AULA 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Fernanda Fonseca 
 
 
CONVERSA INICIAL 
 Muitos fenômenos naturais são descritos por taxas de variação. Essas 
relações matemáticas exigem análise e tratamento de equações diferenciais que 
podem ser bastante complexas para análise analítica. Por esse motivo, é de 
suma importância compreender diferentes métodos de determinação de 
soluções numéricas para problemas que envolvem esse tipo de relação. 
Nesta aula estudaremos métodos iterativos para estimar soluções 
numéricas de problemas que envolvem equações diferenciais ordinárias. Esses 
métodos permitem tratar essas equações sem necessidade de operações 
diferenciais, viabilizando também o uso de recursos computacionais que 
facilitam o seu processo iterativo. 
TEMA 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 Uma equação diferencial trata de uma igualdade entre relações 
matemáticas que envolvem derivadas de uma função incógnita e tem como 
solução uma função dependente de uma ou mais variáveis independentes. 
Essa solução pode ser determinada de forma analítica, de acordo com 
modelos já estabelecidos para alguns tipos de equações diferenciais, mas que 
dependem do tipo, da ordem e da linearidade da equação (Jarletti, 2018). 
Entretanto, as soluções analíticas são restritas a algumas equações diferenciais, 
limitando a sua aplicação. 
 Outra forma de solução de equações diferenciais é por meio de soluções 
numéricas que abrangem um número maior de equações diferenciais, o que as 
torna mais aplicáveis na resolução de problemas. 
1.1 Classificação pelo tipo 
 Quando nos referimos ao tipo de uma equação diferencial, fazemos uma 
alusão ao tipo de função cujas derivadas compõem a equação. As equações 
diferenciais podem ser classificadas como ordinária ou parcial. 
1.1.1 Ordinária 
Equação diferencial que apresenta derivadas de uma função incógnita 
com uma só variável independente. 
 
 
3 
Exemplos: veja que equações diferenciais 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥 = 𝑦2 ou �̈� + 2𝑦 = 3𝑥 
apresentam derivadas da função incógnita 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
1.1.2 Parcial 
Equação diferencial que apresenta derivadas de uma função incógnita 
com duas ou mais variáveis independentes. 
Exemplos: veja que equações diferenciais 
𝜕𝜙
𝜕𝑥
+ 2
𝜕𝜙
𝜕𝑦
−
𝜕𝜙
𝜕𝑧
= 0 ou 𝜙𝑥𝑧 +
𝜙𝑦𝑥 = 3𝜙𝑧𝑧 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 apresentam derivadas da função incógnita 𝑦 = 𝜙(𝑥; 𝑦; 𝑧). 
Nesta disciplina, nosso foco é o estudo das equações diferenciais 
ordinárias (EDO), cujos métodos aqui estudados visam buscar a solução da 
equação dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
1.2 Classificação pela ordem 
 A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior ordem da derivada 
apresentada na expressão matemática por ela caracterizada. 
Exemplos: veja que a equação diferencial ordinária 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥 = 𝑦2 tem como 
derivada de maior ordem uma derivada de primeira ordem. Logo é uma equação 
diferencial ordinária de primeira ordem. 
Já a equação diferencial parcial 𝜙𝑥𝑧 + 𝜙𝑦𝑥 = 3𝜙𝑧𝑧 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tem como 
derivada de maior ordem uma derivada de segunda ordem. Logo é uma equação 
diferencial parcial de segunda ordem. 
1.3 Classificação pela linearidade 
 Uma equação diferencial é dita linear quando a função incógnita e suas 
derivadas estão elevadas apenas ao expoente 1, estabelecendo uma relação 
matemática linear entre elas. 
No caso em que o expoente da função incógnita ou de uma (ou mais) de 
suas derivadas seja diferente de 1, a equação diferencial é denominada de não 
linear. 
Exemplos: veja que a equação diferencial ordinária �̈� + 2𝑦 = 3𝑥 tem a 
função incógnita 𝑦 e sua derivada �̈� elevadas a 1, logo é classificada como uma 
equação linear. 
 
