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Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4 4 16 26 34 18 28 366 10 20 28 38 12 22 30 40 14 24 32 40 Teoria dos Conjuntos Relações Métricas no Triângulo Retângulo Ponto Reta e Plano Matriz: conceito, igualdade e operações Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Perímetro e área de figuras planas Matriz: operações e aplicações Operações com Conjuntos Conjuntos Numéricos Arcos - Ângulos e comprimento de arcos Perímetro e área de figuras planas Determinantes: conceito e resolução Números Complexos Relações trigométricas fundamentais na Circunferência Polígonos regulares no cotidiano Sistemas Lineares (conceito e classificação) Operações entre Números Complexos Relações trigométricas - Identidades Trigonométricas Congruências e semelhanças de figuras planas Sistemas Lineares (conceito e classificação) Fi ch a 1 Fi ch a 2 Fi ch a 3 Fi ch a 4 Fi ch a 5 4 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de grupo, coleção ou clas-se e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. Vamos aqui começar a visualizar esses elementos que constituem conjuntos, observando situações que estão presentes em nosso dia-a-dia. Teoria dos CONJUNTOS 2. Nomeando 1. Diagrama O qUe é Um CONJUNTO? n Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e nomeamos seus elementos entre chaves. Exemplo: V= {a, e, i, o, u} n Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma idéia de que está associada à coleção de objetos, reunião ou grupo de pessoas,etc. Como é que se representa um conjunto? Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, entre as quais três são mais usuais: Representamos um conjunto por diagramas (cur- vas fechadas) e no seu interior colocamos seus ele- mentos. 3. Propriedade característica n Representamos um conjunto por meio de uma propriedade caracte- rística de seus elementos, sem no- meá-los Exemplo: V= {vogais do alfabeto} ou V= {x/x é vogal} n A maneira de representar um conjunto não é importante. O que importa é que fique evidente o con- junto e os elementos que queremos representar. n A propósito, entre um elemento x qualquer e um conjunto A qualquer existem duas e somente duas possi- bilidades de relacioná-los. 1ª Possibilidade O elemento x é um dos elementos que constitui o conjunto A. Usando símbolos: X ∈ A → X pertence a A 2ª Possibilidade O elemento x não é um dos elemen- tos que constitui o conjunto A. Usan- do símbolos: X ∉ A → X não pertence a A Sendo o conjunto M: podemos dizer que : 4 ∈ M 5 ∉ M dó D V fásol lá ré misí Conjunto de carros Conjunto de casas Conjunto de árvores Conjunto de pessoas a u e o i n Um conjunto qualquer é forma- do por elementos. Da mesma for- ma que conjuntos, elementos são entes matemáticos primitivos, por- tanto sem definição. 4, 7, 9, 11, 13 M Frente Ficha 01 01 www.portalimpacto.com.br 5n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br 4. Conjunto vazio 5. Subconjunto 1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analo- gamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los: 2. Consideremos o conjunto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos for- mar o conjunto H, de todos jogadores da Seleção, e o conjunto M, de toda a comissão técnica. 3. Dizemos que os conjuntos H e M são Subconjuntos de B. 4. Se um subconjunto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B. n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não possui elementos? ∅ ou { } Cuidado: {∅} ≠ ∅ n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes não possui elementos. n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina... A B U 6. Conjunto Universo n O conjunto Universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elemen- tos desse estudo. Graficamente, o Universo será representado por um retângulo envol- vendo os outros conjuntos. Indicamos esses fatos por: H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”) M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”) T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”) Propriedades importantes: P1. O conjunto vazio é subconjunto de qual- quer conjunto. P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. A ⊂ B e B ⊂ A então A = B + + 6 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br 2. A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f} Resp. A - B = {a, b} 3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {2, 4, 6} Resp. A - B = {8, 10} D ados os conjuntos A e B, quais-quer, chama-se união ou reu-nião de A com B, ao conjunto formado pelos elementos que perten- cem ao conjunto A ou ao conjunto B. Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B” Operações com C O N J U N TO S Portanto: Exemplos: A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} Utilizando diagramas temos: Observe nos diagramas a seguir que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A Note nos diagramas como ficará a união de dois conjuntos disjuntos: a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8}, então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8} b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, en- tão: A ∪ B = {0, 2, 6, 8} c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, en- tão: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Intersecção entre conjuntos Diferença entre conjuntos União entre conjutos n Dados dois conjuntos A e B, chama- mos Diferença A – B ao conjunto forma- do pelos elementos de que pertencem a A e não pertencem a B. A - B = { x / x ∈ A e x ∉B} Os conjuntos A e B, vamos efetuar a di- ferença A - B. A região assinalada nos diagramas representa a diferença. 1. A = {1, 2, 3, 4} B = {7, 8, 9} Resp. A - B = A A B A B A 8 9 7 1 3 2 4 B A a e b f B c d A 8 6 42 10 B Intersecção n Dados dois conjuntos A e B chama- se Intersecção entre A e B ao conjunto formado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que per- tencem ao conjunto A e ao conjunto B. A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B} n Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B: A B A B A B B A Observação: Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem ele- mentos comuns, isto é, A ∩ B = ∅. Frente Ficha 01 02 www.portalimpacto.com.br 7n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br 4. A = {8, -8, 6, -6} B = Ø Resp. A - B = A Complementar Quando dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B, dá-se o nome de comple- mentar de A em B à diferença B – A. Observe o diagrama. A região assinala- da representa o complementar de A em B, que indicamos por A ⊂ B ⇒ = B - A Operações com intervalos Considere os conjuntos A e B e analise cada uma das operações: 1. União ou reunião: 2. Interseção: 3. Diferença: a a c b d d A B a c c b d b A B a a c b d c A - B + +BA A - 8 - 8 6 6 Observação: quando nos referimos ao complementar de um conjunto A em relação ao Universo U, utilizamos simplesmente o símbolo A’ ou A. Intervalos Podemos representar o conjunto dos números reais as- sociando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. Assim, se convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para esta reta, teremos aquela quedenominamos por Reta Real. 2 3-2 -1 20 1 2 p q p q Intervalo fechado à direita Números reais maiores que p e me- nores ou iguais a q. Intervalo:] p, q] Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q} Intervalo fechado à esquerda Números reais maiores ou iguais p e menores que q. Intervalo: [p, q[ Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q} p q p q Exemplos: 1. A = {23, 24} B = {21, 22, 23, 24, 25} 2. A = {x / x é par positivo} B = {x / x é inteiro positivo} = {1, 3, 5, 7, 9,...} Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contí- nuo de IR. Dados p e q reais (p < q), podemos definir os intervalos: Intervalo fechado Números reais maiores ou iguais a p ou menores ou iguais a q. Intervalo: [p, q] Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q} Intervalo aberto Números reais maiores que p e me- nores que q. Intervalo: ]p, q[ Conjunto: {x ∈ IR p < x < q} A∩B 8 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br É toda relação estabelecida entre conjuntos. Para isso utilizaremos os símbolos de inclusão. ⊂ Está Contido ⊄ Não Está Contido ⊃ Contém ⊃ Não Contém Relação de INCLUSÃO Observação: é importante não esquecer que a Relação de Inclusão só será utilizada para relacionar Conjunto com Conjunto. Exemplo: No exemplo dado temos: Exemplo: Contextualizando com a Geografia Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos: Então, observe que nesse caso, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Logo, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B. Indicamos que A está contido em B da seguinte maneira: A ⊂ B. Se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A e indicar: B ⊃ A. Considerando os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, obser- vamos que nem todos os elemen- tos de A pertencem a B. Amazônia Legal Amazonas, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará, Tocantins, maranhão e mato Grosso Região Norte Amazonas, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará, Tocantins Nesse caso, dizemos que A não está contido em B e indica- mos: A ⊄ B. Também podemos dizer que B não contém A e indicar: B ⊃ A Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é: A ⊂ A. E o Conjunto Vazio é subconjunto de qualquer con- junto, isto é, Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A. Conjuntos Iguais Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é igual a B, se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ou seja, quando possuem os mesmos elementos, independentemente da maneira que apareçam escritos no conjunto. Notação: A = B Lê-se: o conjunto A é igual ao Conjunto B. Conjuntos das partes de um conjunto Consideremos o conjunto A = {3, 5, 7}, vamos formar todos os seus possíveis subconjuntos: Sem elementos Ø conjunto vazio Com um elemento {3}, {5}, {7} Com dois elementos {3, 5}, {3, 7}, {5,7} Com três elementos {3, 5, 7} Denominamos conjunto das par- tes de um conjunto A, não-vazio, ao conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A. P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}} B A .1 .2 .4 .5.3 Frente Ficha 01 2.1 www.portalimpacto.com.br 9n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br + + Exemplos: Operações com conjuntos É importante observar que esses subconjuntos do conjun- to A são elementos do conjun- to P(A). Então é correto afirmar que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A). Observação: O número de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é dado por 2n. então: n[P(A)] = 2n 1. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de A, sabendo que A tem 4 elementos. Resolução: n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24 portanto n[P(A)] = 16 elementos 2. Determine o conjunto das par- tes do conjunto B = {1 , 3}. Resolução: Não possua elementos ∅ Possua um elemento {1}, {3} Possua dois elementos {1, 3} P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}} 3. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de B, sabendo que B tem 2 elementos. Resolução: n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22 portanto n[P(B)] = 4 elementos Comentários: Aplicações no dia-a-dia n Vejamos então, como seria para se obter o número de elementos da união de dois conjuntos. n Vamos imaginar então dois grupos de executivos de uma empresa, que chamaremos de “A” e “B”. Uma parte desses execu- tivos estão defendendo a proposta A, outra parte a proposta B e um número deles que acham que ambas as propostas são boas. O diagrama a seguir representa esta situação, na forma de dois conjuntos A e B, e a união A ∪ B pode ser representada pela figura toda. Sérgio José Rita Ruy João Beto 10 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br N úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nosso dia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão pre-sentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo. Neste Capítulo estudaremos a classificação dos números bem como os intervalos reais. Conjuntos NUméRICOS COnjUnTO DOS núMEROS nATURAIS COnjUnTO DOS núMEROS InTEIROS COnjUnTO DOS núMEROS RACIOnAIS (Q) É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos. n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos. É uma expansão do conjunto dos números naturais. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} N Para excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamos o + (mais). Deste modo: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos. Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos. Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos. Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos. Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos. É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador não-nulo). De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q * + e Q * - Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são: A) números inteiros Todo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos: a) 5 10 155 1 2 3 , portanto -5 ∈Q. b) 0 0 0 0 1 2 3 , portanto 0 ∈Q. c) 7 14 21 7 1 2 3 , portanto 7 ∈ Q. z z Frente Ficha 01 03 www.portalimpacto.com.br 11n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br B) Frações próprias, impróprias e números mistos Observe os exemplos: 3 4 1 a) 5 2 3 , , 3 Q C) números decimais exatos Número decimal exato é aquele que apresenta um número finito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos: D) Dízimas periódicas simples e compostas Dízimas são números decimais que apresentam infinitas casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quan- do, após a vírgula, apresentam repetição de um número infinitas vezes. Este número é chamado período. Observe alguns exemplos: , portanto. Esta dízima é chamada periódi- ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos a presença do período 2. , portanto. Esta dízima é chamada periódica composta, pois após a vírgula percebemos a presença do número 3 (pré-período) antes do período 2. COnjUnTO DOS núMEROS IRRACIOnAIS (R - Q) OU I. COnjUnTODOS núMEROS REAIS (R) núMEROS COMPLEXOS (C) a) 0,20 = b) 1,35 = , portanto 0,2 ∈ Q , portanto 1,35 ∈ Q = = 2 10 135 100 1 5 27 20 a) 0,222... = 2 9 b) 0,322... = 29 20 Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é, são números decimais que apresentam infinitas casas deci- mais, porém não possuem período. São números que não resultam da divisão entre dois números inteiros. Os números irracionais mais famosos são: a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795... b) O número de Euler. e = 2,78281828459045235360287471352 Podemos obter números irracionais extraindo raízes não- exatas como segue: c) d) Chama-se número real a qualquer número racional ou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos nú- meros racionais e o conjunto dos números irracionais. R = Q ∪ I De modo análogo ao proposto para os conjuntos dos números racionais, temos R*, R+, R-, R * + e R * - . O conjunto dos números comple- xos é uma expansão do conjunto dos números reais e foi criado com o surgimento da unidade imaginá- ria i cujo valor é -1. Esta unidade imaginária solucionou problemas como o cálculo de raízes quadra- das de números negativos, veja: -9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i 2 = 1,4142135623730950488016887242097... 