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Paralelismo, intersecção e 
igualdade de modelos
Capítulo 8
Introdução
• Na Estatística Experimental: DIC, DBC e DQL
• Experimentos com apenas UM fator (níveis qualitativos 
ou quantitativos)
– Efeito de diferentes tipos de rações (A, B, C e D) sobre o 
ganho de peso de animais;
– Efeito de diferentes variedades de uma cultura sobre 
alguma característica de produção.
– Efeito de doses crescentes de N sobre a produção de 
grãos;
– Efeito de diferentes temperaturas sobre o armazenamento 
de sementes.
• Esses experimentos podem ser instalados em qualquer
um dos tipos de delineamento em função da
heterogeneidade do material experimental.
Introdução
• Na Estatística Experimental: DIC, DBC e DQL
• Experimentos com dois ou mais fatores (níveis
qualitativos ou quantitativos)
– Efeito de 2 variedades de cana-de-açúcar (V1 e V2),
com 3 diferentes tipos de herbicidas (H1, H2 e H3).
Então, teremos um fatorial 2x3, ambos os fatores
qualitativos;
– Efeitos de 3 peneiras comerciais (18, 20 e 22
diâmetros), associadas a 3 densidades de plantio (10,
15 e 20 plantas/m linear), na produtividade do
amendoim (Arachis hipogaea L.) variedade Tatu V 53.
Então, teremos um fatorial 3x3.
Introdução
• Nosso cenário: Experimentos com tratamentos
em esquema fatorial sendo um dos fatores
qualitativo e o outro quantitativo.
• Em geral, para os dados proveniente deste tipo
de experimento há interesse em se saber como
uma determinada relação entre variáveis pode
mudar de acordo com o outro fator.
• Mais especificamente, se a relação for linear,
deseja-se saber se as retas são: coincidentes,
paralelas ou concorrentes, ou ainda, se elas
possuem um intercepto comum.
Modelo Completo
• Experimento instalado segundo um
delineamento inteiramente casualizado (DIC)
com K repetições, k=1, 2, 3,...,K.
• Os tratamentos estão arranjados segundo um
esquema fatorial AxB.
• Fator A (qualitativo) com I níveis, i=1, 2,..., I.
• Fator B (quantitativo) com J níveis, j=1, 2, ...,J.
O modelo completo é aquele que considera o
fator B como “qualitativo” e a interação com o
fator A.
Modelo Completo
• O modelo completo
• O esquema da ANAVA
ijkijjiijky  ++++=
Fonte de Variação Graus de liberdade
Fator A (I-1)
Fator B (J-1)
A x B (I-1)(J-1)
Erro IJ(K-1)
Total IJK-1
QMErro=2̂
QUALITATIVO
QUANTITATIVO
Modelos Reduzidos
Dado que a relação entre as variáveis: Y (variável
resposta) e níveis do fator B (quantitativo) seja
uma relação linear, iremos verificar se as retas,
para cada nível do fator A (qualitativo), são:
• Retas concorrentes;
• Retas paralelas;
• Retas com intercepto comum;
• Retas coincidentes.
Modelos Reduzidos
• Retas concorrentes (I modelos lineares);
-4
1
6
11
16
21
0 2 4 6 8 10 12
jj xyA 11011 :  +=
jIIjI xyA 10:  +=
