AULA 4 INTERPOLAÇÃO, EXTRAPOLAÇÃO E AJUSTE DE CURVAS

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Fernanda Fonseca 
 
 
CONVERSA INICIAL 
 O estudo de fenômenos por meio de dados (coletados experimentalmente 
ou não) exige uma análise matemática dos padrões desses dados no campo da 
física, da engenharia, da estatística, da matemática, entre outras áreas de 
conhecimento. 
Por esse motivo, é muito importante a definição de modelos matemáticos 
que descrevam de forma precisa as relações entre as grandezas envolvidas no 
estudo. A compreensão dessas relações permite estimar valores não conhecidos 
e prever situações e condições novas. 
Nesta aula, estudaremos métodos de interpolação e extrapolação de 
dados para estimar funções para conjuntos de dados que se ajustem melhor à 
forma com essas grandezas se relacionam. Também estudaremos métodos de 
verificação da precisão desses modelos matemáticos para direcionamento da 
melhor opção de função a ser adotada no estudo do fenômeno em questão. 
TEMA 1 – INTERPOLAÇÃO 
 Os métodos de interpolação permitem determinar um novo conjunto de 
dados internos ao intervalo de valores numéricos tabelados (Jarletti, 2018). Esse 
processo consiste em aproximar uma função 𝑔(𝑥) simples (e contínua no 
conjunto dos números reais) de um conjunto de pontos que caracterizam uma 
função 𝑓(𝑥) desconhecida e/ou mais complexa. 
 Para isso, utilizamos métodos para determinar uma função interpoladora 
𝑔(𝑥) cujos valores da função interpoladora nos pontos de interpolação já 
conhecidos de 𝑓(𝑥) são iguais aos da função geradora dos pontos, como mostra 
a Figura 1. 
 
 
 
3 
Figura 1 – Pontos de interpolação 
 
 Veja que, na Figura 1, para os pontos conhecidos cujas abscissas são, 
respectivamente, 𝑥0 e 𝑥1, o valor da função interpoladora 𝑔(𝑥) é igual ao valor 
da função geradora 𝑓(𝑥), que é mais complexa e desconhecida, conforme 
equação 1. 
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑔(𝑥𝑖) 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑖 = 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑛 + 1) 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 (1) 
 
 Vamos então conhecer alguns métodos de interpolação! 
1.1 Interpolação linear 
 A interpolação linear consiste em uma aproximação da função com uma 
reta descrita pela função 𝑔(𝑥). Esse método utiliza apenas dois pontos 
conhecidos para interpolação, sendo os dois pontos dos extremos do intervalo a 
ser interpolado. Isso faz com que outras características da função sejam 
desconsideradas, tornando essa aproximação imprecisa em muitos casos. 
Apesar disso, pela sua simplicidade, é um dos métodos de interpolação mais 
utilizados (Jarletti, 2018; Chapra; Canale, 2002). 
 Essa interpolação é caracterizada por uma função linear 𝑔(𝑥) = 𝑦, que 
pode ser determinada pela Equação 2, implementada sobre os dois pontos 
interpoladores (𝑥1; 𝑦1) e (𝑥2; 𝑦2). 
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
∙ (𝑥 − 𝑥1) (2) 
Para compreender melhor a aplicação desse método, veja o exemplo a 
seguir. 
Exemplo 1 
 
 
4 
Estime o valor de 𝑙𝑛(2) utilizando a interpolação linear, considerando os 
pontos conhecidos apresentados na tabela a seguir: 
Tabela 1 – Exemplo 1 
𝒙 1 4 6 
𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙) 0 1,386294 1,791759 
 
Resolução 
Adotaremos os pontos mais próximos de 𝑥 = 2. Essa proximidade permite 
uma estimativa mais precisa do valor desejado. 
Logo, {
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 1: 𝑥1 = 1 𝑒 𝑦1 = 0
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 2: 𝑥2 = 4 𝑒 𝑦2 = 1,386294
 
Substituindo esses pontos na Equação 2, teremos: 
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
∙ (𝑥 − 𝑥1) ⇒ 𝑦 − (0) =
(1,386294) − (0)
(4) − (1)
∙ (𝑥 − (1)) 
𝑦 =
1,386294
3
∙ (𝑥 − 1) 
𝑦 = 0,462098 ∙ (𝑥 − 1) 
𝑦 = 0,462098𝑥 − 0,462098 → 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 
Utilizando essa função, quando 𝑥 = 2, teremos que 
𝑦 = 0,462098(2) − 0,462098 
𝑦 = 0,462098 
Isso significa dizer que, pela interpolação linear aqui realizada, podemos 
estimar que 𝑦 = 𝑙𝑛(2) = 0,462098. Entretanto, o valor estimado mostra-se como 
uma aproximação do valor real de 𝑦 = 𝑙𝑛(2), conforme é possível observar na 
Figura 2. 
 
