”.
6) A expressão (A⋁B)→C é equivalente à expressão (~A⋀~B)⋁C?
A condicional possui uma equivalência dada por uma disjunção:
I – Se p então q = Não p ou q.
Assim, nega a primeira, troca o conectivo por OU e mantém a segunda. Como a primeira parte 
é dada por uma disjunção a sua negação será:
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~(A⋁B)=~A⋀~B
Então a equivalência será:
(~A⋀~B)⋁C
Logo, é equivalente.
7) Qual seria um sentença logicamente equivalente a “Se João é pescador então Antônio é 
baiano”?
A proposição apresentada possui a seguinte estrutura lógica:
“Se João é pescador então Antônio é baiano”
A questão busca a equivalência da condicional. As equivalências da condicional são as seguintes:
I – Se p então q = Se não q então não p.
Assim, nega as duas proposições, inverte e mantém o conectivo. Então teremos:
“Se Antônio não é baiano, então João não é pescador.”
II – Se p então q = Não p ou q.
Assim, nega a primeira, troca o conectivo por OU e mantém a segunda. Então a equivalência 
será:
“João não é pescador ou Antônio é baiano.” 
8) Valéria foi à academia e, chegando lá, ouviu de um funcionário o seguinte: “se você não 
se apressar, então não conseguirá usar a esteira”. Qual seria uma afirmação logicamente 
equivalente à afirmação do funcionário?
A proposição dada é uma condicional. Sabemos que existem duas equivalências da condicional.
Essa primeira equivalência da condicional consiste em: “negar a primeira proposição mantém 
a segunda proposição.”
Então a equivalência será: “Você se apressar ou não conseguirá usar a esteira” 
A segunda equivalência da condicional consiste em negar as duas proposições, inverter as 
duas proposições e manter o conectivo de condicional.
Então, a equivalência será: “se você conseguir usar a esteira, então você se apressou”.
9) Jandira reclamou com seus colegas quando chegou ao trabalho numa segunda-feira: 
“toda segunda-feira é um dia ruim”. Qual seria uma proposição logicamente equivalente à 
afirmação de Jandira?
A proposição dada “toda segunda-feira é um dia ruim” pode ser escrita como uma condicional:
“Se é segunda-feira, então é um dia ruim”.
Entre as alternativas dessa questão, vemos apenas a ideia da equivalência da contrapositiva 
que consiste em negar as duas proposições e, então, trocar as suas posições.
Assim, temosa proposição equivalente:
“Se não é um dia ruim, então não é segunda-feira”.
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4 . DIAGRAMAS LÓGICOS4 . DIAGRAMAS LÓGICOS
No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo 
conjuntos, os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de 
vários assuntos em Lógica. Gottlob Frege construiu uma maneira de reordenar várias 
sentenças para tornar sua forma lógica clara, com a intenção de mostrar como as sentenças 
relacionam-se em certos aspectos. Antes de Frege, a lógica formal não obteve sucesso além 
do nível da lógica de sentenças: ela podia representar a estrutura de sentenças compostas 
de outras sentenças, usando os conectivos lógicos: “e”, “ou” e “não”, mas não podia quebrar 
sentenças em partes menores. O trabalho de Frege foi um dos que deu início à lógica formal 
contemporânea. Sendo assim, percebemos a grande incidência de questões de concursos 
públicos voltadas para esta linguagem e raciocínio.
Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-
las facilmente porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo (∀)”, “Nenhum 
(¬∃)”, “Algum (∃)”. Na lógica clássica (também chamada de lógica aristotélica), o estudo da 
dedução era desenvolvido usando-se as proposições categóricas.
 Obs.: Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição 
simples, formada basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, 
estão incluídas apenas as proposições afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, 
as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são consideradas proposições 
aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode-se decidir 
serem verdadeiras (V) ou falsas (F). Toda proposição tem um valor lógico, ou uma 
valoração, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas 
por letras maiúsculas A, B, C etc.
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele 
é juiz do TRT da 5ª Região”, ou “x + 3 = 9”. O sujeito é uma variável que pode ser substituída 
por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser 
valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou 
funções proposicionais.
Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores 
“qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por ∀, e “existe”, indicado por ∃. Exemplo: a 
proposição ∀(x)(x ∈ R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição ∃(x)(x ∈ R)(x + 
3 = 9) é valorada como V.
EXEMPLO
“Todos os homens são mortais” se torna “Para todo x, se x é homem, então x é mortal.”, o que 
pode ser escrito simbolicamente como: ∀x(H(x) → M(x)).
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“Alguns homens são vegetarianos” se torna “Existe algum (ao menos um) x tal que x é homem 
e x é vegetariano”, o que pode ser escrito simbolicamente como: ∃x(H(x) ∧ V(x)).
As proposições categóricas podem ser universais ou particulares, cada uma destas 
subdividindo-se em afirmativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas 
possíveis. As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas 
no quadro seguinte:
Proposições 
Afirmativas
Proposições Negativas
Proposições Universais (A) Todo “A” é “B” (E) Nenhum “A” é “B” Todo “A não é B”
Proposições 
Particulares
(I) Algum “A” é “B” (O) Algum “A” não é “B” Nem todo A é B
Entre parênteses estão as vogais que representam quantificação.
Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na 
forma típica começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) 
ou por “Algum” (chamado de quantificador particular).
Sujeito e predicado de uma proposição categórica
Dada uma proposição categórica em sua forma típica chamamos:
• Sujeito: elemento da sentença relacionado ao quantificador da proposição.
• Predicado: elemento que se segue ao verbo.
EXEMPLO
PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS SUJEITO PREDICADO
Todo estudante dedicado é bem-
sucedido.
estudante bem-sucedido
Nenhum animal é imortal. animal imortal
Algum atleta é artista. atleta artista
Algum policial é idôneo. policial idôneo
Todo pássaro voa.
Alguns computadores travam.
Nenhuma mulher é feia.
4 .1 . PARTICULAR AFIRMATIVO: ALGUM A É B4 .1 . PARTICULAR AFIRMATIVO: ALGUM A É B
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
• Ao menos um
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• Pelo menos um
• Existe
• Alguém
O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B 
simultaneamente.
(A ∩ B) = {x / x ∈ A e x ∈ B}
∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ∃x (B(x) ∧ A(x))
4 .2 . UNIVERSAL NEGATIVO: NENHUM A É B4 .2 . UNIVERSAL NEGATIVO: NENHUM A É B
4 .2 .1 . CONJUNTOS DISJUNTOS
O termo “nenhum” pode ser substituído pela palavra “não existe” nas provas de 
concursos públicos:
A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅
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¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ⇔ ¬∃x (B(x) ∧ A(x))
4 .3 . PARTICULAR NEGATIVO: ALGUM A NÃO É B4 .3 . PARTICULAR NEGATIVO: ALGUM A NÃO É B
Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:
• Ao menos um
• Pelo menos um
• Existe
• Alguém
A − B = {x / x ∈A e x ∉B}
DIFERENÇA
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4 .4 . UNIVERSAL AFIRMATIVO: TODO A É B4 .4 . UNIVERSAL AFIRMATIVO: TODO A É B
A ∪ B = B A ∩ B = A INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A ⊂ B)
Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:
• Para todo
• Qualquer que seja
∀(x) (A(x) → B(x))
 Obs.: ∀x(A(x) → B(x)) ≠∀x(B(x) → A(x)) não possui a propriedade comutativa.
4 .5 . NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS4 .5 . NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado 
ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas. 
Dizemos que estarão sempre em oposição. São quatro os tipos de oposições:
• PROPOSIÇÕES CONTRADITÓRIAS: cada uma delas é a negação lógica da outra (A – O e E – I)
Duas contraditórias terão sempre valoreslógicos contrários, ou seja, não podem ser 
ambas verdadeiras nem falsas.
• PROPOSIÇÕES CONTRÁRIAS: uma afirmativa universal e sua negativa (A – E)
Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. 
Desse modo, se soubermos que uma delas é verdadeira podemos garantir que a outra é falsa. 
Mas, se soubermos que uma delas é falsa não poderemos garantir que a outra é falsa também.
