2 Matematica

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MATEMÁTICA
Didatismo e Conhecimento 1
MATEMÁTICA
CONJUNTOS: CONCEITO, IGUALDADE, 
CLASSIFICAÇÃO, PERTINÊNCIA, INCLU-
SÃO, OPERAÇÕES DE UNIÃO, INTERSE-
ÇÃO E DIFERENÇA; SISTEMA DE 
NUMERAÇÃO DECIMAL E OUTRAS BASES 
DE NUMERAÇÃO;
Conjunto está presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou científicos. Por exemplo, formamos con-
juntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.
Pode ser definido de duas maneiras: 
•	 Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9}
•	 Simbolicamente: B={x ϶ N|x<8}, enumerando esses elementos temos:
B={0,1,2,3,4,5,6,7}
 Há também um conjunto que não contém elemento e é representado da seguinte forma: S=Ø ou S={ }.
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:
•	 A é subconjunto de B
•	 Ou A é parte de B
•	 A está contido em B escrevemos:
A ∩ B
 Se existir pelo menos um elemento de A que não pertence a B: A ∩ B
Igualdade
Propriedades básicas da igualdade
Para todos os conjuntos A, B e C,
para todos os objetos x ϶ U, temos que:
(1) A = A.
(2) Se A = B, então B = A.
(3) Se A = B e B = C, então A = C.
(4) Se A = B e x ϶ A, então x ϶ B.
Se A = B e A ϶ C, então B 
϶
 C.
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Em símbolo:
Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisamos saber apenas quais são os elementos.
Não importa ordem:
A={1,2,3} e B={2,1,3}
Não importa se há repetição:
A={1,2,2,3} e B={1,2,3}
Classificação
Definição 
Chama-se cardinal de um conjunto, e representa-se por #, ao número de elementos que ele possui. 
Exemplo 
Por exemplo, se A ={45,65,85,95} então #A = 4. 
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Definições 
Dois conjuntos dizem-se equipotentes se têm o mesmo cardinal. 
Um conjunto diz-se 
a) infinito quando não é possível enumerar todos os seus elementos 
b) finito quando é possível enumerar todos os seus elementos 
c) singular quando é formado por um único elemento 
d) vazio quando não tem elementos 
 