2 = 1,7099759466766969893531088725439...3 Q R Z n R - Q ORIgEM DOS núMEROS COMPLEXOS Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimen- tos gerais para resolução de equações algébri- cas de terceiro e quarto grau. + + 12 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br Números COmPLeXOS N enhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assim, a raiz quadrada de um núme- ro negativo é uma operação impossível. Como lidar com esses números, já que não existem? Cardano em 1539 deparou-se com eles ao tentar resolver equações algébricas. Apareceram como raízes de equações e por isso foram chamados de números. Cardano resolveu o impasse lidando com eles como se fossem números reais. mas quem desvendou o mistério foi Gauss, criando uma unidade imaginária i cujo quadrado seria -1 e dando aos números uma estrutura algébrica. Como resultado dessa descoberta fundamental os números complexos preencheram todos os vazios. Tornaram-se os números por excelência, contendo em si todos os demais. os números “escondem” as suas identidades, somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato significado de um número depende do contexto em que está inserido. 1. INTRODUÇÃO Resolva, em C, a equação do 2º grau. UNIDADe ImAGINÁRIA (i) 2 2 2 a 1 x 4x 5 0 b 4 c 5 b 4.a.c 4.1.5( 4) 16 20 4 = − + = = − = ∆ = −− ∆ = − bx 2a ( 4) 4x 2.1 4 4x 2 = = ± −= − − ± − O conjunto dos números complexos é formado por todos os números da forma z = a + b . i, veja: C = {z | z = a + bi}, com a, b ∈ R e Onde: a é a parte real de z → a = Re(z) b é a parte imaginária de z → b = Im(z) exemplo: 1. Identifique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir: a) z1 = -3 + 2i é chamado imaginário Solução: a) = Re(z1) = -3 b) = Im (z1) = 2 b) z3 = 7i é chamado imaginário puro Solução: a) = Re(z3) = 0 b) = Im (z3) = 7 c) z4 = 5 é chamado real Solução: a) = Re(z4) = 5 b) = Im (z4) = 0 O número i é chamado unidade imaginária e: 2i = Cálculo de -1 ou i = -1 -4 -4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i 4 2ix 2 2.(2 i)x 2 x 2 i V {2 i, 2 i} ±= ±= = ± ⇒ = + − i 1= − 2. CONJUNTO DOS COmPLeXOS Observações: a) se b = 0, então z é real b) se b ≠ 0 , então z é imaginário c) se a = 0 e b ≠ 0, então z é imaginário puro d) todo número real é um complexo em que b = 0, portanto R ⊂ C . e) dizemos que a + bi é a forma algébri- ca do número complexo z f) podemos representar um número complexo z = a + bi, pelo par ordena- do z = (a, b) , veja: z1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2) z2 = 5i → z2 = (0, 5) z3 = 4 → z3 = (4, 0) + + Frente Ficha 01 04 www.portalimpacto.com.br 13n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais respectivamente. exemplo: Determine os valores de x e y em cada caso, de modo que os números complexos z = 3x +yi e w = 9 - 4i sejam iguais. Solução: Portanto para que se tenha a igualdade proposta devemos ter x = 3 . 1 2z z a c e b d a bi c di = = =+ = + 3x 9 e y 4 9x 3 x 3 = = = = − Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z, ao complexo exemplo: Determine o conjugado de cada número complexo a seguir: a) z1 - 5 + 2i b) Solução: Solução: Observação: um complexo e seu conjugado possuem partes imaginárias simétricas z a bi= − 3 4z i 3 = 1z 5 2i 3 4 z i 3 5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo 5.2 Adição entre Complexos 5.3 Subtração entre Complexos 5.4 Multiplicação entre Complexos exemplo: Dados os complexos z1 = 1 - 2i e z2 = -4 + i, determine: a) 3 . z1 b) - 2 . z2 Solução: Solução: 3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i Observações: a) Dado um número complexo z = a + bi, chama-se OPOSTO de z ao complexo -z = -a - bi. exemplo: a) z1 + z2 Dados os complexos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine: Solução: z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i b) z1 - z2 Solução: z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i c) z1 . z2 Solução: z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i 2 = 8 + 18 z1 . z2 = 26 A trigometria e os números complexos É mais fácil trabalhar com uma função exponencial do que com um cosseno. Então o truque todo é representar nos- sas funções oscilatórias como a parte real de certas funções complexas. Ago- ra uma força assim, F = F0 - cosωt, pode ser escrita como a parte real de um nú- mero complexo F = F0eiωt, pois eiωt = cosωt + isenωt 3. IGUALDADe eNTRe COmPLeXOS 4. CONJUGADO De Um COmPLeXO 5. OPeRAÇõeS eNTRe COmPLeXOS + + 14 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br Operações entre números COmPLeXOS DIvISÃO eNTRe COmPLeXOS n Para efetuar a divisão por um número complexo multiplicamos o numerador (dividendo) e o denomi- nador (divisor) pelo conjugado do denominador. Observação: a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju- gado é igual ao real a2 + b2. Se z = 2 + 3i, então exemplo: n Dados os complexos: z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine: a) Solução: b) Solução: POTêNCIAS De i n Veja algumas potências de i: n Por isto podemos afirmar que para n ≥ 4 tem-se in = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4. exemplo: n Calcule as seguintes potências de i: a) i91 Solução: i91 = i3 = -i z a bi= - 1 2 z z 2z 3z 91 4 -3- 22 O primeiro a constatar a natureza estranha desses números foi Girolamo Car- dano, (1501-1576), Cardano publicou um tratado de ál- gebra intitulado Ars Magna, onde apresentou exemplos de números complexos que chamou de “ficticios”. A representação geométri- ca dos números complexos foi proposta por vários au- tores, sendo o mais cita- do Jean Robert Argand, guarda-livros suíço, que a descreveu em 1806 Um pouco de História + + Frente Ficha 01 05 www.portalimpacto.com.br 15n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br RePReSeNTAÇÃO GRÁFICA De COmPLeXOS n Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma depar ordenado z = (a, b). Podemos representar z graficamente no chamado PLANO De ARGAND-GAUSS, como segue: Onde: XOY é o Plano de Argand-Gauss OX é o eixo Real OY é o eixo Imaginário O ponto P é denominado Afixo ou Imagem GeOméTRICA De z n A distância de O até P é chamado Módulo de z indicado por |z| n O ângulo θ é chamado Argumento ou Direção de z indicado por arg(z) móDULO De Um COmPLeXO n O módulo de um número complexo z = a + bi, é dado por . exemplo: n Calcule o módulo de cada complexo a seguir: a) Z1 = 4 + 3i Solução: b) Z3 = -4 - i Solução: Observações: a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da “seta” que o representa graficamente. b) O módulo de um número complexo é sempre um número real positivo. 