Capítulo 7

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Capítulo 7	
Polinômios Ortogonais
Introdução	
No ajuste de um modelo de regressão polinomial de grau k, do tipo:
a n (i=1,...,n) pares de observações, as colunas de X são correlacionadas.
 
Problemas!!!
Introdução	
Para evitar isso, é possível a construção de outros polinômios que sejam ortogonais entre si e desta forma os coeficientes sejam calculados de forma independente.
em que:
Introdução	
Matricialmente,
Introdução	
Matricialmente,
Como são construídos para serem ortogonais, temos  restrições
(j=1,...,k e i=1,...,n)
(covariância entre eles = 0)
Introdução	
Decorre que:
Introdução	
Neste caso,
Introdução	
Obtendo-se então,
Variâncias dos estimadores
Introdução	
Obtendo-se então,
Variâncias dos estimadores
Construção dos Polinômios
Considerando os k polinômios:
.
.
.
Número de equações no sistema
Sistema inconsistente
Construção dos Polinômios
Exemplo polinômio de grau 2
Construção dos Polinômios
Exemplo polinômio de grau 2
Construção dos Polinômios
Levando em consideração que X são equidistantes e xi é a variável centrada,
(para j=1)
(para j=2)
(para j=3)
Determinação do P1
Logo,
Determinação do P2
Determinação do P2
Logo,
Determinação do P2
Logo,
Determinação do P2
Logo,
Determinação do P3
Além das restrições já utilizadas
Precisamos das restrições:
Determinação do P3
Dados com repetições	
Polinômio
i=1,...,t
u=1,...,ri
Dados com repetições	
Polinômio
i=1,...,t
u=1,...,ri
r1 vezes
rt vezes
Dados com repetições	
Polinômio
i=1,...,t
u=1,...,ri
Restrições:
Dados com repetições
Decorre que:
Dados com repetições
Decorre que:
Dados com repetições
Decorre que:
Dados com repetições
Neste caso,
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQParâmetros = SQRegressão + Correção
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQParâmetros = SQRegressão + Correção
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQParâmetros = SQRegressão + Correção
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQParâmetros = SQRegressão + Correção
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQReg.Linear
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQReg.Quadrática
Dados com repetições
Análise de variância:
SQTotal(NC) = SQParâmetros + SQResíduos
SQReg.grau K
Dados com repetições
Análise de variância:
	Fonte de Variação	Graus de Liberdade
	Regressão	k
	 Linear	1
	 Quadrática	1
	 ...	...
	 Grau k	1
	Resíduo	n-1-k
	Total	n-1
Equivalência das Fórmulas
Pimentel Gomes (2000)
em que:
Equivalência das Fórmulas
Pimentel Gomes (2000)
Equivalência das Fórmulas
Os polinômios são equivalentes (Pimentel)
oleObject1.bin
image1.wmf
2
012
k
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YXXX
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L
oleObject2.bin
image2.wmf
(
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image3.wmf
(
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oleObject4.bin
image4.wmf
(
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(
)
1
2
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oleObject9.bin
image9.wmf
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XX
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q
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oleObject5.bin
image5.wmf
01122
iiikkii
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L
oleObject6.bin
image6.wmf
11011
ii
Px
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oleObject7.bin
image7.wmf
2
2202122
iii
Pxx
ggg
=++
oleObject8.bin
image8.wmf
01
...
k
kikkikki
Pxx
ggg
=+++
oleObject10.bin
image10.wmf
01122
iiikkii
YPPP
aaaae
=+++++
L
oleObject11.bin
image11.wmf
111
122
1
1
1
1
k
k
nkn
PP
PP
X
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L
MMOM
L
oleObject12.bin
image12.wmf
1
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111
2
1
111
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ii
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L
MMOM
L
oleObject13.bin
oleObject14.bin
image13.wmf
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P
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oleObject15.bin
image14.wmf
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MMOM
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oleObject16.bin
image15.wmf
(
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L
MMOM
L
oleObject21.bin
oleObject17.bin
image16.wmf
1
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2
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1
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L
L
MMOM
M
L
oleObject18.bin
image17.wmf
(
)
1
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oleObject19.bin
image18.wmf
1
0
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oleObject20.bin
image19.wmf
1
2
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j
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ji
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PY
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oleObject22.bin
image20.wmf
(
)
(
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image21.wmf
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L
oleObject24.bin
image22.wmf
(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
2
1
1
2
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22
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2
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1
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jii
n
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T
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n
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oleObject25.bin
image23.wmf
01122
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iiikki
YPPP
aaaa
=++++
L
oleObject30.bin
image28.wmf
(
)
1
2
kk
restrições
+
oleObject26.bin
image24.wmf
11011
ii
Px
gg
=+
oleObject27.bin
image25.wmf
2
2202122
iii
Pxx
ggg
=++
oleObject28.bin
image26.wmf
01
...