 
4 
Já no caso da equação diferencial ordinária 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥 = 𝑦2, a função 
incógnita 𝑦 está elevada ao quadrado, por isso a equação é classificada como 
não linear. 
 Equações diferenciais ordinárias podem permitir que um conjunto de 
funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) possam caracterizar a solução da equação. Esse conjunto 
constitui uma família de soluções. A restrição a apenas uma única solução para 
a equação diferencial dependerá da imposição de condições. 
Exemplo: 
Veja o caso da equação diferencial ordinária �̈� = 0. Qualquer função dada 
por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, para 𝑎, 𝑏 𝜖 ℜ. Esse conjunto de funções compõe uma família de 
soluções. A imposição de condições permitirá a restrição a apenas uma solução 
com valor real único e definido para 𝑎 e 𝑏. 
 Com base nas condições estabelecidas para uma equação diferencial de 
ordem 𝑚, podemos definir um problema de valor inicial (PVI) quando as 
condições para a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) e suas derivadas de ordem (𝑚 − 1) é dada 
em um mesmo ponto (Jarletti, 2018; Oliveira, 2019). 
Exemplo: considere que a equação diferencial �̈� = 0 tem como condições 
que 𝑦(1) = 3 e que �̇�(1) = 1. Nesse caso, tanto a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) e sua derivada 
é definida em 𝑥 = 1. Por isso o problema é definido com um problema de valor 
inicial. 
TEMA 2 – MÉTODO DE EULER OU MÉTODO DA RETA TANGENTE 
 Em muitos casos, é difícil resolver analiticamente um PVI. Por esse 
motivo, procuramos determinar sua solução numérica. A solução numérica 
produz resultados para pontos escolhidos, mas comumente permite determinar 
a solução para problemas sem a necessidade de determinar a solução analítica 
da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 Segundo Jarletti (2018, p. 128), o Método de Euler (ou também 
denominado Método da Reta Tangente) é “o mais antigo e o mais simples 
método para resolução de PVI”. No entanto, esse método pode ser bastante 
extenso, exigindo um grande número de iterações para chegar a uma solução. 
 Para implementação desse método, é necessário identificar a função �̇� =
𝑓(𝑥; 𝑦) com base na equação diferencial. 
 
 
5 
 Podemos determinar pontos da função com base na reta tangente sobre 
um ponto 𝑃(𝑥0; 𝑦0), definido pela condição imposta no PVI. Essa reta tangente 
é dada por 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
Em que 𝑚 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= �̇�. Logo, podemos reescrever essa relação como 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓(𝑥; 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑥0) 
Mas veja que o passo ℎ representa a variação ℎ = ∆𝑥, que não é 
necessariamente igual para o caso de 𝑛 intervalos. Ou seja, podemos definir que 
ℎ = 𝑥 − 𝑥0 nessa equação. 
𝑦 − 𝑦0 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥; 𝑦) 
𝑦 = 𝑦0 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥; 𝑦) 
Generalizando, 
{
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1)
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ
 (1) 
Baseando-se na implementação da Equação 1 por 𝑘 iterações, a solução 
numérica será dada pelo Método de Euler nos pontos 
(𝑥0; 𝑦0); (𝑥1; 𝑦1); … ; (𝑥𝑛+1; 𝑦𝑛+1). Quanto menor o passo entre os pontos, 
melhor será a precisão para a solução estimada. 
Vamos compreender melhor esse método por meio de um exemplo! 
Exemplo 1 
Utilizando o Método de Euler, determine o valor de 𝑦(3,0) para o PVI 
{
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0
𝑦(0) = −1
 com passo ℎ = 0,5. 
Resolução 
Veja que podemos reescrever a equação diferencial para determinar a 
função 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦). 
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0 
𝑦′ = 2𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
A condição dada no PVI 𝑦(0) = −1 nos permite determinar o ponto de 
partida 𝑃(𝑥0; 𝑦0), sendo que 𝑦(𝑥0) = 𝑦0. Logo, 
 
 
6 
𝑦(0) = −1 ⇒ {
𝑥0 = 0
𝑦0 = −1
 
Pela Equação 1, que descreve o Método de Euler, podemos definir que, 
para esse caso, 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ [2𝑒
𝑥𝑘−1] 
Ou seja, para a primeira iteração (𝑘 = 1), temos que 
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ ∙ [2𝑒
𝑥0] 
𝑦1 = (−1) + (0,5) ∙ [2𝑒
(0)] 
𝑦1 = 0 
Sendo que 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
𝑥1 = 0 + 0,5 
𝑥1 = 0,5 
Repetiremos esse processo até chegarmos a 𝑥 = 3,0 conforme é 
solicitado no enunciado do problema. 
Segunda iteração (𝑘 = 2): 
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ ∙ [2𝑒
𝑥1] 
𝑦2 = (0) + (0,5) ∙ [2𝑒(0,5)] 
𝑦2 = 1,648721 
Sendo que 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ 
𝑥2 = 0,5 + 0,5 
𝑥2 = 1,0 
Terceira iteração (𝑘 = 3): 
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ ∙ [2𝑒
𝑥2] 
𝑦3 = (1,648721) + (0,5) ∙ [2𝑒
(1,0)] 
𝑦3 = 4,3670037 
Sendo que 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ 
𝑥3 = 1,0 + 0,5 
𝑥3 = 1,5 
Dessa forma, chegamos aos seguintes valores: 
Tabela 1 – Valores relativos ao Exemplo 1 
k x y 
0 0 -1 
1 0,5 0 
2 1,0 1,648721 
3 1,5 4,367003 
4 2,0 8,848692 
5 2,5 16,237748 
6 3,0 28,420242 
 