2 24 3 16 9 25 5 Mas foi somente em 1831 que o grande matemáti- co alemão Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), expôs a teoria completa relativa a esses números. Por isso, o plano complexo é muitas vezes chamado de plano Argand-Gauss. 2 24 3 + + 16 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br Relações métricas no triângulo ReTÂNGULO 1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO 2. ReLAÇõeS méTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO eXemPLO (1) n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja: BC c A b m n a h Onde: a é a hipotenusa (maior lado); b e c são os catetos (formam o ângulo reto); h é a altura relativa à hipotenusa; m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa; n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa. n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações métricas (entre as medidas mencionadas acima): ReLAÇÃO 01 - Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipo- tenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a2 = b2 + c2 ReLAÇÃO 02 - O produto entre a hipotenusa e a altura rela- tiva à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos. a . h = b . c ReLAÇÃO 03 - O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa. b2 = a . m c2 = a . n ReLAÇÃO 04 - O quadrado da altura relativa à hipotenu- sa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos. h2 = m . n ReLAÇÃO 05 - A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos. a = m + n 1. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retân- gulo ABC a seguir: ReSOLUÇÃO: BC 4 A 3 a h n No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a me- diada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipo- tenusa. eXemPLO (2) CB A 3 H 5 12 Frente Ficha 02 01 www.portalimpacto.com.br 17n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br Onde: a é a hipotenusa (maior lado); b e c são os catetos (formam o ângulo reto); B e C são ângulos agudos complementares, isto é, B + C = 90º; 3. PROPRIeDADeS 1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO 2. RAzõeS TRIGONOméTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja: n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações trigonométricas (entre os elementos menciona- das acima): RAzÃO 01 - Seno do ângulo B: é a razão entre o cateto oposto ao ângulo B e a hipotenusa. RAzÃO 02 - Cosseno do ângulo B: é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo B e a hipotenusa. RAzÃO 03 - Tangente do ângulo B: é a razão entre o cate- to oposto e o cateto adjacente ao ângulo B. De modo análogo podemos definir as razões seno, cosseno e tangente do ângulo agudo C. CA B a b c n Observe os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos B: Para dois ângulos complementares B e C são válidas as seguintes pro- priedades: Propriedade 01: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu com- plementar. senB = cos C ou sen C = cos B Propriedade 02: A tangente de um ângulo é igual ao inverso da tan- gente de seu complementar. n Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados na tabela a seguir: 4. TABeLA 5. eXemPLO (3) (UEPA) O mastro CD de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa (B), conforme mostra a figura a seguir. Se o cabo BC mede 10 3 m então, a altura do mastro é: AB C 30º D 18 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br Resolução do exemplo 01. De acordo com a lei dos senos, Dessa forma: Relações trigonométricas no triângulo ReTÂNGULO A LeI DOS SeNOS e DOS COSSeNOS n As leis (Lei dos senos e Lei dos cossenos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de me- didas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos de “forma” arbitrária. Lei dos senos n Para utilizarmos a lei dos senos no cálculo da medida de um ou dois lados de um triangulo, precisamos conhecer pelo me- nos um dos lados e o valor dos senos dos ângulos opostos aos lados desconhecidos. Vejamos: Dado o triangulo qualquer ABC abaixo, A c a b A C B B C 30º 45º 6 a Pela lei dos senos, temos: a sen A b sen B c sen C = = A igualdade das razões entre cada um dos lados de um triângulo e o seno do respectivo ângulo oposto é chamada de lei dos senos. exemplo 1 No triangulo abaixo determinar a medida do lado a do triangulo abaixo. Frente Ficha 02 02 www.portalimpacto.com.br 19n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br LeI DOS COSSeNOS A C B b c a A C B n Para utilizarmos a lei dos cossenos no cálculo da medida de um lado de um triangulo, precisamos conhecer pelo menos o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois dos lados do triangulo. Vejamos: n Dado o triangulo qualquer ABC abaixo, n Pela lei dos cossenos, temos: AˆCos.c.b.2cba 222 −+= Ou ainda: Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar. A Lei dos cossenos e as medições “Um determinado engenheiro precisa fazer a medi- ções de um terreno ou de ruas na forma triangular. Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 me- tros e o ângulo formado por este dois lados é de 60°. Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário fazer uma nova medição ou podemos simplesmente usar a lei dos cossenos. AˆCos.c.b.2cba 222 −+= CˆCos.b.a.2bac 222 −+= + + 50m 40m 60º B A C x 20 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br ARCOS Ângulos e comprimento de arcos 1. ARCOS e ÂNGULOS 2. UNIDADeS De meDIDA De ARCOS (e ÂNGULOS) 3. ÂNGULOS NOTÁveIS n Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir: B A R O R sentido padrão n As semi-retas OA e OB determinam o ângulo central α e o arco AB . n O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e OB e possui vértice no centro O da circunferência λ. n O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos pontos A e B inclusive. n O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma medida, isto é, med α = AB. Note que os arcos AB e BA são diferentes. n Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos: A E B C D AB = 90º B C D A E AC = 180º A E B C D AD = 270º A E B C D AE = 360º n Outra unidade de medida de ar- cos e ângulos é o radiano cujo com- primento é igual ao de um raio da circunferência. n Portanto, se o raio da circunferência mede 5 cm então o comprimento de um arco de 1 radiano é igual a 5 cm. n Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois éa quan- tidade de raios que podemos colocar na mesma, veja: B A R O R 1 radiano = 1 raio R R R R R R 0,28.R 1. circunferência = 6,28 rad 1. circunferência = 2.3,14 rad 1 circunferência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º, ou , ou ainda, e dividindo ambos os membros por 2, obtemos a relação de transformação de graus para radianos e vice-versa: 180 - π rad Graus 0º 30º 45º 60º 90º Radianos 0 rad n Os ângulos a seguir são muito utilizados em trigonometria, por isto é muito útil conhecer suas respectivas medidas em radianos. Frente Ficha 02 03 www.portalimpacto.com.br 21n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br 4. COmPRImeNTO De ARCO 5. COmPRImeNTO DA CIRCUNFeRêNCIA 6. ARCOS CôNGRUOS 7. CICLO TRIGONOméTRICO n Seja uma circunferência λ de raio R e o arco AB determinado pelo ân- gulo central α. O comprimento l do arco AB pode ser calculado por: n O comprimento C de uma circun- ferência λ de raio R equivale ao com- primento do arco AB determinado pelo ângulo central α = 360º = 2π rad n Dois arcos α e β são côngru- os quando possuem as mesmas extremidades no ciclo trigono- métrico diferenciando-se apenas por um número k de voltas k ∈ N, isto é: β = α + 360º . k β = α + 2 . k . π Esta é a expressão geral dos arcos côngruos. n O ciclo trigonométrico é formado por uma circunferência de raio unitário R = 1 e um sistema de eixos ortogonais utili- zado para representar arcos AB B A R O R C A B O R l = α . Rx Substituindo l = C e α = 2π rad em l = α . R, obtemos: C = 2.