Ajuste de histórico e previsão de comportamento

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Universidade Federal de Sergipe - UFS
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Núcleo de Engenharia de Petróleo (NUPETRO)
P RO F. AC TO D E L I M A C U N H A
0 9 /2 0 2 2 
ANÁLISE DE CURVAS DE DECLÍNIO DE 
PRODUÇÃO
Análise de curvas de declínio de produção
Método simplificado e bastante usado na prática para realização de ajuste de histórico
e/ou previsão do comportamento de poços isolados, de reservatórios ou mesmo
campos de óleo.
❖ Realização de ajuste de histórico quando não há dados suficientes para a utilização
de outros métodos analíticos;
❖ Estimativa de comportamento (produção e recuperação) quando há pouco ou
nenhum histórico de produção.
Análise de curvas de declínio de produção
A taxa de declínio de produção de um poço, reservatório ou campo produtor de óleo é
definida como:
Onde q é a vazão de produção e t o tempo.
Observações empíricas dos comportamentos de poços e de reservatórios mostraram
que, na prática, a taxa de declínio de produção obedece à seguinte relação:
Onde ai é a taxa de declínio inicial, qi a vazão inicial e n uma constante.
1 dq
a
q dt
= − (1)
, 0 n 1
n
i
i
q
a a
q
 
=   
 
(2)
Análise de curvas de declínio de produção
No caso particular em que n=1, temos o declínio de produção do tipo harmônico, e a
taxa de declínio é dada por:
▪ Declínio extremamente favorável, que dificilmente ocorre na prática, com exceção
de certas fases da vida produtiva de reservatórios com mecanismo de acentuado
influxo de água.
No outro extremo dos valores de n, ou seja, quando n=0, tem-se um declínio a taxas
constantes, também chamado de declínio exponencial. Neste caso:
i
i
q
a a
q
 
=  
 
(3)
i
a a= (4)
Análise de curvas de declínio de produção
Finalmente, se 0<n<1, o declínio é chamado de hiperbólico. Ocorre na maioria dos
reservatórios reais.
No geral.
• O objetivo do estudo do declínio é a determinação, a partir de um ajuste de
histórico, dos valores das constantes ai e n, os quais poderão posteriormente ser
utilizados na previsão do comportamento futuro do poço ou reservatório.
Tipo de declínio
Ajuste de 
Histórico
Previsão de 
comportamento
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Declínio Hiperbólico
Igualando-se as Eqs. 1 e 2 obtém-se:
Separando as variáveis resulta em:
1
n
i
i
dq q
a
q dt q
 
− =  
 
(5)
( 1)
1
n
in
i
dq
a dt
q q+
 
= −  
 
(6)
Análise de curvas de declínio de produção
Ou
Integrando-se a Eq. (7) entre t=0 e t=t:
Obtém-se:
( 1) 1
n
n
i
i
q dq a dt
q
− +
 
= −  
 
(7)
( 1)
0
1
i
n
q q t t
n
i
q q t i
q dq a dt
q
= =
− +
= =
 
= −  
 
  (8)
(9)
( )
1
1
i
n
i
q
q
na t
=
+
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Ajuste de histórico – determinação de ai e n
A Eq. (9) pode se expressa da forma:
Indicando que (qi/q)n é uma função linear do tempo.
( )1
n
i
i
q
na t
q
 