 
 
5 
Figura 2 – Interpolação linear 
 
Sabendo que o valor real de 𝑙𝑛(2) = 0,6931472, essa estimativa 
apresenta um desvio relativo de 33,33%. 
1.2 Interpolação polinomial 
 A aproximação de uma curva a uma função linear nem sempre é 
adequada, podendo gerar erros bastante grandes nas estimativas, como 
observamos no Exemplo 1. A aproximação de uma curva a uma função 
quadrática (de formato parabólico), ou com outro polinômio de maior grau, pode 
ser mais bem ajustada. 
 Nesse caso, a função de interpolação mostra-se como um polinômio de 
grau menor ou igual a 𝑛 dado pela Equação 3: 
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥
3 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑥
𝑛 (3) 
Para esse tipo de interpolação, é necessário tratar de 𝑛 + 1 pontos na 
tabela de dados. 
No processo de interpolação, é necessário determinar os valores dos 
coeficientes 𝑎𝑘 para 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛 no sistema de equações definidas por 
𝑓(𝑥𝑘) = 𝑝(𝑥𝑘) para 𝑘 = 0, 1, 2, 3,… , 𝑛 (Equação 4). 
{
 
 
 
 
𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥0 + 𝑎2 ∙ 𝑥0
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥0
3 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑥0
𝑛 = 𝑝(𝑥0)
𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥1 + 𝑎2 ∙ 𝑥1
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥1
3 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑥1
𝑛 = 𝑝(𝑥1)
𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥2 + 𝑎2 ∙ 𝑥2
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥2
3 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑥2
𝑛 = 𝑝(𝑥2)
…
𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑎2 ∙ 𝑥𝑛
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥𝑛
3 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛
𝑛 = 𝑝(𝑥𝑛)
 (4) 
 
 
6 
 Denominamos a matriz dos coeficientes do formato matricial desse 
sistema de Matriz de Vandermonde (Equação 5), em referência ao matemático 
francês Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). O determinante dessa 
matriz deve ser diferente de zero para que tenhamos uma possível solução 
única. 
[
 
 
 
 
 
1 𝑥0 𝑥0
2 𝑥0
3 … 𝑥0
𝑛
1 𝑥1 𝑥1
2 𝑥1
3 … 𝑥1
𝑛
1 𝑥2 𝑥2
2 𝑥2
3 … 𝑥2
𝑛
… … … … … …
1 𝑥4 𝑥𝑛
2 𝑥𝑛
3 … 𝑥𝑛
𝑛]
 
 
 
 
 
∙
[
 
 
 
 
𝑎0
𝑎1
𝑎2
…
𝑎𝑛]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝑓(𝑥0)
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
…
𝑓(𝑥𝑛)]
 
 
 
 
 (5) 
 Vamos observar um exemplo para compreendermos melhor esse método 
de interpolação polinomial. 
Exemplo 2 
Vamos agora estimar o valor de 𝑙𝑛(2) utilizando a interpolação polinomial, 
considerando os pontos conhecidos apresentados na tabela a seguir. 
Tabela 2 – Exemplo 2 
𝒙 1 4 6 
𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙) 0 1,386294 1,791759 
 
Resolução 
Veja que trabalharemos agora com os três pontos da tabela. Isso significa 
que o grau 𝑛 do polinômio interpolador será dado por 
𝑛 + 1 = 3 → 𝑛 = 2 
Ou seja, a função interpoladora será uma função quadrática (função de 
segundo grau). Isso significa que o polinômio interpolador será dado por 
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 
Logo, substituindo os valores dos dados da tabela na equação, chegamos 
ao seguinte sistema de equações 
{
𝑎0 + 𝑎1 ∙ (1) + 𝑎2 ∙ (1)
2 = 0
𝑎0 + 𝑎1 ∙ (4) + 𝑎2 ∙ (4)
2 = 1,386294
𝑎0 + 𝑎1 ∙ (6) + 𝑎2 ∙ (6)
2 = 1,791759
 ⇒ {
𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 = 0
𝑎0 + 4𝑎1 + 16𝑎2 = 1,386294
𝑎0 + 6𝑎1 + 36𝑎2 = 1,791759
 
Resolvendo o sistema de equação, temos como solução {
𝑎0 = −0,669590
𝑎1 = 0,721464
𝑎2 = −0,051873
 
Nesse caso, o polinômio interpolador será dado por 
 
 
7 
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 ⇒ 𝑝(𝑥) = (−0,669590) + (0,721464) ∙ 𝑥 + (−0,051873) ∙ 𝑥2 
𝑝(𝑥) = −0,669590 + 0,721464𝑥 − 0,051873𝑥² 
Utilizando essa função, quando 𝑥 = 2, teremos que 
𝑦 = 𝑝(𝑥) = −0,669590 + 0,721464 ∙ (2) − 0,051873 ∙ (2)² 
𝑦 = 0,565844 
Isso significa dizer que, pela interpolação linear aqui realizada, podemos 
estimar que 𝑦 = 𝑙𝑛(2) = 0,565844. Entretanto, o valor estimado mostra-se como 
uma aproximação do valor real de 𝑦 = 𝑙𝑛(2), conforme é possível observar na 
Figura 3. 
Figura 3 – Interpolação polinomial (função quadrática) 
 
Sabendo que o valor real de 𝑙𝑛(2) = 0,6931472, essa estimativa 
apresenta um desvio relativo de 18,37%. Veja que o desvio da Interpolação 
polinomial é menor que o desvio encontrado pela interpolação linear no exemplo 
1. Isso significa que a aproximação da curva a uma funçãoquadrática tem um 
melhor ajuste. 
TEMA 2 – POLINÔMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE 
 Uma outra forma de interpolação que não exige a resolução de sistemas 
de equações, é o método de Interpolação de Lagrange. Segundo Jarletti (2018), 
o polinômio interpolador mostra-se como um polinômio de grau menor ou igual 
a 𝑛 (Equação 6), tratando de 𝑛 + 1 pontos na tabela de dados. 
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑦0 ∙ 𝐿0(𝑥) + 𝑦1 ∙ 𝐿1(𝑥) + 𝑦2 ∙ 𝐿2(𝑥) + ⋯+ 𝑦𝑛 ∙ 𝐿𝑛(𝑥) (6) 
 