Exemplos 
N é um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) é infinito (∞)); 
A = {½, 1} é um conjunto finito (#A = 2); 
B = {Lua} é um conjunto singular (#B = 1) 
{ } ou Ø é o conjunto vazio (# Ø = 0) 
Pertinência
O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo ϶. As letras minúsculas designam 
os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:
V={a,e,i,o,u}
A relação de pertinência é expressa por: a ϶V
A relação de não-pertinência é expressa por: b ϶V, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.
Inclusão
A Relação de inclusão possui 3 propriedades:
1. Propriedade reflexiva: A ∩ A, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
2. Propriedade antissimétrica: se A ∩ B e B ∩ A, então A=B
3. Propriedade transitiva: se A ∩ B e B ∩ C, então, A ∩ C.
Operações de União, Interseção e Diferença
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a 
que chamamos conjunto união e representamos por: A ∩ B.
Formalmente temos: AUB={x|x ϶A ou x ϶B}
Exemplo:
A={1,2,3,4} e B={5,6}
AUB={1,2,3,4,5,6} 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por : AÇB. 
Simbolicamente: A∩B={x|x ϶A e x ϶B}
Exemplo:
A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}
A∩B={d,e}
Uma,, outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: 
 A – B ou A\B 
que se diz a diferença entre A e B ou o complementar de B em relação a A .
A este conjunto pertencem os elementos de A que não pertencem a B. 
 A\B = {x : x ϶A e x ϶B}.
Didatismo e Conhecimento 3
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Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} 
Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS; 
PROBLEMAS COM AS QUATRO OPERA-
ÇÕES; EXPRESSÕES NUMÉRICAS;
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
N= {0,1,2,3, 4,...}
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Operações com números naturais
Adição
Seu objetivo é reunir em um só os valores de vários números. Os números cujos valores devem ser reunidos são denominados 
parcelas.
Propriedades
Comutativa
Se a e b são dois números naturais, então, a ordem em que forem colocados ao se efetuar a adição não altera o resultado. Assim:
a+b=b+a
Associativa 
Se a, b e c são três números naturais, o agrupamento que fizermos deles não alterará o resultado da soma:
[a+b]+c=a+[b+c]
Subtração
Se conhecemos a soma de dois números naturais e também um desses números podemos achar o outro? A resposta nos leva à 
subtração de números naturais.
b+c=a, portanto, c=a-b
a é o minuendo; b o subtraendo
No entanto, devemos considerar que a subtração de números naturais nem sempre é possível. Quando o subtraendo é maior que 
o minuendo, não temos solução no conjunto dos naturais.
5-7
϶N
Multiplicação
Podemos interpretar a multiplicação como uma soma de parcelas iguais.
bxa=a+a+a+a..
Didatismo e Conhecimento 4
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Propriedades
Comutativa 
Se a e b são dois números naturais, a ordem com que forem multiplicados não altera o produto:
axb= bxa
Associativa
Se a, b e c são números naturais, podemos substituir dois ou mais fatores pelo produto efetuado sem alterar o resultado:
[axb]xc=ax[bxc]
Divisão
Operação inversa à multiplicação.
D=dxq
Onde,D é o dividendo d é o divisor e q o quociente
Expressões Numéricas
Nas expressões numéricas aparecem adições, subtrações, multiplicações e divisões. Todas as operações podem acontecer em 
uma única expressão. Para resolver as expressões numéricas utilizamos alguns procedimentos:
Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, devemos resolver a multiplicação ou a divisão primeiramente, na 
ordem em que elas aparecerem e somente depois a adição e a subtração, também na ordem em que aparecerem. 
Exemplo 1 
10 + 12 – 6 + 7 
22 – 6 + 7
16 + 7
23
Exemplo 2
40 – 9 x 4 + 23 
40 – 36 + 23
4 + 23
27
Exercícios
1)Paula, Ana e Marta são irmãs e todas elas ganham mesadas do pai, só que cada uma ganha um valor diferente. Paula ganha 
R$ 70,00 por mês, Ana ganha R$ 60,00 e Maria R$ 50,00. Qual o total que o pai das meninas precisa separar no mês para pagar as 
mesadas?
Solução 
Para saber o total gasto com as mesadas no mês precisamos somar a quantidade que cada menina ganha. Utilizaremos então a 
operação de adição.
70 + 60 + 50 = 180
Assim, o pai gasta R$ 180,00 por mês pagando as mesadas das filhas.
2) Na fruteira de seu Manoel, das 520 laranjas que havia para venda, 60 estavam estragadas e foram separadas das demais. 
Quantas laranjas ficaram?
Solução
520-60=460 laranjas
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3) O professor de matemática de uma turma de 36 alunos decidiu dividir a turma em grupos, sendo que cada grupo teria 4 inte-
grantes. Quantos grupos serão formados?
Solução
Queremos dividir a turma toda em grupos iguais, ou seja, precisamos pensar quantas vezes o número 4 cabe no 36.
Vamos então dividir 36 por 4
36 : 4 = 9
Logo, serão formados 9 grupos.
DIVISIBILIDADE;
Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de 
obter o resultado da divisão.Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de 
divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número 
terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 
134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 
0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 
6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número 
divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Didatismo e Conhecimento 6
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Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
8x2=16
16592-16=16576
Repete-se o processo com este último número.
6x2=12
1657-12=1645
Repete-se o processo com este último número.
5x2=10
164-10=154
Repete-se o processo com este último número.
4x2=8
15-8=7
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível 
por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que 
não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um 
número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Exemplos:
a) 1º 3º 5º Algarismos de posição ímpar (Soma dos algarismos de posição ímpar: 4 + 8 + 3 = 15.)
 4 3 8 1 3 
 2º 4º Algarismos de posição par (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11 diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar 
um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. 
Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de 
subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
2x4=8
1656+8=1664
Didatismo e Conhecimento 7
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Repete-se o processo com este último número.
4x4=16
166+16=182
Repete-se o processo com este último número.
2x4=8
18+8=26
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
MÚLTIPLOS E DIVISORES;
Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.
Exemplo
O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por 
todos os números naturais.
M(3)={0,3,6,9,12,...}
Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15.
D(12)={1,2,3,4,6,12}
D(15)={1,3,5,15}
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
NÚMEROS PRIMOS;
Um número inteiro n (n > 1) possuindo somente dois divisores positivos n e 1 é chamado primo. Se n > 1 não é primo dizemos 
que n é composto.
Todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneira única (a menos
da ordem) como um produto de fatores primos que é chamado de fatoração
Como identificar se um número é primo?
Há várias formas, mas um dos procedimentos mais simples, ainda que trabalhoso, é o seguinte:
Vá testando a divisibilidade do número por cada um dos números primos, iniciando em 2, até que a divisão tenha resto zero ou 
que o quociente seja menor ou igual ao número primo que se está testando como divisor.
Vamos testar se o número 17 é primo ou não:
•	 17 : 2 = 8, resta 1;
•	 17 : 3 = 5, restam 2;
•	 17 : 5 = 3, restam 2.
Didatismo e Conhecimento 8
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Neste ponto já podemos ter a certeza de que o número 17 é primo, pois nenhum dos divisores primos testados produziu resto 0 e 
o quociente da divisão pelo número primo 5 é igual a 3 que é menor que o divisor 5.
Os números primos entre 0 e 1000
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 
139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 
457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 
631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 
821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
FATORAÇÃO;
Um dos pontos importantes da fatoração, encontra-se no cálculo do M.D.C (Máximo Divisor Comum) e do M.M.C (Mínimo 
Múltiplo Comum). Entretanto, devemos tomar cuidado quanto à obtenção desses valores, pois utilizaremos o mesmo procedimento 
de fatoração, ou seja, a mesma fatoração de dois ou mais números nos oferece o valor do M.D.C e do M.M.C.
A fatoração consiste na divisão com números primos.
Exemplo fatoração simples
Fatoração de três números
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposi-
ção é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60).
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120
m.d.c(15,24,60)=3
MDC E MMC E APLICAÇÕES;
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. 
Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas:
•	 Decompor o número em fatores primos
•	 Tomar o fatores comuns com o menor expoente
•	 Multiplicar os fatores entre si.Didatismo e Conhecimento 9
MATEMÁTICA
Exemplo:
O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente.
m.d.c 
O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero.
Para calcular devemos seguir as etapas:
•	 Decompor os números em fatores primos
•	 Tomar os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente
•	 Multiplicar os fatores entre si
Exemplo:
Assim, o mmc 
1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é 
composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma inte-
gração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de 
funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível 
de equipes. 
Solução:
Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.
Decomposição em fatores primos: 
Equipes
O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 
Didatismo e Conhecimento 10
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2) (PM AC 2012 - Funcab) 39. Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 525 e 1120, e M o Mínimo Múltiplo Co-
mum entre eles, determine o valor de M - 250.D.
A) 8050
B) 8750
C) 16000
D) 16835
E) 16765
Solução:
Daí,
16800 – 250.35 = 16800 – 8750 = 8050
 
3) (Funcab - Bombeiros AC 2012). Determine o MDC (Maior Divisor Comum) e o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), 
nesta ordem, dos números 60, 70 e 240.
 