π . R Onde: n l é o comprimento do arco deter- minado por ; n R é o raio da circunferência; n α é o ângulo central que deter- mina o arco; n O comprimento l e o raio R de- vem ter a mesma unidade. Onde: n C é o comprimento da circunferência; n R é o raio da circunferência; n π ≅ 3,14, n O comprimento C e o raio R devem ter a mesma unidade. Onde: n O ponto A é a origem de marcação dos arcos; n O sentido horário indica que o arco é negativo, assim como o anti-horário indica arcos positivos; n Os arcos podem apresentar mais de uma volta; n O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante; 30 45 60 150 135 120 300º240 315º225 330210 0º 360 180 90 270 0 A Dado um arco β qualquer, cha- ma-se primeira determinação positiva de β ao arco α côngruo de β que é maior que 0º (0 rad) e menor que 360º (2π rad). Um pouco da história da Trigonometria. O significado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentre os principais precursores da Trigonometria na antiguidade destacam-se: Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc. II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obra composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhe- cida entre os árabes como o Almajesto + + 22 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br n Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de um arco x no ciclo trigonométrico é necessário conhecer os seguintes eixos: n O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo centro O da circunferência trigonométrica e o eixo dos cossenos é o eixo horizontal que passa pelo mesmo ponto. n O eixo das tangentes também é vertical, porém passa pelo ponto A da circun- ferência, isto é, o eixo é tangente à circunferência no ponto A. Onde: n x é um arco cuja origem é o ponto A e a extremidade é o ponto P; n A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x; n A ordenada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x; n Prolongando-se o segmento OP obtém-se a tangente de x, indicada por tgx. Relações trigométricas fundamentais na CIRCUNFeRêNCIA 1. SeNO, COSSeNO e TANGeNTe De Um ARCO NO CICLO TRIGONOméTRICO 2. CRITéRIOS De POSITIvIDADe x A 1 1 P – 1 – 1 tg sen cos cos x sen x tg x x O n Analisaremos os sinais do seno, cosseno e tangente de arcos nos quatro quadrantes do ciclo trigonométrico em busca de critérios de positividade. x A x x A P cos(–) x O sen(+) tg(–) x A P cos(–) x O sen(–) tg(+) x A P cos(+) x O sen(–) tg(–) 1º qUADRANTe sen x > 0 (positivo) cos x > 0 (positivo) tg x > 0 (positiva) 3º qUADRANTe sen x < 0 (negativo) cos x < 0 (negativo) tg x > 0 (positiva) 4º qUADRANTe sen x < 0 (negativo) cos x > 0 (positivo) tg x < 0 (negativa) 2º qUADRANTe sen x > 0 (positivo) cos x < 0 (negativo) tg x < 0 (negativa) Frente Ficha 02 04 www.portalimpacto.com.br 23n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br n essa análise pode ser resumida no seguinte esquema: S T U C U: todos são positivos; S: o seno é positivo; T: a tangente é positiva; C: o cosseno é positivo. grave a frase: USA SemPRe A TUA CABeÇA x A 1 1 P – 1 – 1 tgsen cos cos 45º sen 45º tg 45º x O 0,7 2 � 0,7 2 � 1 2 0,7 2 2 0,7 2 exemplo: Lembre-se que: 3. vALOReS mÁXImOS e mÍNImOS n Seja x um arco qualquer. Os valores de seno e cosseno de x são no mínimo -1 e no máximo 1. n A tangente de x pode assumir qualquer valor real, porém não existem as tangentes de 90º, 270º e seus côngruos. tg x ∈ R 90º A P 90º O tg 270º A P 270º O tg 90º A P 90º O tg 270º A P 270º O tg A tangente de um arco x existe para todo x diferente de 90º, de 270º e de seus côngruos. em símbolos: 0º 90º 180º 270º 360º sen 0 1 0 -1 0 cos 1 0 -1 0 1 tg 0 não existe 0 não existe 0 Observe a tabela de valores a seguir: Trigonometria A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ân- gulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos Tri- ângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. + + equador N S P2 P1 ∆λ φ1 φ2 24 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br Frente Ficha 02 05 Relações trigométricas - Identidades TRIGONOméTRICAS 1. ReLAÇõeS TRIGONOméTRICAS. 2. ReLAÇÃO FUNDAmeNTAL DA TRIGONOmeTRIA 3. ReLAÇÃO AUXILIAR (1) 4. ReLAÇÃO AUXILIAR (2) n A secante de um arco x (sec x) é o inverso do cosseno deste mesmo arco e vice-versa. , com cos x ≠ 0 , com sec x ≠ 0 n A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco qualquer é igual a 1 (um). sen2x + cos2 x = 1 n A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco. cotg2x + 1 = cossec2 x n A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco. tg2x + 1 = sec2x n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por cos2x, temos: n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por sen2x, temos: n A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do seno deste mesmo arco e vice-versa. , com sen x ≠ 0 , com sec x ≠ 0 n A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da tangente deste mesmo arco e vice-versa.. , com tg x ≠ 0 , com cot x ≠ 0 Observações: a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno; b)A cossecante possui o mesmo sinal do seno; c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente. S T U C U: todos são positivos; S: o seno é positivo; T: a tangente é positiva; C: o cosseno é positivo. grave a frase: USA SemPRe A TUA CABeÇA x – 1 cosx senx 1 www.portalimpacto.com.br 25n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br Observação: 5. IDeNTIDADeS TRIGONOméTRICAS n A tangente de um arco x é igual a quociente entre o seno e o cosseno deste mesmo arco. , com cosx ≠ 0 n A cotangente de um arco x é igual ao quociente entre o cosseno e o seno deste mesmo arco. , com senx ≠ 0 exemplo: (UNEB) Se x pertence ao intervalo e tgx = 2 , então cosx vale: a) d) b) e) c) ReSOLUÇÃO: n Como x é um arco do primeiro qua- drante todas as razões trigonométri- cas são positivas. n Calculamos o cosseno de x pela relação: ALTeRNATIvA (D) n Calculamos a secante de x pela Re- lação Auxiliar 1: n Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométri- cas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões: exemplo: (UCDB) Para todo x ∈ R tal que , k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 é igual a: a) d) 2 senx b) 1 + cosx e) senx + cosx c) 1 ReSOLUÇÃO: Como tg2x + 1 = sec2x, temos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sec2x = cos2x . ALTeRNATIvA (C) engenharia Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos fí- sicos, eletricidade, Mecânica, Música, Topo- grafia, Engenharia entre outro. + + 26 