Modelos Reduzidos
• Retas paralelas (I modelos lineares);
jj xyA 1011 :  +=
jIjI xyA 10:  +=
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12
Modelos Reduzidos
• Retas intercepto comum (I modelos lineares);
jj xyA 1101 :  +=
jIjI xyA 10:  +=
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12
Modelos Reduzidos
• Retas coincidentes (1 modelo linear);
jjI xyA 101 :...  +=
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 2 4 6 8 10 12
Modelos Reduzidos
– n=ij pares (Xij,Yijk) com i=1,2,...,I níveis de A e k=1, 2,...K
repetições em função de j = 1, 2,...J níveis do fator B;
J níveis 
de B, 
para i=1
K repetições Totais
Xij Y1j1 Y1j2 Y1j3 ... Y1jK Y1j.
X11 Y111 Y112 Y113 ... Y11K Y11.
X12 Y121 Y122 Y123 ... Y12K Y12.
X13 Y131 Y132 Y133 ... Y13K Y13.
... ... ... ... ... ... ...
X1J Y1J1 Y1J2 Y1J3 ... Y1JK Y1J.
Modelos Reduzidos
J níveis 
de B
K repetições Totais
Xij Y1j1 Y1j2 Y1j3 ... Y1jK Y1j.
X11 Y111 Y112 Y113 ... Y11K Y11.
... ... ... ... ... ... ...
X1J Y1J1 Y1J2 Y1J3 ... Y1JK Y1J.
X21 Y211 Y212 Y213 ... Y21K Y21.
... ... ... ... ... ... ...
X2J Y2J1 Y2J2 Y2J3 ... Y2JK Y2J.
... ... ... ... ... ... ...
XI1 YI11 YI12 YI13 ... YI1K YI1.
... ... ... ... ... ... ...
XIJ YIJ1 YIJ2 YIJ3 ... YIJK YIJ.
i = 1
i = 2
i = I
Modelos Reduzidos
• Retas concorrentes (I níveis de A →I modelos
de regressão);
• 2×I parâmetros a serem estimados: para
cada nível I do fator A temos uma reta com
dois parâmetros.
• Matricialmente:
 += XY
• Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
𝐍𝐗𝟐𝐈 =
𝐗𝟏 𝟎 … 𝟎
𝟎 𝐗𝟐 … 𝟎
⋮
0
⋮
0
⋱ ⋮
… 𝐗𝑰
𝐗𝒊 =
1 𝑋𝑖11
⋮ ⋮
1
⋮
1
⋮
1
𝑋𝑖1𝐾
⋮
𝑋𝑖𝐽1
⋮
𝑋𝑖𝐽𝐾
K repetições do nível 1 do fator B 
“quantitativo”
Matriz X para o nível i 
do fator A (qualitativo)
K repetições do nível J do fator B 
“quantitativo”
• Estimativa dos parâmetros
𝐗𝒊
𝑻𝐗𝒊 =
𝒏𝒊 = 𝑱𝑲 ෍
𝒋=𝟏
𝑱
෍
𝒌=𝟏
𝑲
𝑿𝒊𝒋𝒌
෍
𝒋=𝟏
𝑱
෍
𝒌=𝟏
𝑲
𝑿𝒊𝒋𝒌 ෍
𝒋=𝟏
𝑱
෍
𝒌=𝟏
𝑲
𝑿𝟐
𝒊𝒋𝒌
=
𝒏𝒊 𝑿𝒊.
𝑿𝒊. 𝑿𝟐
𝒊.
𝐗𝒊
𝑻𝐘𝒊 =
෍
𝒋=𝟏
𝑱
෍
𝒌=𝟏
𝑲
𝒀𝒊𝒋𝒌
෍
𝒋=𝟏
𝑱
෍
𝒌=𝟏
𝑲
𝑿𝒊𝒋𝒌𝒀𝒊𝒋𝒌
=
𝒀𝒊.
෍
𝒋=𝟏
𝑱
෍
𝒌=𝟏
𝑲
𝑿𝒊𝒋𝒌𝒀𝒊𝒋𝒌
Modelos Reduzidos
෡𝛉 =
෡𝜽𝟏
⋮
෡𝜽𝑰
=
𝐗𝟏
𝑻𝐗𝟏
−𝟏
𝐗𝟏
𝑻𝒀𝟏
⋮
𝐗𝑰
𝑻𝐗𝑰
−𝟏
𝐗𝑰
𝑻𝒀𝑰
Modelos Reduzidos
• Retas paralelas (I níveis de A →I modelos de
regressão) porém todos com a mesma
inclinação ;
𝐻0: 𝛽11 = 𝛽12 = ⋯ = 𝛽1I = 𝛽1
• I+1 parâmetros a serem estimados
• Matricialmente:
 += XY
• Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
K repetições do nível 1 do fator B 
“quantitativo” para o nível 1 do fator A 
(qualit.)
111
11
121
1
211
2
1
1 0 0 0
0
1 0 0 0
01 0 0
01 0 0
00 1 0
00 1 0
10 0 0
10 0 0
K
JK
JK
IJ
IJK
X
X
X
X
XX
X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
1ª repetição do nível 2 do fator B 
“quantitativo” para o nível 1 do fator A 
(qualit.)
K-ésima repetição do nível J do fator B 
“quantitativo” para o nível 1 do fator A 
(qualit.)
Modelos Reduzidos
• Parâmetros
01
0
1
I