 
8 
 Nessa Equação 6, o termo 𝐿𝑘(𝑥) é determinado pela Equação 7. 
𝐿𝑘(𝑥) =
∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
∏ (𝑥𝑘 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
 (7) 
Esse termo ∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
 representa um produtório de (𝑥 − 𝑥𝑖), ou seja: 
∏(𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
= (𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑘 
O fator (𝑥 − 𝑥𝑘) não deve ser incluído no produto. 
O termo ∏ (𝑥𝑘 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
 representa um produtório de (𝑥𝑘 − 𝑥𝑖), ou seja: 
∏(𝑥𝑘 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑖≠𝑘
= (𝑥𝑘 − 𝑥0) ∙ (𝑥𝑘 − 𝑥1) ∙ (𝑥𝑘 − 𝑥2)… (𝑥𝑘 − 𝑥𝑛) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑘 
O fator (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘) não deve ser incluído no produto. 
Exemplo 3 
Estime o valor de 𝑙𝑛(2) utilizando o polinômio interpolador de Lagrange, 
considerando os pontos conhecidos apresentados na tabela a seguir: 
Tabela 3 – Exemplo 3 
𝒙 1 4 6 
𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙) 0 1,386294 1,791759 
 
Resolução 
Como temos três pontos (𝑛 + 1 = 3), trabalharemos com um polinômio de 
grau 𝑛 = 2 dado por 
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑦0 ∙ 𝐿0(𝑥) + 𝑦1 ∙ 𝐿1(𝑥) + 𝑦2 ∙ 𝐿2(𝑥) 
Logo, teremos que 𝐿0(𝑥), em que 𝑘 = 0, será dado por: 
𝐿0(𝑥) =
∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)
2
𝑖=0
𝑖≠0
∏ (𝑥0 − 𝑥𝑖)
2
𝑖=0
𝑖≠0
=
(𝑥 − 𝑥1) ∙ (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥0 − 𝑥1) ∙ (𝑥0 − 𝑥2)
 
𝐿0(𝑥) =
(𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 6)
(1 − 4) ∙ (1 − 6)
 
𝐿0(𝑥) =
𝑥2 − 10𝑥 + 24
15
 
 
 
9 
Teremos que 𝐿1(𝑥), em que 𝑘 = 1, será dado por: 
𝐿1(𝑥) =
∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)
2
𝑖=0
𝑖≠1
∏ (𝑥1 − 𝑥𝑖)
2
𝑖=0
𝑖≠1
=
(𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥1 − 𝑥0) ∙ (𝑥1 − 𝑥2)
 
𝐿1(𝑥) =
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 6)
(4 − 1) ∙ (4 − 6)
 
𝐿1(𝑥) =
𝑥2 − 7𝑥 + 6
−6
 
Teremos que 𝐿2(𝑥), em que 𝑘 = 2, será dado por: 
𝐿2(𝑥) =
∏ (𝑥 − 𝑥𝑖)
2
𝑖=0
𝑖≠2
∏ (𝑥2 − 𝑥𝑖)
2
𝑖=0
𝑖≠2
=
(𝑥 − 𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥0) ∙ (𝑥2 − 𝑥1)
 
𝐿2(𝑥) =
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 − 4)
(6 − 1) ∙ (6 − 4)
 
𝐿2(𝑥) =
𝑥2 − 5𝑥 + 4
10
 
Nesse caso, o polinômio interpolador será dado por 
𝑝(𝑥) = 𝑦0 ∙ (
𝑥2 − 10𝑥 + 24
15
) + 𝑦1 ∙ (
𝑥2 − 7𝑥 + 6
−6
) + 𝑦2 ∙ (
𝑥2 − 5𝑥 + 4
10
) 
𝑝(𝑥) = 0 ∙ (
𝑥2 − 10𝑥 + 24
15
) + 1,386294 ∙ (
𝑥2 − 7𝑥 + 6
−6
) + 1,791759 ∙ (
𝑥2 − 5𝑥 + 4
10
) 
𝑝(𝑥) = −0,231049𝑥2 + 1,617343𝑥 − 1,386294 + 0,179176𝑥2 − 0,895880𝑥 + 0,716704 
𝑝(𝑥) = −0,051873𝑥2 + 0,721463𝑥 − 0,669590 
Utilizando essa função, quando 𝑥 = 2, teremos que 
𝑦 = 𝑝(2) = −0,051873(2)2 + 0,721463(2) − 0,669590 
𝑦 = 0,565844 
Isso significa dizer que, pela interpolação de Lagrange aqui realizada, 
podemos estimar que 𝑦 = 𝑙𝑛(2) = 0,565844. Entretanto, o valor estimado 
mostra-se como uma aproximação do valor real de 𝑦 = 𝑙𝑛(2), conforme é 
possível observar na Figura 4. 
 