A) 10 e 210
B) 30 e 210
C) 10 e 1680
D) 15 e 1680
E) 30 e 5040
 
Didatismo e Conhecimento 11
MATEMÁTICA
O mdc é o produto dos primos que se repetem: 
NÚMEROS RACIONAIS: FORMA 
FRACIONÁRIA E FORMA DECIMAL, 
OPERAÇÕES E PROBLEMAS;
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
m
n , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de 
zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional pq , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5
 = 0,4
1
4
= 0,25
35
 4
= 8,75
153
 50
= 3,06
Didatismo e Conhecimento 12
MATEMÁTICA
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1
3
 = 0,333... 
 1
22
 = 0,04545...
167
 66
 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. 
Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:
0,9 = 9
10
5,7 = 57
10
0,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5
1000
= 1
200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
 99
.
Didatismo e Conhecimento 13
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Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 611
 495
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
- = 3
2
 Módulo de + 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
+ = 3
2
Números Opostos: Dizemos que – 3
2
e 3
2
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As 
distâncias dos pontos – 3
2
 e 3
2
 ao ponto zero da reta são iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números 
racionais a
b
 e c
d
, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a
b
 + c
d
 = ad + bc bd
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a
b
e c
d
, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a
b x 
c
d
 = acbd
Didatismo e Conhecimento 14
MATEMÁTICA
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a
b
 em Q, q diferente de zero, existe q-1 = 
 
b
a 
em Q: q × q-1 = 1 a
b 
x b
a
 = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominadoa base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
125
b) 
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
+ 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
− 94
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
 = - 9
4
Didatismo e Conhecimento 15
MATEMÁTICA
- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.
− 35
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
. − 53
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 259
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
27
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
− 15
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 15
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
25
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes.
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 25 .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5 .
2
5 .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+3
= 25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos 
a base e subtraímos os expoentes.
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9 Representa o produto 
1
3 . 
1
3
 
ou 13
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. Logo, 13
 
é a raiz quadrada de 19 .Indica-se 
1
9
= 13
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.
Didatismo e Conhecimento 16
MATEMÁTICA
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número -100
 9
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10
 3
 como +10
 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
 9
.
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 
2
3
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2
3
.
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 7
24 −
5
12 −
1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6 +
3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) +
3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : −
1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 94 −
7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2. Escreva o produto 
73
3
2
.
3
2





+




+ como uma só potência. 
3. Escreva o quociente 
 
− 1625
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
: − 1625
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
como uma só potência. 
4. Qual é o valor da expressão 
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 
1
6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3
4
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1
4
 do livro e no dia seguinte leu 1
6
 do livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
7. Em um pacote há 4
5
 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1
3
. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o 
segundo?
Didatismo e Conhecimento 17
MATEMÁTICA
Respostas
1) Solução
a) 
7
24 −
5
12 −
1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6 +
3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 724 −
10 − 3
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−14 + 9
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7
24 −
7
24 +
5
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24 −
7 +10
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24 −
17
24 = −
10
24 = −
5
12
b) 
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
+ 23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10
3) Solução:
− 1625
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
4) Solução:





 +





 −−
−
4
3
:
2
1
24
13
3
 





 +





 −−
−
4
3
:
8
1
24
13





 +





 −−
−
3
4
.
8
1
24
13





 −−
−
24
4
24
13
24
4
24
13
+
−
8
3
24
9 −
=
−
5) Resposta 11
12Solução: 
1
6
 + 3
4
 = 2
12
 + 9
12
 = 11
12
Didatismo e Conhecimento 18
MATEMÁTICA
6) Solução:
a) 1
4
 + 1
6
 = 3
12
 + 2
12
 = 5
12
b) 1- 5
12
 = 12
12
 - 5
12
 = 7
12
7) Respostas 7
15Solução: 
4
5
 - 1
3
 = 12
15
 - 5
15
 = 7
15
MEDIDAS: UNIDADES DE MEDIDA
 (COMPRIMENTO, MASSA, CAPACIDADE, 
SUPERFÍCIE E VOLUME);
Para a Física como ciência da Natureza, é fundamental a medição das grandezas utilizadas para descrever os aspectos do Univer-
so que os físicos aceitam como verdadeiros. 
O processo de medida de uma grandeza física qualquer está associado à ideia de comparação. Neste sentido, medir uma grandeza 
é estabelecer o seu valor como múltiplo de certa unidade. Por exemplo, quando dizemos que o comprimento de uma das dimensões 
de uma mesa é 2 m, estamos dizendo que esse comprimento equivale a duas vezes o comprimento correspondente à unidade chamada 
metro. 
 O nome da unidade é sempre escrito em letras minúsculas. Os símbolos das unidades são entes matemáticos e não abreviaturas. 
Por isso, eles não devem ser seguidos de ponto (exceto quando aparecem nos finais de frases) nem da letra s para formar o plural.
A tabela a seguir mostra as unidades de comprimento.
Unidades de Comprimento
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para 
medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Massa
A subunidade grama é do gênero masculino. Por isso, ao falar e escrever o quilograma ou seus múltiplos ou submúltiplos, de-
vemos fazer a concordância correta. Por exemplo, escrevemos duzentos e um gramas ou trezentos e vinte e dois miligramas. Além 
disso, no símbolo do quilograma (kg), a letra k é minúscula.
Unidades de Massa
Kg hg dag g dg cg mg
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Didatismo e Conhecimento 19
MATEMÁTICA
Capacidade
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúl-
tiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Unidades de Capacidade
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Superfície
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemosobservar que cada unidade é cem vezes maior que a unidade ime-
diatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma unidade até a desejada. 
Unidades de Área
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Volume
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem volume. Podemos encon-
trar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
Unidades de Volume
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
GRANDEZAS PROPORCIONAIS: 
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS 
SIMPLES E COMPOSTA;
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou 
a : b. 
Exemplo: 
Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. 
(lembrando que razão é divisão) 
Didatismo e Conhecimento 20
MATEMÁTICA
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos, isto é:
 A x D = B x C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
.
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três 
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de 
espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria 
esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x
2) Identificação do tipo de relação:
Velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑
Didatismo e Conhecimento 21
MATEMÁTICA
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna 
ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna vai para cima
Velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓
Regra de três composta
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 
125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espé-
cies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente pro-
porcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta 
para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido 
das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↓
5↑------------------x↓----------------------125↓
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
Horas --------caminhões-----------volume
5----------------20----------------------160
8------------------x----------------------125
, onde os temos da última fração foram invertidos
Simplificando fica:
Logo, serão necessários 25 caminhões
Didatismo e Conhecimento 22
MATEMÁTICA
PORCENTAGEM;
Porcentagem é uma fração cujo denominador é 100, seu símbolo é (%). Sua utilização está tão disseminada que a encontramos 
nos meios de comunicação, nas estatísticas, em máquinas de calcular, etc. A utilização da porcentagem se faz por regra de 3 simples. 
Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comissão sobre as vendas que faz. Se as vendas do mês de outubro forem de R$ 
3.500,00 qual será sua comissão? Equacionando e montando a regra de 3 temos:
Logo, a comissão será de R$ 105,00. Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definição: 
 Logo 3% de R$ 3.500,00 seriam 
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse 
valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela 
abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
 