 
 
 =
 
 
 
θ
1 1
2 2
21 2
0 0
0 0
0 0
jk
jk
jk
jk
T
I Ijk
jk
jk jk Ijk
ijkjk jk jk
ijk
n X
n X
X X
n X
X X X
X
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 



   
Modelos Reduzidos
• Parâmetros
01
0
1
I



 
 
 =
 
 
 
θ
0 1
1
2
ˆ
ˆ
ijk
i i i
ijk ijk
ijk
ijk
Y X
x Y
x
 

= −
=


Modelos Reduzidos
• Retas com intercepto comum (I níveis de A →
I modelos de regressão) porém todos com
mesmo intercepto e diferentes coeficientes
angulares;
• I+1 parâmetros a serem estimados
0 01 02 0 0: ... IH    = = = =
111
11
121
1
211
2
1
1 0 0
0
1 0 0
01 0
01 0
01 0
01 0
1 0 0
1 0 0
K
JK
JK
IJ
IJK
X
X
X
X
X X
X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
• Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
Modelos Reduzidos
• Parâmetros
0
11
1I



 
 
 =
 
 
 
θ
1
2
1 1
2
0
0
jk Ijk
jk jk
jk jkT
jk jk
Ijk Ijk
jk jk
n IJK X X
X X
X X
X X
 
= 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos Reduzidos
• Retas Coincidentes (I níveis de A → 1 modelo
de regressão);
• 2 parâmetros a serem estimados
01 02 0 0
0
1̀1 12 1 1
...
:
...
I
I
H
   
   
= = = =

= = = =
111
11
121
1
211
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
K
JK
JK
IJ
IJK
X
X
X
X
X X
X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Matriz de delineamento (X)
Modelos Reduzidos
Modelos Reduzidos
• Parâmetros
0
1


 
=  
 
θ
2
ijk
ijkT
ijk ijk
ijk ijk
n IJK X
X X
X X
 
= 
 =
 
 
 

 
Modelos Encaixados
Retas Concorrentes
Retas Intercepto C. Retas Paralelas
Retas Coincidentes
Esquemas de ANAVA
Fonte de Variação Graus de liberdade
Fator A (I-1)
Fator B (J-1)
A x B (I-1)(J-1)
Tratamentos IJ-1
Erro IJ(K-1)
Total IJK-1
Modelo Maximal
Esquemas de ANAVA
Fonte de Variação Graus de liberdade
Retas Concorrentes 2I - 1
Desvios de Regressão I(J - 2)
Tratamentos IJ-1
Erro IJ(K-1)
Total IJK-1
ModeloRetas Concorrentes (2I parâmetros)
Esquemas de ANAVA
Fonte de Variação Graus de liberdade
Retas Paralelas I
Desvios de Regressão [I(J - 1)] – 1
Tratamentos IJ-1
Erro IJ(K-1)
Total IJK-1
Modelo Retas Paralelas (I + 1 parâmetros)
Esquemas de ANAVA
Fonte de Variação Graus de liberdade
Retas Intercepto C. I
Desvios de Regressão [I(J - 1)] – 1
Tratamentos IJ-1
Erro IJ(K-1)
Total IJK-1
Modelo Retas Intercepto C. (I + 1 parâmetros)
Esquemas de ANAVA
Fonte de Variação Graus de liberdade
Retas Coincidentes 1
Desvios de Regressão IJ - 2
Tratamentos IJ-1
Erro IJ(K-1)
Total IJK-1
Modelo Retas Coincidentes (2 parâmetros)
	Slide 1: Paralelismo, intersecção e igualdade de modelos
	Slide 2: Introdução
	Slide 3: Introdução
	Slide 4: Introdução
	Slide 5: Modelo Completo
	Slide 6: Modelo Completo
	Slide 7: Modelos Reduzidos
	Slide 8: Modelos Reduzidos
	Slide 9: Modelos Reduzidos
	Slide 10: Modelos Reduzidos
	Slide 11: Modelos Reduzidos
	Slide 12: Modelos Reduzidos
	Slide 13: Modelos Reduzidos
	Slide 14: Modelos Reduzidos
	Slide 15: Modelos Reduzidos
	Slide 16: Modelos Reduzidos
	Slide 17: Modelos Reduzidos
	Slide 18: Modelos Reduzidos
	Slide 19: Modelos Reduzidos
	Slide 20: Modelos Reduzidos
	Slide 21: Modelos Reduzidos
	Slide 22: Modelos Reduzidos
	Slide 23: Modelos Reduzidos
	Slide 24: Modelos Reduzidos
	Slide 25: Modelos Reduzidos
	Slide 26: Modelos Reduzidos
	Slide 27: Modelos Encaixados
	Slide 28: Esquemas de ANAVA
	Slide 29: Esquemas de ANAVA
	Slide 30: Esquemas de ANAVA
	Slide 31: Esquemas de ANAVA
	Slide 32: Esquemas de ANAVA