 
 
10 
Figura 4 – Interpolação de Lagrange 
 
Veja que a função interpoladora encontrada pelo Método de Lagrange é 
igual à função interpoladora encontrada pela interpolação polinomial quadrática. 
Por esse motivo, o erro relativo do valor estimado é o mesmo de 18,37%. 
TEMA 3 – POLINÔMIO INTERPOLADOR DE NEWTON 
 A interpolação de Newton é o método de interpolação mais popular, sendo 
a interpolação linear estudada anteriormente um caso da interpolação de 
Newton. Consiste em um operador que utiliza diferenças divididas, por isso é 
também chamado de método de interpolação polinomial por diferenças divididas 
de Newton (Chapra; Canale, 2002). Para interpolação de 𝑛 + 1 pontos, é 
possível determinar um polinômio interpolador de grau 𝑛, dado pela Equação 8. 
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) +⋯+ 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑛−1) (8) 
Para os quais os coeficientes 𝑏𝑛 são dados por 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) 
𝑏1 = 𝑓(𝑥1; 𝑥0) =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
𝑏2 = 𝑓(𝑥2; 𝑥1; 𝑥0) =
𝑓(𝑥2; 𝑥1) − 𝑓(𝑥1; 𝑥0)
𝑥2 − 𝑥0
 
… 
𝑏𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛; … ; 𝑥2; 𝑥1; 𝑥0) =
𝑓(𝑥𝑛; … ; 𝑥2; 𝑥1) − 𝑓(𝑥𝑛−1;… ; 𝑥1; 𝑥0)
𝑥𝑛 − 𝑥0
 
 
 
11 
 
Vamos entender melhor por meio de um exemplo. 
Exemplo 4 
Estime o valor de 𝑙𝑛(2) utilizando o polinômio interpolador de Lagrange, 
considerando os pontos conhecidos apresentados na tabela abaixo: 
Tabela 4 – Exemplo 4 
𝒙 1 4 5 6 
𝒚 = 𝒍𝒏 (𝒙) 0 1,386294 1,609438 1,791759 
 
Resolução 
Como temos três pontos (𝑛 + 1 = 4), trabalharemos com um polinômio de 
terceiro grau (𝑛 = 3) dado pela Equação 8. 
𝑝(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + 𝑏3(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3) 
Mas para utilizar essa relação, é preciso determinar os coeficientes 𝑏0,
𝑏1, 𝑏2 𝑒 𝑏3. 
Com base nos dados da tabela, temos que: 
Para determinar o coeficiente 𝑏0 
𝑥0 = 1 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) ⇒ 𝑏0 = 𝑓(1) = 0 
 
Para determinar o coeficiente 𝑏1 
𝑏1 = 𝑓(𝑥1; 𝑥0) =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
sendo que 
𝑥1 = 4 
𝑓(𝑥1) = 𝑓(4) = 1,386294 
Logo, 
𝑏1 = 𝑓(𝑥1; 𝑥0) ⇒ 𝑏1 = 𝑓(4; 1) =
1,386294 − 0
4 − 1
= 0,462098 
 
Para determinar o coeficiente 𝑏2 
𝑏2 = 𝑓(𝑥2; 𝑥1; 𝑥0) =
𝑓(𝑥2; 𝑥1) − 𝑓(𝑥1; 𝑥0)
𝑥2 − 𝑥0
 
sendo que 
 
 
12 
𝑥2 = 5 
𝑓(𝑥2) = 𝑓(5) = 1,609438 
𝑓(𝑥2; 𝑥1) =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
⇒ 𝑓(5; 4) =
1,609438 − 1,386294
5 − 4
= 0,223144 
Logo, 
𝑏2 = 𝑓(𝑥2; 𝑥1; 𝑥0) ⇒ 𝑏2 = 𝑓(5; 4; 1) =
0,202733 − 0,462098
5 − 1
= −0,059739 
 
Para determinar o coeficiente 𝑏3 
𝑏3 = 𝑓(𝑥3; 𝑥2; 𝑥1; 𝑥0) =
𝑓(𝑥3; 𝑥2; 𝑥1) − 𝑓(𝑥2; 𝑥1; 𝑥0)
𝑥3 − 𝑥0
 
sendo que 
𝑥3 = 6 
𝑓(𝑥3) = 𝑓(6) = 1,791759 
𝑓(𝑥3; 𝑥2) =
𝑓(𝑥3) − 𝑓(𝑥2)
𝑥3 − 𝑥2
⇒ 𝑓(6; 5) =
1,791759 − 1,6094384
6 − 5
= 0,182321 
Então, 
𝑓(𝑥3; 𝑥2; 𝑥1) =
𝑓(𝑥3; 𝑥2) − 𝑓(𝑥2; 𝑥1)
𝑥3 − 𝑥1
⇒ 𝑓(6; 5; 4) =
0,182322 − 0,202733
6 − 4
= −0,020411 
Logo, 
𝑏3 = 𝑓(𝑥3; 𝑥2; 𝑥1; 𝑥0) ⇒ 𝑏3 = 𝑓(6; 5; 4; 1) =
(−0,020411) − (−0,051873)
6 − 0
= 0,007865 
Podemos então reescrever o polinômio interpolador de terceiro grau como 
𝑝(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + 𝑏3(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
 
𝑝(𝑥) = (0) + (0,462098) ∙ (𝑥 − 1) + (−0,059739) ∙ (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 
+(0,007865) ∙ (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) 
 
𝑝(𝑥) = 0,462098𝑥 − 0,462098 − 0,059739𝑥2 + 0,298693𝑥 − 0,238954 + 
+0,007865𝑥3 − 0,078654𝑥2 + 0,228097𝑥 − 0,157308 
 
