Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace: definição, propriedades.
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática utilizada principalmente na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo, sendo amplamente aplicada em engenharia elétrica, controle, processamento de sinais e outras áreas relacionadas. Vamos abordar a definição da transformada de Laplace e algumas de suas propriedades fundamentais:
### Definição:
A transformada de Laplace de uma função \( f(t) \), definida para \( t \geq 0 \), é denotada por \( \mathcal{L} \{ f(t) \} \) e é dada pela integral:
\[ F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \]
Onde:
- \( s \) é uma variável complexa chamada de "parâmetro de Laplace".
- \( F(s) \) é a transformada de Laplace de \( f(t) \).
- \( e^{-st} \) é o fator de ponderação exponencial.
### Propriedades da Transformada de Laplace:
1. **Linearidade:** Se \( F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} \) e \( G(s) = \mathcal{L} \{ g(t) \} \), então para constantes \( a \) e \( b \):
 \[ \mathcal{L} \{ a \cdot f(t) + b \cdot g(t) \} = a \cdot F(s) + b \cdot G(s) \]
2. **Translação no Tempo:**
 \[ \mathcal{L} \{ e^{at} \cdot f(t) \} = F(s-a) \]
 Isso indica que a multiplicação de uma função por \( e^{at} \) resulta em um deslocamento de \( a \) unidades no eixo \( s \) na transformada de Laplace.
3. **Derivação no Tempo:**
 \[ \mathcal{L} \{ \frac{df(t)}{dt} \} = s \cdot F(s) - f(0) \]
 A derivada no tempo de uma função \( f(t) \) corresponde a uma multiplicação por \( s \) na transformada de Laplace.
4. **Integral no Tempo:**
 \[ \mathcal{L} \{ \int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau \} = \frac{1}{s} \cdot F(s) \]
 A integral de uma função \( f(t) \) corresponde a uma divisão por \( s \) na transformada de Laplace.
5. **Multiplicação por uma Exponencial:**
 \[ \mathcal{L} \{ e^{-at} \cdot f(t) \} = F(s+a) \]
 Isso mostra que a multiplicação de uma função por \( e^{-at} \) resulta em um deslocamento de \( a \) unidades no eixo \( s \) na transformada de Laplace.
Essas são apenas algumas das propriedades básicas da transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta poderosa para analisar sistemas dinâmicos lineares e tem uma ampla variedade de aplicações na engenharia, controle de sistemas, teoria de circuitos, entre outros campos.