Veja que quando 𝑥6 = 3,0, teremos 𝑦6 = 28,420242. Adotaremos o valor 
de 𝑦(3,0) = 28,420242 como solução do PVI. 
De forma analítica, o valor real de 𝑦(3,0) = 37,171074. Isso mostra que o 
Método de Euler aqui utilizado (com passo de 0,5) apresenta um erro relativo de 
23,54% para o valor estimado. 
Exemplo 2 
Utilizando o Método de Euler, determine o valor de 𝑦(1,0) para o PVI 
{
𝑦′ − 2𝑥 + 𝑦 = 0
𝑦(0) = 1
 com passo ℎ = 0,1. 
Resolução 
Veja que podemos reescrever a equação diferencial para determinar a 
função 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦). 
𝑦′ − 2𝑥 + 𝑦 = 0 
𝑦′ = 2𝑥 − 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
A condição dada no PVI 𝑦(0) = 1 nos permite determinar o ponto de 
partida 𝑃(𝑥0; 𝑦0), sendo que 𝑦(𝑥0) = 𝑦0. Logo, 
𝑦(0) = 1 ⇒ {
𝑥0 = 0
𝑦0 = 1
 
 
 
8 
Pela Equação 1, que descreve o Método de Euler, podemos definir que, 
para esse caso, 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ [2𝑥𝑘−1 − 𝑦𝑘−1] 
Ou seja, para a primeira iteração (𝑘 = 1), temos que 
𝑦1 = 𝑦0 + ℎ ∙ [2𝑥0 − 𝑦0] 
𝑦1 = (1) + (0,1) ∙ [2(0) − (1)] 
𝑦1 = 0,9 
Sendo que 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
𝑥1 = 0 + 0,1 
𝑥1 = 0,1 
Repetiremos esse processo até chegarmos a 𝑥 = 1,0, conforme é 
solicitado no enunciado do problema. 
Segunda iteração (𝑘 = 2): 
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ ∙ [2𝑥1 − 𝑦1] 
𝑦2 = (0,9) + (0,1) ∙ [2(0,1) − (0,9)] 
𝑦2 = 0,83 
Sendo que 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ 
𝑥2 = 0,1 + 0,1 
𝑥2 = 0,2 
 
Terceira iteração (𝑘 = 3): 
𝑦3 = 𝑦2 + ℎ ∙ [2𝑥2 − 𝑦2] 
𝑦3 = (0,83) + (0,5) ∙ [2(0,2) − (0,83)] 
𝑦3 = 0,787 
Sendo que 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ 
 
 
9 
𝑥3 = 0,2 + 0,1 
𝑥3 = 0,3 
Dessa forma, chegamos aos seguintes valores: 
Tabela 2 – Valores relativos ao Exemplo 2 
k x y 
0 0 1 
1 0,1 0,9 
2 0,2 0,83 
3 0,3 0,787 
4 0,4 0,7683 
5 0,5 0,77147 
6 0,6 0,794323 
7 0,7 0,834891 
8 0,8 0,891402 
9 0,9 0,962261 
10 1,0 1,046035 
Veja que quando 𝑥10 = 1,0, teremos 𝑦10 = 1,046035. Adotaremos o valor 
de 𝑦(1,0) = 1,046035 como solução do PVI. 
De forma analítica, o valor real de 𝑦(1,0) = 1. Isso mostra que o Método 
de Euler aqui utilizado (com passo de 0,1) apresenta um erro relativo de 4,60% 
para o valor estimado. 
TEMA 3 – MÉTODO DE HEUN OU MÉTODO DE EULER MODIFICADO 
 O Método de Heun (também conhecido como Método de Euler 
Modificado) busca uma melhora na precisão da solução estimada por meio da 
análise em dois pontos do intervalo. Disse que esse método tem uma abordagem 
preditiva corretiva, pois faz a correção da equação a partir de uma estimativa 
precedente (Jarletti, 2018; Chapra, 2002). 
 Para implementação desse método, utilizamos a Equação 2 a partir da 
função dada por �̇� = 𝑓(𝑥; 𝑦) e do ponto dado pela condição 𝑃(𝑥0; 𝑦0). 
{
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
ℎ
2
[𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) + 𝑓(𝑥𝑘−1 + ℎ; 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1))]
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ
 (2) 
 Esse método, da mesma forma que o Método de Euler, será 
implementado por 𝑘 iterações, e a solução numérica será dada nos pontos 
 
 
10 
(𝑥0; 𝑦0); (𝑥1; 𝑦1); … ; (𝑥𝑛+1; 𝑦𝑛+1), para o caso de 𝑛 intervalos. Quanto menor o 
passo entre os pontos, melhor será a precisão para a solução estimada. 
Vamos analisar um exemplo! 
Exemplo 3 
Utilizando o Método de Heun, determine o valor de 𝑦(3,0) para o PVI 
{
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0
𝑦(0) = −1
 com passo ℎ = 0,5. 
Resolução 
Veja que podemos reescrever a equação diferencial para determinar a 
função 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦). 
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0 
𝑦′ = 2𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
A condição dada no PVI 𝑦(0) = −1 nos permite determinar o ponto de 
partida 𝑃(𝑥0; 𝑦0), sendo que 𝑦(𝑥0) = 𝑦0. Logo, 
𝑦(0) = −1 ⇒ {
𝑥0 = 0
𝑦0 = −1
 