𝑝(𝑥) = 0,007865𝑥3 − 0,138393𝑥2 + 0,988888𝑥 − 0,858360 
 
Utilizando essa função, quando 𝑥 = 2, teremos que 
𝑦 = 𝑝(2) = 0,007865(2)3 − 0,138393(2)2 + 0,988888(2) − 0,858360 
𝑦 = 0,628767 
 
 
13 
 
Isso significa dizer que, pela interpolação de Lagrange aqui realizada, 
podemos estimar que 𝑦 = 𝑙𝑛(2) = 0,628767. Entretanto, o valor estimado 
mostra-se como uma aproximação do valor real de 𝑦 = 𝑙𝑛(2), conforme é 
possível observar na Figura 5. 
Figura 5 – Interpolação de Newton 
 
Sabendo-se que o valor real de 𝑙𝑛(2) = 0,6931472, essa estimativa 
apresenta um desvio relativo de 9,29%. Esse é o menor desvio encontrado até 
o momento, se compararmos os métodos utilizados nos exemplos anteriores. 
Isso significa que a aproximação da curva a uma função de terceiro grau pela 
interpolação de Newton é a função que tem o melhor ajuste até o momento. 
TEMA 4 – EXTRAPOLAÇÃO E REGRESSÃO NUMÉRICA 
A extrapolação numérica consiste em compreender o padrão numérico de 
uma série de dados para estender esse comportamento a condições externas 
ao intervalo que contém os dados ou para dados coletados com base em 
experimentos físicos (Jarletti, 2018). 
A extrapolação tem como objetivo estimar função que tenha um bom 
ajuste aos dados de forma que permitia estimar uma boa aproximação às 
condições a serem extrapoladas. Segundo Jarletti (2018), deve-se escolher a 
melhor função de ajuste com base na distribuição dosdados em um diagrama 
de dispersão. Chamamos de diagrama de dispersão a distribuição dos pontos 
que caracterizam a tabela de dados em um sistema cartesiano (Figura 6). 
 
 
 
14 
Figura 6 – Diagrama de dispersão 
 
Esse ajuste é determinado de acordo com a distribuição dos 𝑚 pontos da 
tabela de dados, podendo caracterizar uma função polinomial de grau 𝑛 dada 
pela Equação 9, definida por regressão numérica. 
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2 ∙ 𝑥
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥
3 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑥
𝑛 (9) 
 Para determinar os coeficientes 𝑎𝑖 do polinômio, esse sistema deve ser 
representado no formato matricial (Equação 10). 
[
 
 
 
 
 𝑚 ∑𝑥𝑖
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
… ∑𝑥𝑖
𝑛
… ∑𝑥𝑖
𝑛+1
… …
∑𝑥𝑖
𝑛 ∑𝑥𝑖
𝑛+1
… …
… ∑𝑥𝑖
2𝑛
]
 
 
 
 
 
[
𝑎0
𝑎1…
𝑎𝑛
] =
[
 
 
 
 
 ∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
…
∑𝑥𝑖
𝑛 ∙ 𝑦𝑖]
 
 
 
 
 
 (10) 
 A resolução desse sistema matricial permite encontrar os coeficientes do 
polinômio dado pela equação 9 que representará a função de ajuste. 
 Vamos entender melhor a implementação desse método pelo exemplo a 
seguir. 
Exemplo 5 
Com base nos dados referentes aos décimos terceiros dias de cada mês 
(de março até dezembro) do ano de 2020, disponibilizados pelo JHU CSSE 
Covid-19 Data (JHU, S.d.), para acompanhamento da disseminação do Covid-
19 no Brasil, um estudante de engenharia busca encontrar uma função de ajuste 
que permita extrapolar e estimar o desenvolvimento pandêmico para o ano de 
2021. 
 
 
15 
Tabela 5 – Dados mensais do ano de 2020 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
Fonte: JHU, s. d. 
Para tal fim, o estudante estimou três funções de ajuste: 
a. Função polinomial linear: 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 
b. Função polinomial quadrática: 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 
c. Função polinomial de terceiro grau: 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 
Resolução 
a. Por meio da regressão linear, o estudante buscou determinar a função 
de ajuste de primeiro grau (𝑛 = 1). Nesse caso, a equação 10 será escrita como: 
[
𝑚 ∑𝑥𝑖
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
] [
𝑎0
𝑎1
] = [
∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
] 
Como a Tabela 6 apresenta 10 pontos, adotamos 𝑚 = 10. 
Para determinar os somatórios, é preciso calcular o quadrado dos valores 
de x e os produtos de x e y. 
Tabela 6 – Determinação dos somatórios 
 
Ou seja, 
∑𝑥𝑖 = 191224 
∑𝑥𝑖
2 = 6281151816 
∑𝑦𝑖 = 5230 
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 148114250 
 SOMATÓRIO 
𝒙 99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 191224 
𝒙² 9801 1532644 142157929 471063616 411521796 3610928281 218093824 104448400 845064900 476330625 6281151816 
𝒚 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 5230 
𝒙 ∙ 𝒚 0 129990 9288017 19359968 14869638 75834842 6128720 3157980 13255920 6089175 148114250 
 
 
16 
Isso significa que o sistema matricial será dado por 
[
10 191224
191224 6281151816
] [
𝑎0
𝑎1
] = [
5230
148114250
] 
Resolvendo esse sistema, o estudante encontrou como solução 
𝑎0 = 172,506836 
𝑎1 = 0,018329 
Logo, a função linear será dada por: 𝑝(𝑥) = 172,506836 + 0,018329𝑥 
b. Por meio da regressão quadrática, o estudante buscou determinar a 
função de ajuste de segundo grau (𝑛 = 2). Nesse caso, a equação 10 será 
escrita como: 
[
 
