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UD 8 História da Matemática
2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 etc. Como há 50 parcelas desse tipo,
1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 97 + 98 + 99 + 100 = 50× 101 = 5050.
27.1 O Teorema Fundamental da Álgebra
Carl Friedrich Gauss foi, muito possivelmente, um dos maiores matemáticos
de que temos not́ıcia. Seus trabalhos conservam alguns traços da Matemática
do século 18: ele se dedicou tanto à Matemática pura como à aplicada, viveu
relativamente isolado, ocupava-se de problemas ligados à astronomia e escrevia
os trabalhos em latim. O escopo de sua obra é imenso, apesar do número
limitado de publicações. Lembremo-nos de um de seus motos: pouca sed matura
(pouco, porém maduro).
Gauss tinha uma enorme preocupação com o rigor, uma das caracteŕısticas que
marcaria a Matemática do século 19.
Em sua juventude, provaria muitos resultados que já haviam sido descobertos
anteriormente, além de alguns por ele mesmo. No entanto, suas demonstrações
eram, em geral, mais rigorosas e completas do que as de seus antecessores. Ele
estudou as obras dos matemáticos do passado e era bem cŕıtico. Na verdade, a
insatisfação com as argumentações anteriores era uma fonte de motivação.
Sua preocupação com o rigor teve grande influência na atitude geral dos ma-
Euler, Laplace, Lagrange e
Legendre eram agraciados
por Gauss com o elogio
clarissimus, em latim, é claro.
Newton, no entanto, era
considerado sumus.
temáticos a partir de então, devido à sua reconhecida importância.
No diário em que registrava suas descobertas, em 10 de julho de 1796, está
escrito:
EΥPHKA ! num = ∆ + ∆ + ∆.
Gauss acabara de provar que todo número inteiro positivo pode ser escrito como
a soma de três números triangulares. Isto é, os números 0, 1, 3, 6, 10, 15, . . .
Por exemplo, 28 = 1 + 6 + 21.
Essa descoberta foi tão importante que ele a saudou com a arquimediana ex-
clamação: eureka!
Sua estréia na carreira matemática não poderia ter sido mais impressionante:
após um peŕıodo de perto de 2000 anos, alguém descobre mais um poĺıgono
regular que pode ser constrúıdo com régua e compasso: o heptadecágono, um
poĺıgono de 17 lados. A solução desse problema é equivalente a chegar ao
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seguinte resultado:
16 cos
�
2 π
17
�
= −1 +
√
17 +
q
34− 2
√
17 + 2
r
17 + 3
√
17−
q
34− 2
√
17− 2
q
34 + 2
√
17.
Em sua tese de doutorado ele demonstra o chamado Teorema Fundamental da
Álgebra, que pode ser apresentado como:
Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n ráızes com-
plexas ou reais, coincidentes ou distintas.
Na verdade, há outras formulações equivalentes do teorema. Uma delas diz que
toda equação polinomial de coeficientes reais pode ser expressa como o produto
de fatores lineares ou quadráticos (irredut́ıveis) com coeficientes reais.
Por exemplo, 3x5 − x4 − 3x3 − 5x2 + 8x− 2 = (3x− 1)(x2 + 2x + 2)(x− 1)2.
Note que x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1 é irredut́ıvel, isto é,
não tem ráızes reais, e o fator (x− 1) tem multiplicidade 2.
Antes de Gauss, vários matemáticos haviam tentado demonstrar este teorema,
como Jean d’Alembert (1717 - 1783), que enunciou o teorema e tentou uma
demonstração, sem sucesso.
Euler (é claro) mostrou a validade do teorema para polinômios de grau até 6 e
tentou uma demonstração para o caso geral.
Em sua dissertação, apresentada em 1799, Gauss critica as provas dadas ante-
riormente. Sobre a prova de d’Alembert, afirma: uma prova rigorosa poderia
ser constrúıda nestas mesmas bases. A prova dada por Gauss é de natureza to-
pológica e também é pasśıvel de cŕıtica, sob nosso ponto de vista. De qualquer
forma, em 1816, Gauss publicou uma segunda prova, seguindo a abordagem
dada por Euler. Essa prova é correta.
Como era t́ıpico, retornou ao tema e, ainda em 1816, apresentou uma terceira
prova, que também é de natureza topológica.
Atividade 33
Fatore (segundo o Teorema Fundamental da Álgebra) os seguintes polinômios:
x2 − 1, x3 − 1, x3 + 1, x4 − 1, x4 + 1.
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27.2 Investigações Aritméticas
Em 1801, Gauss publicou o livro Disquisitiones Arithmeticae (Investigações
Aritméticas), um texto sobre Teoria de Números que é um marco na literatura
matemática (escrito aos 24 anos), em que apresenta, de maneira organizada,
resultados obtidos por estudiosos como Fermat, Euler, Lagrange e Legendre,
além de novos e importantes resultados.
Gauss introduziu a noção de congruência entre dois números inteiros: sejam a,
b e m números inteiros diferentes de zero. Dizemos que a é congruente a b
módulo m se m dividir a diferença a− b, e escrevemos
a ≡ b mod m.
Por exemplo, 13 ≡ 2 mod 11 e 25 ≡ 1 mod 4. Esse conceito parece muito
abstrato, à primeira vista, mas todo mundo conhece e usa com desenvoltura
alguns exemplos. Veja, quem nunca brincou de par ou ı́mpar, ou zerinho ou
um, como as crianças dizem agora? Isto é, cada número inteiro é congruente
módulo 2 a 0 ou a 1, e isso divide os inteiros em dois tipos: pares e ı́mpares.
Outro caso conhecido é a maneira como contamos as horas do dia, tomando-as
módulo 12 ou 24, ou os minutos, que tomamos módulo 60.
Usando essa linguagem, Gauss apresenta no Disquisitiones Arithmeticae o Pe-
queno Teorema de Fermat, Teorema de Wilson e outros resultados de forma
organizada e sistemática.
Po exemplo, a conclusão do Pequeno Teorema de Fermat: se p é primo e a é
um inteiro qualquer, então p divide (ap − a), pode ser escrita usando a noção
de congruência como ap = a mod p.
Gauss foi o primeiro matemático a enfatizar a importância da propriedade de
fatorização única dos números inteiros em fatores primos, conhecida como o
Teorema Fundamental da Aritmética, que ele enunciou e provou explicitamente.
Esse fato já havia sido usado na demonstração da infinitude dos primos, por
Euclides.
No ińıcio do Disquisitiones Arithmeticae Gauss aborda a questão da resolução
de equações do tipo
ax ≡ b mod m,
chamadas congruências lineares.
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