Método de Diferenças Finitas

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330 Cálculo Numérico
para i = 2, 3, . . . , N − 1. Observamos que trata-se de um sistema de N incógnitas,
a saber ui, e de N − 2 equações, isto é, um sistema subdeterminado.
Para obtermos um sistema determinado, aplicamos as condições de contorno.
Da condição de contorno dada na Equação (11.2), temos
u(a) = ua ⇒ u1 = ua. (11.10)
Analogamente, da condição de contorno dada na Equação (11.2), temos
u(b) = ub ⇒ uN = ub. (11.11)
Por fim, as equações (11.11), (11.9) e (11.10) determinam o problema discreto
associado
u1 = ua, (11.12)
1
h2ui−1 −
2
h2ui + 1
h2ui+1 = −f(xi, ui), i = 2, . . . , N − 1, (11.13)
uN = ub. (11.14)
Este é um sistema de equações de N incógnitas e N equações.
3. Resolução do sistema discreto. Esta etapa consiste em resolver o
sistema discreto construído na etapa anterior.
Para o PVC (11.1)-(11.3), construímos o problema discreto (11.12)-(11.14).
Este é um problema de N equações e N incógnitas. Observamos que se f(x, u)
é uma função linear, o sistema será linear e podemos resolver o sistema usando
de técnicas numéricas para sistema lineares. Agora, se f(x, u) é uma função não
linear, podemos usar, por exemplo, do método de Newton para sistemas.
4. Visualização e interpretação dos resultados. A solução do problema
discreto consiste dos valores ui, isto é, de aproximações dos valores de u nos pontos
da malha. Para visualizarmos a solução podemos, por exemplo, construir o gráfico
do conjunto de pontos {(xi, ui)}. Ainda, para obtermos aproximações da solução
em outros pontos que não fazem parte da malha, podemos usar de técnicas de
interpolação e/ou ajuste.
Exemplo 11.1.1. Use o método de diferenças finitas para resolver o seguinte
problema de valor de contorno com condições de Dirichlet homogêneas:
−uxx = 100(x− 1)2, 0 < x < 1, (11.15)
u(0) = 0, (11.16)
u(1) = 0. (11.17)
Use a fórmula de diferenças finitas central de ordem 2 para discretizar a derivada
em uma malha uniforme de 11 pontos. Calcule, também, a solução analítica deste
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11.1. MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS 331
problema, faça um esboço das soluções numérica e analítica e compute o erro
absoluto médio definido por
E := 1
N
N∑
i=1
|u(xi)− ui| , (11.18)
onde xi é o i-ésimo ponto da malha, i = 1, 2, . . . , N e N é o número de pontos
na mesma. Por fim, repita seus cálculos para uma malha com 101 pontos. O que
ocorre com o erro absoluto médio?
Solução. Vamos seguir as etapas conforme acima.
1. Construção da malha. Tomando N = 11, definimos os pontos da malha
no domínio [0, 1] por:
xi = (i− 1)h, i = 1, 2, . . . , N, (11.19)
com h = 1/(N − 1).
Em Python, podemos construir a malha da seguinte forma:
a = 0
b = 1
N = 11
h = (b-a)/(N-1)
x = np.linspace(a,b,N)
2. Construção do problema discreto. Usando a fórmula de diferenças
finitas central de ordem 2 para aproximar a derivada na Equação (11.15), obtemos
o seguinte sistema de equações:
− ui−1 − 2ui + ui+1
h2 = 100(xi − 1)2, i = 2, . . . , N − 1. (11.20)
Completamos este sistema com as condições de contorno dadas nas equações (11.16)
e (11.17), donde
u1 = uN = 0. (11.21)
Ou seja, obtemos o seguinte problema discreto:
u1 = 0, (11.22)
− 1
h2 (ui+1 − 2ui + ui+1) = 100(xi − 1)2, i = 2, . . . , N − 1, (11.23)
uN = 0. (11.24)
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