 
 
 
 𝑚 ∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3
∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4
]
 
 
 
 
 
[
𝑎0
𝑎1
𝑎2
] =
[
 
 
 
 
 ∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
∑𝑥𝑖
2 ∙ 𝑦𝑖]
 
 
 
 
 
 
Como a Tabela 7 apresenta 10 pontos, adotamos 𝑚 = 10. 
Para determinar os somatórios, é preciso calcular os valores de 𝑥², 𝑥³ 𝑒 𝑥4, 
e os produtos de 𝑥 e 𝑦 e de 𝑥² e 𝑦. 
Tabela 7 – Tabela de dados 
𝒙 99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
𝒙² 9801 1532644 142157929 471063616 411521796 3610928281 218093824 104448400 845064900 476330625 
𝒙³ 970299 1897413272 1,694951012 1,02241013 8,348131012 2,169841014 3,220811012 1,067461012 2,45661013 1,039591013 
𝒙𝟒 96059601 2,3491012 2,020891016 2,219011017 1,69351017 1,303881019 4,756491016 1,090951016 7,141351017 2,268911017 
𝒚 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
𝒙𝒚 0 129990 9288017 19359968 14869638 75834842 6128720 3157980 13255920 6089175 
𝒙²𝒚 0 160927620 1,107411011 4,201891011 3,016451011 4,556991012 90508936960 32274555600 3,8535E1011 1,328961011 
 
Para esses valores, podemos definir que 
∑𝑥𝑖 = 191224 
∑𝑥𝑖
2 = 6281151816 
∑𝑥𝑖
3 = 2,76503 ∙ 1014 
 
 
17 
∑𝑥𝑖
4 = 1,44489 ∙ 1019 
∑𝑦𝑖 = 5230 
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 148114250 
∑𝑥𝑖
2 ∙ 𝑦𝑖 = 6, 03076 ∙ 10
12 
Isso significa que o sistema matricial será dado por 
[
10 191224 6281151816
191224 6281151816 2,76503 ∙ 1014
6281151816 2,76503 ∙ 1014 1,44489 ∙ 1019
] [
𝑎0
𝑎1
𝑎2
] = [
5230
148114250
6, 03076 ∙ 1012
] 
 
Resolvendo esse sistema, o estudante encontrou como solução 
𝑎0 = 120,379912 
𝑎1 = 0,024403 
𝑎2 = −0,0000001 
Logo, a função quadrática será dada por: 
𝑝(𝑥) = 120,379912 + 0,024403𝑥 − 0,0000001𝑥² 
c. Por meio da regressão, o estudante buscou determinar a função de 
ajuste de terceiro grau (𝑛 = 3). Nesse caso, a equação 10 será escrita como: 
[
 
 
 
 
 
 
 𝑚 ∑𝑥𝑖
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3
∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4
∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3
∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4
∑𝑥𝑖
4 ∑𝑥𝑖
5
∑𝑥𝑖
5 ∑𝑥𝑖
6
]
 
 
 
 
 
 
 
[
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑎3
] =
[
 
 
 
 
 
 
 ∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖
∑𝑥𝑖
2 ∙ 𝑦𝑖
∑𝑥𝑖
3 ∙ 𝑦𝑖]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a Tabela 8 apresenta 10 pontos, adotamos 𝑚 = 10. 
Para determinar os somatórios, é preciso calcular os valores de 
𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 𝑒 𝑥6, e os produtos de 𝑥 e 𝑦, de 𝑥² e 𝑦 e de 𝑥3 e 𝑦 
 
 
 
 
 
18 
Tabela 8 – Tabela de dados (2) 
𝒙 99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
𝒙² 9801 1532644 142157929 471063616 411521796 3610928281 218093824 104448400 845064900 476330625 
𝒙³ 970299 1897413272 1,694951012 1,02241013 8,348131012 2,169841014 3,220811012 1,067461012 2,45661013 1,039591013 
𝒙𝟒 96059601 2,3491012 2,020891016 2,219011017 1,69351017 1,303881019 4,756491016 1,090951016 7,141351017 2,268911017 
𝒙𝟓 9509900499 2,908061015 2,40951020 4,816141021 3,435441021 7,835151023 7,024391020 1,114951020 2,075991022 4,951891021 
𝒙𝟔 9,41481011 3,600181018 2,872851024 1,045291026 6,969131025 4,708221028 1,03736E+25 1,139481024 6,03491026 1,080751026 
𝒚 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
𝒙𝒚 0 129990 9288017 19359968 14869638 75834842 6128720 3157980 13255920 6089175 
𝒙²𝒚 0 160927620 1,107411011 4,201891011 3,016451011 4,556991012 90508936960 32274555600 3,8535E1011 1,328961011 
𝒙𝟑𝒚 0 1,992281011 1,320371015 9,119781015 6,119181015 2,738341017 1,336641015 3,298461014 1,120211016 2,900461015 
 
