Cálculo Numérico - Exercícios

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168 Cálculo Numérico
Exercícios
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E 6.1.1. Encontre o polinômio interpolador para o conjunto de pontos {(−2,−47),
(0,−3), (1, 4), (2, 41)}. Então, faça um gráfico com os pontos e o polinômio inter-
polador encontrado.
E 6.1.2. Encontre o polinômio interpolador para o conjunto de pontos {(−1, 1,25),
(0,5, 0,5), (1, 1,25), (1,25, 1,8125)}.
6.2 Diferenças divididas de Newton
Dado um conjunto com n pontos {(xi, yi)}ni=1, o método das diferenças
divididas de Newton consiste em construir o polinômio interpolador da forma
p(x) = a1 + a2(x− x1) + a3(x− x1)(x− x2) + · · ·
+ an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn−1).
(6.17)
Como p(xi) = yi, i = 1, 2, . . . , n, os coeficientes ai satisfazem o seguinte sistema
triangular inferior:
a1 = y1
a1 + a2(x2 − x1) = y2
a1 + a2(x3 − x1) + a3(x3 − x1)(x3 − x2) = y3
...
a1 + a2(xn − x1) + · · ·+ an(xn − x1) · · · (xn − xn−1) = yn
(6.18)
Resolvendo de cima para baixo, obtemos
a1 = y1
a2 = y2 − a1
x2 − x1
= y2 − y1
x2 − x1
a3 = y3 − a2(x3 − x1)− a1
(x3 − x1)(x3 − x2) =
y3−y2
(x3−x2) −
y2−y1
(x2−x1)
(x3 − x1)
. . .
(6.19)
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6.2. DIFERENÇAS DIVIDIDAS DE NEWTON 169
Tabela 6.1: Esquema de diferenças divididas para um conjunto com três pontos
{(xi, yi)}3
i=1.
j xj f [xj] f [xj−1,xj] f [xj−2,xj−1,xj]
1 x1 f [x1]f [x1]f [x1] = y1
f [x1,x2]f [x1,x2]f [x1,x2] = f [x2]− f [x1]
x2 − x1
2 x2 f [x2] = y2 f [x1,x2,x3]f [x1,x2,x3]f [x1,x2,x3] = f [x2,x3]− f [x1,x2]
x3 − x1
f [x2,x3] = f [x3]− f [x2]
x3 − x2
3 x3 f [x3] = y3
Note que os coeficientes são obtidos por diferenças das ordenadas divididas
por diferenças das abscissas dos pontos dados. Para vermos isso mais claramente,
introduzimos a seguinte notação:
f [xj] := yj (6.20)
f [xj, xj+1] := f [xj+1]− f [xj]
xj+1 − xj
(6.21)
f [xj, xj+1, xj+2] := f [xj+1, xj+2]− f [xj, xj+1]
xj+2 − xj
(6.22)
... (6.23)
f [xj, xj+1, . . . , xj+k] := f [xj+1, xj+2, . . . , xj+k]− f [xj, xj+1, . . . , xj+k−1]
xj+k − xj
(6.24)
Chamamos f [xj] de diferença dividida de ordem zero (ou primeira diferença divi-
dida), f [xi,xj+1] de diferença dividida de ordem 1 (ou segunda diferença dividida)
e assim por diante.
Uma inspeção cuidadosa dos coeficientes obtidos em (6.19) nos mostra que
ak = f [x1,x2, . . . ,xk] (6.25)
Isto nos permite esquematizar o método conforme apresentado na Tabela 6.1.
Exemplo 6.2.1. Use o método de diferenças divididas para encontrar o polinômio
que passe pelos pontos (−1,3),(0,1),(1,3),(3,43).
Solução. Usando o esquema apresentado na Tabela 6.1, obtemos
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	Interpolação
	Diferenças divididas de Newton