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Didatismo e Conhecimento 23
MATEMÁTICA
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo. Assim, podemos escrever:
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo:
O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. 
O valor do preço de custo é:
a) R$ 25,00 d) R$ 80,00
b) R$ 70,50 e) R$ 125,00
c) R$ 75,00
Resolução
Ganho = lucro
Resposta: D
JUROS SIMPLES;
Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C i n, onde:
J = juros
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplicação devem ser referentes a um mesmo período. Ou seja, os dois devem 
estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que não pode ocorrer é um estar em meses e outro em anos, ou qualquer 
outra combinação de períodos.
Didatismo e Conhecimento 24
MATEMÁTICA
Dica: Essa fórmula J = C i n, lembra as letras das palavras “JUROS SIMPLES” e facilita a sua memorização.
Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser trabalhada de várias maneiras para se obter cada um de seus valores, 
ou seja,se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou seja, como exemplo se você souber o Juros (J), o Capital Inicial 
(C) e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso vale para qualquer combinação.
Montante
O Montante é a soma do Juros mais o Capital Inicial. Essa fórmula também será amplamente utilizada para resolver questões.
M = C + J
M = montante
C = capital inicial
J = juros
Exemplo
Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a opor-
tunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros 
mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de:
(A) 5,0%
(B) 5,9%
(C) 7,5%
(D) 10,0%
(E) 12,5%
Resposta Letra “e”. 
O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a primeira foi à vista. Sendo assim, o valor devido seria R$40 (85-45) e a 
parcela a ser paga de R$45.
Aplicando a fórmula M = C + J:
45 = 40 + J
J = 5
Aplicando a outra fórmula J = C i n:
5 = 40 X i X 1
i = 0,125 = 12,5%
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO E 
DO SEGUNDO GRAU;
Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam 
números desconhecidos.
Exemplo: 
Forma geral: , em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a 0. Dizemos 
que a e b são os coeficientes da equação ( , é a forma mais simples da equação do 1 grau)
Resolução de equação.
•	 Seguimos uma ordem determinada para facilitar a tarefa e não cometer erros.
•	 Parênteses são eliminados aplicando-se a propriedade distributiva.
•	 Denominadores são eliminados aplicando-se o m.m.c.
•	 Os termos x são agrupados em um membro e os termos independentes no outro.
Exemplos
1) Aplicando o procedimento:
Didatismo e Conhecimento 25
MATEMÁTICA
Eliminando o parênteses:
Suprimimos os denominadores:
2) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?
Solução:
Resposta: Esse número é 8.
Equação 2ºgrau
A equação do segundo grau é representada pela fórmula geral:
Onde a, b e c são números reais, 
Resolução da equação
1) 
Se for negativo, não há solução no conjunto dos números reais.
Se for positivo, a equação tem duas soluções:
Exemplo
 , portanto não há solução real.
Didatismo e Conhecimento 26
MATEMÁTICA
2) 
3) 
Se não há solução, pois não existe raiz quadrada real de um número negativo. Se , há duas soluções 
iguais:
Se , há soluções reais diferentes:
Exemplo
Didatismo e Conhecimento 27
MATEMÁTICA
NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA: 
TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS, 
POLÍGONOS, SEMELHANÇA, TEOREMA 
DE PITÁGORAS, ÁREAS E VOLUMES.
Triângulos
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais impor-
tante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.
Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
1. Vértices: A,B,C.
2. Lados: AB,BC e AC.
3. Ângulos internos: a, b e c.
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhan-
tes.
Se A~D e C~F então: ABC~DEF
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados 
também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2
Então ABC ~ EFG
Didatismo e Conhecimento 28
MATEMÁTICA
Exemplo
Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser “rodado” sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor 
de x será igual a 8. 
Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos. 
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são seme-
lhantes.
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados da medida dos catetos.
Área do triângulo
Didatismo e Conhecimento 29
MATEMÁTICA
Quadriláteros
Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais quadriláteros são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trape-
zóide.
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos:
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D.
- Os ângulos internos são A, B, C e D.
- Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medi-
das dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 
graus.
 
