Memorial de Calculo - Maderias_Grupo2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
ESCOLA DE MINAS 
DEPARTAMENTO DE ENG. CIVIL – DECIV 
CIV 265 – Construções de Madeira 
Prof.: Luiz Henrique de Almeida Neiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
TRABALHO CONSTRUÇÕES DE MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
Flávia Aparecida Gonçalves (11.2.4180) 
Patrícia Oliveira Pinheiro (11.1.1550) 
Tiago Silva Cunha (11.1.1798) 
Vanessa Pereira Santana (14.2.1589) 
ViníciusDuarte Ferras (11.1.1727) 
 
Grupo 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OURO PRETO, JULHO DE 2017 
 
 
 
Esforços Solicitantes de Projeto nas Barras: 
 
Barras 
Nc,Sd Nt,Sd 
(kN) (kN) 
1 -59,50 20,72 
2 -59,50 20,72 
3 -47,46 16,62 
7 -18,28 52,50 
8 -14,25 41,86 
9 -10,97 31,50 
13 -11,20 3,90 
14 -3,47 18,20 
15 5,60 31,11 
16 -6,92 19,74 
17 0,00 0,00 
 
Coeficientes de modificação 
 
Kmod1 Kmod2 Kmod3 Kmod 
0,7 0,8 1,0 0,56 
 
Dimensionamento das ligações 
 
Nós Nºparafusos 
A 2,0 
 
 
Verificação à tração 
 
Barras Nº 
Aútil σtd ft,0d 
(cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) 
Banzo 7,0 60,0 8,8 26,7 
 
 
 
 
Verificação à compressão 
 
 
 
Peças Curtas Medianamente Esbeltas Esbeltas 
Barras Nº λ 
σc,0d fc,0d σNd σMd fc,0d σNd σMd fc,0d 
(kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2) 
Banzo 1, 2 49,1 8,3 8,8 26,7 
 
 
(a) Esforços solicitantes de projeto máximos de tração e compressão em cada 
uma das barras (combinação última normal) 
 
 Esforços Solicitantes de Projeto nas Barras 
Para combinações últimas normais tem-se: 
𝐹𝑑 = Σ𝛾𝑔𝑖𝐺𝑖 + 𝛾𝑞1𝑄1 + Σ𝛾𝑞𝑗Ψ0𝑗𝑄𝑗 
Onde: 
𝐺 = 𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑄1 = 𝑎çã𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 
𝑄𝑗
= 𝑎çõ𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑚 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑄1 𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚 𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑙 
𝛾𝑔, 𝛾𝑞 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛ç𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 à𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 
𝜓0 = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢çã𝑜 
 
Considera-se cada uma das cargas variáveis atuando como ação principal, 
lembrando que o vento de sobrepressão e o vento de sucção não atuam 
simultaneamente e quando se tem uma carga variável e favorável, a mesma não é 
considerada no cálculo, isto é, 𝛾𝑞𝑖 = 0. 
Desta forma, calculando-se o esforço de compressão para a barra 1, tem-se: 
- Vento de sobrepressão como carga principal: 
𝑁𝑐,𝑠𝑑 = 1,4 ∗ 26,6 + 1,4 ∗ 15,9 + 0 ∗ 31,9 
𝑵𝒄,𝒔𝒅 = 𝟓𝟗, 𝟓 𝑲𝑵 
E calculando-se o esforço de tração para a mesma barra: 
𝑁𝑡,𝑠𝑑 = 0,9 ∗ (−26,6) + 0 ∗ 15,9 + 1,4 ∗ 31,9 
𝑵𝒕,𝒔𝒅 = 𝟐𝟎, 𝟕𝟐𝑲𝑵 
Pela convenção: (+) Favoráveis 
 (- ) Desfavoráveis 
Para obtenção dos esforços de compressão e de tração das demais barras o cálculo é 
análogo. Considerando-se ainda que por se tratar de uma treliça simétrica, fez-se os 
cálculos na planilha do excel apenas para uma parte da treliça. 
 
