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Propriedades da proporcionalidade - Parte 1
Matemática
2o bimestre – Aula 22 – Sequência de atividades 7 
Ensino Médio
1a
SÉRIE
2024_EM_V1
Propriedades da proporcionalidade.
Aplicar as propriedades da proporcionalidade para calcular as medidas de lados e ângulos em polígonos semelhantes.
Conteúdo
Objetivos
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(EF09MA24*) Identificar e calcular as relações de proporcionalidade dos segmentos determinados por retas paralelas cortadas transversais (teorema de Tales).
Para iniciar essa atividade, pesquise sobre os sinônimos da palavra semelhante.
Após a pesquisa, analise os polígonos a seguir e informe quais são os pares de polígonos semelhantes.
Semelhante ou quase igual?
Continua...
Virem e conversem
5 MINUTOS
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Para começar
Semelhante ou quase igual?
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Para começar
Correção 
Pares de figuras semelhantes:
1 e 8;
2 e 11;
3 e 10;
4 e 9.
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Para começar
Considerando os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’, a seguir:
Polígonos semelhantes
Observe que:
os ângulos correspondentes são congruentes;
os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais.
 
Certo é certo
5 MINUTOS
Continua...
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Foco no conteúdo
 
Podemos concluir que os polígonos ABCDE e A´B´C´D´E´ são semelhantes, (ABCDE é semelhante ao polígono A´B´C´D´E´). 
, , 
, , 
. 
Continua...
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Foco no conteúdo
Polígonos semelhantes
A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhantes denomina-se razão de semelhança (k), ou seja:
Definição:
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
Continua...
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Foco no conteúdo
Polígonos semelhantes
Observação:
A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.
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Foco no conteúdo
Consideramos que dois quadriláteros são semelhantes quando possuem lados correspondentes proporcionais e ângulos correspondentes congruentes. A partir desses significados, verifique, em cada caso, se há semelhança entre os quadriláteros.
Atividade 1
SÃO PAULO (Estado) Aprender Sempre: Caderno do Aluno, volume 2, parte 2, sequência de atividades 7, aulas 3 e 4, atividade 1, p. 194, 2023. (Adaptado).
a.
Continua...
Mostre-me 
5 MINUTOS
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Na prática
b.
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Na prática
Correção
a.
Podemos verificar na figura que os ângulos correspondentes são congruentes, porém a medida dos lados não são proporcionais, por exemplo:
; ; 
Logo, os dois polígonos não são semelhantes. 
 
Continua...
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Na prática
Correção
b.
Podemos verificar na figura que os ângulos correspondentes são congruentes, e a medida dos lados é proporcional.
 
Logo, os dois polígonos são semelhantes. 
 
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Na prática
Os polígonos indicados na figura ao lado são semelhantes. Calcule os comprimentos dos segmentos indicados por x, y, z e w (a unidade de medida usada é o cm).
Atividade 2
Mostre-me 
5 MINUTOS
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Na prática
Lados correspondentes são congruentes:
Ângulos correspondentes são congruentes:
, , e 
Continua...
Correção
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Na prática
Se os lados correspondentes são congruentes, podemos afirmar que:
Assim, podemos encontrar as medidas dos segmentos x, y, z e w, da seguinte maneira: 
Continua...
Correção
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Na prática
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Na prática
Construindo figuras homotéticas no GeoGebra
Até esse momento utilizamos alguns polígonos e verificamos se eles são semelhantes ou não, que tal aprendermos a construir polígonos semelhantes no software de geometria dinâmica: GeoGebra?
Para acessar o ambiente, clique no link a seguir.
https://www.geogebra.org/calculator 
Para acompanhar a construção, acesse o tutorial, clicando no link a seguir:
https://acrobat.adobe.com/link/review?uri=urn:aaid:scds:US:f31bb6db-1da4-39d7-8677-d362e1ef1a16 
Mostre as etapas
15 MINUTOS
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Aplicando
Aprofundando
Atividade 1
(SARESP – Adaptada)
Observe os triângulos A e B a seguir: 
Sabendo que os triângulos A e B são semelhantes, a constante de proporcionalidade K que gerou o triângulo B é: 
	(A)	k = 0,2	(B)	k = 0,25	(C)	k = 2,4	(D)	k = 3
Mostre – me 
5 MINUTOS
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Correção
	(A)	k = 0,2	(B)	k = 0,25	(C)	k = 2,4	(D)	k = 3
	Incorreta		Correta		Incorreta		Incorreta	
De acordo com o enunciado, os triângulos A e B são semelhantes, então podemos admitir que:
Portanto, k = 0,25, 
Alternativa correta “B”.
Aprofundando
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Atividade 2
(SARESP – Adaptada) Observe as figuras a seguir:
O triângulo SOL é uma ampliação do triângulo TEU. As medidas x, y, z e w dos ângulos indicados são: 
x = 22°, y = 60°, z = 22° e w = 88°
x = 60°, y = 22°, z = 88° e w = 22°
x = 60°, y = 38°, z = 88° e w = 32°
x = 60°, y = 38°, z = 32° e w = 88° 
Mostre-me 
5 MINUTOS
Aprofundando
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Correção 
x = 22°, y = 60°, z = 22° e w = 88° (Incorreta)
x = 60°, y = 22°, z = 88° e w = 22° (Incorreta)
x = 60°, y = 38°, z = 88° e w = 32° (Correta)
x = 60°, y = 38°, z = 32° e w = 88° (Incorreta) 
Se o triângulo SOL é uma ampliação do triângulo TEU, então existe uma constante de proporcionalidade das medidas dos lados dos triângulos, que pode ser calculada da seguinte maneira:
Continua...
Aprofundando
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Podemos concluir que os triângulos SOL e TEU são semelhantes e consequentemente seus ângulos correspondentes são congruentes, então, temos que:
No triângulo TEU, temos que:
Continua...
Aprofundando
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No triângulo SOL, temos:
Resposta:
x = 60°, y = 38°, z = 88° e w = 32° (Alternativa C) 
Aprofundando
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Aplicamos as propriedades da proporcionalidade para calcular as medidas de lados e ângulos em polígonos semelhantes.
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O que aprendemos hoje?
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado) Aprender Sempre: Caderno do Aluno, volume 2, parte 2, sequência de atividades 7, aulas 3 e 4, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Aprender Sempre: Caderno do Professor, volume 2, parte 2, sequência de atividades 7, aulas 3 e 4, 2023.
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Referências
Lista de imagens:
Slides - 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22 e 23: 
Elaboradas pelo autor.
Slide 18 - https://www.geogebra.org/calculator 
https://acrobat.adobe.com/link/review?uri=urn:aaid:scds:US:f31bb6db-1da4-39d7-8677-d362e1ef1a16 
 
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Referências
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oleObject1.bin
image28.wmf
255
2575x5x175
x7
175
xx35 cm
5
=Þ×=×Þ=Þ
Þ=Þ=
image32.png
oleObject2.bin
image29.wmf
y5105
7y105yy15 cm
2177
=Þ=Þ=Þ=
oleObject3.bin
image30.wmf
z5175
7z175zz25 cm
3577
=Þ=Þ=Þ=
oleObject4.bin
image31.wmf
w5245
7w245ww35 cm
4977
=Þ=Þ=Þ=
oleObject5.bin
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oleObject6.bin
image34.wmf
0,8
(
)
0,8
3,2
¸
(
)
0,8
1
k
4
¸
==
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