Classificação dos Quadriláteros
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os 
paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Área do quadrilátero
A=bxh
Onde b é a base
h =altura
Didatismo e Conhecimento 30
MATEMÁTICA
Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido 
com aquele de um circo).
- AB é paralelo a CD
- BC é não é paralelo a AD
- AB é a base maior
- DC é a base menor
Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:
- Retângulo: dois ângulos retos
- Isósceles: lados não paralelos congruentes
- Escaleno: lados não paralelos diferentes
Área do trapézio
Polígonos
Um polígono possui os seguintes elementos:
Didatismo e Conhecimento 31
MATEMÁTICA
- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: , , , , , .
- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , , , 
- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , .
- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , .
FUNÇÕES: TABELAS, GRÁFICOS,
 ESTATÍSTICAS.
Dado dois conjuntos A e B, função é a relação de A em B, em que a todo elemento de A está associado um único elemento de B. 
Esta relação é indicada pela notação:
Usamos para as funções a seguinte linguagem:
Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. Portanto, todo o conjunto A, ou seja, D = A.
Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. Portanto, 
todo conjunto B, ou seja, CD = B.
Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A, 
ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}.
Se f é uma função e f(x)=y, diremos que x é o domínio e y é sua imagem.
Para representar graficamente uma função, a maneira mais simples é fazer uma tabela com os valores de x e y.
Exemplo
1. Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir uma tabela fornecendo valores para x e, por meio da sentença f(x), 
obteremos as imagens y correspondentes.
x y = 2x – 1
–2 –5
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
3 5
Didatismo e Conhecimento 32
MATEMÁTICA
Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, vamos obter o gráfico correspondente à função f(x). 
2. Esboce o gráfico da função f(x)=x²-2x
x y
-3 15
-2 8
-1 3
0 0
1 -1
2 0
3 3
4 8
Estatísticas
A Estatística Descritiva lida com as formas de obter informações úteis a partir de um conjunto de dados, de forma a facilitar a 
resolução de problemas.
Ela o faz a partir demedidas resumo, gráficos e tabelas.
Possui uma grande quantidade de instrumentos de resumo que podem ser aplicados às diversas situações.
Didatismo e Conhecimento 33
MATEMÁTICA
Tipos de Variáveis
Qualitativas 
Medem uma qualidade, podendo ser:
•	 ordinais (possuem uma ordem natural),como, por exemplo, o índice de aprovação de um político: péssimo, ruim, regular, 
bom ou ótimo)
•	 nominais (não há uma ordem natural),como, por exemplo, o sexo de uma pessoa.
 Quantitativas
Medem uma quantidade, podendo ser:
•	 discretas (os possíveis valores são contáveis), como o número de alunos em uma sala ou o número de partículas no universo.
•	 contínuas (podem ser observados quaisquer valores dentro de um intervalo),como a altura de uma pessoa.
Existem dois tipos de métodos que podem ser utilizados, frequentemente de forma complementar:
•	 Métodos Gráficos ou Tabulares: Tabelas de Frequências, Gráficos de Setores, Gráficos de barras, etc.
•	 Métodos Numéricos: médias, variâncias, desvio-padrão, etc.
Tabela de Frequência
 Mostra a frequência com que cada observação aparece nos dados (também pode se referir a classes de observações).
•	 Frequência absoluta: número de eventos observados de um tipo
•	 Frequência relativa: dada em porcentagem (ou como fração). 
Gráfico de barras 
Usado para comparar quantitativos e formado por barras de mesma largura e comprimento variável, pois dependem do montante 
que representam. A barra mais longa indica a maior quantidade e, com base nela, é possível analisar como certo dado está em relação 
aos demais.
Gráfico de Setor
 Útil para agrupar ou organizar quantitativamente dados considerados de um total. A circunferência representa o todo e é dividida 
de acordo com os números relacionados ao tema abordado. Também conhecido como gráfico pizza.
Didatismo e Conhecimento 34
MATEMÁTICA
GRAU, QUADRÁTICA, EXPONENCIAL
 E LOGARITMOS.
Função 1 grau
A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a 
função f(x) = ax + b.
Note que para definir a função do 1° grau, basta haver uma expressão algébrica do 1° grau. Como dito anteriormente, o objetivo 
da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.
x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1
x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2
Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, consti-
tuídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção 
de gráficos das funções.
Portanto, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construção de um gráfico e a 
manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.
Estudo dos Sinais
Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de for-
mação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. 
Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da 
imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e 
caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente.
Função Crescente – a > 0
Função Decrescente – a < 0
Didatismo e Conhecimento 35
MATEMÁTICA
Raiz da função
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a 
zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
Podemos estabelecer uma formação geral para o cálculo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma generalização com 
base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). Veja:
y = ax + b
y = 0
ax + b = 0
ax = –b
x = –b/a
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 1º grau, basta utilizar a expressão x = –b/a.
Função Quadrática
Em geral, uma função quadrática ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma:
, onde 
É essencial que apareça ax² para ser uma função quadrática e deve ser o maior termo.
Considerações
Concavidade
A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0
Relação do na função
Quando , a parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x
1
,0) e (x
2
,0), onde x
1
 e x
2
 são raízes 
da equação ax²+bx+c=0
Quando , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto 
Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais a .
Se , a parábola y=ax²+bx+c não intercepta o eixo.
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade 
voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Didatismo e Conhecimento 36
MATEMÁTICA
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
 