 
 
 
 
 Cálculo dos Coeficientes de Modificação (𝑘𝑚𝑜𝑑): 
De acordo com as tabelas 3.10, 3.12 e 3.13 que seguem abaixo e para variabilidade 
das ações permanentes grande, tem-se: 
(𝑘𝑚𝑜𝑑1) = 0,7 : Madeira Sucupira / longa duração 
(𝑘𝑚𝑜𝑑2) = 0,8: Classe de umidade 3 
(𝑘𝑚𝑜𝑑3) = 1,0 : Madeira Sucupira / 1ª categoria 
Logo, 
𝑘𝑚𝑜𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 ∗ 𝑘𝑚𝑜𝑑2 ∗ 𝑘𝑚𝑜𝑑3 
𝒌𝒎𝒐𝒅 = 𝟎, 𝟕 ∗ 𝟎, 𝟖 ∗ 𝟏, 𝟎 = 𝟎, 𝟓𝟔 
 
 
 
 
 
 
(b) Dimensionamento e detalhamento da ligação no nó A. 
 
Resistência de cálculo dos pinos: 
fyd = resistência de escoamento do pino. 
 
Adotando parafusos estruturais, com diâmetro de 10 mm, e fyk = 24,0 MPA, 
Com, 
γs = 1,1 
fyd = 
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
= 
24,0
1,1
= 𝟐𝟏, 𝟖𝟐 𝑴𝑷𝑨 
 
Tem-se que a inclinação da treliça é dada por: 
 
𝛼 = 𝑡𝑔−1 (
2,4
4,5
) = 𝟐𝟖, 𝟏° 
 
Os esforços solicitados no item a serão utilizados para o dimensionamento da ligação no nó 
A. A Figura a seguir esquematiza a seção estudada, com seus devidos carregamentos. 
 
 
 
Figura 1 – Esquematização da seção 
 
O esforço de tração crítico na seção estudada é no valor de 52,5 MPA. Deve-se definir 
então, o número de parafusos necessários para absorver este esforço. 
Considerando a seção: 
 
 
Tem-se: 
 
t1 = 3 
t2 = 6/2 = 3 
 
logo, t = 3.dadot = 10 mm. 
 
Valor de cálculo da resistência do pino: 
 
 Cálculo de β: 
 
 
𝛽 = 
𝑡
𝑑
= 
3
1
= 3 
 Resistência da madeira ao embutimento inclinado: 
 
𝑓𝑒𝛼,𝑑 = 
𝑓𝑒0,𝑑 . 𝑓𝑒90,𝑑
𝑓𝑒0,𝑑 . 𝑠𝑒𝑛2(𝛼). 𝑓𝑒90,𝑑 . 𝑐𝑜𝑠2(𝛼)
 
 
Onde, 
𝑓𝑒0,𝑑 = 𝑓𝑐0,𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 .
𝑓𝑐0,𝑘 
𝛾𝑐
= 0,56 𝑥 
0,7 𝑥 𝑓𝑐0 
𝛾𝑐
= 0,56 𝑥 
0,7 𝑥 95,2
1,4
 
= 26,70 𝑀𝑃𝑎 
Pela tabela de Valores de 𝛼𝑒, encontramos que para diâmetros de pino igual a 0,95 cm 
(mais próximo de 1,0 cm)o valor a ser usado de 𝛼𝑒 = 1,95. Logo, 
 
𝑓𝑒90,𝑑 = 0,25 𝑥 𝑓𝑐0,𝑑 𝑥 𝛼𝑒 = 0,25 𝑥 26,7 𝑥 1,95 = 13,00 𝑀𝑃𝑎 
 
Então, 
𝑓𝑒 28,1,𝑑 = 
26,70 𝑥 13,00
26,70 . 𝑠𝑒𝑛2(28,1) + 13 . 𝑐𝑜𝑠2(28,1)
= 21,64 𝑀𝑃𝑎 
 
 Cálculo de βlim: 
βlim = 1,25 √
fy,d
fe α,d
= 1,25 √
21,82
21,64
= 1,26 
 
Como βlim ≤ β haverá flexão no pino. 
 