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br PONTO Reta e Plano 1. NOÇõeS PRImITIvAS 2. POSIÇõeS ReLATIvAS eNTRe 3. ÂNGULOS eNTRe n As noções primitivas em geometria são o ponto, a reta e o plano conhecidas intuitivamente. n Duas retas DUAS ReTAS n Ângulo AOB cuja medida é α; n O ponto O é o vértice; n As semi-retas OA e OB são os lados; ReTA e PLANO DOIS PLANOS n Ângulo Diedro ou Diedro é o ân- gulo formado entre dois planos como mostra a figura. TeODOLITO O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos ver- ticais e horizontais n Reta e plano n Dois planos plano α A ponto r reta r s r ≡s rs A Reta Contida no Plano Reta Secante ao Pl ano Reta Paralela ao Plano A A r r B Secantes ou Concorrente Paralelos Coincidentes r r s O A B A r + + Diedro ângulo de elevação posição do sol Horizonte = 0º Norte = 0º ângulo horizontal Frente Ficha 03 01 www.portalimpacto.com.br 27n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br 4. eSTUDO DOS ÂNGULOS 4.1. UNIDADe De meDIDA n O grau é de uma circunferência. Observações: a) Uma circunferência possui 360º; b) Um grau possui 60 minutos (60’); c) Um minuto possui 60 segundos (60’’). 4.2. TIPOS De ÂNGULOS. 4.3. BISSeTRIz De Um ÂNGULO n É a semi-reta que divide o ângulo ao meio. 4.6. ÂNGULOS FORmADOS POR DUAS PARALeLAS COR- TADAS POR UmA TRANSveRSAL. 4.4. ÂNGULO OPOSTO PeLO véRTICe n Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPv) quando seus lados são semi-retas opostas. 4.5. CLASSIFICAÇÃO n Ângulos complementares: dois ângulos α e β são comple- mentares se a soma entre eles é igual a 90º. α + β = 90º n Ângulos suplementares: dois ângulos α e β são sumple- mentares se a soma entre eles é igual a 180º. α + β = 180º Obs: Ângulos OPV possuem a mesma medida. α = β O transferidor é utiliza- do para medir ângulos. 1º = 60’ 1’ = 60’’ 1º = 3600’’ A semi-reta OM é a bissetriz do ângulo α α e β são ân- gulos opostos pelo vértice. Reto 90º = Agudo 0º 90º< < Obtuso 90º 180º< < Raso ou de Meia Volta 180º = Cheio ou de Uma Volta 360º= 2 2 0 M 0 g cd b a s r t h e f r / /s n É a semi-reta que divide o ângulo ao meio. n Ângulos correspon- dentes são aqueles que ocupam a mesma po- sição um em cada uma das paralelas. n Ângulos cola- terais são aqueles que se localizam do mesmo lado da transversal. n Ângulos alter- nos são aqueles que se localizam em lados diferen- tes da transversal. Possuem a mesma medida. Ângulos Correspondentes (possuem a mesma medida) a e e b e f c e g d e h Ângulos Colaterais (são suplementares) Internos Externos c e f d e e a e h b e g Ângulos Alternos (possuem a mesma medida) Internos Externos e e c d e f a e g b e h 28 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br PeRÍmeTRO e área de figuras planas 1. PeRÍmeTRO 2. ÁReA De Um POLÍGONO 3. ReTÂNGULO 4. qUADRADO 6. TRIÂNGULOS CASOS eSPeCIAIS 5. TRIÂNGULO 7. TRIÂNGULO eqUILÁTeRO n Perímetro de um polígono é a soma de seus lados. n Área é o número real positivo que representa a superfície ocupada pelo polígono. n Paralelogramo n O perímetro do contorno in- terno desta TV em que em sua largura temos 80 cm e em sua al- tura temos 60 cm é de 280 cm. 80cm 60cm b h A = b . h b h A = b . h P = 2 . (b + h) A = l2 P = 4 . l l l ll b h l l l A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c) a c b A = b . h 2 Onde p = a + b + c 2 A = b . c . senα 2 c α b Onde A = l2 . 3 4 P = 3 . l Frente Ficha 03 02-03 www.portalimpacto.com.br 29n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br Aplicações no Caderno de Exercícios A = π . (R2 - r2) 8. LOSANGO 9. TRAPézIO 10. CÍRCULO D d O R A = π . R2 onde π = 3,14 C = 2. π . R onde π = 3,14 A = (B + b) . h 2 b B hA = D . d 2 11. SeTOR CIRCULAR SeTOR CIRCULAR αR l A = α . π . R 2 360º α em graus onde l é o comprimento do arco A = l . R 2 O r R Perímetro do pescoço é mais preciso que ImC para detectar obesidade, diz pesquisa. A medida do perímetro do pescoço está ajudando médicos a prever risco de obesidade, apneia do sono e hipertensão tanto em adultos quanto em crianças. Um trabalho publicado na re- vista “Pediatrics” comprovou a ligação entre um pescoço mais largo e ocorrência de complicações por excesso de peso. Os médicos argumentam que a medida do pescoço é mais precisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usa- do para classificar peso normal, sobrepeso e obesidade + + 30 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br POLÍGONOS regulares no cotidiano 1. POLÍGONOS 2. POLÍGONOS ReGULAReS e NOmeNCLATURA 5. POLÍGONO ReGULAR INSCRITO 3. SOMA DOS ângULOS InTERnOS 4. ângULO InTERnO n É mais comum do que se imagi- na encontramos polígonos regula- res no cotidiano, por exemplo: n É todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acor- do com seu número de lados. n Todo polígono regular é inscritível, isto é, pode ser inscrito em uma circunferência. Na figura a seguir temos um triangulo, um quadrado e um hexágono regular de lado l inscrito em uma circunferência de raio R. Observe que a circunferência passa por to- dos os vértices do polígono. n A soma dos ângulos internos de um po- lígono regular de n lados é dada por: Si = (n − 2).180º n A medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada por: As abelhas utilizam-se do he- xágono regular nas colméias. Alguns modelos de bolas de futebol também apresen- tam figuras base- adas em polígo- nos regulares.Triângulo equilátero n = 3 Quadrado n = 4 Pentágono Regular n = 5 Exágono Regular n = 6 Heptágono Regular n = 7 Octógono Regular n = 8 Eneágono Regular n = 9 Decágono Regular n = 10 Undecágono Regular n = 11 Dodecágono Regular n = 12 Pentadecágono Regular n = 15 Icoságono Regular n = 20 Ai = = Si n (n - 2) . 180º n Frente Ficha 03 04 www.portalimpacto.com.br 31n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br 4. POLÍGONO ReGULAR CIRCUNSCRITO n Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono. + + Polígonos na vida cotidiana Andando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos. 32 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br CONGRUêNCIAS e semelhanças de figuras planas 1. SemeLHANÇAS 2. PROPRIeDADeS 3. CONGRUêNCIA n Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais. n A razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à constante de proporciona- lidade k. n Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constante de proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados corres- pondentes são congruentes. n Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos: ABCD ≡ A’B’D’C’. n Os ângulos correspondentes são congruentes: A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’ n Os lados correspondentes são congruentes: AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘ n A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da constante de propor- cionalidade k. ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhante ao polígono A’B’D’C’ “) n Os ângulos correspondentes são congruentes: A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’ n Os lados correspondentes são proporcionais: Onde k é uma constante de proporcionalidade chamada de razão de semelhança. A B CD A B CD A’ B’ C’D’ A’ B’ C’D’ k= == = AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DA D’A’ k== AB + BC + CD + DA A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’ P P’ k2=ÁReA ÁReA’ Frente Ficha 03 05 www.portalimpacto.com.br 33n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br + + Igual ao original Na produção de um filme, na gravação de uma novela ou até mesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem seme- lhante à do ambiente natura. 