Didatismo e Conhecimento 37
MATEMÁTICA
2ª quando a < 0,
a < 0
Exemplo
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim 
obtidos.
Didatismo e Conhecimento 38
MATEMÁTICA
Função exponencial
A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e 
diferente de 1 e o expoente é uma variável.
Função crescente
Se temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos 
que a curva da função é crescente.
Função decrescente
Se temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.
Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função 
é decrescente.
A Constante de Euler 
É definida por :
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
Didatismo e Conhecimento 39
MATEMÁTICA
O valor deste número expresso com 10 dígitos decimais, é: 
e = 2,7182818284 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 
ex = exp(x)
Propriedades da função exponencial
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:
•	 ax ay= ax + y
•	 ax / ay= ax - y
•	 (ax) y= ax.y
•	 (a b)x = ax bx
•	 (a / b)x = ax / bx
•	 a-x = 1 / ax 
Função Logarítmica
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada equação logarítmica. Abai-
xo temos alguns exemplos de equações logarítmicas:
log2 x = 3
logx = 100 = 2
7 log5 = 625x = 42
3log2x 64 = 9
log−6−x 2x = 1
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um logaritmo. Para solucionarmos 
equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos logaritmos.
Solucionando Equações Logarítmicas
Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira: log
2
 x = 3
Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: log
2
 x = 3 ⇔ 23 = x
Logo x é igual a 8:23 = x ⇒ X = 2.2.2 ⇒ x= 8
De acordocom a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 é um número real positivo, 
podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome de condição de existência.
log
x
 100 = 2
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. Então a nossa condição de 
existência da equação acima é que:
x ∈R+* − {1}
Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença: log
x
 100 = 2 ⇔ x2 = 100
Que nos leva aos seguintes valores de x:
x2 = 100⇒ x = ± 100⇒ x = −10x = 10
⎧
⎨
⎩
Didatismo e Conhecimento 40
MATEMÁTICA
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de existência, já que -10 é um 
número negativo.
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a condição de existência, visto 
que 10 é positivo e diferente de 1.
7log
5
 625x = 42
Neste caso temos a seguinte condição de existência:
625x > 0⇒ x > 0625⇒ x > 0
Voltando à equação temos:
7 log5 625x = 42⇒ log5 625x =
42
7 ⇒ log5 625x = 6
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos temos: Como 25 satisfaz a 
condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos 
também podemos resolver este exercício assim:
⇒ log5 x=2 ⇔ 52 = x ⇒ x = 25
Lembre-se que log
b
(M.N) = log
b
 M + log
b
 N e que log5 625 = 4, pois 5
4 = 625.
3log
2x
64 = 9
Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa: 
2x > 0⇒ x > 02⇒ x > 0
E, além disto, temos também a seguinte condição:
2x ≠ 1⇒ x ≠ 12
Portanto a condição de existência é: x ∈R+* −
1
2
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição de existência da equação 
logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior, este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra 
propriedade dos logaritmos: log
-6-x 
2x = 1
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos verificar quais são as condi-
ções de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x:
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e não pode ser solução da 
equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência do logaritmando 2x:
2x > 0 ⇒ x > 0
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero que você veja. O que eu quero 
que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor 
que -6 é também maior que 0?
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que seja maior que zero, então 
sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas 
condições simultaneamente. O conjunto solução da equação é portanto S = {}, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça 
as condições de existência da equação.
Didatismo e Conhecimento 41
MATEMÁTICA
Função Logarítmica
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f
0
(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, lnx) pois a ordenada é 
sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
O domínio da função ln é R+* =]0,∞[ e a imagem é o conjunto R+* =]− ∞,+∞[ . O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da 
função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta x=0
O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando comparado ao gráfico de y=ln 
x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma função logarítmica cuja expressão é dada por y=f
1
(x)=ln 
x+k, onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando 
comparado ao gráfico da função inicial y=f
0
(x)=ln x ? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y=f
2
(x)=a.ln x onde a é uma constante real, a ≠ 
0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a 
consideração de funções logarítmicas do tipo y=f
3
(x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe 
seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos.
y=a.ln(x+m)+k 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f
4
(x) = a In (x + m) + k, onde o coeficiente a não 
é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f
0
 (x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, 
y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, finalmente, y=a.ln(x+m)+k.
Analisemos o que aconteceu: 
- em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o papel que x=0 exercia em 
y=ln x; 
- a seguir, no gráfico de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada é igual àquela do ponto de 
mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- por fim, o gráfico de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada abscissa, as ordenadas dos 
pontos do gráfico de y=a.ln(x+m)+k ficaram acrescidas de k, quando comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m). 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a 
serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.
Função logarítmica de base a é toda função f : +* →  , definida por f (x) = loga x com a∈ +* e a ≠ 1 .
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a denominamos função loga-
rítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, mas sim um número real.
A função logarítmica de  +
* →  é inversa da função exponencial de →  +* e vice-versa, pois:
Didatismo e Conhecimento 42
MATEMÁTICA
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a função exponencial, ou seja, 
escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano 
cartesiano e traçamos a curva do gráfico. Vamos representar graficamente a função f(x) = log x e como estamos trabalhando com um 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10:
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2.
Temos então a seguinte tabela:
x y = log x
0,001 y = log 0,001 = -3
0,01 y = log 0,01 = -2
0,1 y = log 0,1 = -1
1 y = log 1 = 0
10 y = log 10 = 1
Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos 
através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca 
chegam a estar. Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no 
valor de y. Por exemplo, se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque:
f (100) = log100 = 2
f (1000000) = log1000000 = 6
⎧
⎨
⎩
Função Crescente e Decrescente
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser classificadas como função crescen-
te ou função decrescente.Isto se dará em função da base a ser maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função 
logarítmica f : +* →  , definida por f(x) = Loga x, temos que e a > 0 e a ≠ 1
Didatismo e Conhecimento 43
MATEMÁTICA
Função Logarítmica Crescente
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No gráfico da função ao lado 
podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente. 
Também podemos observar através do gráfico, que para dois valor de x (x
1
 e x
2
), que loga x2 > loga x1⇔ x1 > x2 , isto para x1, x2 e a 
números reais positivos, com a > 1.
Função Logarítmica Decrescente
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar 
que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente. No gráfico também obser-
vamos que para dois valores de x (x
1
 e x
2
), que loga x2 < loga x1⇔ x2 > x1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a 
< 1. É importante frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo 
das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o loga x2 = loga x1⇔ x2 = x1 , isto para x1, x2 e a 
números reais positivos, com a ≠ 1.
MATRIZES. DETERMINANTES.
Chama-se matriz do tipo m x n, m ÎN* e nÎN*, a toda tabela de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
Indica-se a matriz por uma letra maiúscula e colocar seus elementos entre parênteses ou entre colchetes como, por exemplo, a matriz 
A de ordem 2x3.
Didatismo e Conhecimento 44
MATEMÁTICA
Representação da matriz
Forma explicita (ou forma de tabela)
A matriz A é representada indicando-se cada um de seus elementos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o 
primeiro indica a linha a que pertence o elemento: o segundo indica a coluna a que pertence o elemento, isto é, o elemento da linha 
i e da coluna j é indicado por ij.
Assim, a matriz A
2 x 3
 é representada por:
Forma abreviada
A matriz A é dada por (aij)m x n e por uma lei que fornece aij em função de i e j.
A=(aij)2 x 2, onde aij=2i+j
Portanto, 
Tipos de Matriz
Matriz linha
Chama-se matriz linha a toda matriz que possui uma única linha.
Assim, [2 3 7] é uma matriz do tipo 1 x 3.
Matriz coluna
Chama-se matriz coluna a toda matriz que possui uma única coluna.
Assim, é uma matriz coluna do tipo 2 x 1.
Matriz quadrada
Chama-se matriz quadrada a toda matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada A do 
tipo n x n é dita matriz quadrada de ordem n e indica-se por An. Exemplo:
Didatismo e Conhecimento 45
MATEMÁTICA
a) Diagonais
b) Diagonal principal é a sequência tais que i=j, ou seja, (a
11
, a
22
, a
33
,..)
c) Diagonal secundária é a sequência dos elementos tais que i+j=n+1, ou seja, (a
1n
, a
2 n-1
,...)
Matriz diagonal
Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz diagonal se, e somente se, todos os elementos que não pertencem 
à diagonal principal são iguais a zero.
Matriz identidade
Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz identidade se, e somente se, os elementos da diagonal principal são 
iguais a um e os demais são iguais a zero.
 