Pela Equação 2, que descreve o Método de Heun, podemos definir que, 
para esse caso, 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
ℎ
2
[𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) + 𝑓(𝑥𝑘−1 + ℎ; 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1))] 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
ℎ
2
[2𝑒𝑥𝑘−1 + 2𝑒(𝑥𝑘−1+ℎ)] 
Ou seja, para a primeira iteração (𝑘 = 1), temos que 
𝑦1 = 𝑦0 +
ℎ
2
[2𝑒𝑥0 + 2𝑒(𝑥0+ℎ)] 
𝑦1 = (−1) +
(0,5)
2
∙ [2𝑒(0) + 2𝑒(0+0,5)] 
𝑦1 = 0,324361 
Sendo que 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
𝑥1 = 0 + 0,5 
𝑥1 = 0,5 
 
 
11 
Repetiremos esse processo até chegarmos a 𝑥 = 3,0 conforme é 
solicitado no enunciado do problema. 
Segunda iteração (𝑘 = 2): 
𝑦2 = 𝑦1 +
ℎ
2
∙ [2𝑒𝑥1 + 2𝑒(𝑥1+ℎ)] 
𝑦2 = (0,324361) +
(0,5)
2
∙ [2𝑒(0,5) + 2𝑒(0,5+0,5)] 
𝑦2 = 2,507862 
Sendo que 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ 
𝑥2 = 0,5 + 0,5 
𝑥2 = 1,0 
Terceira iteração (𝑘 = 3): 
𝑦3 = 𝑦2 +
ℎ
2
∙ [2𝑒𝑥2 + 2𝑒(𝑥2+ℎ)] 
𝑦3 = (2,507862) +
(0,5)
2
∙ [2𝑒(1,0) + 2𝑒(1,0+0,5)] 
𝑦3 = 6,107848 
Sendo que 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ 
𝑥3 = 1,0 + 0,5 
𝑥3 = 1,5 
Dessa forma, chegamos aos seguintes valores: 
Tabela 3 – Valores relativos ao Exemplo 3 
k x y 
0 0 -1 
1 0,5 0,324361 
2 1 2,507862 
3 1,5 6,107848 
4 2 12,043220 
5 2,5 21,828995 
6 3 37,963011 
 
 
12 
Veja que quando 𝑥6 = 3,0, teremos 𝑦6 = 37,963011. Adotaremos o valor 
de 𝑦(3,0) = 37,963011 como solução do PVI. 
De forma analítica, o valor real de 𝑦(3,0) = 37,171074. Isso mostra que o 
Método de Heun aqui utilizado (com passo de 0,5) apresenta um erro relativo de 
2,13% para o valor estimado. 
Exemplo 4 
Utilizando o Método de Heun, determine o valor de 𝑦(1,0) para o PVI 
{
𝑦′ − 2𝑥 + 𝑦 = 0
𝑦(0) = 1
 com passo ℎ = 0,1. 
Resolução 
Veja que podemos reescrever a equação diferencial para determinar a 
função 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦). 
𝑦′ − 2𝑥 + 𝑦 = 0 
𝑦′ = 2𝑥 − 𝑦 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
A condição dada no PVI 𝑦(0) = 1 nos permite determinar o ponto de 
partida 𝑃(𝑥0; 𝑦0), sondo que 𝑦(𝑥0) = 𝑦0. Logo, 
𝑦(0) = 1 ⇒ {
𝑥0 = 0
𝑦0 = 1
 
Pela Equação 2, que descreve o Método de Heun, podemos definir que, 
para esse caso, 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
ℎ
2
[𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) + 𝑓(𝑥𝑘−1 + ℎ; 𝑦𝑘−1 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1))] 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
ℎ
2
[(2𝑥𝑘−1 − 𝑦𝑘−1) + (2(𝑥𝑘−1 + ℎ) − (ℎ ∙ (2𝑥𝑘−1 − 𝑦𝑘−1)))] 
Ou seja, para a primeira iteração (𝑘 = 1), temos que 
𝑦1 = 𝑦0 +
ℎ
2
[(2𝑥0 − 𝑦0) + (2(𝑥0 + ℎ) − (ℎ ∙ (2𝑥0 − 𝑦0)))] 
𝑦1 = (1) +
(0,1)
2
∙ [(2(0) − (1)) + (2(0 + 0,1) − (0,1 ∙ (2(0) − (1))))] 
𝑦1 = 0,915 
Sendo que 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
 