= + 
 
(10)
Histórico de 
produção
(q versus t)
Arbitram-se 
valores de n
Calcula-se os 
valores de (qi/q)n 
Gráfico (qi/q)n 
versus t
Análise de curvas de declínio de produção
Até que se obtenha uma linha reta. Com isso estará determinado o valor de n e do
coeficiente angular (nai) da reta calcula-se o valor de ai
.
Exemplo: Tabela 1 - Dados de produção.
t (ano) q (m3 std/d)
0 100,0
1 77,0
2 61,0
3 49,5
4 41,0
5 34,5
Análise de curvas de declínio de produção
Tabela 2 – Valores de (qi/q)n.
(qi/q)n
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
t (ano) q (m3 std/d) qi/q n= 1/3 n= 2/3 n= 1/2
0 100,0 1,000 1,000 1,000 1,000
1 77,0 1,299 1,091 1,190 1,140
2 61,0 1,639 1,179 1,390 1,280
3 49,5 2,020 1,264 1,598 1,421
4 41,0 2,439 1,346 1,812 1,562
5 34,5 2,899 1,426 2,033 1,703
Figura 1 - Gráfico (qi/q)n versus t
Como n=1/2
Logo ai =0,14*(1/n)=0,14*(2)=0,28/ano
Análise de curvas de declínio de produção
2 1
2 1
1,40 1,26
0,14 /
3 1
i
y y
na ano
x x
− −
= = =
− −
( )
1
0,51 0,5*0,28
i
q
q
t
=
+( )
1
1
i
n
i
q
q
na t
=
+ ( )
2
1 0,14
i
q
q
t
=
+
➢ Previsão de comportamento
O valor da vazão de produção, a qualquer tempo, pode se calculado através da Eq. (9),
a partir do conhecimento das constantes ai e n, determinadas no ajuste de histórico.
O volume de óleo a ser produzido, em função do tempo, pode ser estimado
integrando-se a equação da vazão, isto é:
Análise de curvas de declínio de produção
0
365
t
p
N qdt=  (11)
( )
1
1
i
n
i
q
q
na t
=
+
(09)
➢ Previsão de comportamento
Resolvendo-se a integral da Eq. (11) obtém-se:
Onde as vazões são dadas em m3 std/d, a taxa de declínio é usada em ano-1, o valor de
Np é obtido em m3 std e se admite que o ano tem 365 dias.
Usando-se a Eq. (09), a Eq. (12) também pode ser escrita como:
Análise de curvas de declínio de produção
1
1
365 1
1
n
i
p
i i
q q
N
a n q
−
   
= −   
−    
(12)
( )
1
11
365 1 1
1
i n
p i
i
q
N na t
a n
−  
= + −  −   
(13)
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Declínio Exponencial
Também chamado de declínio constante, ou ainda declínio a porcentagens iguais, o
valor de n é igual a zero e a taxa de declínio permanece a mesma ao longo do tempo,
ou seja, a=ai. Substituindo esse valor na Eq. (1)
Separando as variáveis e integrando,
(14)
0i
q q t t
i
q q t
dq
a dt
q
= =
= =
= −  (15)
1
i
dq
a
q dt
= −
Análise de curvas de declínio de produção
Resulta na equação:
➢ Ajuste de histórico – determinação de ai
Tomando-se o logaritmo neperiano da Eq. (16):
A Eq. 17 mostra que no declínio exponencial, um gráfico de ln(q) versus t resulta em
uma linha reta com coeficiente angular igual a –ai.
(17)
(16)exp( )
i i
q q at= −
ln ln
i i
q q at= −
Exemplo
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Previsão de comportamento
O valor da vazão, durante o período de declínio exponencial, pode ser calculado
através da Eq. 16, a partir do conhecimento da taxa de declínio ai, determinada no
ajuste de histórico.
O volume acumulado de óleo a ser produzido, em função do tempo, pode ser estimado
integrando-se a equação da vazão, isto é:
Cuja resolução produz:
Onde q é a vazão no instante para o qual se deseja a produção acumulada de óleo
(19)
(18)
0 0
365 dt 365 exp( )dt
t t t
p i i
t
N q q a t
=
=
= = − 
365 i
p
i
q q
N
a
 −
=  
 
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Declínio harmônico
Neste tipo de declínio, n=1, a taxa de declínio, dada pela Eq. (2), simplifica-se para:
Combinando-se as Eqs. (20) e (1):
Separando-se as variáveis e integrando-se:
(20)
1
i
i
dq q
a
q dt q
 