Matriz nula
É chamada matriz nula se, e somente se, todos os elementos são iguais a zero.
Matriz Transposta
Dada a matriz A=(aij) do tipo m x n, chama-se matriz transposta de A a matriz do tipo n x m.
 
Didatismo e Conhecimento 46
MATEMÁTICA
Adição de Matrizes
Sejam A= (aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a soma de A com B, e indica-se por A+B.
Dada as matrizes:
 
, portanto 
Propriedades da adição
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
Elemento neutro: A + O = O + A = A 
Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O 
Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt
Subtração de matrizes
Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a diferença A-B, se, e somente se, C=A+(-B).
 
Multiplicação de um número por uma matriz
Considere:
Multiplicação de matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada 
elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se 
os produtos assim obtidos.
Didatismo e Conhecimento 47
MATEMÁTICA
Dada as matrizes:
 
Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se, 
Exemplo:
Determine a matriz inversa de A.
Solução
Seja 
Temos que x=3; y=2; z=1; t=1
Logo, 
Determinante
Dada uma matriz quadrada, chama-se determinante o número real a ela associado.
Didatismo e Conhecimento 48
MATEMÁTICA
Cálculo do determinante
Determinante de ordem 1
Determinante de ordem 2
Dada a matriz 
O determinante é dado por:
Determinante de ordem 3
Regra 1: 
Repete a primeira e a segunda coluna
Regra 2
detA= a
11
 a
22
 a
33 
+ a
12
 a
23
 a
31 
+ a
32
 a
21
 a
13 
- a
31
 a
22
 a
13 
-a
12
 a
21
 a
33 
- a
32
 a
23
 a
11
Cofator ou Complemento algébrico
Em geral, para uma matriz quadrada A=(aij) de ordem n, chama-se cofator do elemento aij, e indica-se por Aij, ao produto de (-1)
i+j ×detA
.
Exemplo
Sendo A










−
−
031
312
413
, temos:
A
11
=(-1)1+1.M
11
=(-1)2. 
03
31
=-9
Didatismo e Conhecimento 49
MATEMÁTICA
A
12
=(-1)1+2.M
12
=(-1)3. 
01
32
−
=-3
A
33
=(-1)3+3.M
33
=(-1)6. 
12
13 −
=5
Determinante de uma Matriz de Ordem n
Definição.
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Então:
- Para n = 1
A=[a
11
] ⇒ det A=a 11
- Para n ≥ 2:
A= ∑
=
=⇒












n
j
jj
nnnn
n
n
AaA
aaa
aaa
aaa
1
11
21
22221
11211
.det
...
.......................
...
....
ou seja:
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz 
pelos respectivos co-fatores.
Exemplos
1º) Sendo A =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ , temos:
detA=a11.A11+a12.A12, onde:
A11=(-1)
1+1.|a
22
|=a
22
A12=(-1)
1+2.|a
21
|=a
21
Assim:
detA=a
11
.a
22
+a
12
.(-a
21
)
detA=a11.a22-a21.a12
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.
− Sendo A =
3 0 0 0
1 2 3 2
23 5 4 3
−9 3 0 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
,temos :
Didatismo e Conhecimento 50
MATEMÁTICA
detA = 3.A11 + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14
zero
  
A
11
=(-1)1+1. 










203
341
232
=-11
Assim:
detA=3.(-11)⇒ det A = -33
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado.
Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n⇒ 2, seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou 
coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.
Exemplo
Sendo A=












− 0223
0014
0123
2105
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator.
Assim:
detA=2.A14
+0.A
24
+0.A
34
+0.A44
A
14
=(-1)1+4










− 223
014
123
=+21
detA=2.21=42
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de 
ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes 
de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo.
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros.
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace.
 
Exemplo
Calcule det A sendo A=












−
−
3643
2132
1210
1321
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda 
três co-fatores.
Didatismo e Conhecimento 51
MATEMÁTICA
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A
31
=-2 e A
41
=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando 
a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:
A=












−−
−
0320
4770
1210
1321
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:
detA=1.(-1)1+1. 










