Desigualdades e Números Complexos

Prévia do material em texto

22 Pré-cálculo
10. Desigualdade triangular: |x+ y| ≤ |x|+ |y|, de fato,
se x+ y > 0, pela de�nição de módulo, |x+ y| = x+ y ≤ |x|+ |y|;
se x+y < 0, pela de�nição de módulo, |x+ y| = −(x+y) = −x−y ≤ |x|+|y|.
Logo, para quaisquer x, y ∈ R temos que
|x+ y| ≤ |x|+ |y| . (2.14)
11. |x− y| ≤ |x|+ |y|, de fato
Note que x−y = x+(−y), logo |x− y| = |x+ (−y)| aplicando a desigualdade
trinagular temos,
|x− y| = |x+ (−y)| ≤ |x|+ |−y| = |x|+ |y| . (2.15)
12. ||x| − |y|| ≤ |x− y|, para mostrar esta desigualdade vamos fazer por partes.
� |x| − |y| ≤ |x− y|,
de fato, pela desigualdade triangular temos que
|z + y| ≤ |z|+ |y| (2.16)
subtraíndo |y| a ambos os termos temos,
|z + y| − |y| ≤ |z| (2.17)
fazendo x = z + y temos que z = x − y substituindo estes valores na
equação acima obtemos
|x| − |y| ≤ |x− y| . (2.18)
� |y| − |x| ≤ |x− y|,
de fato, pela desigualdade triangular temos que
|x+ z| ≤ |x|+ |z| (2.19)
subtraíndo |x| a ambos os termos temos,
|x+ z| − |x| ≤ |z| (2.20)
fazendo y = x + z temos que z = y − x substituindo estes valores na
equação acima obtemos
|y| − |x| ≤ |y − x| = |x− y| . (2.21)
Portanto,
||x| − |y|| = ±(|x| − |y|) ≤ |x− y| . (2.22)
Licença CC BY-SA-4.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
reamat@ufrgs.br
2.6. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 23
Apesar de nossos estudos neste curso ser focado no conjunto dos números re-
ais, neste conjunto numérico não conseguimos resolver todos os problemas mate-
máticos, em virtude disso, temos por exemplo o conjunto do números complexos,
quatérnios, entre outros, desses mais avançados vamos falar um pouquinho dos nú-
meros complexos pois neste conjunto é possível calcular raíz quadrada de qualquer
número, o que não ocorre nos reais.
2.6 Conjunto dos números Complexos
Para resolver o problema da raiz quadrada de um número negativo, criou-se o
número imaginário puro i, de�nido por i =
√
−1, portanto i2 = −1, criou-se assim
um número i que elevado ao quadrado desse −1. Temos agora como calcular a raiz
quadrada de qualquer número real. De�nimos a partir deste número imaginário o
conjunto dos números complexos por:
C = {a+ bi | a, b ∈ R}, (2.23)
cujas operações apresentam algumas particularidades e portanto trataremos delas
mais adiante.
Note que, se tivermos b = 0, estamos com o conjunto dos números reais, por-
tanto R ⊂ C. Para �xar a ordem de continência destes conjuntos numéricos,
observemos o diagrama de Venn abaixo.
Figura 2.4: Representação conjuntos numéricos
2.7 Subconjuntos numéricos e suas representações
Intervalos numéricos limitados
Licença CC BY-SA-4.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
reamat@ufrgs.br
24 Pré-cálculo
� Intervalo aberto: ]a, b[= {x ∈ R | a < x < b};
� Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};
� Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: [a, b[= {x ∈ R | a ≤ x < b};
� Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}.
Intervalos numéricos ilimitados
� Conjunto dos números reais maiores que a: [a,+∞[= {x ∈ R | a < x}
� Conjunto dos números reais maiores ou iguais à a: [a,+∞[= {x ∈ R | a ≤ x}
� Conjunto dos números reais menores que b: ]−∞, b] = {x ∈ R | x < b}
� Conjunto dos números reais menores ou iguais à b: ]−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}
� Conjunto dos números reais: ]−∞,+∞[= R
Licença CC BY-SA-4.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
reamat@ufrgs.br
	I Aritmética Básica
	Conjuntos numéricos
	Conjunto dos números Complexos
	Subconjuntos numéricos e suas representações