 
13 
𝑥1 = 0 + 0,1 
𝑥1 = 0,1 
Repetiremos esse processo até chegarmos a 𝑥 = 1,0 conforme é 
solicitado no enunciado do problema. 
Segunda iteração (𝑘 = 2): 
𝑦2 = 𝑦1 +
ℎ
2
[(2𝑥1 − 𝑦1) + (2(𝑥1 + ℎ) − (ℎ ∙ (2𝑥1 − 𝑦1)))] 
𝑦2 = (0,915) +
(0,1)
2
∙ [(2(0,1) − (0,915)) + (2(0,1 + 0,1) − (0,1 ∙ (2(0,1) − (0,915))))] 
𝑦2 = 0,857075 
Sendo que 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ 
𝑥2 = 0,1 + 0,1 
𝑥2 = 0,2 
Terceira iteração (𝑘 = 3): 
𝑦3 = 𝑦2 +
ℎ
2
[(2𝑥2 − 𝑦2) + (2(𝑥2 + ℎ) − (ℎ ∙ (2𝑥2 − 𝑦2)))] 
𝑦3 = (0,857075) +
(0,1)
2
∙ [(2(0,2) − (0,857075)) + (2(0,2 + 0,1) − (0,1 ∙ (2(0,2) − (0,857075))))] 
𝑦3 = 0,823653 
Sendo que 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ 
𝑥3 = 0,2 + 0,1 
𝑥3 = 0,3 
Dessa forma, chegamos aos seguintes valores: 
Tabela 4 – Valores relativos ao Exemplo 4 
k x y 
0 0 1,000000 
1 0,1 0,915000 
2 0,2 0,857075 
3 0,3 0,823653 
4 0,4 0,812406 
5 0,5 0,821227 
6 0,6 0,848211 
 
 
14 
7 0,7 0,891631 
8 0,8 0,949926 
9 0,9 1,021683 
10 1 1,105623 
Veja que quando 𝑥10 = 1,0, teremos 𝑦10 = 1,105623. Adotaremos o valor 
de 𝑦(1,0) = 1,105623 como solução do PVI. 
De forma analítica, o valor real de 𝑦(1,0) = 1. Isso mostra que o Método 
de Heun aqui utilizado (com passo de 0,1) apresenta um erro relativo de 10,56% 
para o valor estimado. 
TEMA 4 – MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 
O Método de Euler e o Método de Heun consistem no Método de Runge-
Kutta de 1ª ordem e de 2ª ordem, respectivamente (Jarletti, 2018; Chapra, 2002). 
A ideia que fundamenta esse método é expandir a função em uma série de soma 
de termosdiferenciais, mas também eliminar a necessidade de derivação da 
função 𝑓(𝑥; 𝑦). Entretanto, exige a determinação de 𝑓(𝑥; 𝑦) em vários pontos. 
O Método de Runge-Kutta permite trabalhar com expressões de ordens 
superiores como 3ª ordem e 4ª ordem. 
4.1 Método de Runge-Kutta de 3ª ordem 
 Esse método consiste na implementação da Equação 3 por 𝑘 iterações a 
partir da função dada por �̇� = 𝑓(𝑥; 𝑦) e do ponto dado pela condição 𝑃(𝑥0; 𝑦0). 
{
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
2
9
𝐾1 +
1
3
𝐾2 +
4
9
𝐾3
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ
 (3) 
Na qual, tem-se 
{
 
 
 
 
𝐾1 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1)
𝐾2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾1
2
)
𝐾3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
3
4
ℎ; 𝑦𝑘−1 +
3
4
𝐾2)
 
Vamos observar a implementação desse método pelo exemplo. 
 
 
 
15 
Exemplo 5 
Utilizando o Método de Runge-Kutta de 3ª ordem, determine o valor de 
𝑦(3,0) para o PVI {
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0
𝑦(0) = −1
 com passo ℎ = 0,5. 
Resolução 
Veja que podemos reescrever a equação diferencial para determinar a 
função 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦). 
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0 
𝑦′ = 2𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
A condição dada no PVI 𝑦(0) = −1 nos permite determinar o ponto de 
partida 𝑃(𝑥0; 𝑦0), sondo que 𝑦(𝑥0) = 𝑦0. Logo, 
𝑦(0) = −1 ⇒ {
𝑥0 = 0
𝑦0 = −1
 
Pela Equação 3, que descreve o Método de Runge-Kutta de 3ª ordem, 
podemos definir que 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
2
9
𝐾1 +
1
3
𝐾2 +
4
9
𝐾3 
O que significa que é necessário determinar os coeficientes 𝐾1, 𝐾2 𝑒 𝐾3. 
Para a primeira iteração (𝑘 = 1), tem-se 
𝐾1 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) ⇒ 𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒
𝑥𝑘−1] 
𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒𝑥0] 
𝐾1 = (0,5) ∙ [2𝑒(0)] 
𝐾1 = 1 
𝐾2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾1
2
) 
𝐾2 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥0+
ℎ
2
)] 
𝐾2 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0+
0,5
2
)] 
𝐾2 = 1,284025 
𝐾3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
3
4
ℎ; 𝑦𝑘−1 +
3
4
𝐾2) 
𝐾3 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥0+
3
4
ℎ)] 
 
