Matrizes

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> A seguinte coleção retangular de três 
linhas e sete colunas pode descrever o 
número de horas que um(a) estudante 
gastou estudando três matérias durante 
uma certa semana. 
 
Álgebra 
linear 
 
Calculo 2 
metrologia 
 
> Se suprimirmos os títulos, ficaremos com a 
seguinte coleção retangular de números 
denominada matriz 
[
0 0 2 4 0 0 2 
4 4 2 0 2 0 2
0 2 4 2 6 2 0
] 
Uma matriz é um agrupamento retangular 
de números, os números nesse 
agrupamento são chamados de entradas 
da matriz. 
M → linhas 
N → colunas 
> A ordem de uma matriz é descrita em 
número de linhas e de colunas. A matriz tem 
ordem m x n. 
> Duas matrizes A = [aij]m⇥n e B = [bij]r⇥s 
são iguais, A = B, se elas têm o mesmo 
número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e 
todos os seus elementos correspondentes 
são iguais (aij = bij). 
Matriz quadrada 
O número de linhas é igual ao número de 
colunas. 
 
Matriz nula 
Aquela que aij = 0 para todo i e j. 
 
Matriz coluna 
Aquela que possui uma única coluna 
 
Matriz linha 
Possui uma única linha ( m = 1 ) 
 
Matriz diagonal 
uma matriz quadrada onde aij = 0 para 
i ≠ j, ou seja, os elementos que não estão 
na diagonal são nulos 
 
Matriz identidade 
Uma matriz diagonal em que aij = 1 
 
Matriz triangular superior 
Uma matriz quadrada onde todas as 
entradas abaixo da diagonal são nulas, 
ou seja, m = n e aij = 0 para i > j 
 
Matriz triangular inferior 
Todas as entradas acima da diagonal 
são nulas 
Matriz simétrica 
Uma matriz quadrada onde aij = aji 
 
A soma de duas matrizes de mesma ordem 
A = [aij]mxn e B = [bij]mxn é uma matriz mxn 
que denotaremos por A+B: 
A + B = [aij + bij] m x n 
 
> propriedades: 
• A + B = B + A 
• A + (B + C) = (A + B) + C 
• A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula de 
ordem m x n 
Dada uma matriz A = [aij]mxn e um número 
real α, o produto de α por A é uma matriz 
m x n dada por: 
αA = [αaij]mxn 
 
> propriedades: 
• α (A + B) = Αa + Αb 
• (α + β)A = Αa + βA 
• 0 . A = 0 mxn 
• α(Βa) = (αβ)A 
A matriz transposta da matriz A = [aij]mxn é 
a matriz A’ = [bij]nxm cujas linhas são as 
colunas de A, bij = aji. 
 
> propriedades: 
• (A’)’ = A 
• (A + B)’ = A’ + B’ 
• (aA)’ = aA’ 
Dada uma matriz A = [aij]mxn e uma matriz 
B = [bij]nxp, o produto de A e B é a matriz 
dada por AB = [cij]mxn onde 
 
 
 
1 Só podemos efetuar o produto de 
duas matrizes Am⇥n e Bl⇥p se o 
número de colunas de A for igual ao 
número de linhas de B, isto é, n = l 
2 Em geral AB 6= BA (podendo um dos 
produtos estar definido e o outro 
não). Por exemplo, se 
 
 
Note que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0 
> propriedades: 
• (AB)C = A(BC) 
• (A+B) C = AC + BC 
• C (A + B) = CA + CB 
• IA = AI = A, onde I é uma matriz identidade 
• (aA) B = A (α B) = α(AB) 
• (AB)’ = B’A’ 
• 0mxn . Anxp = 0mxp e Apxm . 0mxn = 0pxn