 
 Resistência de cada seção de corte de um parafuso: 
 
𝑅𝑣𝑑,1 = 0,625 .
𝑑2
𝛽𝑙𝑖𝑚
 . 𝑓𝑦𝑑 
𝑅𝑣𝑑,1 = 0,625 .
12
1,26
 . 21,82 = 10,82 𝑘𝑁 
 
 
Como teremos 4 seções de corte, a resistência do parafuso será igual a quatro vezes o 
𝑅𝑣𝑑,1, ou seja, 43,28 kN. 
 
Então, para resistir ao maior esforço de tração serão necessários: 
 
52,5
43,28
= 1,21 ≈ 𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒇𝒖𝒔𝒐𝒔. 
 
 
 
 
Figura 2 - Detalhamento da Seção no Nó 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Compressão inclinada às fibras: 
 
𝑓𝑐𝛼,𝑑 = 
𝑓𝑐0,𝑑 . 𝑓𝑐90,𝑑
𝑓𝑐0,𝑑 . 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) + 𝑓𝑐90,𝑑 . 𝑐𝑜𝑠2(𝛼)
 
 
𝑓𝑐90,𝑑 = 0,25𝑥 𝑓𝑐0,𝑑 
𝑓𝑐90,𝑑 = 0,25𝑥 26,70 = 6,70 𝑀𝑃𝑎 
 
𝑓𝑐28,1,𝑑 = 
26,70 𝑥 6,70
26,7 . 𝑠𝑒𝑛2(28,1) + 6,70 . 𝑐𝑜𝑠2(28,1)
= 16,06 𝑀𝑃𝑎 = 1,606 𝑘𝑁
𝑐𝑚²
⁄ 
 
𝜎𝑐 28,1 = 
𝐹𝑑
𝐴𝑐
= 
59,5
(
𝑒
𝑐𝑜𝑠 (28,1)
) 𝑥 6
= 
8,74
𝑒
≤ 1,606 𝑘𝑁
𝑐𝑚²
⁄ 
𝑒 ≥ 5,44 𝑐𝑚 
 
Recomenda-se que a altura do entalhe não seja maior que ¼ de h. Logo, a altura 𝑒 
deve ser no máximo igual a 3, sendo h=12. Como para cada barra é 
 
5,44 
2
= 2,72 
 
Como 2,72 < 3, a condição é aceita. 
 
O comprimento de folga f, deve ser suficiente para impedir o cisalhamento do topo 
do banzo inferior, em um plano horizontal, que é paralelo às fibras da madeira. É dado por: 
 
𝑓 ≥ 
𝑁𝑑 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑏 𝑥 𝑓𝑣0,𝑑
 
 
𝑓 ≥ 
59,5 𝑥 cos (28,1)
6 𝑥 0,249
 
 
 
Onde 
 
 
𝑓𝑣0,𝑑 =
𝑓𝑣0,𝑘 𝑥 𝐾𝑚𝑜𝑑
𝛾𝑤𝑣
=
0,12𝑥66,64 𝑥 0,56
1,8
= 2,49 𝑀𝑃𝑎 = 0,249 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
Logo, 
𝑓 ≥ 35,13 𝑐𝑚 
 
Então, f para cada barra é: 
𝑓 ≥
35,13 
2
= 17,57 ≈ 18 𝑐𝑚 
 
 
o Tração paralela inclinada às fibras: 
 
𝜎𝑡0,𝑑 = 
𝐹𝑑
𝐴ú𝑡𝑖𝑙
 ≤ 𝑓𝑡0,𝑑 
𝜎𝑡0,𝑑 =
52,5
(12 − 𝑒)𝑥 6
 ≤ 26,7 
Pois, 
𝑓𝑐0,𝑑 = 𝑓𝑡0,𝑑 = 26,7 
 
𝑒 ≤ 11,67 𝑐𝑚 
 
 
(c) Verificação da barra mais solicitada à tração – Barra 7 com Nd = 52,5 MPa. 
 
 
𝜎𝑡𝑑 = 
𝑁𝑡𝑑
𝐴𝑢
 
Onde 𝐴𝑢 é a área útil da barra. 
 
𝐴𝑢 = [2 𝑥 (3 𝑥 12)] − [2𝑥2 𝑥 (3𝑥1)] = 60,00 𝑐𝑚² 
𝜎𝑡𝑑 = 
52,5
60,00
= 0,875
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 8,75 𝑀𝑃𝑎 
 
𝜎𝑡𝑑 ≤ 𝑓𝑡0,𝑑 
 
 
 
𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝑓𝑡0,𝑑 = 𝑓𝑐0,𝑑 
 
8,75 ≤ 26,7 
Logo, atende à condição. 
 