• PROPOSIÇÕES SUBCONTRÁRIAS: uma afirmativa particular e sua negativa (I – O)
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Raciocínio Lógico
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Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras. 
Assim sendo, se soubermos que uma delas é falsa, poderemos garantir que a outra é 
verdadeira. Mas se soubermos que uma delas é verdadeira, não poderemos garantir que a 
outra é verdadeira também.
• PROPOSIÇÕES SUBALTERNAS: duas afirmativas (universal e sua particular correspondente, 
A – I) ou duas negativas (universal e sua particular correspondente, E – O).
− Sempre que a universal for verdadeira, sua correspondente particular será ver-
dadeira também, mas a falsidade da sentença universal não obriga que a corres-
pondente sentença particular seja falsa também.
− Sempre que a particular for falsa, sua correspondente universal será falsa também, 
mas a verdade da sentença particular não obriga que a correspondente sentença 
universal seja verdadeira também.
CONTRÁRIAS
Nega qualidade, mas não quantidade.
SUBCONTRÁRIAS
Nega qualidade, mas não quantidade.
CONTRADITÓRIAS
Nega quantidade e qualidade
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EXEMPLO
1) “Toda flor amarela é perfumada”. “O girassol é uma flor amarela”. Sabendo que as afirmações 
apresentadas acima são verdadeiras, Vamos desenhar o diagrama para chegarmos a uma 
conclusão.
Podemos representar por diagramas:
Com isso, podemos concluir que o conjunto dos girassóis é subconjunto do grupo de flores 
perfumadas.
2) Todas as bailarinas são magras. Sabendo que essa afirmação é verdadeira, vamos desenhar 
o diagrama.
Note que o conjunto das bailarinas é um subconjunto de pessoas magras.
Dessa forma, podemos concluir que o conjunto das pessoas magras contém o conjunto das 
bailarinas.
5 . INFERÊNCIA LÓGICA E LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO5 . INFERÊNCIA LÓGICA E LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão, 
de proposições já conhecidas, denominadas premissas.
P1: Proposição → Premissa (Hipótese)
P2: Proposição → Premissa (Hipótese)
P3: Proposição → Premissa (Hipótese)
P4: Proposição → Premissa (Hipótese)
P5: Proposição → Premissa (Hipótese)
Pn: Proposição → Premissa (Hipótese)
C: Proposição → Conclusão (Tese)
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5 .1 . REGRAS DE INFERÊNCIA5 .1 . REGRAS DE INFERÊNCIA
Modus Ponens A, A →B ∴ B
Generalização Universal
A ∴∀xA
TEOREMAS
Nos teoremas a seguir, para compreendermos as notações, temos que:
• As premissas estão sempre à esquerda do sinal ∴ (lê-se portanto), que anuncia 
uma conclusão.
• Uma vírgula separa duas premissas (hipótese).
Rec. significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.
T
1: A ∴A
T2: ~(~A) ∴ A
REC: A ∴ ~(~A)
T3: A, B ∴ A∧B
T4: A ∴ A∨B
T5: A∧B ∴ A
T6: A∨B, ~A ∴ B
T7: A→B, B→C ∴ A→C
T8: A, (A→B) ∴ B
T9: (A∨B), B→C ∴ (A∨C)
T10: A→B ∴ ~B→~A
REC: ~B→~A ∴ A→B
T11: A→B, (~A→B) ∴ B
T12: (A∧B)→C ∴ A→(B→C)
REC: A→(B→C) ∴ (A∧B)→C
T13: (A∧~B)→(C∧~C) ∴ A→B (Princípio da não contradição) T14: A→(B∨C, ~B ∴ A→C)
 Obs.: Temos observado que as bancas têm cobrado do candidato uma interpretação do 
que é uma inferência lógica, onde questões bem elaboradas fazem parte do processo 
seletivo. Sendo assim, torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica 
é constituída de premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também 
verdadeira, uma vez que a lógica afirma: Se as premissas fornecem bases ou boas 
provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação 
da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto.
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5 .2 . LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO5 .2 . LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
A Lógica formal também chamada de lógica simbólica preocupa-se, basicamente, com 
a estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são 
transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.
Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3,... Pn, chamadas 
premissas (hipóteses), a uma proposição C, chamada conclusão (tese) do argumento.
ESTRUTURA DO ARGUMENTO
p1∧ p2∧ p3∧ p4∧ p5... pn ⇒ C
(Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese)
5 .3 . SILOGISMO5 .3 . SILOGISMO
Quando temos um argumento formado por três proposições, sendo duas premissas e 
uma conclusão, trata-se então de um SILOGISMO.
P1: premissa
P2: premissa
C: conclusão
EXEMPLO
P1:Todos os professores são dedicados (V)
P2: Todos os dedicados são bem-sucedidos (V)
Todos os professores são bem-sucedidos (V)
P1: Todos os professores são dedicados (V)
P2: Josimar é dedicado (V)
C: Josimar é professor (V/F)
Representação por diagrama:
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LINGUAGEM SIMBÓLICA DOS ARGUMENTOS LÓGICOS FORMADOS COM PROPOSIÇÕES 
CATEGÓRICAS
LINGUAGEM NATURAL
Todos os homens são sensíveis.
Há homens.
Logo, há (pessoas) sensíveis.
LINGUAGEM FORMAL
(∀x(homens(x) → sensível(x)))
(∃x homem(x))
Logo
(∃x sensível(x))
LINGUAGEM NATURAL Alguns felinos são leopardos.
Todos os leopardos são belos.
Logo, alguns felinos são belos.
LINGUAGEM FORMAL
(∃x(felino(x) ∧ leopardo(x))) (∀x(leopardo(x) → belo(x)))
Logo
(∃x (felino(x) ∧ belo(x)))
LINGUAGEM NATURAL
Todos os sancarlenses são baianos.
Todos os baianos são brasileiros.
Logo, todos os sancarlenses são brasileiros.
LINGUAGEM FORMAL
(∀x(sancarlense(x) → baiano(x)))
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JosimarPadilha
(∀x(baiano(x) → brasileiro(x)))
Logo
(∀x(sancarlense(x) → brasileiro(x)))
LINGUAGEM NATURAL
Nenhum jogador é pobre.
Alguns pobres são alegres.
Logo, alguns jogadores não são alegres.
LINGUAGEM FORMAL
(¬∃x ( jogador(x) ∧ pobre(x)))
(∃x (pobre(x) ∧ alegre(x)))
Logo
(∃x (alegre(x) ∧ ¬jogador(x)))
5 .4 . SILOGISMO CATEGÓRICO5 .4 . SILOGISMO CATEGÓRICO
É denominado categórico quando composto por três proposições categóricas ou 
singulares, e as três proposições categóricas devem conter ao todo duas premissas e uma 
conclusão distinta destas premissas.
Termo Médio é o termo que se repete nas duas premissas mas não aparece na conclusão.
EXEMPLO
Todo cachorro é aquático.
Todo aquático é vertebrado.
Logo, todo cachorro é vertebrado.
Neste caso, o termo médio é “aquático”.
REGRAS DO SILOGISMO
A validade de um silogismo depende do respeito às regras de estruturação que permitem 
verificar a correção ou incorreção do silogismo.
DAS PREMISSAS
• Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio e menor.
• Os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas.
• O termo médio não pode entrar na conclusão.
• O termo médio deve ser universal ao menos uma vez.
DA CONCLUSÃO
• De duas premissas negativas, nada se conclui.
• De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa.
• A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. 4) De duas premissas particulares, 
nada se conclui.
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 Obs.: A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se 
preocupa apenas com a forma e a estrutura que as premissas se relacionam com 
a conclusão, ou seja, se o argumento é válido ou inválido. Isto quer dizer que para 
ser argumento é necessário possuir FORMA.
5 .5 . VALIDADE DE UM ARGUMENTO5 .5 . VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Um argumento será válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma 
consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isto implica necessariamente que 
a conclusão será verdadeira.
A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as 
premissas e a conclusão.
p
1 (V) ∧ p2 (V) ∧ p3(V) ∧ p4(V) ∧ p5(V) ∧... ∧ pn(V) → C(V)
Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas, logo para 
que a conclusão seja verdadeira torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até 
mesmo porque se uma das premissas for falsa tornará a conclusão falsa. Logo, a verdade 
das premissas garante a verdade da conclusão do argumento.