−−
−
032
477
121
=










−−
−
032
477
121
Aplicamos a regra de Sarrus,
det A=(0-16-21)-(-14+12+0)
detA=0-16-21+14-12-0=-49+14
detA=-35
Uma aplicação do Teorema de Laplace
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isso 
desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular 
superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. 
Assim:
1ª) A é triangular superior
A=
















nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
...000
...............
...00
...0
....
333
22322
1131211
detA=a
11
.a
22
.a
33
. ... .ann
2ª) A é triangular inferior
A=
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
...
...............
...
...0
....
321
3333231
22221
1131211
detA=a
11
.a
22
.a
33
. ... .ann
Didatismo e Conhecimento 52
MATEMÁTICA
In=
















1000
0100
0010
0001





det/n=1
Determinante de Vandermonde e Regra de Chió
Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, 
na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e 
assim sucessivamente.
Exemplos
1º) Determinante de Vandermonde de ordem 3
222
111
cba
cba
2º) Determinante de Vandermonde de ordem 4
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.
Propriedade
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos 
característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante.
Exemplo
Calcule o determinante:
detA =
1 2 4
1 4 16
1 7 49
Sabemos que detA=detAt, então:
detAt =
1 1 1
2 4 7
1 16 49
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:
detA=(4-2).(7-2).(7-4)=2.5.3=30
Didatismo e Conhecimento 53
MATEMÁTICA
Propriedades dos Determinantes
P1. O determinante da matriz A é igual ao determinante da sua transposta.
P2. Se todos os elementos situados acima ou abaixo da diagonal principal de A forem iguais a zero, o determinante de A será igual 
ao produto dos elementos da diagonal principal.
P3. Se B é a matriz obtida de A quando uma fila de A é multiplicada por uma constante k, então:DetB=k.detA
P4.Se B é a matriz que se obtém da matriz A quando se trocam entrei si posições de duas filas paralelas, então detB=-det A.
P5. (Teorema de Binet) Se a e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então o determinante do produto de A por B é igual 
ao produto dos determinantes de A e B, isto é: det(AB)=(detA).(detB)
SISTEMA LINEAR.
Equações Lineares
Equação linear é toda equação do tipo a
1
x
1
 + a
2
x
2
 + a
3
x
3
+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, x3,.., xn são 
as incógnitas.
Os números reais a
1
, a
2
, a
3
,.., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente.
Exemplos
- São equações lineares:
x
1
 - 5x
2
 + 3x
3
 = 3
2x – y + 2z = 1
0x + 0y + 0z = 2
0x + 0y + 0z = 0
- Não são equações lineares:
x3-2y+z = 3
(x3 é o impedimento)
2x
1
 – 3x
1
x
2
 + x
3
 = -1
(-3x
1
x
2
 é o impedimento)
2x
1
 – 3 
2x
3 + x
3
 = 0
(
2x
3 é o impedimento)
Observação: Uma equação é linear quando os expoentes das incógnitas forem iguais a l e em cada termo da equação existir uma 
única incógnita.
Solução de ama Equação Linear
Uma solução de uma equação linear a
1
xl +a2x2 +a3x3+...anxn = b, é um conjunto ordenado de números reais α1, α2, α3,..., αn para 
o qual a sentença a
1
{α
1
) + a
2
{αa
2
) + a
3
(α
3
) +... + an(αn) = b é verdadeira.
Exemplos
- A terna (2, 3, 1) é solução da equação:
x
1
 – 2x2 + 3x3 = -1 pois:
(2) – 2.((3) + 3.(1) = -1
- A quadra (5, 2, 7, 4) é solução da equação: 
0x
1
 - 0x
2
 + 0x
3
 + 0x
4
 = 0 pois:
0.(5) + 0.(2) + 0.(7) + 0.(4) = 0
Didatismo e Conhecimento 54
MATEMÁTICA
Conjunto Solução 
Chamamos de conjunto solução de uma equação linear o conjunto formado por todas as suas soluções.
Observação: Em uma equação linear com 2 incógnitas, o conjunto solução pode ser representado graficamente pelos pontos de 
uma reta do plano cartesiano.
Assim, por exemplo, na equação
2x + y = 2
Algumas soluções são (1, 0), (2, -2), (3, -4), (4, -6), (0, 2), (-1,4), etc.
Representando todos os pares ordenados que são soluções da equação dada, temos:
Equação Linear Homogênea
Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente for nulo.
Exemplo
2x
1
 + 3x
2
 - 4x
3
 + 5x
4
 - x
5
 = 0
Observação: Toda equação homogênea admite como solução o conjunto ordenado de “zeros” que chamamos solução nula ou 
solução trivial.
Exemplo
(0, 0, 0) é solução de 3x + y - z – 0
Equações Lineares Especiais
Dada a equação:
a
1
x
1
 + a
2
x
2
 +a
3
x
3
+...anxn = b, temos:
- Se a
1
 = a
2
 = a
3
 =...= na = b = 0, ficamos com:
0x
1
 + 0x
2
 +0x
3
 +...+0xn, e, neste caso, qualquer seqüências (α1, α2, α3,..., αn) será solução da equação dada.
- Se a
1
 = a
2
 = a
3
 =... = an = 0 e b ≠ 0, ficamos com:
0x
1
 +0x
2
 + 0x
3 
+...+0xn= b ≠0, e, neste caso, não existe seqüências de reais (α1, α2, α3,...,αn) que seja solução da equação dada.
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o conjunto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simultaneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Um par (α
1
, α
2
) é solução do sistema linear 2 x 2 se, e somente se, for solução das duas equações do sistema.
Didatismo e Conhecimento 55
MATEMÁTICA
Exemplo
(3, 4) é solução do sistema
x − y = −1
2x + y = 10
⎧
⎨
⎩
pois é solução de suas 2 equações: 
(3)-(4) = -l e 2.(3) + (4) = 10
Resolução de um Sistema 2 x 2
Resolver um sistema linear