 
16 
𝐾3 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0+
3
4
(0,5))
] 
𝐾3 = 1,454991 
Logo, 
𝑦1 = 𝑦0 +
2
9
𝐾1 +
1
3
𝐾2 +
4
9
𝐾3 
𝑦1 = (−1) +
2
9
(1) +
1
3
(1,284025) +
4
9
(1,454991) 
𝑦1 = 0,296894 
Sendo que 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
𝑥1 = 0 + 0,5 
𝑥1 = 0,5 
Repetiremos esse processo até chegarmos a 𝑥 = 3,0 conforme é 
solicitado no enunciado do problema. 
Pela segunda iteração (𝑘 = 2): 
𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒𝑥1] 
𝐾1 = (0,5) ∙ [2𝑒(0,5)] 
𝐾1 = 1,648721 
𝐾2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾1
2
) 
𝐾2 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥1+
ℎ
2
)] 
𝐾2 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0,5+
0,5
2
)] 
𝐾2 = 2,117000 
𝐾3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
3
4
ℎ; 𝑦𝑘−1 +
3
4
𝐾2) 
𝐾3 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥1+
3
4
ℎ)] 
𝐾3 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0,5+
3
4
(0,5))
] 
𝐾3 = 2,398875 
 
 
17 
Logo, 
𝑦2 = 𝑦1 +
2
9
𝐾1 +
1
3
𝐾2 +
4
9
𝐾3 
𝑦2 = (0,296894) +
2
9
(1,648721) +
1
3
(2,117000) +
4
9
(2,398875) 
𝑦2 = 2,435110 
Sendo que 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ 
𝑥2 = 0,5 + 0,5 
𝑥2 = 1,0 
Terceira iteração (𝑘 = 3): 
𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒𝑥2] 
𝐾1 = (0,5) ∙ [2𝑒(1,0)] 
𝐾1 = 2,718282 
𝐾2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾1
2
) 
𝐾2 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥2+
ℎ
2
)] 
𝐾2 = (0,5) ∙ [2𝑒
(1,0+
0,5
2
)] 
𝐾2 = 3,490343 
𝐾3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
3
4
ℎ; 𝑦𝑘−1 +
3
4
𝐾2) 
𝐾3 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥2+
3
4
ℎ)] 
𝐾3 = (0,5) ∙ [2𝑒
(1,0+
3
4
(0,5))
] 
𝐾3 = 3,955077 
Logo, 
𝑦3 = 𝑦2 +
2
9
𝐾1 +
1
3
𝐾2 +
4
9
𝐾3 
𝑦3 = (2,435110) +
2
9
(2,718282) +
1
3
(3,490343) +
4
9
(3,955077) 
𝑦3 = 5,960432 
 
 
18 
Sendo que 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ 
𝑥3 = 1,0 + 0,5 
𝑥3 = 1,5 
Dessa forma, chegamos aos seguintes valores: 
Tabela 5 – Valores relativos ao Exemplo 5 
k x y K1 K2 K3 
0 0,0 -1 - - - 
1 0,5 0,296894 1,000000 1,284025 1,454991 
2 1,0 2,435110 1,648721 2,117000 2,398875 
3 1,5 5,960432 2,718282 3,490343 3,955077 
4 2,0 11,772705 4,481689 5,754603 6,520819 
5 2,5 21,355524 7,389056 9,487736 10,751013 
6 3,0 37,154922 12,182494 15,642632 17,725424 
Veja que quando 𝑥6 = 3,0, teremos 𝑦6 = 37,154922. Adotaremos o valor 
de 𝑦(3,0) = 37,154922 como solução do PVI. 
De forma analítica, o valor real de 𝑦(3,0) = 37,171074. Isso mostra que o 
Método de Runge-Kutta de 3ª ordem aqui utilizado (com passo de 0,5) apresenta 
um erro relativo de 0,043% para o valor estimado. 
4.2 Método de Runge-Kutta de 4ª ordem 
 Esse método consiste na implementação da Equação 4 por 𝑘 iterações a 
partir da função dada por �̇� = 𝑓(𝑥; 𝑦) e do ponto dado pela condição 𝑃(𝑥0; 𝑦0). 
{
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
1
6
(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4)
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ
 (4) 
Na qual, tem-se 
{
 
 
 
 
𝐾1 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1)
𝐾2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾1
2
)
𝐾3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾2
2
)
𝐾4 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1 + ℎ; 𝑦𝑘−1 + 𝐾3)
 
Vamos analisar o exemplo. 
Exemplo 6 
 
 
19 
Utilizando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem, determine o valor de 
𝑦(3,0) para o PVI {
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0
𝑦(0) = −1
 com passo ℎ = 0,5. 
Resolução 
Veja que podemos reescrever a equação diferencial para determinar a 
função 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦). 
𝑦′ − 2𝑒𝑥 = 0 
𝑦′ = 2𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥; 𝑦) 
A condição dada no PVI 𝑦(0) = −1 nos permite determinar o ponto de 
partida 𝑃(𝑥0; 𝑦0), sondo que 𝑦(𝑥0) = 𝑦0. Logo, 
𝑦(0) = −1 ⇒ {
𝑥0 = 0
𝑦0 = −1
 