5 .6 . ARGUMENTO DEDUTIVO5 .6 . ARGUMENTO DEDUTIVO
Um argumento será dedutivo quando sua conclusão traz apenas informações obtidas 
das premissas, ainda que implícitas. É um argumento de conclusão não ampliativa. Para 
um argumento dedutivo válido, caso se tenha premissas verdadeiras, a conclusão será 
necessariamente verdadeira.
Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam 
nenhum conhecimento novo. Como dissemos, a conclusão já está contida nas premissas. 
A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da 
dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor 
dentro da lógica.
5 .7 . ARGUMENTO INDUTIVO5 .7 . ARGUMENTO INDUTIVO
Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informações que as 
premissas fornecem. É um argumento de conclusão ampliativa.
É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos é que as ciências 
descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente parte de dados da 
experiência e desses dados chega a enunciados universais. Além disso, todas as conjecturas 
que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados particulares do presente, as 
ciências fazem as conjecturas do futuro.
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Os argumentos indutivos, ao contrário do que sucede com os dedutivos, levam a conclusões 
cujo conteúdo excede os das premissas. E esse traço característico da indução que torna os 
argumentos indispensáveis para a fundamentação de uma significativa porção dos nossos 
conhecimentos (SALMON, 1969, p. 76).
O grande problema da indução é que ela é probabilística. Não há a necessidade como na 
dedução. Como vimos na dedução, a conclusão decorre necessariamente das premissas. Já 
na indução isso é impossível, uma vez que ela enumera casos particulares e por probabilidade 
ela infere uma verdade universal. A conclusão da indução tem apenas a probabilidade de 
ser verdadeira.
EXEMPLO
Observe as quatro afirmações:
Se é canceriano, então é romântico.
André é romântico.
Gael é sagitariano.
Lucca não é romântico.
1) É correto concluir que Lucca não é canceriano?
Temos 3 proposições simples e uma única composta.
Como a proposição composta é uma condicional, a única forma para obter FALSO é quando 
a primeira proposição é V e a segunda é F.
Dessa forma, vamos analisar a afirmativa dada:
“Lucca não é canceriano”.
As proposições dadas que trazem informações sobre Lucca e ser canceriano foram:
Lucca não é romântico (V).
Assim, a negação dessa proposição será “Luca é romântico” (F).
Como a próxima proposição é uma condicional em que a segunda parte, quando se referido 
a Lucca é falso, então a primeira necessariamente deverá ser falsa para que a proposição 
não assuma valor F.
Se Lucca é canceriano (F), então é romântico (F).
Logo, Lucca não é canceriano.
2) É correto concluir que Gael não é romântico?
Temos 3 proposições simples e uma única composta. Como a proposição composta é uma 
condicional, a única forma para obter FALSO é quando a primeira proposição é V e a segunda 
é F. Dessa forma, vamos analisar a afirmativa dada:
“Gael não é romântico.”
A Condicional que temos é: “Se é canceriano, então é romântico”.
Sabemos que Gael é sagitário, então a primeira parte da proposição será FALSA:
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Raciocínio Lógico
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Se Gael é canceriano (F), então é romântico.
Observe que a sentença será verdade independentemente do valor que a segunda proposição 
assuma.
Dessa forma, não podemos afirmar se Gael é ou não romântico.
3) É correto concluir que André é canceriano?
Vamos analisar a afirmativa dada:
“André é canceriano”.
A condicional que temos é: “Se é canceriano, então é romântico”.
A informação que temos da questão é que André é romântico, então a segunda parte da 
proposição composta será verdadeira.
Se André é canceriano, então ele é romântico (V).
Note que independentemente do valor da primeira proposição, essa condicional sempre será 
verdadeira.
Dessa forma, não podemos afirmar ao certo se André é ou não é canceriano.
6 . LÓGICA ANALÍTICA6 . LÓGICA ANALÍTICA
As bancas têm exigido dos candidatos entendimento quanto à lógica de relações 
arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictícios. Também podem exigir a