− =  
 
(21)
i
i
q
a a
q
 
=  
 
1 dq
a
q dt
= − (1)
1
i
i
q
q
a t
 
=  
+ 
(22)
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Ajuste de histórico – determinação de ai
A eq. (22) pode ser apresentada na forma:
Indicando que um gráfico de 1/q em função de t deve resultar em uma linha reta com
coeficiente linear 1/qi e coeficiente angular ai/qi.
A taxa de declínio inicial é determinado pela multiplicação do coeficiente angular pela
vazão inicial:
(23)
1 1
i
i i
a
t
q q q
= +
i
i i
i
a
a q
q
 
=  
 
(24)
Exemplo
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Previsão de comportamento
O valor da vazão, a qualquer tempo, pode ser calculado através da Eq. (22), a partir do
conhecimento da constante ai, determinada no ajuste de histórico.
A produção acumulada de óleo, em função do tempo, pode ser estimada integrando-se
a equação da vazão, isto é:
Que resulta:
Ou ainda:
(26)
(25)
0 0
dt dt
1
t t t
i
p
t i
q
N q
a t
=
=
= =
+
 
( )365 ln 1i
p i
i
q
N a t
a
= +
365 lni i
p
i
q q
N
a q
 
=  
 
(27)
Análise de curvas de declínio de produção
1 1
i
i i
a
t
q q q
= +ln ln
i i
q q at= −( )1
n
i
i
q
na t
q
 
= + 
 
Declínio Hiperbólico Declínio Exponencial Declínio Harmônico
( )
1
11
365 1 1
1
i n
p i
i
q
N na t
a n
−  
= + −  −   
Previsão de 
comportamento
Previsão de 
comportamento
Previsão de 
comportamento365 i
p
i
q q
N
a
 −
=  
 
365 lni i
p
i
q q
N
a q
 
=  
 
Equação de declínio Equação de declínio Equação de declínio
Ajuste de histórico
n e ai ? ai ? ai ?
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Método de Gentry
Gentry (1972) apresentou um método que simplifica a análise de curvas de declínio.
Da equação do declínio hiperbólico, Eq. 9.
Substituindo-se a Eq. (28) na Eq. (12) obtém-se:
( )
1
1
i
n
i
q
q
na t
=
+
( ) 1
n
i
i
q q
a
nt
−
= (28)
( )
1
1
365
1 ( ) 1
n
p i
n
i i
N q qn
q t n q q
−
 − 
=   
− −   
(29)
➢ Método de Gentry
( )
1
1
365
1 ( ) 1
n
p i
n
i i
N q qn
q t n q q
−
 − 
=   
− −   
Análise de curvas de declínio de produção
➢ Método de Gentry
Com q e Np em um determinando instante da vida produtiva do poço ou
reservatório, pode-se estimar o valor do expoente n usando a Figura 11.4.
A taxa de declínio inicial (ai) através da Eq.(28)
Com n e ai determinados, pode-se verificar se de fato os dados do histórico de
produção obedecem o tipo de declínio encontrado construindo-se um dos
gráficos.
( ) 1
n
i
i
q q
a
nt
−
=
1 1
i
i i
a
t
q q q
= +ln ln
i i
q q at= −( )1
n
i
i
q
na t
q
 
= + 
 
Declínio Hiperbólico Declínio Exponencial Declínio Harmônico
Método de Gentry
Exemplo:
Considerando o intervalo de tempo entre 01/01/1972 e 31/12/1977, determinar o tipo
de declínio utilizando o método de Gentry.
qi = 240 m3 std/d
q = 57 m3 std/d (t= 6 anos = 2190 dias, em 31/12/1977)
Método de Gentry
Exemplo:
Onde nm= 365/12 (número médio de dias por mês)
( )282510 / 2190 240 0,5375
p
i
N
x
q t
= = ( )
240
4,21
57
i
q q = =
* Produções mensais
p m
N n= 
3(365 12)*9288 282.510 m std
p
N = =
0,5375
4,21
n=0
Declínio Exponencial