34 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br mATRIz Conceito, igualdade e operações eSTUDO De mATRIzeS ESTUDO DE MATRIZES Matriz Quadrada: ■ É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo: A = 2x2 21 02 matriz quadrada de ordem 2. B = 3x3 247 086 351 matriz quadrada de ordem 3. Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij, onde i = j formam a diagonal principal e os elementos aij, onde i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. A = 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa Obs.: Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 i = j Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 i + j = 4 + 1 Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. Matriz Diagonal ■ É toda matriz quadrada A = (aij)n x m, onde aij = 0 para todo i j. Exemplo: A = 4x4 5000 0300 0010 0002 B = 3x3 300 020 000 Matriz Escalar ■ É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais. Exemplo: A = 3x3 200 020 002 B = 3x3 000 000 000 Matriz Identidade: ■ É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1. In = nxn 1...000 0...100 0...010 0...001 Matriz Linha: ■ É toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde A = (a11 a12 a13 ... a1n)1 x n Exemplo: A = (2 1 4)1 x 3 Matriz Coluna: ■ São matrizes que apresentam uma coluna, onde A = (aij)n x 1. Exemplo: 1xn1n 21 11 a a a A 1x4 6 5 4 2 B Diagonal principal Diagonal secundária Frente Ficha 04 01 www.portalimpacto.com.br 35n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br OPeRAÇõeS COm mATRIzeS + + Matriz Nula: ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero. nxm 0...000 0...000 0...000 0...000 A Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. Exemplo: A = 3x3 236 354 642 B = 3x3 726 235 651 Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. Exemplo: A = 053 502 320 Matriz Transposta: ■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. Exemplo: A = 4x2 t 2x4 4131 0242 A 40 12 34 12 B = 3x4 t 4x3 1094 935 121 803 B 10918 9320 4513 OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO: A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes: A = 3x2 503545 402030 e B = 3x2 483540 451535 A matriz A descreve o desempenho da Amazônia Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes. C = 503545 402030 + 483540 451535 C = 987085 853565 485035354045 454015203530 Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama- se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . Exemplo: 1. Dada as matrizes A = 2x3 12 40 12 e B = 2x3 01 24 13 , determine a matriz C, tal que C = A + B. C = 12 40 12 + 01 24 13 = 0112 2440 1132 C = 2x3 11 64 25 Matriz Nula: ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero. nxm 0...000 0...000 0...000 0...000 A Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. Exemplo: A = 3x3 236 354 642 B = 3x3 726 235 651 Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. Exemplo: A = 053 502 320 Matriz Transposta: ■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. Exemplo: A = 4x2 t 2x4 4131 0242 A 40 12 34 12 B = 3x4 t 4x3 1094 935 121 803 B 10918 9320 4513 OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO: A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes: A = 3x2 503545 402030e B = 3x2 483540 451535 A matriz A descreve o desempenho da Amazônia Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes. C = 503545 402030 + 483540 451535 C = 987085 853565 485035354045 454015203530 Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama- se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . Exemplo: 1. Dada as matrizes A = 2x3 12 40 12 e B = 2x3 01 24 13 , determine a matriz C, tal que C = A + B. C = 12 40 12 + 01 24 13 = 0112 2440 1132 C = 2x3 11 64 25 n ADIÇÃO 36 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br mATRIz Operações e aplicações PROPRIeDADeS DA ADIÇÃO DA mATRIz SUBTRAÇÃO mULTIPLICAÇÃO De Um NúmeRO POR UmA mATRIz Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A). A = 3x33x3 354 130 412 A 354 130 412 Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição. A = 3x2 503545 402030 e B = 3x2 483540 451535 . A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução: ■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo: 1. dada a matriz A = 3x3 412 054 312 , determine a matriz B = 3 . A. B = 3 . 412 054 312 = 3x3 1236 01512 936 483540 451535 503545 402030 BA 205 555 485035354045 454015203530 BA Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A). A = 3x33x3 354 130 412 A 354 130 412 Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição. A = 3x2 503545 402030 e B = 3x2 483540 451535 . A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução: ■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo: 1. dada a matriz A = 3x3 412 054 312 , determine a matriz B = 3 . A. B = 3 . 412 054 312 = 3x3 1236 01512 936 483540 451535 503545 402030 BA 205 555 485035354045 454015203530 BA n Podemos observar que a marca 1 o melhor desem- penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mes- ma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A). A = 3x33x3 354 130 412 A 354 130 412 Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição. A = 3x2 503545 402030 e B = 3x2 483540 451535 . A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução: ■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo: 1. dada a matriz A = 3x3 412 054 312 , determine a matriz B = 3 . A. B = 3 . 412 054 312 = 3x3 1236 01512 936 483540 451535 503545 402030 BA 205 555 485035354045 454015203530 BA Frente Ficha 04 02 www.portalimpacto.com.br 37n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B + A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo: Determine a inversa da matriz A = 2x243 12 . Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular. mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS PROPRIeDADeS DA mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS mATRIz INveRSA + + n Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é cha- mada matriz singular. Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. Aordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B + A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo: Determine a inversa da matriz A = 2x243 12 . Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular. Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B + A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo: Determine a inversa da matriz A = 2x243 12 . Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular. Contribuições das matrizes para a educação n Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz res- peito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros compara- tivos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos. n As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de me- dição de desempenho da instituição escolar. n No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade. 38 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br DeTeRmINANTeS Conceito e Resolução DeTeRmINANTeS DETERMINANTE É todo número gerado pela diferença entre o produto das diagonais. nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a...aaa a...aaa a...aaa a...aaa A CÁLCULO DOS DETERMINANTES 1º caso: Determinante de 1ª Ordem A = (a11) detA = a11 2º caso: Determinante de 2ª Ordem 2221 1211 aa aa A Regra de Crammer: O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. det 2221 1211 aa aa A 21122211 aaaaAdet 3º caso: Determinante de 3ª Ordem Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para determinantes de ordem 3. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Menor Complementar: Chama-se menor complementar de uma matriz A de ordem n 2 de um elemento aij, ao valor ij, correspondente ao determinante da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A O menor complementar 3232 2322 11 aa aa 11 = a22 . a32 - a23 . a32 2321 1311 32 aa aa 11 = a11 . a23 - a13 . a21 Exemplo: 1. Dada a matriz 341 423 312 A , calcule: a) 41 23 13 b) 34 31 21 13 = 12 - ( -2) 21 = -3 - 12 13 = 14 21 = -15 Cofator ou complementar algébrico: Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n 2, ao elemento Aij que se obtém multiplicando o fator (-1)i + j pelo menor complementar ij. nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a...aaa a...aaa a...aaa a...aaa A Aij = (-1) i + j . ij A11 = (-1) 1 + 1 . 11 A23 = (-1) 2 + 3 . 23 A11 = 11 A23 = - 23 Regra de Laplace: Seja uma matriz A de ordem n 2, o determinante da matriz A é dado pela soma do produto de uma de suas filas pelo seus respectivos cofatores. 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 detA = a11.(-1) 1+1. 11 + a12.(-1) 1+2 . 12 + a13.(-1) 1+3. 13 detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa .a aa aa .aAdet + 3231 2221 13 aa aa .a O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por detA. Frente Ficha 04 03 www.portalimpacto.com.br 39n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br Exemplo: 1. Calcule o determinante das matrizes abaixo: a) 113 241 231 A detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 detA = a11.(-1) 1+1. 11 + a12.(-1) 1 + 2. 12 + a13.(-1) 1 + 3 . 13 detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13 detA = 1. 11 24 3. 13 21 + 2. 13 41 detA = 4 ( 2) 3.[1 ( 6)] + 2.(1 12) detA = 4 + 2 3.7 + 2.( 10) detA = 6 21 22 detA = 37 Propriedades de Determinantes: P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula, então seu determinante é igual a zero. 0Adet 112 000 431 A Exemplo: Determine o valor de x na equação: 0 1204 6303 5101 124x2 2 P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma matriz forem iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo. 231 142 231 A P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal. 34 12 A Permuta 1ª linha com a 2ª linha 12 34 B P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da diagonal principal forem nulos, então o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. 2123 0401 0032 0001 A P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante não altera. 41 23 A 1ª linha menos a 2ª linha 41 22 B P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma constante, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por essa constante. 83 21 A multiplicar a 1ª linha por 2: 83 42 B P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma constante k, seu determinante obedece a seguinte relação: det(k.A) = kn . detA, Amatrazdaordemn tetanconsk P8- detA t = detA P9- det(A.B) = detA . detB P10- Adet 1Adet 1 detA . detA 1 = 1 Obs.: Uma matriz só admite inversa, quando seu determinante for diferente de zero. 1ªL = 3ªL detA = 0 detA = 6 4 detA = 2 detB = 4 6 detB = 2 detB =detA detA = 1 . 3 . 4 . 2 detA = 24 detA = 12 2 detA = 10 detB = 8 ( 2) detB = 10 detB = detA detA = 8 6 detA = 2 detB = 16 12 detA = 4 PROPRIeDADeS DeTeRmINANTeS + + 40 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br SISTemAS Lineares (conceito e classificação) SISTemAS LINeAReS EQUAÇÃO LINEAR É toda equação da forma a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b, onde x1 x2 ... xn Ex.: x + 2y + z 4w = 9 SISTEMA LINEAR É todo sistema formado por duas ou mais equações lineares. mnmn33m22m11m 2nn2323222121 1nn1313212111 bxa...xaxaxa bxa...xaxaxa bxa...xaxaxa Sistema Linear Quadrado: É quando o número de equações é igual ao número de variáveis. nnnn33n22n11n 2nn2323222121 1nn1313212111 bxa...xaxaxa bxa...xaxaxa bxa...xaxaxa Equação Matricial da Forma A.X = B A - matriz dos coeficientes X - matriz das variáveis B - matriz dos termos independentes nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a...aaa a...aaa a...aaa a...aaa A , n 3 2 1 x x x x X e n 3 2 1 b b b b B nn3n2n1n n3333231 n2232221 n1131211 a...aaa a...aaa a...aaa a...aaa . n 3 2 1 x x x x = n 3 2 1 b b b b CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Possível: quando apresentar solução. Determinado: quando apresenta uma única solução. Indeterminado: quando apresenta infinitas soluções. Impossível: quando não apresenta solução. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Det A 0 - Sistema possível e determinado. Quando Det A = 0 Exemplo: 1- Determine o valor de k, de modo que o sistema seja possível e determinado. 0 111 312 11k 2zyx 4z3yx2 3zykx k + 3 + 2 ( 1 3k + 2) 0 k + 3k + 5 1 0 4k 4 k 1 2- Discuta o sistema: 5zyx3 1z2y2x 3pzyx2 0 113 221 p12 p = 1 153 211 132 y 115 221 113 x detx = 0 p 1 - Sistema possível e determinado dety = 2 18 + 5 ( 3 20 + 3) dety = 15 + 20 dety = 5 dety 0 detx = 0 Sistema impossível 1- detx1 = detx2 = detx3 = ... = detxn = 0, Sistema Possível e indeterminado. 2- Pelo menos um dos determinantes das variáveis seja diferente de zero o sistema é impossível. Frente Ficha 04 04-05 www.portalimpacto.com.br 41n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br SISTEMA HOMOGÊNEO É todo sistema onde os termos independentes são nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois apresenta no mínimo a solução trivial. 0xa...xaxaxa 0xa...xaxaxa 0xa...xaxaxa nnn33n22n11n nn2323222121 nn1313212111 x1 = x2 = ... = xn = 0 Solução trivial: S = {(0, 0, 0, ..., 0)} Det A 0 - possível e determinado e a solução é trivial. Det A = 0 - possível e indeterminado. Exemplo: Determine o valor de m, de modo que o sistema apresente apenas a solução trivial. 111 1m2 321 0zyx 0zmyx2 0z3y2x m + 2 + 6 (3m 1 5) 0 m 3m + 8 + 5 0 2m 13 2 13m SISTEMAS LINEARES NÃO QUADRADOS 1º) Se o número de equações maior que o número de variáveis. O sistema é possível e determinado ou impossível. Exemplo: 14y2x3 0yx2 6yx 3x + 2y = 14 3 . 2 + 2 . 4 = 14 6 + 8 = 14 Possível e determinado 2yx3 3yx 4yx2 Det A = 0 0yx2 6yx 3x = 6 x = 2 x + y = 6 y = 6 2 y = 4 2yx3 3yx 4x = 5 4 5x x + y = 3 4 53y 4 7y 14 4 17 14 4 7 4 10 14 7 4 4 52 4yx2 Substituindo em I SISTemAS HOmOGêNeOS ReGRA De CRAmeR Dado um sistema: 1º Calcula-se o detA 2º Calcula-se o determinante das variáveis, substituindo- se os seus coeficientes pelos termos independentes. 3º Cada variável é a razão entre seu determinante e o determinante dos coeficientes. SISTemAS LINeAReS NÃO qUADRADOS + + nnnn33n22n11n 2nn2323222121 1nn1313212111 bxa...xaxaxa bxa...xaxaxa bxa...xaxaxa Adet xdet x; Adet xdet x; Adet xdet x 33 2 2 1 1
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