Para esses valores, podemos definir que 
∑𝑥𝑖 = 191224 
∑𝑥𝑖
2 = 6281151816 
∑𝑥𝑖
3 = 2,76503 ∙ 1014 
∑𝑥𝑖
4 = 1,44489 ∙ 1019 
∑𝑥𝑖
5 = 8,18533 ∙ 1023 
∑𝑥𝑖
6 = 4,79824 ∙ 1028 
∑𝑦𝑖 = 5230 
∑𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 148114250 
∑𝑥𝑖
2 ∙ 𝑦𝑖 = 6, 03076 ∙ 10
12 
∑𝑥𝑖
3 ∙ 𝑦𝑖 = 3,06163 ∙ 10
17 
Isso significa que o sistema matricial será dado por 
[
 
 
 
10 191224
191224 6281151816
6281151816 2,76503 ∙ 1014
2,76503 ∙ 1014 1,44489 ∙ 1019
6281151816 2,76503 ∙ 1014
2,76503 ∙ 1014 1,44489 ∙ 1019
1,44489 ∙ 1019 8,18533 ∙ 1023
8,18533 ∙ 1023 4,79824 ∙ 1028]
 
 
 
[
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑎3
] = [
5230
148114250
6, 03076 ∙ 1012
3,06163 ∙ 1017
] 
 
 
 
19 
Resolvendo esse sistema, o estudante encontrou como solução 
𝑎0 = −9,977155 
𝑎1 = 0,078642 
𝑎2 = −0,000003 
𝑎3 = 0 
Logo, a função de ajuste se reduz a uma função de segundo grau, uma 
vez que 𝑎3 é igual a zero. A função será dada por: 
𝑝(𝑥) = −9,977155 + 0,078642𝑥 − 0,000003𝑥² 
 
A Figura 7 mostra o diagrama de dispersão desses pontos com as três 
funções de ajuste determinadas pelo estudante. 
Figura 7 – Diagrama de dispersão – Exemplo 5 
 
Observando o diagrama de dispersão, as funções 𝑝(𝑥) = 172,506836 +
0,018329𝑥 e 𝑝(𝑥) = 120,379912 + 0,024403𝑥 − 0,0000001𝑥² sãoas que melhor 
se ajustam aos pontos. Mas como saber qual delas apresenta maior precisão. 
Nesse caso, podemos trabalhar com o método dos mínimos quadrados 
para cálculo do resíduo das funções de ajuste. 
TEMA 5 – AJUSTE DE CURVAS E MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
 Denominamos resíduo a soma do quadrado dos desvios dos pontos 
utilizados para ajuste de uma curva. Esse método de determinação do resíduo 
de uma função é denominado método dos mínimos quadrados. Quanto menor o 
valor desse resíduo, melhor será o ajuste da função estimada. 
 
 
20 
 O resíduo R de uma função de ajuste é calculado pela equação 11, 
aplicado em todos os pontos da tabela de dados utilizados na estimativa da 
função de ajuste 𝑝(𝑥). 
𝑅 =∑|𝑓(𝑥𝑖) − 𝑝(𝑥𝑖)|
2
𝑛
𝑖=1
 (11) 
Em que 𝑓(𝑥) é o valor de 𝑦 dado na tabela de dados e 𝑝(𝑥) é o valor da 
função de ajuste estimada para cada valor de 𝑥 dado na tabela de dados. 
Exemplo 6 
Com base na Tabela 9 e das funções de ajuste estimadas no exemplo 5, 
determine o resíduo de cada função e indique qual a função com melhor 
aproximação. 
Tabela 9 – Dados mensais do ano de 2020 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
Fonte: JHU, s. d. 
a. Função polinomial linear: 
𝑝(𝑥) = 172,506836 + 0,018329𝑥 
b. Função polinomial quadrática: 
𝑝(𝑥) = 120,379912 + 0,024403𝑥 − 0,0000001𝑥2 
c. Função polinomial de terceiro grau: 
𝑝(𝑥) = −9,977155 + 0,078642𝑥 − 0,000003𝑥² 
 
Resolução 
a. Para determinar o resíduo da função 𝑝(𝑥) = 172,506836 + 0,018329𝑥, 
é preciso calcular a função para cada valor de x da Tabela de dados. 
Para 𝑥 = 99, teremos 
𝑝(99) = 172,506836 + 0,018329(99) 
𝑝(99) = 174,321407 
O mesmo será realizado para os outros valores de 𝑥 da Tabela 10. 
 
 
 
 
21 
Tabela 10 – Determinação do resíduo de uma função 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
p(x) 174,321407 195,198138 391,043503 570,319452 544,32893 1273,914775 443,189508 359,829216 705,330866 572,537261 
 
Calcula-se então o módulo da diferença entre o valor de y dado 
inicialmente na Tabela 10 e o valor de 𝑝(𝑥) calculado para cada valor de 𝑥. 
Vamos utilizar os valores de 𝑦 e 𝑝(𝑥) quando 𝑥 = 99. 
|𝑦 − 𝑝(𝑥)| = |0 − 174,321405| = 174,321407 
O mesmo será realizado para os outros valores de 𝑥 da Tabela 11. 
Tabela 11 – Cálculo do módulo da diferença 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
p(x) 174,321407 195,198138 391,043503 570,319452 544,32893 1273,914775 443,189508 359,829216 705,330866 572,537261 
|y-p(x)| 174,321407 90,198138 387,956497 321,680548 188,67107 11,914775 28,189508 50,829216 249,330866 293,537261 
 
