Prévia do material em texto

ATIVIDADE 20: OUTRA VEZ A RELAÇÃO DE 
 PITÁGORAS. 
 
OBJETIVOS: Ampliar e aprofundar a compreensão sobre a relação de 
 Pitágoras. 
 
PARTE 1: UMA DEMONSTRAÇÃO PRESIDENCIAL. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Solicite aos alunos que desenhem um triângulo retângulo 
qualquer e que denominem as medidas dos catetos de a e b e da hipotenusa c. 
Peça também que construam os quadrados sobre os lados desse triângulo, bem 
como escrevam as expressões de suas áreas no interior de cada quadrado. 
 Poderão obter uma figura “bastante parecida” com: 
 
 
 
 Levando em conta as conclusões da atividade 6 
 ( Relação Pitagórica: uma verificação 
 experimental ), que relação poderão escrever 
 entre as áreas dos quadrados? 
 
 
 
 
 
 Explique a eles que a expressão a
2
 + b
2
 = c
2
 é bastante 
utilizada para abreviar a propriedade das áreas dos quadrados construídos sobre 
os lados do triângulo retângulo. 
 Ao longo do tempo, muitos homens se interessaram em fazer 
uma demonstração dessa propriedade e entre eles, um general americano, 
James Abram Garfield, que foi por um curto período de tempo presidente do 
Estados Unidos. Ele se interessou pelo assunto e apresentou uma prova 
baseada numa figura com três triângulos retângulos, que formam um trapézio. 
Dois desse triângulos são iguais aqueles de lados a, b e c acima, e o terceiro é 
um triângulo retângulo isósceles de catetos c, que é a hipotenusa dos dois 
primeiros. 
 
 
 Questione também se os três triângulos dispostos como na 
figura anterior formam mesmo um trapézio. 
 Peça aos alunos que calculem as áreas do trapézio e dos 
triângulos que o compõem, para demonstrarem que a
2
 + b
2
 = c
2
. 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 Num primeiro momento, as figuras envolvidas nessa 
demonstração podem ser recortadas em papel como peças de um quebra-cabeça. 
É importante comentar que não é pelo fato de que as peças recortadas 
aparentemente formam um trapézio, que devemos acredita nisso. O 
 
 
questionamento principal deve ser feito em torno dos três ângulos ao redor do 
ponto P ( figura seguinte ). 
 
 Como x e y são ângulos complementares por serem 
 ângulos agudos do triângulo retângulo dado, então 
 somam 90º. Com mais 90º do ângulo reto do 
 triângulo isósceles retângulo, temos 180º e, portanto, 
 os pontos A, P e B estão alinhados. 
 
 
 
PARTE 2: OUTRA MANEIRA DE OLHAR PARA A RELAÇÃO 
 PITAGÓRICA. 
 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha de cartolina, tesoura, régua, esquadro 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Divida a classe em grupos de quatro alunos. Cada grupo 
deverá dispor de uma coleção do material acima descrito. 
 Informe a eles que farão uma outra atividade para mostrar que 
a
2
 + b
2
 = c
2
, onde a e b são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo e 
c a medida da hipotenusa. 
 Para tanto eles deverão construir um triângulo retângulo 
qualquer ( as medidas de seus lados não importam, basta que tenha um ângulo 
reto ), e em seguida mais três outros triângulos iguais ao primeiro. 
 
 
 
 Solicite que construam também um quadrado cujo lado seja a 
diferença dos catetos dos triângulos retângulos já construídos ( isto é, a – b, 
com a > b ). 
 
 
 Com as cinco peças recortadas os alunos deverão montar um 
quadrado de lado c. 
 Dê um tempo para que formem a figura solicitada e em 
seguida peça a eles que calculem as áreas das cinco peças e a do quadrado de 
lado c, relacionando-as posteriormente. 
 Por equivalência de áreas deverão chegar a mostrar que 
a
2
 + b = c
2
. 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 Oriente os alunos para denominarem as medidas dos catetos 
de a e b enquanto que a hipotenusa será chamada de c. 
 Após terem conseguido compor o quadrado de lado c, deverão 
perceber que: 
 
 
 
 
 A partir dessa igualdade, basta efetuar os cálculos, para 
concluir que a
2
 + b
2
 = c
2
 . 
 O que ocorre quando a = b. 
 
PARTE 3: LADO X DIAGONAL. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-20. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Distribua a cada aluno uma folha-tipo I-20. 
 Peça a eles que meçam as diagonais dos quadrados e 
organizem essas medidas numa tabela do tipo: 
 
 
 As outras duas colunas deverão ser preenchidas, por meio de 
cálculos que efetuarão, a partir da relação de Pitágoras. 
 
 Colocar em discussão o que se deve entender por valor 
aproximado ( na forma decimal ) e por valor exato ( na forma de radical ). 
 Observar com os alunos que se a representação de um número 
 
apresenta infinitas casas decimais, ao considerarmos apenas uma quantidade 
 
finita dessas casas ( como no caso da diagonal medida ), estamos cometendo 
 
um certo erro, que será tanto menor, quanto mais casas decimais 
 
considerarmos. Por exemplo, tomar 0,444 para representar 4 , em vem de 
 9 
0,444... ou 1,4142 para representar √2. Por outro lado, se representamos esse 
 
número por uma fração ( 4 , no primeiro exemplo ) ou por radical ( √2 ), 
 9 
Como é o caso da medida calculada nesta atividade, estaremos considerando 
 
todas suas infinitas casas decimais; em outras palavras, estaremos 
considerando o valor exato desse número, sem cometer erro algum. 
 Entretanto, nem sempre é possível lidarmos com os valores 
exatos. Quem iria pedir no depósito de materiais de construção “ quero 3.√2 m 
de rodapé”? 
 Após essa discussão em que os alunos poderão ser 
incentivados a explicitarem em que situações é mais conveniente utilizar uma 
forma ou outra ( a exata ou a não exata ), solicite a eles que respondam à 
pergunta. 
 
 
 
 
 
 
Observando a primeira e a última coluna da 
tabela, que relação existe entre as medidas do 
lado do quadrado e de sua diagonal? 
 
 Não se trata, nesse momento, de introduzir os números 
irracionais; basta considerar a radiciação como uma relação inversa da 
potenciação e uma calculadora fará o resto, isto é, com ela, o aluno determina 
os valores obtidos na forma decimal aproximada. 
 
 
PARTE 4: PITÁGORAS, CARPINTEIROS, ANTENISTAS E AS 
 CRIANÇAS. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo II-20. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Divida a classe em grupos de três alunos e forneça a cada 
grupo uma folha-tipo II-20. 
 Dê um tempo para que resolvam os problemas. 
 A seguir, promova uma discussão com a classe sobre as 
soluções apresentadas pelos diversos grupos. 
 
COMENTÁRIOS: 
 
 Embora os alunos tenham apenas os primeiros contatos com a 
relação de Pitágoras, é possível propor algumas aplicações. Inicialmente, elas 
estão ligadas a situações bastante concretas, como é o caso deste três 
problemas; posteriormente, aplicações mais abstratas serão tratadas em 
atividade da 8ª série. 
 
 
 
FOLHA-TIPO I-20 
Lado X diagonal. 
 
 
FOLHA-TIPO II-20 
Pitágoras, carpinteiros, antenistas e crianças.