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Paralelismo, intersecção e igualdade de modelos
Capítulo 8
Introdução
Na Estatística Experimental: DIC, DBC e DQL
Experimentos com apenas UM fator (níveis qualitativos ou quantitativos)
Efeito de diferentes tipos de rações (A, B, C e D) sobre o ganho de peso de animais;
Efeito de diferentes variedades de uma cultura sobre alguma característica de produção.
Efeito de doses crescentes de N sobre a produção de grãos;
Efeito de diferentes temperaturas sobre o armazenamento de sementes.
Esses experimentos podem ser instalados em qualquer um dos tipos de delineamento em função da heterogeneidade do material experimental.
Introdução
Na Estatística Experimental: DIC, DBC e DQL
Experimentos com dois ou mais fatores (níveis qualitativos ou quantitativos)
Efeito de 2 variedades de cana-de-açúcar (V1 e V2), com 3 diferentes tipos de herbicidas (H1, H2 e H3). Então, teremos um fatorial 2x3, ambos os fatores qualitativos;
Efeitos de 3 peneiras comerciais (18, 20 e 22 diâmetros), associadas a 3 densidades de plantio (10, 15 e 20 plantas/m linear), na produtividade do amendoim (Arachis hipogaea L.) variedade Tatu V 53. Então, teremos um fatorial 3x3.
Introdução
Nosso cenário: Experimentos com tratamentos em esquema fatorial sendo um dos fatores qualitativo e o outro quantitativo.
Em geral, para os dados proveniente deste tipo de experimento há interesse em se saber como uma determinada relação entre variáveis pode mudar de acordo com o outro fator. 
Mais especificamente, se a relação for linear, deseja-se saber se as retas são: coincidentes, paralelas ou concorrentes, ou ainda, se elas possuem um intercepto comum.
Modelo Completo
Experimento instalado segundo um delineamento inteiramente casualizado (DIC) com K repetições, k=1, 2, 3,...,K.
Os tratamentos estão arranjados segundo um esquema fatorial AxB.
Fator A (qualitativo) com I níveis, i=1, 2,..., I.
Fator B (quantitativo) com J níveis, j=1, 2, ...,J.
O modelo completo é aquele que considera o fator B como “qualitativo” e a interação com o fator A.
Modelo Completo
O modelo completo
O esquema da ANAVA
	Fonte de Variação	Graus de liberdade
	Fator A	(I-1)
	Fator B	(J-1)
	A x B	(I-1)(J-1)
	Erro	IJ(K-1)
	Total	IJK-1
QUALITATIVO
QUANTITATIVO
Modelos Reduzidos
Dado que a relação entre as variáveis: Y (variável resposta) e níveis do fator B (quantitativo) seja uma relação linear, iremos verificar se as retas, para cada nível do fator A (qualitativo), são:
Retas concorrentes;
Retas paralelas;
Retas com intercepto comum;
Retas coincidentes.
Modelos Reduzidos
Retas concorrentes (I modelos lineares);
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	Modelos Reduzidos
Retas paralelas (I modelos lineares);
A1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	A2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	Modelos Reduzidos
Retas intercepto comum (I modelos lineares);
A1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	A2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	5	9	13	17	21	25	29	33	37	41	Modelos Reduzidos
Retas coincidentes (1 modelo linear);
A2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	1	5	9	13	17	21	25	29	33	37	41	Modelos Reduzidos
n=ij pares (Xij,Yijk) com i=1,2,...,I níveis de A e k=1, 2,...K repetições em função de j = 1, 2,...J níveis do fator B;
	J níveis de B, para i=1	K repetições					Totais
	Xij	Y1j1	Y1j2	Y1j3	...	Y1jK	Y1j.
	X11	Y111	Y112	Y113	...	Y11K	Y11.
	X12	Y121	Y122	Y123	...	Y12K	Y12.
	X13	Y131	Y132	Y133	...	Y13K	Y13.
	...	...	...	...	...	...	...
	X1J	Y1J1	Y1J2	Y1J3	...	Y1JK	Y1J.
Modelos Reduzidos
	J níveis de B	K repetições					Totais
	Xij	Y1j1	Y1j2	Y1j3	...	Y1jK	Y1j.
	X11	Y111	Y112	Y113	...	Y11K	Y11.
	...	...	...	...	...	...	...
	X1J	Y1J1	Y1J2	Y1J3	...	Y1JK	Y1J.
	X21	Y211	Y212	Y213	...	Y21K	Y21.
	...	...	...	...	...	...	...
	X2J	Y2J1	Y2J2	Y2J3	...	Y2JK	Y2J.