(d) Verificação da barra mais solicitada à compressão – Barra 1 e 2 com 
Ncd = 59,5 MPa. 
 
Esbeltez para k =1: 
 
𝐿𝑜 =
1,5 
cos(28,1)
= 1,7 𝑚 
Momento de inércia: 
 
𝐼𝑥 = 𝐼𝐶𝐺𝑋 + 𝐴𝑑² 
 
𝐼𝑥 = 2𝑥 
𝑏ℎ³
12
+ 𝑏𝑥ℎ𝑥0 =
2𝑥3𝑥12³
12
+ 0 = 864𝑐𝑚4 
 
 
𝐼𝑦 = 𝐼𝐶𝐺𝑦 + 𝐴𝑑² 
𝐼𝑦 = 2𝑥 
𝑏ℎ³
12
+ 2𝑥𝑏𝑥ℎ𝑥(4,5)² =
2𝑥12𝑥3³
12
+ 2𝑥3𝑥12𝑥4,5² = 1512𝑐𝑚4 
 
Raio de Giração: 
 
𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
 
𝑖𝑥 = √
864
72
= 3,46 𝑐𝑚 
 
 
 
Considera-se a menor inércia (logo, o menor valor de raio de giração, que é o ix) para a 
verificação da barra mais comprimida. 
 
Cálculo do índice de estbeltez: 
 
λ =
Lo
ixλ =
170
3,46
= 49,13 
 
( 40 <λ < 80) 
Logo, a peça é classificada como medianamente esbelta. 
Excentricidade de primeira ordem: 
𝑒1 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎 
 
Onde, 𝑒𝑎corresponde à excentricidade acidental mínima e é dada por: 
 
𝑒𝑎 = 
𝐿𝑜
300
=
170
300
= 0,57 𝑐𝑚 
E 𝑒𝑖 é dado por: 
𝑒𝑖 = 
𝑀1𝑑
𝑁𝑑
=
0
59,5
= 0 
Logo, 
𝑒1 = 0,57 + 0 = 057 𝑐𝑚 
 
Carga crítica de Euler: 
 
𝐹𝑒 =
 𝜋². 𝐸𝑐𝑜,𝑒𝑓.𝐼
𝐿𝑜²
 
 
𝐹𝑒 =
 𝜋²𝐸𝑐𝑜,𝑒𝑓𝐼
𝐿𝑜²
=
𝜋² 𝑥 2172,4 𝑥 0,56 𝑥 864
170²
= 358,96 𝑘𝑁 
 
 
 
 
Momento fletor de segunda ordem: 
 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑. 𝑒1. (
𝐹𝑒
𝐹𝑒 − 𝑁𝑑
) 
 
 
𝑀𝑑 = 59,5 𝑥 0,57𝑥 (
358,96
358,96 − 59,5
) = 40,65 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
Verificação: 
𝜎𝑀𝑑 = 
𝑀𝑑 . 𝑦 
𝐼𝑥
=
40,65 𝑥 6 
8,64
=
0,282𝑘𝑁
𝑐𝑚2
= 2,82 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑁𝑑 = 
𝑁𝑑 
𝐴
=
59,5
72
= 0,826
𝑘𝑁
𝑐𝑚²
= 8,26 𝑀𝑃𝑎 
 
Deve ser garantida a segurança em relação ao estado limite último de instabilidade. A 
norma brasileira não considera, para peças medianamente esbeltas, a verificação de 
compressão simples, sendo necessária a verificação da flexo-compressão no elemento 
estrutural, em razão de possíveis excentricidades, ainda que a compressão seja centrada. 
Essa verificação é dada por: 
 
𝜎𝑁𝑑
𝑓𝑐𝑜,𝑑
+ 
𝜎𝑀𝑑
𝑓𝑐𝑜,𝑑
 ≤ 1 
 
 
8,26
26,7
+ 
2,82 
26,7
= 0,41 ≤ 1 
 
Logo, a segurança é garantida.