Pela Equação 4, que descreve o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem, 
podemos definir que 
𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 +
1
6
(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4) 
O que significa que é necessário determinar os coeficientes 𝐾1, 𝐾2, 𝐾3 𝑒 𝐾4. 
Para a primeira iteração (𝑘 = 1), tem-se 
𝐾1 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1; 𝑦𝑘−1) ⇒ 𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒
𝑥𝑘−1] 
𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒𝑥0] 
𝐾1 = (0,5) ∙ [2𝑒(0)] 
𝐾1 = 1 
𝐾2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾1
2
) 
𝐾2 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥0+
ℎ
2
)
] 
𝐾2 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0+
0,5
2
)] 
𝐾2 = 1,284025 
𝐾3 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑥𝑘−1 +
ℎ
2
; 𝑦𝑘−1 +
𝐾2
2
) 
𝐾3 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥0+
ℎ
2
)] 
 
 
20 
𝐾3 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0+
0,5
2
)] 
𝐾3 = 1,284025 
𝐾4 = ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑘−1 + ℎ; 𝑦𝑘−1 + 𝐾3) 
𝐾4 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥0+ℎ)] 
𝐾4 = (0,5) ∙ [2𝑒(0+0,5)] 
𝐾4 = 1,648721 
Logo, 
𝑦1 = 𝑦0 +
1
6
(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4) 
𝑦1 = (−1) +
1
6
(1 + 2(1,284025) + 2(1,284025) + 1,648721) 
𝑦1 = 0,297470 
Sendo que 
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + ℎ 
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ 
𝑥1 = 0 + 0,5 
𝑥1 = 0,5 
Repetiremos esse processo até chegarmos a 𝑥 = 3,0 conforme é 
solicitado no enunciado do problema. 
Pela segunda iteração (𝑘 = 2): 
𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒𝑥1] 
𝐾1 = (0,5) ∙ [2𝑒(0,5)] 
𝐾1 = 1,648721 
𝐾2 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥1+
ℎ
2
)] 
𝐾2 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0,5+
0,5
2
)] 
𝐾2 = 2,117000 
𝐾3 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥1+
ℎ
2
)] 
𝐾3 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0,5+
0,5
2
)] 
 
 
21 
𝐾3 = 2,117000 
𝐾4 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥1+ℎ)] 
𝐾4 = (0,5) ∙ [2𝑒
(0,5+0,5)] 
𝐾4 = 2,718282 
Logo, 
𝑦2 = 𝑦1 +
1
6
(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4) 
𝑦2 = (0,297470) +
1
6
(1,648721 + 2(2,117000) + 2(2,117000) + 2,718282) 
𝑦2 = 2,436638 
Sendo que 
𝑥2 = 𝑥1 + ℎ 
𝑥2 = 0,5 + 0,5 
𝑥2 = 1,0 
Terceira iteração (𝑘 = 3): 
𝐾1 = ℎ ∙ [2𝑒𝑥2] 
𝐾1 = (0,5) ∙ [2𝑒(1,0)] 
𝐾1 = 2,718282 
𝐾2 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥2+
ℎ
2
)] 
𝐾2 = (0,5) ∙ [2𝑒
(1,0+
0,5
2
)] 
𝐾2 = 3,490343 
𝐾3 = ℎ ∙ [2𝑒(𝑥2+
ℎ
2
)] 
𝐾3 = (0,5) ∙ [2𝑒
(1,0+
0,5
2
)] 
𝐾3 = 3,490343 
𝐾4 = ℎ ∙ [2𝑒
(𝑥2+ℎ)] 
𝐾4 = (0,5) ∙ [2𝑒
(1,0+0,5)] 
𝐾4 = 4,481689 
Logo, 
 