	...	...	...	...	...	...	...
	XI1	YI11	YI12	YI13	...	YI1K	YI1.
	...	...	...	...	...	...	...
	XIJ	YIJ1	YIJ2	YIJ3	...	YIJK	YIJ.
i = 1
i = 2
i = I
Modelos Reduzidos
Retas concorrentes (I níveis de A I modelos de regressão);
 2I parâmetros a serem estimados: para cada nível I do fator A temos uma reta com dois parâmetros.
Matricialmente: 
Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
K repetições do nível 1 do fator B “quantitativo”
Matriz X para o nível i do fator A (qualitativo)
K repetições do nível J do fator B “quantitativo”
Estimativa dos parâmetros
Modelos Reduzidos
Modelos Reduzidos
Retas paralelas (I níveis de A I modelos de regressão) porém todos com a mesma inclinação ;
I+1 parâmetros a serem estimados
Matricialmente: 
Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
K repetições do nível 1 do fator B “quantitativo” para o nível 1 do fator A (qualit.)
1ª repetição do nível 2 do fator B “quantitativo” para o nível 1 do fator A (qualit.)
K-ésima repetição do nível J do fator B “quantitativo” para o nível 1 do fator A (qualit.)
Modelos Reduzidos
Parâmetros
Modelos Reduzidos
Parâmetros
Modelos Reduzidos
Retas com intercepto comum (I níveis de A  I modelos de regressão) porém todos com mesmo intercepto e diferentes coeficientes angulares;
I+1 parâmetros a serem estimados
Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
Modelos Reduzidos
Parâmetros
Modelos Reduzidos
Retas Coincidentes (I níveis de A  1 modelo de regressão);
2 parâmetros a serem estimados
Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
Modelos Reduzidos
Parâmetros
Modelos Encaixados
Retas Concorrentes
Retas Intercepto C.
Retas Paralelas
Retas Coincidentes
Esquemas de ANAVA
	Fonte de Variação	Graus de liberdade
	Fator A	(I-1)
	Fator B	(J-1)
	A x B	(I-1)(J-1)
	Tratamentos	IJ-1
	Erro	IJ(K-1)
	Total	IJK-1
Modelo Maximal
Esquemas de ANAVA
	Fonte de Variação	Graus de liberdade
	Retas Concorrentes	2I - 1
	Desvios de Regressão	I(J - 2)
	Tratamentos	IJ-1
	Erro	IJ(K-1)
	Total	IJK-1
Modelo Retas Concorrentes (2I parâmetros)
Esquemas de ANAVA
	Fonte de Variação	Graus de liberdade
	Retas Paralelas	I
	Desvios de Regressão	[I(J - 1)] – 1
	Tratamentos	IJ-1
	Erro	IJ(K-1)
	Total	IJK-1
Modelo Retas Paralelas (I + 1 parâmetros)
Esquemas de ANAVA
	Fonte de Variação	Graus de liberdade
	Retas Intercepto C.	I
	Desvios de Regressão	[I(J - 1)] – 1
	Tratamentos	IJ-1
	Erro	IJ(K-1)
	Total	IJK-1
Modelo Retas Intercepto C. (I + 1 parâmetros)
Esquemas de ANAVA
	Fonte de Variação	Graus de liberdade
	Retas Coincidentes	1
	Desvios de Regressão	IJ - 2
	Tratamentos	IJ-1
	Erro	IJ(K-1)
	Total	IJK-1
Modelo Retas Coincidentes (2 parâmetros)
oleObject1.bin
image1.wmf
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y
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+
+
+
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j
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b
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1
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:
b
b
+
=
oleObject5.bin
image5.wmf
j
j
x
y
A
1
01
1
:
b
b
+
=
oleObject6.bin
image6.wmf
j
I
j
I
x
y
A
1
0
:
b
b
+
=
oleObject7.bin
image7.wmf
j
j
x
y
A
11
0
1
:
b
b
+
=
oleObject8.bin
image8.wmf
j
I
j
I
x
y
A
1
0
:
b
b
+
=
oleObject9.bin
image9.wmf
j
j
I
x
y
A
1
0
1
:
...
b
b
+
=
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oleObject10.bin
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e
q
+
=
X
Y
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image130.png
image140.png
image150.png
image160.png
oleObject11.bin
image11.wmf
e
q
+
=
X
Y
oleObject12.bin
image12.wmf
111
11
121
1
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2
1
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0
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0
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0
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0
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0
010
1
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KMM
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oleObject14.bin
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oleObject18.bin
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b
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