E por fim, determinamos o quadrado de cada um dos módulos da 
diferença dos valores de 𝑦 e de 𝑝(𝑥). 
Vamos utilizar o módulo da diferença dos valores de 𝑦 e 𝑝(𝑥) quando 𝑥 =
99. 
|𝑦 − 𝑝(𝑥)|2 = (174,321407)2 = 30387,95294 
O mesmo será realizado para os outros valores de 𝑥 da Tabela 12. 
Tabela 12 – Utilização de módulo de diferença 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
p(x) 174,321407 195,198138 391,043503 570,319452 544,32893 1273,914775 443,189508 359,829216 705,330866 572,537261 
|y-p(x)| 174,321407 90,198138 387,956497 321,680548 188,67107 11,914775 28,189508 50,829216 249,330866 293,537261 
|y-p(x)|² 30387,95294 8135,704099 150510,2436 103478,375 35596,77265 141,9618633 794,6483613 2583,609199 62165,88074 86164,1236 
 
O resíduo R será dado pela soma do quadrado dos módulos calculados 
anteriormente. 
 
 
22 
𝑅 = 30387,95 + 8135,70 + 150510,24 + 103478,38 + 35596,77 + 794,64
+ 2583,61 + 62165,88 + 86164,12 
𝑅 = 479959, 27 
O mesmo processo será realizado para determinar o resíduo das outras 
funções de ajuste. 
b. Para determinar o Resíduo da função 𝑝(𝑥) = 120,379912 +
0,024403𝑥 − 0,0000001𝑥2, é preciso calcular a função para cada valor de 𝑥 da 
Tabela 13. Com base nesse valor, determina-se o módulo da diferença entre 𝑦 
e 𝑝(𝑥) e também o quadrado do módulo dessa diferença. 
Tabela 13 – Determinação do resíduo 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
p(x) 122,7948289 150,4375616 397,1210881 602,9162624 574,2669904 1225,687757 458,9540336 359,333732 745,268632 605,3423245 
|y-p(x)| 122,7948289 45,4375616 381,8789119 289,0837376 158,7330096 36,3122431 43,9540336 50,333732 289,268632 326,3423245 
|y-p(x)|² 15078,57 2064,572004 145831,5034 83569,40734 25196,16834 1318,578999 1931,95707 2533,484577 83676,34146 106499,3128 
 
O resíduo R será dado pela soma do quadrado dos módulos calculados 
anteriormente. 
𝑅 = 15078,57 + 2064,57 + 83569,41 + 25196,17 + 1318,58 + 1931,96
+ 2533,48 + 83676,34 + 106499,31 
𝑅 = 467699,90 
 
c. Para determinar o resíduo da função 𝑝(𝑥) = −9,977155 + 0,078642𝑥 −
0,000003𝑥², é preciso calcular a função para cada valor de 𝑥 da Tabela 14. 
Levando-se em conta esse valor, determina-se o módulo da diferença entre 𝑦 e 
𝑝(𝑥) e também o quadrado do módulo dessa diferença. 
Tabela 14 – Exemplo de cálculo do módulo da diferença 
Novos 
casos x 
99 1238 11923 21704 20286 60091 14768 10220 29070 21825 
Mortes y 0 105 779 892 733 1262 415 309 456 279 
p(x) -2,221 82,783709 501,197624 283,677965 350,789069 
-
6117,085576 
497,126429 480,398885 -259,048915 277,39262 
|y-p(x)| 2,221 22,216291 277,802376 608,322035 382,210931 7379,085576 82,126429 171,398885 715,048915 1,60738 
|y-p(x)|² 4,932841 493,5635858 77174,16011 370055,6983 146085,1958 54450903,94 6744,75034 29377,57778 511294,9508 2,583670464 
 
 
 
23 
O resíduo R será dado pela soma do quadrado dos módulos calculados 
anteriormente. 
𝑅 = 4,93 + 493,56 + 77174,16 + 370055,70 + 146085,20 + 54450903,94
+ 6744,75 + 29377,58 + 511294,95 + 2,58 
𝑅 = 55592137,35 
Veja que a função de ajuste 𝑝(𝑥) = 120,379912 + 0,024403𝑥 −
0,0000001𝑥2 é a função com menor resíduo. Por esse motivo, é a função de 
melhor ajuste aos dados dentre as três estimadas. Mas observe que o resíduo 
das três funções estimadas ainda é bastante alto, o que indica a necessidade de 
busca por uma função de ajuste mais adequada. 
FINALIZANDO 
 Nesta aula, estudamos vários métodos de interpolação e extrapolação de 
dados para estimar funções de ajuste adequadas a cada conjunto de dados em 
análise. Observamos que cada método permite a aproximação de diferentes 
funções aos dados utilizados, devendo por esse motivo ser verificada qual é a 
função que apresenta melhor ajuste. 
Uma forma de verificar esse ajuste é por meio do método do mínimos 
quadrados, que permite realizar uma comparação residual dessas funções para 
que a escolha de uma função mais precisa. 
A definição dessas funções interpoladoras ou funções de ajuste é de suma 
importância para compreender padrões matemáticos que permitem estudar 
fenômenos e estimar valores internos ou externos aos intervalos dos dados 
estudados. 
 
 
 
 
24 
REFERÊNCIAS 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: 
Bookman, 2006. 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers: with 
softwares and programming applications. 4. ed. New York: The McGraw-Hill, 
2002. 
JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
JOHNS HOPKINS UNIVERSITY OF MEDICINE. Disponível em: 
<https://coronavirus.jhu.edu/map.html>. Acesso em: 13 jan. 2021.