k
kikkikki
Pxx
ggg
=+++
oleObject29.bin
image27.wmf
(
)
3
2
kk
parâmetros
+
oleObject35.bin
image31.wmf
1
1
2
1
12
1
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0
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n
i
i
n
i
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n
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P
P
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oleObject31.bin
oleObject32.bin
oleObject33.bin
image29.wmf
(
)
3
5
2
kk
parâmetros
+
=
oleObject34.bin
image30.wmf
(
)
1
3
2
kk
restrições
+
=
oleObject40.bin
image34.wmf
1
1
11
2
1
22
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1
0
1
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1
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i
i
n
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i
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oleObject36.bin
oleObject37.bin
oleObject38.bin
image32.wmf
(
)
3
5
2
kk
parâmetros
+
=
oleObject39.bin
image33.wmf
(
)
1
3
2
kk
restrições
+
=
oleObject41.bin
image35.wmf
21
1
0
n
j
i
i
x
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oleObject42.bin
image36.wmf
21
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0
nn
ii
ii
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-
==
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oleObject43.bin
image37.wmf
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0
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ii
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-
==
==
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oleObject44.bin
image38.wmf
615
11
0
nn
ii
ii
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-
==
==
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oleObject49.bin
image42.wmf
1
ii
Px
=
oleObject45.bin
image39.wmf
(
)
113
2
2
parâmetros
+
=
oleObject46.bin
oleObject47.bin
image40.wmf
(
)
11
111
11
2
restrição
g
+
=+=
oleObject48.bin
image41.wmf
(
)
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1
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1
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==
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oleObject50.bin
image43.wmf
(
)
223
5
2
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+
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oleObject51.bin
image44.wmf
(
)
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221
3(11)
2
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gg
+
=+==
oleObject52.bin
image45.wmf
(
)
1
1
2
1
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0
n
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i
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Pjáusamos
P
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oleObject53.bin
oleObject58.bin
oleObject54.bin
oleObject55.bin
image46.wmf
(
)
2
1
2
202122
1
2
2021
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2
2021
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0
ˆˆ
0
n
i
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gg
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oleObject57.bin
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oleObject63.bin
image51.wmf
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ˆ
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image48.wmf
(
)
223
5
2
parâmetros
+
=
oleObject60.bin
image49.wmf
(
)
1122
221
3(11)
2
restriçãoe
gg
+
=+==
oleObject61.bin
image50.wmf
(
)
(
)
12
1
2
202122
1
23
2021
111
23
2021
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oleObject68.bin
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x
Px
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oleObject69.bin
oleObject64.bin
image52.wmf
2
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2
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å
oleObject65.bin
image53.wmf
21
ˆ
0
g
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oleObject66.bin
image54.wmf
2
1
20
ˆ
n
i
i
x
n
g
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=-
å
oleObject67.bin
image55.wmf
22
1
g
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oleObject74.bin
image61.wmf
31323
111
0,00
nnn
iiiii
iii
PPPePP
===
===
ååå
oleObject70.bin
image57.wmf
23
330313233
iiii
Pxxx
gggg
=+++
oleObject71.bin
image58.wmf
(
)
333
9
2
parâmetros
+
=
oleObject72.bin
image59.wmf
(
)
112233
331
6(1,1e1)
2
restrições
ggg
+
=+===
oleObject73.bin
image60.wmf
1212
111
0,0,0
nnn
iiii
iii
PPPP
===
===
ååå
oleObject75.bin
oleObject76.bin
image62.wmf
4
3
1
3
2
1
n
i
i
iii
n
i
i
x
Pxx
x
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=
=-
å
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oleObject81.bin
image64.wmf
i
i
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-
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oleObject77.bin
image63.wmf
01122
iuiikkiiu
YPPP
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=+++++
L
oleObject78.bin
oleObject79.bin
oleObject80.bin
oleObject82.bin
image65.wmf
01122
iuiikkiiu
YPPP
aaaae
=+++++
L
image66.png
oleObject83.bin
oleObject84.bin
image67.wmf
1
'
1
0
0'
t
iji
i
t
ijiji
i
rP
rPPparajj
=
=
=
=¹
å
å
image80.png
oleObject85.bin
image68.wmf
1
2
1
1
2
1
00
00
00
t
i
i
t
ii
T
i
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i
nr
rP
XX
rP
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=
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êú
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L
MMOM
L
oleObject86.bin
image69.wmf
(
)
2
1
1
1
2
1
1
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1
00
1
00
t
ii
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t
iki
i
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XX
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êú
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L
MMOM
L
oleObject87.bin
image70.wmf
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1111
1.
1
11
1111
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1111
ii
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M
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image71.wmf
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image73.wmf
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oleObject92.bin
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oleObject93.bin
image75.wmf
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image77.wmf
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)
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iikii
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oleObject98.bin
oleObject99.bin
oleObject100.bin
oleObject101.bin
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222
12
111
Reg...
ttt
iiiikii
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