 
22 
𝑦2 = 𝑦1 +
1
6
(𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4) 
𝑦2 = (2,436638) +
1
6
(2,718282 + 2(3,490343) + 2(3,490343) + 4,481689) 
𝑦2 = 5,963528 
Sendo que 
𝑥3 = 𝑥2 + ℎ 
𝑥3 = 1,0 + 0,5 
𝑥3 = 1,5 
Dessa forma, chegamos aos seguintes valores: 
Tabela 6 – Valores relativos ao Exemplo 6 
k x y K1 K2 K3 K4 
0 0,0 -1 - - - - 
1 0,5 0,297470 1,000000 1,284025 1,284025 1,648721 
2 1,0 2,436638 1,648721 2,117000 2,117000 2,718282 
3 1,5 5,963528 2,718282 3,490343 3,490343 4,481689 
4 2,0 11,778387 4,481689 5,754603 5,754603 7,389056 
5 2,5 21,365470 7,389056 9,487736 9,487736 12,182494 
6 3,0 37,171896 12,182494 15,642632 15,642632 20,085537 
Veja que quando 𝑥6 = 3,0, teremos 𝑦6 = 37,171896. Adotaremos o valor 
de 𝑦(3,0) = 37,171896 como solução do PVI. 
De forma analítica, o valor real de 𝑦(3,0) = 37,171074. Isso mostra que o 
Método de Runge-Kuttade 4ª ordem aqui utilizado (com passo de 0,5) apresenta 
um erro relativo de 0,002% para o valor estimado. 
Veja que para a situação-problema estudada no exemplo 6, o método que 
apresentou uma solução de maior precisão foi o Método de Runge-Kutta da 4ª 
ordem. Entretanto, os outros métodos também podem assegurar resultados 
satisfatórios de acordo com o grau de exatidão exigido para o contexto da análise 
do problema. 
TEMA 5 – APLICAÇÕES E TECNOLOGIAS 
 Equações diferenciais e PVIs permeiam análises e processos das 
Ciências da Natureza como a Física, a Biologia, a Química, mas também estão 
 
 
23 
presentes em estudos e análises da Medicina, nas Engenharias, no processo de 
modelagem, entre muitas outras áreas. 
Uma das aplicações dos estudos das equações diferenciais é o 
modelamento e simulação de vibração em vigas estruturais, no campo da 
Engenharia Civil. Nessas simulações, algumas condições para os modos de 
vibração podem ser analisados com uso de recursos computacionais, permitido 
prever possíveis rupturas estruturais e realizar as modificações e correções 
ainda no projeto, além de permitir selecionar materiais mais adequados para 
casos distintos, evitando assim problemas futuros (Figura 1). 
Figura 1 – Vibração induzida em laje de concreto armado 
 
Fonte: Reis; Macedo; Dutra, 2017. 
Crédito: Smile Ilustra. 
A Figura 1 mostra um caso de simulação de vibrações uma laje de 
concreto armado. Esse estudo permite analisar como a alteração do uso de uma 
estrutura pode gerar vibrações estruturais. Projetadas para depósito de materiais 
esportivos, a estrutura passou a ser utilizada como local de treinamento de artes 
marciais. A simulação de vibrações permite identificar as deformações devidas 
aos carregamentos e as vibrações induzidas devidas ao ritmo do treinamento 
marcial dos lutadores (Reis; Macedo; Dutra, 2017). 
Os modos de vibração na física são estudados como equações 
diferenciais que caracterizam ondas estacionárias, movimentos harmônicos, ou 
mesmo ondas em ressonância. Esse fenômeno ondulatório, por sua vez, pode 
causar sérios danos à estrutura decorrentes da grande amplitude de oscilação 
gerado. 
O setor automotivo também explora o uso de simuladores para análise 
vibratória e acústica. Esses testes são utilizados para identificação de efeitos 
como o afrouxamento de peças de fixação ou mesmo como possíveis trincas na 
 
 
24 
estrutura do veículo decorrentes do movimento vibratório transmitido por meio 
do corpo do veículo. A compreensão desses efeitos permite redimensionar e 
alterar configurações ainda no projeto, evitando assim situações que podem pôr 
em risco a vida do futuro condutor e dos passageiros do veículo automotivo. 
FINALIZANDO 
 Nesta aula, estudamos vários métodos iterativos para estimativa de 
soluções numéricas para problemas envolvendo equações diferenciais. 
Observamos que quanto menor o passo, melhor a precisão dessa solução. 
 O uso de recursos computacionais permite a adoção de passos muito 
pequenos e possibilita a realização de um número grande de iterações. 
Entretanto, a escolha do método para resolução do problema também pode 
influir na precisão da solução numérica estimada. 
 Atualmente, com o rápido desenvolvimento tecnológico, cada vez mais os 
equipamentos computacionais vêm sendo utilizados para análise e simulações 
numéricas. No ramo da engenharia, esse recurso ganha força em situações 
como a análise do comportamento estrutural e na análise da resistência dos 
materiais para construção civil ou desenvolvimento mecânico, até em processos 
industriais (como o setor automotivo), permitindo simular efeitos sobre peças 
assim como possíveis efeitos de vibração acústica sobre a estrutura do veículo. 
Esses exemplos, dentre muitas outras situações, ressaltam a importância do 
estudo e compreensão dos diferentes métodos numéricos sobre equações 
diferenciais. 
 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers: with 
softwares and programming applications. 4. ed. New York: The McGraw-Hill, 
2002. 
JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
OLIVEIRA, R. L. Equações diferenciais ordinárias: métodos de resolução e 
aplicações. Curitiba: InterSaberes, 2019. 
REIS, M. N.; MACEDO, T. A.; DUTRA, R. D. F. Vibrações induzidas em laje de 
concreto armado: estudo de caso. In: XXXVIII IBERIAN LATIN-AMERICAN 
CONGRESS ON COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING. Anais... 
Florianópiolis, nov. 2017.